Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι κατά πόσο µεταβάλλεται η εξαρτηµένη µεταβλητή y για γνωστή µεταβολή της ανεξάρτητης µεταβλητής. Εστω ότι από x 0 που ήταν αρχικά η ανεξάρτητη µεταβλητή γίνεται x. Μεταβάλλεται εποµένως κατά x = x x 0. Τότε η αντίστοιχη µεταβολή της εξαρτηµένης µεταβλητής ϑα είναι : y = f(x) f(x 0 ), ή y = f(x 0 + x) f(x 0 ). Το πηλίκο y x = f(x) f(x 0) = f(x 0 + x) f(x 0 ) x x 0 x ονοµάζεται µέσος ϱυθµός µεταβολής της συνάρτησης στο διάστηµα (x 0, x 0 + x). Η µέση µεταβολή είναι ένα µέτρο της µεταβολής της y στο διάστηµα (x 0, x 0 + x). Αν το διάστηµα αυτό γίνει εξαιρετικά µικρό, η αντίστοιχη µέση µεταβολή ϑα µπορεί να ϑεωρηθεί ως µέτρο της µεταβολής της y στο σηµείο x 0. Αυτό πετυχαίνεται παίρνοντας το όριο του µέσου ϱυθµού µεταβολής όταν x x 0 ή ισοδύναµα όταν x 0. Το όριο αυτό συµβολίζεται µε f (x 0 ) και 27

2 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ονοµάζεται ϱυθµός µεταβολής ή παράγωγος αριθµός της συνάρτησης στο σηµείο x 0. Είναι εποµένως f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ). x Η τιµή της παραγώγου της f(x) στο σηµείο x 0 είναι ίση µε την εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζεται από τον άξονα των x και την εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο (x 0, f(x 0 )). ηλαδή ο παράγωγος αριθµός ισούται µε το συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) της εφαπτοµένης της καµπύλης της f(x) στο σηµείο (x 0, f(x 0 )). Εξίσωση εφαπτοµένης καµπύλης : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης y = x 3 3x + 2 στο σηµείο x = Παράγωγος συνάρτησης Ορισµός Μία συνάρτηση y = f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [a, b] λέγεται παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 (a, b), αν υπάρχει ο παράγωγος αριθµός f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x και είναι πεπερασµένος. Η y = f(x) λέγεται παραγωγίσιµη στο (a, b), αν είναι παραγωγίσιµη x (a, b). Παράδειγµα : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3 x δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 0. Εστω y = f(x) : A R, µία συνάρτηση ορισµένη στο σύνολο A και A A το σύνολο των σηµείων στα οποία η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη. Αντιστοιχώντας σε κάθε σηµείο x 0 A τον παράγωγο αριθµό f (x 0 ), ορίζουµε µία νέα συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή λέγεται παράγωγος της f(x) και συµβολίζεται µε f (x). Είναι δηλαδή f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x). x

3 3.2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 29 Συµβολισµοί της παραγώγου : Η παράγωγος της f στο σηµείο x 0 συµ- ϐολίζεται µε ( ) df f (x 0 ),, df dx x 0 dx ενώ η παράγωγος σ ένα τυχαίο σηµείο x A (δηλαδή η παράγωγος συνάρτηση) συµβολίζεται µε f df (x), dx. Πλευρική παραγώγιση : Η παράγωγος από δεξιά της f(x) στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ορίζεται από τη σχέση f +(x 0 ) = lim x x + 0 x0 f(x) f(x 0 ) x x 0, αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός. Οµοίως, η παράγωγος από αριστερά της f(x) στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ορίζεται από τη σχέση f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0, αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός. Μία συνάρτηση f(x) έχει παράγωγο στο x = x 0, αν και µόνον αν υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι στο σηµείο αυτό και είναι ίσες µεταξύ τους. ηλαδή ισχύει η σχέση f (x 0 ) = f +(x 0 ) = f (x 0 ). Πρόταση Αν µία συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0, τότε ϑα είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Προσοχή : Η πρόταση δεν ισχύει αντίστροφα. ηλαδή, αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σηµείο x 0, τότε δεν είναι υποχρεωτικά και παραγωγίσιµη στο x 0. Για παράδειγµα η συνάρτηση f(x) = x είναι συνεχής στο x 0 = 0, ενώ δεν είναι παραγωγίσιµη σ αυτό. Αν όµως δεν είναι συνεχής στο x 0, τότε αναγκαία δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x x 2 + 1,

