Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne."

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1

2 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές

3 γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων ανά ζεύγη µεταξύ των αντικειµένων ενός συνόλου G = (V, E) V = κόµβοι (nodes) E = ακµές (edges) µεταξύ ζευγών κόµβων Μια ακµή e E είναι ένα υποσύνολο του V µε δύο στοιχεία: e={u, v} Οι κόµβοι u και v της ακµής e={u, v} ονοµάζονται άκρα της e Οι ακµές αναπαριστούν διµερή σχέση µεταξύ κόµβων. Παράµετροι του γραφήµατος: n = V, m = E. 3

4 µη κατευθυνόµενα και κατευθυνόµενα γραφήµατα Μη-κατευθυνόµενο γράφηµα (undirected graph) ή απλά γράφηµα (graph) Οι ακµές υποδεικνύουν µια συµµετρική σχέση µεταξύ των άκρων τους Κατευθυνόµενο γράφηµα (directed graph) Οι ακµές κωδικοποιούν ασύµµετρες σχέσεις Κάθε κατευθυνόµενη ακµή είναι ένα διατεταγµένο ζεύγος Παράδειγµα µη-κατευθυνόµενου γραφήµατος V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } E = { 1-2, 1-3, 2-3, 2-4, 2-5, 3-5, 3-7, 3-8, 4-5, 5-6 } n = 8 m = 11 4

5 εφαρµογές γραφηµάτων

6 Königsberg, 1736 ο Euler σε ώρα περιπάτου στις όχθες του ποταµού Pregel (Königsberg 1736). Leonhard Euler ( ) Mathematician and physicist Απόφοιτος: University of Basel Institutions: Imperial Russian Academy of Sciences Berlin Academy Doctoral advisor: Johann Bernoulli Doctoral students: Johann Hennert Joseph Lagrange Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι

7 το πρόβληµα Υπάρχει διαδροµή που περνάει από όλες τις γέφυρες ακριβώς µία φορά και τερµατίζει στο σηµείο εκκίνησης; 7 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι

8 πιο αναλυτικά? Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι

9 το πρώτο γραφοθεωρητικό πρόβληµα Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι

10 η λύση του Euler ο Euler βρήκε τη λύση χρησιµοποιώντας το βαθµό των κορυφών του γραφήµατος βαθµός: το πλήθος των ακµών που προσπίπτουν στην κορυφή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι

11 η λύση του Euler ο Euler βρήκε τη λύση χρησιµοποιώντας το βαθµό των κορυφών του γραφήµατος βαθµός: το πλήθος των ακµών που προσπίπτουν στην κορυφή Η λύση: Το γράφηµα πρέπει να είναι συνεκτικό και όλες οι κορυφές να έχουν ζυγό βαθµό. Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι

12 ορισµένες εφαρµογές των γραφηµάτων Γράφηµα Κόµβοι Ακµές µεταφορές διασταυρώσεις δρόµων δρόµοι επικοινωνία υπολογιστές καλώδια οπτικών ινών World Wide Web ιστοσελίδες υπερσυνδέσεις κοινωνικές άνθρωποι σχέσεις διατροφική αλυσίδα είδη θηρευτής-θήραµα συστήµατα λογισµικού συναρτήσεις κλήσεις συναρτήσεων χρονοπρογραµµατισµός εργασίες περιορισµοί προτεραιότητας κυκλώµατα πύλες καλώδια 12

13 World Wide Web Web γράφηµα. Κόµβος: ιστοσελίδα. Ακµή: υπερσύνδεση από µία σελίδα σε άλλη. cnn.com netscape.com novell.com cnnsi.com timewarner.com hbo.com sorpranos.com 13

14 ένα κοινωνικό δίκτυο Γράφηµα κοινωνικής δικτύωσης Κόµβοι: άνθρωποι. Ακµή: σχέση µεταξύ δύο ανθρώπων. Reference: wikipedia, 14

