1. Βασικές έννοιες κινηματικής

Transcript

1 . Βασικές έννοιες κινηματικής ΘΕΜΑ Β. (036-Β) Το μέτρο της ταχύτητας αθλητή των 00 m είναι ίσο με και το μέτρο της ταχύτητας ενός σαλιγκαριού είναι ίσο με. Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Το πηλίκο των μέτρων των ταχυτήτων του αθλητή και του σαλιγκαριού υα/υσ είναι ίσο με: α. 00. β γ. 36. Β. Α. Σωστή απάντηση: (β). Β. Μετατροπή μεγεθών στο S.I. Α km 000m m 0 h 3600s s σ m cm 00 m 0,0 s s s Ο λόγος των ταχυτήτων ισούται με: Α σ m 0 s 000 m 0,0 s. (967-Β) Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου οριζόντιου δρόμου, ο οποίος θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x x. Το αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση 0 και κινούμενο ευθύγραμμα διέρχεται από τη θέση 0 και στο τέλος καταλήγει στη θέση 0. Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η μετατόπιση του αυτοκινήτου στην κίνηση που περιγράφεται παραπάνω είναι ίση με: α. 360 m β. 80 m γ. 80 m Β.

2 Α. Σωστή απάντηση: (β). Β. Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση Όπου : x x 40 m αρχ x x 40m τελ Άρα : 0 Δ τελ Δ ( 0) ( 0) Δ 0 m τελ αρχ αρχ 3. (8996-Β) Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου οριζόντιου δρόμου, ο οποίος θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x x. Το αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση 0 και κινούμενο ευθύγραμμα διέρχεται από τη θέση 0 και στο τέλος καταλήγει στη θέση 0. A. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση Η μετατόπιση του αυτοκινήτου στην κίνηση που περιγράφεται παραπάνω είναι ίση με: α. 0 m β. 80 m γ. 0 m B. Α. Σωστή απάντηση: (γ). Β. Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση Όπου : x x 40m αρχ x x 0m τελ Άρα : 0 Δ τελ Δ ( 0) ( 0) Δ 0 m τελ αρχ αρχ

3 4. (4990-Β) Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου οριζόντιου δρόμου, ο οποίος θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x x. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η θέση του αυτοκινήτου σε συνάρτηση του χρόνου. A. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η μετατόπιση του αυτοκινήτου στην κίνηση που περιγράφεται στο διπλανό διάγραμμα είναι ίση με: α. 40 m β. 60 m γ. 40 m B. Α. Σωστή απάντηση: (γ). Β. Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση Όπου : xαρχ x τελ Άρα : 0m 40m Δ τελ αρχ Δ ( 0) (0) Δ 0m τελ αρχ 5. (533-Β) Από ένα σημείο του εδάφους εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια πέτρα. Η πέτρα κινείται κατακόρυφα, φτάνει σε ύψος 6 m από το έδαφος και στη συνέχεια πέφτει στο έδαφος ακριβώς στο σημείο εκτόξευσης. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι η μετατόπιση της πέτρας από τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης, μέχρι τη στιγμή που επανέρχεται στο ίδιο σημείο είναι ίση με m. Να επιβεβαιώσετε ή να διαψεύσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, δικαιολογώντας την απάντησή σας. Ο ισχυρισμός δεν αληθεύει γιατί: Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση Όπου : x : η αρχική θέση και αρχ Δ τελ αρχ

4 x : η τελική θέση τελ Όμως η αρχική και η τελική θέση της πέτρας ταυτίζονται άρα η μετατόπιση είναι μηδενική. 6. (967-Β) Οι ευθύγραμμοι διάδρομοι κολύμβησης σε μια πισίνα ολυμπιακών διαστάσεων έχουν μήκος ίσο με 50 m. A. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Σε έναν αγώνα κολύμβησης των 00 m, η ολική μετατόπιση του κολυμβητή είναι ίση με: α. 00 m β. 500 m γ. μηδέν B. Α. Σωστή απάντηση: (γ). Β. Έστω ότι ο κολυμβητής εισέρχεται από το σημείο Α στην πισίνα, το οποίο είναι και το ένα άκρο του διαδρόμου του και Β το άλλο άκρο. Όπως βλέπουμε και στο παραπάνω σχήμα για να διανύσει διάστημα 00m πρέπει να πραγματοποιήσει την εξής μετάβαση: Α Β Α Β Α, (μιας και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος (ΑΒ) ισούται (ΑΒ)=50 m), άρα επιστρέφει και πάλι στην αρχική του θέση. Για τη συνολική του μετατόπιση λοιπόν ισχύει: Δ Δ Δ 0 m τελ αρχ Α Α 7. (9089-Β) Κατά την εκτέλεση μιας εργαστηριακής άσκησης για τη μελέτη της ευθύγραμμης κίνησης, φωτογραφήσαμε μια σφαίρα σε διάφορες θέσεις κατά τη διάρκεια της κίνησής της και πήραμε την παρακάτω εικόνα. Στην εικόνα αυτή φαίνεται η

5 θέση της σφαίρας τη χρονική στιγμή, καθώς και οι διαδοχικές της θέσεις σε ίσα χρονικά διαστήματα, όπου το καθένα είναι ίσο με 0, s. A. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Παρατηρώντας την εικόνα, η μέση ταχύτητα της σφαίρας από τη χρονική στιγμή 0 μέχρι τη στιγμή 0, υπολογίζεται ίση με: α. 30 cm/s β. 5 cm/s γ. 8 cm/s B. Α. Σωστή απάντηση: (β). Β. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, η σφαίρα από τη χρονική στιγμή t 0s έως τη χρονική στιγμή t 0,5 s διανύει διάστημα s,5m, Για τη μέση ταχύτητα λοιπό της σφαίρας ισχύει: s,5 t 0,5 μ μ μ 0λ m 8. (5044-Β) Μία ομάδα μαθητών της Α Λυκείου στο εργαστήριο Φυσικής μελέτησε δύο ευθύγραμμες κινήσεις με χρήση χρονομετρητή και πήραν τις αντίστοιχες χαρτοταινίες που παριστάνονται στη παρακάτω εικόνα. Η «πάνω» χαρτοταινία αντιστοιχεί στην κίνηση Ι και η «κάτω» στη κίνηση ΙΙ. Το χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί μεταξύ δύο διαδοχικών κουκίδων είναι ίδιο και ίσο με ένα δευτερόλεπτο. Κάτω από κάθε κουκίδα που αντιστοιχεί στη θέση του κινητού, φαίνεται η ένδειξη του χρονομέτρου σε δευτερόλεπτα. A. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν υ και υ είναι οι μέσες ταχύτητες που αντιστοιχούν στις κινήσεις Ι και ΙΙ κατά το χρονικό διάστημα από s μέχρι s τότε ισχύει: α. β. γ. B.

6 Α. Σωστή απάντηση: (γ). Β. Για τις μέσες ταχύτητες υ και υ ισχύει: s s Δ () s s Δ () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε (3) Όμως όπως βλέπουμε και στο παρακάτω σχήμα το διάστημα s είναι μικρότερο s από το διάστημα s, άρα ισχύει s (4). Η σχέση (3) λοιπόν λόγο της σχέσης (4) γίνεται

7 . Ευθύγραμμες κινήσεις ΘΕΜΑ Β υ(m/s). (5046 -B) Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι ίση με 340m/s. Αν βρίσκεστε 90 m μακριά από σημείο που ξεσπά κεραυνός, θα ακούσετε τη βροντή που τον ακολουθεί: α. μετά από 3 s β. μετά από 3,5 s γ. μετά από 4 s t(s) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Ο ήχος διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα στον (ομογενή και ακίνητο αέρα) οπότε από την εξίσωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης έχουμε: x 90 t t 3,5s t 340. (5050- B) Δύο κινητά Α και Β κινούνται ευθύγραμμα. Η τιμή της ταχύτητάς τους μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Για τα μέτρα και των μετατοπίσεων των δυο κινητών A και Β αντίστοιχα, για το χρονικό διάστημα από 0 - t ισχύει: α. β. γ. A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B)Γνωρίζουμε ότι σε ένα διάγραμμα ταχύτητας χρόνου, το εμβαδόν που σχηματίζεται αντιστοιχεί στη μετατόπιση του κινητού, επομένως συγκρίνουμε απλά, τα δύο εμβαδά που σχηματίζονται ανάμεσα στις δύο γραφικές παραστάσεις και στον άξονα του χρόνου από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = t. Οπότε Δx Α < Δx Β 3. (B/508) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας ενός οχήματος που κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο, σε συνάρτηση με το χρόνο. Η μετατόπιση του οχήματος από τη χρονική στιγμή t = 0 s έως τη χρονική στιγμή t = 4 s είναι ίση με

8 α. 36 m β. 40 m γ. 3 m A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση: 0 x E 8 4 m 36 m 4. (553- B) Μία μπίλια κινείται πάνω στον άξονα x x και τη στιγμή 0 βρίσκεται στη θέση 0. Η τιμή της ταχύτητας της μπίλιας σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Η μπίλια τη χρονική στιγμή 0 βρίσκεται στη θέση α. 5 m β. 00 m γ. 75 m Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση ( ) 00, 00, } 5. (B/563) Στα σχήματα φαίνεται η κίνηση δύο σφαιρών στο εργαστηριακό τραπέζι. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών θέσεων κάθε σφαίρας αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα s. Τα μήκη είναι μετρημένα σε cm. Η ταχύτητα του κινητού Α είναι. Το κινητό Β ξεκίνησε από την ηρεμία και η μέση ταχύτητά του για όλη τη διαδρομή είναι.

9 Για τις ταχύτητες των σωμάτων ισχύει: α. β. γ. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) s 00cm Β) Η μέση ταχύτητα του (Α) είναι: 50 cm / s t 4s s 84cm Η μέση ταχύτητα του (Β) είναι: 0,4 cm / s t 9s Άρα 6. (B/90) Δύο μαθητές ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β), οι οποίοι έχουν ίσες μάζες κινούνται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητάς τους σε συνάρτηση με το χρόνο. Τη χρονική στιγμή 0, βρίσκονται στο ίδιο σημείο. Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Τη χρονική στιγμή ο Αντώνη: α. προπορεύεται του Βασίλη. β. καθυστερεί σε σχέση με τον Βασίλη.

10 γ. βρίσκεται ακριβώς δίπλα στον Βασίλη. Β. Α)Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση για το χρονικό διάστημα 0s-t : x E E x A,, 7. (B/950) Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου για ένα αυτοκίνητο (Α) και μία μοτοσικλέτα (Μ) που κινούνται ευθύγραμμα. Στο χρονικό διάστημα 0 : α. Το αυτοκίνητο διανύει μεγαλύτερο διάστημα από τη μοτοσικλέτα. β. Η μοτοσικλέτα διανύει μεγαλύτερο διάστημα από το αυτοκίνητο. γ. Η μοτοσικλέτα και το αυτοκίνητο διανύουν ίσα διαστήματα. Α)Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση το χρονικό διάστημα 0s-t : x E E x A,, 8. (B/953) Μία μπίλια τη χρονική στιγμή 0, βρίσκεται αρχικά ακίνητη στην θέση 0 του οριζόντιου άξονα x x. Η μπίλια τη χρονική στιγμή 0, αρχίζει να κινείται και η τιμή της ταχύτητας της σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Με s και Δx συμβολίζουμε αντίστοιχα το διάστημα που διανύει η μπίλια και τη μετατόπιση της στο χρονικό διάστημα 0 0. Για τις τιμές των μεγεθών s και Δx ισχύει: α. s = Δx = 5 m β. s = 30 m και Δx = 0 m γ. s = 5 m και Δx = 75 m.

11 A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση: ( 5) x x x E, E, m m x 00m 5m 75m Το αντίστοιχο διάστημα είναι: ( 5) m m x 00m 5m 5m s x x 9. (B/9334) Αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο και στην εικόνα παριστάνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο. Η μετατόπιση του αυτοκινήτου από 0 0 είναι: α. 300 m β. 600 m γ. 900 m. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση: 30 0 x E 30m 600m 0. (B/9576) Ένα αυτοκίνητο μετακινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται γραφικά η τιμή της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. Από το διάγραμμα αυτό συμπεραίνουμε ότι : α. Το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου β. H μετατόπιση του αυτοκίνητου στο χρονικό διάστημα 0 0 είναι ίση με 800 m

12 γ. Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστημα 0 0 είναι ίση με 0 A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Η επιτάχυνση του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστημα 0s-40s είναι: 0 0 a m / s 0,5 m / s t 40 0 H μετατόπιση του αυτοκίνητου στο χρονικό διάστημα 0 0 είναι ίση με το εμβαδόν της γραφικής παράστασης υ(t): 0 40 x E m 400m Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστημα 0 0 είναι: x 400m 0 m/ s t 40s. (B/0078) Η θέση ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα, δίνεται κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση ( x σε m, t σε s ) t 0.Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει την τιμή της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο; α. το (Ι) β. το (ΙΙ) γ. το (ΙΙΙ). A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Όταν η θέση ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα, είναι ανάλογη του χρόνου κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα : x t x 5t 5 m / s

13 . (B/0085) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται το μέτρο της ταχύτητας ενός αυτοκινήτου που μετακινείται ευθύγραμμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστημα 0 είναι ίση με α. 5 km/h β. 0 km/h γ. 0 km/h A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση: x x x x3 E E E3 0 km 0 km 0 km x 30km Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστημα 0 x 30km 0km / h t 3h 3. (B/09) Τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου για δύο κινητά () και () φαίνονται στο σχήμα. Αν και τα διαστήματα που διήνυσαν τα κινητά () και () αντίστοιχα το χρονικό διάστημα (0, ), τότε: α. β. γ. A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) H μετατόπιση ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν, από 0 έως t0 t για το σώμα () : s 0 0 για το σώμα (): s 0 t0 οπότε s s είναι:

14 4. (B/06) Η θέση ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα, δίνεται κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση 0 ( x σε m, t σε s ) t 0.Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει την τιμή της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο; α. το (Ι) β. το (ΙΙ) γ. το (ΙΙΙ). A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Όταν η θέση ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα, είναι ανάλογη του χρόνου κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα : x x0 t x 0 5t 5 m / s 5. (B/0700) Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται ποιοτικά η τιμή της ταχύτητας δύο σωμάτων Α και Β που κινούνται ευθύγραμμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Τα σώματα Α και Β κινούνται σε παράλληλες τροχιές και τη χρονική στιγμή 0 βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση: α. το σώμα Α είναι ακίνητο, ενώ το σώμα Β εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. β. τη χρονική στιγμή τα δύο σώματα συναντώνται.

15 γ. η μετατόπιση του σώματος Α στο χρονικό διάστημα 0 τη μετατόπιση του σώματος Β στο ίδιο χρονικό διάστημα. είναι διπλάσια από Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β)Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση το χρονικό διάστημα 0s-t xa E, t xb E Συνεπώς t xa xb 6. (0968 -B) Ένα όχημα κινείται ευθύγραμμα και η τιμή της ταχύτητάς του μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Η συνολική μετατόπιση του οχήματος στο χρονικό διάστημα 0 είναι ίση με: α. β. 0 γ. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Η μετατόπιση στο διάγραμμα υ(t) ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν: από 0 έως t E t από t έως t : E (t t ) t οπότε : 0 7. (0969 -B) Δύο κινητά Α και Β κινούνται ευθύγραμμα. Η τιμή της ταχύτητάς τους μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. α. Στο χρονικό διάστημα 0 τα δυο κινητά θα έχουν ίσες μετατοπίσεις.

16 β. Τη χρονική στιγμή τα δυο κινητά θα έχουν ταχύτητες ίσου μέτρου και επιταχύνσεις ίσου μέτρου. γ. Στο χρονικό διάστημα 0 το μέτρο της μετατόπισης του Β θα είναι διπλάσιο από το μέτρο της μετατόπισης του Α. A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Η μετατόπιση στο διάγραμμα υ(t) ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν: από 0 έως t. ( t 0) t Για το σώμα Β : Για το σώμα Α: t οπότε 8. (B/0837) Στην παρακάτω εικόνα παριστάνεται το διάγραμμα της ταχύτητας ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Από τα δεδομένα που μπορείτε να αντλήσετε από το διάγραμμα υπολογίζετε ότι το διάστημα που διάνυσε το κινητό σε χρόνο είναι: α β. γ.. A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) H μετατόπιση στο διάγραμμα υ(t) ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν, από 0 έως t : ( t 0) t E (0930- B) Σε ένα αυτοκίνητο, λόγο κακής εφαρμογής ενός εξαρτήματος, κάθε δυο δευτερόλεπτα στάζει από τη μηχανή του μια σταγόνα λάδι. Βρίσκεστε στο άκρο ενός δρόμου και το προαναφερθέν αυτοκίνητο περνά διπλά σας διαγράφοντας ευθεία τροχιά. Αφού το αυτοκίνητο απομακρυνθεί, και ενώ δεν διασχίζει το δρόμο

17 κάποιο άλλο αυτοκίνητο, παρατηρείτε στο οδόστρωμα τις κηλίδες λαδιού να έχουν την παρακάτω εικόνα. Με μια μετροταινία που διαθέτετε μετράτε την απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών κηλίδων και τη βρίσκετε σε όλες τις περιπτώσεις ίση με 0. Το αυτοκίνητο εκτελεί: α. ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα μέτρου 0 β. ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα γ. ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα μέτρου Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Παρατηρούμε ότι διανύει σε ίσους χρόνους (s), ίσα διαστήματα (30m) x 30 άρα εκτελεί ευθ. ομαλή με u u 5 m / s t 0. (0935 -B) Ένα μη επανδρωμένο αεροσκάφος της Πολεμικής Αεροπορίας βγαίνει από το υπόστεγο του, απογειώνεται, περιπολεί, προσγειώνεται και ξαναμπαίνει στο υπόστεγο. Οι τεχνικοί λαμβάνουν τα δεδομένα που κατέγραψαν οι αισθητήρες του και βλέπουν πως το διάστημα που διήνυσε ήταν, 0 και ο χρόνος που πέρασε από την έξοδο του έως τη είσοδο του στο υπόστεγο ήταν 3 ώρες. α. η μέση ταχύτητα του αεροσκάφους ήταν 0 και η μετατόπιση του 0 β. η μέση ταχύτητα του αεροσκάφους ήταν 0 και η μετατόπιση του 0 γ. η μέση ταχύτητα του αεροσκάφους ήταν 0 και η μετατόπιση του 0 A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Η μετατόπιση εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση, οπότε: 0 Αφού η αρχική θέση ταυτίζεται με την τελική. Ενώ η μέση ταχύτητα είναι S,7 0 m 90 m t 3h h u u u

18 . (3763-Β) Αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο. Στη διπλανή εικόνα παριστάνεται η γραφική παράσταση της τιμής της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο. Η μετατόπιση του αυτοκινήτου κατά το χρονικό διάστημα από είναι: α m β m γ. 300 m Β. Α) α Β) Από τη γραφική παράσταση υ(t) έχουμε ότι τα εμβαδά είναι αριθμητικά ίσα με τις αντίστοιχες μετατοπίσεις: Για μετατόπιση από 0s έως 0s: Για μετατόπιση από 0s έως 0s: ( ) (0 0) ( 0) Άρα (3768- B) Δύο κινητά Α και Β κινούνται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οx και έχουν εξισώσεις κίνησης (SI) και (SI) αντίστοιχα. Τα κινητά ξεκινούν από την ίδια θέση και θα ξανασυναντηθούν τη χρονική στιγμή: α. t = s β.,5 s γ. t = 3 s Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β). Β) Τα κινητά θα έχουν ίσες κατά μέτρο ταχύτητες την χρονική στιγμή:,,

19 3. (B/3770) Μία μπίλια κινείται πάνω στον άξονα x x και τη στιγμή 0 βρίσκεται στη θέση 0. Η τιμή της ταχύτητας της μπίλιας σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Η μπίλια τη χρονική στιγμή 0 βρίσκεται στη θέση: α. 5 m β. 00 m γ. 75 m A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Από το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) βρίσκουμε την μετατόπιση: ( 5) x x x E, E, m m x 00m 5m 75m 4. ( B) Ένας σκιέρ κινείται ευθύγραμμα. Η γραφική παράσταση της θέσης του σκιέρ σε συνάρτηση με το χρόνο είναι παραβολή και παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Από το διάγραμμα αυτό συμπεραίνουμε ότι το μέτρο της ταχύτητας του σκιέρ: α. αυξάνεται. β. μειώνεται γ. δε μεταβάλλεται Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α). Β) Γνωρίζουμε ότι η κλίση στο διάγραμμα θέσης χρόνου, μας δίνει την στιγμιαία ταχύτητα δηλαδή: ejj = dx dt = u Οπότε συγκρίνοντας τις κλίσεις τις δύο χρονικές στιγμές t και t παρατηρούμε ότι η κλίση της καμπύλης αυξάνεται επομένως αυξάνεται και η ταχύτητα.

20 5. ( B) Δύο αυτοκίνητα (Α) και (Β) έχουν μαζί με τους οδηγούς του ίσες μάζες και κινούνται σε οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο. Οι οδηγοί των αυτοκινήτων κάποια στιγμή φρενάρουν και τα αυτοκίνητα επιβραδύνονται με την ίδια επιβράδυνση. Αν το αυτοκίνητο (Α) εκινείτο αρχικά με μεγαλύτερη ταχύτητα από το (Β), τότε αυτό που θα διανύσει μεγαλύτερο διάστημα μέχρι να σταματήσει, είναι: α. το αυτοκίνητο (Α) β. το αυτοκίνητο (Β) γ. κανένα από τα δύο, αφού θα διανύσουν το ίδιο διάστημα. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α). Β) Από τις εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης: u u u a a t t t a a0, u0 0 o o u0 () ( ) x uo t a t () Από (), (): uo uo uo uo uo x uo a x x (3) a a a a a Σύμφωνα με την τελευταία σχέση διαμορφώνουμε τις σχέσεις που ακολουθούν: uo, x u a x o, x x x u x u o, o, x uo, x x a a uo, x a 6. ( B) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου, για δύο σώματα και που κινούνται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση, σε οριζόντιο δρόμο.

21 Από τη χρονική στιγμή 0 μέχρι τη χρονική στιγμή, το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα, είναι: α. ίσο με το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα. β. διπλάσιο από το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα. γ. ίσο με το μισό του διαστήματος που έχει διανύσει το σώμα. A) H σωστή απάντηση είναι το (β) B) H μετατόπιση ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν της γραφικής παράστασης υ(t), από 0 έως t: u t για το σώμα Σ : u t u t για το σώμα Σ: οπότε s s 7. (B/ /Β) Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο για δύο αυτοκίνητα Α και Β που κινούνται ευθύγραμμα, στον ίδιο οριζόντιο δρόμο. Τα διαστήματα και, που έχουν διανύσει τα αυτοκίνητα Α και Β αντίστοιχα, στη χρονική διάρκεια 0, ικανοποιούν τη σχέση: α. β. γ. A) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ Α ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ Β: A : s E A Β: E Β Άρα s s Β s s s A A Β Β A 8. (B/4995-B/905)

22 Δύο δρομείς και κινούνται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η θέση των δρομέων, σε συνάρτηση με το χρόνο. Η κίνηση των δρομέων είναι: α. ευθύγραμμη ομαλή και ο κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα από τον. β. ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη και ο κινείται με μεγαλύτερη επιτάχυνση από τον. γ. ευθύγραμμη ομαλή και ο κινείται με μικρότερη ταχύτητα από τον. A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) H κλίση και των δύο είναι σταθερή. Άρα εφόσον η κλίση σε διάγραμμα x-t δίνει την ταχύτητα και οι δρομείς εκτελούν Ε.Ο.Κ. Όμως: { ε ε 9. (505 -B) Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η τιμή της ταχύτητας ενός μικρού σώματος που μετακινείται ευθύγραμμα. α. Το διάστημα που διανύει το σώμα συνεχώς αυξάνεται. β. Το διάστημα που διανύει το σώμα συνεχώς μειώνεται. γ. Η μετατόπιση του σώματος συνεχώς αυξάνεται. A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν που σχηματίζεται στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνου αντιστοιχεί στη μετατόπιση Δx του οχήματος. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα παρατηρούμε ότι η ταχύτητα του οχήματος μειώνεται με σταθερό ρυθμό μέχρι που μηδενίζεται και στη συνέχεια αλλάζει φορά κίνησης. Επομένως θα μεγαλώνει συνεχώς το διάστημα που διανύει. Το συνολικό διάστημα επίσης υπολογίζεται αν αθροίσουμε τα εμβαδά που σχηματίζονται, με απόλυτες τιμές. 30. (084- B) Ένα αυτοκίνητο και ένα ποδήλατο βρίσκονται μπροστά από ένα φωτεινό σηματοδότη. Τη χρονική στιγμή t=0s, ο φωτεινός σηματοδότης γίνεται πράσινος

23 οπότε το αυτοκίνητο και το ποδήλατο ξεκινούν ταυτόχρονα κινούμενα ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση. Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Τη χρονική στιγμή t το αυτοκίνητο απέχει από το σηματοδότη τετραπλάσια απόσταση από αυτή που απέχει το ποδήλατο. Συμπεραίνουμε ότι η επιτάχυνση του αυτοκινήτου συγκριτικά με εκείνη του ποδηλάτου έχει μέτρο: α) διπλάσιο β) τετραπλάσιο γ) οκταπλάσιο. Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. A) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) Και τα δύο εκτελούν ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Αυτοκίνητο : xa aat () Ποδήλατο : x at () Όμως x x a t a t a () A 4 A 4 A 4 () 3. ( 0839-Β) Στο εργαστήριο του σχολείου σας μελετήσατε πειραματικά την ευθύγραμμη κίνηση ενός αμαξιδίου πάνω σε μια επιφάνεια με τη βοήθεια ενός ηλεκτρικού χρονομετρητή. Η χαρτοταινία που πήρατε από το πείραμα παριστάνεται στο παρακάτω σχήμα: εκατοστα Επεξεργαστήκατε τη παραπάνω χαρτοταινία γνωρίζοντας το γεγονός ότι η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών κουκίδων αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα 0, s. Με βάση τα αποτελέσματα της επεξεργασίας κατασκευάσατε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του αμαξιδίου σε συνάρτηση με το χρόνο θεωρώντας ότι η πρώτη κουκίδα αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t= 0 s Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση:

24 Ένας συμμαθητής σας μπέρδεψε τη γραφική παράσταση που προέκυψε από την επεξεργασία του δικού σας πειράματος με τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις που προέκυψαν από την επεξεργασία των δεδομένων από άλλα δυο αντίστοιχα πειράματα. Από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις στο δικό σας πείραμα αντιστοιχεί: α) η Α β) η Β γ) η Γ Β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Παρατηρούμε ότι το διάστημα ανάμεσα σε διαδοχικές κουκίδες αυξάνεται, οπότε η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, αρα αποκλείεται η Γ. Ακόμη αφού η μετατόπιση ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν, παρατηρούμε τα εξής: Για την ταινία Α: 30 0, Στο (0 0,)s 40 0, Στο (0 0,)s 50 0,3 Στο (0 0,3)s,5cm 4cm 7,5cm Και Στο (0 )s 80 ol 90cm Ενώ για την ταινία Β, οι αντίστοιχες μετατοπίσεις είναι φανερά μεγαλύτερες. 3. (654-Β) Ένα κινητό διέρχεται τη χρονική στιγμή 0 από τη θέση x0=0 ενός προσανατολισμένου άξονα Οx, κινούμενο κατά μήκος του προς τη θετική του

25 φορά. Η εξίσωση της θέσης του σε συνάρτηση με το χρόνο είναι της μορφής x 5t t (SI ). Το μέτρο της ταχύτητας του τη χρονική στιγμή t=5s είναι ίσο με: a.5m/s β. 5m/s γ. 0m/s Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Συγκρίνοντας την εξίσωση θέσης που μας δίνει με την αντίστοιχη, θεωρητικά έχουμε: α { { α ( ) α ( ) Η αντίστοιχη λοιπόν εξίσωση ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: ( 0 0 α α ( ) ( ) ) Θέτοντας τώρα στην () όπου t = 5 (s) έχουμε: t 5 () ( 33. (9080-Β) Δύο σώματα Σ και Σ κινούνται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η ταχύτητά τους σε συνάρτηση με το χρόνο. Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Τα μέτρα των επιταχύνσεων τους α και α ικανοποιούν τη σχέση: α) α = α β) α = α γ) α = α )

26 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) α Β) { α 0 t 0 0 t 0 α α t α α t α α t 34. (786-Β) Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου οριζόντιου δρόμου, ο οποίος θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x x. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η θέση του αυτοκινήτου σε συνάρτηση του χρόνου. Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η μετατόπιση του αυτοκινήτου στην κίνηση που περιγράφεται στο διπλανό διάγραμμα είναι ίση με: α) 30 m β) 0 m γ) 30 m Β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Η μετατόπιση ισούται με 30 0) m 30m και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση και όχι από την διαδρομή ή τις ενδιάμεσες θέσεις. Το έργο του βάρους είναι ανεξάρτητο της διαδρομής και ισούται με το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας : WB U WB (U U ) WB U WB 5 J 36. (794-Β) Στην παρακάτω εικόνα παριστάνεται το διάγραμμα της τιμής της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο ενός οχήματος το οποίο ξεκινά από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα για χρονικό

27 διάστημα 6 s. Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Τo ολικό διάστημα που διανύει το κινητό είναι: α) 4 m β) m γ) 36 m Β) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Από (0 )s : ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη (με u 0 =0), με α =4m/s σε s διανύει: a 4 8 t m Τη χρονική στιγμή t =s έχει ταχύτητα u at u 4 u 8 m / s Από ( 4)s : ευθύγραμμη ομαλή (με ταχύτητα u=8m/s) και διανύει : ut 8 6m Από (4 6)s : ομαλά επιβραδυνόμενη, με αρχική ταχύτητα u 8 m / s και επιτάχυνση α =-m/s και διανύει σε s : 3 u( t) a ( t) m Οπότε το συνολικό διάστημα θα ισούται με

28 S S 36m 37. (795-Β) Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο και η ταχύτητά του μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η κίνηση του αυτοκινήτου είναι: α) επιταχυνόμενη β) επιβραδυνόμενη γ) ομαλή Β) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Σε διάγραμμα ταχύτητας χρόνου, η κλίση σε κάθε σημείο ισούται αριθμητικά με την επιτάχυνση. u θ Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι η κλίση, μειώνεται άρα το μέτρο της επιτάχυνσης μειώνεται, που σημαίνει ότι η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή. Οπότε εκτελεί ευθύγραμμα επιταχυνόμενη. 0 θ t

29 3. ος Νόμος Νεύτωνα. (377-Β) Θέμα Β Δύο μεταλλικές σφαίρες Σ, Σ έχουν βάρη Β και Β αντίστοιχα και κρέμονται ακίνητες με τη βοήθεια νημάτων αμελητέας μάζας από την οροφή, όπως παριστάνεται στο σχήμα. A. Να μεταφέρετε το διπλανό σχήμα στο γραπτό σας και να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στις σφαίρες Σ και Σ. B. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που σχεδιάσατε, σε συνάρτηση με τα βάρη Β και Β των δύο σφαιρών. Α. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα σώματα (Σ) και (Σ) όπως επίσης και οι δυνάμεις που τους ασκούνται. Όπου : Τ: η τάση του νήματος που συνδέει το (Σ) με την οροφή W: το βάρος του σώματος (Σ) Τ: η τάση του νήματος που συνδέει το (Σ) με το σώμα (Σ) W: το βάρος του σώματος (Σ) Β. Το (Σ) ισορροπεί εφαρμόζοντας το ο Ν. του Νεύτωνα έχουμε: (θετική θεωρούμε τη φορά προς τα πάνω) Σ 0 Τ w Τ 0 Τ w Τ 0 Τ w Τ 0 Τ Β Τ () Το (Σ) ισορροπεί εφαρμόζοντας το ο Ν. του Νεύτωνα έχουμε: (θετική θεωρούμε τη φορά προς τα πάνω) Σ 0 Τ 0 Τ 0 Τ Τ Β w w w () Η σχέση () λόγο της σχέσης () γίνεται:. (5099-Β) Τ Β Β

30 Στο κιβώτιο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις και, με μέτρα = 4 N και =3 N. Το κιβώτιο παραμένει συνεχώς ακίνητο στο οριζόντιο δάπεδο. Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Στο κιβώτιο, ασκείται από το δάπεδο στατική τριβή, η οποία έχει:. φορά προς τα δεξιά και μέτρο ίσο με Ν.. φορά προς τα αριστερά και μέτρο ίσο με Ν. 3. φορά προς τα αριστερά και μέτρο ίσο με 7 Ν. Β. Α. Σωστή απάντηση: α. Β. Το κιβώτιο ισορροπεί εφαρμόζοντας το ο Ν. του Νεύτωνα, έχουμε: (θετική θεωρούμε τη φορά προς τα δεξιά, και, υποθέτουμε πως του ασκείται στατική τριβή η οποία έχει θετική φορά.) Σ 0 Τστ 0 Τ 0 Τ 0 Τ στ στ στ Ν () Άρα στο κιβώτιο ασκείται στατική τριβή με μέτρο Ν και φορά προς ίδια με αυτή που υποθέσαμε (αυτό ακριβώς δηλώνει και το πρόσημο + στο αποτέλεσμα), δηλαδή θετική (δεξιά). 3. (086-Β) Κιβώτιο βάρους Β βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο. Ένας άνθρωπος δένει το κιβώτιο με αβαρές σκοινί και σύρει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Όταν το σκοινί είναι οριζόντιο και μέσω αυτού ο άνθρωπος ασκεί στο κιβώτιο δύναμη Β, το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα. η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Το δάπεδο ασκεί στο κιβώτιο δύναμη με μέτρο:. Β.. Β. 3. Β

31 Β. Α. Σωστή απάντηση: β. Β. Το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα, άρα σύμφωνα με το ο Ν. Νεύτωνα για τη συνισταμένη δύναμη ισχύει Σ 0. Άρα η δύναμη δ που ασκείται στο σώμα από το δάπεδο θα πρέπει να είναι αντίθετη της συνισταμένης των δυνάμεων και Β, όπου: : η δύναμη που ασκεί ο εργάτης Β: το βάρος του κιβωτίου Για τη συνισταμένη () των δυνάμεων και Β ισχύει: = Β ε Β = Β Β Β Β =Β ο ε Η δύναμη λοιπόν δ που ασκείται στο σώμα από το δάπεδο θα έχει μέτρο δ=β και θα σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία ο. 4. (787-B) Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι κάθετες συνιστώσες x και y της δύναμης. Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν το μέτρο της συνιστώσας y και το μέτρο της δύναμης συνδέονται με τη σχέση Y = 0,8, τότε το μέτρο της συνιστώσας x και το μέτρο της δύναμης θα συνδέονται με τη σχέση : α) x = 0,8 β) x = 0,6 Β) Να δικαιολογήσετε την επιλογής σας. γ) x = 0,5