4 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο σηµείο x 0 = 3. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = sin 3 (x 2), στο σηµείο x 0 = 2. Παράδειγµα : Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 1, η συνάρτηση x, 0 x 1 f(x) = 2x 1, 1 < x 2 Παράδειγµα : ίνεται η συνάρτηση x 2 + (2λ + λ 2 + 2)x, x < 0 f(x) = λx 2 + x, x 0 Να ϐρεθεί ο λ R ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = Κανόνες Παραγώγισης Πρόταση Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα I = (a, b), τότε και η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιµη στο I και ισχύει [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x), x I. Η παραπάνω πρόταση γενικεύται για n συναρτήσεις και ισχύει [f 1 (x) + f 2 (x) f n (x)] = f 1(x) + f 2(x) f n(x), x I. Πρόταση Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα I = (a, b), τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο I και ισχύει [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x), x I. Η παραπάνω πρόταση γενικεύται για n συναρτήσεις και ισχύει [f 1 (x)f 2 (x)... f n (x)] = n [f 1 (x)... f i 1 (x)f i(x)f i+1 (x)... f n (x)], x I. i=1

5 3.3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 31 Πρόταση Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη στο διάστηµα I = (a, b), τότε έχουµε [ (f(x)) k] = k (f(x)) k 1 f (x), x I, k N. Πρόταση Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα I = (a, b) και ισχύει g(x) 0, για κάθε x I, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο I και ισχύει [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), x I. g(x) g 2 (x) Πρόταση Η παράγωγος µιας σταθερής συνάρτησεις είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή (c) = 0, c σταθερά. Χρησιµοποιώντας την προηγούµενη πρόταση και την πρόταση προκύπτει ότι [cf(x)] = cf (x). Επίσης αν στην πρόταση πάρουµε f(x) = 1, τότε παίρνουµε [ ] 1 = g (x), x I. g(x) g 2 (x) Πρόταση Η συνάρτηση f(x) = x n είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει (x n ) = nx n 1, x R. Με τη ϐοήθεια των παραπάνω προτάσεων, εύκολα µπορεί να αποδείξει κανείς ότι : 1. ( x) = 1 2 x, x > 0 2. (sin x) = cos x 3. (cos x) = sin x 4. (tan x) = 1 cos 2 x, x (2k + 1) π 2, k Z

6 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 5. (cot x) = 1 sin 2 x, x kπ, k Z 6. (arctan x) = x 2 7. (arcsin x) = 8. (e x ) = e x 1 1 x 2 9. (ln x) = 1 x 10. (a x ) = a x ln a Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων f(x) = (x 2 + 1)(x 4 + 3), g(x) = x x Παραγώγιση σύνθετης, αντίστροφης και πεπλεγµένης συνάρτησης Θεώρηµα Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της και η g είναι παραγωγίσιµη στο u 0 = f(x 0 ), τότε και η σύνθετη συνάρτηση h = g f είναι παραγωγίσιµη στο x 0 και µάλιστα ισχύει h (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Η παράγωγος εποµένως της σύνθετης συνάρτησης h(x) = g(f(x)) ϑα είναι : h (x) = g (f(x)) f (x). Αν χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό dy για την παράγωγο η παραπάνω dx σχέση γράφεται dy dx = dy du du dx. Η σχέση αυτή λέγεται και κανόνας της αλυσίδας. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων f(x) = sin(x 2 1), g(x) = ln 2 (ln x),

7 3.5. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 33 h(x) = e 3x2 +x, s(x) = 1 + x 2 + 2x. Πρόταση Ας είναι f : [a, b] [c, d] µία 1 1 και επί συνάρτηση και f 1 : [c, d] [a, b] η αντίστροφή της συνάρτηση. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 [a, b] και είναι f (x 0 ) 0, τότε και η f 1 είναι παραγωγίσιµη στο y 0 = f(x 0 ) και ισχύει (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει ότι αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη για κάθε x [a, b], τότε και η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιµη και είναι (f 1 ) (y) = 1 f (x), y = f(x) [c, d]. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της αντίστροφης της συνάρτησης y = sin x, δηλαδή της συνάρτησης y = arcsin x. Ορισµός Ας είναι x, y δύο µεταβλητές που συνδέονται µεταξύ τους µε µία σχέση της µορφής F (x, y) = 0. Τότε η συνάρτηση y = y(x) που καθορίζεται από µία τέτοια σχέση λέγεται πεπλεγµένη συνάρτηση. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της πεπλεγµένης συνάρτησης που ορίζεται από τη σχέση x 3 + y 3 3xy = Παράγωγοι ανώτερης τάξης Οπως είδαµε η παράγωγος y µιας συνάρτησης y = f(x) είναι και αυτή µία συνάρτηση. Αν αυτή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη τότε την παραγωγό της τη λέµε παράγωγο δεύτερης τάξης ή δεύτερη παράγωγο της y = f(x) και συµβολίζουµε y ή f (x) ή d2 f dx 2. Οµοια την παράγωγο της δεύτερης παραγώγου τη λέµε τρίτη παράγωγο της y = f(x) και συµβολίζουµε y ή f (x) ή d3 f dx 3.

