ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ-ΕΞΟ ΩΝ (ΜΙΜΟ) ΓΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

Transcript

1 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ-ΕΞΟ ΩΝ (ΜΙΜΟ) ΓΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ. Ζαρµπούτη, Γ. Τσούλος,. I. Κακλαµάνη Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών, Τοµέας Συστηµάτων Μετάδοσης Πληροφορίας & Τεχνολογίας Υλικών Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Αθήνα, Περίληψη Σε αυτήν την εργασία µελετώνται τα συστήµατα ΜΙΜΟ, µε ιδαίτερη έµφαση στη χωρητικότητα που επιτυγχάνεται στα διάφορα περιβάλλοντα λειτουργίας. Αρχικά, παρουσιάζεται ο ορισµός των ΜΙΜΟ συστηµάτων και τα βασικότερα πλεονεκτήµατά τους. Στη συνέχεια δίνεται ο εκτεταµένος τύπος του Shao από τον οποίο µε γραµµικούς µετασχηµατισµούς προκύπτει µια απλοποιηµένη µορφή του. Αναλύεται η χωρητικότητα Rayleigh καναλιού αλλά και η περίπτωση που τα σήµατα εµφανίζονται συσχετισµένα. Τέλος, παρουσιάζονται τα στοχαστικά µεγέθη που χρησιµοποιούνται για την περιγραφή της απόδοσης της χωρητικότητας. Abstract MIMO wireless systems are studied i this paper with particular emphasis o the achieved performace i terms of achieved capacity i differet operatioal eviromets. First the defiitio of a MIMO system is preseted alog with the performace advatages. he, Shao s exteded capacity formula is discussed ad a simplified expressio is derived by applyig liear trasformatios. he paper cocetrates o the capacity of Rayleigh chael but also studies the case where the sigals are submitted to fadig correlatio. Fially, the stochastic quatities used to describe the capacity performace ad detailed simulatio results are preseted.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή στα συστήµατα ΜΙΜΟ Ένα σύστηµα ΜΙΜΟ (Multiple Iput Multiple Output), αποτελείται από ένα ποµπό και ένα δέκτη µε πολλαπλές εισόδους και εξόδους, όπως φαίνεται στο Σχήµα. Οι πολλαπλές αυτές είσοδοι και έξοδοι υλοποιούνται µε στοιχειοκεραίες τόσο στον ποµπό όσο και στο δέκτη. Σχήµα : Σύστηµα ΜΙΜΟ µε Μ εισόδους και Μ R εξόδους. Ποµπός και δέκτης διαθέτουν στοιχειοκεραίες µε αντίστοιχο αριθµό στοιχείων. Σε αντίθεση µε σχεδόν όλες τις µέχρι τώρα τεχνολογίες ασύρµατης επικοινωνίας στα κυψελωτά συστήµατα, τα ΜΙΜΟ συστήµατα βασίζουν την αρχή λειτουργίας τους στην εκµετάλλευση της πολύοδης διάδοσης. Πρακτικά τα ΜΙΜΟ συστήµατα διαθέτουν δύο βασικά πλεονεκτήµατα. Πρώτον, αυξάνουν τη χωρητικότητα και δεύτερον βελτιώνουν την

2 ποιότητα της ζεύξης µε το να ελαχιστοποιούν το µέσο ρυθµό εσφαλµένων συµβόλων (average symbol error rate average SER). Στις επόµενες παραγράφους θα παρουσιάσουµε τη χωρητικότητα ενός ΜΙΜΟ συστήµατος όταν το κανάλι θεωρείται Rayleigh. Θα εξεταστεί η περίπτωση όπου τα σήµατα υπόκεινται µόνο σε επίπεδες διαλείψεις στο χρόνο, το χώρο και τη συχνότητα, ενώ ξεχωριστά θα εξεταστεί η περίπτωση όπου τα εκπεµπόµενα/λαµβανόµενα σήµατα θα υποστούν χωρική συσχέτιση λόγω της ανεπαρκούς απόστασης των στοιχείων των στοιχειοκεραιών του ποµπού/δέκτη.. ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΜΙΜΟ ΚΑΝΑΛΙΟΥ. Μαθηµατική παρουσίαση ενός ΜΙΜΟ καναλιού Με αναφορά στο Σχήµα, όπου ποµπός και δέκτης διαθέτουν Μ Τ και Μ R στοιχεία αντίστοιχα, το κανάλι δίδεται από τον Μ R Μ πίνακα Η. Η(τ,t) h (τ,t) h (τ,t) h (τ,t),,,m h (τ,t) h (τ,t) h (τ,t) h (τ,t) h (τ,t) h (τ,t) M R, M R, M R,M,,,M = Τα στοιχεία του πίνακα Η είναι µιγαδικοί που αντιπροσωπεύουν την εξασθένιση και την ολίσθηση φάσης που εισάγει το κανάλι στο σήµα που φτάνει στο δέκτη µε καθυστέρηση τ. Το στοιχείο h i,j του πίνακα αποτελεί τη συνάρτηση µεταφοράς από το j-οστό στοιχείο του ποµπού στο i-οστό στοιχείο του δέκτη. Έτσι το λαµβανόµενο από το δέκτη σήµα θα είναι: () y(t) = H( τ,t) s(t) () όπου τα s () t = s() t s () t... sm () t και y () t = y() t y () t... ym () t R είναι τα διανύσµατα αποστολής και λήψης διαστάσεων Μ Τ και Μ R αντίστοιχα.. Γενικός τύπος χωρητικότητας για ΜΙΜΟ κανάλι Η χωρητικότητα ενός τηλεπικοινωνιακού συστήµατος που περιγράφεται από τη () και υπόκειται σε γνωστό περιορισµό ισχύος εκποµπής δίνεται από τη σχέση (3). Απόδειξη του εκτεταµένου τύπου του Shao µπορεί να βρεθεί στα [-3]. H ( ) C = max log det I + HRssH tr(r ss ) p (3) όπου Η Η είναι ο αναστροφοσυζυγής του Η, R ss είναι ο πίνακας µεταβλητότητας του διανύσµατος εκποµπής s και p είναι η µέγιστη κανονικοποιηµένη µέση ισχύς εκποµπής... Έκφραση της χωρητικότητας βάσει των ιδιοτιµών του Η Επειδή το τηλεπικοινωνιακό σύστηµα ΜΙΜΟ που αναλύουµε είναι γραµµικό, είναι δυνατό µε µια επιπρόσθετη επεξεργασία, γραµµικής φύσεως, στον ποµπό και στο δέκτη το ΜΙΜΟ σύστηµα να µεταχηµατιστεί σε ένα ισοδύναµο που αποτελείται από = rak(h) ασύζευκτα SISO υποκανάλια, όπου rak(h) είναι ο βαθµός του πίνακα του καναλιού. Το αποτέλεσµα αυτής της επιπλέον επεξεργασίας µεταφράζεται και σε έναν πιο απλοποιηµένο τύπο για την χωρητικότητα που παρουσιάζεται στη σχέση (4), [4].

3 Με τον εξής περιορισµό ισχύος: ( ) k k (4) k= C= log + p ε pk p (5) k= Στη σχέση (4) ε k είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα ΗΗ Η ενώ p k είναι η ισχύς που αποδίδεται στο κάθε υποκανάλι. Από τη σχέση (4) µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η χωρητικότητα του συστήµατος εξαρτάται τόσο από την κατανοµή των ε k όσο και από το p k. Εξαρτάται, δηλαδή, από τον αλγόριθµο που χρησιµοποιείται για την κατανοµή ισχύος στα στοιχεία του ποµπού... Κανάλι άγνωστο στον ποµπό Όταν ο ποµπός δεν έχει γνώση του καναλιού τότε η ισχύς εκποµπής ισοκατανέµεται στα στοιχεία του, µαθηµατικά αυτό εκφράζεται µέσω των εξισώσεων (6): p= p, = M R I (6) k ss M όπου R ss είναι ο πίνακας µεταβλητότητας που χρησιµοποιείται στο γενικό τύπο της (3). Έτσι η έκφραση της χωρητικότητας σε αυτήν την περίπτωση γίνεται[], [4], [6]: p C = log det I + M H HH (7) p C= log + εk (8) k= M Συγκεκριµένα, η (8) εκφράζει τη χωρητικότητα του ΜΙΜΟ καναλιού ως το άθροισµα των χωρητικοτήτων SISO καναλιών που το καθένα έχει κέρδος ισχύος ε k και ισχύ εκποµπής p/μ Τ...3Κανάλι γνωστό στον ποµπό Η χωρητικότητα σε αυτή την περίπτωση δίνεται από τη σχέση (9), [], [6]. γ i p C= log + εk k= M (9) Παρατηρούµε ότι η µόνη διαφορά µε τον τύπο (8) είναι ο συντελεστής γ i. Ο συντελεστής αυτός εκφράζει το ποσοστό ισχύος που αποδίδεται στο i-οστό υποκανάλι, και ισούται µε ενώ αποδεικνύεται ότι ικανοποιεί και τη σχέση: i { i } γ = E s (0) γ i = M. i= Ο σκοπός είναι να βρεθούν τα κατάλληλα γ i τα οποία µεγιστοποιούν την (9). Η µέθοδος που χρησιµοποιεται για τη βέλτιστη εκτίµηση των γ i καλείται waterfillig method και µια περιληπτική περιγραφή της παρουσιάζεται στο [].