15 διατροφική αλυσίδα Γράφηµα διατροφικής αλυσίδας. Κόµβοι = είδη. Ακµή = από θηρευτή σε θήραµα. References: 15

16 αναπαράσταση γραφηµάτων

17 αναπαράσταση γραφήµατος: πίνακας γειτνίασης Πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix). πίνακας n x n µε A uv = 1 εάν (u, v) είναι µια ακµή. Δύο κελιά για κάθε ακµή. Χώρος ανάλογος του n 2. Έλεγχος για ύπαρξη ακµής (u, v): σε χρόνο Θ(1). Εύρεση όλων των ακµών: σε χρόνο Θ(n 2 )

18 αναπαράσταση γραφήµατος: λίστα γειτνίασης λίστα γειτνίασης (adjacency list). Πίνακας από λίστες, µε µία λίστα για κάθε κόµβο. Δύο αναπαραστάσεις για κάθε ακµή. Χώρος ανάλογος του m + n. Ο έλεγχος για την ύπαρξη ακµής (u, v) γίνεται σε O(deg(u)). Εύρεση όλων των ακµών σε χρόνο Θ(m + n). βαθµός (degree) = το πλήθος των γειτόνων του κόµβου u

19 µονοπάτια, κύκλοι, κτλ.

20 µονοπάτια και συνεκτικότητα Ορισµός. Ένα µονοπάτι (path) σε ένα µη-κατευθυνόµενο γράφηµα G = (V, E) είναι µια ακολουθία P από κόµβους v 1, v 2,, v k-1, v k µε την ιδιότητα ότι κάθε διαδοχικό ζευγάρι v i, v i+1 συνδέεται µε µια ακµή στο E. Ορισµός. Ένα µονοπάτι είναι απλό (simple) εάν όλοι οι κόµβοι είναι διακριτοί (δεν εµφανίζεται κόµβος πάνω από µία φορά). Ορισµός. Ένα µη-κατευθυνόµενο γράφηµα είναι συνεκτικό (connected) εάν για κάθε ζεύγος κορυφών nodes u και v, υπάρχει µονοπάτι µεταξύ u και v. 20

21 κύκλοι (cycles) Ορισµός. Ένας κύκλος (cycle) είναι ένα µονοπάτι v 1, v 2,, v k-1, v k στο οποίο v 1 = v k, k > 2, και οι πρώτοι k-1 κόµβοι είναι διακριτοί. κύκλος C =

22 δέντρα

23 δέντρα (tree) Ορισµός. Ένα η-κατευθυνόµενο γράφηµα είναι δέντρο (tree) εάν είναι συνεκτικό και άκυκλο (δεν περιλαµβάνει κύκλο). Θεώρηµα. Έστω G ένα µη-κατευθυνόµενο γράφηµα µε n κόµβους. Τότε οποιεσδήποτε δύο από τις παρακάτω ιδιότητες συνεπάγεται την τρίτη. Το G είναι συνεκτικό. Το G είναι άκυκλο. Το G έχει n-1 ακµες. 23

24 δέντρα µε ρίζα δέντρο µε ρίζα (rooted tree). Ένα δέντρο T, στο οποίο ορίζουµε µία κορυφή ως ρίζα. Ένα δέντρο µε ρίζα το απεικονίζουµε συνήθως όπως φαίνεται στο σχήµα. Σηµασία/χρησιµότητα. Τα δέντρα µε ρίζα είναι κατάλληλα για τη µοντελοποίηση ιεραρχικών δοµών. ρίζα r γονέας της v v παιδί της v ένα δέντρο το ίδιο δέντρο, µε ρίζα τον κόµβο 1 24

25 δέντρο εξέλιξης 25

26 Ιεραρχία αντικειµένων σε GUI Ιεραρχία αντικειµένων σε GUI (graphical user interface). Περιγράφει την οργάνωση των GUI widgets. Reference: 26