8 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Γενικότερα ορίζουµε σαν παράγωγο n τάξης ή n-οστή παράγωγο της y = f(x), την παράγωγο της (n 1)-οστής παραγώγου και την συµβολίζουµε y (n) ή f (n) (x) ή dn f dx n. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων 1. y = e 3x+x2 2. x 3 + y 3 3xy = ιαφορικό συνάρτησης - Προσεγγίσεις Εστω y = f(x) µία παραγωγίσιµη συνάρτηση. παραγώγου έχουµε f y (x) = lim x 0 x. Εποµένως µπορούµε να γράψουµε ότι Τότε από τον ορισµό της y x = f (x) + ε, όπου ε τέτοιο ώστε Ετσι έχουµε lim ε = 0. x 0 y = f (x) x + ε x. Ορισµός Η ποσότητα f (x) x, η οποία ισούται κατά προσέγγιση µε την αντίστοιχη της x µεταβολή y, λέγεται διαφορικό της συνάρτησης y = f(x) στο σηµείο x και συµβολίζεται µε dy ή df(x). Ετσι, dy = f (x) x. Το διαφορικό της συνάρτησης f(x) = x, επειδή η παράγωγός της είναι παντού 1, ϑα είναι dx = x. Ετσι το διαφορικό µιας συνάρτησης y = f(x), γράφεται dy = f (x)dx.

9 3.7. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 35 Το διαφορικό µιας συνάρτησης χρησιµοποιείται εκτός των άλλων και για τον υπολογισµό προσεγγιστικών τιµών. Από τον ορισµό του διαφορικού έχουµε y dy, από την οποία παίρνουµε f(x + x) f(x) f (x)dx, ή f(x + x) f(x) + f (x)dx. Παράδειγµα : Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η τιµή 3 27, Βασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισ- µού Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε δύο ϐασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισµού, το Θεώρηµα Rolle και το Θεώρηµα Μέσης Τιµής. Θεώρηµα ( Rolle) Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a, b) και αν f(a) = f(b), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ στο διάστηµα (a, b) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. Γεωµετρική ερµηνεία : Αν f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση η οποία παίρνει την ίδια τιµή σε δύο σηµεία του άξονα x, τότε υπάρχει ανάµεσά τους τουλάχιστον ένα σηµείο στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη προς των άξονα των x. Παράδειγµα : Για τη συνάρτηση f : [ 1, 1] R µε x 2 + ax + b, x [ 1, 0) f(x) = cx 2 + 4x + 4, x [0, 1] να ϐρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί a, b, c ώστε η f να ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήµατος Rolle.

10 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Πόρισµα Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο πραγµατικές ϱίζες a και b, µε a < b, και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο (a, b), τότε ξ (a, b) : f (ξ) = 0. Πόρισµα Για µία πολυωνυµική συνάρτηση ικανοποιούνται οι προϋπο- ϑέσεις του Θεωρήµατος Rolle, έτσι µεταξύ δύο ϱιζών a και b ενός πολυωνύµου p(x) µε πραγµατικούς συντελεστές υπάρχει τουλάχιστον µία πραγµατική ϱίζα του p (x). Παράδειγµα : Να δειχθεί ότι αν η εξίσωση a 0 x n + a 1 x n a n 1 x = 0, (a 0, a 1,..., a n R) έχει µία ϱίζα x = x 0, τότε και η εξίσωση na 0 x n 1 + (n 1)a 1 x n a n 1 = 0, έχει µία ϑετική ϱίζα µικρότερη του x 0. Θεώρηµα ( Θεώρηµα Μέσης Τιµής) Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a, b), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ στο διάστηµα (a, b) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(b) f(a). b a Γεωµετρική ερµηνεία : Αν f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση σ ένα διάστηµα [a, b] και A(a, f(a)), B(b, f(b)) τα σηµεία της καµπύλης που αντιστοιχούν στα άκρα του διαστήµατος, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο της καµπύλης P (ξ, f(ξ)) µεταξύ των A, B, µε ξ (a, b), όπου η εφαπτοµένη στο σηµείο αυτό είναι παράλληλη προς τη χορδή AB. Άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής είναι τα επόµενα πορίσ- µατα. Πόρισµα Αν η παράγωγος µιας συνάρτησης f(x) είναι 0 σε όλα τα σηµεία ενός διαστήµατος [a, b], τότε η f(x) είναι σταθερή στο διάστηµα αυτό. ηλαδή f (x) = 0 f(x) = c, x [a, b].