4 Ειδικά για την περίπτωση του ποµπού, δύο είναι οι βασικοί τρόποι για να αποκτήσει µια εκτίµηση του καναλιού. Ο πρώτος στηρίζεται στη µέθοδο της ανάδρασης και ο δεύτερος στην αρχή της αµοιβαιότητας. Αναλυτικά οι µέθοδοι µπορούν να βρεθούν στο[]..3 Χωρητικότητα καναλιού Rayleigh Όταν το περιβάλλον σκέδασης είναι εξαιρετικά έντονο τότε το ασύρµατο κανάλι µπορεί να περιγραφεί µε το µοντέλο Rayleigh. Αν επίσης θεωρήσουµε ότι τα στοιχεία των στοιχειοκεραιών ποµπού και δέκτη απέχουν µεταξύ τους τόσο ώστε να µην αναιρούν την ανεξαρτησία των λαµβανόµενων-εκπεµπόµενων σηµάτων που τους παρέχει το πλούσιο περιβάλλον σκέδασης, τότε ο πίνακας Η που περιγράφει το κανάλι ισούται µε τον Η W. Ο πίνακας Η W ορίζεται ως ένας Μ R M πίνακας µε στοιχεία ανεξάρτητες και οµοιόµορφα κατανεµηµένες (iid) µεταβλητές που ακολουθούν την κυκλικά συµµετρική µιγαδική Gauss κατανοµή µε µέση τιµή µηδέν και διασπορά σ =, (ΖMCSCG), (ιδιότητες για τον Η W µπορούν να βρεθούν στα [], [6], [[9]). Έτσι, αντικαθιστώντας Η W H στη (3) προκύπτει η σχέση () η οποία αποτελεί και τον τύπο που θα χρησιµοποιηθεί και στις προσοµοιώσεις για την περίπτωση Rayleigh καναλιού χωρίς συσχέτιση διαλείψεων. p H C = log det I + HW( H W) () M.4 Χωρητικότητα καναλιού Rayleigh µε χωρική συσχέτιση των λαµβανόµενων σηµάτων. Το κανάλι Rayleigh προϋποθέτει επίπεδες διαλείψεις στο πεδίο του χρόνου, του χώρου και της συχνότητας. Ωστόσο τα λαµβανόµενα/εκπεµπόµενα σήµατα στο δέκτη/ποµπό µπορούν να συσχετιστούν εξαιτίας της µειωµένης απόστασης των στοιχείων τους. Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας που περιγράφει το κανάλι δεν µπορεί να περιγραφεί από τον H W. O πίνακας Η τότε µοντελοποιείται ως εξής, []: R W H = R H R () όπου R Τ είναι ο πίνακας µεταβλητότητας στον ποµπό, ενώ R R είναι ο πίνακας µεταβλητότητας στο δέκτη. Το απλοποιηµένο µοντέλο που περιγράφεται στην () κάνει την υπόθεση ότι ο πίνακας R R είναι ίδιος για όλα τα στοιχεία της κεραίας του ποµπού. Πρακτικά, η θεώρηση ισχύει όταν τα στοιχεία της κεραίας του ποµπού απέχουν λίγο µεταξύ τους και διαθέτουν το ίδιο διάγραµµα ακτινοβολίας. Οι ίδιες ακριβώς υποθέσεις γίνονται και για τον πίνακα συσχέτισης R στον ποµπό []. Για την προσοµοίωση ενός τέτοιου καναλιού πρέπει να βρεθούν οι κατάλληλοι πίνακες που να περιγράφουν τους R R, R. Μοντέλα προσδιορισµού των πικάκων αυτών µπορεί να βρεθούν στα [7-8]. 3. ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ Το Rayleigh κανάλι ανήκει στην κατηγορία των στοχαστικών καναλιών τα οποία περιγράφονται µε στοχαστικές ανελίξεις. Η χωρητικότητα τέτοιων καναλιών δίδεται µέσω στατιστικών µεγεθών που καλούνται εργοδική χωρητικότητα (ergodic capacity) και outage capacity [][3]. 3. Εργοδική χωρητικότητα Η εργοδική χωρητικότητα ορίζεται σύµφωνα µε τη σχέση (3).

5 ρ H C= E log det I+ HH M (3) 3. Outage Capacity Το δεύτερο στατιστικό µέγεθος που περιγράφει το στοχαστικό κανάλι είναι η outage capacity. Ορίζεται ως η µέγιστη χωρητικότητα την οποία µπορεί να υποστηρίξει το κανάλι µε συγκεκριµένη πιθανότητα. Συµβολικά περιγράφεται ως C out,q και µαθηµατικά µεταφράζεται σύµφωνα µε τη σχέση (4). ( out,q ) P C C = q% (4) Μπορούµε να περιγράψουµε τη χωρητικότητα C out,q ως την ελάχιστη χωρητικότητα που µπορεί να υποστηρίξει το κανάλι µε πιθανότητα (00-q)%. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ Σε όλα τα διαγράµµατα που ακολουθούν παρουσιάζονται οι συσσωρευτικές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (cumulative distributio fuctios - CDFs) της χωρητικότητας µε διαφορετικές παραµέτρους. 4. Rayleigh κανάλι χωρίς χωρική συσχέτιση των διαλείψεων. Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας του καναλιού δίδεται από τον H W, ο οποίος, ακριβώς εξαιτίας του ορισµού του, είναι πλήρους βαθµού. Ως αποτέλεσµα το ΜΙΜΟ κανάλι µπορεί να µετασχηµατιστεί σε ακριβώς =rak(h W )=mi(m R,M ) SISO υποκανάλια. Από το Σχήµα παρατηρούµε, αρχικά, ότι αυξάνοντας τα στοιχεία των στοιχειοκεραιών ποµπού ή δέκτη οδηγούµαστε σε µεγαλύτερο κέρδος χωρητικότητας. Ωστόσο, παρατηρούµε ότι µεγαλύτερες τιµές χωρητικότητας λαµβάνονται όταν τόσο ο ποµπός όσο και ο δέκτης διαθέτουν στοιχειοκεραίες Για παράδειγµα το κανάλι (,) παρουσιάζει πολύ µεγαλύτερες τιµές χωρητικότητας από το κανάλι (,8). Αυτό δικαιολογείται αν λάβουµε υπόψη την απλοποίηση του ΜΙΜΟ καναλιού σε παράλληλα SISO κανάλια. Το κανάλι (,8) δίνει = σε αντίθεση µε το (,) που δίνει =. Επίσης, παρατηρούµε ότι η Prob(Capacity<c) (,) (,4) (,8) (4,) CDF -- Rayleigh--SNR=0 (8,) (,) (4,4) c bits/sec/hz Σχήµα : CDFs της χωρητικότητας Rayleigh καναλιού µε SNR 0dB και παράµετρο το είδος του ΜΙΜΟ καναλιού. τοποθέτηση στοιχειοκεραίας στο δέκτη αυξάνει τη χωρητικότητα περισσότερο από την τοποθέτηση της ίδιας στοιχειοκεραίας στον ποµπό. Επί παραδείγµατι, το κανάλι (4,) παρουσιάζει αυξηµένη χωρητικότητα σε σχέση το κανάλι (,4). Η αιτία για αυτό το γεγονός είναι ότι το κανάλι είναι γνωστό µόνο από το δέκτη και όχι από τον ποµπό. Έτσι είναι φυσικό όταν η στοιχειοκεραία τοποθετείται στο δέκτη, αυτός λόγω της γνώσης του καναλιού να εκτελεί διεργασίες optimum combiig [5] και να ευνοεί περισσότερο τη χωρητικότητα σε σχέση µε την στοιχειοκεραία στον ποµπό.