27 συνεκτικότητα

28 συνεκτικότητα πρόβληµα της συνεκτικότητας s-t (s-t connectivity problem). Δεδοµένων δύο κόµβων s και t, υπάρχει µονοπάτι µεταξύ των s και t; πρόβληµα συντοµότερου µονοπατιού s-t (s-t shortest path problem). Δεδοµένων δύο κόµβων s και t, ποιο είναι το µήκος του συντοµότερου µονοπατιού µεταξύ των s και t; εφαρµογές. δροµολόγηση σε δίκτυα επικοινωνιών επιλογή διαδροµής στις µεταφορές δίκτυο κοινωνικής δικτύωσης Friendster. διάτρεξη λαβύρινθου (maze traversal). Erdös number. 28

29 Συνεκτική Συνιστώσα (Connected Component) Συνεκτική συνιστώσα. Εύρεση όλων των κόµβων που είναι προσπελάσιµοι από έναν κόµβο s. Η συνεκτική συνιστώσα που περιλαµβάνει τον κόµβο 1 είναι { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. 29

30 3.2 διάτρεξη γραφήµατος

31 διέλευση/διερεύνηση γραφήµατος

32 Αναζήτηση Πρώτα σε Πλάτος (Breadth First Search) διαίσθηση της BFS. Εξερευνούνται όλοι οι κόµβοι ξεκινώντας από τον κόµβο s προς κάθε κατεύθυνση, έτσι ώστε να προστίθεται ένα επίπεδο κόµβων κάθε φορά. αλγόριθµος BFS. L 0 = { s }. L 1 = όλοι οι γείτονες του L 0. s L 1 L 2 L n-1 L 2 = όλοι οι κόµβοι που δεν ανήκουν στο L 0 ή στο L 1, και συνδέονται µε ακµή µε έναν κόµβο στο L 1. L i+1 = όλοι οι κόµβοι που δεν ανήκουν σε ένα από τα προηγούµενα επίπεδα και συνδέονται µε ακµή µε έναν κόµβο στο L i. Θεώρηµα. Για κάθε i, το L i αποτελείται από όλους τους κόµβους που απέχουν ακριβώς i (ακµές) από το s. Υπάρχει µονοπάτι από το s στο t αν και µόνο αν το t εµφανίζει σε κάποιο από τα επίπεδα. 32

33 Αναζήτηση Πρώτα σε Πλάτος (Breadth First Search) Ιδιότητα. Έστω T ένα δέντρο BFS του γραφήµατος G = (V, E), and έστω (x, y) µια ακµή του G. Τότε τα επίπεδα των x και y διαφέρουν το πολύ κατά 1. L 0 L 1 L 2 L 3 33

34 BFS: Ανάλυση Θεώρηµα. Η παραπάνω (ενότητα 3.3 βιβλίου) υλοποίηση της BFS εκτελείται σε χρόνο O(m + n) εάν το γράφηµα δίνεται µε την αναπαράσταση λίστας γειτνίασης. Απόδειξη. Είναι εύκολο να δείξουµε πολυπλοκότητα χρόνου O(n 2 ): το πολύ n λίστες L[i] κάθε κόµβος εµφανίζεται το πολύ σε µία λίστα και εποµένως ο βρόχος for εκτελείται n φορές για κάθε κόµβο u που εξετάζει ο αλγόριθµος, υπάρχουν n προσπίπτουσες ακµές (u, v) που περιέχουν τον u, και απαιτεί χρόνο O(1) η επεξεργασία κάθε ακµής Όµως η πολυπλοκότητα χρόνου είναι O(m + n): όταν εξετάζουµε έναν κόµβο u, υπάρχουν deg(u) προσπίπτουσες ακµές ο συνολικός χρόνος επεξεργασίας των ακµών είναι Σ u V deg(u) = 2m κάθε ακµή (u, v) µετριέται ακριβώς δύο φορές στο άθροισµα: µια φορά στο deg(u) και µία στο deg(v) 34