11 3.8. ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ LHOSP IT AL - ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ T AY LOR 37 Πόρισµα Αν f(x) και g(x) έχουν ίσες παραγώγους σε όλα τα σηµεία ενός διαστήµατος [a, b], τότε η διαφορά τους είναι σταθερή στο διάστηµα αυτό. ηλαδή f (x) = g (x) f(x) g(x) = c, x [a, b]. Πόρισµα Αν η f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και ισχύει f (x) > 0, για κάθε x (a, b) (αντίστοιχα f (x) < 0, για κάθε x (a, b)), τότε η f(x) είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως ϕθίνουσα) στο διάστηµα [a, b]. Παράδειγµα : Να δεχθεί ότι ισχύει x 1 + x < ln(1 + x) < x, x > Κανόνας του L Hospital - Πολυώνυµο T aylor Θεώρηµα (Κανόνας του L Hospital) Αν f(x), g(x) δύο συνεχείς και παραγωγίσιµες συναρτήσεις και x 0 R {, + } και lim x x 0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0(± ), τότε ισχύει f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Με το κανόνα του L Hospital υπολογίζουµε τα όρια των απροσδιόριστων µορφών 0 0 ή. Ο κανόνας ισχύει και όταν x + ή x. Παράδειγµα : Να υπολογιστούν τα όρια ln(cos x) a) lim x 0 x x b) lim( x 1 x 1 1 ln x ). Θεώρηµα Αν η συνάρτηση f έχει παραγώγους µέχρι n-οστής τάξης, όπου n N, σε µία περιοχή του σηµείου x 0, τότε υπάρχει ένα, και µόνο ένα, πολυώνυµο p(x) µε ϐαθµ. p(x) n που ικανοποιεί τις συνθήκες p(x 0 ) = f(x 0 ), p (x 0 ) = f (x 0 ),..., p (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ).

12 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Το πολυώνυµο αυτό είναι το p(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0) 2 2! f (x 0 ) (x x 0) n f (n) (x 0 ). n! Το παραπάνω πολυώνυµο p(x) λέγεται πολυώνυµο του Taylor ή και προσεγγιστικό πολυώνυµο της συνάρτησης f στην περιοχή του σηµείου x 0. Το πολυώνυµο Taylor για x 0 = 0, δηλαδή το πολυώνυµο p(x) = f(0) + (x 0) f (0) + 1! (x 0)2 f (0) ! (x 0)n f (n) (0), n! λέγεται πολυώνυµο του Mac Laurin της συνάρτησης f. Οταν προσεγγίζουµε την f µε το πολυώνυµο Taylor (της f) τότε το σφάλµα που κάνουµε είναι R(x) = f(x) p(x). Μπορεί να δειχθεί ότι R(x) = (x x 0) n+1 f (n+1) (ξ), (n + 1)! όπου ξ κάποιος αριθµός µεταξύ του x 0 και του x. Αν συµβεί το σφάλµα R(x) να τείνει στο µηδέν όταν το n τείνει στο άπειρο, τότε το πολυώνυµο Taylor ϑα τείνει να ταυτιστεί µε τη συνάρτηση f(x). Το όριο στο οποίο τείνει το πολυώνυµο Taylor λέγεται σειρά Taylor της f(x) ή ανάπτυγµα Taylor της f(x) στην περιοχή του σηµείου x 0. Ετσι, η σειρά Taylor της f(x) στο x 0 είναι f(x) = f(x 0 )+ (x x 0) 1! f (x 0 )+ (x x 0) 2 2! f (x 0 )+...+ (x x 0) n f (n) (x 0 )+.... n! Παράδειγµα : Να ϐρεθεί το ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης f(x) = e x, στην περιοχή του σηµείου x 0 = Ακρότατα - Σηµεία καµπής Λέµε ότι η συνάρτηση y = f(x), που είναι ορισµένη σε ένα σύνολο A, έχει τοπικό µέγιστο (αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο x = x 0, αν για όλα τα σηµεία x (x x 0 ) µιας περιοχής του x 0 ισχύει