32 Α. Σωστή απάντηση το (β). Β. Το μέτρο της συνισταμένης, ισούται με : 0,8 y x y x (0,8) x 0, 64 0, 64 0,36 0, x x x x

33 . (376-Β) Σε ένα σώμα μάζας m που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο ασκούμε κατακόρυφη σταθερή δύναμη μέτρου, οπότε το σώμα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση μέτρου, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Α. να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: Β. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α. Η σωστή απάντηση είναι το (γ). Β. Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα (θετική θεωρούμε τη φορά προς τα πάνω) Σ α Β α Β α mg mg 3mg 3Β Β 3. (486-Β) Γερανός ασκεί σε κιβώτιο κατακόρυφη δύναμη με την επίδραση της οποίας το κιβώτιο κατεβαίνει κατακόρυφα με επιτάχυνση μέτρου g/, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, τότε για το μέτρο της δύναμης και το μέτρο Β του βάρους του κιβωτίου ισχύει α. =Β/. β. =Β. γ. =Β. Β. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α. Σωστή απάντηση:( α)

34 Β.Εφαρμόζουμε το ο Ν. του Νεύτωνα (θετική θεωρούμε τη φορά προς τα πάνω) Σ α Β α Β ( α) g mg m( ) mg mg mg Β 3. (3774-Β) Μία μεταλλική σφαίρα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και κατακόρυφα προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση, το μέτρο της οποίας είναι ίσο με α και στις δύο περιπτώσεις, όπως φαίνεται στην εικόνα. Στην εικόνα παριστάνονται επίσης και οι δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα σε κάθε περίπτωση. Α. να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Για τα μέτρα των δυνάμεων ισχύει η σχέση: α). ). ). Β. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) Εφαρμόζουμε το ο Ν. του Νεύτωνα για κάθε περίπτωση. (θετική θεωρούμε τη φορά προς τα πάνω) Περίπτωση : Περίπτωση : Σ α Β α α () Σ α Β α ( α) mα ()

35 Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: + mg 0 + mg 4. Σε ένα σώμα μάζας m ασκείται σταθερή (συνισταμένη) δύναμη μέτρου, οπότε αυτό κινείται με επιτάχυνση μέτρου α. Αν η ίδια σταθερή δύναμη ασκηθεί σε σώμα μάζας m, τότε αυτό θα κινηθεί με επιτάχυνση μέτρου: α.. β. α. γ. α. A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Εφαρμόζοντας τον ο Νόμο του Νεύτωνα για τις δύο περιπτώσεις που μελετάμε και διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις που προκύπτουν έχουμε: ma a a a ma ma a ma 5. (905-Β) Δύο σώματα Σ και Σ, με μάζες m και m αντίστοιχα, είναι ακίνητα σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0, τα σώματα δέχονται οριζόντιες δυνάμεις οι οποίες έχουν ίσα μέτρα και αρχίζουν να κινούνται ευθύγραμμα. Στο διπλανό διάγραμμα ταχύτητας χρόνου, φαίνεται πως μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητας των σωμάτων σε συνάρτηση με το χρόνο. Για τις μάζες των σωμάτων ισχύει η σχέση: α. m = m. β. m = m. γ. m = m Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Για τις επιταχύνσεις

36 Σ : α Σ : α 0 α t 0 0 t α t 0 ( ) () t Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Κ.Ε για κάθε σώμα έχουμε: () Σ : Σ α Σ : Σ α t ( ) () (3) (4) m m t ( ) t m m m m t 6. (5046-Β) Ένα φορτηγό και ένα Ι.Χ. επιβατηγό αυτοκίνητο κινούνται με ταχύτητες ίσου μέτρου σε ευθύγραμμο, οριζόντιο δρόμο. Κάποια χρονική στιγμή οι οδηγοί τους εφαρμόζουν τα φρένα προκαλώντας και στα δύο οχήματα συνισταμένη δύναμη ίδιου μέτρου και αντίρροπη της ταχύτητας τους. Το όχημα που θα διανύσει μεγαλύτερο διάστημα από τη στιγμή που άρχισε να επιβραδύνεται, μέχρι να σταματήσει είναι: α. το φορτηγό. β. το Ι.Χ. επιβατηγό. γ. κανένα από τα δύο, αφού θα διανύσουν το ίδιο διάστημα. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Από τις εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης: a u u u a 0, u0 0 a o t o () u 0 t t a x uo t ( a) t ()

37 Από (), (): uo uo uo uo uo x uo a x x (3) a a a a a Για το φορτηγό ισχύει: m a m a a m Για το ΙΧ αυτοκίνητο ισχύει: ma ma a m Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις καταλήγουμε ότι: a m m a (4) a IX m aix m Επομένως σύμφωνα με τι σχέση (3) για τα δύο οχήματα θα έχουμε: uo x a a x x x xix uo a xix a IX 7. (5050-Β) Μια μικρή σφαίρα μάζας κινείται ευθύγραμμα με την επίδραση δυο μόνο δυνάμεων και σταθερής κατεύθυνσης. Οι δυνάμεις είναι συνεχώς κάθετες μεταξύ τους με μέτρα και. Η σφαίρα κινείται με επιτάχυνση που έχει μέτρο: α., β., γ. 0, Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δύο δυνάμεων, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα: N Οπότε 5N ma a a,5 m / s m kg

38 8. Σε ένα κιβώτιο που αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 0 s να εφαρμόζεται μια οριζόντια δύναμη σταθερής κατεύθυνσης, το μέτρο της οποίας είναι σταθερό μέχρι τη στιγμή t. Στη συνέχεια το μέτρο της δύναμης μειώνεται μέχρι που μηδενίζεται τη χρονική στιγμή t, όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α. Μέχρι τη χρονική στιγμή t το κιβώτιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. β. Μέχρι την στιγμή t το σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και στην συνέχεια επιβραδυνόμενη κίνηση. γ. Μετά από τον μηδενισμό της δύναμης το σώμα συνεχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Η επιτάχυνση του σώματος (ρυθμός μεταβολής ταχύτητας) ισούται με x ma a m x άρα η επιτάχυνση είναι ανάλογη με τη συνισταμένη δύναμη. Η ταχύτητα του σώματος στο χρονικό διάστημα 0 t αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, στο t t ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται η ταχύτητα, μειώνεται ενώ ακολούθως μηδενίζεται και το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα. 9. (085-Β) Κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή 0 στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια (συνισταμένη) δύναμη η τιμή της οποίας σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από το διάγραμμα στη διπλανή εικόνα. Το κιβώτιο κινείται με: α. τη μέγιστη κατά μέτρο επιτάχυνση και τη μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα τη χρονική στιγμή t β. τη μέγιστη κατά μέτρο επιτάχυνση και τη μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα τη χρονική στιγμή t γ. τη μέγιστη κατά μέτρο επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t και τη μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα τη χρονική στιγμή t

39 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Η επιτάχυνση του σώματος ισούται με x ma a m Για να είναι μέγιστη η επιτάχυνση πρέπει χρονική στιγμή t. x να είναι μέγιστη, οπότε τη Στο (ο t) εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση, ενώ η ταχύτητα αυξάνεται με x αυξανόμενο ρυθμό. Στη συνέχεια από (t-t) η x 0 a 0 m εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση με μειούμενο ρυθμό,αρα η ταχύτητα αυξάνεται πάλι και για να γίνει μέγιστη πρέπει να μηδενιστεί η επιτάχυνση α=0, οπότε τη χρονική στιγμή t. x 0. (5404-Β) Ένα κιβώτιο μάζας ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο με την επίδραση οριζόντιας δύναμης. Το κιβώτιο ολισθαίνει με επιτάχυνση μέτρου. Διπλασιάζουμε το μέτρο της δύναμης οπότε το κιβώτιο ολισθαίνει με επιτάχυνση μέτρου ίσου με 3 m/s. Η αντίσταση του αέρα θεωρείτε αμελητέα. Το μέτρο της δύναμης ισούται με: α. 8 Ν. β. 4 Ν γ. 6 Ν A) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) Εφαρμόζουμε το ΘΝΜ για τις δύο περιπτώσεις: T ma T ma T ma () T ma T 3 ma T ma () 3( T ) T 3 3T T T (3) Από τη σχέση (3) και μια από τις () ή (): Υπολογίζουμε το μέτρο της τριβής ολίσθησης και στη συνέχεια το μέτρο της δύναμης. T ma T ma T N

40 Επομένως = 4N. (9084-B) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα ασκούνται δυνάμεις των οποίων η συνισταμένη είναι οριζόντια και η αλγεβρική της τιμή μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Τρεις μαθητές παρατηρώντας το υποστηρίζουν: Μαθητής Α: Το σώμα στο χρονικό διάστημα 0 t κινείται με σταθερή ταχύτητα και τη χρονική στιγμή t αρχίζει να επιβραδύνεται. Μαθητής Β: Το σώμα στο χρονικό διάστημα 0 t κινείται με σταθερή επιτάχυνση και τη χρονική στιγμή t αρχίζει να επιβραδύνεται. Μαθητής Γ: Η ταχύτητα του σώματος στο χρονικό διάστημα 0 t αυξάνεται με σταθερό ρυθμό και στο t ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται η ταχύτητα, μειώνεται. Από τους μαθητές, σωστή άποψη διατυπώνει ο: α. ο μαθητής Α β. ο μαθητής Β γ. ο μαθητής Γ A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Σύμφωνα με το ο Ν.Ν ισχύει: Σ α α δύναμη. Σ m άρα η επιτάχυνση είναι ανάλογη με τη συνισταμένη. (9093-Β) Ένα σώμα μάζας m κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου υο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται στο σώμα σταθερή συνισταμένη δύναμη μέτρου, αντίρροπη της ταχύτητας του, μέχρι να σταματήσει. Από τα παρακάτω διαγράμματα αυτό που δείχνει σωστά πως μεταβάλλεται η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, είναι:

41 α. το (α). β. το (β). γ. το (γ). A) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) Επειδή η δύναμη είναι σταθερή κατά μέτρο, το σώμα αποκτά σταθερή επιτάχυνση πάντα ομόρροπη της δύναμης. Εφόσον η επιτάχυνση έχει αντίθετη φορά από την ταχύτητα του σώματος, το αποτέλεσμα είναι η κίνηση να είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη, δηλαδή η ταχύτητα να μειώνεται γραμμικά με το χρόνο όπως δείχνει το (β) διάγραμμα. 3. (0843-Β) Παιδικό αμαξάκι έχει μάζα m = Kg και κινείται σε οριζόντιο δάπεδο. Στο αμαξάκι ασκείται τη χρονική στιγμή t = 0 s οριζόντια δύναμη μέτρου = 8 N. Η γραφική παράσταση της ταχύτητάς του σε συνάρτηση με τον χρόνο δίνεται στο διπλανό σχήμα. Δυο μαθητές Α και Β συζητούν για τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να υπολογίσουν την επιτάχυνση του. Ο Α σκέφτεται να υπολογίσει την επιτάχυνση από τη γραφική παράσταση ενώ ο Β από το λόγο /m. Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το σωστό τρόπο υπολογισμού της επιτάχυνσης έχει σκεφθεί: α. ο μαθητής Α β. ο μαθητής Β γ. και οι δύο Β)

42 Α) Το (α) u 5 Β) Ο μαθητής Α από την κλίση θα βρεί: a a 5 m / s t 3 Ο μαθητής Β θα βρεί: ma a a 8 m / s m Ο Β όμως αγνοεί την πιθανότητα ύπαρξης τριβής ή άλλων δυνάμεων, ενώ ο τρόπος του Α είναι ανεξάρτητος της συνισταμένης των δυνάμεων. 4. Ψαράς τραβά μια βάρκα προς τη ξηρά με τη βοήθεια ενός σκοινιού, ασκώντας σε αυτή οριζόντια δύναμη μέτρου 00Ν, οπότε η βάρκα πλησιάζει προς την ακτή με σταθερή ταχύτητα κινούμενη κατά τη διεύθυνση του σκοινιού. Θεωρούμε ότι το σκοινί δεν έχει μάζα και παραμένει οριζόντιο όσο η βάρκα κινείται. Η επίδραση του αέρα στη κίνηση της βάρκας δεν λαμβάνεται υπόψη. Η βάρκα ασκεί δύναμη στη θάλασσα της οποίας η οριζόντια συνιστώσα, α. είναι ομόρροπη με την και έχει μέτρο 00Ν β. είναι αντίρροπη με την και έχει μέτρο 00Ν γ. Η βάρκα δεν ασκεί δύναμη στη θάλασσα Α) H σωστή απάντηση είναι η (α). B) Ο ψαράς μέσω του σχοινιού, ασκεί δύναμη ίση με, στην βάρκα. Η βάρκα δέχεται από την θάλασσα (πέρα από την άνωση) και μια οριζόντια Θ αντίρροπη της, ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Οπότε με βάση τον 3 ο Ν. Νευτωνα, και η βάρκα ασκεί στη θάλασσα ίσου μέτρου δύναμη ( Θ=00Ν) και αντίθετης κατεύθυνσης. θ w Α Στη βάρκα (από θάλασσα) Στη θάλασσα (από βάρκα) θ

43 5. (473-Β) Μικρό σώμα μάζας 00 κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα, με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου 0. Αν διπλασιαστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα, τότε το σώμα θα αποκτήσει επιτάχυνση που θα έχει μέτρο: α. 0 β. γ. 0, Α) H σωστή απάντηση είναι η (α). y B) Αρχικά το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με x 0 T 0N N χ T Μετά η δύναμη διπλασιάζεται ενώ η τριβή δεν αλλάζει: m T m 0m / s 6. (793- B) Ένας μικρός κύβος βρίσκεται ακίνητος πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Την στιγμή t = 0 s αρχίζει να ασκείται στον κύβο οριζόντια δύναμη σταθερής κατεύθυνσης της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται με το χρόνο όπως παριστάνεται στο διάγραμμα. Η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί ο κύβος θα έχει. α. σταθερό μέτρο και μεταβαλλόμενη κατεύθυνση. β. μέτρο που αυξάνεται με το χρόνο και σταθερή κατεύθυνση γ. μέτρο που μειώνεται με το χρόνο και σταθερή κατεύθυνση Α) H σωστή απάντηση είναι η (β). w y x

44 B) Θεωρώντας ότι η γραφική παράσταση είναι της αλγεβρικής τιμής της δύναμης συναρτήσει του χρόνου. Από ο Ν. Νεύτωνα έχουμε : ma a m Παρατηρούμε ότι η δύναμη παραμένει συνεχώς θετική, οπότε και a 0 m Άρα δεν αλλάζει κατεύθυνση η επιτάχυνση. Ακόμη παρατηρούμε ότι η δύναμη αυξάνεται, οπότε και η επιτάχυνση θα αυξάνεται συνεχώς. 7. (9633-Β) Σε μικρό σώμα που κινείται ευθύγραμμα σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα 4m/s ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη αντίρροπη της ταχύτητας, με αποτέλεσμα το σώμα να σταματά σε χρονικό διάστημα Δt = 4s. Άλλη σταθερή οριζόντια δύναμη, διπλάσιου μέτρου της πρώτης, ασκείται στο ίδιο σώμα όταν κινείται με ταχύτητα 8 m/s, οπότε η ταχύτητα του μηδενίζεται σε χρονικό διάστημα Δt. α. Δt = s β. Δt = 4 s γ. Δt = 8 s Α) H σωστή απάντηση είναι η (β). Β) Εφαρμόζοντας για τις δύο περιπτώσεις τον ο Νόμο του Νεύτωνα βρίσκουμε τη σχέση ανάμεσα στα μέτρα των δύο επιβραδύνσεων: ma a ma ma a ma a a Από τις εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης, όταν το κινητό σταματά: Οπότε: u0 u u0 a t 0 u0 at t a

45 uo, t a t a u t a 4 t u t t a u t a t t a a uo, t a o, u o, o, o, 8 t t 4s 8. (0837-Β) Πίθηκος με μάζα 40 Kg κρέμεται από το κλαδί ενός δένδρου. Αν η επιτάχυνση τα βαρύτητας είναι 0 τότε η δύναμη που ασκεί ο πίθηκος στο κλαδί έχει μέτρο: α. 0 Ν. β. 400 Ν. γ. 800 Ν. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. A) Ησωστή απάντηση είναι το (β) B) O πίθηκος ισορροπεί, οπότε 0 T mg T 400 N Όπου Τ είναι η δύναμη που δέχεται από το κλαδί. Από 3 ο Ν. Νεύτωνα, η δύναμη αυτή είναι ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτή του πιθήκου στο κλαδί. 9. (0850-Β) Κιβώτιο μάζας 0 Kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη η τιμή της οποίας σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Το κιβώτιο αρχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x. Τη χρονική στιγμή t=3 s: α. το κιβώτιο ηρεμεί. β. το κιβώτιο εξακολουθεί να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x.

46 γ. το κιβώτιο κινείται κατά την αρνητική φορά του άξονα x. A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Από (0 )s: ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση m έχει ταχύτητα u at u m Από ( )s: Σ=0, ευθύγραμμη ομαλή με u=u Από ( 3)s: ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη με επιτάχυνση Τη t=3s έχει ταχύτητα u u0 a ( t) u u 0 m m m m 0. ( 084-Β) Κιβώτιο αρχίζει την t = 0 s να κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δάπεδο και η τιμή της ταχύτητας του δίδεται από τη σχέση υ = 5t (SI). Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η τιμή της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο κιβώτιο: α. ελαττώνεται με το χρόνο. β. αυξάνεται με το χρόνο. γ. παραμένει σταθερή. Β) A) Η σωστή απάντηση είναιτο (γ) Β) Η εξίσωση της ταχύτητας είναι της μορφής: u u0 at με u0= 0 και α=5m/s =σταθερή. Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, άρα από ο Ν. Νεύτωνα: ma. (083-Β) O χονδρός (Α) και ο λιγνός (Β) έχουν μάζες ma και mb με σχέση ma = mb. Οι δυο τους στέκονται με πατίνια σε λείο οριζόντιο δάπεδο κρατώντας το τεντωμένο σκοινί,

47 όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η μάζα των πατινιών θεωρείτε αμελητέα. Τραβώντας το σκοινί αρχίζουν να κινούνται με επιταχύνσεις μέτρων αα και αβ που έχουν σχέση: α. αα = αβ =0 β. αα = αβ γ. αβ = αα Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Από 3 ο Ν. Nεύτωνα, και οι δύο θα δεχτούν ίσου μέτρου δυνάμεις. από ο Ν. Nεύτωνα για το ma: m a a A A A από ο Ν. Nεύτωνα για το mb: m a a B B B m A m B διαιρώντας κατά μέλη : aa ma ma mb ab aa a B ma m m B B. (084-Β) Σώμα αρχίζει την χρονική στιγμή 0 να κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δάπεδο και η τιμή της ταχύτητας του δίδεται από τη σχέση ( ). Η τιμή της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα με το πέρασμα του χρόνου: α. ελαττώνεται. β. αυξάνεται. γ. παραμένει σταθερή. A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Η εξίσωση της ταχύτητας είναι της μορφής: u u0 at με u 0 = 0 και α=m/s =σταθερή και το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, άρα από ο Ν. Nεύτωνα: ma

48 3. (085-Β) Αλεξιπτωτιστής εγκαταλείπει το αεροπλάνο που τον μεταφέρει χωρίς αρχική ταχύτητα και ανοίγει το αλεξίπτωτο του. Ο αλεξιπτωτιστής κινείται κατακόρυφα και προσεδαφίζεται στην επιφάνεια της γης τη χρονική στιγμή t. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας g είναι σταθερή και η αντίσταση του αέρα είναι ανάλογη της ταχύτητας του αλεξιπτωτιστή. Στη διπλανή εικόνα παριστάνονται τρία διαγράμματα ταχύτηταςχρόνου τα Α, Β και Γ. Το διάγραμμα ταχύτηταςχρόνου, που περιγράφει τη κίνηση του αλεξιπτωτιστή είναι: α. το Α β. το Β γ. το Γ Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) Η αντίσταση του αέρα αυξάνεται με την ταχύτητα του, οπότε η επιτάχυνση mg ma a a θα πρέπει να μειώνεται και να εκτελεί επιταχυνόμενη m κίνηση, ενώ ακολούθως κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 4. (0838-Β) Ένα κιβώτιο είναι αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη που η τιμή της μεταβάλλεται με τη θέση του κιβωτίου όπως φαίνεται στο διάγραμμα της παρακάτω εικόνας. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Το μέτρο της ταχύτητας του κιβωτίου γίνεται μέγιστο στη θέση, α. m β. m γ. 3 m

49 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Στο διάστημα (0 )m η συνισταμένη των δυνάμεων είναι θετική και σταθερή: ma a 0 m Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Στο διάστημα ( )m η συνισταμένη των δυνάμεων είναι θετική: ma a 0 m Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη επιταχυνόμενη κίνηση,όχι ομαλά. Συνεπώς μέχρι τη θέση x=m, η ταχύτητα αυξάνεται. Μετά τη θέση x= m, η δύναμη αλλάζει φορά: ma a 0 m Άρα εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση, όχι ομαλά. Δηλαδή μετά τη θέση x= m, η ταχύτητα μειώνεται, άρα το μέτρο της ταχύτητας γίνεται μέγιστο (umax ) στη θέση x=m. 5. (377- Β) Σε αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα μέτρου υ, ο οδηγός του φρενάρει οπότε το αυτοκίνητο διανύει διάστημα d μέχρι να σταματήσει. Αν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα διπλάσιου μέτρου, δηλαδή υ =υ, τότε για να σταματήσει πρέπει να διανύσει διάστημα d. Αν το αυτοκίνητο σε κάθε φρενάρισμα επιβραδύνεται με την ίδια επιβράδυνση,τότε ισχύει : α)d = d β)d = 3d γ)d = 4d Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Β) B. A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Το αυτοκίνητο σε κάθε φρενάρισμα επιβραδύνεται ομαλά με την ίδια επιβράδυνση μέχρι να σταματήσει. Οι εξισώσεις κίνησης είναι:

50 } η περίπτωση η περίπτωση ( ) 6. (0843-Β) Παιδικό αμαξάκι μάζας m=kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο. Στο αμαξάκι ασκείται τη χρονική στιγμή t=0s οριζόντια δύναμη =8N. Η γραφική παράσταση υ(t) δίνεται στο διπλανό σχήμα. Δύο μαθητές Α και Β συζητούν τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να υπολογίσουν την επιτάχυνσή του. Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Ο Α σκέφτεται να υπολογίσει την επιτάχυνση από τη γραφική παράσταση υ(t) ενώ ο Β από το λόγο m. Το σωστό τρόπο υπολογισμού της επιτάχυνσης έχει σκεφτεί: α) ο μαθητής Α β) ο μαθητής Β γ) και οι δύο. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) u 5 B) Ο μαθητής Α από την κλίση θα βρεί: a a 5 m / s t 3 Ο μαθητής Β θα βρεί: ma a a 8 m / s m Ο Β όμως αγνοεί την πιθανότητα ύπαρξης τριβής ή άλλων δυνάμεων γιατί δεν ισχύει πάντα, ενώ ο τρόπος του Α είναι ανεξάρτητος της συνισταμένης των δυνάμεων.

51 7. (5404-B) Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η τιμή της ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο. Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Για το χρονικό διάστημα Δtισχύει: α) Στο χρονικό διάστημα ( s s) η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή. β) Η ολική μετατόπιση του αυτοκινήτου είναι μηδέν. γ) Στο χρονικό διάστημα ( s 3 s) η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο αυτοκίνητο είναι μηδέν. Β) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Η κλίση του διαγράμματος ταχύτητας χρόνου αντιστοιχεί στην επιτάχυνση της κίνησης. Επειδή λοιπόν παρατηρούμε ότι στο χρονικό διάστημα ( s 3 s), η κλίση είναι ίση με μηδέν, η ταχύτητα διατηρείται σταθερή, σύμφωνα με τον ο Ν.ομο του Νεύτωνα : Σ = 0 8. (505-Β) Τα κιβώτια Σ και Σ, του διπλανού σχήματος, έχουν μάζες m και m αντίστοιχα, με m = m και είναι δεμένα με αβαρές και μη εκτατό νήμα. Τα κιβώτια σύρονται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με την επίδραση οριζόντιας σταθερής δύναμης και μετακινούνται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση α, ενώ το αβαρές και μη εκτατό νήμα που τα συνδέει παραμένει συνεχώς τεντωμένο. Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση Αν T είναι το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα σε κάθε κιβώτιο, τότε το μέτρο της δύναμης είναι: α) = T β) = T

52 γ) = 3T Β) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) Εφαρμόζουμε τον Ο Ν. Νεύτωνα για το σώμα μάζας m : ma T ma () Εφαρμόζουμε τώρα τον Ο Ν. Νεύτωνα για το σύστημα: ( m m ) a m a () Από (), (): = T 9. (0848-B) Ένα φορτηγό και ένα επιβατικό Ι.Χ. αυτοκίνητο συγκρούονται μετωπικά. Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο Ι.Χ. αυτοκίνητο είναι συγκριτικά με αυτό της δύναμης που ασκείται στο φορτηγό: α) μεγαλύτερο β) μικρότερο γ)το ίδιο Β) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Aπό τον 3 ο Ν. Νεύτωνα, η δύναμη που ασκεί το αυτοκίνητο στο φορτηγό είναι ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτή του φορτηγού στο αυτοκίνητο. 30. (79- Β) Κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t= 0s στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη η τιμή της οποίας σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από το διάγραμμα της διπλανής εικόνας, οπότε το κιβώτιο αρχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x x Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Τη χρονική στιγμή t= 3s α) το κιβώτιο εξακολουθεί να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x x

53 β) η ταχύτητα του κιβωτίου είναι μηδέν γ) το κιβώτιο κινείται κατά την αρνητική φορά του άξονα x Β) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) από (0 )s : εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη (με u 0 =0), με επιτάχυνση, από ο 0 Ν. Νεύτωνα: ma a a () m m Τη χρονική στιγμή t =s έχει ταχύτητα () 0 0 u at u u () m m από ( )s : εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή (με σταθερή ταχύτητα u ) από ( 3)s : εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη, με αρχική ταχύτητα u και επιτάχυνση από ο 0 Ν. Νεύτωνα: ma a a m m (3) οπότε τη χρονική στιγμή t =3s έχει ταχύτητα, με Δt= 3 =s (3) u u0 a ( t) u u 0 m m m () 3. (796- Β) Σε ένα κιβώτιο που αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο ένας μαθητής ασκεί οριζόντια δύναμη, η αλγεβρική τιμή οποίας μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η κινητική ενέργεια του κιβωτίου: α) αυξάνεται στη χρονική διάρκεια 0 t, παραμένει σταθερή στη χρονική διάρκεια t t και μειώνεται στη χρονική διάρκεια t t 3 β) αυξάνεται μόνο στη χρονική διάρκεια 0 t. γ) αυξάνεται σε όλη τη χρονική διάρκεια από 0 t 3

54 Β) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Παρατηρούμε από το διάγραμμα ότι η δύναμη διατηρεί συνεχώς θετική αλγεβρική τιμή, που σημαίνει από ο Ν. Νεύτωνα ότι: ma a 0 m Από 0 t εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση, αφού a, m Από t t εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, αφού a, m Από t t3 εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση, αφού a. m Οπότε η ταχύτητα αυξάνεται συνεχώς άρα και η κινητική αυξάνεται σε όλη τη χρονική διάρκεια. 4. Στατική τριβή - Τριβή ολίσθησης

55 ΘΕΜΑ Β. Ένα σώμα μάζας m είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου και το σώμα αρχίζει να κινείται στο οριζόντιο δάπεδο με επιτάχυνση ίση με α. Αν στο ίδιο σώμα ασκηθεί δύναμη μέτρου, τότε κινείται με επιτάχυνση μέτρου 3α. Αυτό που αναφέρεται στην παραπάνω διατύπωση: α. είναι σωστό μόνο αν η τριβή ολίσθησης έχει μέτρο ίσο με /. β. είναι σωστό μόνο αν το δάπεδο είναι λείο, οπότε η τριβή ολίσθησης είναι ίση με μηδέν. γ. δεν είναι σωστό αφού το σώμα δε μπορεί να αποκτήσει επιτάχυνση μεγαλύτερη του α. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Αν το δάπεδο ήταν λείο τότε από τον Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής η δύναμη θα ήταν ανάλογη της επιτάχυνσης (ΘΝΜ) x ma m a, το οποίο δεν ισχύει από τα δεδομένα. Αρχικά ισχύει από τον ΘΝΜ: ma T m a() Ν x Μετά ισχύει από τον ΘΝΜ: Τ ma T m3a T 3m a x T 3( T ) T 3 3T T W. Στο κιβώτιο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις και, με μέτρα = 4 N και = 3 N. Το κιβώτιο παραμένει συνεχώς ακίνητο στο οριζόντιο δάπεδο. Στο κιβώτιο, ασκείται από το δάπεδο στατική τριβή, η οποία έχει: α. φορά προς τα δεξιά και μέτρο ίσο με Ν. β. φορά προς τα αριστερά και μέτρο ίσο με Ν. γ. φορά προς τα αριστερά και μέτρο ίσο με 7 Ν. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β)

56 Β) Επειδή το κιβώτιο θα τείνει να κινηθεί προς τα δεξιά. Επειδή δεν κινείται από τον ο Ν.Νεύτωνα ισχύει: 0 T 0 T T=4N-3N=N 3. Ένα ξύλινο κιβώτιο μάζας m = 500 g βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα ασκούνται συγχρόνως οι σταθερές οριζόντιες δυνάμεις με μέτρα = 0 N και = 6 N όπως φαίνεται στο σχήμα. Με την επίδραση των δυνάμεων και το σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση. Η τριβή ολίσθησης που ασκείται στο κιβώτιο από το δάπεδο είναι σταθερή με μέτρο T = N. Το κιβώτιο κινείται με επιτάχυνση που έχει μέτρο, α. 8 m/s. β. 4 m/s. γ. m/s. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Επειδή το κιβώτιο θα κινηθεί προς τα δεξιά. Ισχύει ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής στον άξονα x x : m T m a 4. Ν T N a α 4m / s m 0, 5kg Τ (0845-Β) W Κιβώτιο μάζας m Kg βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο. Με τη βοήθεια δυο σχοινιών ασκούνται στο κιβώτιο δυο δυνάμεις, όπως δείχνονται στη διπλανή εικόνα, με μέτρα = 5 και =. Αν το κιβώτιο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά και g η επιτάχυνση της βαρύτητας τότε ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ μεταξύ κιβωτίου και δαπέδου είναι: α.. β.. γ..