35 διερεύνηση γραφήµατος πρώτα κατά πλάτος 35

36 (a) r s t u 0 v w x y Q s 0 (d) r s t u v 1 w 2 x y Q t x v r s t u 1 0 Q (b) w r v w x y (e) r s t u v w x y Q x v u (c) r s t u v 1 w 2 x y Q r t x (f) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q v u y

37 (g) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q u y 3 3 (h) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q y 3 (i) r s t u Q empty

38 αναζήτηση πρώτα σε βάθος 38

39 διερεύνηση γραφήµατος πρώτα σε βάθος 39

40 (a) v w x y Q s 0 (d) r s t u v 1 w x y Q w 1 r s t u 1 0 Q (b) w r v w x y (e) r s t u v w x y Q t x 2 2 (c) r s t u v 1 w x y Q w v 1 2 (f) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q t u 2 3 y 3 40

41 (g) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q t u 2 3 (h) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q t 2 (i) r s t u Q empty

42 Εκτελέστε αναζήτηση BFS και DFS στο παρακάτω γράφηµα G, ξεκινώντας από τον κόµβο

43 Flood Fill Flood fill. Δίνοντας πράσινο χρώµα σε ένα pixel µιας εικόνας, αλλάζει το τµήµα της εικόνας που περιλαµβάνει το pixel αυτό σε πράσινο. Κόµβος: pixel. Ακµή: δύο γειτονικά pixel. Τµήµα εικόνας: συνεκτική συνιστώσα µε πράσινα pixels. χρωµατισµός του πράσινου τµήµατος µε µπλε 43

44 Flood Fill Flood fill. Δίνοντας πράσινο χρώµα σε ένα pixel µιας εικόνας, αλλάζει το τµήµα της εικόνας που περιλαµβάνει το pixel αυτό σε πράσινο. Κόµβος: pixel. Ακµή: δύο γειτονικά pixel. Τµήµα εικόνας: συνεκτική συνιστώσα µε πράσινα pixels. χρωµατισµός του πράσινου τµήµατος µε µπλε 44

45 Συνεκτική Συνιστώσα Συνεκτική Συνιστώσα. Βρες όλους τους κόµβους που είναι προσπελάσιµοι από τον s. s R u v µπορούµε να προσθέσουµε τον κόµβο v Θεώρηµα. Όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία, το R είναι η συνεκτική συνιστώσα που περιλαµβάνει τον κόµβο s. BFS = εξερευνά µε σειρά που βασίζεται στην απόσταση από τον s. DFS = εξερευνά µε έναν διαφορετικό τρόπο. 45

46 3.4 Έλεγχος διµερότητας

47 διµερές γράφηµα (bipartite graph) Ορισµός. Ένα µη-κατευθυνόµενο γράφηµα G = (V, E) είναι διµερές εάν οι κόµβοι του µπορούν να χρωµατιστούν µε δύο χρώµατα, πχ. κόκκινο και µπλε, έτσι ώστε κάθε ακµή να έχει ένα άκρο κόκκινο και ένα µπλε. Εφαρµογές. Ευσταθές ταίριασµα: άντρες = κόκκινο, γυναίκες = µπλε. Χρονοπρογραµµατισµός: µηχανές = κόκκινο, εργασίες = µπλε. ένα διµερές γράφηµα 47

48 έλεγχος διµερότητας Έλεγχος διµερότητας. Δεδοµένου ενός γραφήµατος G, είναι διµερές; Πολλά γραφοθεωρητικά προβλήµατα γίνονται: ευκολότερα όταν εφαρµόζονται σε διµερή γραφήµατα (matching) tractable όταν εφαρµόζονται σε διµερή γραφήµατα (ανεξάρτητο σύνολο) Η δοµή των διµερών γραφηµάτων. v 2 v 3 v 2 v 1 v 4 v 6 v 5 v 4 v 3 v 5 v 6 v 7 v 1 v 7 ένα διµερές γράφηµα G µια άλλη απεικόνιση του ίδιου γραφήµατος G 48