6 4. Rayleigh κανάλι µε χωρική συσχέτιση διαλείψεων. Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας του καναλιού δίδεται από τη σχέση (). Το Σχήµα 3 που ακολουθεί παρουσιάζει τις CDFs της χωρητικότητας για δύο ΜΙΜΟ κανάλια και χρησιµοποιεί ως παράµετρο την απόσταση d των στοιχείων του ποµπού/δέκτη. Όταν το διάστηµα µεταξύ των στοιχείων του ποµπού και του δέκτη λαµβάνει µικρότερες τιµές µειώνεται η χωρητικότητα. Το γεγονός αυτό παρατηρείται εξαιτίας της αύξησης του δείκτη συσχέτισης των λαµβανόµενων σηµάτων. Η συσχέτιση των εκπεµπόµενων και λαµβανόµενων σηµάτων προκαλεί τη µείωση των ανεξάρτητων µονοπατιών και σαν αποτέλεσµα προκαλεί και τη µείωση της µεταφεροµένης πληροφορίας. Τα ανεξάρτητα µονοπάτια µεταξύ ποµπού και δέκτη καλούνται και ενεργοί βαθµοί ελευθερίας (effective degrees of freedom- EDOF). Επίσης, παρατηρούµε ότι υπό τις ίδιες συνθήκες συσχέτισης το ΜΙΜΟ κανάλι (4,4) Σχήµα 3: CDFs της χωρητικότητας για Rayleigh κανάλι µε χωρική συσχέτιση των λαµβανόµενων ά παρουσιάζει καλύτερη συµπεριφορά έναντι της χωρητικότητας σε σχέση µε το (,). Αυτή η παρατήρηση µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι τα ΜΙΜΟ συστήµατα µπορούν να αντιµετωπίσουν και το φαινόµενο των χωρικών διαλείψεων που εισάγει το κανάλι και όχι µόνο αυτό που προκαλείται από την ανεπαρκή απόσταση των στοιχείων των στοιχειοκεραιών ποµπού-δέκτη. Τέλος, παρατηρούµε ότι όσο περισσότερα είναι τα στοιχεία των κεραιών ποµπού-δέκτη τόσο περισσότερο επηρεάζεται η χωρητικότητα του συστήµατος, το οποίο είναι αναµενόµενο λόγω της αύξησης του φαινοµένου της αλληλεπαγωγής. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [] Arogyaswami Paulraj, Rohit Nabar ad Dhaajay Gore, Itroductio to Space-ime Wireless Commuicatios,Cambridge Uiversity Press, 003. [] G. J, Foschii ad M.J. Gas O Limits of wireless commuicatios i a fadig eviromet whe usig multiple ateas, Wireless Pers. Commu. Vol. 6, March 998, pp [3] Emre elatar, Capacity of Multi-atea Gaussia Chaels, URL:mars-belllabs.com/papers/prouf/prouf.pdf [4] Da-Sha Shiu, G.J. Foschii, M.J. Gas ad L.M. Kah, Fadig Correlatio ad Its Effect o the Capacity of Multielemet Atea Systems, IEEE tras. O Commu., Vol. 48, No. 3, March 000, pp [5] M.A.Do, S.Y. Wu, Hybrid diversity combiig techiques for DS-CDMA over a multipath fadig chaels,wireless Networks,Vol.3, 997, pp [6] David Gesbert, Da-sha Shiou, Peter J. Smith, Ayma Naguib, From heory to Practice: A Overview of MIMO Space-ime Coded Wireless Systems, IEEE Joural o selected areas i Commu., Vol., NO. 3, April 003. [7] A.va Zelst, J.S. Hammerschmidt, A Sigle Coefficiet Spatial Correlatio Model for Multiple-Iput Multiple-Output (MIMO) Radio Chaels, URL:

7 [8] Sergey Loyka, George soulos, Estimatig MIMO System Performace Usig the Correlatio Matrix Approach, IEEE Commu. Letters, Vol.6, No., Jauary 00, pp. 9-. [9] Foschii, Layered Space-ime Archeticture for Wireless Commuicatios i a Fadig Evirοmet Whe Usig Multi-Elemet Ateas, Bell Labs ech. J., Autum 996, pp.4-59.