57 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) N Β) Εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Στον άξονα x x ισχύει ο ος Ν.Νεύτωνα: T w 0 T 0 T 5 T 4 () x στον yy : 0 N w N mg () y οπότε η τριβή είναι: T () T () 4 mg 5. Στην διπλανή εικόνα φαίνεται ένας μαθητής που ασκεί δύναμη μέτρου σε ένα αυτοκίνητο και προσπαθεί να το μετακινήσει, όμως αυτό όπως και ο μαθητής, παραμένει ακίνητο. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο μαθητή και να διακρίνεται ποιες από τις δυνάμεις που σχεδιάσατε είναι δυνάμεις από επαφή και ποιες είναι δυνάμεις από απόσταση. Οι δυνάμεις επαφής είναι η κάθετη αντίδραση Ν, η δύναμη στατικής τριβής Τστ και η αντίδραση της δύναμης. Το βάρος W είναι δύναμη από απόσταση. 6. * Ένα κιβώτιο ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Ένας άνθρωπος σπρώχνει το κιβώτιο ασκώντας σε αυτό οριζόντια δύναμη αυξανόμενου μέτρου. Η επίδραση του αέρα αμελείται. Προκειμένου να αρχίσει το κιβώτιο να κινείται θα πρέπει το μέτρο της δύναμης να γίνει ίσο με το μέτρο, α. του βάρους του κιβωτίου. β. της στατικής τριβής. γ. της οριακής τριβής. Ν W Τ στ

58 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ). Β) Για να αρχίσει το κιβώτιο να κινείται θα πρέπει το μέτρο της δύναμης να γίνει ίσο με το μέτρο της οριακής τριβής. 7. Σε ξύλινο παραλληλεπίπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου και κινείται σε οριζόντιο τραπέζι με σταθερή ταχύτητα. Η έδρα του παραλληλεπίπεδου που βρίσκεται σε επαφή με το τραπέζι έχει εμβαδόν Ε.Το ίδιο παραλληλεπίπεδο τοποθετείται ώστε να έχει σε επαφή με το τραπέζι μια έδρα εμβαδού E/. Προκειμένου το παραλληλεπίπεδο να κινείται πάλι με σταθερή ταχύτητα απαιτείται η άσκηση οριζόντιας δύναμης μέτρου, α. /. β.. γ.. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β). Β) Για να κινείται το κιβώτιο με σταθερή ταχύτητα θα πρέπει το μέτρο της δύναμης να γίνει ίσο με το μέτρο της τριβής ολίσθησης η οποία είναι ανεξάρτητη από το εμβαδόν της επιφάνειας επαφής. 8. (0838-B) Ένα ξύλινο παραλληλεπίπεδο Π κινείται υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου, με σταθερή ταχύτητα. Κολλάμε στο Π ένα ακριβώς ίδιο παραλληλεπίπεδο Π. Θεωρούμε την αντίσταση του αέρα ασήμαντη. Για να κινηθεί το σύστημα των Π-Π ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που κινείται το Π, θα πρέπει να ασκήσουμε δύναμη μέτρου α. /. β.. γ.. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) T N

59 Β) Τα δύο σώματα εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: x 0 T () Στον άξονα yy y 0 N w N mg () Η τριβή ολίσθησης είναι : () T μ T μ mg (3) Αρα η () λόγω (),(3): για Π : μmg, για Π : μmg, οπότε 9. Εργάτης σπρώχνει το κιβώτιο μάζας m σε οριζόντιο δάπεδο ασκώντας σε αυτό οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου. Η επίδραση του αέρα αμελείται. Tο κιβώτιο θα κινείται με Τ επιτάχυνση μέτρου: α. οπωσδήποτε μεγαλύτερου από /m. β. οπωσδήποτε μικρότερου από /m. γ. εξαρτάται από το είδος των επιφανειών επαφής κιβωτίου και δαπέδου. N B Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Ισχύει ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής στον άξονα x x : T x ma T ma a m Οπότε εξαρτάται από το είδος των επιφανειών επαφής κιβωτίου και δαπέδου αν υπάρχει τριβή ολίσθησης ή όχι. 0. (797-Β) Εργάτης ασκεί σε σιδερένιο κιβώτιο βάρους B οριζόντια δύναμη μέτρου ίσο με το /5 του βάρους δηλαδή =B/5, οπότε το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και διαδρόμου είναι: α. 0,5. β. 0,. γ. 0,4

60 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Αφού κινείται με σταθερή ταχύτητα, από ο Ν. Νεύτωνα στον άξονα χχ : B x 0 T 0 T T () και στον 5 άξονα yy 0 N B () y Τ N οπότε από τον τύπο της τριβής έχουμε: B T B T () μ μ= μ= 5 μ=0, () B. (086-Β) Κιβώτιο βάρους Β βρίσκεται ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Ένας άνθρωπος δένει το κιβώτιο με αβαρές σκοινί και το σύρει πάνω στο δάπεδο. Όταν το σκοινί είναι οριζόντιο και μέσω αυτού ο άνθρωπος ασκεί στο κιβώτιο δύναμη μέτρου = B το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Η επίδραση του αέρα αμελείται. Το δάπεδο ασκεί στο κιβώτιο δύναμη με μέτρο, α. B. β. B. γ. Β Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Το κιβώτιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: x 0 T () στον yy : y 0 N B () Τ N όμως οι δυνάμεις Ν, Τ είναι κάθετες μεταξύ τους, οπότε το μέτρο της συνισταμένης από το δάπεδο είναι: B N T

61 . Ένα σώμα είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα τη χρονική στιγμή t0 = 0 s αρχίζει να ασκείται οριζόντια δύναμη, της οποίας το μέτρο σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο διάγραμμα. Το σώμα στη χρονική διάρκεια από 0 s 0 s παραμένει ακίνητο ενώ τη χρονική στιγμή t = 0 s αρχίζει να κινείται. Η δύναμη τριβής που ασκείται στο σώμα τη χρονική στιγμή t = 0 s έχει μέτρο 80 Ν. Ο ακριβής χαρακτηρισμός για την τριβή αυτή είναι: α. Στατική τριβή. β. Τριβή ολίσθησης. γ. Οριακή τριβή. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Για να αρχίσει το κιβώτιο να κινείται θα πρέπει το μέτρο της δύναμης να γίνει ίσο με το μέτρο της οριακής τριβής. 3. Θέλετε να μειώσετε τη δύναμη της τριβής μεταξύ ενός «συγκρουόμενου αυτοκινήτου» του Λούνα Παρκ, το οποίο συνηθίζετε να οδηγείτε μαζί με ένα φίλο σας, και της οριζόντιας πίστας του Λούνα Πάρκ. Για να πετύχετε κάτι τέτοιο θα πρέπει: α. Να οδηγείτε το αυτοκίνητο με μεγαλύτερη ταχύτητα. β. Να επιλέξετε το αυτοκίνητο που έχει τη μικρότερη βάση (επιφάνεια επαφής). γ. Να μην πάρετε μαζί σας το φίλο σας και να οδηγήσετε μόνος σας το αυτοκίνητο. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Ν Β) Η τριβή ολίσθησης δίνεται από τον τύπο: Τ μν T μ Ν: Η κατακόρυφη δύναμη που δέχεται το σώμα στο έδαφος Άρα παρατηρούμε πως η τριβή εξαρτάται άμεσα από το συντελεστή τριβής, δηλαδή το είδος των επιφανειών που έρχονται σε επαφή και τη μάζα. Μάλιστα το μέτρο της τριβής είναι ανάλογο με τις τιμές m και μ. Άρα όσο μικραίνει η μάζα τόσο μικρότερη τριβή αναπτύσσεται. Συνεπώς καλό θα είναι να μην παίρνει

62 ..μάζα. Η τριβή είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας και του εμβαδού των τριβόμενων επιφανειών. 4. Ένας εργάτης ασκεί σε ένα σώμα οριζόντια σταθερή δύναμη με φορά προς τα δεξιά και το σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, προς την κατεύθυνση της δύναμης. Σε καθένα από τα παρακάτω τρία σχήματα τα βέλη αντιστοιχούν στα διανύσματα των δυνάμεων (ή συνιστωσών δυνάμεων), που ασκούνται στο σώμα, κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Να επιλέξετε ποιο σχήμα αντιστοιχεί στην κίνηση που εκτελεί το σώμα και να εξηγήσετε καθένα από τα βέλη που είναι σχεδιασμένα σε ποια δύναμη (ή συνιστώσα δύναμης) αντιστοιχεί. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Το σωστό σχήμα είναι το (β). Το βέλος () αντιστοιχεί στη δύναμη, το βέλος () αντιστοιχεί στην κάθετη αντίδραση Ν, το βέλος (3) αντιστοιχεί στην τριβή ολίσθησης Τ, το βέλος (4) αντιστοιχεί στο βάρος W. Επειδή το σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, προς την κατεύθυνση της δύναμης θα είναι: ma T ma 0 T x 5. Ένα σώμα κινείται πάνω σε οριζόντια επιφάνεια που δεν είναι λεία. Εάν το σώμα το μετακινεί ένας άνθρωπος ασκώντας σε αυτό οριζόντια δύναμη, όπως φαίνεται στο σχήμα τότε : α. η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή όταν η δύναμη είναι σταθερή και μεγαλύτερη της τριβής ολίσθησης. β. η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή όταν η συνισταμένη της δύναμης και της τριβής ολίσθησης είναι μηδενική.

63 γ. η επιτάχυνση του σώματος είναι σταθερή όταν η συνισταμένη της δύναμης και της τριβής ολίσθησης είναι μηδενική. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Αν το σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, προς την κατεύθυνση της δύναμης θα είναι: ma T ma 0 T x Αν το σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, προς την κατεύθυνση της δύναμης θα είναι: 0 T 0 x 6. Ο κύβος Κ βρίσκεται πάνω σε μια σανίδα, η οποία κινείται οριζόντια με επιτάχυνση ίση με α, με την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύβος Κ κινείται μαζί με την σανίδα χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε αυτήν. Να αντιγράψετε το σχήμα στη κόλλα του γραπτού σας και να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο. Ποια συνιστώσα δύναμης από αυτές που ασκούνται στον κύβο, τον αναγκάζει να κινείται μαζί με τη σανίδα. α. Η δύναμη. β. Το βάρος του. γ. Η στατική τριβή Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Στον κύβο ασκούνται το βάρος του W, η κάθετη αντίδραση Ν και η στατική τριβή Τστ, που αναγκάζει τον κύβο, να κινείται μαζί με τη σανίδα. 7. (0839-Β) Δύο εργάτες Α και Β σπρώχνουν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο δυο όμοια κιβώτια Α και Β ασκώντας σε αυτά οριζόντιες Ν δυνάμεις με μέτρα A και B αντίστοιχα. Το κιβώτιο Α είναι άδειο και έχει μάζα m ενώ το Β είναι γεμάτο Τ στ και έχει μάζα m. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. W Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση: Αν τα κιβώτια κινούνται με σταθερή ταχύτητα τότε ισχύει : α) A = B β) A = B γ) B = A Τ στ

64 Β) Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Τα δύο κιβώτια εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή : 0 T () x T N στον yy 0 N w N mg () y οπότε η τριβή ολίσθησης : αρα η () λόγω (),(3) () T T mg (3) για Α: A mg, για Β: mg, οπότε ΘΕΜΑ Δ 8. Τη χρονική στιγμή t = 0 s ένας μαθητής ξεκινά να παρατηρεί την κίνηση ενός σώματος μάζας m = 0 kg που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ= 0 m/s. To σώμα διανύει διάστημα s = 00 m κινούμενο με σταθερή ταχύτητα και στη συνέχεια αποκτά σταθερή επιβράδυνση μέχρι να σταματήσει. Η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με g = 0 m/s. Αν γνωρίζετε ότι η χρονική διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι Δt = 5 s τότε: Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιβράδυνσης του σώματος. Δ. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση του μέτρου της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο σε βαθμολογημένους άξονες. Δ3. Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του σώματος για τη συνολική χρονική διάρκεια που ο μαθητής παρατήρησε την κίνηση του. Δ4. Να υπολογίσετε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του δρόμου στον οποίο κινείται, αν γνωρίζετε ότι η τριβή ολίσθησης είναι η μοναδική δύναμη που επιβραδύνει το σώμα. Δ) Το σώμα αρχίζει να επιβραδύνεται ομαλά με αρχική ταχύτητα : 0, 0 m/ s Το μέτρο της επιβράδυνσης του σώματος είναι:

65 0 0 a m / s 4 m / s t 5 Δ) Αρχικά το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση(εοκ) και ακολούθως επιβραδύνεται ομαλά μέχρι να σταματήσει. Το σώμα κάνει ΕΟΚ για χρονικό διάστημα t: s 00m s t t t 5s 0 m/ s Συνεπώς ο συνολικός χρόνος κίνησης είναι: t t t 5s 5s 0s. Δ3) Το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν της γραφικής παράστασης υ(t). 5 0 υ(m/s) s E 0 m 50 m Η μέση ταχύτητα του σώματος στη χρονική διάρκεια s είναι: s 50m 5 m/ s 5 0 t 0s Δ4) Στον yy 0 N w N mg () y xt(s) Επειδή η τριβή ολίσθησης είναι η μοναδική δύναμη που επιβραδύνει το σώμα, από τον Ο Ν.Νεύτωνα ισχύει: x ma T 0 kg ( 4 m / s ) T 40N οπότε η τριβή ολίσθησης : 40 T T mg 0, 4 mg 0kg 0 m / s 9. Ένα σώμα μάζας 0 kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται σ αυτό οριζόντια δύναμη σταθερής κατεύθυνσης, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του οριζόντιου δαπέδου είναι ίσος με μ = 0, και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Δ. Να σχεδιάσετε ένα απλό σχήμα στο οποίο να φαίνονται όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα κατά τη διάρκεια που ασκείται η δύναμη και να υπολογίσετε το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Δ. Να προσδιορίσετε σε ποιο χρονικό διάστημα το σώμα επιταχύνεται και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

66 Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0 s. Δ4. Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του σώματος στη χρονική διάρκεια 0 0 s. Δ) Στον άξονα yy ισχύει y 0 N w N mg 0kg 0m / s 00 N Οπότε από νόμο T N 0, 00 N 0 N. της y τριβής: N χ Δ) Το σώμα επιταχύνεται ομαλά εφόσον x 0 60 N T 0N, δηλαδή για το χρονικό T x w y διάστημα : 0s έως 5s. Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση εφόσον x 0 T 0 N, δηλαδή για το χρονικό διάστημα : 5s έως 0s. Το σώμα επιβραδύνεται ομαλά εφόσον x 0 0 T 0 N, δηλαδή για το χρονικό διάστημα : 0s έως 0s. Δ3) Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα για το χρονικό διάστημα 0s έως 5s. m T m a T 60N-0N a α 4m / s m 0kg Οι εξισώσεις κίνησης είναι: t 4 5m / s 0m / s x a t 4 5 m x 50m Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση για το χρονικό διάστημα : 5s έως 0s, με ταχύτητα 0m / s και μετατόπιση x t 0 5m 00m Ακολούθως το σώμα επιβραδύνεται ομαλά για το χρονικό διάστημα : 0s έως 0s με αρχική ταχύτητα u0=υ=0m/s και με επιβράδυνση: T 0N m 3 T m 3 a3 a3 α 3 m / s m 0kg με εξισώσεις κίνησης: 3 u0 3 t m / s

67 x3 u0 t3 a3 t m x3 00m Δ4) Η μέση ταχύτητα του σώματος στη χρονική διάρκεια 0 0 s είναι: s x x x 50m00m00m,5 m/ s t t t t 0s 3 0. Δύο σώματα Σ και Σ με ίσες μάζες m = 0 kg το καθένα, κινούνται σε παράλληλες τροχιές στον ίδιο οριζόντιο δρόμο, με αντίθετη φορά Τα σώματα εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής με το δρόμο. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα σώματα τη χρονική στιγμή που διέρχονται από τα σημεία Α, Β του δρόμου τα οποία μεταξύ τους απέχουν οριζόντια απόσταση ίση με d. Αν τα σώματα δέχονται την ίδια κατά μέτρο δύναμη = 80 N, τότε κινούνται με σταθερές ταχύτητες ίσου μέτρου υ = 40 m/s και για να καλύψει το Σ τη διαδρομή Α Β (και αντίστοιχα το Σ τη διαδρομή Β Α), απαιτείται χρόνος ίσος με 5 s. Δ. Να υπολογίσετε την απόσταση d μεταξύ των σημείων Α, Β, Δ. Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής μεταξύ των σωμάτων και του δρόμου. Έστω ότι τώρα τα σώματα Σ και Σ είναι ακίνητα στα σημεία Α και Β και τη χρονική στιγμή t = 0 ασκούνται σ αυτά δυνάμεις με μέτρα = 80 N και = 40 N αντίστοιχα. Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης κάθε σώματος. Δ4. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή τα σώματα θα βρεθούν πάλι στην ίδια οριζόντια θέση. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Δ) Τα σώματα αρχικά κάνουν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με εξίσωση m d t d 40 5s d 00m y s Δ) Για το σώμα Σ στον άξονα yy ισχύει y 0 N w N mg 0kg 0 m / s 00N χ T N x Στον άξονα x x ισχύει ο ος Ν. Νεύτωνα: w y 0 T 0 T 80N x

68 80 0, Δ3) Το μέτρο της επιτάχυνσης κάθε σώματος είναι: Οπότε από νόμο της τριβής: T N Για το Σ : a x T 80 N 80 N a a a 5m / s m m 0kg Για το Σ : a x T 40 N 80 N a a a 3m / s m m 0kg Δ4) Τα δύο σώματα κάνουν ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Θα συναντηθούν όταν έχουν διανύσει συνολικά απόσταση d=00m. d s s d a t a t 00 5 t 3 t t 50 s t 5 s. *Ένα σώμα μάζας 4 kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υο = 5 m/s. Τη χρονική στιγμή t = 0 s, ασκείται στο σώμα δύναμη ίδιας κατεύθυνσης με τη ταχύτητά του και μέτρου 0 Ν, οπότε το σώμα κινείται με επιτάχυνση το μέτρο της οποίας είναι ίσο με 4 m/s. Δ. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του σώματος, από τη χρονική στιγμή t = 0 s, μέχρι τη στιγμή t = 5 s. Δ. Να εξετάσετε αν ασκείται στο σώμα δύναμη τριβής και αν ασκείται, τότε να υπολογίσετε το μέτρο της. Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, τη χρονική στιγμή t που το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά 5 m από το σημείο στο οποίο άρχισε να ασκείται η δύναμη. Δ4. Τη χρονική στιγμή t παύει να ασκείται η δύναμη, όμως το σώμα συνεχίζει την κίνηση του στο οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογίσετε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα από τη χρονική στιγμή t, μέχρι να σταματήσει να κινείται. Δ) Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα για το χρονικό διάστημα 0 s 5s και εξίσωση y μετατόπισης: N T x χ x 0 t t x ( )m x 75m w Δ) Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα για το y χρονικό διάστημα 0s έως 5s:

69 m m T m T m T 0N 4kg 4 T 4 N s Δ3) Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα για το χρονικό διάστημα 0s t και εξίσωση μετατόπισης: x 0 t t 5 5t 4t t 5t 5 0 Η λύση της β βαθμού εξίσωσης δίνεται από τη σχέση: 5 5 4( 5) t,5 t t 4 t 4 t s Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τότε είναι: t (5 4,5) m / s 5 m / s 0 Δ4) Μετά τη χρονική στιγμή t, οπότε παύει να ασκείται η δύναμη, το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, εξαιτείας της τριβής ολίσθησης, με αρχική ταχύτητα 0, 5 m/ s και σταματά. Το μέτρο της επιβράδυνσης του σώματος είναι: Οι εξισώσεις κίνησης είναι: x T 4N a a a a m / s m m 4kg 0 t t 5s 0, x 0, t t x 55 5 x,5m.. (797-Δ) Ένα κιβώτιο μάζας m= Kg είναι ακίνητο σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβή με συντελεστή τριβής μ=0,5. Τη χρονική στιγμή ασκείται στο κιβώτιο σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου 0 N. Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=0m/s και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Δ). Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο κιβώτιο. Δ). Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του κιβωτίου όταν αυτό θα έχει μετατοπιστεί κατά 0 m από την αρχική του θέση

70 Δ3). Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κιβωτίου. Δ4). Σε βαθμολογημένους άξονες να κατασκευάσετε το διάγραμμα της ταχύτητας του κιβωτίου σε συνάρτηση με το χρόνο από τη στιγμή t = 0 s μέχρι να μετατοπιστεί κατά 0 m από την αρχική του θέση. Δ) Στο κιβώτιο ασκούνται : το βάρος W,από την Γη, με μέτρο: W=mg W=0N Η κάθετη δύναμη Ν, από το δάπεδο, με μέτρο: T N στον άξονα yy : w 0 N w N mg N 0N y Η τριβή Τ, από το δάπεδο, με μέτρο: 0,5 0 0 Και η δύναμη είναι =0N Δ, Δ3) Στον άξονα χχ, από ο Ν. Νεύτωνα: T x ma T ma a m 0 0 a m / s a 5 m / s Το κιβώτιο εκτελεί ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, οπότε διανύει 0m σε χρόνο : a t t t ( ) t 0 s t s a a 5 οπότε θα έχει ταχύτητα τότε : u a t u 5 m / s u 0 m / s

71 Δ3) Το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου, που απεικονίζει την συνάρτηση 0 u(m/s) t(s) u at είναι το ακόλουθο: t=0 t=s u=0 u=0m/s

72 5. ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΘΕΜΑ Β. Δύο αυτοκίνητα Α και Β έχουν μάζες ma και mb για τις οποίες ισχύει ma = 4mB. Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες που έχουν μέτρα υα και υβ αντίστοιχα. Αν δίνεται ότι οι κινητικές ενέργειες των δύο αυτοκινήτων είναι ίσες (ΚΑ = ΚΒ), για τα μέτρα υα και υβ των ταχυτήτων τους ισχύει: Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α. υα = υβ. β. υα = υβ. γ. υβ = υα. Β) A) Η σωστή απάντηση είναι τo (γ) Β) Oι κινητικές ενέργειες των δύο αυτοκινήτων είναι ίσες: K A KB 4m m m m. Δύο σώματα Σ και Σ έχουν ίσες μάζες και κινούνται στον ίδιο οριζόντιο δρόμο σε αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητες και αντίστοιχα. Αν για τα μέτρα των ταχυτήτων ισχύει υ = υ, τότε ο λόγος Κ/K των κινητικών ενεργειών των σωμάτων Σ και Σ, είναι ίσος με: α. 4 β. -4 γ.. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Για το λόγο των κινητικών ενεργειών Κ Κ ισχύει:

73 Κ Κ Κ Κ m m m m Κ Κ Κ Κ Κ 4 Κ 3. Αν διπλασιαστεί η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου, τότε η κινητική του ενέργεια α. παραμένει η ίδια. β. διπλασιάζεται γ. τετραπλασιάζεται Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) m Όταν διπλασιαστεί η ταχύτητά του θα είναι: K m 4 m 4 K Β) Αρχικά η κινητική του ενέργεια ήταν: K 4. Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση και σε κάποιο ύψος από το έδαφος έχει κινητική ενέργεια Κ = 00 J ενώ έχει δυναμική ενέργεια U = 300 J. Όταν το σώμα φτάσει στο έδαφος, η κινητική του ενέργεια θα είναι α. μηδέν β. 00 J γ. 400 J Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Από ΑΔΜΕ θεωρώντας επίπεδο δυναμικής βαρυτικής ενέργειας μηδέν το έδαφος: U U 00 J 300 J J

74 5. Μαθητής πετά κατακόρυφα προς τα πάνω μια πέτρα και το μέγιστο ύψος στο οποίο αυτή μπορεί να φτάσει είναι h. Η πέτρα θα έχει τη μισή κινητική ενέργεια από αυτή που είχε αρχικά σε ύψος h που ισούται με α. h/ β. h/4 γ. h/8 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για το σημείο εκκίνησης,το μέγιστο ύψος και τη θέση που η πέτρα έχει τη μισή αρχική κινητική ενέργεια, θεωρώντας επίπεδο δυναμικής βαρυτικής ενέργειας μηδέν το έδαφος: K U K U K ' U ' K K 0 0 mg h mg h' mg h h mg h mg h' h ' 6. Ένας μαθητής πετά ένα κέρμα κατακόρυφα προς τα πάνω, το οποίο σε εύλογο χρόνο επιστρέφει στα χέρια του. Το πρόσημο του έργου του βάρους είναι: α. θετικό κατά την άνοδο του κέρματος και αρνητικό κατά την κάθοδο. β. αρνητικό κατά την άνοδο του κέρματος και θετικό κατά την κάθοδο. γ. θετικό κατά την άνοδο του κέρματος και θετικό κατά την κάθοδο. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) 0 Β) Το έργο του βάρους κατά την άνοδο είναι: W m g h80 m g h 0 Το έργο του βάρους κατά την κάθοδο είναι: W m g h 0 m g h 7. Ένας σκιέρ κινείται ευθύγραμμα. Η γραφική παράσταση της θέσης του σκιέρ σε συνάρτηση με το χρόνο είναι παραβολή και παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Από το διάγραμμα αυτό συμπεραίνουμε ότι το η κινητική ενέργεια του σκιέρ:

75 α. αυξάνεται. β. μειώνεται γ. δε μεταβάλλεται Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Η κλίση στο διάγραμμα x(t) είναι αριθμητικά ίση με την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας: x t Παρατηρούμε ότι η κλίση συνεχώς αυξάνεται, άρα και η κινητική ενέργεια του σκιέρ θα αυξάνεται: K m 8. Όταν η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα διπλασιάζεται, τότε το έργο της δύναμης α. παραμένει το ίδιο. β. διπλασιάζεται γ. τετραπλασιάζεται Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Θεωρώντας ότι η δύναμη είναι σταθερή και δεν είναι κάθετη στη μετατόπιση τότε το έργο της έιναι ανάλογο με το μέτρο της δύναμης :W x Όταν η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα διπλασιάζεται, τότε το έργο της δύναμης διπλασιάζεται. 9. Η καθηγήτρια της Φυσικής βαδίζει προς την αίθουσα διδασκαλίας κρατώντας την τσάντα της η οποία έχει μάζα, kg. Η καθηγήτρια για να πάει από το γραφείο των καθηγητών στην αίθουσα διδασκαλίας, περπατάει με σταθερή ταχύτητα το διάδρομο του σχολείου, μήκους 0 m και η τσάντα της βρίσκεται πάντα σε ύψος 50 cm από το έδαφος. Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s, τότε το έργο βάρους της τσάντας είναι ίσο με: α. 0 J. β. 6 J

76 γ. μηδέν Ν T w Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Η τσάντα μετατοπίζεται συνεχώς οριζόντια σε σταθερό ύψος h = 0,5 (m) από το έδαφος. Άρα το βάρος δεν παράγει έργο μιας και είναι συνεχώς κάθετο σε σχέση με την μετατόπιση. 0. Εργάτης σπρώχνει κιβώτιο μάζας m πάνω σε οριζόντιο δρόμο ασκώντας σε αυτό οριζόντια δύναμη. Το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα και διανύει διάστημα s. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του δρόμου και του κιβωτίου είναι μ. H επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Η ενέργεια που μεταφέρεται από τον εργάτη στο κιβώτιο είναι ίση με: α. 0. β. mgs γ. μmgs Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Στον άξονα yy ισχύει y 0 N w N mg Οπότε από νόμο της τριβής: T N m g. ος Ν.Ν: Σ x 0 T 0 T μ Η ενέργεια που μεταφέρεται από τον εργάτη στο κιβώτιο είναι ίση με το έργο της δύναμης για W s m g s μετατόπιση s: Ν T w. Εργάτης δένει με αβαρές σκοινί ένα κιβώτιο και το σύρει σε οριζόντιο δάπεδο, όπως παριστάνεται στην εικόνα. Το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Αν συμβολίσουμε με W το έργο της δύναμης που ασκεί ο εργάτης στο κιβώτιο και WT το έργο της δύναμης της τριβής ολίσθησης τότε για κάθε μετατόπιση του κιβωτίου θα ισχύει: α. W > WT. β. W = - WT.

77 γ. W < WT. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για το κιβώτιο έχουμε: K K W m m W WT W WT. Σώμα βρίσκεται σε ύψος h από την επιφάνεια της Γης και έχει δυναμική ενέργεια U. Αν το ύψος στο οποίο βρίσκεται γίνει h = h, τότε για τη δυναμική του ενέργεια U θα ισχύει ότι α. U = U β. U = U γ. U = U/ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Ο λόγος των δυναμικών ενεργειών είναι: U ' mg h ' h U' U U mg h h 3. Δύο όμοιες μεταλλικές σφαίρες Σ και Σ, ίδιας μάζας, αφήνονται ταυτόχρονα να εκτελέσουν ελεύθερη πτώση, από ύψος h η Σ και η Σ από ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης. Η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα και η επιτάχυνση της βαρύτητας σταθερή. Αν h= h, τότε: α. Η σφαίρα Σ φθάνει στο έδαφος έχοντας ταχύτητα διπλάσιου μέτρου από την ταχύτητα της σφαίρας Σ. β. Οι δύο σφαίρες φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος. γ. Η σφαίρα Σ φθάνει στο έδαφος έχοντας διπλάσια κινητική ενέργεια από τη σφαίρα Σ. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

78 Β) Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για το σώμα Σ, θεωρώντας επίπεδο δυναμικής βαρυτικής ενέργειας μηδέν το έδαφος: K U K U,,, 0 mg h K 0 K mg h,, Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για το σώμα Σ, θεωρώντας επίπεδο δυναμικής βαρυτικής ενέργειας μηδέν το έδαφος: K U K U,,, 0 mg h K 0 K mg h Συνεπώς K, K,,, 4. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο αμαξάκια Α και Β με μάζες m και m αντίστοιχα. Αν τα αμαξάκια κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, όπως φαίνεται στο σχήμα και το A έχει ταχύτητα διπλάσιου μέτρου από του B τότε: α. Tο αμαξάκι Α έχει διπλάσια κινητική ενέργεια από το αμαξάκι Β. β. Το αμαξάκι Β έχει διπλάσια κινητική ενέργεια από το αμαξάκι Α. γ. Τα δυο αμαξάκια έχουν ίσες κινητικές ενέργειες. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) K A m u 4 m u Tο αμαξάκι Β έχει κινητική ενέργεια: KB mu m u Άρα το αμαξάκι Α έχει διπλάσια κινητική ενέργεια από το αμαξάκι Β. Β) Tο αμαξάκι Α έχει κινητική ενέργεια: 5. Εργάτης δένει με αβαρές σκοινί ένα κιβώτιο αρχικά ακίνητο και το σύρει σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όπως παριστάνεται στη διπλανή εικόνα. Δίνεται ότι θ = 60 ο. Όταν το κιβώτιο μετατοπίζεται κατά διάστημα x έχει κινητική ενέργεια α. x β. x γ. 3 x

79 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Το έργο της δύναμης, για μετατόπιση xείναι : W x 60 x Aπό το ΘΜΚΕ : W W x 6. Δυο κιβώτια Α και Β βρίσκονται δίπλα-δίπλα ακίνητα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s ασκούνται στα κιβώτια δυο σταθερές δυνάμεις A και B ίσου μέτρου αντίστοιχα όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Τα δυο κιβώτια αρχίζουν να κινούνται ευθύγραμμα στο επίπεδο. Δίδεται ότι θ=60 o και ότι η επίδραση το αέρα είναι αμελητέα. Αν μετά από ίσες μετατοπίσεις, από το σημείο εκκίνησης τους τα κιβώτια έχουν κινητικές ενέργειες ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα τότε ισχύει: α. ΚB = ΚA β. ΚΑ = ΚΒ γ. ΚΑ = ΚΒ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Από ΘΜΚΕ, για (Α) : W W A x Από ΘΜΚΕ, για (Β) : W W x B x 60 B 7. (5044-B) Ένας κουβάς με νερό, βάρους 50 Ν βρίσκεται μέσα σε ανελκυστήρα στο ισόγειο μίας πολυκατοικίας. Κάποια στιγμή ο ανελκυστήρας ανεβαίνει από το ισόγειο στον

80 ο όροφο με αποτέλεσμα να μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά 3 m και στην συνέχεια επιστρέφει πάλι στο ισόγειο. Το έργο του βάρους του κουβά, για τη συνολική μετατόπιση, είναι ίσο με: α. 50 J β. 300 J γ. 0 J A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ). B) Το έργο του βάρους σε κλειστή διαδρομή είναι ίσο με μηδέν γιατί είναι συντηρητική δύναμη. 8. Σώμα που κινείται έχει κινητική ενέργεια ίση με J. Αν το μέτρο της ταχύτητας του σώματος διπλασιαστεί τότε η κινητική του ενέργεια θα αυξηθεί κατά: α. 3 J β. 4 J γ. Δεν επαρκούν τα στοιχεία για να δοθεί απάντηση Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Αρχικά η κινητική του ενέργεια ήταν: Ka m J K Όταν διπλασιαστεί η ταχύτητά του θα είναι: K m 4 m 4K 4J Άρα K K 4J J 3J 9. Μπίλια βρίσκεται σε ύψος h = 9m πάνω από το έδαφος και αφήνεται να πέσει ελεύθερα. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και η βαρυτική δυναμική ενέργεια της μπίλιας είναι μηδέν στο έδαφος. Η κινητική ενέργεια της μπίλιας είναι διπλάσια από τη βαρυτική δυναμική της ενέργεια σε ύψος: α. h =, 5 m β. h = 4,5 m

81 γ. h = 3 m A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ). B) Από ΑΔΜΕ: U U όμως U K h οπότε: U U U mgh 3mgh h 3m 3 0. Σώμα μάζας m κινούμενο με σταθερή ταχύτητα έχει κινητική ενέργεια K. Αν η μάζα του σώματος γίνει m = m, τότε για την κινητική του ενέργεια K θα ισχύει ότι α. Κ = Κ. β. Κ = Κ γ. Κ = Κ/ A) Η σωστή απάντηση είναι το (β). B) Αρχικά η κινητική του ενέργεια ήταν: Ka m K Όταν διπλασιαστεί η μάζα του σώματος του θα είναι: K ' K m m K. Ένα αυτοκίνητο που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε οριζόντιο δρόμο έχει κινητική ενέργεια ίση με Κ. Αν το αυτοκίνητο διπλασιάσει την ταχύτητα του, τότε η κινητική του ενέργεια αυξάνεται κατά: α. Κ β. 3Κ γ. 4Κ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β)

82 Β) Αρχικά η κινητική του ενέργεια ήταν: Ka m K Όταν διπλασιαστεί η ταχύτητά του θα είναι: K m 4 m 4K Άρα K K 4K K 3K. Ποδήλατο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο. Σε δυο χρονικές στιγμές t και t το ποδήλατο έχει ταχύτητα με μέτρο υ και υ και κινητική ενέργεια Κ και Κ αντίστοιχα. Αν για τα μέτρα των ταχυτήτων ισχύει, υ =υ τότε: α. Κ = Κ β. Κ = 4Κ γ. Κ = 4Κ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) K m m 4 m m Β) Αρχικά η κινητική του ενέργεια ήταν: Μετά η κινητική του ενέργεια είναι: Άρα K 4K K 3. Η κινητική ενέργεια μιας μπάλας αυξάνεται από Καρχ σε Κτελ =4 Καρχ σε χρονικό διάστημα Δt. Στο χρονικό διάστημα Δt το έργο W της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στη μπάλα είναι α. 9Καρχ. β. 3Καρχ γ. 5Καρχ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ στο χρονικό διάστημα Δt: K K W 4K K W 3K W

83 4. Ένα αυτοκίνητο (Α) έχει τετραπλάσια μάζα από μία μοτοσικλέτα (Μ). Τα δύο οχήματα κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο και έχουν την ίδια κινητική ενέργεια. Αν υα και υμ είναι τα μέτρα των ταχυτήτων του αυτοκινήτου και της μοτοσικλέτας αντίστοιχα τότε ο λόγος τους υα/υμ ισούται με: α. β. 4 γ. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Τα δύο οχήματα κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο και έχουν την ίδια κινητική ενέργεια: K A KM 4m m 4 5. Κιβώτιο μάζας Μ βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στο κιβώτιο αρχίζει να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου. Όταν το κιβώτιο έχει μετατοπιστεί κατά x έχει αποκτήσει κινητική ενέργεια K και κινείται με ταχύτητα μέτρου υ. Όταν το κιβώτιο έχει μετατοπιστεί κατά x = 4x α. Το κιβώτιο θα έχει αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ = 4υ β. Το κιβώτιο θα έχει αποκτήσει κινητική ενέργεια Κ = 4Κ γ. Το κιβώτιο θα έχει αποκτήσει κινητική ενέργεια Κ = Κ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για κάθε περίπτωση: Όταν το κιβώτιο έχει μετατοπιστεί κατά x: K 0 W K x Όταν το κιβώτιο έχει μετατοπιστεί κατά x: K 0 W K x K 4x 4 K

84 6. Ένα αυτοκίνητο που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε οριζόντιο δρόμο έχει κινητική ενέργεια ίση με Κ. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο οδηγός ασκώντας δύναμη στα φρένα, επιβραδύνει το αυτοκίνητο, το οποίο σταματά να κινείται τη χρονική στιγμή t. Αν το αυτοκίνητο κινείται αρχικά με κινητική ενέργεια ίση με 4Κ, και ο οδηγός φρενάρει ασκώντας την ίδια δύναμη στα φρένα, τότε το αυτοκίνητο σταματά τη χρονική στιγμή: α. t β. 4 t γ. t A) Η σωστή απάντηση είναι το (α). B) Όταν το αυτοκίνητο έχει κινητική ενέργεια Κ η αρχική ταχύτητά του είναι: K K m0, 0, m Όταν το αυτοκίνητο έχει κινητική ενέργεια 4Κ η αρχική ταχύτητά του είναι: 8K 4K m0, 0, m Το αυτοκίνητο και στις δύο περιπτώσεις κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδύνομενη κίνηση και σταματά με την ίδια επιτάχυνση, αφού ασκείται η ίδια δύναμη. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: 0 0 t 0 0 t t Συνεπώς συγκρίνω τις δύο χρονικές στιγμές: 0, 8K t 0, m 4 t t t 0, 0, K m 7. Αν το έργο μιας σταθερής δύναμης, η οποία μετατοπίζει ένα σώμα κατά x, είναι W, τότε αν η δύναμη τριπλασιαστεί και η μετατόπιση διπλασιαστεί το έργο α. θα διπλασιαστεί. β. θα τριπλασιαστεί. γ. θα εξαπλασιαστεί.