49 ένα εµπόδιο για τη διµερότητα Λήµµα. Εάν ένα γράφηµα είναι διµερές, δεν µπορεί να περιέχει έναν κύκλου περιττού µήκους. Απόδειξη. Δεν είναι δυνατό να χρωµατίσουµε κατάλληλα τον περιττό κύκλο και εποµένως ούτε και ολόκληρο το γράφηµα G. διµερές (2-colorable) δεν είναι διµερές (not 2-colorable) 49

50 διµερή γραφήµατα Λήµµα. Έστω G ένα συνεκτικό γράφηµα, και έστω L 0,, L k τα επίπεδα που παράγονται από BFS ξεκινώντας από τον κόµβο s. Ισχύει ακριβώς ένα από τα παρακάτω. (i) Καµία ακµή του G δεν ενώνει κόµβους ίδιου επιπέδου και το G είναι διµερές. (ii) Υπάρχει ακµή του G που ενώνει κόµβους του ίδιου επιπέδου και το G περιέχει κύκλο περιττού µήκους (και εποµένως δεν είναι διµερές). L 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 3 περίπτωση (i) περίπτωση (ii) 50

51 διµερή γραφήµατα Λήµµα. Έστω G ένα συνεκτικό γράφηµα, και έστω L 0,, L k τα επίπεδα που παράγονται από BFS ξεκινώντας από τον κόµβο s. Ισχύει ακριβώς ένα από τα παρακάτω. (i) Καµία ακµή του G δεν ενώνει κόµβους ίδιου επιπέδου και το G είναι διµερές. (ii) Υπάρχει ακµή του G που ενώνει κόµβους του ίδιου επιπέδου και το G περιέχει κύκλο περιττού µήκους (και εποµένως δεν είναι διµερές). Απόδειξη. (i) Έστω ότι δεν υπάρχει ακµή που να ενώνει κόµβους του ίδιου επιπέδου. Από προηγούµενο λήµµα, όλες οι ακµές ενώνουν κόµβους σε γειτονικά επίπεδα. Διαµέριση: red = κόµβοι σε µονά επίπεδα, blue = κόµβοι σε ζυγά επίπεδα. L 1 L 2 L 3 Περίπτωση (i) 51

52 διµερή γραφήµατα Λήµµα. Έστω G ένα συνεκτικό γράφηµα, και έστω L 0,, L k τα επίπεδα που παράγονται από BFS ξεκινώντας από τον κόµβο s. Ισχύει ακριβώς ένα από τα παρακάτω. (i) Καµία ακµή του G δεν ενώνει κόµβους ίδιου επιπέδου και το G είναι διµερές. (ii) Υπάρχει ακµή του G που ενώνει κόµβους του ίδιου επιπέδου και το G περιέχει κύκλο περιττού µήκους (και εποµένως δεν είναι διµερές). Απόδειξη. (ii) Έστω ακµή (x, y) µε x, y στο ίδιο επίπεδο L j. Έστω z = lca(x, y) = κοντινότερος κοινός πρόγονος. Έστω L i το επίπεδο στο οποίο ανήκει η z. Έστω ο κύκλος µε την ακµή (x, y), το µονοπάτι από το y στο z, και το µονοπάτι από το z στο x. Το µήκος του είναι 1 + (j-i) + (j-i), (περιττός αριθµός) z = lca(x, y) (x, y) µονοπάτι από y στο z µονοπάτι από z στο x 52

53 εµπόδιο στη διµερότητα Corollary. Ένα γράφηµα G είναι διµερές αν και µόνο αν δεν περιέχει κύκλου περιττού µήκους. 5-cycle C διµερές (2-colorable) δεν είναι διµερές (not 2-colorable) 53

