Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Θέυα πτυχιακής εργασίας: Εισαγωγή στην Οικονομετρία Υποβληθείσα στην Υπεύθυνη Καθηγήτρια Πολυχρονίδου Περσεφόνη από την φοιτήτρια Βαλάκου Κασσιανή Καβάλα 2012

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κατάλογος σχημάτων και Πινάκων... 4 Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 1. Έννοια της Οικονομετρίας Αντικείμενο της Οικονομετρίας Σκοποί της Οικονομετρίας Κεφάλαιο 2. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων 1. Εισαγωγή Πειράματα τύχης, ενδεχόμενα, δειγματικοί χώροι Πειράματα τύχης Δειγματικοί χώροι Βασικές πράξεις ενδεχομένων Προσδιορισμός δειγματικού χώρου Δυνατότητες και Πιθανότητες Καταγραφή ενδεχόμενων και δενδροδιάγραμμα Λογισμός Πιθανοτήτων...19 Ασκήσεις Κεφάλαιο 3. Το γραμμικό Υπόδειγμα: Απλή Παλινδρόμηση 1. Εισαγωγή Κλασσική Γραμμική Παλινδρόμησης Η κατανομή της Υ και η Γραμμή Παλινδρομήσεως Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Ιδιότητες της γραμμής Παλινδρομήσεως του Δείγματος Στατική Επαγωγή: Βασικά Αποτελέσματα Συντελεστής Προσδιορισμού Συντελεστής Συσχετίσεως Στατική Επαγωγή: Έλεγχος του Υποδείγματος Έλεγχος του συντελεστή Συσχετίσεως Έλεγχος Κανονικότητας του Διαταρακτικού όρου Ο χρόνος ως Ερμηνευτική μεταβλητή Ασκήσεις Κεφάλαιο 4. Το Γραμμικό Υπόδειγμα: Πολυμεταβλητή Παλινδρόμηση 1. Εισαγωγή Το Κλασικό Γραμμικό Υπόδειγμα Βασικές Υποθέσεις

3 2.2 Περιγραφή του Υποδείγματος με Μήτρες Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Οι κανονικές εξισώσεις Οι κανονικές εξισώσεις με μήτρες Συντελεστής Προσδιορισμού Γενικά Έλεγχος του Υποδείγματος Ασκήσεις Κεφάλαιο 5. Πολυσυγραμμικότητα και Ετεροσκεδαστικότητα Πολυσυγραμμικότητα Εισαγωγή Συνέπειες της Πολυσυγραμμικότητας Ο συντελεστής Διόγκωσης της διακυμάνσεως Δείκτης ή Αριθμός Καταστάσεως Ετεροσκεδαστικότητα Εισαγωγή Συνέπειες της Ετεροσκεδαστικότητας Έλεγχος του υποδείγματος όταν υπάρχει Ετεροσκεδαστικότητα Κριτήρια ελέγχου για Ετεροσκεδαστικότητα Κριτήριο Bartlett Κριτήριο Goldfeld-Quandt Κριτήριο Glejser Κριτήριο Breusch-Pagan-Goldfrey Κριτήριο White Εκτίμηση του Υποδείγματος Εκτίμηση του υποδείγματος όταν υποθέτουμε τη μορφή της Ετεροσκεδαστικότητας Εκτίμηση του υποδείγματος όταν εκτιμάμε τις Διακυμάνσεις Ασκήσεις Βιβλιογραφία

4 Κατάλογος Σχημάτων και Πινάκων Σχήματα Σχήμα 1: Ένωση δύο ενδεχομένων...16 Σχήμα 2: Τομή δύο ενδεχομένων...17 Σχήμα 3: Διαφορά δύο ενδεχομένων...17 Σχήμα 4: Συμπλήρωμα δύο ενδεχομένων...17 Σχήμα 5: Καταγραφή ενδεχομένων με δενδροδιάγραμμα...19 Σχήμα 6: Άθροιση Πιθανοτήτων Σχήμα 2.1: Κατανομή τιμών Υ και Χ Σχήμα 2.2: Μεταβλητότητα της Υ λόγω μεταβολών της Χ...38 Σχήμα 2.3: Ιστόγραμμα καταλοίπων Πίνακες Πίνακας 1: Παράδειγμα τυχαίας επιλογής Πίνακας 2: Παράδειγμα σε όρους πιθανοτήτων Πίνακας 3: Εύρεση Γραμμής Παλινδρομήσεως με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων Πίνακας 4: Ετήσιες παρατηρήσεις Ακαθάριστου Εγχώριου Προϊόντος Πίνακας 5: Εκτίμηση του υποδείγματος με μήτρες Πίνακας 6: Εκτίμηση του υποδείγματος εάν υπάρχει Ετεροσκεδαστικότητα Πίνακας 7: Κριτήριο Goldfeld-Quandt Πίνακας 8: Κριτήριο Goldfeld-Quandt Πίνακας 9: Εκτίμηση Παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων

5 Πρόλογος Η εργασία αυτή έχει σαν σκοπό την ενημέρωση των φοιτητών του Τ.Ε.Ι. για τα μαθήματα της Οικονομετρίας τα οποία διδάσκονται αν όχι σε όλα, στα περισσότερα Τμήματα Οικονομικών σχολών. Η Οικονομετρία αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους κλάδους της Οικονομικής Επιστήμης για αυτό και είναι αναγκαία η δημιουργία σημειώσεων πάνω στο θέμα αυτό καθώς και η εισαγωγή στον κλάδο αυτό έστω και με απλά παραδείγματα. Η εργασία αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Αναλυτικότερα από την Εισαγωγή στην οποία αναλύουμε την έννοια της Οικονομετρίας, τους σκοπούς της καθώς και το αντικείμενό της. Στο Κεφάλαιο 2 αναλύεται η Βασική Θεωρία των Πιθανοτήτων, ειδικότερα γίνεται ανάλυση των Πειραμάτων τύχης, ενδεχομένων και του δειγματικού χώρου όπως και προσδιορισμός αυτού και αναλύεται και ο λογισμός Πιθανοτήτων. Το Κεφάλαιο 3 αναφέρεται στο Γραμμικό Υπόδειγμα στο οποίο εξετάζεται η εκτίμηση και ο έλεγχος του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος. Στο Κεφάλαιο 4 εξετάζεται η πολυμεταβλητή Παλινδρόμηση και τα αποτελέσματα αυτής. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 εξετάζουμε το πρόβλημα της Πολυσυγραμμικότητας και αυτό της Ετεροσκεδαστικότητας. 5

6 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1. Έννοια της οικονομετρίας Οικονομετρία είναι ο κλάδος της οικονομικής επιστήμης, που ασχολείται με την εμπειρική εκτίμηση των οικονομικών σχέσεων (Ανδρικόπουλος, 1998). Η οικονομετρία αναφέρεται κυρίως στην ποσοτική πλευρά της οικονομικής επιστήμης και προσπαθεί να δώσει εμπειρικό περιεχόμενο στις «αφηρημένες» σχέσεις της οικονομικής θεωρίας. Στην οικονομετρία, η μαθηματικό - οικονομική και η στατιστική ανάλυση και έρευνα χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με κύριο σκοπό την εκτίμηση αυτών των σχέσεων καθώς και τον έλεγχο της οικονομικής θεωρίας ( Χρήστου, 2007). Το περιεχόμενο της οικονομετρίας με αυτό της Μαθηματικής Οικονομικής ή της στατιστικής πολλές φορές δεν ταυτίζονται, αντιθέτως η οικονομετρική ανάλυση χρησιμοποιεί τις συναρτησιακές σχέσεις της οικονομικής θεωρίας και αφού τις μετατρέψει σε μαθηματικές, κατασκευάζει ένα υπόδειγμα για να τις εκτιμήσει. Γι αυτή την εκτίμηση χρησιμοποιεί στατικές μεθόδους οι οποίες είναι προσαρμοσμένες στα χαρακτηριστικά των οικονομικών φαινομένων. Πιο συγκεκριμένα, η οικονομετρία εφαρμόζει στατιστικές μεθόδους για: Την εκτίμηση οικονομικών σχέσεων Τον έλεγχο των οικονομικών θεωριών, δηλαδή υποθέσεων σχετικά με την οικονομική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων και Την πρόβλεψη της συμπεριφοράς των μεταβλητών που συμπεριλαμβάνονται σε μια οικονομική σχέση. 6

7 Με άλλα λόγια η οικονομετρία αποτελεί συνδυασμό: α) οικονομικής θεωρίας, β) στατιστικής θεωρίας και γ) γεγονότων που σκοπό έχουν να ελέγξουν εμπειρικά ορισμένες σχέσεις ανάμεσα στις οικονομικές μεταβλητές. Α. Οικονομική θεωρία Η θεωρία που αποτελεί ένα από τα βασικά στοιχεία σε κάθε οικονομική εργασία, εκφράζει την οικονομική σχέση που μπορεί να υπάρχει ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες οικονομικές μεταβλητές. Οι οικονομικές θεωρίες εκφράζονται ως συναρτησιακές σχέσεις οι οποίες είναι σχέσεις ακριβείς ή προσδιοριστικές (Ανδρικόπουλος, 1998). Για παράδειγμα η Κεϋνσιανή συνάρτηση καταναλώσεως : Ο = α + β Υ Όπου Ο είναι οι καταναλωτικές δαπάνες και Υ είναι το διαθέσιμο εισόδημα Είναι μια προσδιοριστική σχέση, όπου η μεταβλητή Ο είναι εξαρτημένη ή ενδογενής μεταβλητή και η Υ είναι η ανεξάρτητη ή εξωγενείς μεταβλητή. Δηλαδή για κάθε τιμή της Υ αντιστοιχεί μία και μόνο τιμή για την μεταβλητή Ο. Αυτό όμως δεν ισχύει στη σημερινή εποχή. Τα σημεία που προσδιορίζονται από τις παρατηρήσεις της ελληνικής οικονομίας και κατανάλωσης τα τελευταία χρόνια δεν θα βρίσκονται όλα σε μια ευθεία γραμμή αλλά θα υπάρχουν αποκλίσεις. Οι αποκλίσεις αυτές μπορούν να ληφθούν υπόψη βάσει μιας τυχαίας μεταβλητής οπότε η προσδιοριστική σχέση μετατρέπεται σε στοχαστική. Στο παράδειγμα μας γίνεται: Ο = α + Β Υ + υ 7