13 3.9. ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 39 f(x) f(x 0 ) (αντίστοιχα f(x) f(x 0 )). Ο αριθµός M (αντίστοιχα m) λέγεται ολικό µέγιστο (αντίστοιχα ολικό ελάχιστο) της συνάρτησης f(x) στο A, αν υπάρχει x 0 στο A, τέτοιο ώστε f(x) f(x 0 ) = M (αντίστοιχα f(x) f(x 0 ) = m), x A. Λέµε ότι η y = f(x) έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο x = x 0, αν έχει σ αυτό τοπικό µέγιστο ή τοπικό ελάχιστο. Θεώρηµα Αν x 0 είναι σηµείου τοπικού ακροτάτου τότε ή f (x 0 ) = 0 ή δεν υπάρχει η παράγωγος f (x 0 ). Τα σηµεία που µηδενίζουν την παράγωγο και εκείνα στα οποία δεν υπάρχει παράγωγος λέγονται στάσιµα ή κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης. Προσοχή : εν ισχύει το αντίστροφο του ϑεωρήµατος. ηλαδή ένα σηµείο όπου f (x 0 ) = 0, δεν είναι υποχρεωτικά σηµεία τοπικού ακροτάτου. Παράδειγµα : Να δείξετε ότι το σηµείο x = 0, είναι κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης f(x) = x 3, όχι όµως τοπικό ακρότατο. Κριτήριο 1ης παραγώγου για τοπικά ακρότατα : Ας είναι y = f(x) µία συνάρτηση ορισµένη στο [a, b] και x 0 (a, b) ένα κρίσιµο σηµείο της f. Αν υπάρχει περιοχή (x 0 ε, x 0 + ε) του σηµείου x 0 τέτοια ώστε να είναι : f (x) > 0, x (x 0 ε, x 0 ) και f (x) < 0, x (x 0, x 0 + ε), τότε στο σηµείο x = x 0 η συνάρτηση f έχει τοπικό µέγιστο f (x) < 0, x (x 0 ε, x 0 ) και f (x) > 0, x (x 0, x 0 + ε), τότε στο σηµείο x = x 0 η συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο f (x) < 0, x (x 0 ε, x 0 +ε), x x 0 ή f (x) > 0, x (x 0 ε, x 0 +ε), x x 0, τότε στο σηµείο x = x 0 η συνάρτηση f δεν έχει τοπικό ακρότατο. Κριτήριο 2ης παραγώγου για τοπικά ακρότατα : Ας είναι y = f(x) µία συνάρτηση ορισµένη στο [a, b], παραγωγίσιµη στο (a, b) και x 0 ένα κρίσιµο σηµείο της f, στο οποίο υπάρχει η δεύτερη παράγωγος της f και είναι διάφορη του µηδενός. Τότε :

14 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ αν f (x 0 ) > 0, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο x 0 αν f (x 0 ) < 0, η f έχει τοπικό µέγιστο στο x 0. Παράδειγµα : Να ϐρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x 1)(x + 2) 2. Παράδειγµα : Βρείτε τα µέγιστα και τα ελάχιστα της συνάρτησης f(x) = 4x 3 48x x, χρησιµοποιώντας το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου. Για την καµπύλη c µιας συνάρτησης y = f(x), λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (είναι κυρτή), αν η καµπύλη ϐρίσκεται πάνω από την εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της, ενώ λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (είναι κοίλη), αν η καµπύλη ϐρίσκεται κάτω από την εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της. Σηµεία καµπής µιας καµπύλης ονοµάζονται τα σηµεία στα οποία η καµπύλη αλλάζει κυρτότητα (από κυρτή γίνεται κοίλη ή το αντίστροφο). Θεώρηµα Ας είναι c : y = f(x), x [a, b], µία καµπύλη και x 0 (a, b). Υποθέτουµε ότι υπάρχει η παράγωγος f (x) σε µία περιοχή (x 0 ε, x 0 + ε) και η δεύτερη παράγωγος f (x 0 ) στο σηµείο x 0. Τότε : αν f (x 0 ) > 0 η καµπύλη c στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο σηµείο της P (x 0, f(x 0 )) αν f (x 0 ) < 0 η καµπύλη c στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο σηµείο της P (x 0, f(x 0 )) αν το σηµείο P (x 0, f(x 0 )) είναι σηµείο καµπής της καµπύλης c, τότε είναι υποχρεωτικά f (x 0 ) = 0. Παράδειγµα : οποία η καµπύλη Να ϐρεθούν τα σηµεία καµπής και τα διαστήµατα στα c : f(x) = x 4 12x x 2 50, στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω.

15 3.10. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκήσεις Ασκηση 3.1. Να ϐρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) y = cos(3x) ii) y = e x iii) y = tan(5x) iv) y = e sin x v) y = sin 2 (x 2 + 1) vi) y = cos 2 [sin(3x)] vii) y = ln 2 (ln x) viii) y = x ix) y = x sin x Ασκηση 3.2. Να ϐρεθεί η παράγωγος της πεπλεγµένης συνάρτησης y = y(x) που ορίζεται από τη σχέση xy = arctan( x y ). Ασκηση 3.3. Βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης y = ln(1+e 10x )+arctan(e 5x ). Υπολογίστε την τιµή του διαφορικού στο x = 0 και την αύξηση y της y προσεγγιστικά αν dx = Ασκηση 3.4. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = 2 x2 x 4, παίρνει ίσες τιµές στα άκρα του διαστήµατος [ 1, 1]. Στην συνέχεια να δειχθεί ότι η παράγωγός της δεν µηδενίζεται σε κανένα εσωτερικό σηµείο του διαστή- µατος αυτού και να εξηγηθεί γιατί δεν εφαρµόζεται το Θεώρηµα Rolle. Ασκηση 3.5. Να ϐρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) y = 3 x + 1 x 2 ii) y = x2 + 1 x x iii) y = 1 3x iv) y = ex x 2 v) y = x x vi) y = sin[cos(3x)] Ασκηση 3.6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση y = arcsin x 1 x 2, ικανοποιεί τη σχέση (1 x 2 )y xy = 1.

16 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ασκηση 3.7. Να ϐρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) = x 1 + x. Ασκηση 3.8. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f µε τύπο { x f(x) = 3 sin( 1), x 0 x 0, x = 0 είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη. Ασκηση 3.9. Να ϐρείτε a, b R ώστε η ευθεία y = 2x+5 να είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f µε f(x) = x 2 + ax + b, στο x 0 = 1. Ασκηση Βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της y ως προς x στο (1, 1), αν x 2 xy + y 2 = 3. Ασκηση Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η τετραγωνική ϱίζα (2.037) 2 1 (2.037) Ασκηση Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 4ου ϐαθµού της συνάρτησης f(x) = ln x, στην περιοχή του σηµείου x 0 = 1. Ασκηση ίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x 2. Να ϐρεθούν α) τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ϐ) τα σηµεία καµπής γ) τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης στο [0, 3]. Ασκηση Βρέθηκε ότι η ταχύτητα µετάδοσης ενός σήµατος µέσω ενός καλωδίου είναι ανάλογη της ποσότητας ln x, όπου x (σε cm) το πάχος της µόνωσης του καλωδίου. Πόσο πρέπει να είναι το πάχος της µόνωσης έτσι ώστε να x 2 εξασφαλίσουµε τη µέγιστη ταχύτητα µετάδοσης ; Ασκηση Για τον υπολογισµό τετραγωνικών ϱιζών αριθµών από 0 µέχρι 1, χρησιµοποιείται ο προσεγγιστικός τύπος x 4 5 (x ). Ποιο είναι το µέγιστο σφάλµα του τύπου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v..9 Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 4 Περιεχόμενα Πρόλογος ii Εισαγωγή iv Οριο και Συνέχεια Παράγωγος 8 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις 3 4 Τριγωνοµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Για το Θέμα Α: Ορισμοί. Συλλογή Από. Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Για το Θέμα Α: Ορισμοί. Συλλογή Από. Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Για το Θέμα Α: Ορισμοί Συλλογή Από Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών 2014.Π 1. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα