Network Science. Θεωρεία Γραφηµάτων (2)

Transcript

1 Network Science Θεωρεία Γραφηµάτων ()

2 Section.8 PATHOLOGY

3 Διαδρομές Μια διαδρομή είναι μια σειρά κόμβων όπου κάθε κόμβος είναι δίπλα στην επόμενη P i0,in μήκους n μεταξύ των κόμβων i 0 και i n είναι μια διατεταγμένη συλλογή από n+ κόμβους και n συνδέσεις P n = {i 0,i,i,...,i n } P n = {(i 0,i ),(i,i ),(i,i ),...,(i n,i n )} (a) (b) Σε ένα κατευθυνόμενο δίκτυο, η διαδρομή μπορεί να ακολουθήσει μόνο την κατεύθυνση του βέλους.

4 Απόσταση μιας Διαδρομής Συντομότερη διαδρομή, Γεωδαιτικής διαδρομή D D A A B C B C Η απόσταση (συντομότερη διαδρομή, γεωδαιτική διαδρομή) μεταξύ δύο κόμβων ορίζεται ως ο αριθμός των ακμών κατά μήκος της συντομότερης διαδρομής που τους συνδέει. *Εάν οι δύο κόμβοι έχουν αποσυνδεθεί, η απόσταση είναι το άπειρο. Σε κατευθυνόμενα γραφήματα κάθε διαδρομή πρέπει να ακολουθεί την κατεύθυνση των βελών. Έτσι, σε ένα δίγραμμα η απόσταση από τον κόμβο Α στο Β (για μια διαδρομή ΑΒ) είναι γενικά διαφορετική από την απόσταση από τον κόμβο Β σε Α (σε μια πορεία BCA).

5 Αριθμός διαδρομών μεταξύ δύο κόμβων Πίνακας Γειτνίασης N ij, ο αριθμός διαδρομών μεταξύ δύο οποιωνδήποτε κόμβων i και j: Απόσταση n=: Εάν υπάρχει μια σύνδεση μεταξύ i και j, τότε A ij = (αλλιώς A ij =0). Απόσταση n=: Εάν υπάρχει μια σύνδεση απόστασης δύο μεταξύ i και j, τότε A ik A kj = (αλλιώς A ik A kj =0). Ο αριθμός των d ij = διαδρομών μεταξύ i και j είναι N ij N () = A ik A kj = [A ] ij k =, όπου [...] ij υποδηλώνει το (ij)ωστό στοιχείο ενός πίνακα Απόσταση n: Γενικά, εάν υπάρχει μια διαδρομή απόστασης n μεταξύ i και j, τότε A ik A lj = and A ik A lj =0 αλλιώς. Ο αριθμός των διαδρομών της απόστασης n μεταξύ i και j είναι * N (n) ij = [A n ] ij * ισχύει και για τα κατευθυνόμενα και τα μη κατευθυνόμενα δίκτυα όπου N ij (d ) > 0

6 Βρίσκοντας τις Αποστάσεις: BREADTH FIRST SEARCH (BFS) Algorithm

7 Βρίσκοντας τις Αποστάσεις: BREADTH FIRST SEARCH (BFS) Algorithm Παράδειγμα: Απόσταση μεταξύ κορυφής 0 και κορυφής :. Ξεκινάμε από το 0. 0

8 Βρίσκοντας τις Αποστάσεις: BREADTH FIRST SEARCH (BFS) Algorithm Απόσταση μεταξύ κορυφής 0 και κορυφής :. Βρίσκουμε τους γειτονικούς κόμβους του. Σημειώστε τους κόμβους ως απόσταση. Τους βάζουμε σε μια ουρά. 0

9 Βρίσκοντας τις Αποστάσεις: BREADTH FIRST SEARCH (BFS) Algorithm Απόσταση μεταξύ κορυφής 0 και κορυφής :. Παίρνουμε τον πρώτο κόμβο έξω από την ουρά. Βρίσκουμε το μη σημαδεμένο γειτονικό κόμβο σε αυτό το γράφημα. Τον σημαδεύουμε με την ετικέτα. Τους βάζουμε στην ουρά. 0

10 Βρίσκοντας τις Αποστάσεις: BREADTH FIRST SEARCH (BFS) Algorithm Απόσταση μεταξύ κορυφής 0 και κορυφής :. Επαναλαμβάνουμε έως ότου βρούμε τον κόμβο ή ώσπου να μην υπάρχουν περισσότεροι κόμβους στην ουρά. 5. Η απόσταση μεταξύ 0 και είναι η ετικέτα του ή, αν το δεν έχει ετικέτα, είναι το άπειρο. 0

11 Διάμετρος δικτύου και Μέση Απόσταση Διάμετρος: d max η μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ οποιουδήποτε ζευγαριού από κορυφές στο γράφημα. Μέσο μήκος διαδρομής/απόστασης, <d>, για ένα συνδεδεμένο γράφημα: d L max i, j i d ij όπου d ij είναι η απόσταση από την κορυφή i στην κορυφή j Σε ένα μη κατανεμημένο γράφημα ισχύει d ij =d ji, έτσι χρειάζεται να καταμετρηθούν μόνο μια φορά: d L max i, j >i d ij

12 PATHOLOGY: Σύνοψη Κοντινότερη διαδρομή l! 5 l! l!5 l! = l!5 = Η διαδρομή με τη μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο κόμβων (απόσταση).

13 PATHOLOGY: Σύνοψη Διάμετρος Μέσο μήκος απόστασης 5 l! = 5 (l! + l! + l! + + l!5 + l! + l! + + l!5 + l! + l!5 + + l!5 ) /0 =.6 Η μακρύτερη συντομότερη διαδρομή σε ένα γράφημα Ο μέσος όρος των συντομότερων μονοπατιών για όλα τα ζεύγη των κόμβων.

14 PATHOLOGY: Σύνοψη Κύκλος Μονοπάτι Αυτοαποφυγής 5 5 Μια διαδρομή με τoν ίδιο αρχικό και τελικό κόμβο. Μια διαδρομή που δεν τέμνει τον εαυτό της.

15 PATHOLOGY: Σύνοψη Eulerian Μονοπάτι Hamiltonian Μονοπάτι 5 5 A path that traverses each link exactly once. A path that visits each node exactly once.

16 PATHOLOGY: Σύνοψη ΑΡΙΘΜΟΣ συντομότερων μονοπατιών μεταξύ δύο κόμβων

17 Section.9 Συνδεσιµότητα

18 Συνδεσιμότητα των μη κατευθυνόμενων Διαγραμμάτων Συνδεδεμένο (μη κατευθυνόμενο) γράφημα: οποιεσδήποτε δύο κορυφές μπορεί να συνδέονται με ένα μονοπάτι. Ένα αποσυνδεδεμένο γράφημα αποτελείται από δύο ή περισσότερα συνδεδεμένα στοιχεία. A B A B Μεγαλύτερη συνιστώσα: Γιγαντιαίο Στοιχείο D F G C F D F G C F Το υπόλοιπο: Οι απομονώσεις Γέφυρα: αν τις διαγράψουμε, το γράφημα θα αποσυνδεθεί

19 Συνδεσιμότητα των μη κατευθυνόμενων Διαγραμμάτων Πίνακας Γειτνίασης Ο πίνακας γειτνίασης ενός δικτύου με διάφορα συστατικά μπορεί να γραφτεί σε ένα μπλοκ με διαγώνια μορφή, έτσι ώστε τα μη μηδενικά στοιχεία να περιορίζονται σε τετράγωνα, με όλα τα άλλα στοιχεία να είναι μηδέν.

20 Συνδεσιμότητα των κατευθυνόμενων Διαγραμμάτων Απόλυτα συνδεδεμένο κατευθυνόμενο γράφημα: έχει ένα μονοπάτι από κάθε κόμβο σε κάθε άλλο κόμβο και το αντίστροφο (π.χ. ΑΒ διαδρομή και ΒΑ διαδρομή). Ασθενώς συνδεδεμένο κατευθυνόμενο γράφημα: είναι συνδεδεμένο αν παραβλέψουμε τις κατευθύνσεις των άκρων. Τα απόλυτα συνδεδεμένα συστατικά μπορούν να προσδιοριστούν, αλλά δεν αποτελεί κάθε κόμβος μέρος ενός συνηθισμένου έντονα συνδεδεμένου συστατικού. A B E A B F D E F C D C G G

21 Συνδεσιμότητα των κατευθυνόμενων Διαγραμμάτων Βρίσκοντας τα συνδεδεμένα στοιχεία ενός ΔΙΚΤΥΟΥ. Ξεκινάμε από ένα τυχαία επιλεγμένο κόμβο i και εκτελούμε μια BFS. Μαρκάρουμε όλους τους κόμβους που επιτεύχθηκαν με αυτόν τον τρόπο με n =.. Εάν ο συνολικός αριθμός των επισημασμένων κόμβων ισούται Ν, τότε το δίκτυο είναι συνδεδεμένο. Εάν ο αριθμός των επισημασμένων κόμβων είναι μικρότερο από το Ν, το δίκτυο αποτελείται από διάφορα στοιχεία. Για τον εντοπισμό τους, προχωράμε στο βήμα.. Αυξάνουμε την ετικέτα (label) n n +. Επιλέγουμε ένα μη σημαδεμένο κόμβο j, και τον μαρκάρουμε με n. Χρησιμοποιούμε το BFS για να βρούμε όλους τους κόμβους που είναι προσβάσιμοι από το j, και τους σημειώνουμε με n. Επιστρέφουμε στο βήμα.

22 Section 0 Συντελεστής οµαδοποίησης

23 Συντελεστής ομαδοποίησης Συντελεστής ομαδοποίησης: Ποιο μέρος των γειτόνων σας είναι συνδεδεμένοι? Κόμβος i με βαθμό ki Ci σε [0,] Wa)s & Strogatz, Nature a

24 Συντελεστής ομαδοποίησης Συντελεστής ομαδοποίησης: Ποιο μέρος των γειτόνων σας είναι συνδεδεμένοι? Κόμβος i με βαθμό ki (.6) Ci σε [0,] Wa)s & Strogatz, Nature b

25 Section summary

26 Τρεις βασικές ποσοτικές σχέσεις στην επιστήμη των Δικτύων Βαθμός Διανομής: P(k) Μήκος διαδρομής: <d> Συντελεστής ομαδοποίησης:

27 Επιστήμη των Γραφημάτων Μη Κατευθυνόμενο Κατευθυνόμενο A ij = A ii = 0 A ij = A ji L = N i, j = A ij < k >= L N A ij = A ii = 0 A ij A ji L = N A ij < k >= L i, j = N

28 Επιστήμη των Γραφημάτων Unweighted (undirected) Weighted (undirected) A ij = A ij = L = A ii = 0 N i, j = A ij A ij = A ji < k >= L N L = N i, j = A ii = 0 nonzero(a ij ) A ij = A ji < k >= L N protein-protein interactions, www Call Graph, metabolic networks

29 Επιστήμη των Γραφημάτων Self-interactions Multigraph (undirected) 0 0 A ij = A ij = L = A ii 0 A ij = A ji N N A ij + A ii? i, j =,i j i= L = N i, j = A ii = 0 nonzero(a ij ) A ij = A ji < k >= L N

30 Επιστήμη των Γραφημάτων Complete Graph (undirected) 0 0 A ij = 0 0 A ii = 0 A i j = N(N ) L = L max = < k >= N

31 Επιστήμη των Γραφημάτων: Τα πραγματικά δίκτυα μπορούν να έχουν πολλαπλά χαρακτηριστικά WWW > κατευθυνόμενο πολυγραφικό με αυτο-αλληλεπιδράσεις. Protein Interactions > μη κατευθυνόμενο, μη σταθμισμένο, με αυτοαλληλεπιδράσεις. Collaboration network > μη κατευθυνόμενο, πολυγραφικό ή σταθμισμένο. Mobile phone calls > κατευθυνόμενο, σταθμισμένο. Facebook Friendship links > μη κατευθυνόμενο, μη σταθμισμένο.

32 Βιο-Χάρτης ΓΟΝΙΔΙΩΜΑ αλληλεπιδράσεις πρωτεΐνης-γονιδίου ΠΡΩΤΕΩΜΑΤΑ αλληλεπιδράσεις μεταξύ πρωτεϊνών ΜΕΤΑΒΟΛΙΣΜΟΣ Βιο-Χημικές Αντιδράσεις Κιτρικός Κύκλος

33 Δίκτυο Μεταβολισµού Αλληλεπιδράσεις Πρωτεϊνών Metabolic Network Sensory Workshop

34 ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΔΙΚΤΥΟ αλληλεπίδρασης πρωτεΐνης-πρωτεΐνης Undirected network N=,08 proteins as nodes L=,90 binding interac ons as links. Average degree <k>=.90. Protein Movie Not connected: 85 components the largest (giant component),67 nodes

35 ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΔΙΚΤΥΟ αλληλεπίδρασης πρωτεΐνης-πρωτεΐνης Μη κατευθυνόμενο δίκτυο N=,08 πρωτεΐνες ως κόμβοι L=,90 δεσμευτικές αλληλεπιδράσεις ως σύνδεσμοι. μέσος βαθμός <k>=.90. Μη συνδεδεμένοι: 85 στοιχεία το μεγαλύτερο (γιγαντιαίο στοιχείο),67 κόμβοι

36 ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΔΙΚΤΥΟ αλληλεπίδρασης πρωτεΐνης-πρωτεΐνης p k είναι η πιθανότητα ένας κόμβος να έχει βαθμό k. Nk = # κόμβοι με βαθμό k p k = Nk / N

37 A CASE STUDY: PROTEIN-PROTEIN INTERACTION NETWORK d max = <d>=5.6

38 A CASE STUDY: PROTEIN-PROTEIN INTERACTION NETWORK <C>=0.

39 Class CLASS INFORMATION

40 Project Συζήτηση: Αναφέρεται κόμβους και συνδέσμους στο περιβάλλον σας Μέγεθος του δικτύου (# κόμβοι, # συνδέσεις)

41 Project Το πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg Ποια από τις εικόνες στην Εικόνα.9 μπορεί να γίνει:. χωρίς την σηκώσουμε το μολύβι μας από το χαρτί;. χωρίς να γίνεται καμία γραμμή πάνω από μια φορά;. Γιατί;