54 πηγές/αναφορές Κεφάλαιο 3, Σχεδίαση Αλγορίθµων, J. Kleinberg and E. Tardos, Ελληνική έκδοση από τις Εκδ. Κλειδάριθµος Κεφάλαιο 22, Εισαγωγή στους αλγόριθµους, T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest and C. Stein, Ελληνική έκδοση από τις Πανεπιστηµιακές Εκδ. Κρήτης 54

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. ver. 21/12/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. ver. 21/12/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήματα ver. 21/12/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων ανά

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Γραφήματα Βασικές Έννοιες και Εφαρμογές Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος του ευσταθούς ταιριάσµατος Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 11. Γράφοι 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 23/12/2016 Εισαγωγή Οι γράφοι

Διαβάστε περισσότερα

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 4. Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 4 Άπληστοι Αλγόριθµοι (Greedy Algorithms) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 4.1 Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων Χρονοπρογραµµατισµός Διαστηµάτων Το πρόβληµα.

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων

Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Υλικό βασισμένο στις εξής πηγές: Βιβλίο «Μαθήματα Θεωρίας Γράφων», Γιάννη Μανωλόπουλου, Εκδόσεις Νέων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1, Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Περίληψη Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος ( Decrease and Conquer ) Μείωση κατά µια σταθερά (decrease by a constant) Μείωση κατά ένα ποσοστό (decrease by a constant

Διαβάστε περισσότερα

Network Science. Θεωρεία Γραφηµάτων (2)

Network Science. Θεωρεία Γραφηµάτων (2) Network Science Θεωρεία Γραφηµάτων () Section.8 PATHOLOGY Διαδρομές Μια διαδρομή είναι μια σειρά κόμβων όπου κάθε κόμβος είναι δίπλα στην επόμενη P i0,in μήκους n μεταξύ των κόμβων i 0 και i n είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Τοπολογική Ταξινόµηση ιάσχιση Γράφων ΕΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 26 - Γράφοι Ηπιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg

Θεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση στους γράφους. - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών

Αναζήτηση στους γράφους. - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών Αναζήτηση στους γράφους Βασικός αλγόριθμος λό - Αναζήτηση κατά πλάτος - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών Διάσχιση (αναζήτηση ) στους γράφους Φεύγοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

Τύποι Δεδομένων και Απλές Δομές Δεδομένων. Παύλος Εφραιμίδης V1.0 ( )

Τύποι Δεδομένων και Απλές Δομές Δεδομένων. Παύλος Εφραιμίδης V1.0 ( ) Τύποι Δεδομένων και Απλές Δομές Δεδομένων Παύλος Εφραιμίδης V1.0 (2014-01-13) Απλές Δομές Δεδομένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουμε ορισμένες απλές Δομές Δεδομένων και θα τις χρησιμοποιήσουμε για την αποδοτική

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 11-1

ΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 11-1 Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Τοπολογική Ταξινόµηση ΕΠΛ 23 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Γράφοι Η πιο γενική µορφή δοµής

Διαβάστε περισσότερα

Γραφήματα. Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό Γραφήματα

Γραφήματα. Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό Γραφήματα Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Η δομή δεδομένων Σωρός και η Ταξινόμηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.3, 14/11/2014

Κεφάλαιο 2. Η δομή δεδομένων Σωρός και η Ταξινόμηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.3, 14/11/2014 Κεφάλαιο 2 Η δομή δεδομένων Σωρός και η Ταξινόμηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.3, 14/11/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Σωρός και Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS) 2. Τοπολογική Ταξινόμηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Depth-First Search Πρώτα σε Βάθος διερεύνηση (Depth-First Search) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010 Κεφάλαιο 2 Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση., 2/05/200 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Σωρός και Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00

Ασκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00 Χρήστος. Ζαρολιάγκης Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων : Άσκηση 1 1 Ασκηση 1 [16.03.2016] Παράδοση : Τετάρτη 13.04.2016, 13:00 Η παρούσα άσκηση αφορά στον έλεγχο διµερότητας ενός γραφήµατος. Σκοπός της

Διαβάστε περισσότερα

Αφηρημένες Δομές Δεδομένων. Στοίβα (Stack) Υλοποίηση στοίβας

Αφηρημένες Δομές Δεδομένων. Στοίβα (Stack) Υλοποίηση στοίβας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής ισαγωγή στην πιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 λγόριθμοι και ομές εδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης φηρημένες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήµατα 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Παρασκευή, 20/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είδαµε την προηγούµενη φορά Συνεκτικότητα Υπογράφηµα

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων

1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 5ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Network Science Θεωρεία Γραφηµάτων (1)

Network Science Θεωρεία Γραφηµάτων (1) Network Science Θεωρεία Γραφηµάτων (1) Network Theory: Graph Theory Section 1 Οι γέφυρες του Konigsberg THE BRIDGES OF KONIGSBERG Network Science: Graph Theory THE BRIDGES OF KONIGSBERG Network Science:

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα ; Γειτονικές είναι κορυφές που ενώνονται με ακμή

Γράφημα ; Γειτονικές είναι κορυφές που ενώνονται με ακμή Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 10 ο Γράφοι Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Γράφοι Ορισµός Αφηρηµένος τύπος δεδοµένων Υλοποίηση Αναζήτηση έντρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Δοµές Δεδοµένων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).

Βασικές Δοµές Δεδοµένων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Βασικές Δοµές Δεδοµένων Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Περίληψη Γραµµικές Δοµές Δεδοµένων Πίνακες Λίστες Στοίβες Ουρές Γράφοι Δέντρα Γραµµικές Δοµές Πίνακας (array) A[0] A[1] A[2] A[ ] A[n-1] Προκαθορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης περιεχόμενα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή από καταλόγους γειτνίασης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Minimum Spanning Trees 2. Αλγόριθμος Prim 3. Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Minimum Spanning Tree Πρόβλημα: Για δοσμένο συνεκτικό, μη προσανατολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφήματα. Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός

Γραφήματα. Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός Κεφάλαιο 3 Γραφήματα 3.1 Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός Ορισμός 3.1. Γράφος (ή γράφημα) G, ονομάζεται ένα διατεταγμένο ζεύγος συνόλων (V, E), όπου V είναι μη κενό σύνολο στοιχείων και E ένα σύνολο μη διατεταγμένων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10γ: Αλγόριθμοι Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS)- Τοπολογική Ταξινόμηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 9: Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση - Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Παναγιώτης νδρέου ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 24 Απριλίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 2 Ιουνίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Άσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 24 Απριλίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 2 Ιουνίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα). Κ08 Δομές Δεδομένων και Τεχνικές Προγραμματισμού Διδάσκων: Μανόλης Κουμπαράκης Εαρινό Εξάμηνο 2016-2017. Άσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 24 Απριλίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 2 Ιουνίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ορολογία. Ορισµός: G = (V, E) όπου. Ορολογία (συνέχεια) γράφος ή γράφηµα (graph) V:ένα σύνολο E:µια διµελής σχέση στο V

Γράφοι. Ορολογία. Ορισµός: G = (V, E) όπου. Ορολογία (συνέχεια) γράφος ή γράφηµα (graph) V:ένα σύνολο E:µια διµελής σχέση στο V Γράφοι Ορολογία γράφος ή γράφηµα (graph) Ορισµός: G = (V, E) όπου V:ένα σύνολο E:µια διµελής σχέση στο V Ορολογία (συνέχεια) κάθε v V ονοµάζεται κορυφή (vertex) ή κόµβος (node) κάθε (v 1, v 2 ) Ε ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 3: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 26 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα