ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης"

Μέλισσα Παπαφιλίππου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης Άσκηση Αν t ( ) < cos t,sin( t) > δύο τρόπους και gt () 3t 4 d gt να υπολογισθεί η παράγωγος ( ()) με Λύση 1 ος τρόπος. Με τη χρήση του κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης d ( gt ()) g '() t '( gt ()) (1) Είναι g'( t) 6 t, '( t) < sin t, cos( t) > Επομένως d ( gt ( )) 6 t sin(3 t 4), cos(6 t 8) 6 t sin(3 t 4),1 t cos(6 t 8) ος τρόπος Δημιουργώντας την σύνθεση των συναρτήσεων Rt ( ) gt ( ) cos 3t 4,sin(6t 8) ( ) ( ) και έπειτα παραγωγίζοντας τη συνάρτηση που προκύπτει d d R'( t) cos( 3t 4 ), sin(6t 8) d d sin ( 3t 4) ( 3t 4 ),cos(6t 8) (6t 8) ( ) t t t t 6 sin 3 4,1 cos(6 8) 1

2 Άσκηση Αν f(, ) και + s, s, να υπολογισθούν οι παράγωγοι και Λύση: Χρησιμοποιούμε τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης: + (1) Είναι ( + s ), ( s) s Επομένως + s () Για τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου έχουμε: s s (3) Οι, είναι συναρτήσεις των, επομένως για τον υπολογισμό των παραγώγων τους ως προς θα χρησιμοποιήσουμε ξανά τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης (1): + + s (4) + + s (5) Έτσι η (3) λόγω των (4) και (5) γίνεται τελικά: + s s s 4 8s 4s

3 Άσκηση Αν f(, ) και uv (, ), uv (, ) και επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις:, να δειχθεί ότι ( )( uu + vv + u + v ) u v v u Λύση H είναι σύνθετη συνάρτηση των u και v δια μέσου των μεταβλητών, + + u u u u u (1) uu ( u + u) ( u) + ( u) u u u ( ) u + ( u) + ( ) u + ( u) u u u u ( ) u + uu + ( ) u + uu () u u Αλλά οι, είναι συναρτήσεις των, και επομένως σύνθετες συναρτήσεις των u και v δια μέσου αυτών Έτσι u u u και ( ) ( ) + ( ) + (3) u u u u u ( ) ( ) + ( ) u + u (4) H () λόγω των (3) και (4) γίνεται: ( ) ( ) uu u u u uu u u u uu u u u uu u u u uu ή επειδή 3

4 (5) uu u uu u u u uu Θέτοντας v όπου u παίρνουμε αντίστοιχα: (6) vv v vv v v v vv Προσθέτοντας κατά μέλη τις (5),(6) παίρνουμε uu vv u uu u u u uu v vv v v v vv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) uu vv u v uu vv u u v v u v uu vv Δίνεται πως u v v u (8) (9) Στην τελική αποδεικτέα σχέση απουσιάζουν οι μερικές παράγωγοι της, επομένως τις αντικαθιστούμε στην (7) χρησιμοποιώντας τις (8),(9) Υπολογίζουμε αρχικά της ποσότητες: ( ) (1) u u v v u v v u u u v v uu + vv u + v v + u vu + uv u v u v ( ) ( ) ( ) ( ) (11) uu + vv u + v v + u vu uv u v u v ( ) ( ) ( ) ( ) (1) Έτσι η (7) λόγω των (1),(11),(1) γίνεται: ( ) ( ) ( )( ) uu vv u v u v uu vv u v 4

5 Άσκηση Να βρεθούν οι, αν η ορίζεται πεπλεγμένα ως συνάρτηση των, ως Λύση Παραγωγίζουμε ως προς και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης: ( ) ( ) Ομοίως ( ) ( ) Στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε και ως εξής: Έστω (,, ) 6 1 F Τότε F F, F F F F F

6 Έτσι Άσκηση Να δειχθεί ότι ο τελεστής, iˆ + ˆj σε πολικές συντεταγμένες γράφεται ως 1 uˆ ˆ + u θ Λύση Ισχύουν οι σχέσεις 1 +, θ tan θ Επίσης τα μοναδιαία διανύσματα είναι uˆ cos θ,sinθ cosθiˆ+ sinθ ˆj uˆ sin θ, cosθ sinθiˆ+ cosθ ˆj θ Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας στις μερικές παραγώγους ως προς και παίρνουμε: θ +, θ θ + θ Όμως ( ) cosθ + cosθ + ( ) sinθ + sinθ + 6

7 θ 1 1 tan sinθ sinθ + 1 θ tan cosθ cosθ 1 + Έτσι sinθ cosθ θ cosθ sinθ + θ Επομένως sinθ ˆ cosθ, cosθ i + sinθ + ˆj θ θ ˆ sinθ ˆ ˆ cosθ cosθi i + sinθ j+ ˆj θ θ 1 ( cosθi ˆ sinθ ˆ + j) + ( sinθi ˆ + cosθ ˆ j) θ 1 uˆ ˆ + uθ θ 7

8 Άσκηση Δείξτε ότι για τη συνάρτηση f(, ) +, (, ) (,) ( ), (, ) (,) ισχύει πως f (,) f (,) Λύση Για (, ) (,) βάσει του κανόνα παραγώγισης πηλίκου παίρνουμε: f ( )( ) (, ) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) Για (, ) (,) χρησιμοποιούμε τον ορισμό της μερικής παραγώγου: f( + h,) f(,) f (, ) lim lim h h h h ή d d d f (,) f(,) d d d ( ) + Για (, ) (,) βάσει του κανόνα παραγώγισης πηλίκου παίρνουμε: 8

9 ( )( ) ( + ) ( ) f(, ) ( + ) ( + ) Για (, ) (,) χρησιμοποιούμε τον ορισμό της μερικής παραγώγου: f(, + h) f(, ) f (, ) lim lim h h h h ή ( ) + d d d f (,) f(, ) d d d Για τον υπολογισμό των μικτών παραγώγων στο (,) χρησιμοποιούμε τον ορισμό: f ή h 4 h + h 5 h f (, ) (,) ( ) 4 + h f + h (, ) lim lim lim h 1 h h h h h h + f (,) f (, ) 1 1 d d d d d και f ή d d 4 d d d 4 ( + ) h + 4 h + h 5 h f (,) (,) ( ) 4 + h f h + (, ) lim lim lim h 1 h h h h h h 4 f (,) f (,) ( ) ( 1) d d + + d d 4 d d ( + ) d d 9

10 Έτσι f (,) f (,). Αυτό συμβαίνει γιατί οι f, f δεν είναι συνεχείς στο (,) 1

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)