8 Όπου η είναι η τυχαία μεταβλητή η οποία επηρεάζει τη συμπεριφορά κατανάλωσης. Με την μεταβλητή η θα ασχοληθούμε αργότερα. Προς το παρόν θέλουμε να επισημάνουμε ότι τα οικονομικά φαινόμενα είναι φαινόμενα στοχαστικά, δηλαδή οι οικονομικές σχέσεις περιλαμβάνουν και τυχαίους παράγοντες που αγνοούνται όμως από την Μαθηματική Οικονομική. Αυτό το κενό ανάμεσα στις προσδιοριστικές σχέσεις της οικονομικής θεωρίας και την οικονομική πραγματικότητα καλύπτει η οικονομετρία με τη στοχαστική θεώρηση των οικονομικών σχέσεων. Για παράδειγμα ας πάρουμε το Κεϋνσιανό υπόδειγμα προσδιορισμού του εισοδήματος: 0= α + βυ Υ=0 + I όπου 0 είναι η κατανάλωση Υ είναι το εισόδημα και I είναι η επένδυση που είναι σταθερή (ανεξάρτητη από το εισόδημα). Η Μαθηματική Οικονομική αφού εκφράσει την οικονομική θεωρία κατασκευάζοντας ένα υπόδειγμα ασχολείται με τη συμπεριφορά των εξωγενών και ενδογενών μεταβλητών. Δηλαδή τι θα συμβεί στο εισόδημα και στην κατανάλωση αν οι επενδύσεις μεταβληθούν; Το εισόδημα όπως γνωρίζουμε θα αυξηθεί ή θα μειωθεί ανάλογα με την αύξηση ή μείωση των επενδύσεων. Η Μαθηματική Οικονομική όμως δεν μπορεί να δώσει απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Για να δώσει απάντηση θα πρέπει να γνωρίζουμε την οριακή ροπή για κατανάλωση δηλαδή το συντελεστή β. Η Οικονομετρία με κατάλληλες μεθόδους που ονομάζονται οικονομετρικές μπορεί να εκτιμήσει τις παραμέτρους του υποδείγματος (Χρήστου, 2007). 8

9 Β. Δεδομένα Όπως αναφέρεται παραπάνω, η οικονομετρία είναι κλάδος της οικονομικής επιστήμης που ασχολείται με την εκτίμηση των οικονομικών σχέσεων. Για την εκτίμηση αυτή είναι απαραίτητο ο ερευνητής να έχει στατιστικά στοιχεία για την εξαρτημένη και την ανεξάρτητη μεταβλητή στο οικονομετρικό υπόδειγμα. Αν ο ερευνητής θέλει να ερευνήσει τη μεταβλητικότητα των καταναλωτικών δαπανών θα χρειαστεί διαχρονικά χρονολογικές σειρές για το εισόδημα και τις καταναλωτικές δαπάνες. Αν ο ερευνητής θέλει να ερευνήσει μια οικονομική σχέση για μία χρονική περίοδο, σε αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητα διαστρωματικά στοιχεία για την εκτίμηση του υποδείγματος. Ανεξάρτητα από το είδος των στοιχείων που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν σε μια εκτίμηση τα στοιχεία αυτά χρειάζονται επεξεργασία πριν χρησιμοποιηθούν σε μια οικονομετρική μελέτη (Ανδρικόπουλος, 1998). Γ. Στατιστική Το επόμενο βήμα στην οικονομετρική ανάλυση είναι η εκτίμηση του υποδείγματος, η οποία εκτίμηση γίνεται με μία σειρά από οικονομετρικές τεχνικές οι οποίες είναι επεκτάσεις των κλασικών στατιστικών μεθόδων. 2. Αντικείμενο της Οικονομετρίας Η Οικονομετρία ασχολείται με τη διατύπωση συμπερασμάτων αναφορικά με τις σχέσεις και τις αλληλεξαρτήσεις που υπάρχουν μεταξύ των μεταβλητών του οικονομικού συστήματος, χωρίς όμως να προσδιορίζει τις σχέσεις αυτές ποσοτικά. Η θεωρία λοιπόν περιορίζεται στη διατύπωση ποιοτικών αιτιωδών σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών, χωρίς όμως να τις προσδιορίζει ποσοτικά. Παραδείγματος χάρη, η θεωρία της ζήτησης αναφέρεται στη σχέση μεταξύ τιμής και 9

10 ζητούμενης ποσότητας και μας λέει ότι υπάρχει αρνητική συσχέτιση μεταξύ αυτών. Η θεωρία δεν μπορεί να απαντήσει σε αυτό το ερώτημα δηλαδή πόσο θα είναι η ποσοτική επίδραση της αύξησης της τιμής ενός αγαθού κατά 10% πάνω στη ζητούμενη ποσότητα; Αντιθέτως μας λέει μόνο ότι όταν αυξάνεται η τιμή μειώνεται η ζήτηση του, ενώ όταν μειώνεται η τιμή του αγαθού η ζήτηση του αυξάνεται. Οι γνώσεις που μας παρέχει η θεωρία είναι σχετικά περιορισμένες σε σχέση με τις πραγματικές σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των οικονομικών μεταβλητών. Για αυτό η σωστή ποσοποποίηση των οικονομικών σχέσεων προϋποθέτει το συνδυασμό της οικονομικής θεωρίας, των μαθηματικών καθώς και της στατιστικής. Η ανάγκη απόκτησης εξειδικευμένων γνώσεων πάνω στους τομείς αυτούς οδήγησε στη ανάπτυξη της οικονομετρίας σαν ξεχωριστού κλάδου της οικονομικής επιστήμης. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η οικονομετρία ασχολείται με την εμπειρική επαλήθευση των συμπερασμάτων της οικονομικής θεωρίας και τη διατύπωση ποσοτικών νόμων ή σχέσεων αναφορικά με τη συμπεριφορά των οικονομικών φαινομένων. Επίσης η οικονομετρία σαν σκοπό έχει την ανακάλυψη νέων σχέσεων και την διατύπωση νέων θεωρημάτων τα οποία ερμηνεύουν αξιόλογες πλευρές της πολύπλοκης πραγματικότητας (Κιντής, 1990). 3. Σκοποί της οικονομετρίας Η οικονομετρική έρευνα πραγματοποιείται για έναν ή περισσότερους από τους παρακάτω σκοπούς: Α) Τον έλεγχο ή την επαλήθευση της σημαντικότητας των οικονομικών θεωριών. Ο έλεγχος μιας θεωρίας ή μιας υποθέσεως είναι έλεγχος των προβλέψεων της θεωρίας ή της υποθέσεως. Ο όρος πρόβλεψη 10

11 δεν αναφέρεται μόνο στο μέλλον αλλά μπορεί να αναφέρεται στο παρελθόν. Η ορθότητα και η ακρίβεια των προβλέψεων της θεωρίας, η ικανότητα δηλαδή της θεωρίας να εξηγεί το φαινόμενο ελέγχεται μόνο με αναφορά στα πραγματικά δεδομένα. Ο έλεγχος της θεωρίας επιτυγχάνεται με μεθόδους και τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί από την Θεωρητική Οικονομετρία κα αφορά είτε τη σημαντικότητα μιας συγκεκριμένης θεωρίας είτε την επιλογή μεταξύ ανταγωνιστικών θεωριών. Το πρώτο βήμα για τον έλεγχο μιας θεωρίας είναι να εκφράσουμε τη θεωρία μαθηματικά, δηλαδή να διατυπώσουμε το υπόδειγμα. Αν η θεωρία συμβιβάζεται με τα πραγματικά δεδομένα τότε η θεωρία επαληθεύεται και είναι δεκτή, αν όμως η θεωρία δεν συμβιβάζεται με τα πραγματικά δεδομένα τότε δεν είναι δεκτή και τροποποιείται με βάση τα καινούργια δεδομένα. Β) Την άσκηση αποτελεσματικής οικονομικής πολιτικής Οι αριθμητικές τιμές των παραμέτρων είναι απαραίτητες για την διαμόρφωση και την άσκηση συνεπούς οικονομικής πολιτικής από τους κρατικούς φορείς και τις επιχειρήσεις, καθώς και για την αξιολόγηση των επιπτώσεων που θα έχει στις διάφορες οικονομικές μεταβλητές. Για παράδειγμα αν το Υπουργείο Εθνικής Οικονομίας διαμορφώνει την οικονομική πολιτική, πρέπει να έχει γνώση των ποσοτικών επιπτώσεων που θα έχουν τα διάφορα μέτρα που παίρνει σε διάφορους τομείς. Αν και κατά πόσο θα ελαττωθεί η κατανάλωση θα εξαρτηθεί κυρίως από την ελαστικότητα της ζητήσεως του. Επομένως η χρησιμότητα της Οικονομετρίας για την άσκηση οικονομικής πολιτικής είναι φανερή και σπουδαία. 11

12 Γ) Τη διενέργεια προβλέψεων Η εκτίμηση των οικονομικών υποδειγμάτων αποβλέπουν συχνά στην πραγματοποίηση προβλέψεων. Η σημασία τους για τη μελλοντική πορεία των διάφορων οικονομικών μεγεθών είναι αρκετά φανερή. Αποτελούν βάση για ένα ορθολογικότερο προγραμματισμό και μια ορθολογικότερη λήψη αποφάσεων, είτε σε επίπεδο μακροοικονομικό (κράτος) είτε μικροοικονομικό (επιχειρήσεις). Με άλλα λόγια οι προβλέψεις είναι απαραίτητες για τον έλεγχο και τη λήψη αναγκαίων μέτρων και αποφάσεων που θα επηρεάσουν τις διάφορες τιμές των οικονομικών μεταβλητών. Οι προβλέψεις διακρίνονται σε βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες. Αν αυτές δεν είναι σωστές τότε και οι αποφάσεις όπως είναι λογικό θα είναι λανθασμένες. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι αξιόπιστες προβλέψεις μπορούν να γίνουν σε πλαίσια μίας συστηματικής και ολοκληρωμένης οικονομετρικής ανάλυσης. 12

13 ΚΕΦΆΛΑΙΟ 2:Βασική θεωρία Πιθανοτήτων 1. Εισαγωγή Τελικός σκοπός της στατιστικής και οικονομετρικής ανάλυσης είναι η εξαγωγή αξιόπιστων συμπερασμάτων για τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται το δείγμα ή για τη θεωρία σύμφωνα με την οποία διαμορφώθηκαν τα δεδομένα του δείγματος. Ο βαθμός αξιοπιστίας των συμπερασμάτων πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να είναι δυνατή η χρησιμοποίηση τους στη λήψη αποφάσεων σε καταστάσεις που χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητα. Για τον σκοπό αυτό είναι ανάγκη να περάσουμε από την απλή περιγραφή των δεδομένων του δείγματος στον χώρο της στατιστικής επαγωγής. Η γέφυρα που ενώνει τον χώρο της περιγραφικής στατιστικής με τον χώρο της στατιστικής επαγωγής είναι η θεωρία των πιθανοτήτων. Χωρίς αυτή τη θεωρία είναι αδύνατο να συναντηθούν αυτοί οι δύο χώροι. Η πιθανοθεωρία παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στη διατύπωση συμπερασμάτων ή επαγωγικών προτάσεων. Σε μία κατάσταση που δεν ξέρουμε τι πρόκειται να συμβεί είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τι θα συμβεί προκειμένου να προβλέψουμε τι είναι πιθανόν να συμβεί. Με άλλα λόγια, σε μια κατάσταση που είναι αβέβαιη είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν πρώτα όλα τα ενδεχόμενα και στη συνέχεια να διατυπωθούν κρίσεις αναφορικά με την ευκαιρία (πιθανότητα) που έχει κάθε ενδεχόμενο να εμφανιστεί. 13

14 2. Πειράματα τύχης, ενδεχόμενα και δειγματικοί χώροι 2.1 Πειράματα τύχης Ως πείραμα θεωρείται κάθε πράξη ή διαδικασία που μπορεί να επαναλαμβάνεται κάτω από σταθερές συνθήκες. Παράδειγμα, η ρήψη ενός νομίσματος η φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Αποτέλεσμα του πειράματος είναι οτιδήποτε προκύπτει κάθε φορά που γίνεται η διαδικασία. Τα πειράματα που τα αποτελέσματα τους δεν είναι γνωστά ή δεν μπορούν να προβλεφθούν με βεβαιότητα εκ των προτέρων ονομάζονται πειράματα τύχης. Τα αποτελέσματα ενός τέτοιου πειράματος ονομάζονται απλά ενδεχόμενα ή γεγονότα. Έτσι λοιπόν αν το πείραμα είναι η ρήψη ενός ζαριού τα πιθανά αποτελέσματα είναι οι αριθμοί 1,2,3,4,5,6. Αν το πείραμα είναι η γέννηση ενός παιδιού τα αποτελέσματα είναι αγόρι (Α) ή κορίτσι (Κ) καθώς και ΑΑ, ΚΚ, ΑΚ, ΚΑ. Επίσης μπορούμε να έχουμε μια συλλογή ενδεχομένων. Η συλλογή αυτή ονομάζεται σύνθετο ενδεχόμενο ή απλώς ενδεχόμενο. Παράδειγμα, έστω δύο καλοί μαθητές οι οποίοι συναγωνίζονται για δύο διαφορετικά βραβεία. Ποια είναι τα αποτελέσματα; Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι τα ενδεχόμενα είναι: (0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (1,1) και (0,2) όπου το (0,0) κανένας από τους δύο δεν πήρε κανένα από τα δύο βραβεία. Αναλόγως και τα υπόλοιπα. Μπορούμε να σημειώσουμε ότι από τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν τα εξής: Α = { (1,0), (0,1)} Β = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} Γ = {(1,1)} Όπου το Α είναι ένα ενδεχόμενο που παριστάνει την περίπτωση ένας μαθητής να παίρνει το πρώτο βραβείο και ο άλλος το 14

15 δεύτερο. Το Γ δείχνει ότι και οι δύο μαθητές παίρνουν από ένα βραβείο. Οι συλλογές αυτές αποτελούν νέα ενδεχόμενα. Τα ενδεχόμενα αυτά θα ονομαστούν ανεξάρτητα εάν δεν επηρεάζει η εμφάνιση του ενός την εμφάνιση του άλλου και αμοιβαίως αποκλειόμενα γεγονότα εάν η εμφάνιση του ενός εμποδίζει την εμφάνιση του άλλου. Επίσης μπορούμε να διακρίνουμε τα ενδεχόμενα σε βέβαια και πιθανά. Βέβαια είναι τα γεγονότα που θα συμβούν οπωσδήποτε και πιθανά είναι τα γεγονότα τα οποία δεν είμαστε σίγουροι ότι θα συμβούν. 2.2 Δειγματικοίχώροι Δειγματικός χώρος είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων μιας πειραματικής διαδικασίας και παριστάνεται συνήθως με 8. Τα στοιχεία ενός δειγματικού χώρου αποτελούν τα δεδομένα που έχει στη διάθεση του ο ερευνητής για να αναλύσει. Οι δειγματικοί χώροι διακρίνονται σε διακριτούς και συνεχούς. Διακριτός είναι ο δειγματικός χώρος που από πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος απλών ενδεχομένων και συνεχής είναι οποιοσδήποτε άλλος δειγματικός χώρος. Σημαντικό είναι να αναφέρουμε ότι ο δειγματκός χώρος που αντιστοιχεί σε ένα πείραμα τύχης δεν είναι πάντοτε μοναδικός. Έστω ότι το πείραμα είναι το στρίψιμο δύο νομισμάτων, ένας δειγματικός χώρος είναι : καμία κορώνα, μία κορώνα, δύο κορώνες, δηλαδή: 8ι = {0, Κ, ΚΚ} Ένας άλλος δειγματικός χώρος είναι : κορώνα και στις δύο όψεις των νομισμάτων, κορώνα στο πρώτο και γράμματα στο δεύτερο, γράμματα στο πρώτο και κορώνα στο δεύτερο, γράμματα και στα δύο, δηλαδή: 15

16 8 2 = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Η διαφορά των δύο δειγματικών χώρων είναι ότι ένα στοιχείο του 8ι υποδιαιρείται σε δύο στοιχεία στο Βασικές πράξεις ενδεχομένων Όπως αναφέρθηκε ήδη ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης αποτελείται από όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. Πρόκειται για το πιο σημαντικό σύνολο στον χώρο της θεωρίας των πιθανοτήτων και της δειγματοληψίας. Εάν χρησιμοποιήσουμε κάποιες έννοιες όπως της τομής, της ένωσης, της διαφοράς, του συμπληρωματικού συνόλου κ.α. μπορούμε από δύο ή περισσότερα σύνολα να παράγουμε ένα. Ένωση δύο ενδεχομένων Α και Β του δειγματικού χώρου 8 είναι το ενδεχόμενο Α u Β το οποίο διαβάζεται Α ένωση Β. Είναι το ενδεχόμενο όπου περιλαμβάνει αποτελέσματα που ανήκουν είτε στο Α είτε στο Β, είτε και στα δύο. Γραφικά η ένωση παριστάνεται με το σχήμα 1. Σχήμα 1 Η ύπαρξη της ένωσης Α^Β προϋποθέτει ότι έχει συμβεί ή το Α ή το Β ή και τα δύο. Τομή δύο ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου 8 είναι το ενδεχόμενο ΑηΒ, το οποίο διαβάζεται Α τομή Β και περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που είναι κοινά στο Α και στο 16

17 Β. Για να υπάρξει το ενδεχόμενο ΑηΒ πρέπει να έχει συμβεί τόσο το Α όσο και το Β. Όταν Α ηβ =0 δηλαδή όταν η τομή ένιαι ίση με το αδύνατο τότε τα Α και Β ονομάζονται ξένα ή ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. Οι περιπτώσεις αυτές απεικονίζονται στο σχήμα 2. Σχήμα 2 Διαφορά δύο ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου 8 είναι το Α - Β το οποίο διαβάζεται Α μείον Β και περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β (σχ. 3)..Συμπλήρωμα του ενδεχομένου Α ενός δειγματικού χώρου 8 είναι το ενδεχόμενο Α το οποίο περιλαμβάνει τα αποτελέσματα του δειγματικού χώρου που δεν περιέχονται στο Α αλλά ανήκουν στο 8 (σχ. 4). Σχήμα 3 Σχήμα 4 17

18 3.Προσδιορισμός δειγματικού χώρου 3.1 Δυνατότητες και πιθανότητες Η θεωρία πιθανοτήτων ασχολείται με τους κανόνες προσδιορισμού των πιθανοτήτων με τις οποίες αναμένεται να συμβούν τυχαία φαινόμενα ή γεγονότα που αποτελούν αντικείμενο έρευνας. Προτού όμως προσδιορίσουμε τι είναι πιθανόν να συμβεί πρέπει να γνωρίζουμε τι είναι δυνατόν να συμβεί. Τα δυνατά αποτελέσματα σχηματίζουν τον δειγματικό χώρο. Προσπαθώντας να διαμορφώσουμε τον δειγματικό χώρο αντιμετωπίζουμε δύο προβλήματα: α) το θέμα καταγραφής όλων των δυνατών ενδεχομένων και β)το πρόβλημα του αν γνωρίζουμε πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν. 3.2 Καταγραφή ενδεχομένων: δενδροδιάγραμμα Το θέμα καταγραφής των ενδεχομένων φαίνεται απλό αλλά δεν είναι και τόσο. Για παράδειγμα ας πάρουμε το στρίψιμο ενός νομίσματος 3 φορές. Ο δειγματικός χώρος θα είναι: 8 = { ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} Αντίστοιχα ο δειγματικός χώρος θα γινόταν με το δενδροδιάγραμμα κάπως έτσι: 18

19 Σχήμα 5 Δενδροδιάγραμμα 1η ΦΟΡΑ Κ 2η ΦΟΡΑ Κ Γ 3η ΦΟΡΑ Κ Γ - Κ Γ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΚΚ ΚΚΓ ΚΓΚ ΚΓΓ ΑΡΧΗ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ ΓΚΚ * ΓΚΓ ΓΓΚ > ΓΓΓ Το σχήμα 5 ονομάζεται δενδροδιάγραμμα και αποτελεί τον δειγματικό χώρο. 4. Λογισμός Πιθανοτήτων Θεώρημα 1 Νόμος πρόσθεσης πιθανοτήτων. Για οποιοδήποτε από τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: P(AuB) = Ρ(Α) + P(B) - P(AnB) Δηλαδή η πιθανότητα να συμβεί το Α ή το Β ή και τα δύο ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων των Α και Β μείον την πιθανότητα να συμβούν και τα δύο ταυτοχρόνως. Η σχέση εμφανίζεται παραστατικά στο σχήμα 6. 19

20 Σχήμα 6 Απόδειξη α) (Α^Β) = Α^(ΒηΑ') και Αη(ΒηΑ')= 0 Συνεπώς: β) Ρ(Λ^Β)= Ρ(Α) + Ρ(ΒηΛ) Ούτως ή άλλος: γ) Β= (ΑηΒ)^(ΒηΑ') και (ΑηΒ) η (Α'ηΒ)= 0 Άρα ρ (β )= Ρ(ΛηΒ)=Ρ(Β^Λ) ή δ) Ρ(ΒηΛ)=Ρ(Β) - Ρ(ΛηΒ) Μετά από αντικατάσταση στη β) έχουμε: Ρ(Λ^Β) = Ρ(Λ)+Ρ(Β)-Ρ(ΛηΒ) Παράδειγμα Στρίβουμε ένα ιδανικό νόμισμα δύο φορές. Από την σχέση που προκύπτει παραπάνω συνάγεται ότι Ρ(Λ^Β)<Ρ(Λ)+Ρ(Β). Έστω ότι Α είναι το ενδεχόμενο της κορώνας την πρώτη φορά και Β το ενδεχόμενο να πετύχουμε κορώνα και την δεύτερη φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον μία κορώνα κατά τις δύο ρίψεις, δηλαδή ποια είναι η Ρ(Λ^Β); Άρα: 20

21 Ρ(Α) =2/4=4 Ρ(Β)= 2/4=^ και Ρ(ΑηΒ)= Α Συνεπώς: Ρ(Α^Β)= -1/4=3/4 Το θεώρημα 1 μπορεί να επεκταθεί εύκολα σε περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι η σχέση γίνεται: Ρ(Α^Β^Ο) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Ο) - Ρ(ΑηΒ) - Ρ(ΑηΟ) - -Ρ(ΒηΟ) + Ρ(ΑηΒηΟ) Όλα τα παραπάνω μας επιτρέπουν να εισαγάγουμε τρεις έννοιες. Πρόκειται για τις έννοιες από κοινού πιθανότητας, της οριακής πιθανότητας και της υπό συνθήκη ή δεσμευμένης πιθανότητας. Στην καλύτερη κατανόηση των παραπάνω εννοιών θα βοηθήσει και ο πίνακας 1, στον οποίο εμφανίζονται 200 φοιτητές τυχαία επιλεγμένοι. Το ερώτημα είναι ποια η πιθανότητα να επιλεγεί ένα άτομο κατά τύχη το οποίο να είναι αγόρι ή καπνιστής; Πίνακας 1 Φύλο Καπνίζουν (Β) Δεν καπνίζουν (Β ) Σύνολο Αγόρι(Α) Κορίτσια(Κ) α = 60 γ = 40 β =50 δ =50 α + β= 110 γ + δ = 90 Σύνολο α + γ =100 β + δ =100 Ν = 200 Όπου Ν= α + β+ γ + δ = 200 είναι το μέγεθος του δείγματος. 21

22 Κατόπιν ο πίνακας σε όρους πιθανότητας: Πίνακας 2 Φύλο (Β) (Β ) Οριακή Πιθανότητα (Α) (Κ) Ρ (Αη Β) Ρ (Κη Β Ρ (Αη Β') Ρ (η Β') Ρ (Λ) Ρ (Β) Οριακή Πιθανότητα Ρ (Β) Ρ (Β ) 1 Ορισμός (Από κοινού πιθανότητες) Οι πιθανότητες στο κύριο σώμα του πίνακα ονομάζονται από κοινού πιθανότητες. Η Ρ(ΛηΒ) δίνει την πιθανότητα της τυχαίας επιλογής ενός ατόμου, το οποίο να είναι αγόρι και καπνιστής. Με παρόμοιο τρόπο γίνεται και η ερμηνεία των υπόλοιπων πιθανοτήτων. Βάσει του θεωρήματος παραπάνω και των πινάκων 1 και 2 έχουμε: α Ρ(ΛηΒ) = = 60/200 = 0,300 Ρ(ΛηΒ ) = = 50/200 = 0,250 Ν 7 Ρ(ΚηΒ) = = 40/200 = 0,200 22

23 c P(KnB') = - = 50/200 = 0,250 N Ορισμός ( Οριακές Πιθανότητες) Οι πιθανότητες P(A) και P(K), P(B) και P(B ) καλούνται οριακές πιθανότητες. Η P(A) δίνει την πιθανότητα η τυχαία επιλογή να δώσει ως αποτέλεσμα το αγόρι ανεξάρτητα με το αν είναι ή όχι καπνιστής. Το ίδιο και η P(K) δίνει την πιθανότητα η τυχαία επιλογή να είναι κορίτσι ανεξάρτητα αν αυτό καπνίζει ή όχι και η P(B) δίνει την πιθανότητα η τυχαία επιλογή να είναι ή αγόρι ή κορίτσι και καπνιστής. Στο παράδειγμά μας οι οριακές πιθανότητες είναι: P(A) = 110 =0.500 P(K) = = P(B) = 100 =0.500 P(B) = 100 = Εναλλακτικά, το ερώτημα μπορεί να γίνει: ποια είναι η πιθανότητα ο φοιτητής ορισμένου φύλου (π.χ. κορίτσι) να είναι καπνιστής ή ένας από τους καπνίζοντες να είναι αγόρι; Οι πιθανότητες αυτής της κατηγορίας ονομάζονται υπό περιορισμό ή δεσμευμένες πιθανότητες και συμβολίζονται με P(B/A). Βάσει του πίνακα 1 μπορούμε να πάρουμε τις εξής πιθανότητες: P(B/A) = - α - =60/110=0,545 a + β P(A/B) =-^ ~ =60/100=0,600 a + γ P(B'/A) = -Α - =50/110=0,455 a + β 23

24 P(K/B) = - ^ - = =0,400 v J a + γ 100 P(B/K) = - ^ - = =0,444 γ + δ 90 P(A/B') = -A - = 00 =0,500 V β + δ 100 P(B'/K) = = 50 =0,556 V J γ + δ 90 P(K/B ) = = 00 =0,500 V β + δ 100 Ισχύει : P(B/A) + P(B'/A) = 1 p (b /k ) + p (b '/k ) = 1 Επίσης μπορούμε να διατυπώσουμε τον εξής ορισμό: Ορισμός(Δεσμευμένη πιθανότητα) Έστω S ένας διακριτικός δειγματικός χώρος και Β ένα ενδεχόμενο του S με P(B)>0. Η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α του S, δοθέντος του Β, συμβολίζεται με P(A/B), ονομάζεται υπό περιορισμό ή δεσμευμένη πιθανότητα και ορίζεται από τη σχέση: (3.1) P(A/B) = P(AnB)/P(B) =από κοινού πιθανότητα του Β και Β/ οριακή πιθανότητα του Β Επίσης, εάν P(A)>0 τότε η πιθανότητα P(B/A) συμβολίζεται: (3.2) P(B/A) = P(AnB)/ P(B) = από κοινού πιθανότητα του Α και Β / οριακή πιθανότητα του Β 24

25 Ο παραπάνω ορισμός βοηθάει στην εύρεση της πιθανότητα ενός ενδεχομένου, όταν αυτή προέρχεται από την πιθανότητα επέλευσης ενός άλλου ενδεχομένου του ίδιου δειγματικού χώρου και όταν τα δύο ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα. Καλό είναι να αναφερθούν και τα ακόλουθα σημεία σε σχέση με τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας: α) Οι δεσμευμένες πιθανότητες ΡΑ/Β) και Ρ(Β/Α) δεν είναι απαραίτητα ίσες, αλλά είναι ίσες μόνο όταν Ρ(Α)=Ρ(Β) >0. β) Ο συμβολισμός Ρ(Α/Β) δεν υποδηλώνει ότι το Β προηγείται πάντοτε του Α. Το αποτέλεσμα δεν αλλάζει αν το Β προηγηθεί του Α, αν συμβεί ταυτόχρονα με το Α ή συμβεί μετά το Α. γ) Ο ορισμός (3.1) ικανοποιεί τα τρία αξιώματα της πιθανοθεωρίας τα οποία είναι: ^ Ρ(Α/Β)>0, Ρ(Β)>0 ^ Ρ(Β/Β)=1 ^ Αν τα ενδεχόμενα Α1 και Α2 είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους τότε: Ρ[Αι/Β) ή (Α2/Β)] = Ρ(Αι/Β) + Ρ ^ /Β ) Ορισμός (Κανόνας ανεξάρτητων ενδεχομένων) Έστω ότι Α και Β δύο ενδεχόμενα του διακριτού δειγματικού χώρου 8 με Ρ(Α)>0 και Ρ(Β)>0. Τα ενδεχόμενα αυτά ονομάζονται ανεξάρτητα ή στοχαστικά ανεξάρτητα όταν η δεσμευμένη πιθανότητα του Α, δοθέντος του Β, ισούται με την οριακή πιθανότητα του Α. Αυτό μας δείχνει ότι η πιθανότητα να εμφανιστεί το Α δεν επηρεάζεται από την πιθανότητα επέλευσης του Β. Έτσι έχουμε: (3.3) Ρ(Α/Β) = Ρ(Α) Από τις σχέσεις (3.2) και (3.3) παίρνουμε: 25

26 (3.4) Ρ(ΛηΒ)/Ρ(Β) = Ρ(Α), Ρ(Β)>0 Επίσης από την (3.4) έχουμε: (3.5) Ρ(ΑηΒ)/Ρ(Α) = Ρ(Β) όπου είναι η Ρ(Β/Α) και εδώ ισχύει Ρ(Α)>0. Συνεπώς: (3.6) Ρ(Β/Α) = Ρ(Β) Οι σχέσεις (3.4) και (3.6) εκφράζουν το γεγονός ότι αν το Α είναι ανεξάρτητο από το Β, τότε και το Β είναι ανεξάρτητο από το Α. Επίσης από τις σχέσεις (3.4) και (3.5) συνάγεται ότι: (3.7) Ρ(ΑηΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β) Έτσι καταλήγουμε στο εξής: Δύο ενδεχόμενα Α και Β με Ρ(Α)>0 και Ρ(Β)>0 ονομάζονται ανεξάρτητα ή στοχαστικά, ανεξάρτητα αν ισχύει μία από τις ακόλουθες σχέσεις: 1. Ρ(Α/Β) = Ρ(Α) ή 2. ρ (β /α ) = ρ (β ) ή 3. Ρ(ΛηΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β). Η τελευταία σχέση δηλώνει ότι δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους εάν, και μονο εάν, η απο κοινού πιθανότητα ισούται με το γινόμενο των αντίστοιχων οριακών πιθανοτήτων. Αξίζει να σημειωθεί ότι η σχέση (3.7) ισχύει ανεξάρτητα από το αν Ρ(Α)>0 και Ρ(Β)>0.Ειδικότερα όταν Ρ(ΑηΒ) = 0 Επειδή Ρ(Α) = 0 ή Ρ(Β) = 0 ή και τα δύο είναι ίσα με το μηδέν, τα ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται αμοιβαία αποκλειόμενα. 26

27 Ακόμα, αν τα ενδεχόμενα Α και Β ένιαι ανεξάρτητα τότε ισχύουν τα εξής: α) Τα Α και Β' είναι ανεξάρτητα β) Τα Α' και Β είναι ανεξάρτητα γ) Τα Α' και Β' είναι ανεξάρτητα. Θεώρημα 2 Νόμος πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας έχουμε: (3.8) Ρ(ΛηΒ) = Ρ(Β)Ρ(Α/Β) και (3.9) Ρ(ΑηΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β/Α) Οι δύο παραπάνω εξισώσεις εκφράζουν τον νόμο ή τον κανόνα πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων. Στην περίπτωση όπου τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα ο νόμος εκφράζεται από την σχέση (3.7). 27

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Τρεις κύβοι (ζάρια), κάθε ένας από τους οποίους φέρει στις όψεις του τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6, ρίχνονται στο δάπεδο. Να σχηματιστεί ο σχετικός δειγματικός χώρος. 2. Δύο αμερόληπτοι κύβοι ρίχνονται στο δάπεδο. Ν α προσδιοριστούν τα ακόλουθα ενδεχόμενα: α) Α= { το άθροισμα να διαιρείται με 3} β) Β= {και οι δύο αριθμοί ναι είναι περιττοί} γ) 0= { και οι δύο αριθμοί να είναι ίσοι} δ) Ό= {οι αριθμοί να διαφέρουν τουλάχιστον κατά 3} ε) Να βρεθούν ακόμα τα ακόλουθα: ΛηΒ, Λ^Β, και Β-Α 3. Μία κατασκευαστική εταιρεία μπορεί να ολοκληρώσει 0,1, ή 2 πολυκατοικίες των ιδίων απαιτήσεων σε ένα χρόνο. Να κατασκευαστεί δενδροδιάγραμμα που να δείχνει ότι υπάρχουν 6 τρόποι με τους οποίους η εταιρεία μπορεί να ολοκληρώσει ακριβώς 2 πολυκατοικίες σε τρία χρόνια. 4. Η εξασφάλιση δωματίου σε ένα ξενοδοχείο μπορεί να γίνει με αλληλογραφία(ταχυδρομικώς), τηλεφωνικώς ή με άμεση επίσκεψη χωρίς προηγούμενη κράτηση. Η πολιτική του ξενοδοχείου είναι οι κρατήσεις με αλληλογραφία να πληρώνονται τοις μετρητοίς, με επιταγή ή με πιστωτική κάρτα, ενώ οι τηλεφωνικές κρατήσεις μπορούν να πληρώνονται τοις μετρητοίς ή με πιστωτική κάρτα. Τέλος, όσοι δεν έχουν κάνει κρατήσεις εκ των προτέρων πρέπει να πληρώνουν τοις μετρητοίς. Να κατασκευαστεί το δενδροδιάγραμμα που να δείχνει τους τρόπους με τους οποίους μπορεί να κρατηθεί ένα δωμάτιο, καθώς και τον τρόπο πληρωμής. 28

29 5.Επιλέγεται τυχαίο δείγμα 200 ιδιοκτητών Ι.Χ. αυτοκινήτων και ερωτούνται πως επέλεξαν το αυτοκίνητο που κατέχουν: με κριτήριο τις επιδόσεις του αυτοκινήτου ή με κριτήριο την εξωτερική εμφάνιση; Οι απαντήσεις έχουν ως εξής: Φύλο Χαρακτηριστικά αυτοκινήτου ιδιοκτητών Εμφάνιση Επίδοση Σύνολο Άνδρες Γυναίκες Σύνολο α)ποια είναι η πιθανότητα που ένας ιδιοκτήτης Ι.Χ. αυτοκινήτου έκανε την επιλογή του με κριτήριο την εμφάνιση; β)ποια είναι η πιθανότητα που οι άνδρες ιδιοκτήτες Ι.Χ. αυτοκινήτου έκαναν την επιλογή με κριτήριο την επίδοση; γ)ποια είναι η πιθανότητα που οι γυναίκες ιδιοκτήτριες Ι.Χ. αυτοκινήτου έκαναν την επιλογή με κριτήριο την εμφάνιση; 6. Αν Α και Β είναι δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα με Ρ(Α) = 0.40 και Ρ(Β) = 0.55 να εκτιμηθούν: α) Ρ(Α/Β) β) Ρ(ΑηΒ) γ) P(AuB) 29

30 ΚΕΦΆΛΑΙΟ 3: Το Γραμμικό Υπόδειγμα: Απλή παλινδρόμηση Ι.Εισαγωγή Έστω ότι θέλουμε να ερευνήσουμε εμπειρικά την σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις δαπάνες και στο διαθέσιμο εισόδημα βάσει ενός δείγματος με Τ οικογένειες για μια δεδομένη χρονική περίοδο. Δηλαδή, έχουμε Τ ζεύγη από παρατηρήσεις (Υχ, Χχ) όπου Υχ είναι οι δαπάνες καταναλώσεως της οικογένειας Xκαι Χχ είναι το διαθέσιμο εισόδημα της οικογένειας. Οπότε η σχέση είναι: Υχ= βο + βι X (3.1) Η σχέση (3.1) είναι προσδιοριστική και σημαίνει ότι όλες οι οικογένειες με το ίδιο διαθέσιμο εισόδημα έχουν τις ίδιες, δηλαδή ίσες, δαπάνες καταναλώσεως. Αυτό όμως στην πραγματικότητα δεν ισχύει και η σχέση (3.1) δεν ικανοποιείται από όλα τα ζεύγη των Τ παρατηρήσεων. Οι διαφορές ή οι αποκλίσεις λαμβάνονται υπόψη με την προσθήκη της μεταβλητής π Δηλαδή η σχέση γίνεται: Υχ= βο + βι Χχ + Π (3.2) Γενικά μπορούμε να πούμε ότι μία οικονομική σχέση αποτελείται από δύο μέρη: το συστηματικό μέρος το οποίο είναι η προσδιοριστική ή η ακριβής σχέση, και το μη συστηματικό το οποίο αποτελείται από τη «γέφυρα» ανάμεσα στο συστηματικό μέρος της οικονομικής θεωρίας και στα πραγματικά δεδομένα της οικονομικής ζωής. Στην περίπτωση μας, η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις δαπάνες καταναλώσεως και στο εισόδημα χωρίζεται στο συστηματικό μέρος βο + β1 Χχ και στο μη συστηματικό που παριστάνεται από τον διαταρακτικό όρο(επειδή διαταράσσει την προσδιοριστική σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις μεταβλητές Υ και X) πχ. 30

31 2. Κλασική Γραμμική Παλινδρόμηση Η σχέση (3.2) αποτελεί την οικονομετρική μορφή της γραμμικής σχέσης που υποθέτουμε ότι συνδέει τις μεταβλητές Υ και Χ. Σύμφωνα με τη σχέση (3.2) για κάθε τιμή της Χ δεν υπάρχει μια μόνο τιμή για την Υ αλλά μια ολόκληρη κατανομή τιμών (σχ. 2.1). Στο σχήμα (2.1) αν υποθέσουμε ότι Χ είναι το οικογενειακό εισόδημα και Υ οι δαπάνες καταναλώσεως τότε, όταν το εισόδημα είναι Χι, τότε το Υ μπορεί να είναι Υι, Υι" κ.ο.κ. Γενικά, δεδομένου ότι το εισόδημα είναι ΧΙ, οι δαπάνες καταναλώσεως μπορεί να είναι Υ^,Υ/' κ.ο.κ. Σχήμα 2.1 Υ Υ Ί Χι Υ'ι IX Υ3 ΊΧ3 ΥΙΧ3 ΥΓ ΙΧι Υ ι ΙΧι Χΐ Χ2 Χ3 Χ Χ Μία ολοκληρωμένη εξειδίκευση του υποδείγματος της παραπάνω γραμμικής σχέσης ανάμεσα στην Υ και Χ περιγράφεται από τις ακόλουθες σχέσεις: Υι= βο + βΐ Χι + ««ι * (0, σ2) (3.2) (3.3) 31

32 α) είναι τυχαία μεταβλητή β) Eut = 0 γ) Eut = σ2 Eutus =0 για t Φ s (3.4) Η μεταβλητή Χ δεν είναι στοχαστική. Οι τιμές της παραμένουν σταθερές και δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους. (3.5) Η πρώτη σχέση αναφέρεται στη γραμμική σχέση που συνδέει τις μεταβλητές Υ και Χ. Δηλαδή ότι κάθε τιμή Yt, είναι γραμμική συνάρτηση της τιμής Xt, συν τον διαταρακτικό όρο ut. Η μεταβλητή Υ είναι εξαρτημένη μεταβλητή ενώ η Χ είναι ανεξάρτητη μεταβλητή. Η σχέση (3.3) σημαίνει ότι α) η μεταβλητή ut είναι τυχαία μεταβλητή η οποία παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές, αλλά κατά μέσο όρο η τιμή της είναι μηδέν. Και β) ότι η διακύμανση αυτής της μεταβλητής είναι σταθερή για όλες τις τιμές της Χ. Δηλαδή η διασπορά των τιμών της μεταβλητής ut δεν αλλάζει όταν μεταβάλλεται η τιμή της Xt, αλλά παραμένει ίδια. Η σχέση (3.4) σημαίνει ότι οι διαταρακτικοί όροι δε συσχετίζονται μεταξύ τους και ότι επομένως η συνδιακύμανση του όρου αυτού της παρατηρήσεως t, με τον διαταρακτικό όρο οποιασδήποτε άλλης παρατηρήσεως s είναι μηδέν. Δηλαδή: Cov (ut, us) = E(ut - ut)(ut - Eus) = Eutus = 0 αφού Eut = Eus = 0, σύμφωνα με την υπόθεση (3.3. β) Αν υποθέσουμε ότι οι διαταρακτικοί όροι είναι ανεξάρτητοι τότε έχουμε την εξής υπόθεση: ut «iid(0, σ ) Δηλαδή οι μεταβλητές ub u2,..., ut είναι ανεξάρτητες και έχουν την ίδια κατανομή. 32

33 Η σχέση (3.5) αναφέρεται στην ερμηνευτική μεταβλητή Χ. Υποθέτουμε ότι η μεταβλητή Χ δεν είναι στοχαστική και πως οι τιμές της παραμένουν σταθερές. Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε ένα μεγάλο αριθμό δειγμάτων για τις Υ και Χ μεγέθους Τ, οι τιμές της Χ δεν μεταβάλλονται από δείγμα σε δείγμα, αλλά παραμένουν σταθερές. Οι τιμές φυσικά του διαταρακτικού όρου μεταβάλλονται όπως και οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής. Η υπόθεση αυτή δείχνει ότι η διακύμανση της μεταβλητής Χ και του διαταρακτικού όρου είναι μηδέν. Δηλαδή: Οον(Χ υ) = 0 ή Ε (Χ υ) = 0 αφού Εαί=0, σύμφωνα με την υπόθεση (3.3.β) Οι υποθέσεις (3.2) - (3.5) αποτελούν το υπόδειγμα της κλασικής γραμμικής παλινδρομήσεως, στο οποίο μπορούμε να εκφράσουμε τις κλασικές μεθόδους για να εκτιμήσουμε τις άγνωστες παραμέτρους β0,βι και σ. 2.1 Η Κατανομή της Υ και η Γραμμή Παλινδρομήσεως Η μεταβλητή Υ στη σχέση (3.2) είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής υ άρα η Υ είναι τυχαία μεταβλητή. Άρα η κατανομή της Υ είναι κατανομή υπό συνθήκη. Μπορούμε να δείξουμε ότι ο μέσος Ε(Υί) και η διακύμανση Υ(Υί) της Υ δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: Ε(Υί) = β0 + βιχ (3.6) Υ(Υ,) = σ2 (3.7) Απόδειξη α) Από τον ορισμό της προσδοκώμενης τιμής 33

34 Ε (Υ ) = Ε(βο + βιχ, + υο = Ε(βο) + Ε (β ιχ ) + Ε(π,) Ό μ ω ς Ε (β0) = 0 για τί β0 είναι μία παράμετρος Ε ^ Χ, ) = β 1Χ ΐ για τί βι είναι μια παράμετρος και X, είναι μια σταθερά Ε(υ,) = 0 σύμφω να με την υπόθεση (3.3β) Ά ρα Ε(Υ,) = βο + βιχ, β) Α πό τον ορισμό της διακυμάνσεω ς Υ(Υ,) = Ε[Υ, - Ε Υ,]2 Υ,. βο + βιχ, + υ, και ΕΥ, = βο + βιχ, άρα ν (Υ,) = Ε[βο + βιχ, + υ, - βο + βιχ,]2 = Ε[υ,]2 = σ2 Η μεταβλητή μας Υ ακολουθεί μια κατανομή με μέσο Ε(Υ,) = 2 βο + β 1Χ, και διακύμανση ν (Υ,) = σ. Η σχέση (3.7) ονομάζεται γραμμή παλινδρομήσεως στον πληθυσμό. 3. Η Μ έθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Γ ια την εκτίμηση του υποδείγματος της γραμμικής παλινδρομήσεω ς χρησιμοποιούμε τη μέθοδο τω ν ελαχίστω ν τετραγώ νω ν για τί είναι απλή και οι εκτιμητές που προκύπτουν έχουν πολλές ιδιότητες. Η μέθοδος τω ν ελαχίστω ν τετραγώ νω ν βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος τω ν τετραγώ νω ν τω ν αποκλίσεω ν τω ν δειγματοληπτικώ ν τιμώ ν του Υ από τις θεω ρητικές τιμές, δηλαδή: 34

35 ί = ί ( + 6ο- ύ Χ = Μ2 ί=\ ΐ=\ 3.1 Ιδιότητες της Γραμμής Παλινδρομήσεως του Δείγματος Οι ιδιότητες της γραμμής παλινδρομήσεως Υ - βο + β\ Χ που εκτιμάμε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι: α) Η γραμμή παλινδρομήσεως του δείγματος διέρχεται από το σημείο που ορίζεται από το μέσο Υ και Χ. β) Το άθροισμα των τιμών της Υ από το δείγμα είναι ίσο με το άθροισμα των τιμών που υπολογίζουμε από την παλινδρόμηση, δηλαδή - ΣΥ (3.8) Η σχέση (3.8) αποδεικνύεται πολύ εύκολα : Αθροίζουμε τη σχέση Υ* = β0 + β\χ για όλες τις τιμές ή άρα: /ν Λ Λ Σ Υ = Τ βο + β\ ΣΧ Από την πρώτη όμως σχέση έχουμε : ΣΥ = Τ βο + βχσχ Τα πάνω μέρη των σχέσεων είναι ίσα οπότε ΣΥ = Σ Υ γ) Το άθροισμα των καταλοίπων είναι μηδέν: Σ υ = 0 35

36 δ) Οι τιμές των καταλοίπων και οι τιμές της ανεξάρτητης Χ δεν συσχετίζονται: ΣΧ ύ = 0 ε)το άθροισμα των γινομένων των καταλοίπων και των τιμών Υ που υπολογίζονται από την παλινδρόμηση του δείγματος είναι μηδέν: Σ Υ ύ = 0 Παράδειγμα Τα στοιχεία του πίνακα αναφέρονται στην αξία των εισαγωγών καταναλωτικών αγαθών και στο διαθέσιμο εισόδημα σε σταθερές τιμές 1970 για την περίοδο Οι σχετικοί υπολογισμοί που απαιτούνται για τον υπολογισμό των τιμών των συντελεστών είναι: ΣΥ= 129,463 ΣΧ2= ,622 Σχ2= 67706,579 ΣΧ= 2966,315 ΣΥ2= 1151,018 Σχγ= ΣΧΥ= 26541,949 Χ = 185,394 Σγ Τ= 16 Υ = 8,091 Για να βρούμε την συνάρτηση των εισαγωγών καταναλωτικών /V Λ αγαθών πρέπει να βρούμε τους συντελεστές β 0 και β. β - Σ χ Α, - Υ - β X = * =

37 Οπότε η συνάρτηση γίνεται: Υ = Χ! Ο συντελεστής β1 παριστάνει την οριακή ροπή για εισαγωγές καταναλωτικών αγαθών. Η εκτίμηση της είναι 0,0375 που σημαίνει ότι αν το διαθέσιμο εισόδημα αυξάνεται κατά δις δρχ. οι εισαγωγές καταναλωτικών αγαθών θα αυξηθούν κατά 37,5 δις δρχ. Δηλαδή το 3,75% του διαθέσιμου εισοδήματος απορροφάται από τις εισαγωγές καταναλωτικών αγαθών. Πίνακας 3 έτος Υ Χ Υ υ Αξία εισαγωγών καταν. Αγαθών(δις.δρχ) Διαθέσιμο εισόδημα Λ Υπολογισμένες τιμές Λ Κατάλοιπα , ,508 5, , , ,497 5, , , ,875 5,333-0, , ,676 5, , , ,118 6, , , ,140 6, , , ,338 6, , , ,456 7, , , ,420 7, , , ,895 8,373 0, , , , , , , ,461 0, , ,471 10,158-0, , , ,185-0, , , ,995-1, , , ,087 0,052 37

38 4. Στατιστική Επαγωγή: Βασικά Αποτελέσματα 4.1 Συντελεστής Προσδιορισμού Είδαμε ότι : Υί = β0 + βιχ( + που περιγράφει τη σχέση των οικονομικών μεταβλητών Υ και Χ. Ο όρος β0 + βιχ( αποτελεί το συστηματικό μέρος ενώ υί παριστάνει το διαταρακτικό όρο ή τυχαίο όρο. Δηλαδή μέρος της μεταβλητότητας που παρατηρείται στις τιμές της Υ οφείλεται στις μεταβολές της Χ, δηλαδή στο συστηματικό μέρος. Με τη γραμμή παλινδρομήσεως προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε τη μεταβλητότητα της Υ που εξηγείται από τις μεταβολές στην τιμή της Χ. Η μεταβλητότητα της Υ είναι: Υ = ς (υ -Ϋ )2 (3.9) Σχήμα 2.2 Από το σχήμα 2.2 βλέπουμε ότι η απόκλιση της I της Υ από τον μέσο, μπορεί να γραφτεί : 38

39 υ, - υ = (υ, - γ)+υ ή 3, = Ρ, + υ, όπου γ ί= Υ ί - Υ = απόκλιση τιμής του δείγματος από τον μέσο 3), = Υ, - Υ = απόκλιση της υπολογισ μ ένης τιμής από τον μέσο /V υ = Υ - Υ ί είναι η απόκλιση της τιμής του δείγματος από τη γραμμή παλινδρομήσεω ς Υ ψ ώ νοντας και τα δύο μέρη στο τετράγω νο έχουμε: Σ (υ- υ)2 =Σ[(υ- υ)+ υ ί =Σ(Υ-υ)2+Σ υ2+2σ υ (Υ-υ) Α λλά 2Σ υ (Υ - Υ) =2Σ «Υ - 2ΥΣ υ =0 οπότε Σ ( Υ - Υ ) 2 = Σ ( Υ " Υ ) 2 + Σ υ 2 (3.10) Σ 2 ~2. Λ2 3 = Σ 3 + Σ υ Έ χο υ μ ε χω ρίσει λοιπόν τη μεταβλητότητα της Υ σε δύο μέρη: στο μέρος που εξηγείται από τις μεταβολές της Χ και στο μέρος που οφ είλεται στους τυχαίους παράγοντες. Η αναλογία της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που ερμηνεύεται από την παλινδρόμ ηση ονομάζεται συντελεστής προσδιορισμού και παρισ τάνεται με Κ2. Δηλαδή: 39

40 Λ2 Σ(υ- υ)2 Συ2 Σ(υ- ϋ)2 Σ υ2 (3.11) Διαιρώντας τα δύο μέρη της σχέσης (2.10) με έχουμε:! Σ(Υ - υ)2, Σ υ2 _Στ +Σ 1/ τ τ \2 ττ\2 Χ~*..2 'V '1 Σ(υ - ϋ)2 Σ(ϋ - ϋ)2 Συ2 Συ ~2 2 Σ ( ϋ - ϋ 2) (3.12) Άρα ο συντελεστής προσδιορισμού είναι Λ2 = 1 Συ2!_Σ Λ 2 υ Σ(υ - υ)2 Σ υ 2 (3.13) Ο συντελεστής προσδιορισμού δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές μεγαλύτερες από το ένα δηλαδή 0<Κ2<1 Ο συντελεστής προσδιορισμού αποτελεί ένα δείκτη του πόσο «καλό» είναι το υπόδειγμα που έχουμε εκτιμήσει. σο μεγαλύτερη είναι η τιμή του Κ2 τόσο καλύτερη είναι η προσαρμογή του υποδείγματος στα δεδομένα του δείγματος και όσο μικρότερη είναι η τιμή του Κ2 τόσο φτωχότερη είναι η προσαρμογή της γραμμής παλινδρομήσεως στα δεδομένα του δείγματος. 4.2 Συντελεστής Συσχετίσεως Όπως είναι γνωστό ως μέτρο βαθμού συσχετίσεως δύο τυχαίων μεταβλητών χρησιμοποιείται ο όρος ρ που ορίζεται ως: σχυ ρ = σχσυ όπου σχυ είναι η συνδιακύμανση των Χ και Υ 40

41 σχ είναι η τυπική απόκλιση της Χ συείναι η τυπική απόκλιση της Υ. ως εκτιμητής του ρ χρησιμοποιείται ο συντελεστής συσχετίσεως του δείγματος που είναι: ς (χ - χ )(υ - υ ) _ Σχγ Γ 7 ς (χ - X)2 λ/(υ - υ )2 ^Σϊ 7 λσ 2 (3.14) Ο συντελεστής συσχετίσεως του δείγματος είναι ένας εκτιμητής του συντελεστή συσχετίσεως στον πληθυσμό (ρ) Και όπως είπαμε, το ρ είναι μία άγνωστη παράμετρος της συνδυασμένης κατανομής δύο τυχαίων μεταβλητών, ενώ ο συντελεστής προσδιορισμού αναφέρεται στην αναλογία της μεταβλητότητας της Υ που ερμηνεύει η μεταβλητή Χ. Ο συντελεστής συσχετίσεως είναι μέτρο μόνο της γραμμικής συσχετίσεως ή εξαρτήσεως δύο μεταβλητών. 5. Στατιστική Επαγωγή: Έ λεγχος του υποδείγματος Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με την ανάπτυξη της κλασσικής γραμμικής παλινδρόμησης χωρίς να καθορίσουμε την κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής ηί. Αν υποθέσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή, τότε θα έχουμε το υπόδειγμα της κλασσικής κανονικής γραμμικής παλινδρόμησης. Δηλαδή η υπόθεση (3.3) αντικαθίσταται με την υπόθεση : ^ ~ Ν (0,σ2) 5.1 Έλεγχος του Συντελεστή Συσχετίσεως Ο έλεγχος του συντελεστή συσχετίσεως, δηλαδή ο έλεγχος της υποθέσεως πως ο συντελεστής συσχετίσεως στον πληθυσμό ρ, 41

42 είναι μηδέν, είναι ο ίδιος με τον έλεγχο του συντελεστή βι. Για τον έλεγχο του συντελεστή υπολογίζουμε την στατιστική: τ4τ - 2 1= ν Γ -τγ και απορρίπτουμε την υπόθεση ότι ρ=0 εάν: ί ^ ΐα/2,Τ-2 Σύμφωνα με το παράδειγμα μας γ 0.96^ * = άρα Επειδή η τιμή του * από τους πίνακες για α=0,05 είναι μικρότερη, δηλαδή 2,145 < 12,8 απορρίπτεται η μηδέν υπόθεση ότι ο συντελεστής συσχετίσεως στον πληθυσμό είναι μηδέν. 5.2 Έλεγχος κανονικότητας του Διαταρακτικού Όρου Η κανονικότητα του όρου αυτού σ ένα γραμμικό υπόδειγμα είναι μία υπόθεση που δεν ελέγχεται τόσο συχνά. Ένας όμως τρόπος με τον οποίο μπορεί να ελεγχθεί είναι με τον έλεγχο - Β0 Γα ο οποίος βασίζεται στα κατάλοιπα που δημιουργούνται από την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ο έλεγχος αυτός γίνεται με τη στατιστική: ΙΒ=Τ V6 + ( * - 32 ) 24 (3.15) Όπου S είναι η ασυμμετρία και k είναι η κύρτωση της κατανομής των καταλοίπων. Υπενθυμίζουμε ότι για μια τυχαία μεταβλητή Χ η ασυμμετρία ορίζεται από την σχέση: 42

43 Σ(X, - X ) 3 8= τ$ 3 (3.16) Όπου Σ(X, - X)2 τ Η κύρτωση ορίζεται βάσει την τέταρτη κεντρική ροπή και υπολογίζεται από την σχέση: Σ(X - X )4 k = (3.17) Τ84 Αν η μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή τότε 8=0 και k=3. Όταν η μηδέν υπόθεση ότι ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί την κανονική κατανομή είναι σωστή, η στατιστική ΙΒ ακολουθεί ασυμπτωτικά την κατανομή Χ με δύο βαθμούς ελευθερίας. Η μηδέν υπόθεση απορρίπτεται για υψηλές τιμές της στατιστικής ΙΒ, πράγμα που σημαίνει χαμηλές τιμές Ρ. Παράδειγμα ο Πίνακας 2, αν εξετάσουμε τα κατάλοιπα που δίνονται μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ακολουθούν την κανονική κατανομή. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το ιστόγραμμα των καταλοίπων. Από τα κατάλοιπα υπολογίστηκαν τα ακόλουθα: 8= 0,0035, k= ΙΒ= Λ Επειδή για α=0,05 και 2 βαθμούς ελευθερίας Χ = 5,99>ΙΒ = 0,527 δεν απορρίπτεται η μηδέν υπόθεση ότι τα κατάλοιπα ακολουθούν την κανονική κατανομή. Η τιμή Ρ= 0,76, η οποία είναι αρκετά μεγάλη για να μη γίνει δεκτή η μηδέν υπόθεση. 43

44 Σ χήμα Ο χρόνος ως Ερμηνευτική Μεταβλητή Σ υνήθω ς οι οικονομικές μεταβλητές αυξάνονται ή μειώ νονται ανάλογα με το χρόνο. Ο ι οικονομικές μεταβλητές δηλαδή χαρακτηρίζονται με τον όρο χρονική τάση δηλαδή είναι η διαχρονική αύξηση ή μείω ση τω ν τιμώ ν της οικονομικής μεταβλητής. Α ν η σχέση που συνδέει το χρόνο με τη μεταβλητή είναι γραμμική, αν δηλαδή η τάση είναι γραμμική τότε το υπόδειγμ α είναι: Υ = βο + βιχ + u Ό π ου Χ είναι ο χρόνος. Γ ια ν α χρησιμοποιήσουμε το χρόνο θα πρέπει πρώ τα ν α καθορισ τεί η αρχή από την οποία αρχίζει η μέτρηση καθώ ς και η μονάδα μέτρησης. Α ν για παράδειγμ α είχαμε τις ετήσιες παρατηρήσεις για το G D P για τη περίοδο η μεταβλητή Χ θα μπορούσε ν α είναι: 44

45 Α) Χ=1985,1986, ,1999 Β) Χ=1,2,3,...,15 Γ) Χ= -7,-6,-5,...,5,6,7 Και στις τρεις περιπτώσεις η μονάδα μέτρησης είναι το έτος αλλά η αρχή μέτρησης είναι η αρχή του συμβατικού ημερολογίου, στην δεύτερη περίπτωση είναι το έτος 1985 και στην τρίτη είναι το έτος Παράδειγμα Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ετήσιες παρατηρήσεις για το Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν της Ελλάδας για την περίοδο σε σταθερές τιμές Η εκτιμημένη παλινδρόμηση είναι Χί _ X για Χ=1,2,...,15 και Κ2=0.97 Άρα το σταθερό ποσό αύξησης του Πραγματικού ΑΕΠ κατά την περίοδο είναι ,06 δισεκ. δραχμές. 45

46 Πίνακας 4 Έτος ΑΕΠ Χρόνος Υ Χ

47 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να αποδείξετε ότι οι σχέσεις Σ υ 0 και ΣΧυ 0 αποτελούν μια άλλη μορφή των κανονικών εξισώσεων. /V 2. Να δείξετε ότι ο εκτιμητής β ο που προκύπτει από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι α) αμερόληπτος εκτιμητής του β0 και β) άριστος γραμμικός αμερόληπτος εκτιμητής του β0. 3. Έστω οι ακόλουθες υποθετικές παρατηρήσεις για τη ζήτηση ενός αγαθού Α. Υ= ποσότητα (σε κιλά) Χ= τιμή κιλού (σε δρχ.) 13,0 13,5 13,2 13,0 14,0 1,7 α)αν η συνάρτηση της ζήτησης είναι της μορφής Υ=β0+β1Χ+α να εκτιμηθούν οι παράμετροι β0 και β1 με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. β)να υπολογιστεί η ελαστικότητα της ζήτησης στο σημείο ( X. Ϋ ). γ)σχολιάστε τα αποτελέσματα από οικονομική άποψη(αναφερθείτε στα πρόσημα των εκτιμήσεων και στο μέγεθος τους). δ)να αξιολογήσετε τα αποτελέσματα με βάση στατιστικά κριτήρια (υπολογίστε τον συντελεστή προσδιορισμού, τα τυπικά σφάλματα των συντελεστών και κάντε ελέγχους σημαντικότητας των συντελεστών). ε)να σχεδιάσετε τον πίνακα αναλύσεως της διακυμάνσεως. στ)να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το συντελεστή β1. ζ)να κατασκευάσετε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη ζητούμενη ποσότητα όταν η τιμή είναι 13,6 δρχ. και ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη συγκεκριμένη ποσότητα όταν η τιμή είναι πάλι η ίδια. η)να ελέγξετε τη σημαντικότητα του συντελεστή συσχετίσεως. 47

48 θ) Ποιες υποθέσεις πρέπει να ισχύουν και γιατί, για να απαντήσουμε σε κάθε ερώτηση; 4. Να δείξετε ότι β \ ' β \ Γ όπου β \ είναι ο συντελεστής παλινδρομήσεως όταν η Χ είναι εξαρτημένη μεταβλητή. Υ - Υ ΥΤ Έστω β *ι Χ τ -X! όπου (Υ\,Χ\) είναι η πρώτη παρατήρηση και (ΥΤ,ΧΤ) η τελευταία, σ ένα δείγμα από Τ παρατηρήσεις. α) Μπορεί ο β*\ να θεωρηθεί εκτιμητής του συντελεστή β\ στο υπόδειγμα Υ=β0+β\Χ+υ; β) Να βρεθούν ο μέσος και η διακύμανσή του. /V γ) Να συγκριθεί με τον εκτιμητή β λ που προκύπτει από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 6.Δίνονται τα υποδείγματα: Υ= β0+β\χ+υ και Υ*=β*0+β*\Χ +υ* Όπου X* Υ* Υ Υ 2 χ ς(χ -Χ )2 η? Υ2 χ ς (υ -Υ )2 η και η το μέγεθος του δείγματος. α) Να βρεθεί η σχέση που μπορεί να υπάρχει ανάμεσα στον εκτιμητή του β*\ και στο συντελεστή συσχετίσεως (γχυ) μεταξύ Χ και Υ. β) Είναι σωστό ότι ο συντελεστής προσδιορισμού του πρώτου Λ υποδείγματος (Κ 2 ) είναι ίσος με το συντελεστή προσδιορισμού του δεύτερου (Κ *); 48

49 7. Δίνονται τα υποδείγματα: Υ=β0+βιΧ+υ και Υ=α0+αι( χ-χ )+υ Να συγκριθούν οι εκτιμητές των συντελεστών α0 και αι με τους αντίστοιχους εκτιμητές των συντελεστών β0 και βι. Τι συμπεράσματα βγάζετε; 8. Με τα δεδομένα για τις ιδιωτικές επενδύσεις σε σταθερές τιμές 1995 α) Να εκτιμηθεί ένα υπόδειγμα γραμμικής τάσης β) Να γίνει έλεγχος κανονικότητας των υπολοίπων. 9. Από ένα δείγμα με 16 παρατηρήσεις εκτιμήθηκε η συνάρτηση Υί= β0+βιχί+υί με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων ως: Υ = 2,5+0,8Χί+ ύ Και υπολογίσθηκε Κ =0.95. Να ελεγχθεί αν υπάρχει σημαντική σχέση γραμμικής εξαρτήσεως μεταξύ Υ και Χ σε α=0,05.να χρησιμοποιήσετε τα κριτήρια ί και Ρ. 49

50 ΚΕΦΆΛΑΙΟ 4: Το Γραμμικό Υπόδειγμα: Πολυμεταβλητή Παλινδρόμηση 1. Εισαγωγή Το υπόδειγμα της απλής γραμμικής παλινδρόμησης που αναπτύξαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο αναφέρεται σε σχέσεις με μία μόνο ερμηνευτική μεταβλητή. Οι περισσότερες όμως οικονομικές μεταβλητές αποτελούν συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών. Έστω ότι Υ=ύ(Χ1,Χ2,...,Χκ), δηλαδή η Υ είναι μία συνάρτηση των Κ ερμηνευτικών μεταβλητών Χ1?Χ2,...,ΧΚ. Εάν υποθέσουμε ότι η σχέση αυτή είναι γραμμική για ένα δείγμα από Τ παρατηρήσεις τότε μπορούμε να πούμε ότι: Υ = βο+βιυι+β2χ βκχκ+υι (4.1) Όπου Χί1 είναι η I παρατήρηση της ερμηνευτικής μεταβλητής Χ19Χΐ2 ή ϊ παρατήρηση της ερμηνευτικής μεταβλητής Χ2 κ.ο.κ. Ο πρώτος δείκτης αναφέρεται στην παρατήρηση και ο δεύτερος στην ερμηνευτική μεταβλητή. Η σχέση αυτή αποτελεί το υπόδειγμα της γραμμικής πολυμεταβλητής παλινδρόμησης. 2. Το Κλασσικό Γραμμικό Υπόδειγμα 2.1 Βασικές Υποθέσεις Οι βασικές υποθέσεις που συνιστούν το κλασικό γραμμικό υπόδειγμα με Κ ερμηνευτικές μεταβλητές είναι σχεδόν οι ίδιες για το διμεταβλητό γραμμικό υπόδειγμα. Οι υποθέσεις οι οποίες πρέπει να ισχύουν πρέπει να είναι οι ακόλουθες: Υ = βθ+β!υ1+β2χ2+...+βκχκ+^ (4.2) 50