85 A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ). B) Αρχικά το έργο είναι: W x. Μετά το έργο είναι: W 3 x 6 x 6W 8. Σε μια μπάλα που αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη και αρχίζει να κινείται ευθύγραμμα. Στο διπλανό διάγραμμα, φαίνεται πώς μεταβάλλεται η αλγεβρική τιμή της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο. Η κινητική ενέργεια της μπάλας έχει τη μέγιστη τιμή της: α. τη χρονική στιγμή t. β. τη χρονική στιγμή t. γ. τη χρονική στιγμή t3. A) Η σωστή απάντηση είναι το (β). B) Η κινητική ενέργεια της μπάλας αποκτά μέγιστη τιμή όταν μεγιστοποιείται η ταχύτητα της. Άρα η κινητική ενέργεια μεγιστοποιείται όταν α = 0, Δηλαδή Σ = 0 = 0. (Αφού από το Ν.Ν έχουμε Σ = mα) Αυτό συμβαίνει όπως φαίνεται και στο διάγραμμα t τη χρονική στιγμή t. Καλύτερα με το είδος των κινήσεων. 0 t > 0, α 0, επιταχυνόμενη, υ αυξάνεται, K αυξάνεται t t > 0, α 0, επιταχυνόμενη, υ αυξάνεται, K αυξάνεται t t < 0, α 0, επιβραδυνόμενη, υ ελαττώνεται, Κ ελαττώνεται 3 Άρα η υ και η Κ γίνονται μέγιστες τη χρονική στιγμή t. 9. Μικρό σώμα είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μετατοπίζεται κατά x πάνω στον οριζόντιο προσανατολισμένο άξονα Ox, οπότε αποκτά κινητική ενέργεια K. Αν η μετατόπιση του σώματος με την επίδραση της ίδιας δύναμης ήταν x, τότε η κινητική ενέργεια του σώματος θα ήταν ίση με: α. Κ β. Κ/

86 γ. 4Κ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για κάθε περίπτωση: Όταν το κιβώτιο έχει μετατοπιστεί κατά x: K 0 W K x Όταν το κιβώτιο έχει μετατοπιστεί κατά x: K 0 W K x K x K 30. Σε ένα κιβώτιο που αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο ένας μαθητής ασκεί οριζόντια δύναμη, η αλγεβρική τιμή οποίας μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Η κινητική ενέργεια του κιβωτίου: α. αυξάνεται στη χρονική διάρκεια 0 t, παραμένει σταθερή διάρκεια t t, και μειώνεται στη χρονική διάρκεια t t3. β. αυξάνεται μόνο στη χρονική διάρκεια 0 t. γ. αυξάνεται σε όλη τη χρονική διάρκεια από 0 - t3. A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ). Β) Προφανώς, επιλέγουμε την (γ) απάντηση, αφού το μέτρο της δύναμης μπορεί να αυξάνεται από 0 t, να διατηρείται σταθερό από t t και τελικά να μειώνεται από t t3, αλλά σε όλο αυτό το χρονικό διάστημα η δύναμη παράγει έργο αυξάνοντας έτσι την κινητική ενέργεια του σώματος. 3. Σε ένα σώμα που ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη, η αλγεβρική τιμή της οποίας σε συνάρτηση με τη θέση x του σώματος μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Το έργο της δύναμης από τη θέση x ο = 0, μέχρι τη θέση x = 3x, είναι ίσο με: α. 3 o x

87 β. o x γ. 4 o x A) Η σωστή απάντηση είναι το (β). Β) Το έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το έμβαδόν της (x). 3x x W E 0 0 x 3. Μικρό σώμα είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στη θέση xo = 0 ενός οριζόντιου άξονα x x. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη η τιμή της οποίας μεταβάλλεται με τη θέση x του σώματος, όπως φαίνεται στο διάγραμμα. H κινητική ενέργεια του σώματος από τη α. θέση xo = 0 m έως τη θέση xa παραμένει σταθερή β. θέση xa έως τη θέση xb μειώνεται γ. θέση xo = 0 m έως τη θέση xβ αυξάνεται Α) H σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Στο διάγραμμα -x το εμβαδόν είναι θετικό 0. Άρα από ΘΜΚΕ: Ένα σώμα βρίσκεται αρχικά ακίνητο στη θέση xo= 0 m πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη σταθερής διεύθυνσης με αποτέλεσμα αυτό να αρχίσει να κινείται ευθύγραμμα πάνω στο δάπεδο. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

88 Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η τιμή της δύναμης που ασκείται στο σώμα, σε συνάρτηση με τη θέση x του σώματος. Με τη βοήθεια του διαγράμματος συμπεραίνουμε ότι: α. Από x = 5 m έως x = 8 m η κινητική ενέργεια του σώματος ελαττώνεται. β. Από x = 0 m έως x = 5 m το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα. γ. Στη θέση x = 8 m το σώμα έχει κινητική ενέργεια ίση με 65 J. Α) H σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Στο διάγραμμα (x) το εμβαδόν είναι θετικό 0 από t=0s-8s, οπότε η κινητική ενάργεια του σώματος να αυξάνεται συνεχώς όπως προκύπτει από το: ΘΜΚΕ: 0 Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από t=0s-8s, το εμβαδόν της (x) ισούται αριθμητικά με το παραγόμενο έργο: 8 5 K K W K 0 0J K 65J 34. Ένα σώμα είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο και βρίσκεται στη θέση x = 0 ενός οριζόντιου άξονα x x. Στο σώμα ασκούνται δυνάμεις, των οποίων η συνισταμένη είναι οριζόντια, οπότε το σώμα αρχίζει να κινείται κατά μήκος του άξονα x x. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η αλγεβρική τιμή της συνισταμένης δύναμης σε συνάρτηση με τη θέση x του σώματος. H κινητική ενέργεια του σώματος στη θέση x3 = 3x: α. Έχει τη μέγιστη τιμή της κατά τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση x = 0 μέχρι τη θέση x3 = 3x. β. Είναι ίση με μηδέν. γ. Είναι μεγαλύτερη από την κινητική ενέργεια που έχει στη θέση x. Α) H σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από x=0-3x, το εμβαδόν της (x) ισούται αριθμητικά με το παραγόμενο έργο:

89 x ( ) (3x x ) K K W K K Ένα αυτοκίνητο που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε οριζόντιο δρόμο έχει κινητική ενέργεια ίση με Κ. Κάποια χρονική στιγμή ο οδηγός ασκώντας δύναμη στα φρένα, επιβραδύνει το αυτοκίνητο οπότε μέχρι να σταματήσει διανύει διάστημα ίσο με s. Αν το αυτοκίνητο κινείται αρχικά με διπλάσια κινητική ενέργεια και ο οδηγός φρενάρει ασκώντας την ίδια δύναμη στα φρένα, τότε για να σταματήσει πρέπει να διανύσει διάστημα ίσο με: α. s β. 3s γ. s/ Α) H σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για κάθε περίπτωση: Όταν το κιβώτιο έχει κινητική ενέργεια ίση με Κ σταματά μετά από διάστημα s: K K 0 W K s s Όταν το κιβώτιο έχει κινητική ενέργεια ίση με Κ σταματά μετά από διάστημα s K K 0 W K s s s 36. Ένα κιβώτιο είναι αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη που η τιμή της μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα της διπλανής εικόνας. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Η κινητική ενέργεια του κιβωτίου γίνεται μέγιστη τη χρονική στιγμή, α. t. β. t3 γ. t

90 Α) H σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Τη χρονική στιγμή t η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα αλλάζει αλγεβρική τιμή και από θετική γίνεται αρνητική. Τότε σταματά η επιταχυνίμενη κίνηση και ξεκινά η επιβραδυνόμενη. Συνεπώς τη μέγιστη ταχύτητα και τη μέγιστη κινητική ενέργεια υην λεχει το σώμα τη χρονική στιγμή t. 37. Οι γραφικές παραστάσεις των τιμών δύο οριζόντιων δυνάμεων σε συνάρτηση με τη θέση φαίνονται στο σχήμα. Οι δυνάμεις ασκούνται σε δύο μικρά σώματα που κινούνται σε οριζόντιο δάπεδο. Αν τα σώματα μετατοπίζονται κατά το ίδιο διάστημα μέσω ποιας δύναμης μεταφέρεται περισσότερη ενέργεια στο αντίστοιχο σώμα; α. της δύναμης (). β. της δύναμης (). γ. Και στις δυο περιπτώσεις η μεταφερόμενη ενέργεια είναι η ίδια. Α) H σωστή απάντηση είναι το (α). Β) Γνωρίζουμε ότι σ ένα διάγραμμα δύναμης σε συνάρτηση με τη μετατόπιση x του σημείου εφαρμογής της, το εμβαδόν που σχηματίζεται ανάμεσα στη γραφική παράσταση και στον άξονα θέσης, αντιστοιχεί στο έργο που παράγει η δύναμη. Συγκρίνοντας λοιπόν τα δύο εμβαδά Ε και Ε στο διπλανό διάγραμμα που αντιστοιχούν σε δυνάμεις () και () αντίστοιχα, εύκολα διαπιστώνουμε ότι Ε > Ε οπότε για τα έργα τους ισχύει επίσης ότι W > W. Οπότε μεταφέρεται περισσότερη ενέργεια μέσω της δύναμης από τη δύναμη. 38. Κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο στη θέση x=0 του προσανατολισμένου άξονα x x. Τη χρονική στιγμή t = 0s στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη η τιμή της οποίας σε συνάρτηση με τη θέση δίνεται από το διάγραμμα που παριστάνεται στη διπλανή εικόνα, οπότε το κιβώτιο αρχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x x.

91 α. το έργο της δύναμης στη μετατόπιση του κιβωτίου από τη θέση x = 0 στη θέση x είναι μηδέν. β. το έργο της δύναμης στη μετατόπιση του κιβωτίου από τη θέση x=0 στη θέση x είναι θετικό. γ. το έργο της δύναμης στη μετατόπιση του κιβωτίου από τη θέση x=0 στη θέση x είναι αρνητικό. Α) H σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από x=0-x, το εμβαδόν της (x) ισούται αριθμητικά με το παραγόμενο έργο: W E 0 x ( 0) ( x x) 0 ό 39. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο. Στο σώμα ασκούνται τρεις δυνάμεις, και 3 που έχουν την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση του σώματος. Στα παρακάτω διαγράμματα απεικονίζονται τα μέτρα των δυνάμεων αυτών σε συνάρτηση με τη θέση x του σώματος. Αν W, W και W3 είναι τα έργα που παράγουν οι δυνάμεις, και 3 αντίστοιχα κατά τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση x = 0 m έως τη θέση x= + m, τότε για τα έργα που παράγουν οι δυνάμεις αυτές ισχύει: α. W = W και W > W3. β. W > W και W = W3 γ. W < W και W > W3 Α) H σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Το εμβαδόν της (x) ισούται αριθμητικά με το παραγόμενο έργο από x=0-m: Για τη δύναμη το έργο της είναι: W E 0 m 0J

92 0m Για τη δύναμη το έργο της είναι: W E 0J 0m Για τη δύναμη 3 το έργο της είναι: W3 E 0J Συνεπώς: W > W και W = W3 40. Κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s στο κιβώτιο, που βρίσκεται στη θέση x = 0 m, ασκείται οριζόντια δύναμη η τιμή της οποίας σε συνάρτηση με τη θέση δίνεται από το διάγραμμα που παριστάνεται στη διπλανή εικόνα, οπότε το κιβώτιο αρχίζει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x. Όταν το κιβώτιο βρίσκεται στη θέση x = 3 m: α. εξακολουθεί να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x. β. ηρεμεί. γ. κινείται κατά την αρνητική φορά του άξονα x. Α) H σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από x=0-3m, το εμβαδόν της (x) ισούται αριθμητικά με το παραγόμενο έργο: K K W K 0 E E E 3 K 0N m 0 ( 0) (3 ) m K 0J Άρα εξακολουθεί να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x x. 4. Σε μικρό σώμα ασκείται δύναμη σταθερής κατεύθυνσης της οποίας η τιμή μεταβάλλεται με την μετατόπιση όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Το έργο της δύναμης για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση x = 0 m στη θέση x = m θα είναι: α. 40 J β. 0 J γ. 80 J

93 Α) (β) B) Αν η δύναμη είναι οριζόντια και το σώμα κινείται σε οριζόντιο δάπεδο τότε το έργο της δύναμης ισούται αριθμητικά με το εμβαδό του τριγώνου : 0 W E J 0J 4. Ένας μαθητής φορώντας τα παγοπέδιλα του κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντια πίστα παγοδρομίου. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η θέση του μαθητή σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν η κινητική ενέργεια του μαθητή τις χρονικές στιγμές t και t, είναι Κ και Κ αντίστοιχα, τότε ισχύει: α. Κ > Κ β. Κ = Κ γ. Κ < Κ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Η κλίση στο διάγραμμα x(t) ισούται αριθμητικά με την ταχύτητα του σώματος. Επειδή είναι σταθερή η κλίση, η ταχύτητα του είναι σταθερή οπότε και η κινητική του ενέργεια είναι σταθερή: Κ = Κ 43. Ένα κιβώτιο είναι αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη που η τιμή της μεταβάλλεται με τη θέση του κιβωτίου όπως φαίνεται στο διάγραμμα της διπλανής εικόνας. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Η κινητική ενέργεια του κιβωτίου γίνεται μέγιστη στη θέση: α. m. β. m γ. 3m

94 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Αφού το επίπεδο είναι λείο και οριζόντιο, η μοναδική δύναμη που εκτελεί έργο είναι η ΘΜΚΕ: W W Το έργο ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν, της γραφικής παράστασης (x) ( ) ( 0) οπότε : W E 0J J W 0J Συνεπώς W 0J

95 44. Σε κιβώτιο που αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη και αυτό αρχίζει να κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του άξονα x x. Στη διπλανή εικόνα φαίνεται το διάγραμμα του μέτρου της δύναμης σε συνάρτηση με τη θέση του σώματος. Γνωρίζετε ακόμη πως κατά τη διάρκεια του πρώτου δευτερολέπτου της κίνησης του το κιβώτιο μετατοπίστηκε δύο μέτρα. α. Το κιβώτιο έχει μάζα 6 Κg και τη στιγμή που έχει μετατοπιστεί 3m η κινητική ενέργεια του είναι ίση με 96 J. β. Το κιβώτιο έχει μάζα 6 Κg και τη στιγμή που έχει μετατοπιστεί 3m η κινητική ενέργεια του είναι ίση με 60 J. γ. Το κιβώτιο έχει μάζα 3 Κg και τη στιγμή που έχει μετατοπιστεί 3m η κινητική ενέργεια του είναι ίση με 60 J. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Tο εμβαδόν θα ισούται αριθμητικά με το έργο της, οπότε: από ΘΜΚΕ : (3 ) 64 W J W 60J W W 60J όμως στο ο s έχει διανύσει m, και αφού η είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα εκτελεί ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (με u0=0) : 4 / at a t a m s Και από ο Ν. Νέυτωνα: ma m m 6Kg a 45. Ένα κιβώτιο είναι αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη που η τιμή της μεταβάλλεται με τη θέση του κιβωτίου όπως φαίνεται στο διάγραμμα της διπλανής εικόνας. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Στη θέση x = 3 m η κινητική ενέργεια του κιβωτίου είναι: α. 0 J β. 30 J

96 γ. 40 J Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Tο εμβαδόν θα ισούται αριθμητικά με το έργο της, οπότε: ( ) ( 0)(3 ) W 0J J W 0J Το ΘΜΚΕ από x=0-3m: W W 0J 46. Ένα κιβώτιο μάζας kg είναι αρχικά ακίνητο στη θέση x = 0 m του άξονα x x, πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στο κιβώτιο ασκείται οριζόντια δύναμη που έχει τη διεύθυνση του άξονα με αποτέλεσμα αυτό να αρχίσει να κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα x x. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κιβωτίου σε συνάρτηση με την θέση φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. α. η δύναμη που ασκείται στο κιβώτιο έχει μέτρο = N. β. η κίνηση του κιβωτίου είναι ευθύγραμμη ομαλή. γ. το έργο της δύναμης όταν το κιβώτιο έχει μετατοπιστεί κατά Δx = 4 m είναι ίσο με 6 J. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Η δύναμη που ασκείται στο κιβώτιο υπολογίζεται από τον ο Ν.Νεύτωνα: m a kg m / s 4N Το κιβώτιο κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχύνόμενη κίνηση αφού έχει σταθερή επιτάχυνση, ενώ το έργο της δύναμης για μετατόπιση Δx=4m είναι: W x 4N 4m 6J 47. (486-B) Μία μπάλα κινείται υπό την επίδραση μόνο του βάρους της και διέρχεται διαδοχικά από τα σημεία Α, Β, Γ. Αφού μεταφέρετε τον παρακάτω πίνακα στην κόλλα σας να τον συμπληρώσετε. Στον πίνακα δίνονται κάποιες από τις τιμές της κινητικής, της δυναμικής και της μηχανικής ενέργειας της μπάλας στα σημεία Α, Β, Γ.

97 Να δικαιολογήσετε τον τρόπο που συμπληρώσατε τον πίνακα. Α) Οι τιμές που συμπληρώσαμε γράφονται με μπλε στον πίνακα. ΘΕΣΗ ΚινητικήΕνέργεια(J) Δυναμική Ενέργεια (J) Mηχανική Ενέργεια(J) Α Β Γ Β) Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα χρησιμοποιούμε την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας : Ε = Κ + U =Κ +U = E Θέση A: Κ= Ε-U =00J-80J =0J Θέση B: U= Ε-K =00J-40J =60J Θέση Γ: Κ= Ε-U =00J-0J =90J 48. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις τιμές της κινητικής, δυναμικής και μηχανικής ενέργειας σώματος που εκτελεί ελεύθερη πτώση. Η επίδραση του αέρα αγνοείται. Α) Οι τιμές που συμπληρώσαμε γράφονται με μπλε στον πίνακα. ΘΕΣΗ ΚινητικήΕνέργεια(J) Δυναμική Ενέργεια (J) Mηχανική Ενέργεια(J) Α Β Γ Δ Β) Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα χρησιμοποιούμε την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας : Ε = Κ + U =Κ +U = E Θέση A: E= K+U =0J+80J =80J

98 Θέση B: U= Ε-K =80J-0J =60J Θέση Γ: Κ= Ε-U =80J- 40J =40J Θέση Δ: U= Ε-K =80J- 80J = 0J 49. Ένα κιβώτιο βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο στη θέση x = 0 m. Τη χρονική στιγμή t = 0 s ένας εργάτης σπρώχνει και κινεί το κιβώτιο ασκώντας σε αυτό σταθερή οριζόντια δύναμη. Αν με x συμβολίσουμε τη θέση και με Κ την κινητική ενέργεια του κιβωτίου σ αυτή τη θέση, να συμπληρώσετε τα κενά στον παρακάτω πίνακα: x Κινητική ενέργεια 0 0 x Κ x 3Κ Α) Οι τιμές που συμπληρώσαμε γράφονται με μπλε στον πίνακα x Κινητική ενέργεια 0 0 x Κ x Κ 3x 3Κ Β) Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα χρησιμοποιούμε το ΘΜΚΕ. ΘΜΚΕ, μέχρι θέση x: W W x ΘΜΚΕ, μέχρι θέση x: W W ( x) K ΘΜΚΕ μέχρι θέση 3x: W 3 ( x3) x3 3x 50. Μικρή σφαίρα μάζας m = Κg αφήνεται από ύψος h = 80 m πάνω από την επιφάνεια του ε- δάφους να πέσει ελεύθερα. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή και ίση με g =0 m/s. Η ε- πίδραση του αέρα αγνοείται και ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας θεωρούμε το έδαφος.

99 Να δικαιολογήσετε τις τιμές που συμπληρώσατε στον παραπάνω πίνακα. Α) Οι τιμές που συμπληρώσαμε γράφονται με μπλε στον πίνακα. Κινητική Ενέργεια(J) Δυναμική Ενέργεια (J) Ταχύτητα(m/s) Ύψος(m) Β) Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα χρησιμοποιούμε την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας : Ε = Κ + U =Κ +U = E Θέση A: E= K+U =0J+3600J =3600J Θέση B: U mgh U 080J 600J K E U 3600J 600J 000J 000 m Θέση Γ: U= Ε-K =3600J- 500J =00J U 00J U mgh h 55m mg 0N K m 0 5 m / s 500 m Θέση Δ: K= Ε-U =3600J- 0J =3600J K m 50 m / s 3600 m K m 60 m / s 5. Σε ακίνητο αρχικά σώμα ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου και το σώμα αφού διανύσει διάστημα s αποκτά κινητική ενέργεια Κ. Αν η δύναμη διπλασιαστεί, το σώμα αποκτά την ίδια κινητική ενέργεια Κ αφού διανύσει διάστημα ίσο με α. s β. s γ. s/

100 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) ΘΜΚΕ, μέχρι θέση s: W W K s s K K s ΘΜΚΕ, μέχρι θέση s : W K W s s 5. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο για δύο δρομείς Α και Β, που κινούνται στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο. Ο δρομέας Α έχει μάζα μεγαλύτερη από τη μάζα του δρομέα Β (ma > mb). Τη χρονική στιγμή t, οι κινητικές ενέργειες ΚΑ και ΚΒ των δρομέων Α και Β αντίστοιχα, επαληθεύουν τη σχέση: α. ΚΑ > ΚΒ β. ΚΑ = ΚΒ γ. ΚΑ < ΚΒ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Τη χρονική στιγμή t, παρατηρούμε ότι έχουν ίσες ταχύτητες: ua=ub, οπότε mu A mu A A B B B ( m m ) K K A B A B 53. Δύο μαθητές ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β), οι οποίοι έχουν ίσες μάζες, κινούνται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητάς τους, σε συνάρτηση με το χρόνο. Τη χρονική στιγμή t, η κινητική ενέργεια του Αντώνη σε σχέση με αυτήν του Βασίλη είναι: α. μεγαλύτερη. β. μικρότερη. γ. ίση.

101 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) m Κ Κ m Β Α Α Β Β Α B, όμως Β Α A Άρα K K Β Α K K Β Α 54. Μια σφαίρα μάζας m βάλλεται από την επιφάνεια του εδάφους κατακόρυφα προς τα πάνω. Η σφαίρα φτάνει στο μέγιστο ύψος h και επιστρέφει στο έδαφος. Αν γνωρίζετε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή και η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα τότε το έργο του βάρους της σφαίρας κατά τη συνολική κίνησή της είναι ίσο με: α. mgh β. 0. γ. mgh Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Το έργο του βάρους κατά την άνοδο είναι αρνητικό, γιατί είναι αντίρροπο με τη μετατόπιση, ενώ κατά την κάθοδο είναι θετικό : Δύο σώματα Α και Β, με μάζες αντίστοιχα ma = m και mb = m, αφήνονται ταυτόχρονα να πέσουν ελεύθερα από το ίδιο ύψος και στον ίδιο τόπο. Αν ΚA και ΚΒ αντίστοιχα οι κινητικές τους ενέργειες όταν φτάνουν στο έδαφος, θα ισχύει ότι α. ΚΒ = 4ΚA β. ΚA = ΚΒ γ. ΚΒ = ΚA

102 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) ΘΜΚΕ από ύψος h για το σώμα Α: W W m g h m g h A A A A ΘΜΚΕ από ύψος h για το σώμα Β : W W m g h m g h Οπότε B B B B B A 56. Μικρή σφαίρα βρίσκεται πάνω στο έδαφος. Η σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με κινητική ενέργεια Κ, οπότε φτάνει σε ύψος H πάνω από το έδαφος. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αμελητέα. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g είναι σταθερή. Αν η ίδια σφαίρα εκτοξευόταν από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω, έχοντας διπλάσια κινητική ενέργεια (K), τότε το μέγιστο ύψος στο οποίο θα έφτανε θα ήταν, α. Η. β. Η/. γ. Η. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) K Β) Την πρώτη φορά, από ΑΔΜΕ: U U K mgh H () mg την δεύτερη φορά, από ΑΔΜΕ: K U U K mgh H () mg οπότε από () και (): H H 57. Δύο μικρές όμοιες σιδερένιες σφαίρες Α και Β που έχουν ίσες μάζες βρίσκονται σε ύψος hα και hβ αντίστοιχα από το έδαφος. Οι σφαίρες αφήνονται να πέσουν ελεύθερα. Οι αντιστάσεις του αέρα να θεωρηθούν αμελητέες. Αν WA και WΒ είναι τα έργα των βαρών τους αντίστοιχα, από το σημείο που ξεκίνησαν να κινούνται και μέχρι να φτάσουν στο έδαφος, ισχύει: α. W A W B = h B h A β. W A W B = h A h B γ. W A = h A W B h B

103 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) WA mg ha ha B) Ο λόγος του έργου των βαρών των σφαιρών είναι:: W mg h h B B B 58. Από ένα σημείο του εδάφους εκτοξεύουμε μια μικρή μεταλλική σφαίρα κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου υο και φτάνει σε μέγιστο ύψος ίσο με h πάνω από το έδαφος. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Αν η πέτρα εκτοξευτεί με διπλάσια αρχική ταχύτητα, τότε θα φτάσει σε μέγιστο ύψος πάνω από το έδαφος ίσο με: α. h. β. 4 h γ. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) ΘΜΚΕ για τη σφαίρα με αρχική ταχύτητα υ0 προς τα πάνω μέχρι το μέγιστο ύψος h: 0 W m0 W m0 mg h h g ΘΜΚΕ για τη σφαίρα με αρχική ταχύτητα υ0 προς τα πάνω μέχρι το μέγιστο ύψος h : 0 W m 0 W m 40 mg h h 4h g 59. Αφήνουμε μια μπάλα του μπάσκετ ελεύθερη από ύψος h να πέσει στο έδαφος. Η κινητική ενέργεια της μπάλας τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος είναι ίση με Κ. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Αν αφήσουμε την ίδια μπάλα να πέσει από ύψος h, τότε η κινητική της ενέργεια τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος, είναι ίση με: α. Κ. β. Κ γ. Κ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β)

104 B) ΘΜΚΕ από ύψος h: W W mg h ΘΜΚΕ από ύψος h: W W mg h Οπότε 60. Ένας αθλητής πετάει μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω που φτάνει σε μέγιστο ύψος (από το χέρι του) H. Η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Το ύψος στο οποίο το μέτρο της ταχύτητας της μπάλας είναι το μισό του αρχικού της είναι ίσο με α. Η/4. β. Η/ γ. 3Η/4 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Η ΑΔΜΕ μέχρι να σταματήσει η μπάλα, θεωρώντας επίπεδο δυναμικής βαρυτικής ενέργειας μηδέν το οριζόντιο δάπεδο που διέρχεται από το χέρι του αθλητή τη στιγμή που αφήνει τη μπάλα: K U U mu0 mgh u0 gh u0 Η ΑΔΜΕ μέχρι u δηλαδή όταν u K mu m 4 0 mu0 3 mu0 K U K U mu0 mgh mgh gh 3 gh h H Δυο μικρές σφαίρες Σ και Σ μαζών m και m αντίστοιχα με m=m, αφήνονται ταυτόχρονα να πέσουν από δυο σημεία που βρίσκονται σε ύψη h και h αντίστοιχα με h= h. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει σταθερή τιμή ίση με g. Αν W και W είναι τα έργα των βαρών των δύο σφαιρών Σ και Σ από το σημείο που αφέθηκαν και μέχρι να φτάσουν στο έδαφος, τότε ισχύει: α. W = W. β. W = W γ. W = W

105 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) B) Το έργο του βάρους της σφαίρας Σ είναι: W m g h m g h Το έργο του βάρους της σφαίρας Σ είναι: W m g h m g h Παρατηρούμε ότι ισχύει: W = W 6. Οι σφαίρες Α και Β του διπλανού σχήματος με μάζες mα = m και mβ = m, αφήνονται να πέσουν ελεύθερα από ύψος h και h αντίστοιχα και φτάνουν στο έδαφος με ταχύτητες μέτρου υα και υβ. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Τη χρονική στιγμή που οι σφαίρες Α, Β φτάνουν στο έδαφος έχουν κινητικές ενέργειες ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα και ισχύει: α. Κ. β. Κ γ. Κ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) B) Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Κ.Ε για κάθε σφαίρα έχουμε: Σ Α Α (Α): { Σ Α Α (Β): K Κ w Κ TEΛ(Α) Α Χ(Α) A Α K Κ w Κ TEΛ(B) Α Χ(B) B B Κ Α mgh Κ Α Κ Β Κ Β 63. Σε ένα κιβώτιο που είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο: Περίπτωση Ι: Τη χρονική στιγμή to = 0 s αρχίζει να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη. Περίπτωση ΙΙ: Τη χρονική στιγμή to = 0 s αρχίζει να ασκείται η δύναμη (που ασκείται και στην περίπτωση Ι) ταυτόχρονα με μια άλλη σταθερή οριζόντια δύναμη όπως στο σχήμα. Ονομάζουμε W(I) το έργο που παράγει η σε χρονικό διάστημα Δt στην περίπτωση Ι και W(ΙI) το έργο που παράγει η ίδιο χρονικό διάστημα Δt στην περίπτωση ΙΙ. Θα ισχύει:

106 α. W(I) = W(ΙI). β. W(I) > W(ΙI). γ. W(I) < W(ΙI). A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Το έργο της δύναμης, για μετατόπιση χ ισούται με : W x 0 W x () Στη περίπτωση (Ι) : t () m ό. N ύ a m at Στη περίπτωση (ΙΙ) : t (3) m ό. N ύ a m at Από () και (3) βλέπουμε Δχ > Δχ άρα, μέσω () : W(II) > W(I) 64. Μαθητής σπρώχνει θρανίο που βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο αίθουσας, ασκώντας σε αυτό οριζόντια δύναμη με την επίδραση της οποίας το θρανίο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Η αντίσταση του αέρα παραλείπεται. Αν συμβολίσουμε με W το έργο της δύναμης που ασκεί ο μαθητής, WB το έργο της δύναμης του βάρους του θρανίου, WN το έργο της κάθετης αντίδρασης που ασκείται από το δάπεδο στο θρανίο και WT το έργο της τριβής ολίσθησης τότε: α. W = WB = WN = W T= 0 β. WB = WN = WT = 0 και W 0 γ. WB = WN = 0 και W = - WT

107 A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Το έργοτου βάρουςκαι το έργο της κάθετης δύναμης : W W 0αφού είναι κάθετες στην μετατόπιση. N w y και αφού u=σταθ: x 0 T Το έργο τριβής : W T x80 Το έργο : W x 0 T χ T N w y x δηλαδή W W T 65. Μικρή σφαίρα εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω. Η επιτάχυνση της βαρύτητας (g) είναι σταθερή και ως επίπεδο αναφοράς για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια θεωρείται το έδαφος. Η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Η γραφική παράσταση της μηχανικής ενέργειας (Ε) της σφαίρας σε συνάρτηση με το ύψος (y) από το σημείο εκτόξευσης έχει τη μορφή του διαγράμματος: α. (α) β. (β) γ. (γ) A) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του σώματος είναι σταθερό, γιατί το βάρος είναι συντηρητική δύναμη και δεν αφαιρεί ενέργεια από το σώμα: 66. Μικρή σφαίρα αφήνεται να πέσει από αρχικό μικρό ύψος H, πάνω από το έδαφος και εκτελώντας ελεύθερη πτώση πέφτει στο έδαφος. Η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας (K) της σφαίρας σε συνάρτηση με το ύψος (y) από το έδαφος, παριστάνεται σωστά από το διάγραμμα: ό

108 α. (a) β. (γ) γ. (γ) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. A) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) Το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του σώματος είναι σταθερό, γιατί το βάρος είναι συντηρητική δύναμη και δεν αφαιρεί ενέργεια από το σώμα: ό Σε ύψος:, 0 Σε ύψος: 0, 67. Από το μπαλκόνι του ου ορόφου, που βρίσκεται σε ύψος H από το έδαφος, ένας μαθητής αφήνει μια μπάλα να πέσει στο δάπεδο. Στην διπλανή εικόνα φαίνεται η μπάλα σε τρεις διαφορετικές θέσεις, η αρχική της θέση Α, μια ενδιάμεση θέση Γ όπου h=h/ και η τελική θέση Δ στο έδαφος ελάχιστα πριν αναπηδήσει η μπάλα. Θεωρούμε ως επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια το έδαφος και την αντίσταση του αέρα αμελητέα. Η κινητική ενέργεια της μπάλας στην ενδιάμεση θέση Γ: α. είναι ίση με την κινητική ενέργεια που έχει στη θέση Δ. β. είναι ίση με την δυναμική ενέργεια που έχει στη θέση Α.. γ. είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια που έχει στην ίδια θέση. Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ)

109 Β) Στη θέση Γ, η δυναμική ενέργεια της μπάλας είναι: U m g h m g H () Στην ίδια θέση, εφαρμόζοντας την ΑΔΜΕ: E K U K E U K mgh mg Επομένως: H H () K m g K G = UG 68. Κιβώτιο μάζας 500 kg βρίσκεται σε κατάστρωμα καραβιού. Γερανός μεταφέρει το κιβώτιο κατακόρυφα κατά 0 m κάτω από την αρχική του θέση και το τοποθετεί σε βαγόνι (διαδρομή Ι). Στη συνέχεια το βαγόνι κινείται σε ευθύγραμμες οριζόντιες ράγες και μεταφέρει το κιβώτιο σε απόσταση 00 m από τη θέση που το τοποθέτησε ο γερανός (διαδρομή ΙΙ). Αν W και W είναι τα παραγόμενα έργα από το βάρη των κιβωτίων κατά τις διαδρομές (Ι) και (ΙΙ) αντίστοιχα, ισχύει ότι: α. W = W β. W < W γ. W > W Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) To έργο του βάρους στην διαδρομή: Ι. Είναι W mgh ΙΙ. Είναι W 0 (το βάρος είναι κάθετο με τη μετατόπιση) W W 5000 (Ν) Άρα W W. 69. Σε μία σφαίρα που κινείται κατά μήκος του άξονα x x ασκείται δύναμη το μέτρο της οποίας δίνεται σε συνάρτηση με τη θέση της σφαίρας από τη σχέση: = 30 - x (S.I.). To έργο της δύναμης για τη μετακίνηση της σφαίρας από τη θέση x = 0 m μέχρι τη θέση x = 5m είναι ίσο με α. 5 J β. 00 J γ. 50 J

110 A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση x (Ν) 30 για χ=0, =30N 0 για χ=5, =0N 0 x(m) 5 το έργο ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν,οπότε : W (30 0) 5 W 5 J 70. Μία μεταλλική σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Σε σημείο Α της τροχιάς της έχει ταχύτητα μέτρου υ και κινητική ενέργεια ίση με Κ. Σε ένα άλλο σημείο Β που βρίσκεται χαμηλότερα από το Α το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας είναι ίσο με υ. Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας από τη θέση Α στην θέση Β είναι ίση με: α. 3Κ β. Κ. γ. 4Κ A) Η σωστή απάντηση είναι το (α) B) ί, ί, } ( ) Επειδή η μηχανική ενέργεια της σφαίρας διατηρείται ισχύει: 7. Ένας αλεξιπτωτιστής που έχει μαζί με τον εξοπλισμό του συνολικής μάζας Μ, πέφτει από αεροπλάνο που πετάει σε ύψος Η. Αφού ανοίξει το αλεξίπτωτο, κινούμενος για κάποιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα, προσγειώνεται στο έδαφος. Αν g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας τότε η μηχανική ενέργεια του αλεξιπτωτιστή, τη χρονική στιγμή που φτάνει στο έδαφος είναι:

111 α. ίση με MgH. β. μικρότερη από MgH γ. μεγαλύτερη από MgH Α) Η σωστή απάντηση είναι το(β) Β) ) Στη θέση (Α) ο αλεξιπτωτιστής είναι ακίνητος. Άρα η μηχανική ενέργεια στη θέση αυτή ισούται: EMHX mgh Στη συνέχεια εκτός από το βάρος ασκείται στον αλεξιπτωτιστή και η δύναμη από το αλεξίπτωτο και τελικά κινείται με σταθερή ταχύτητα. Επειδή η δύναμη αυτή θα απορροφά συνεχώς ενέργεια από τον αλεξιπτωτιστή, τελικά η μηχανική του ενέργεια μειώνεται. 7. Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει από το αεροπλάνο χωρίς αρχική ταχύτητα και αφού ανοίξει το αλεξίπτωτο κινούμενος για κάποιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα προσγειώνεται στο έδαφος. Αν συμβολίσουμε με WB το έργο του βάρους του αλεξιπτωτιστή κατά τη διάρκεια της πτώσης του και Κ τη κινητική ενέργεια του αλεξιπτωτιστή κατά τη προσγείωση του θα ισχύει: α. WB > K. β. WB = K. γ. WB < K. Α) Η σωστή απάντηση είναι το(α) Β)Εφαρμόζοντας το ΘΜΚΕ: W WB W WB W Όμως το έργο της δύναμης από τον αέρα ( W ) θα είναι αρνητικό, αφού είναι συνεχώς αντίρροπη της μετατόπισης. Άρα WB 73. Ένα όχημα κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο με ταχύτητα μέτρου 0 m/s. Στο όχημα ασκούνται δυνάμεις και το μέτρο της ταχύτητας του μεταβάλλεται. Το ολικό έργο των δυνάμεων που απαιτείται για να αυξηθεί το μέτρο της ταχύτητας του οχήματος από 0 m/s σε 0 m/s, είναι

112 ίσο με W, ενώ για να αυξηθεί το μέτρο της ταχύτητας του οχήματος από 0m/s σε 30m/s, είναι ίσο με W. Για τα έργα W και W, ισχύει: α. W = W β. W > W γ. W < W Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ) Β) Εφαρμόζοντας το ΘΜΚΕ για τις δύο περιπτώσεις: K t - K a = W Û mu - mu = W Û m400 - m00 = W Û Û W = 00m- 50mÛ W = 50m K t - K a = W Û mu - mu = W Û m900 - m400 = W Û Û W = 450m- 00mÛ W = 50m Επομένως: W < W. 74. Μικρή σιδερένια σφαίρα μάζας m βρίσκεται αρχικά στο έδαφος. Η σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου υ0. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αμελητέα. Η κινητική ενέργεια που θα έχει η σφαίρα επιστρέφοντας στο έδαφος θα είναι: α. ίση με την ποσότητα mu o β. μικρότερη από την ποσότητα mu o γ. μεγαλύτερη από την ποσότητα mu o Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του στο σώμα, ασκείται μόνο το βάρος του: Οπότε ισχύει η ΑΔΜΕ: U U

113 όμως U Συνεπώς: U αφού είναι στο ίδιο ύψος. mu Σφαίρα μικρών διαστάσεων βρίσκεται ακίνητη σε μικρό ύψος h πάνω από το έδαφος. Στο ύψος αυτό με επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια το έδαφος, η σφαίρα έχει δυναμική ενέργεια ίση με 0 J. Η σφαίρα αφήνεται ελεύθερη, οπότε εκτελεί ελεύθερη πτώση με την επίδραση του αέρα να θεωρείται αμελητέα. Όταν η σφαίρα βρεθεί σε απόσταση ίση με h/3, από το σημείο εκκίνησης, τότε η δυναμική της ενέργεια U και η κινητική της ενέργεια K θα είναι αντίστοιχα: α. U = 40 J, K = 80 J β. U = 80 J, K = 40 J γ. U = 90 J, K = 30 J Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Για τη δυναμική ενέργεια στη θέση Α ισχύει: Α Η δυναμική ενέργεια στη θέση Β είναι: () h Β Β Α Β 0 (J) () Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Μ.Ε για τις θέσεις Α και Β έχουμε: E E K U K U ΜΗΧ Α ΜΗΧ B A A Β B h K U 0 K mg 0 Β B B 3 B () KB mgh 3 0 K B Α 3 0 K 0 0 K B KB 80 (J)

114 76. Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου 4 m/s με την επίδραση οριζόντιας σταθερής δύναμης μέτρου ίσου με 40 N. Ο ρυθμός με τον οποίο η προσφερόμενη στο σώμα ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα έχει μέτρο ίσο με: α. 60 J/s β. 40 J/s γ. 0 J/s Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α). Β) Αφού το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα ισχύει: ος Ν.Ν: Σ 0 T 0 T 0N x Ο ρυθμός με τον οποίο η προσφερόμενη στο σώμα ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα έχει Q Ts μέτρο ίσο με: P T 40 4 m / s 60 J / s t t 77. Ένας γερανός ισχύος P = KW ανυψώνει έναν κιβώτιο μάζας m με σταθερή ταχύτητα. Το κιβώτιο ανυψώνεται σε ύψος H σε χρόνο t. Η ισχύς ενός άλλου γερανού που ανυψώνει ένα άλλο κιβώτιο διπλάσιας μάζας με σταθερή ταχύτητα στον ίδιο χρόνο και στο ίδιο ύψος H ισούται με α. KW β. KW γ. 4 KW Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β). WA mg H Β) Η ισχύς του γερανού Α είναι: PA kw t t Η ισχύς του γερανού Β είναι: P B WB mg H kw t t 78. Ο κινητήρας ενός αυτοκινήτου Α παράγει 000 J σε 0 s ενώ ο κινητήρας ενός αυτοκινήτου Β παράγει 00 J σε s. Αν η ισχύς του αυτοκινήτου Α είναι PA και η ισχύς του αυτοκινήτου Β είναι PΒ, τότε ισχύει ότι α. PA = PΒ. β. PA > PΒ

115 γ. PA < PΒ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (γ). WA 000J Β) Η ισχύς του κινητήρα Α είναι: P A 50W t 0s WB 00J Η ισχύς του κινητήρα Β είναι: P B 00W t s Συνεπώς PA PB 79. Μια μηχανή Α παράγει έργο 4000 J σε χρονικό διάστημα ίσο με 0 s. Μια δεύτερη μηχανή Β παράγει έργο 600 J σε χρονικό διάστημα ίσο με 4 s. Αν ΡΑ η ισχύς της μηχανής Α και ΡΒ η ισχύς της μηχανής Β, τότε ισχύει: α. PΑ = PΒ. β. PΑ > PΒ γ. PΑ < PΒ Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) WA 4000J Β) Η ισχύς της μηχανής Α είναι: P A 400W t 0s Η ισχύς της μηχανής Β είναι: Συνεπώς P P 400W A B P B WB 600J 400W t 4s 80. Δύο αυτοκίνητα Α και Β έχουν μάζες ma=4000kg και mb=000kg είναι αρχικάακίνητα σε οριζόντιο δρόμο. Τα δύο αυτοκίνητα αρχίζουν νακινούνται με σταθερή επιτάχυνση. Ησυνισταμένη δύναμη που ασκείται στα δύο αυτοκίνητα έχει το ίδιο μέτρο. Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Όταν και τα δύο αυτοκίνητα έχουν διανύσει απόσταση x κινούνται με ταχύτητες που έχουν μέτρα υα και υβ αντίστοιχα. Για τα μέτρα υα και υβ των ταχυτήτων τους ισχύει: α. υα = υβ. β. υβ = υα. γ. υα = υβ. Β)

116 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (β) Β) ΘΜΚΕ για Α : W W maua x ΘΜΚΕ για Β : W W mbub x Οπότε m u m u 4m u m u 4u u u u A A B B B A B B A B B A 8. Δύο σφαίρες Α και Β, με μάζες ma=m και mβ=m αφήνονται να εκτελέσουν ελεύθερη πτώση, από ύψος h και h αντίστοιχα, πάνω από την επιφάνεια της Γης και φτάνουν στο έδαφος με ταχύτητες υα και υβ. Η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα και η επιτάχυνση της βαρύτητας σταθερή. Τα μέτρα των ταχυτήτων υα και υβ ικανοποιούν τη σχέση: α) β) γ) Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Β) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. A B Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) ΘΜΚΕ για Α: W W m u m g h u g h A A A A ΘΜΚΕ για Β: W W m u m g h u g h B B B B Οπότε u u u u u u B A A B A B 4. Από ένα σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το έδαφος βάλλονται κατακόρυφα δυο σφαίρες Α και Β με ταχύτητες ίδιου μέτρου. Η σφαίρα Α βάλλεται προς τα πάνω και η σφαίρα Β προς το έδαφος. Θεωρήσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας σταθερή και την αντίσταση του αέρα αμελητέα. Αν υa είναι η ταχύτητα της σφαίρας Α και υb της σφαίρας Β μέχρι οι σφαίρες να φτάσουν στο έδαφος ισχύει: α. υa >υβ β. υa = υβ γ. υβ > υα

117 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του στο σώμα, ασκείται μόνο το βάρος του: Οπότε από ΑΔΜΕ Σωμα: U U mu 0 m gh mu ed u0 gh u ed Σωμα: U U mu0 mgh mued u0 gh u ed αφού είναι στο ίδιο αρχικό ύψος και ίσου μέτρου αρχική ταχύτητα οπότε, οι τελικές ταχύτητες ίσες. 5. Στο Εργαστήριο Φυσικής ένας μαθητής έχει τη δυνατότητα να αναρτά σε οριζόντια δοκό μάζες και με το πάτημα ενός διακόπτη να τις απελευθερώνει ταυτόχρονα. Στο σημείο Α έχει αναρτήσει σφαίρα μάζας m και στο σημείο Β σφαίρα μάζας m, όπως δείχνεται στο παρακάτω σχήμα. Θεωρώντας την επίδραση του αέρα αμελητέα ο μαθητής ισχυρίζεται: «αφού η σφαίρα μάζας m στο σημείο Β έχει τη διπλάσια δυναμική ενέργεια από τη σφαίρα μάζας m στο σημείο Α, όταν πατήσω το διακόπτη, η σφαίρα μάζας m θα φτάσει στο πάτωμα με διπλάσια ταχύτητα από αυτή της σφαίρας μάζας m». Α) Να επιλέξετε την σωστή πρόταση. Ο ισχυρισμός του μαθητή είναι : α) λάθος β)σωστός γ) δεν έχουμε όλα τα δεδομένα για να συμπεράνουμε Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

118 Α) Η σωστή απάντηση είναι το (α) Β) Εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ για ένα σώμα μάζας m θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας, τo πάτωμα του εργαστήριου έχουμε: αρχική h U U 0 U 0 mgh mu u gh u gh τελική uπ πάτωμα Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος, οπότε και τα δύο σώματα θα έχουν την ίδια ταχύτητα, αφού αφήνονται από το ίδιο ύψος. 8. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της τιμής της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σώμα μάζας m = kg που κινείται σε οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα στα χρονικά διαστήματα 0 s 0s, 0 s 0s και 0 s 30s. Δ. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της τιμής της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο σε βαθμολογημένους άξονες για τo χρονικό διάστημα από 0 s 30 s. Δ3. Τη μέση ταχύτητα του σώματος για τo χρονικό διάστημα από 0 s 30 s. Δ4. Το έργο της συνισταμένης δύναμης για τo χρονικό διάστημα από 0 s 30s. Δ) Από (0 0)s: ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: 50 0 / 5 / t 0 0 m s m s Από (0 0)s: ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: 0 50 / 5 / t 0 0 m s m s Από (0 30)s: ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση προς τα πίσω με επιτάχυνση: / 3 3 / t 30 0 m s m s Δ)

119 α(m/s ) t(s) 3 - Δ3) Υπολογίζουμε το συνολικό διάστημα από τα αντίστοιχα εμβαδά της υ(t): s x x x s m m m 650m Η μέση ταχύτητα για τη συνολική μετατόπιση από 0s έως 30s είναι: s 650m, 67 m/ s t 30s Δ3) Το έργο της συνισταμένης δύναμης για τo χρονικό διάστημα από 0 s 30s υπολογίζεται με τη βοήθεια του ΘΜΚΕ: W mu 0 W ( 30) Wo Wo 900 J 83. Δύο σώματα Σ και Σ με ίσες μάζες 40 kg το καθένα, βρίσκονται στον ίδιο οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο. Τη χρονική στιγμή t = 0 το Σ ξεκινά να κινείται από ένα σημείο του δρόμου και την ίδια στιγμή διέρχεται από το ίδιο σημείο το σώμα Σ κινούμενο με σταθερή ταχύτητα ίση με 40 m/s, στην ίδια κατεύθυνση με το Σ. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις ταχύτητας χρόνου για τα δύο αυτά σώματα. Να υπολογίσετε:

120 Δ. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο Σ κατά τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης που εκτελεί. Δ. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σώματος, από τη χρονική στιγμή t, που φαίνεται στο διάγραμμα, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5s. Δ3. Την απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t. Δ4. Να εξετάσετε αν τα δύο σώματα συναντηθούν ξανά μετά τη χρονική στιγμή t = 0, και να υπολογίσετε ποια χρονική στιγμή θα συμβεί κάτι τέτοιο. Δ) Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο Σ από 0s έως 5s είναι: 60 0 m a m 40 kg m / s 60N t 5 0 Δ) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σώματος, από τη χρονική στιγμή t, που φαίνεται στο διάγραμμα, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5s είναι: ( ) : K K, K, m, m, K 4060 J 4040 J 40000J ( ) : K K, K, m, m, K J J 0J Δ3) Υπολογίζουμε αρχικά τη χρονική στιγμή t. a t 0 s t t Από τα εμβαδά της γραφικής παράστασης υ(t) υπολογίζουμε τις μετατοπίσεις μέχρι τη χρονική στιγμή t=0s, για κάθε κινητό: 0 40 ( ) : x E m 00m ( ) : x E 0 40m 400m o Η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων τότε είναι: x x x 00m Δ4) Έστω t>5s η χρονική στιγμή που τα δύο σώματα θα συναντηθούν ξανά μετά τη χρονική στιγμή t = 0. Αυτό θα συμβεί όταν είναι ίσες οι μετατοπίσεις τους, όπως υπολογίζονται από τα αντίστοιχα εμβαδά της γραφικής παράστασης υ(t):

121 t ( t 5) x x E E t (t 5) 3 4t t,5s 84. Σώμα μάζας m = 3Kg κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του άξονα x x. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της ταχύτητάς του σε σχέση με το χρόνο. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 s το σώμα βρίσκεται στη θέση x0 = +5m. Να υπολογίσετε: Δ. Τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή 0s. Δ. Να γίνει η γραφική παράσταση της τιμής της συνισταμένης δύναμης Σ που ασκείται στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Δ3. Τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή 8s καθώς και το διάστημα που αυτό διένυσε στο χρονικό διάστημα 0s 8s. Δ4. Το έργο της συνισταμένης δύναμης Σ στο χρονικό διάστημα 5s 3s. Δ) H μετατόπιση ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν, (0 5) 0 από 0 έως 0s x x 75m x x x x x x x 80m Δ) Από (0 5)s: ευθύγραμμη ομαλή, από ο Ν. Nεύτωνα: 0 Από (5 0)s: ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη με επιτάχυνση: 0 0 m/ s t 5 οπότε από ο Ν. Nεύτωνα: ma 3 ( ) 6N Από (0 3)s: ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη (με αντίθετη φορά) με επιτάχυνση: m/ s t 30 οπότε από ο Ν. Nεύτωνα: ma3 3 ( ) 6N από (3 8)s: ευθύγραμμη ομαλή, από ο Ν. Nεύτωνα: 0

122 οπότε το διάγραμμα είναι : Σ(Ν) t(s) -6 Δ3) η μετατόπιση ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν, από 0 έως 0s: x 75m από (0 3)s: 6 (3 0) x x 9m από (3 8)s: x3 6 (8 3) x3 30m x x x x x m οπότε: 3 36 x x x x x x 4m o Το διάστημα είναι το άθροισμα των μέτρων των μετατοπίσεων : S x x x S 4m 3 Δ4) Από ΘΜΚΕ από t=5sμέχρι t=3s: W mu mu W W 3 ( 6) 30 W 96J 85. Ένα αυτοκίνητο με μάζα 900 kg κινείται σε οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο, που ταυτίζεται με τον άξονα x x. Τη χρονική στιγμή to = 0, το αυτοκίνητο κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα, διέρχεται από τη θέση xo = + 5 m. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη χρονική στιγμή tο = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t4 = 5 s. Να υπολογίσετε: Δ. Το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το αυτοκίνητο επιβραδύνεται.

123 Δ. Το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο, από τη χρονική στιγμή tο = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5 s. Δ3. Τη θέση του αυτοκινήτου τις χρονικές στιγμές t = 5 s και t4 = 5 s. Δ4. Το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο, από τη χρονική στιγμή tο = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t4 = 5 s. Δ) Ας κάνουμε μια αναλυτική εξέταση όλων των ευθύγραμμων κινήσεων που εκτελεί το αυτοκίνητο στο παραπάνω χρονικό διάστημα: από t0 = 0 s t = 5 s: Έχουμε σταθερή και θετική κλίση, δηλαδή σταθερή επιτάχυνση με θετική αλγεβρική τιμή επομένως η επιτάχυνση και η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι διανύσματα που έχουν την ίδια φορά, επομένως εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. από t = 5 s t = 5 s: Έχουμε μηδενική κλίση, δηλαδή μηδενική επιτάχυνση επομένως δεν μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητας του αυτοκινήτου, δηλαδή εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. από t = 5 s t3 = 0 s: Έχουμε σταθερή και αρνητική κλίση, δηλαδή σταθερή επιτάχυνση με αρνητική αλγεβρική τιμή επομένως η επιτάχυνση και η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι διανύσματα που έχουν την αντίθετη φορά, επομένως εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση μέχρι που μηδενίζεται η ταχύτητά του. από t3 = 0 s t4 = 5 s: Η ευθεία συνεχίζει με την ίδια κλίση, οπότε έχουμε την ίδια σταθερή επιτάχυνση με αρνητική αλγεβρική τιμή, όμως τώρα η επιτάχυνση και η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι διανύσματα που έχουν την ίδια φορά, επομένως εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση κινούμενο προς την αντίθετη φορά. Δ) Στο χρονικό διάστημα t0 = 0 t = 5 s υπολογίζουμε την επιτάχυνση του αυτοκινήτου: u a a m / s t 5 5 Στη συνέχεια με το ΘΝΜ: ma 900N.800N Δ3) Όπως γνωρίζουμε, υπολογίζοντας το εμβαδόν που σχηματίζεται ανάμεσα στη γραφική παράσταση, τον άξονα του χρόνου και ανάμεσα στο χρονικό διάστημα, αυτό θα αντιστοιχεί με τη μετατόπιση Δx, επομένως:

124 από tο = 0 s t = 5 s: x E E 0 0 x E x 75 m Οπότε: x x3 xo 75m x3 5m x3 300 m από tο = 0 s t4 = 5 s: x E E E3 E4 0 0 ( ) ( x E 0 5) x 75m Οπότε : x x4 xo 75 x4 5 x4 300 m Δ4) Αρκεί να εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ για το χρονικό αυτό διάστημα:

125 W K4 Ko mu4 mo J W J 86. Ο θάλαμος ενός ανελκυστήρα μάζας m = 00 kg ηρεμεί στην κορυφή του φρεατίου. Ξαφνικά τη χρονική στιγμή t = 0s σπάει το συρματόσχοινο που συγκρατεί το θάλαμο. Ο θάλαμος εκτελεί για s ελεύθερη πτώση και στη συνέχεια ενεργοποιείται σύστημα ασφαλείας που έχει ως αποτέλεσμα να ασκείται στο θάλαμο κατακόρυφη προς τα πάνω σταθερή δύναμη, μέτρου 4000 Ν, οπότε ο θάλαμος επιβραδύνεται μέχρι που σταματά. Να υπολογίσετε: Δ. Tο μέτρο της ταχύτητας του θαλάμου τη χρονική στιγμή που ενεργοποιείται το σύστημα ασφαλείας. Δ. Το διάστημα που διάνυσε ο ανελκυστήρας εκτελώντας επιβραδυνόμενη κίνηση. Δ3.Το συνολικό χρόνο κίνησης του ανελκυστήρα. Δ4. Τη μέση ισχύ της δύναμης που ασκεί το σύστημα ασφαλείας στον ανελκυστήρα. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Δ) Από το χρονική στιγμή to = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = s, ο θάλαμος εκτελεί ελεύθερη πτώση οπότε: u gt u 0 m / s Δ) Από τη χρονική στιγμή t και μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t, ο θάλαμος εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Υπολογίζουμε το μέτρο της επιβράδυνσης α: ma w ma a a 0 m / s Εφαρμόζουμε τις κατάλληλες εξισώσεις της κίνησης: u 0 0 a 0 t s t t y u t a t y 0 ( 0) y 5m Δ3)Ο συνολικό χρόνος κίνησης είναι s Δ4)Υπολογίζουμε το έργο που παράγει η δύναμη (αρνητικό-καταναλισκόμενο)

126 W y J W J οπότε η μέση ισχύς θα είναι: W P P 0.000W t 87. Ένα σώμα μάζας 0 kg κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση συνισταμένης οριζόντιας δύναμης. Το διάγραμμα της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0 s 30 s φαίνεται στο σχήμα. Δ. Να υπολογιστεί το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σώμα στο χρονικό διάστημα 0 s 30 s. Δ. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Δ3. Να υπολογιστεί το έργο της συνισταμένης οριζόντιας δύναμης στα χρονικά διαστήματα 0 s 0 s και 0 s 30 s. Δ4. Να αξιοποιήσετε τα αποτελέσματα των προηγούμενων ερωτήτων και να επαληθεύσετε το «Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας» κατά την κίνηση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0 s - 30 s. Δ) Το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σώμα στο χρονικό διάστημα 0 s 30 s υπολογίζεται από τα αντίστοιχα εμβαδά της γραφικής παράστασης υ(t), του τριγώνου και του τραπεζίου. x x x x E E x m (30 0) m x 00m 00m 400m Δ) Υπολογίζουμε την επιτάχυνση σε κάθε χρονικό διάστημα και με τη βοήθεια του ο Ν. Νεύτωνα τη συνισταμένη δύναμη:

127 Από t (0 0) s : a m / s 4 m / s x, x, m a 80N Από t (0 30) s : a m / s m / s x, x, m a 40N Δt(s) Σx(N) 0s-0s 80 0s-30s 40 Δ3) Tο έργο της συνισταμένης οριζόντιας δύναμης στα χρονικά διαστήματα 0 s 0 s και 0 s 30 s υπολογίζεται από τον ορισμό του έργου σταθερής δύναμης: ό s s W x m J 0 (0 0 ) : x, ό s s W x m J () 0 (0 30 ) : x, Δ4) Το «Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας» κατά την κίνηση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0 s - 30 s επαληθεύεται ως εξής: K K K m m J K J () Από τις σχέσεις () και () επαληθεύεται το «Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας» K W 48000J 88. Ένα σώμα μάζας kg κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση οριζόντιας συνισταμένης δύναμης. Το διάγραμμα της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0 s 30 s φαίνεται στο σχήμα. Δ. Να υπολογιστεί το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σώμα το χρονικό διάστημα 0 s 30 s. Δ. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

128 Δ3. Να υπολογιστεί το έργο της συνισταμένης οριζόντιας δύναμης τα χρονικά διαστήματα 0 s 0 s και 0 s 30 s. Δ4. Να αξιοποιήσετε τα αποτελέσματα των προηγούμενων ερωτημάτων και να επαληθεύσετε το «Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας» κατά την κίνηση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0 s 30 s. Δ) Το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σώμα στο χρονικό διάστημα 0 s 30 s υπολογίζεται από τα αντίστοιχα εμβαδά της γραφικής παράστασης υ(t), του ορθογωνίου και του τριγώνου. x x x x E E o 60 (30 0) x 060m m x 600m 600m 00m Δ) Υπολογίζουμε την επιτάχυνση σε κάθε χρονικό διάστημα και με τη βοήθεια του ο Ν. Νεύτωνα τη συνισταμένη δύναμη: Από t (0 0) s : a m / s 0 m / s x, x, m a 0N Από t (0 30) s : a m / s 3 m / s x, x, ma 6N Δt(s) Σx(N) 0s-0s 0 0s-30s -6 Δ3) Tο έργο της συνισταμένης οριζόντιας δύναμης στα χρονικά διαστήματα 0 s 0 s και 0 s 30 s υπολογίζεται από τον ορισμό του έργου σταθερής δύναμης: ό s s W x m J 0 (0 0 ) : x, ό s s W x m J () 0 (0 30 ) : x,

129 Δ4) Το «Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας» κατά την κίνηση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0 s - 30 s επαληθεύεται ως εξής: K K K m m 0 60 J K 3600 J () Από τις σχέσεις () και () επαληθεύεται το «Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας» K W 3600J 89. Ο θάλαμος ενός ανελκυστήρα μαζί με τους επιβάτες έχει μάζα m = 400 kg και αρχίζει την στιγμή to = 0 s να κατεβαίνει από τον 4 ο όροφο ενός κτιρίου στο ισόγειο. Στον ανελκυστήρα εκτός από το βάρος του ασκείται μέσω ενός συρματόσχοινου και μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη. Στο σχήμα παριστάνεται το μέτρο της ταχύτητας του ανελκυστήρα με το χρόνο κατά την κάθοδό του. Να υπολογίσετε: Δ. Να χαρακτηρίσετε τις κινήσεις που εκτελεί ο θάλαμος και να υπολογίσετε την τιμή της επιτάχυνσή του σε κάθε μια από αυτές. Δ. Το μήκος της διαδρομής του θαλάμου από τον 4 όροφο στο ισόγειο. Δ3. Το μέτρο της δύναμης τις χρονικές στιγμές 3 s, 5 s και 9 s. Δ4. Το έργο της δύναμης σε όλη την διαδρομή της καθόδου. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Δ)Από 0s-4s: Ο ανελκυστήρας κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: t (0 4) s : a m / s m / s Από 4s-8s: Ο ανελκυστήρας κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με επιτάχυνση: t 84 (4 8) s : a m / s 0 m / s Από 8s-s: Ο ανελκυστήρας κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: t (8 ) s : a3 m / s m / s Δ) Το συνολικό διάστημα που διήνυσε ο ανελκυστήρας στο χρονικό διάστημα 0 s s υπολογίζεται από το αντίστοιχο εμβαδό της γραφικής παράστασης υ(t), του τραπεζίου. (8 4) x E x m 6 m

130 Δ3) Το μέτρο της δύναμης τις χρονικές στιγμές 3 s, 5 s και 9 s υπολογίζετε με τη βοήθεια του ο Ν. Νεύτωνα. Τη χρονική στιγμή t 3 s : m a w m a x m g m a 4000N 400 N 3800N t 5 s : x ma w ma Τη χρονική στιγμή m g 4000N 4000N Τη χρονική στιγμή t 9 s : m a w m a 3 x m g m a N 400 ( ) N 400N 3 Δ4) Το έργο της δύναμης σε όλη την διαδρομή της καθόδου υπολογίζεται με τη βοήθεια του ΘΜΚΕ από 0s έως s. W K K mu m 0J W W 0 W W W mg x 64000J o 90. Ο γερανός μιας εταιρείας μεταφορών ασκώντας κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη σε ένα πλυντήριο μάζας m = 00Kg το κατεβάζει κατακόρυφα, από τον 4 ο όροφο μιας πολυκατοικίας στο έδαφος. Το πλυντήριο ξεκινώντας τη στιγμή to = 0 από την ηρεμία επιταχύνεται ομαλά ως τη στιγμή t = s, στην οποία αποκτά ταχύτητα m/s. Στη συνέχεια διατηρεί αυτήν την ταχύτητα σταθερή, ως την στιγμή t = 8s. Στη συνέχεια επιβραδύνεται ομαλά μέχρι να σταματήσει ακριβώς στο έδαφος τη στιγμή t3 = 0s. Δίνεται ότι η αντίσταση αέρα αμελητέα και g = 0m/s. Να υπολογίσετε: Δ. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της ταχύτητας του πλυντηρίου συναρτήσει του χρόνου. Δ. Το ύψος από το οποίο ξεκίνησε να κατεβαίνει το πλυντήριο. Δ3. Το μέτρο της τις χρονικές στιγμές s, 5s και 9s. Δ4. Tο έργο του βάρους και το έργο της για τη συνολική μετατόπιση. Δ) Το διάγραμμα του μέτρου της ταχύτητας του πλυντηρίου συναρτήσει του χρόνου είναι το παρακάτω:

131 υ(m/s) t(s) 8 Δ) Το συνολικό ύψος που διήνυσε το πλυντήριο στο χρονικό διάστημα 0 s 0 s υπολογίζεται από το αντίστοιχο εμβαδό της γραφικής παράστασης υ(t), του τραπεζίου. 0 (8 ) x E x m 6 m Δ3)Από 0s-s: Ο ανελκυστήρας κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: t 0 0 (0 ) s : a m / s m / s Από 4s-8s: Ο ανελκυστήρας κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με επιτάχυνση: t 8 ( 4) s : a m / s 0 m / s Από 8s-s: Ο ανελκυστήρας κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: t (8 0) s : a3 m / s m / s Το μέτρο της δύναμης τις χρονικές στιγμές s, 5 s και 9 s υπολογίζετε με τη βοήθεια του ο Ν. Νεύτωνα. Τη χρονική στιγμή t s : ma w ma x m g ma 000N 00N 900N t 5 s : x ma w ma Τη χρονική στιγμή m g 000N 000N

132 Τη χρονική στιγμή t 9 s : ma w ma 3 x m g ma 000N 00 ( ) N N 3 Δ4) Το έργο τ ο υ β ά ρ ο υ ς σε όλη την διαδρομή της καθόδου είναι: W mg x 6000J o Το έργο της δύναμης σε όλη την διαδρομή της καθόδου υπολογίζεται με τη βοήθεια του ΘΜΚΕ από 0s έως s. W K K mu m 0J W W 0 W W W mg x 6000J o 9. Ένα μικρό σώμα μάζας kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δαπέδου είναι μ = 0,. Τη χρονική στιγμή t = 0 s, στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη με αποτέλεσμα το σώμα να αρχίσει να κινείται πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Όταν η μετατόπιση του σώματος είναι 0 m αυτό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 0m/s. Να υπολογίσετε : Δ. Tο μέτρο της δύναμης της τριβής που θα εμφανιστεί μόλις το σώμα τεθεί σε κίνηση Δ. Tο μέτρο της δύναμης που ασκείται στο σώμα Δ3. Tο έργο της δύναμης από τη στιγμή που άρχισε να κινείται το σώμα μέχρι τη στιγμή που απέκτησε ταχύτητα μέτρου υ = 5m/s. Δ4. Tη μέση ισχύ της δύναμης της τριβής από τη στιγμή που άρχισε να κινείται το σώμα μέχρι τη στιγμή που απέκτησε ταχύτητα μέτρου υ = 5m/s. Δ) Στον άξονα y y ισχύει: y y 0 N w m g Η τριβή ολίσθησης είναι: T m g N χ T N x Δ) Αφού οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι σταθερές, κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Οι εξισώσεις κίνησης είναι: w y t t () Ενώ η μετατόπιση είναι:

133 Από το Ο Ν. Νεύτωνα έχουμε: x a t a 0 5 m/ s x 0 ma T ma T ma N x Δ3) Η μετατόπιση του σώματος τη στιγμή που η ταχύτητά του έχει μέτρο 5m/s είναι: 5 x a t a m,5m 5 Το έργο της δύναμης μέχρι τη στιγμή που απέκτησε ταχύτητα μέτρου υ = 5m/s είναι: 0 W x 0,5m 30J Δ4) Η χρονική στιγμή που η ταχύτητά του έχει μέτρο 5m/s είναι: 5 t t s s 5 Η μέση ισχύ της δύναμης της τριβής τότε είναι: 0 WT T x 80,5J PT Pt 5W t ( 0) s s 9. Ένα σώμα, μάζας m = kg, είναι ακίνητο στη θέση xο = 0 m του άξονα x' x, πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη με κατεύθυνση προς τη θετική φορά του άξονα x' x. Η τιμή της δύναμης μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: = 0 - x (x σε m, σε Ν). Η δύναμη καταργείται αμέσως μετά τον μηδενισμό της. Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δαπέδου είναι μ = 0,5, η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης που θα ασκηθεί στο σώμα μόλις αυτό αρχίσει να ολισθαίνει. Δ. Το έργο της δύναμης για το χρονικό διάστημα που ασκείται στο σώμα. Δ3. Την κινητική ενέργεια του σώματος στο σημείο που μηδενίζεται η. Δ4. To χρονικό διάστημα που θα κινηθεί το σώμα, μετά το μηδενισμό της δύναμης μέχρι να σταματήσει. Δ) Στον άξονα y y ισχύει: y y 0 N w m g χ T N x Η τριβή ολίσθησης είναι: T m g,5n w y

134 Δ) Η δύναμη καταργείται στη θέση x όπου: 0 x 0 x 0m Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση (x), από το εμβαδόν της οποίας υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου στο διπλανό σχήμα. 00 W J 50J. 0 0 (N) 0 x(m) (N) x(m) Δ3) Η κινητική ενέργεια του σώματος στο σημείο που μηδενίζεται η υπολογίζεται με το ΘΜΚΕ K K W W K 0 50J T x T K 50J,5N 0m K 5J Δ4) Υπολογίζουμε την επιβράδυνση μετά το μηδενισμό της, με τη βοήθεια τουο Ν.Νεύτωνα. T x ma T ma a,5 m / s m Η ταχύτητα που ξεκινάει η ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση είναι: K K m 5 m / s 0 m Η εξίσωση της ταχύτητας μέχρι τη στιγμή που σταματάει το σώμα είναι: 0 0 t 00 t t 4s 93. Κιβώτιο μάζας m = kg αρχικά ηρεμεί σε τραχύ οριζόντιο δρόμο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s, ασκείται στο κιβώτιο μεταβλητή οριζόντια δύναμη το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με τη θέση του κιβωτίου σύμφωνα με τη σχέση = 0 + x (SI). Θεωρήστε ως x = 0 m τη θέση που βρισκόταν το κιβώτιο τη χρονική στιγμή t = 0 s και ότι το κιβώτιο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx. Η δύναμη καταργείται όταν το μέτρο της γίνει ίσο με 50 Ν. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και δρόμου είναι 0,4. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της δύναμης της τριβής που ασκείται στο κιβώτιο. Δ. Την επιτάχυνση του κιβωτίου όταν βρίσκεται στη θέση x = 0 m.

135 Δ3. Το έργο της δύναμης για τη μετατόπιση του κιβωτίου από την θέση x = 0 m έως τη θέση στην οποία καταργείται η δύναμη. Δ4. Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο από τη χρονική στιγμή t = 0 s μέχρι να σταματήσει. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με g = 0m/s και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δ) Σy = 0 ή Ν= mg =0N y T = μν= 8Ν N Δ) Στη θέση χ=0m είναι =0+x =30N. T χ Εφαρμόζουμε τον Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής: x w y m T m α m / s Δ3) H δύναμη μηδενίζεται, όταν =50N στη θέση: 0 x 50 0 x x 0m To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τραπεζίου στο διπλανό σχήμα J 600J. W (N) x(m) Δ4) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από την αρχή μέχρι να σταματήσει το σώμα. K K W WT J T x xολ 75m 94. Ένα μικρό σώμα μάζας Kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο, στη θέση x = 0 m του οριζόντιου προσανατολισμένου άξονα Οx. Τη χρονική στιγμή t = 0 s ασκούμε στο σώμα οριζόντια δύναμη η τιμή της οποίας μεταβάλλεται με τη θέση του σώματος σύμφωνα με τη σχέση = 4 x (x σε m, σε N) και το σώμα αρχίζει να κινείται πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Η δύναμη καταργείται αμέσως μετά το μηδενισμό της. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δαπέδου είναι μ = 0,. Να υπολογίσετε: Δ. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα του μέτρου της δύναμης σε συνάρτηση με τη θέση x, μέχρι τη θέση που η μηδενίζεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε το έργο της για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση x = 0 m μέχρι τη θέση μηδενισμού της.

136 Δ. Tο έργο της τριβής από τη θέση x = 0 μέχρι τη θέση που μηδενίζεται η δύναμη. Δ3. Tην κινητική ενέργεια του σώματος στη θέση που μηδενίζεται η. (N) Δ4. Σε κάποια θέση πριν το μηδενισμό της το σώμα κινείται με ταχύτητα μέγιστου μέτρου, να προσδιορίσετε αυτή τη θέση καθώς και το μέτρο της ταχύτητας του σώματος σε αυτή. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με g = 0m/s και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δ) Η δύναμη καταργείται στη θέση x όπου: 4 x 0 x m Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση (x), από το εμβαδόν της οποίας υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. 4 χ T x(m) y N w y x To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου στο διπλανό σχήμα. 4 W J 44J. (N) x(m) Δ) Στον άξονα y y ισχύει: y 0 N w m g Η τριβή ολίσθησης είναι: T m g,5n Tο έργο της τριβής από τη θέση x = 0 μέχρι τη θέση που μηδενίζεται η δύναμη είναι: 0 W T x80,5 m 30J T Δ3) Η κινητική ενέργεια του σώματος στη θέση που μηδενίζεται η υπολογίζεται από το ΘΜΚΕ K K W W K 0 44J 30 K 4J T Δ4) Οταν T 0 το σώμα επιταχύνεται. x Οταν T 0 το σώμα επιβραδύνεται. x Συνεπώς όταν T 0 T,5N το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα. Τότε: x 4 x,5 4 x x 0,75m Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος σ αυτή τη θέση υπολογίζεται με το ΘΜΚΕ από χ=0m έως χ=0,75m. Το έργο της δύναμης υπολογίζεται από το εμβαδόν του τραπεζίου.

137 K K W WT K 0 4,5 0,75J,5Ν 0,75m m 0, 75 0, 75 J 0, 75m / s 95. Ένα κιβώτιο μάζας 0 kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε ένα σημείο οριζόντιου δαπέδου, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του οριζόντιου άξονα x x. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται στο κιβώτιο οριζόντια δύναμη, με κατεύθυνση προς τη θετική φορά του άξονα και το κιβώτιο αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο προς την κατεύθυνση της. Το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται με τη θέση x του κιβωτίου, σύμφωνα με τη σχέση = 00 0x, (όπου σε Ν και x σε m) μέχρι τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται το μέτρο της δύναμης και στη συνέχεια καταργείται. Στο κιβώτιο κατά την ολίσθηση του ασκείται από το δάπεδο σταθερή δύναμη τριβής μέτρου 0 Ν. Να υπολογίσετε: Δ. Τη θέση του κιβωτίου στην οποία μηδενίζεται το μέτρο της δύναμης. Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κιβωτίου, τη χρονική στιγμή που βρίσκεται στη θέση x = m. Δ3. Το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή t = 0, μέχρι τη στιγμή που μηδενίστηκε το μέτρο της. Δ4. Να προσδιορίσετε τη θέση στην οποία το κιβώτιο θα σταματήσει να κινείται. Δ) Η δύναμη καταργείται στη θέση x όπου: 00 0 x 0 x 5m Δ) Οταν x=m τότε: 00 0 x N Εφαρμόζουμε τον ο Ν.Νεύτωνα στη θέση x=m : y N χ T x (N) w x m T m 60 N 0 N 0kg a α m / s Δ3) Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση =000x(SI), από το εμβαδόν της οποίας υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. (N) 00 x(m) 0 y x(m)

138 0 5 To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου στο διπλανό σχήμα. 005 W J 50J. Δ4) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από την αρχή μέχρι να σταματήσει το σώμα. K K W W J Tx 0 50J 0N x x,5m T ολ 96. (083-Δ) Ένας κύβος μάζας 0 kg ολισθαίνει πάνω σε λείο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα υο = 3 m/s, κατά μήκος μιας ευθείας που ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x x. Τη χρονική στιγμή t = 0s ο κύβος βρίσκεται στη θέση x = 0 m του άξονα και αρχίζει να ασκείται σε αυτόν οριζόντια δύναμη ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα. Το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται με την θέση x του κύβου, σύμφωνα με την σχέση = 0x [ σε Ν και x σε m]. Τη χρονική στιγμή που ο κύβος διέρχεται από τη θέση x = 4 m η δύναμη παύει να ασκείται. Αμέσως μετά ο κύβος συνεχίζει την κίνηση σε δεύτερο τραχύ οριζόντιο δάπεδο που ακολουθεί το πρώτο, μέχρι που σταματά. Η κίνηση με τριβές στο τραχύ δάπεδο διαρκεί χρόνο ίσο με,5 s. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κύβου στη θέση x = m. Δ. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα του μέτρου της δύναμης σε συνάρτηση με τη θέση x για τη μετατόπιση από 0 m 4 m. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την ενέργεια που μεταφέρθηκε στον κύβο, μέσω του έργου της δύναμης, κατά τη διάρκεια της μετατόπισης του κύβου από την θέση x = 0 m έως την θέση x = 4 m. Δ3. Το μέτρο της ταχύτητας του κύβου στη θέση x = 4 m. Δ4. Το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του κύβου και του δεύτερου δαπέδου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s. N 4m Τ N u=0 ΜΗ ΛΕΙΟ w ΛΕΙΟ w Δ) Όταν x=m, η δύναμη έχει μέτρο =0 N=0N, άρα από ο Ν. Νεύτωνα : 0 ma ma a a m / s a m / s m 0 (Ν) 40 Δ) Για χ=0, =0 0 4 x(m)

139 Για χ=4m, =40N Η γραφική παράσταση είναι ευθεία που διέρχεται από τη αρχή των αξόνων, οπότε το ζητούμενο διάγραμμα είναι το διπλανό. Το έργο τηςδύναμης ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν, οπότε: 40 4 W W 80J Δ3) Από ΘΜΚΕ για τον κύβο από (0m 4m) : W W mu W u u 4 m / s m Δ4) Στο τραχύ επίπεδο, αποκτά νέα επιτάχυνση και εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα : u u0 4 m / s Από τον τύπο της ταχύτητας έχουμε: u u0 a t 0 4,5 a a,6 m / s Από ο Ν. NEWTON, το μέτρο της τριβής θα ισούται: ma T m a T 6N στον yy 0 N w N mg 00N y x οπότε από νόμο της τριβής: T T N N Ένα κιβώτιο μάζας 8 kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε ένα σημείο οριζόντιου δαπέδου. Τη χρονική στιγμή t = 0 ένας μαθητής ασκεί στο κιβώτιο οριζόντια δύναμη, και το κιβώτιο αρχίζει να κινείται κατά μήκος μιας ευθείας που ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x x. Η αλγεβρική τιμή της δύναμης μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση = 00 0x (SI) μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται και στη συνέχεια καταργείται. Το κιβώτιο βρίσκεται αρχικά στη θέση xο = 0 του άξονα και κατά την κίνηση του δέχεται από το δάπεδο σταθερή δύναμη τριβής μέτρου 30 Ν. Να υπολογίσετε: Δ. Tη θέση του κιβωτίου στην οποία μηδενίζεται το μέτρο της δύναμης. Δ. Το έργο της δύναμης, από τη χρονική στιγμή t = 0, μέχρι τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται. Δ3. Το μέτρο της ταχύτητας του κιβωτίου τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η δύναμη. Δ4. To διάστημα που διανύει το κιβώτιο επιβραδυνόμενο, στη χρονική διάρκεια που ενεργεί η δύναμη.

140 Δ) Η δύναμη καταργείται στη θέση x όπου: 00 0x 0 x 5m χ T y N x Δ) Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση =00-0x (SI), από το εμβαδόν της οποίας υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. w y (N) x(m) To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου στο διπλανό σχήμα. 005 W J 50J. Δ3) Από ΘΜΚΕ για τον κύβο από (0m 5m) : ( W T x) (50J 30N 5 m) W mu W WT u u u 5 m / s m 8kg Δ4) Όταν T 0 το σώμα επιταχύνεται. x Οταν T 0 το σώμα επιβραδύνεται. x Συνεπώς όταν T 0 T 30N το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα. Τότε: x (N) x x x,34m Το κιβώτιο επιβραδύνεται από τη θέση,34m έως 5m για διάστημα s=5m-,34m=,66m. 5 x(m) 98. Ένα σιδερένιο κιβώτιο μάζας m = 00 kg βρίσκεται ακίνητο στο έδαφος. Στο κιβώτιο ασκείται κατακόρυφη δύναμη προς τα πάνω η τιμή της οποίας μεταβάλλεται με το ύψος y από το έδαφος σύμφωνα με τη σχέση = y (SI). Η δύναμη σταματάει να ασκείται αμέσως μετά το μηδενισμό της. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Tην τιμή του ύψους y στο οποίο μηδενίζεται η δύναμη και να γίνει το διάγραμμα του μέτρου της συναρτήσει του ύψους. Δ. Tο έργο της δύναμης από y = 0 έως y. Δ3. Tην κινητική ενέργεια του κιβωτίου στο ύψος y.

141 Δ4. Tο μέγιστο ύψος από το έδαφος που φθάνει το κιβώτιο. Δ) Η δύναμη καταργείται στη θέση y όπου: y 0 y 30m Δ) Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση = y (SI), από το εμβαδόν της οποίας υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. (N) y(m) To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου στο διπλανό σχήμα. 3000N30m W 45000J. Δ3) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από την αρχή μέχρι να μηδενιστεί η δύναμη. W K K W W K J mg y w m K 45000J 00kg 0 30 m K 5000J s Δ4) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από τη θέση που μηδενίζεται η δύναμη μέχρι τη θέση όπου μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητα του κιβωτίου (N) K K J y W 0 w 5000 mg 5000J y y 5 m m 00kg 0 s y(m) Συνεπώς το μέγιστο ύψος από το έδαφος που φθάνει το κιβώτιο είναι: hmax y y 30m 5m 45m 99. Εκπαιδευτικό αεροπλάνο μάζας m = 000 Kg στη φάση της απογείωσής του κινείται, ξεκινώντας από την ηρεμία, με σταθερή επιτάχυνση και χρησιμοποιεί 900m από τον διάδρομο. Η απογείωση διαρκεί 30s. Να υπολογίσετε:

142 Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του αεροπλάνου καθώς και το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του κατά τη φάση της απογείωσης. Δ. Το μέτρο της ταχύτητας του αεροπλάνου σε m/s και σε Km/h, ακριβώς πριν την απογείωσή του. Δ3. Την ενέργεια που κατανάλωσε το αεροπλάνο για την απογείωσή του, αν γνωρίζουμε ότι το 80% αυτής μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Δ4. Δύο συμμαθητές σου εξετάζοντας το συγκεκριμένο πρόβλημα της απογείωσης του αεροπλάνου κάνουν υποθέσεις για τη θέση και τη χρονική στιγμή κατά την οποία το αεροπλάνο έχει την μισή ταχύτητα από την ταχύτητα απογείωσης. Η μία υπόθεση είναι ότι το αεροπλάνο έχει τη η μισή ταχύτητα στο μέσο του διαδρόμου και η άλλη ότι αυτό συμβαίνει στο μέσο του χρονικού διαστήματος. Να εξετάσετε την ισχύ των δύο υποθέσεων. Δ) To εκπαιδευτικό αεροπλάνο στη φάση της απογείωσής του, κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Η εξίσωση της μετατόπισής του είναι: x 900m x a t a m / s t 30 s Το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του κατά τη φάση της απογείωσης υπολογίζεται από τον ο Ν.Νεύτωνα: kg m s N x m x 000 / 4000 Δ)Το μέτρο της ταχύτητας του αεροπλάνου ακριβώς πριν την απογείωσή του είναι: km m m t 30s km / h s s h 3600 Δ3) Η ενέργεια που κατανάλωσε το αεροπλάνο για την απογείωσή του είναι: K 0,8 m 0, , J Δ4) Το αεροπλάνο έχει τη μισή του ταχύτητα τη χρονική στιγμή: 60 t t t 5s Άρα το αεροπλάνο έχει τη η μισή ταχύτητα στο μέσο του χρονικού διαστήματος. Σ αυτό το χρονικό διάστημα έχει διανύσει: m 900m x at 5s 5m 450m s

143 00. Μαχητικό αεροσκάφος μάζας m = 000 Kg επιχειρεί να προσγειωθεί στον ευθύγραμμο διάδρομο ΑΓ ενός ακίνητου αεροπλανοφόρου. Το μήκος του διαδρόμου είναι 80 m. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 s το αεροσκάφος ακουμπά στο διάδρομο στο σημείο Α κινούμενο με αρχική ταχύτητα υ0 = 50 m/s με κατεύθυνση από το Α στο Γ. Μέχρι τη χρονική στιγμή t = s το αεροσκάφος επιβραδύνεται με την επίδραση μόνο της τριβής ολίσθησης οπότε και φτάνει στο μέσο του διαδρόμου Ο. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιβράδυνσης του αεροσκάφους στο χρονικό διάστημα 0 s. Δ. Το συντελεστή της τριβής ολίσθησης μεταξύ των τροχών του αεροσκάφους και του διαδρόμου Το αεροπλανοφόρο διαθέτει βοηθητικό σύστημα προσγείωσης (φρεναρίσματος) μέσω του οποίου ασκείται στο αεροσκάφος οριζόντια δύναμη με φορά από το σημείο Γ προς το Α. Το μέτρο της δίνεται από τη σχέση = 00x, όπου x η απόσταση από το μέσο Ο του διαδρόμου ΑΓ. Τη χρονική στιγμή t = s ενεργοποιείται το βοηθητικό σύστημα προσγείωσης και στο αεροσκάφος ασκείται επιπλέον η δύναμη. Δ3. Το έργο της δύναμης που ασκεί ο μηχανισμός προσγείωσης στο αεροσκάφος από το μέσο Ο μέχρι το Γ. Δ4. Να εξετάσετε αν το αεροσκάφος θα προσγειωθεί στο αεροπλανοφόρο η θα πέσει στη θάλασσα. Να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα. Δ) To εκπαιδευτικό αεροπλάνο στη φάση της προσγείωσής του, κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Μέχρι τη χρονική στιγμή t = s το αεροσκάφος επιβραδύνεται με την επίδραση μόνο της τριβής ολίσθησης οπότε και φτάνει στο μέσο του διαδρόμου Ο, διανύοντας απόσταση x=80m/=90m. Η εξίσωση της μετατόπισής του είναι: t x x t a t x t a t t x a t a 5 m / s t Δ) Η μοναδική δύναμη που επιβραδύνει το αεροπλάνο είναι η τριβή ολίσθησης. Από τον ο Ν.Νεύτωνα έχουμε: x m T m( a) a m a mg m a 0,5 g

144 (N) Δ3) Κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση =00x (SI), από το εμβαδόν της οποίας υπολογίζουμε το έργο της δύναμης (N) 0 0 x(m) 0 x(m) To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου στο διπλανό σχήμα. Επειδή η δύναμη είναι αντίθετη με τη μετατόπιση του αεροπλάνου το έργο της θα είναι αρνητικό. 9000N90m W J. Δ4) Το αεροσκάφος για να μη πέσει στη θάλασσα πρέπει να σταματήσει στα επόμενα 90m. Στο μέσο του διαδρόμου έχει ταχύτητα: 0 t (50 5 ) m / s 40 m / s Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για να υπολογίσουμε την κινητική του ενέργεια στο τέλος του διαδρόμου ΑΓ, από το μέσο έως το τέλος της διαδρομής. K K W W T K m υ J μ mg x m J 0,5 000kg 0 90 K m s K J J K J Η κινητική ενέργεια όμως του αεροπλάνου δεν μπορεί να είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει σταματήσει πριν το τέλος του διαδρόμου. Αν η κινητική ενέργεια ήταν μηδέν τότε θα σταματήσει ακριβώς στο τέλος του διαδρόμου. Αν ήταν θετική τότε θα έπεφτε στη θάλασσα. 0. Ταχύπλοο σκάφος με συνολική μάζα Kg πλησιάζει προς το λιμάνι ενός νησιού. Η μηχανή του όπως και το πηδάλιο έχουν πάθει βλάβη οπότε ο άνεμος το παρασέρνει προς το λιμενοβραχίονα με σταθερή ταχύτητα μέτρου uo = m/s. Όταν, τη χρονική στιγμή t0 = 0 s, το πλοίο βρίσκεται σε απόσταση 300 m από τον λιμενοβραχίονα ο μηχανικός καταφέρνει να θέσει σε λειτουργία τις μηχανές όχι όμως το πηδάλιο. Με τη βοήθεια των μηχανών προκαλείται στο πλοίο η άσκηση συνισταμένης δύναμης με κατεύθυνση αντίθετη της uo και με μέτρο.000 Ν. Να υπολογίσετε:

145 Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το πλοίο μετά την έναρξη της λειτουργίας των μηχανών του. Δ. Να εξετάσετε αν το πλοίο θα αποφύγει τη σύγκρουση με τον λιμενοβραχίονα. Δ3. Την απόσταση του πλοίου από τον λιμενοβραχίονα τη χρονική στιγμή t = 0 min. Δ4. Το έργο της δύναμης στο χρονικό διάστημα 0 0 min. Δ) Το μέτρο της επιτάχυνσης του ταχύπλοου σκάφους υπολογίζεται από τον ο Ν.Νεύτωνα: 000N x m a 0, 0 m / s m kg Δ) Το σκάφος κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Θα σταματήσει τη χρονική 0 στιγμή t όπου: 0 t 0 t 00 0,0 s s Μέχρι εκείνη τη στιγμή διένυσε μετατόπιση: x 0 t a t 00 0, m Αφού ο λιμενοβραχίονας απέχει 300m θα αποφύγει τη σύγκρουση, καθώς το σκάφος βρίσκεται από τον λιμενοβραχίονα απόσταση x 300m 00m 00m. Δ3) Ακολούθως οι μηχανές κινούν το σκάφος στην αντίθετη προς τον λιμενοβραχίονα κατεύθυνση με επιτάχυνση ίσου μέτρου. Τη χρονική στιγμή t=0min=600s, έχει κινηθεί αντίθετα για χρόνο: t t t 600s 00s 400s. Η μετατόπιση που διάνυσε είναι: x at 0,0 400 m 800 m. Συνεπώς βρίσκεται από τον λιμενοβραχίονα απόσταση: s x x 800m 00m 900m Δ4) Το έργο της δύναμης στο χρονικό διάστημα 0 0 min είναι: 0 0 W x 80 x m m J 0. Αερόστατο μάζας m = 00 Kg περιέχει στο καλάθι του υλικά και επιβάτες συνολικής μάζας m = 400 Kg. Το αερόστατο διατηρείται ακίνητο με τη βοήθεια δυο κατακόρυφων σκοινιών και με το καλάθι του να βρίσκεται στο σημείο Ο και σε ύψος h = 0 m από την επιφάνεια του εδάφους. Στο αερόστατο ασκείται κατακόρυφη δύναμη από τον αέρα η τιμή της οποίας δίνεται από τη σχέση = x ( σε Ν και x σε m), όπου το x είναι η θέση στον κατακόρυφο άξονα Οx με θετική φορά προς τα πάνω (δηλ. το σημείο Ο θεωρείται ως η θέση x=0 m). Τη χρονική στιγμή t = 0 s τα σκοινιά λύνονται και το αερόστατο αρχίζει να ανυψώνεται κατακόρυφα. Δίνεται ότι g = 0 m/s και. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της τάσης κάθε σκοινιού όταν το αερόστατο είναι ακίνητο (τα δυο σκοινιά ασκούν δυνάμεις ίδιου μέτρου) Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του αερόστατου τη χρονική στιγμή t = 0 s.

146 Δ3. Το μέτρο της ταχύτητας του αερόστατου όταν το καλάθι του βρίσκεται σε ύψος Η = 0 m από το έδαφος. Δ4. Όταν το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος Η = 0 m αφήνεται από τους επιβάτες ένας σάκος άμμου ο οποίος κινείται κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα, την ταχύτητα που είχε το αερόστατο εκείνη τη χρονική στιγμή. Κατά τη κίνηση του σάκου η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Να προσδιορίσετε το είδος της κίνησης του σάκου καθώς και η ταχύτητα με την οποία φτάνει στο έδαφος. Δ) Όταν το αερόστατο είναι ακίνητο τότε: 0=6500-0x=6500N. Ισχύει: 0 w 6500 N ( mm ) g y 0 0 T w 0 T T 750N Αμέσως πρίν t=0 T w T 0m Δ) Το μέτρο της επιτάχυνσης του αερόστατου τη χρονική στιγμή t=0s, αφού λυθούν τα σχοινιά, υπολογίζεται από τον ο Ν.Νεύτωνα: w 6500N 5000N y m 0 a0 3 m / s m 500kg 0 t=0 Δ3) Όταν το καλάθι του βρίσκεται σε ύψος Η = 0 m από το έδαφος έχει διανύσει ύψος x H h 0m 0m 00m Το αερόστατο κάνει ευθύγραμμη επιταχυνόμενη, όχι ομαλά, κίνηση. Αρχικά κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση =6500-0x (SI), από το εμβαδόν της οποίας υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. w 0m (N) x(m) 6500 (N) x(m) 00 To έργο της δύναμης είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του τραπεζίου στο διπλανό σχήμα.

147 (6500N 5500 N) 00m W J. Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για το αερόστατο από το ύψος 0m έως τα 0m. K K W W K J m g x w m J 500kg 0 00m J 400 / 0 / m s kg m s m s Δ4) Ο σάκος κάνει αρχικά ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, με αρχική ταχύτητα την ταχύτητα του αερόστατου εκείνη τη στιγμή. Φθάνει σε ένα μέγιστο ύψος και ακολούθως κάνει ελεύθερη πτώση. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία φτάνει στο έδαφος εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για το σάκο, από το ύψος Η=0m έως το έδαφος. Το έργο του βάρους είναι θετικό. Επειδή είναι συντηρητική δύναμη για τον υπολογισμό του έργου του δεν παίζει ρόλο η διαδρομή αλλά μόνο η αρχική και η τελική θέση. K K W w m υ m υ mg H υ g H 600 m / s 5 m / s 03. Μια μικρή σφαίρα μάζας m =, 0-3 kg αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί μέσα σε ένα κυλινδρικό δοχείο που περιέχει λάδι. Η σφαίρα αφήνεται από ένα σημείο Α και καθώς κατεβαίνει, εκτός από το βάρος της, δέχεται από το λάδι κατακόρυφη συνολική δύναμη με φορά προς τα πάνω, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το μέτρο της ταχύτητας u της σφαίρας, σύμφωνα με τη σχέση: = (+5u) 0 - [ σε N και υ σε m/s]. Η σφαίρα μετά από λίγο χρόνο, από τότε που αφήνεται ελεύθερη, αποκτά σταθερή ταχύτητα μέτρου υ Σ, με την οποία πλέον κινείται μέχρι να φτάσει στον πυθμένα. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0m/s. Να υπολογίσετε : Δ. Tο μέτρο της δύναμης στη χρονική διάρκεια που η σφαίρα κινείται με σταθερή ταχύτητα, Δ. Tο μέτρο της σταθερής ταχύτητας υ Σ, Δ3. Tην ισχύ της δύναμης που δέχεται η σφαίρα από το λάδι, στη χρονική διάρκεια που κινείται με σταθερή ταχύτητα, Δ4. Tο μέτρο της επιτάχυνσης της σφαίρας, στη θέση όπου το μέτρο της ταχύτητάς της είναι ίσο με υ = 0,0 m/s.

148 Δ) Όταν η σφαίρα κινείται με σταθερή ταχύτητα τότε: y 0 w 0 w mg 3 m, 0 kg 0, 0 N s Δ) Tο μέτρο της σταθερής ταχύτητας υ Σ, είναι: Δ3) Η ισχύς της δύναμης είναι: ( 5 ) 0, 0 5, 0,04 / 0 4 P 80, 0 0,04 m / s 4,8 0 W Δ4) Το μέτρο της επιτάχυνσης της σφαίρας τη χρονική στιγμή όπου το μέτρο της ταχύτητάς της είναι ίσο με υ = 0,0 m/s, υπολογίζεται από τον ο Ν.Νεύτωνα: w mg ( 5 ) 0 y m a 3 m, 0 kg, 0 ( 50,0) 0 5 / / 3 a m s m s, 0 kg, 6 m s 04. Αερόστατο που άδειο έχει μάζα m = 60 Kg, μεταφέρει επιβάτη με μάζα m = 80 Kg και ένα σάκο με άμμο μάζας m3 = 0 Kg. Τη χρονική στιγμή t = 0 s το αερόστατο βρίσκεται ακίνητο στην επιφάνεια του εδάφους και αρχίζει να ανυψώνεται με την επίδραση της κατακόρυφης δύναμης που ασκείται από τον αέρα. Δίνεται ότι το μέτρο της είναι 3000 Ν και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνση με την οποία ανυψώνεται το αερόστατο. W Δ. Την δύναμη που ασκεί στον επιβάτη το δάπεδο του καλαθιού του αερόστατου Τη χρονική στιγμή που το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος Η = 00 m από την επιφάνεια του εδάφους αφήνεται ο σάκος με άμμο ο οποίος κινείται κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα, την ταχύτητα που είχε το αερόστατο εκείνη τη χρονική στιγμή. Κατά τη κίνηση του σάκου η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ3. Το χρονικό διάστημα από τη στιγμή που αφήνεται ο σάκος μέχρι να φτάσει στο μέγιστο ύψος από την επιφάνεια του εδάφους. Δ4. Την κινητική ενέργεια του σάκου τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.

149 Δ) Το μέτρο της επιτάχυνσης του αερόστατου, υπολογίζεται από τον ο Ν.Νεύτωνα: w 3000N 500N y m a m / s m 50kg Δ) Ο επιβάτης κινείται μαζί με το αερόστατο με την επιτάχυνσή του. Πάνω του ασκείται το βάρος του και η αντίδραση N από το δάπεδο του καλαθιού. Από τον ο Ν. Νεύτωνα για τον επιβάτη έχουμε: y m w N m a N m ( g a) N 640N Δ3) Η χρονική στιγμή που το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος Η = 00 m από την επιφάνεια του εδάφους είναι: H a H a t t 0s Η ταχύτητα του αερόστατου τότε είναι: t 0 m / s Ο σάκος τη στιγμή που αφήνεται έχει την ταχύτητα του αερόστατου: 0 0 m/ s και κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση προς τα πάνω, κινούμενος μόνο με την επίδραση του βάρους του. Οταν φθάσει στο μέγιστο ύψος η ταχύτητά του στιγμιαία μηδενίζεται: 0 g t t s s g Δ4) Εφαρμόζουμε για το σάκο την ΑΔΜΕ, με επίπεδο αναφοράς της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας το έδαφος: E E K U K U W m3 0 m3 g H K K 000J 05. Ακροβάτης με μάζα 60 kg εκτελεί ελεύθερη πτώση από μπαλκόνι που βρίσκεται σε ύψος 5 m από το έδαφος. Καθώς πέφτει κρατά τεντωμένα τα πόδια του. Όμως τη χρονική στιγμή t = 0 s που τα πόδια του έρχονται σε επαφή με το έδαφος τα γόνατά του αρχίζουν να λυγίζουν και ο κορμός του κινείται με σταθερή επιβράδυνση κατά διάστημα s επιπλέον μέχρι να σταματήσει.το χρονικό διάστημα της επιβραδυνόμενης κίνησης είναι 0,s. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της ταχύτητας του ακροβάτη τη στιγμή που τα πόδια του ακουμπούν το έδαφος. Δ. Το μέτρο της επιβράδυνσης με την οποία κινείται ο κορμός του ακροβάτη. Δ3. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί το έδαφος στα πόδια του ακροβάτη καθώς αυτός επιβραδύνεται. Δ4. Τη μέση ισχύ που αναπτύσσει ακροβάτης μέσω της δύναμης που ασκεί στο έδαφος λόγω της επιβραδυνόμενης κίνησης του.

150 Δ) Ο ακροβάτης κάνει ελεύθερη πτώση από ύψος h: h g h g t t s Η ταχύτητα του ακροβάτη όταν έρχεται σε επαφή με το έδαφος είναι: g t 0 m / s Δ) Ο κορμός του ακροβάτη κατά τη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης έχει μέτρο επιβράδυνσης που υπολογίζεται από την εξίσωση της ταχύτητας, θεωρώντας αρχική ταχύτητα την ταχύτητα που έρχεται σε επαφή με το έδαφος: 0 0 m/ s. 0 0 t m s m s t 0, 0 0 / 00 / Δ3) Το μέτρο της δύναμης N που ασκεί το έδαφος στα πόδια του ακροβάτη καθώς αυτός επιβραδύνεται υπολογίζεται από τον ο Ν. Νεύτωνα : y m w N m a N m( g a) N 6600N Δ4) Ο κορμός του ακροβάτη κινείται με σταθερή επιβράδυνση κατά διάστημα s επιπλέον μέχρι να σταματήσει: s a t s 0,5m Η μέση ισχύ που αναπτύσσει ακροβάτης μέσω της δύναμης: N' N που ασκεί στο έδαφος λόγω της επιβραδυνόμενης κίνησης του είναι: P M WN ' N ' s 6600N 0,5m 33000W t t 0,s 06. Αθλητής του άλματος επί κοντώ έχει μάζα m = 80 Kg και το κοντάρι του m = 0 Kg. Ο αθλητής ξεκινάει από την ηρεμία κρατώντας το κοντάρι του και κινείται με σταθερή επιτάχυνση για 5 s. Αφού διανύσει 5 m φτάνει κάτω από τον πήχη. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του κονταριού περνάει με μηδενική ταχύτητα ακριβώς πάνω από τον πήχη και με το σώμα οριζόντιο. Τέλος πέφτει πάνω στο στρώμα του οποίου το πάχος είναι m επίσης με το σώμα οριζόντιο. Ο αθλητής μπορεί να θεωρηθεί ως υλικό σημείο και το οποίο, όταν στέκεται όρθιος, βρίσκεται σε ύψος m από το έδαφος. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται ο αθλητής (μαζί με το κοντάρι) καθώς και τη δύναμη που ασκεί το έδαφος στον αθλητή (η δύναμη που επιταχύνει τον αθλητή) κατά την επιταχυνόμενη κίνησή του.

151 Δ. Την κινητική ενέργεια του αθλητή (χωρίς το κοντάρι) όταν ο αθλητής φτάνει κάτω από τον πήχη. Δ3. Το ύψος που βρίσκεται ο πήχης από το έδαφος (η επίδοση του αθλητή) θεωρώντας ότι κατά το άλμα η μηχανική ενέργεια του αθλητή διατηρείται σταθερή. Δ4. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία ο αθλητής πέφτει στο στρώμα. Δ) Ο αθλητής κάνει αρχικά ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με εξισώσεις κίνησης: s 5 s a t a m / s m / s t 5 t 5 m / s 0 m / s Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα: kg m s N x m (m+m ) (80 0) / 00 x x Δ) Η κινητική ενέργεια του αθλητή (χωρίς το κοντάρι) όταν ο αθλητής φτάνει κάτω από τον πήχη είναι: K m 80 kg (0 m / s ) 4000 N Δ3) Θεωρούμε επίπεδο δυναμικής βαρυτικής ενέργειας μηδέν το έδαφος, ενώ ο αθλητής ξεκινά το άλμα του από ύψος h=m. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας(ΑΔΜΕ): E E K U K U m( gh ) mgh m 0 mgh H 6m mg Δ4) Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για το ίδιο επίπεδο αναφοράς, από το μέγιστο ύψος έως την πάνω πλευρά του στρώματος που είναι σε ύψος h=m από το έδαφος: E E K U K U 0 mgh mgh m g( H h) 0 m / s 07. Μικρό σώμα μάζας m = 400 g βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται στο σώμα οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου ίσου με 5Ν, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5 s, όπου καταργείται. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Για το χρονικό διάστημα που ασκείται η δύναμη, να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα. Δ. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου (υ-t). Δ3. Το έργο της δύναμης.

152 Δ4. Το μέσο ρυθμό με τον οποίο η προσφερόμενη στο σώμα ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα. Δ) Στον άξονα yy ισχύει y 0 N w N mg 0, 4kg 0m / s 4 N y N Οπότε από νόμο της τριβής: T N 0, 5 4 N N. T χ Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα: x w y m T m a T 5N N a α 0m / s m 0, 4kg Δ) Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχύνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. t 0t ( SI ) Δ3) Η μετατόπιση του σώματος σε χρόνο t=5s είναι : s a t s 5m. Το έργο της δύναμης είναι: W s m 65J Δ4) Ο μέσος ρυθμός με τον οποίο η προσφερόμενη στο σώμα ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα είναι: T s 800 N 5m Q WT PM 5W. t t t 5s 08. Ένα μικρό σώμα μάζας kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκείται στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη. Η δύναμη ασκείται στο σώμα μέχρι τη χρονική στιγμή t = 4 s οπότε εκείνη τη στιγμή έχει αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ = 0 m/s. Τη χρονική στιγμή t η δύναμη καταργείται και το σώμα επιβραδύνεται ομαλά μέχρι τη χρονική στιγμή t = s που η ταχύτητά του μηδενίζεται. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s. Να υπολογίσετε: υ(m/s) t(s)

153 Δ. Το μέτρο της επιβράδυνσης που προκαλεί η τριβή στο χρονικό διάστημα t t. Δ. Το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δαπέδου. Δ3. Το μέτρο της δύναμης. Δ4. Το έργο της τριβής από τη χρονική στιγμή t = 0, μέχρι τη χρονική στιγμή που σταματά το σώμα. Τ Ν W Δ) Το μέτρο της επιβράδυνσης που προκαλεί η τριβή στο χρονικό διάστημα t t είναι: 0 0 a m / s,5 m / s t t t 4 Δ) Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N mg kg 0 m / s 0N Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα στο χρονικό διάστημα t t : x m T m m g mg ma 0,5 Δ3) Το μέτρο της επιτάχυνσης που αποκτά το σώμα στο χρονικό διάστημα 0s t είναι: a / 5 / t t m s m s Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα στο χρονικό διάστημα 0s t: χ T y N w y x x m T m m mg ma 5N Δ4) Η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0s t είναι: s a t s 40m Η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα t t είναι: s t a t s 08m,58 m 80m

154 Το έργο της τριβής ολίσθησης από τη χρονική στιγμή t = 0, μέχρι τη χρονική στιγμή που σταματά το σώμα είναι: 0 W T ( s s ) 80 5 (80 40) m 600J T 09. Ένα αυτοκίνητο μάζας 000 Kg είναι σταματημένο σε ένα φανάρι Φ που είναι κόκκινο. Τη στιγμή tο= 0 s που ανάβει το πράσινο, ο οδηγός πατάει το γκάζι, οπότε το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση, με αποτέλεσμα την χρονική στιγμή t = 4 s να έχει ταχύτητα μέτρου υ =0 m/s. Στη συνέχεια συνεχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέχρι να φτάσει στο επόμενο φανάρι Φ που απέχει 500 m από το προηγούμενο. Να υπολογίσετε: Δ. Τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο κατά την επιταχυνόμενη κίνησή του. Δ. Την απόσταση του αυτοκίνητου από το δεύτερο φανάρι Φ τη χρονική t. Δ3. Τη χρονική στιγμή που το αυτοκίνητο φτάνει στο δεύτερο φανάρι Φ. Δ4. Το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο στο χρονικό διάστημα Δt = t - t, όπου t μια χρονική στιγμή, πριν τη στιγμή t, που το αυτοκίνητο κινούταν με ταχύτητα μέτρου υ= 5m/s. Δ) Η επιτάχυνση που αποκτά στο χρονικό διάστημα t0 t είναι: 0 0 t t t a m / s,5 m / s 0 Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα στο χρονικό διάστημα t0 t: kg m s N x m x 000,5 / x 500 Δ) Η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα t0 t είναι: x at x,5 4 m 0 m Συνεπώς από το φανάρι Φ απέχει: x3 500m 0m 480m. Δ3) Από τη χρονική στιγμή t = 4 s κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ3= υ =0 m/s, για x3 480m χρονικό διάστημα : t 3 48s 0 m/ s. 3 Άρα το αυτοκίνητο φθάνει στο δεύτερο φανάρι μετά από χρόνο: t t t 3 4s 48s 5s. Δ4) Το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο στο χρονικό διάστημα Δt = t - t, υπολογίζεται με τη βοήθεια του ΘΜΚΕ: K K W o W o m -0 W o 000 (5 m / s) W o 500 J

155 0. Κύβος μάζας m είναι αρχικά ακίνητος σε οριζόντιο δάπεδο. Στον κύβο ασκείται σταθερή δύναμη οπότε αυτός αρχίζει να κινείται στο οριζόντιο δάπεδο. Κατά τη κίνηση του κύβου ασκείται σε αυτόν τριβή Τ = 6Ν. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Μετά από μετατόπιση κατά x = 4 m στο οριζόντιο δάπεδο ο κύβος κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 4m/s. Το έργο της δύναμης στην παραπάνω μετατόπιση είναι W = 3J. Να υπολογίσετε: Δ. Το έργο της τριβής στη παραπάνω μετατόπιση. Δ. Το μέτρο της δύναμη. Δ3. Τη μάζα του κύβου. Δ4. Το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που πρέπει να ασκηθεί στον κύβο ώστε να αποκτήσει κινητική ενέργεια Κ = 8 J σε χρονικό διάστημα t= s αν γνωρίζετε ότι αυτός βρίσκεται αρχικά ακίνητος σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Δ) Το έργο της τριβής για μετατόπιση x=4m είναι: y 0 WT T x m 4J. χ T N x Δ) Αν η δύναμη είναι οριζόντια τότε το έργο της για μετατόπιση x=4m είναι: w y 0 W x 0 3J 4m 8J. Δ3) Από το ΘΜΚΕ για τον κύβο από (0m 4m) : ( W WT) W m W WT m m kg. Δ4) Η ταχύτητα του σώματος όταν έχει κινητική ενέργεια Κ= 8 J είναι: K 8 K m m / s 6 m / s m 6 Η επιτάχυνση του σώματος είναι: t a m / s 3 m / s t Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα στο χρονικό διάστημα 0s t: x m T m T m 6N kg 3 m / s 9N. Κιβώτιο μάζας m = kg αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δρόμο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s, ασκείται στο κιβώτιο σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου = 4 N, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s. Να υπολογίσετε:

156 Ν Δ. Το διάστημα που διανύει το κιβώτιο από τη χρονική στιγμή t = 0 s μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5 s. w Τη χρονική στιγμή t και χωρίς να καταργηθεί η δύναμη, το κιβώτιο εισέρχεται με την ταχύτητα που έχει εκείνη τη στιγμή σε ένα τραχύ τμήμα του δρόμου με το οποίο εμφανίζει τριβή ολίσθησης, με αποτέλεσμα να κινείται τώρα ευθύγραμμα και ομαλά. Να υπολογίσετε: Δ. Το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δρόμου, Δ3. Το έργο της δύναμης κατά τη διάρκεια του 7 ου δευτερολέπτου της κίνησης του κιβωτίου, Δ4. Το ρυθμό με τον οποίο η κινητική ενέργεια του σώματος μετατρέπεται σε θερμότητα κατά τη διάρκεια του 7 ου δευτερολέπτου της κίνησης του κιβωτίου. Δ) Στο λείο οριζόντιο δρόμο το κιβώτιο με την επίδραση τηςσταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου = 4 N, κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: Από ο Ν. Νεύτωνα: 4 x ma a a m / s a m / s m x Το διάστημα που διανύει το κιβώτιο από τη χρονική στιγμή t = 0 s μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5 s είναι: x at x 5 m x 5 m Ενώ η ταχύτητά του τότε είναι: at 0 m / s Δ) Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N mg kg 0 m / s 0N χ T y N x Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα στο χρονικό διάστημα μετά τη χρονική στιγμή t=5s, όπου το κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (ΕΟΚ): w y x 0 T 0 mg 0, mg Δ3) Η μετατόπιση κατά τη διάρκεια του 7 ου δευτερολέπτου της κίνησης του κιβωτίου είναι ίση με τη μετατόπιση από το 6 ο έως το 7 ο sec της κίνησης όπου κάνει ΕΟΚ δηλαδή :

157 x (7 5) s (6 5) s 0m 7 Το έργο της δύναμης κατά τη διάρκεια του 7 ου δευτερολέπτου της κίνησης του κιβωτίου 0 είναι: W x7 0 W 4 0m 40J Δ4) Ο ρυθμός με τον οποίο η κινητική ενέργεια του σώματος μετατρέπεται σε θερμότητα κατά τη διάρκεια του 7 ου δευτερολέπτου της κίνησης του κιβωτίου είναι ίσος με τη μέση ισχύς της WT T x7 4N0m τριβής: PT = = = - 40W t t 7s 6s. Σώμα μάζας 0 kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υο= 0 m/s. Τη χρονική στιγμή t = 0 s στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη, που έχει ως αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t = 4 s το σώμα να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση, αλλά με ταχύτητα μέτρου υ = m/s. Κάποια χρονική στιγμή μετά τη χρονική στιγμή t η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται και στη συνέχεια το σώμα κινείται σε αντίθετη σε κατεύθυνση σε σχέση με την αρχική του κατεύθυνση. Να υπολογίσετε: υ(m/s) 5 0 t(s) Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα. Δ. Το μέτρο της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα. Δ3. Το έργο της δύναμης από τη χρονική στιγμή t = 0 s μέχρι τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται στιγμιαία. Δ4. Να παραστήσετε γραφικά τη τιμή της ταχύτητάς του, σε συνάρτηση με το χρόνο σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων για το χρονικό διάστημα 0 s 0 s. Δ) Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται το σώμα είναι: a 0 0 / / t t m s m s Δ) Από ο Ν. Νεύτωνα: x ma m a kg m s N 0 / 0 Δ3) Από το ΘΜΚΕ για το σώμα από 0m σταματάει στιγμιαία : K W 0 m 0 W W 0 kg (0 m / s) 500J. Δ4) Το σώμα σταματάει στιγμιαία τη χρονική στιγμή t. Από την εξίσωση κίνησης κατά την ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση από 0s t ισχύει:

158 0 a t a t t s s a Ακολούθως το σώμα επιστρέφει προς τα πίσω αντιστρέφοντας τη φορά της ταχύτητάς του, με επιτάχυνση σταθερού μέτρου m/s, για το χρονικό διάστημα 5 s 0 s. m 3 a t 3 (0 5) s 0 m / s s 3. Αυτοκίνητο μάζας m = 0 3 kg κινείται πάνω σε ένα ευθύγραμμο οριζόντιο δρόμο, o οποίος παριστάνεται στο σχήμα. Το αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία από το σημείο Α και κινείται προς το Δ. Η κίνηση του αυτοκινήτου από το Α ως το Β διαρκεί 0 s και η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ αυτό είναι οριζόντια σταθερού μέτρου.0 3 Ν. Στη συνέχεια το αυτοκίνητο κινείται από το Β ως το Γ με σταθερή την ταχύτητα που απέκτησε για 0s. Τέλος από το Γ ως το Δ επιβραδύνεται ομαλά μέχρι που σταματά. Η συνισταμένη των δυνάμεων στην φάση της επιβράδυνσης από το Γ ως το Δ είναι αντίρροπη της κίνησης και έχει σταθερό μέτρο 0 3 Ν. Να υπολογισθούν: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του αυτοκινήτου κατά την κίνηση από το Α ως το Β. Δ. Η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου στη θέση Β καθώς και το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων κατά την κίνηση από το Β ως το Γ. Δ3. Την απόσταση από το Γ ως το Δ. Δ4. Τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για όλη την κίνηση από το Α ως το Δ. Δ) Από ο Ν. Νεύτωνα: 000 ma a a m / s a m / s m 000 Δ) Τη χρονική στιγμή t =0s, θα έχει ταχύτητα : u at u 0 m / s Οπότε η κινητική του ενέργεια θα είναι : 5 KB mu KB J KB 0 J Στο ΒΓ, εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, άρα 0 οπότε και το έργο της συνισταμένης ισούται με μηδέν. Δ3) Η κινητική ενέργεια στο Γ ισούται με την κινητική στο Β, οπότε από το ΘΜΚΕ στο ΓΔ K K W KB ( ) x3 x3 x3 00m

159 Δ4) Στο ΑΒ, διανύει x at x 0 x 00 m Στο ΒΓ, διανύει x u( t) x 400m Στο ΓΔ διανύει x3 00mεκτελώντας ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και σταματά, με επιτάχυνση( επιβράδυνση): 000 ma a a m s a m s m / / και αρχική ταχύτητα u0=u= 0m/s οπότε u0 u3 u0 a ( t3) 0 u0 a ( t3) ( t3) ( t3) 0s Συνολικό διάστημα S x x x 3 00m 400m 00m 600m Συνολικός χρόνος t t t t3 0s 0s 0s 40s ol Μέση ταχύτητα: u u 5 m / s. t S o 4. Αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμα δρόμο με ταχύτητα μέτρου 0m/s. Τη χρονική στιγμή t = 0 s το αυτοκίνητο βρίσκεται μπροστά από ένα φανάρι που ανάβει κόκκινο. Ο οδηγός είναι απρόσεκτος και περνάει χωρίς να σταματήσει συνεχίζοντας να κινείται με την ίδια σταθερή ταχύτητα. Μοτοσικλετιστής της τροχαίας που βρίσκεται ακίνητος στο φανάρι την ίδια στιγμή αρχίζει να τον καταδιώκει. Η μοτοσικλέτα μαζί με τον αναβάτη έχει μάζα 50 Kg. Αρχίζει να κινείται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 3 m/s για χρονικό διάστημα 8 s ενώ στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα για 0 s. Ακολούθως ο οδηγός της φρενάρει και οι τροχοί της μοτοσικλέτας ολισθαίνουν στο δρόμο οπότε η μοτοσικλέτα επιβραδύνεται με επιβράδυνση σταθερού μέτρου μέχρι να σταματήσει στο επόμενο φανάρι, όπου ο τροχονόμος κάνει σήμα στον απρόσεκτο οδηγό να σταματήσει. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ ελαστικών και οδοστρώματος είναι 0,8. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=0m/s και ότι η αντίσταση του αέρα ασκείται μόνο κατά τη διάρκεια της ομαλής κίνησης της μοτοσικλέτας. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιβράδυνσης με την οποία κινείται η μοτοσικλέτα καθώς και το χρονικό διάστημα που εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση. Δ. Το ποσό της θερμότητας που εκλύεται κατά την επιβραδυνόμενη κίνηση. Δ3. Την απόσταση μεταξύ των φαναριών. Δ4. Κάποια χρονική στιγμή t στη διάρκεια της ομαλής κίνησης ο μοτοσικλετιστής προσπερνάει το αυτοκίνητο. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t που η μοτοσικλέτα προσπερνάει το αυτοκίνητο.

160 Δ) Η μοτοσυκλέτα κατά την κίνησή της κάνει τρεις διαδοχικές κινήσεις: Από 0s-8s κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με εξισώσεις: x at x 96m Τη χρονική στιγμή t =8s, θα έχει ταχύτητα : at 4 m / s Από (8 8)s κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, με 4 m/ s m x t x 4 0s 480m s Από 8s και μετά κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα 0 4 m/ s, υπό την επίδραση της τριβής ολίσθησης και σταματά. Η επιτάχυνση της υπολογίζεται με τη βοήθεια του ο Ν.Νεύτωνα: Ν Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N mg 50kg 0 m / s 500 Η τριβή ολίσθησης είναι: T N 0, T 000 ma a a m / s a 8 m / s m Το μέτρο της επιβράδυνσης της είναι a3 8 m / s Η εξίσωση της ταχύτητας στην ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση είναι: a3 t3 0 0 a3 t3 t3 t3 3s Η μετατόπιση που διένυσε τότε είναι: x3 0 t3 a3 t3 x3 36 m. Δ) Το ποσό της θερμότητας που εκλύεται στην επιβραδυνόμενη κίνηση είναι ίσο με το έργο της τριβής κατά απόλυτη τιμή. Για τον υπολογισμό της εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ στα τελευταία 36m. K W 0 m 0 WT WT 50 kg (4 m / s) 7000J Δ3) Η απόσταση μεταξύ των φαναριών είναι: x x x x3 96m 480m 36m 6m Δ4) Θα υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή t που η μοτοσικλέτα προσπερνάει το αυτοκίνητο. Το αυτοκίνητο κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση σε όλη τη διάρκεια της διαδρομής. 3 Τ w

161 Από 0s-8s : s t 0 m / s8s 60m Το αυτοκίνητο είναι μπροστά από τη μοτοσυκλέτα γιατί : s 60m x 96m. Από (8 8)s s t 0 m / s0s 400m Το αυτοκίνητο τώρα είναι πίσω από τη μοτοσυκλέτα γιατί : s s 60m 400m 560m x x 96m 480m 576m. Άρα η χρονική στιγμή t είναι πριν από το 8sec της κίνησης, δηλαδή πριν αρχίσει να φρενάρει η μοτοσυκλέτα. Τη στιγμή του προσπεράσματος έχουν διανύσει ίσες μετατοπίσεις. s ( t 8 s) x ( t 8 s) 60 0 ( t 8) 96 4 ( t 8) 60 0t t9 0t 4t 96 4t 96 t 4s 5. (0930-Δ) Ένα αυτοκίνητο, μαζί με τους επιβαίνοντες σε αυτό, έχει μάζα m = 300 Kg και κινείται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου δρόμου με σταθερή ταχύτητα υ = 7 km/h. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 s ο οδηγός του οχήματος αντιλαμβάνεται πως του κάνει σήμα να σταματήσει ένας τροχονόμος. Ο χρόνος που πέρασε από τη στιγμή που αντιλήφθηκε το σήμα του τροχονόμου μέχρι να πατήσει με το πόδι του το φρένο (ονομάζεται χρόνος αντίδρασης) είναι ένα δευτερόλεπτο. Το αυτοκίνητο τελικά ακινητοποιείται, μειώνοντας την ταχύτητά του με σταθερό ρυθμό και διανύοντας απόσταση 50 m από το σημείο που ήταν όταν ο οδηγός αντιλήφθηκε το σήμα του τροχονόμου. Θεωρήστε την αντίσταση του αέρα μηδενική και πως από τη στιγμή που ο οδηγός πατά το φρένο οι τροχοί παύουν να περιστρέφονται. Δ. Να χαρακτηρίσετε τα είδη των κινήσεων που εκτέλεσε το αυτοκίνητο, από τη στιγμή που ο οδηγός αντιλήφθηκε το σήμα του τροχονόμου μέχρι να ακινητοποιηθεί και να υπολογίσετε την απόσταση που διήνυσε σε κάθε μια από αυτές, Δ. Ποιο ήταν το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε για να ακινητοποιηθεί το αυτοκίνητο, από τη στιγμή που ο οδηγός πάτησε το φρένο και ποια η επιτάχυνση του αυτοκινήτου αυτό το χρονικό διάστημα; Δ3. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη χρονική στιγμή που ο οδηγός αντιλήφθηκε το σήμα του τροχονόμου μέχρι την ακινητοποίηση του, Δ4. Ποιο είναι το έργο της τριβής ολίσθησης, από τη χρονική στιγμή που ο οδηγός πατά το φρένο, μέχρι τη στιγμή που το αυτοκίνητο τελικά ακινητοποιείται;

162 Δ)Μετατροπή μονάδων: Km 000m u m / s h 3600s Από (0 )s: ευθύγραμμη ομαλή, με u u 0 m / s m x u t x 0 s 0m s Από (s μέχρι να σταματήσει): ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη, με αρχική ταχύτητα 0m/s και, x 50m x x 30m Δ) Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη, όπου το κινητό σταματά: u=0s Με ταχύτητα u0 u u0 a t 0 u0 a t t () (η διάρκεια) a 0 0 Με u u 0 0 x u0t a t / x a a m s a x άρα η επιτάχυνση είναι a m / s και η διάρκεια (): t 3 3s Δ3) Άρα το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου είναι : 0 u(m/s) 0 4 t(s) Δ4)Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ ( στο χρονικό διάστημα ( 4)s) για να υπολογίσουμε το έργο της τριβής ολίσθησης: W WT WT mu T WT J W J Μια ακίνητη πεινασμένη λεοπάρδαλη με μάζα 60 Kg στέκεται ακίνητη στο έδαφος παρατηρώντας γύρω της. Τη

163 χρονική στιγμή t = 0 s αντιλαμβάνεται μια γαζέλα που βρίσκεται σε απόσταση 60 m να απομακρύνεται από αυτή κινούμενη ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα 0 m/s. Τότε η λεοπάρδαλη αρχίζει να τη καταδιώκει. Στην λεοπάρδαλη ασκείται από το έδαφος δύναμη με σταθερή οριζόντια συνιστώσα κατά τη κατεύθυνση της κίνησης της μέτρου E και η σταθερή αντίσταση του αέρα A = 00 Ν. Με την επίδραση της συνισταμένης των παραπάνω δυνάμεων η λεοπάρδαλη κινείται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 5 m/s για χρονικό διάστημα 4 s, στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα για χρονικό διάστημα 5 s, κατόπιν επιβραδύνεται σταθερά διανύοντας διάστημα 0 m μέχρι να σταματήσει. Να υπολογίσετε: Δ.Το μέτρο της οριζόντιας συνιστώσας της δύναμης E που ασκείται από το έδαφος στη λεοπάρδαλη. Δ. Tο έργο της δύναμης που ασκεί το έδαφος στη λεοπάρδαλη κατά τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησής της. Δ3. Tο ρυθμό με τον οποίο η ενέργεια που προσφέρεται στη λεοπάρδαλη μετατρέπεται σε θερμότητα κατά τη διάρκεια που αυτή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Δ4. Aν η λεοπάρδαλη «έπιασε» την γαζέλα. y χ A N x Γαζ S Γαζ w y 60m S Leo Δ) Στο (0 4)s από ο Ν. Nεύτωνα: ma, ma, ma, 500N x E A E A E Στο (4 9)s εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση : x 0 E, A E, 00N Για t>9s εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Από το ερώτημα Δ4 έχουμε: ma ma ma N x E,3 A E A E,3 000 Δ) Στο (0 4)s εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη (u0=0) Και διανύει: x at x 40m Οπότε έργο της δύναμης : W,, x J W 0000J E E

164 Δ3) Στο (4 9)s εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα u a t, το 4 ο s θα εχει : u 45 u 0 m / s Η ισχύς της Ε, : P,u P 00 0W P 4000W E Δ4) Στο (4 9)s εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα : u 0 m / s σε αυτό το χρονικό διάστημα διανύει x u t x 05m x 00m. Για t>9s εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη με αρχική ταχύτητα : u0 u 0 m / s Η λεοπάρδαλη σταματά τη χρονική σιγμή t3 όπου: u u u a t u a t t a () Και u u 0 x u t a t x a a m s / a x3 0 Σε χρόνο: u a t3 s s Οπότε η λεοπάρδαλη διένυσε συνολικά S x x x 3 50m Στον ίδιο χρόνο Δt=4s+5s+s=0s η γαζελα, εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή και διανύει S u t S 0 (0) m S 00m Αφού S S θα την «πιάσει». 8. Επιβατικό αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υo = 0 m/s. Η μοναδική δύναμη που ασκείται στο αυτοκίνητο με κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητάς του είναι η αντίσταση του αέρα η οποία έχει μέτρο 000 Ν. Λόγω της απροσεξίας του οδηγού το αυτοκίνητο πέφτει πάνω σε σταθμευμένο φορτηγό και ακινητοποιείται. Ο οδηγός που έχει μάζα m = 80 Kg φοράει τη ζώνη ασφαλείας η οποία του επιτρέπει να κινηθεί οριζόντια προς τα εμπρός, σε σχέση με την αρχική του θέση στο κάθισμα, και να ακινητοποιηθεί τελικά σε χρονικό διάστημα 0,0 s. Αν η τριβή του οδηγού με το κάθισμα θεωρηθεί αμελητέα να υπολογίσετε: Δ. Την ισχύ που αναπτύσσει το αυτοκίνητο όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα. Δ. Το μέτρο της επιβράδυνσης του οδηγού κατά τη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησής του. Δ3. Το μέτρο της σταθερής δύναμης Z που ασκείται από τη ζώνη ασφαλείας στον οδηγό.

165 Δ4. το έργο της δύναμης που ασκεί η ζώνη στον οδηγό μέχρι να ακινητοποιηθεί ο οδηγός. χ car N α x οδηγος N x w w Δ) Το αυτοκίνητο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με 0 000N Η ισχύς της Α : P u P 000 0W P 0000W A x A A Δ) Θεωρώντας ότι εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα : u0 0 u0 0 m / s άραu u0 a ( t) 0 u0 a ( t) a a a 000 m / s ( t) 0,0 Δ3) Από ο Ν. Νεύτωνα : x ma m a 80000N Δ4) Εφαρμοζουμε ΘΜΚΕ W W W mu0 W 80 0 J W 6000 J 9. Ένας οδηγός επιβιβάζεται στο αυτοκίνητο του, προσδένεται στο κάθισμα με τη ζώνη ασφαλείας και θέτει σε λειτουργία τον κινητήρα. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 s πατά το γκάζι. Για την κίνηση του αυτοκινήτου τα μόνα στοιχεία που έχουμε είναι το διπλανό διάγραμμα, που μας δίνει την επιτάχυνση του σε συνάρτηση με το χρόνο και πως το αυτοκίνητο κινήθηκε ευθύγραμμα. Δ. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο και να χαρακτηρίσετε το είδος ή τα είδη των κινήσεων που εκτελεί, Δ. Πόσο απέχει το αυτοκίνητο από την αρχική του θέση τη χρονική στιγμή s και ποια η τιμή της ταχύτητάς του; Δ3. Να υπολογίσετε το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο αυτοκίνητο στο χρονικό διάστημα 5s 7s.

166 Δ4. Γνωρίζοντας πως η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου μαζί με τον οδηγό τη χρονική στιγμή t = s είναι Κ = 300 J και η μάζα του αυτοκινήτου είναι Μ = 900 Κg να υπολογίσετε τη μάζα του οδηγού. Δ) Από (0 5)s: ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη,με επιτάχυνση 4 m/ s και ταχύτηταu a t, το 5 ο s θα εχει : u 45 u 0 m / s από (5 7)s: ευθύγραμμη ομαλή, με u u 0 m / s από (7 )s: (ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη, με επιτάχυνση 3 5 m/ s και αρχική ταχύτητα 0m/s, οπό οπότε ταχύτηταu 3 u 0 a 3 ( t), το ο s θα εχει : u u3 0 από ( 5)s: ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη,με επιτάχυνση 5 m/ s και ταχύτηταu 4 a 4 ( t), το 5 ο s θα εχει : u4 45 u4 0 m / s 0 u(m/s) άρα το διάγραμμα είναι: t(s) Δ) Η τιμή της ταχύτητας του το ο s, έχει βρεθεί u3 0 Και η μετατόπιση ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν της υ(t), 0 ( ) από (0 )s: 30m Δ3) Aπό (5 7)s: ευθύγραμμη ομαλή οπότε από ο Ν. NEWTON: 0 Συνεπώς το έργο της συνισταμένης θα είναι επίσης 0. Δ4) Τη χρονική στιγμή s έχει : u 4 u 8 m / s Ενώ 300 u 64 mu m m 975 g Άρα m m 900 m 75 g

167 0. Ο συρμός ενός προαστιακού τρένου αποτελείται από τη μηχανή μάζας Μ = 6000kg και δυο βαγόνια που το καθένα έχει μάζα m = 000Kg. Τη χρονική στιγμή t = 0s το τρένο ξεκινά από το σταθμό και κινείται σε οριζόντιες ευθύγραμμες σιδηροτροχιές αρχικά με σταθερή επιτάχυνση οπότε σε χρονικό διάστημα 0 s φτάνει σε φωτεινό σηματοδότη που απέχει 00 m από το σταθμό. Στη συνέχεια το τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα μέχρι τον επόμενο σηματοδότη. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης θεωρούμε ότι η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η μηχανή στο τρένο είναι σταθερή. Η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα κατά τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης ενώ ασκείται κατά τη διάρκεια της ομαλής κίνησης. Να υπολογίσετε κατά την επιταχυνόμενη κίνηση του τρένου: Δ.Tο μέτρο της επιτάχυνσης. Δ. Tο μέτρο της οριζόντιας συνιστώσας της δύναμης. Δ3. Tο μέτρο και τη κατεύθυνση των δυνάμεων που ασκούνται στο πρώτο βαγόνι από τη μηχανή του τρένου και από το δεύτερο βαγόνι, μέσω των συνδέσμων που τα ενώνει. Κατά την κίνηση του τρένου μεταξύ των σηματοδοτών να υπολογίσετε, Δ4. Tην ισχύ που αναπτύσσει η μηχανή του τρένου. Δ) T T T T Δ) Από τον ο Ν. Νεύτωνα για το τρένο ισχύει: Το τρένο κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με εξισώσεις κίνησης: x x 00 x at a m / s m / s t 0 m a T T T T m a kg m s N 0000 / 0000 Δ3) Οι δυνάμεις που ασκούνται στους συνδέσμους μεταξύ της μηχανής και του πρώτου βαγονιού είναι αντίθετες γιατί οι σύνδεσμοι έχουν αμελητέα μάζα. Το ίδιο συμβαίνει και μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου βαγονιού. Όλα τα μέρη του τρένου έχουν την ίδια επιτάχυνση. Εφαρμόζουμε τον ο Ν. Νεύτωνα για τη μηχανή του τρένου:

168 M a T M a T M a 0000N 6000kg m / s T 8000N x Εφαρμόζουμε τον ο Ν. Νεύτωνα για το πρώτο βαγόνι του τρένου: m a T T m a T T m a 8000N 000kg m / s T 4000N x Δ4) Όταν το τρένο φθάνει στον πρώτο σηματοδότη έχει ταχύτητα: / 0 0 / t m s s m s Ακολούθως κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση μέχρι το δεύτερο σηματοδότη. Η ισχύς που ασκεί η μηχανή του τρένου τότε είναι; P m / s W. Από την ταράτσα ενός κτιρίου που έχει ύψος Η, τη χρονική στιγμή t = 0 ένας εργάτης αφήνει ένα σφυρί μάζας kg να πέσει κατακόρυφα. Τη χρονική στιγμή t = s, το σφυρί πέφτοντας περνάει μπροστά από το παράθυρο του ου ορόφου που βρίσκεται σε ύψος 6,5 m από το έδαφος. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και ως επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια θεωρούμε το έδαφος. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της ταχύτητας του σφυριού τη χρονική στιγμή t. Δ. Το ύψος Η του κτιρίου. Δ3. Τη θέση του σφυριού, τη χρονική στιγμή όπου η κινητική του ενέργεια είναι ίση με το ¼ της δυναμικής ενέργειας που έχει στη θέση αυτή. Δ4. Να σχεδιάσετε σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων, το διάγραμμα της δυναμικής ενέργειας του σφυριού σε συνάρτηση του ύψους του από το έδαφος Δ) Το σφυρί κατά την πτώση του κάνει ελεύθερη πτώση με εξισώσεις: Δ) Το διανυθέν ύψος είναι: g t 0 m / s 0 m / s y g t 5m Επειδή εκείνη τη στιγμή το έδαφος απέχει 6,5m το συνολικό ύψος του κτιρίου είναι: H y 6,5m 5m 6,5m,5 m Δ3) Θεωρώντας επίπεδο δυναμική βαρυτικής ενέργειας μηδέν το έδαφος, τη χρονική στιγμή όπου η κινητική του ενέργεια είναι ίση με το ¼ της δυναμικής ενέργειας ισχύει:

169 5 K U E U U mgh U mgh mgh mgh h H h, 5 m h 9 m Δ4) Όταν το σφυρί βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος η δυναμική του ενέργεια είναι: U mgh U(J) h(m) 5, (5404-Δ) Από ένα στρατιωτικό ελικόπτερο, που για λίγο αιωρείται ακίνητο σε κάποιο ύψος πάνω από ένα φυλάκιο, αφήνεται ένα δέμα μάζας m = kg για να το πάρουν οι φαντάροι του φυλακίου. Το δέμα πέφτει κατακόρυφα και διέρχεται από ένα σημείο Α της τροχιάς του με ταχύτητα μέτρου 0 m/s και από ένα άλλο σημείο Β με ταχύτητα μέτρου 0 m/s. Το σημείο Β είναι 30 m πιο κάτω από το Α. Ο αέρας ασκεί δύναμη στο δέμα η οποία έχει την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά από την ταχύτητα του δέματος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s. Να υπολογίσετε: Δ. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κιβωτίου μεταξύ των θέσεων Α και Β. Δ. Το έργο της δύναμης κατά τη διαδρομή του δέματος από το Α ως το Β. Αν με τα παραπάνω δεδομένα, υποθέσουμε ότι η δύναμη είναι σταθερή, να υπολογίσετε: U(J) 5 Δ3. To μέτρο της δύναμης. h(m),5 Δ4. To χρόνο κίνησης του δέματος μεταξύ των σημείων Α και Β. Δ) Υπολογίζουμε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κιβωτίου:

170 K K K mu mu K mu u K J K 300J Δ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ από τη θέση Α μέχρι τη θέση Β: K W W K mg y W w W W 300J Δ3, Δ4) Εφόσον η δύναμη είναι σταθερή η κίνηση του κιβωτίου είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. Από τις γνωστές εξισώσεις της κίνησης έχουμε: u u u a a t t t t () y u t a t () Από τις σχέσεις (), (): 0 t t t t t 30 5t t s () Από τις σχέσεις () και () υπολογίζουμε το μέτρο της επιτάχυνσης της κίνησης του κιβωτίου: Εφαρμόζοντας τώρα το ΘΝΜ: 0 a a 5 m / s t ma w ma mg ma 0 0 0N 3. (088-Δ) Από την ταράτσα μιας τετραώροφης πολυκατοικίας αφήνεται να πέσει ελεύθερα μια σφαίρα μάζας m = 5 kg. Η σφαίρα αναπηδά μέχρι το ταβάνι του δευτέρου ορόφου, όπου και μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητα της. Το ύψος του ισογείου, όπως και κάθε ορόφου είναι h = 3m. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Να

171 θεωρήσετε ως επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια το οριζόντιο δάπεδο και ότι η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Tη μηχανική ενέργεια της σφαίρας τη χρονική στιγμή που αφήνεται ελεύθερη, Δ. Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας τη χρονική στιγμή που φτάνει στο οριζόντιο δάπεδο, Δ3. Το έργο του βάρους της σφαίρας, από τη χρονική στιγμή που αφέθηκε ελεύθερη, μέχρι τη στιγμή που φτάνει στο ταβάνι του τρίτου ορόφου, Δ4. Το ποσοστό τοις εκατό μειώθηκε η μηχανική ενέργεια της σφαίρας, εξαιτίας της σύγκρουσής της με το δάπεδο. Δ) Η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος: h=5m, χωρίς αρχική ταχύτητα οπότε: E U E mgh 505J E 750J MHX MHX MHX Δ)Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας, τo έδαφος. U U mgh mued u0 gh ued u gh u 0 3 m / s ed ed Δ3) Το έργο του βάρους είναι: W mgh W 50 (6) J W 300J Δ4) Η αρχική μηχανική ενέργεια είναι: E 750J Η τελική μηχανική ενέργεια, μετά την κρούση σε ύψος h=9m είναι: E U E mgh 50 9J E 450J MHX MHX MHX MHX Συνεπώς το ποσοστό μείωσης της μηχανικής ενέργειας είναι : EMHX E MHX % 00% % 00% % 40% E 750 MHX 4. (0839-Δ) Καθηγητής της φυσικής ύψους h =,80 m κινείται με σταθερή ταχύτητα m/s προς τη πόρτα του σχολείου. Ένας ζωηρός μαθητής βρίσκεται στη ταράτσα του σχολείου της οποίας το δάπεδό της βρίσκεται σε ύψος H = 3,8 m από το έδαφος. Ο μαθητής κρατάει ένα μήλο μάζας m = 0, Kg. Ασκεί μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη o στο μήλο με φορά προς το έδαφος και μέτρου 3 Ν για χρονικό διάστημα 0, s, ενώ συγχρόνως ασκείται στο μήλο και η δύναμη του

172 βάρους του. Στη συνέχεια ο μαθητής αφήνει το μήλο, ακριβώς από το ύψος του δαπέδου της ταράτσας, το οποίο χτυπά κατά λάθος το κεφάλι του καθηγητή. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της ταχύτητας του μήλου όταν αφέθηκε από το χέρι του μαθητή. Δ. Τη μέση ισχύ που ανέπτυξε ο μαθητής στο χρονικό διάστημα που ασκούσε τη δύναμη στο μήλο. Δ3. Tην κινητική ενέργεια του μήλου όταν έρχεται σε επαφή με το κεφάλι του καθηγητή. Δ4. Tην απόσταση του καθηγητή από τη πόρτα του σχολείου τη χρονική στιγμή που ο μαθητής άφησε το μήλο. Δ) Από ο mg Ν. Νεύτωνα: ma mg ma a a 5 m / s m Το μέτρο της ταχύτητας του μήλου όταν αφέθηκε απότο χέρι του μαθητή είναι: t 5 m / s W Δ) Η μέση ισχύς είναι: P () t Εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, με επιτάχυνση 5 m/ s και διανύει απόσταση: Οπότε έργο της : y at y 0,5m W y 0 30,5J W,5 J T Άρα από την(): P=7,5W Δ3) Το μήλο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με u0=0 και θα έχει ταχύτητα σε t=0,s: u at u 5 m / s Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ από Α στο Β, θέτοντας UΒΑΡ=0, την τελική θέση του.

173 U U 0, 5 0, 0 30 mu mgh J J 6,5J Δ4) Το μήλο στο Β έχει ταχύτητα: 5 / mu u u m s m Από το Α στο Β, από ο mg Ν. Νεύτωνα: ma a a g a 0 m / s m Το μήλο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με u0=5m/s και θα έχει ταχύτητα u σε χρόνο: u u0 u u0 at t t s a Στον ίδιο χρόνο ο καθηγητής που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα u=m/s διανύει : ut m 4m Άρα αυτή ήταν η απόσταση του από την πόρτα, όταν αφέθηκε το μήλο. w y A 30m B Δχ w 5. Ένας μικρός πύραυλος έχει μάζα 00 Kg. Ο πύραυλος αρχίζει να κινείται κaτακόρυφα προς τα πάνω χωρίς αρχική ταχύτητα με σταθερή επιτάχυνση α = 0 m/s. Όταν ο πύραυλος φθάσει σε ύψος Η=500 m αποκολλάται ένας από τους

174 ορόφους του, ο οποίος τη στιγμή της αποκόλλησης έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του πυραύλου εκείνη τη χρονική στιγμή. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s, η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα και ότι η μάζα του πυραύλου κατά την κίνησή του μέχρι το ύψος Η παραμένει σταθερή. Για τη κίνηση του πυραύλου από το έδαφος μέχρι το ύψος Η να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της κατακόρυφης προωστικής δύναμης που ασκείται στο πύραυλο. Δ. Την ταχύτητα του πυραύλου στο ύψος Η. Δ3. Τη μέση ισχύ που ανέπτυξε ο κινητήρας του πυραύλου. Δ4. Την ταχύτητα με την οποία ο όροφος που αποκολλήθηκε από τον πύραυλο θα φθάσει στην επιφάνεια του εδάφους. Δ) Από ο Ν. Νεύτωνα: ma mg ma m( a g) 4000N Δ) Ο πύραυλος καθώς κινείται προς τα πάνω κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. H 500 H t t s 0s a 0 Η ταχύτητα του πυραύλου είναι: t 00 m / s 00 m / s Δ3) Η μέση ισχύ που ανέπτυξε ο κινητήρας του πυραύλου είναι: W H 4000N 500m P = = =00.000W t t 0s Δ4) Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ από τη στιγμή της αποκόλλησης του ορόφου του πυραύλου μέχρι το έδαφος, θέτοντας UΒΑΡ=0, την τελική θέση του. U U m mg m g 00 m / s 6. Μια αντλία χρησιμοποιείται για να ανεβάζει 600 kg νερού σε ένα λεπτό από πηγάδι βάθους 0 m. Το νερό ξεκινά από την ηρεμία, κινείται με σταθερή επιτάχυνση και φτάνει στο στόμιο του πηγαδιού με ταχύτητα υ =0m/s με την οποία και εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0m/s και ότι η επίδραση του αέρα στην κίνηση του νερού είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία ανυψώνεται το νερό. Δ. Το μέτρο της ανυψωτικής δύναμης που ασκείται από την αντλία στη μάζα του νερού που αντλείται κάθε λεπτό. Δ3. Τη μέση ισχύ που αναπτύσσει η αντλία

175 Δ4. Το μέγιστο ύψος που φτάνει το νερό από το στόμιο του πηγαδιού. Δ) Το νερό κάνει κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με εξισώσεις κίνησης: t t a Ενώ για την επιτάχυνση : h a t a 0 m / s a 0 m / s h 0 Δ) Το μέτρο της ανυψωτικής δύναμης που ασκείται από την αντλία στη μάζα του νερού υπολογίζεται από τον ο Ν. Νεύτωνα για τα 600kg νερού: ma mg ma m( a g).000n Δ3) Η μέση ισχύς που αναπτύσσει η αντλία είναι: W h 000N 0m P 4.000W t t 60s Δ4) Όταν το νερό εξέρχεται από το στόμιο του πηγαδιού, σταματά να δέχεται την ανυψωτική δύναμη της αντλίας και κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του, κάνοντας κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη, μέχρι να σταματήσει στιγμιαία στο μέγιστο ύψος. Η αρχική του ταχύτητα είναι υ0=0m/s ενώ η επιτάχυνσή του είναι g=0m/s g t 0 0 g t t s s g 0 Το μέγιστο ύψος που φθάνει το νερό είναι: hmax 0 t g t hmax 0 0 m hmax 0m 7. (0853-Δ) Αθλητής του δρόμου των 00 m μάζας 80Kg τη χρονική στιγμή t = 0 s ξεκινά από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα. Σε όλη τη διάρκεια της διαδρομής του η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκεί το έδαφος στον αθλητή κατά τη κατεύθυνση της κίνησης του έχει μέτρο o = 600 N. Συγχρόνως ο αέρας ασκεί δύναμη στον αθλητή (αντίσταση) που η κατεύθυνσης της είναι αντίθετη της ταχύτητας του αθλητή. Αρχικά η αντίσταση του αέρα έχει μέτρο 400 Ν και τη χρονική στιγμή t αυξάνεται ακαριαία στα 600 Ν οπότε και διατηρείται σταθερή μέχρι τον τερματισμό. Η μέγιστη ισχύς που αναπτύσσει ο αθλητής ώστε να μπορεί να ασκεί στο έδαφος την αναγκαία οριζόντια συνιστώσα της δύναμης είναι ίση με W. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. Να προσδιορίσετε : Δ. τα είδη των κινήσεων που εκτελεί ο αθλητής καθώς και τη τιμή της επιτάχυνσης σε όλο το μήκος της διαδρομής.

176 Δ. το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τo έδαφος στον αθλητή κατά το στάδιο της επιταχυνόμενης κίνησης του Δ3. τη χρονική στιγμή που αλλάζει το είδος της κίνησης του αθλητή. Δ4. την επίδοση του αθλητή, δηλαδή το συνολικό χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διανύσει την απόσταση των 00 m. y χ α 0 N x w y Δ) Από t t κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: α=0 Η δύναμη που ασκεί ο αθλητής είναι 0 0 a 00N Από το χρονικό διάστημα (0 t) κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Θεωρώντας την σταθερή, από ο Ν. Nεύτωνα: 0 a (0 t) : ma 0 a ma a a,5 m / s m Δ) Tο έδαφος ασκεί την 0 και τη N στον yy : 0 N w N mg N 800N y άρα το μέτρο της συνολικής δύναμης Δ3) Tη μέγιστη ταχύτητα την έχει ο αθλητής όταν Pmax 6000 Pmax u umax umax m / s umax 5 m / s 00 Στο (0 t) max u at u t s a Δ4)Στο (0 t) διανύει x at x,5 x 5 m Τα υπόλοιπα 95m τα διανύει με σταθερή ταχύτητα 5m/s

177 x x u t t 9s t u Οπότε ο συνολικός χρόνος είναι t t t s ol 8. Σε ένα κιβώτιο μάζας m = 0 kg, το οποίο αρχικά ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 0 s να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου = 60 N. Η δύναμη παύει να ασκείται τη χρονική στιγμή t = 5 s, κατά την οποία η ταχύτητα του κιβωτίου είναι υ = 0 m/s. Στη συνέχεια το κιβώτιο ολισθαίνει στο δάπεδο μέχρι που σταματά. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s και ότι η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κιβωτίου στο χρονικό διάστημα από to = 0 s έως t = 5 s, Δ. Το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου, Δ3. Το έργο της δύναμης στο χρονικό διάστημα από to = 0 s έως t = 5 s, Δ4. Το συνολικό διάστημα που διάνυσε το κιβώτιο πάνω στο δάπεδο. T N T N t=0s W t =5s W Δ) Το σώμα υπό την επίδραση των σταθερών δυνάμεων και Τ κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ξεκινώντα ςαπότην ηρεμία. 0 Η επιτάχυνση του σώματος είναι: t a m / s 4 m / s t 5 Δ) Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N mg 0kg 0 m / s 00N Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα στο χρονικό διάστημα 0s t στον άξονα x x : x m T m N m m mg 00 mg m 0,

178 Δ3) Η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0s t είναι; x a t x 4 5 m 50m Το έργο της δύναμης στο χρονικό διάστημα από to = 0 s έως t = 5 s είναι: W x 00 W 60 N 50m W 3000 J Δ4) Το συνολικό διάστημα που διάνυσε το κιβώτιο πάνω στο δάπεδο υπολογίζεται με τη βοήθεια του ΘΜΚΕ από τη χρονική στιγμή 0s έως ότου σταματήσει το σώμα: W 0 0 W WT J T x J x 0, 00 x 3000 x 50m 9. (555-Δ) Σε κιβώτιο μάζας m = 0 kg, το οποίο αρχικά ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, αρχίζει την στιγμή t0 = 0 s να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου = 30 Ν, οπότε το κιβώτιο ξεκινά να ολισθαίνει πάνω στο δάπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και δαπέδου είναι μ=0, και η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει μέτρο g = 0 m/s. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της τριβής που ασκείται στο κιβώτιο κατά την ολίσθησή του καθώς και η επιτάχυνσή του. Δ. Το έργο της δύναμης από t0 = 0 s έως t = 4 s. Δ3. Την ενέργεια που μεταφέρθηκε από το κιβώτιο στο περιβάλλον του μέσω του έργου της τριβής στο παραπάνω χρονικό διάστημα. Δ4. Αν το δάπεδο ήταν λείο, πόσο θα ήταν το έργο της δύναμης για το ίδιο χρονικό διάστημα, δηλαδή από t0 = 0 s έως t = 4 s. Να συγκρίνετε αυτό το έργο με το έργο που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ. Δ) Εφαρμόζουμε τον ο Ν. Νεύτωνα για το κιβώτιο: Σ α T α 0 Τ y N 0α ( ) χ T N mg Όπου Τ μν Τ μ T 0 (Ν) () w y Η σχέση () λόγω της () γίνεται: () () α α Οι εξισώσεις κίνησης είναι: α ( ) ( ) ( ) x

179 x α ( ) Από τις σχέσεις () και (3) έχουμε: T 0Ν και α Δ) Θα υπολογίσουμε αρχικά τη θέση του κιβωτίου τη χρονική στιγμή t 4 (s): t t 4 (s) (5) x α ( ) Άρα το διάστημα που θα διανύει το κιβώτιο για το χρονικό διάστημα 0 4 (sec) είναι: (5) s x x 8 0 s 8m (6) 0 Το έργο της δύναμης ισούται με: Δ3) Το έργο της τριβής είναι: (9) W s 30 80J W 40J () W Τ W 0 J Τ Τ (6) WΤ 60J Στο περιβάλλον μεταφέρεται ενέργεια με τη μορφή θερμότητας, ίση με Δ3) Εφαρμόζουμε τον ο Ν. Νεύτωνα ος Ν.Ν: Σ α α 0 0α ( ) α ( ) Οι εξισώσεις κίνησης στην περίπτωση αυτή είναι: α ( ) x α ( ) Θέτοντας όπου t t 4 (s) στις σχέσεις (8) και (9) παίρνουμε: ( 0) x 4m () Q W 60 (J). Τ

180 Το διάστημα λοιπόν που διανύει το κινητό στο χρονικό διάστημα 0 5 sec είναι: () s x x 0 s 4m () Το έργο δύναμης ισούται με: () W s W 30 4J W 70J 30. Ένα ξύλινο κιβώτιο μάζας m = 50 kg βρίσκεται ακίνητο στη θέση x = 0 m πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s στο κιβώτιο αρχίζει να ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη με μέτρο 50 N, προς τα δεξιά. Αφού το κιβώτιο μετατοπιστεί κατά Δx = 0 m η δύναμη καταργείται ακαριαία. Στη συνέχεια το κιβώτιο κινείται κατά Δx = 0 m και σταματά. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η επίδραση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δ. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης για την μετατόπιση Δx = 0 m. Δ. Εξηγείστε γιατί το έργο της τριβής για όλη τη διαδρομή Δx + Δx είναι αντίθετο από το έργο της δύναμης που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα. Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμη της τριβής. Δ4. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του κιβωτίου την στιγμή που καταργείται η δύναμη. N T N W Δx T W Δx Δ) Tο έργο της σταθερής δύναμης για την μετατόπιση Δx = 0 m είναι: W x m 3000 J Δ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ για όλη τη διάρκεια της κίνησης: W 0 0 W WTo J WTo WTo 3000 J Δ3) Το μέτρο της δύναμη της τριβής υπολογίζεται με τη βοήθεια του ολικού έργου της : WT 3000 J WT T ( x x ) 800 T T T 00 N 0 ( x x ) 80 (0m 0m) ( )

181 Δ4) Η κινητική ενέργεια του κιβωτίου την στιγμή που καταργείται η δύναμη υπολογίζεται με τη βοήθεια του ΘΜΚΕ για μετατόπιση 0 x Ν K K W K W W K J T x 0 0 T K 3000J 00 0m K 000J w 3. Κιβώτιο μάζας 40 Kg αρχικά είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t =0 ασκείται στο κιβώτιο σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου = 80 Ν. Tη στιγμή t όταν το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά x = 6 m, καταργείται η δύναμη και την ίδια στιγμή αρχίζει να ασκείται πάνω στο σώμα αντίρροπη δύναμη μέτρου = 0 Ν με αποτέλεσμα το σώμα να σταματήσει τη στιγμή t. Να υπολογίσετε: Δ. Την ταχύτητα του σώματος όταν έχει μετατοπιστεί κατά x = 6 m από την αρχική του θέση Δ. Να παραστήσετε γραφικά το μέτρο της ταχύτητας, σε συνάρτηση με το χρόνο σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων για όλη τη χρονική διάρκεια της κίνησης. Δ3. Τη μετατόπιση στη χρονική διάρκεια 0 t. Δ4. Το έργο της στη χρονική διάρκεια t t. Δ) Το κιβώτιο αρχικά κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Από τον ο Ν.Νεύτωνα έχουμε: 80 (0 t) : ma ma a a m / s m / s m 40 Οι εξισώσεις κίνησεις είναι: x 6 x t t s 4s a t 4 m / s 8 m / s

182 Δ) Το κιβώτιο μετά κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ0=8m/s. Από τον ο Ν.Νεύτωνα έχουμε: 0 ( t t): ma ma a a m / s 0, 5 m / s m 40 Οι εξισώσεις κίνησεις είναι: 8 a t a t t s s a 0,5 x 0 t a t x 83 0,5 3 m x 8m Η γραφική παράσταση ταχύτητας- χρόνου είναι: Ν w Δ3) Η μετατόπιση στη χρονική διάρκεια 0 t είναι: x x x 6m 8m 44m Δ4) Το έργο της στη χρονική διάρκεια t t είναι: 8 υ(m/s) t(s) W x m J Ένα κιβώτιο μάζας 5 kg είναι αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 s ασκείται στο κιβώτιο σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου 0 N με αποτέλεσμα το κιβώτιο επιταχύνεται. Τη χρονική στιγμή t= 5 s, αρχίζει να ασκείται στο κιβώτιο και άλλη σταθερή δύναμη φορά αντίθετη από αυτήν που είχε η, οπότε η ταχύτητα του κιβωτίου μηδενίζεται τη χρονική στιγμή t = 9 s. Να υπολογίσετε:

183 Δ. Το μέτρο της ταχύτητας του κιβωτίου τη χρονική στιγμή t = 5 s. Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κιβωτίου κατά την διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης, καθώς και το μέτρο της δύναμης Ν Δ3. Να παραστήσετε γραφικά το μέτρο της ταχύτητας του κιβωτίου, σε συνάρτηση με το χρόνο σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων, για το χρονικό διάστημα 0 s 9 s και να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του κιβωτίου στο ίδιο χρονικό διάστημα. w Δ4. Το έργο της δύναμης στο χρονικό διάστημα 5 s 9 s. Δ) Το κιβώτιο αρχικά κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Από τον ο Ν.Νεύτωνα έχουμε: 0 (0 t) : ma ma a a m / s 4 m / s m 5 Οι εξισώσεις κίνησεις είναι: m x t x 4 (5 s ) x 50 m s T Ν m t 4 5s 0 m / s s w Δ) Το κιβώτιο μετά κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και σταματά με αρχική ταχύτητα υ0=υ=0m/s για χρονικό διάστημα t t t 9s 5s 4s Οι εξισώσεις κίνησεις είναι: 0 a t 0 a t a m / s a 5 m / s t 4 x 0 t a t x 0 4m 54 m x 40m Από τον ο Ν.Νεύτωνα έχουμε: ( t t): υ(m/s) Ν w t(s) ma ma ma 0N 55N 45N

184 Δ3) Η μετατόπιση στη χρονική διάρκεια 0 t είναι: x x x 50m 40m 90m Η μέση ταχύτητα του κιβωτίου στο χρονικό διάστημα 0 s 9 s είναι: x 90m 0 m/ s t 9s o Δ4) Το έργο της δύναμης στο χρονικό διάστημα 5 s 9 s είναι: W x m J (788-Δ) Ένα κιβώτιο μάζας 50 kg είναι ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκούμε στο κιβώτιο μέσω νήματος μια οριζόντια δύναμη σταθερής κατεύθυνσης, το μέτρο της οποίας αυξάνεται, ξεκινώντας από την τιμή μηδέν. Τη χρονική στιγμή t= 5s το μέτρο δύναμης είναι ίσο με 50 Ν και τότε το κιβώτιο μόλις που αρχίζει να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. Να υπολογίσετε: Δ. Τη μέγιστη τιμή της στατικής τριβής (οριακή τριβή) που αναπτύσσεται μεταξύ κιβωτίου και δαπέδου. Τη χρονική στιγμή t σταθεροποιούμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή που έχει εκείνη τη στιγμή, οπότε το κιβώτιο στη συνέχεια ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο, και τη χρονική στιγμή t = 5 s έχει αναπτύξει ταχύτητα ίση με 0 m/s. Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία το κιβώτιο ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. Δ3. Το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου. Δ4. Τη στιγμή t, το νήμα κόβεται, οπότε στη συνέχεια το κιβώτιο ολισθαίνει μέχρι να σταματήσει. Να υπολογίσετε το συνολικό έργο της τριβής από τη χρονική στιγμή t = 0, μέχρι τη στιγμή που το κιβώτιο σταματά να κινείται. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Δ) Tο κιβώτιο μόλις που αρχίζει να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο, όταν η δύναμη γίνεται ίση με την οριακή στατική τριβή. 0 T 0 T 50N x Δ) Η τριβή ολίσθησης είναι μικρότερης τιμής από την οριακή τριβή, οπότε μετά τη χρονική στιγμή t=5s, το κιβώτιο εκτελεί ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, και αποκτά ταχύτητα m/s u σε χρόνο Δt=t t=0s, άρα : u a ( t) a m / s a 0, m / s t 0 Δ3) Στον άξονα yy ισχύει:

185 Στον άξονα χχ, από ο Ν. Νεύτωνα: y 0 N w N mg 50kg 0 m / s 500N x ma T ma ma (50 500, ) 40 Συνεπώς για την τριβή ολίσθησης ισχύει: 40N T N 0,48 N 500N Δ4) Από (0 5)s το κιβώτιο είναι ακίνητο, οπότε το έργο της τριβής ισούται με μηδέν. Από (5 5)s κιβώτιο εκτελεί ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και διανύει απόσταση a( t) 0,0 m 0m Οπότε το έργο της τριβής ολίσθησης θα ισούται με : WT. T x 80 WT. T x WT J WT. 400 J Μετά το 5o s και μέχρι να σταματήσει Εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ, έχουμε : K K W K WT3 mu WT3 K 0 WT3 50 J WT3 00 J Οπότε συνολικά WT WT. WT. WT.3 WT 500 J Παρατήρηση: Το έργο της τριβής ισούται με το έργο της δύναμης, για όσο διάστημα ασκείται στο σώμα. 34. Δύο σώματα Σ και Σ με μάζες m= kg και m= 7 kg αντίστοιχα είναι δεμένα στα άκρα μη εκτατού νήματος, το οποίο διέρχεται από την περιφέρεια μιας λεπτής τροχαλίας, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα Σ μπορεί να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,6, ενώ το Σ κρέμεται από το άλλο άκρο του νήματος και κινείται κατακόρυφα. Ασκούμε οριζόντια σταθερή δύναμη στο Σ, με φορά

186 αυτήν που φαίνεται στο διπλανό σχήμα και το σύστημα των δύο σωμάτων κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 0, m/s, με το σώμα Σ να κατεβαίνει κατακόρυφα. Θεωρήσετε ότι το νήμα, όπως και τροχαλία είναι αμελητέας μάζας, καθώς και την αντίσταση του αέρα αμελητέα. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Δ. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Σ και να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται από το νήμα. Δ. Να υπολογίσετε την ισχύ (κατ απόλυτη τιμή), της δύναμης Κάποια χρονική στιγμή που θεωρούμε ως t = 0, καταργούμε τη δύναμη Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινούνται στη συνέχεια τα σώματα. Δ4. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ από το νήμα, από τη χρονική στιγμή t = 0, μέχρι τη χρονική στιγμή t = 0, s. Ν w η Δ) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Παρατηρούμε ότι οι δυνάμεις κατά μήκος των νημάτων TN είναι ίδιες κατά μέτρο αφού τα νήματα και η τροχαλία είναι αβαρής. Μελετάμε αρχικά το σώμα Σ, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, οπότε υπολογίζουμε και το μέτρο της τάσης ΤΝ του νήματος: 0 w T 0 T m g T N 70N N N Δ) Στη συνέχεια, μελετάμε το σώμα Σ: y 0 N w N 0N οπότε το μέτρο της τριβής είναι: T N 0,60 T 6N Όμως αφού κινείται και αυτό ευθύγραμμα ομαλά: 0 T T 0 T T N x N N Επομένως η ισχύς της δύναμης είναι: P u 64 0, P,8W (δηλαδή η δύναμη, καταναλώνει,8 J ανά s)

187 Δ3) Αφού καταργείται κάποια στιγμή η δύναμη, το σύστημα θα αρχίσει να επιταχύνεται με κοινή επιτάχυνση. Επομένως σχεδιάζουμε και πάλι τις δυνάμεις, προσέχοντας ότι οι τάσεις των νημάτων έχουν αλλάξει σε σχέση με την προηγούμενη τιμή που είχαν. Για το σώμα Σ ισχύει: m a T T m a () x n Για το σώμα Σ: m a w T m a () n προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και () οπότε: w T ( m m ) a a 8a 64 a 8 m / s Δ4) Υπολογίζουμε τη μετατόπιση του Σ στο χρονικό αυτό διάστημα: x u t a t x 0, 0, 8 0,04 x 0,m Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο της τάσης του νήματος Tn από τη σχέση () ή (): Tn T ma Tn 8 6 Tn 4N Οπότε το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στο Σ είναι: W T x 40, W,8J Tn n Tn Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του έργου είναι να εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ για το σώμα Σ, αφού πρώτα υπολογίσουμε την ταχύτητά του στο τέλος του 0, s: u ut u a 8 ut u, 6 ut,8 m / s t 0, Από το ΘΜΚΕ:

188 Kt Ko WT W n T mu t mu WT Tx n WT m ( u ),8 n t u Tx WT J n 35. (0968-Δ) Τα σώματα Σ, Σ του σχήματος έχουν μάζες m = kg και m = 3kg και είναι δεμένα μεταξύ τους με μη εκτατό (σταθερού μήκους) και αμελητέας μάζας νήμα που διέρχεται από το αυλάκι μιας τροχαλίας Τ με αμελητέα μάζα. Το σώμα με μάζα m εμφανίζει με την επιφάνεια στην οποία είναι τοποθετημένο συντελεστή τριβής ολίσθησης ίσο με 0,5. Το σύστημα των δύο σωμάτων συγκρατείται ακίνητο και τη χρονική στιγμή t = 0, αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογίσετε: Δ. Τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε ένα από τα σώματα Σ, Σ. Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του συστήματος των δύο σωμάτων. Δ3. Το λόγο των κινητικών ενεργειών των σωμάτων Κ/Κ μια τυχαία χρονική στιγμή της κίνησης. Δ4. Τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του σώματος με μάζας m, όταν το σώμα με μάζα m έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά 40cm. Θεωρήστε την επιτάχυνση της βαρύτητας ίση με 0m/s. Δ) Στο m, ασκούνται το βάρος του (w), η κάθετη δύναμη (Ν )και η τριβή(τ) από το έδαφος και η τάση του νήματος () στο m, ασκούνται το βάρος του (w) και η τάση του νήματος () Δ) Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό οπότε οι τάσεις κατά μέτρο είναι ίσες (=) και τα σώματα θα αποκτήσουν κοινη επιτάχυνση T N Για m, από ο Ν. Nεύτωνα: m a w m a m g m a () Για m, m () a T m a x Όπου Τ υπολογίζεται ως εξής: Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N m g N 0N w w

189 και T T 0,5 0N 5N () + (): m g T m g T m m a a a m s ( ) 5 / m m Δ3) Από () m g ma 5N Δ4) Το σώμα Σ στον ίδιο χρόνο θα χει κατέβει κατά 40cm, οπότε θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας, την αρχική του θέση έχουμε: N U U U m gh m gh m g( h h ) 40 U mg( h h ) 30 J U J 00 w T w 36. (0969-Δ) Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = kg και m = 3kg αντίστοιχα και είναι δεμένα μεταξύ τους με μη εκτατό (σταθερού μήκους) και αμελητέας μάζας νήμα που διέρχεται από το αυλάκι μιας πολύ ελαφριάς τροχαλίας Τ (θεωρήστε και τη μάζα της τροχαλίας αμελητέα). Το σώμα με μάζα m εμφανίζει με την επιφάνεια στην οποία είναι τοποθετημένο συντελεστή τριβής ολίσθησης ίσο με 0,5. Στο σύστημα των δύο σωμάτων που συγκρατείται ακίνητο έως τη χρονική στιγμή t = 0 s, όπου ασκείται οριζόντια σταθερή δύναμη με μέτρο 45 Ν με αποτέλεσμα το σύστημα των σωμάτων να ξεκινήσει αμέσως να κινείται στην ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη. Θεωρήστε την επιτάχυνση της βαρύτητας ίση με 0m/s. Να υπολογίσετε: Δ.Το μέτρο της δύναμης της τριβής μεταξύ του σώματος με μάζα m και της επιφάνειας στην οποία ολισθαίνει, Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του συστήματος των δύο σωμάτων, Δ3.Το μέτρο της τάσης του νήματος, Δ4. Τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του σώματος με μάζας m, όταν το σώμα με μάζα m έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά 60cm. Δίνεται g=0m/s. Δ) Για το σώμα m, στον άξονα yy y 0 N w N mg N 0N

190 και T T 0,50N 5N Δ) Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό οπότε οι τάσεις είναι κατά μέτρο ίσες (=) και τα δύο σώματα θα αποκτήσουν κοινή επιτάχυνση. Για m, από ο Ν. Νεύτωνα: m a w ma mg m a () Για m, από ο Ν. Νεύτωνα: x m a T m a () () + (): m g T m g T m m a a a m s ( ),5 / m m Δ3) Από () ma m g 37,5N Δ4) Tο σώμα Σ στον ίδιο χρόνο θα χει ανέβει κατά 60cm, οπότε θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας, την αρχική του θέση έχουμε: U U U m gh m gh m g( h h ) 60 U mg( h h ) 30 J U 8J (0837-Δ) Τα σώματα Σ και Σ που δείχνονται στο παρακάτω σχήμα έχουν μάζες m = 4 Kg και m = 6 Kg. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του Σ με το οριζόντιο επίπεδο έχει τιμή μ = /3. Τη χρονική στιγμή t ο = 0 s το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Δίνεται ότι το νήμα είναι αβαρές και έχει μήκος 5m, τροχαλία είναι αμελητέας μάζας, η επιτάχυνση της βαρύτητας ίση με 0m/s και η επίδραση του είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται στο Σ.

191 Δ. Το κοινό μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία κινείται κάθε σώμα και να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα. Δ3. Το μέτρο της τάσης του νήματος που συνδέει τα δυο σώματα Δ4. Το έργο της δύναμης του βάρους που ασκείται στο Σ στο χρονικό διάστημα 0 s s. T N w w Δ) Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N mg N 60N Η τριβή ολίσθησης είναι: T T 60 N 0 N 3 Δ) Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό οπότε οι τάσεις κατά μέτρο είναι ίσες (=) και τα δύο σώματα θα αποκτήσουν κοινή επιτάχυνση. Για Σ, από ο Ν. Νεύτωνα: y m a w m a m g m a () Για Σ,από ο Ν. Νεύτωνα: x m a T m a () () + (): m g T m g T m m a a a m s ( ) / m m Δ3) Η τάση του νήματος είναι: Από () ma T 3N Δ4) Το σώμα Σ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη,με επιτάχυνση m/ s και διανύει y at y 4m Οπότε το έργο του βάρους είναι: W w y W 60J B B

192 38. (0845-Δ) Δυο σάκοι τσιμέντου Σ και Σ που φαίνονται στη διπλανή εικόνα έχουν μάζες m = Kg και m = 3 Kg και βρίσκονται σε ύψος h = 5 m από το έδαφος. Το νήμα που συνδέει τους δυο σάκους έχει μήκος 0 m και θεωρείται αβαρές. Τη χρονική στιγμή to = 0 s το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία. Δίνεται ότι g=0m/s και ότι η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, επίσης η τροχαλία που συνδέει τους σάκους μέσω του νήματος να θεωρηθεί αβαρής. Να υπολογίσετε: Δ. Να μεταφέρετε στο γραπτό σας το σχήμα, να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σάκο και να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κάθε σάκου καθορίζοντας και τη φορά της. Δ. Το μέτρο της τάσης του νήματος Τη χρονική στιγμή t = s το νήμα σπάει. Να υπολογίσετε: Δ3. Τη μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του Σ στο χρονικό διάστημα 0 s s. Δ4. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το Σ φτάνει στο έδαφος. + w + w Δ) Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό οπότε οι τάσεις κατά μέτρο είναι ίσες (=) και τα δύο σώματα θα αποκτήσουν κοινή επιτάχυνση. Για m, από ο Ν. Νεύτωνα: m a w m a m g m a () Για m, από ο Ν. Nεύτωνα: m a m g m a () () + (): m g m g m g m g m m a a a m s ( ) / m m

193 Δ) Από () m g ma 4N Δ3) Εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, με επιτάχυνση m/ s και διανύει απόσταση : y at y 4m οπότε θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας, την αρχική του θέση Δ4) U U U m gh m gh m g( h h ) U m g( h h ) 30 4 J U 0J Όταν κόβεται το νήμα θα έχει ταχύτητα : u at u 4 m / s Και θα απέχει από το έδαφος h=(5 4)m Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για το m, θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας, τo έδαφος. U U mu mgh mued u0 gh ued ued u0 gh ued 6 m / s 39. (473-Δ) Ομάδα μαθητών πραγματοποιεί στο εργαστήριο του σχολείου μια σειρά από πειραματικές δραστηριότητες προκειμένου να μελετήσουν τη κίνηση με τριβή και την ισχύ ενός κινητήρα. Για να πραγματοποιήσουν το πείραμα χρησιμοποιούν ) ένα μεταλλικό κύβο, ) ένα δυναμόμετρο, 3) ένα κινητήρα, 4) μετροταινία και χρονόμετρο, 5) ζυγό ισορροπίας και πραγματοποιούν τις παρακάτω τρεις δραστηριότητες. Δραστηριότητα Α: Αρχικά χρησιμοποιώντας το ζυγό προσδιορίζουν τη μάζα του κύβου, m = kg. Δραστηριότητα Β: Με τη βοήθεια ενός κινητήρα (μοτέρ), ο οποίος ασκεί μέσω ενός δυναμόμετρου οριζόντια δύναμη στον κύβο πετυχαίνουν ο κύβος να κινείται αργά με σταθερή ταχύτητα πάνω στο δάπεδο της τάξης. Κατά την κίνηση με σταθερή ταχύτητα η ένδειξη του δυναμόμετρου είναι = 4 N και οι μαθητές διαπιστώνουν με τη βοήθεια της μετροταινίας και του χρονομέτρου ότι ο κύβος διανύει διάστημα ίσο με m σε χρονική διάρκεια ίση με 4 s.

194 Δραστηριότητα Γ: Ένας μαθητής εκτοξεύει από σημείο Α του δαπέδου τον κύβο με οριζόντια ταχύτητα ώστε αυτός να ολισθήσει ευθύγραμμα πάνω στο δάπεδο. Οι μαθητές μετρούν το διάστημα που διανύει ο κύβος από το σημείο Α μέχρι που σταματά και το βρίσκουν ίσο με 9 m. Τ Ν Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και ότι η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε: W Δ. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης, καθώς και το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ κύβου και δαπέδου, Δ. Το ρυθμό με τον οποίο ο κινητήρας προσφέρει ενέργεια στον κύβο, κατά την κίνηση με σταθερή ταχύτητα (δραστηριότητα Β). Τ Ν Δ3. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εκτοξεύει ο μαθητής τον κύβο στη δραστηριότητα Γ, Δ4. Το μέσο ρυθμό με τον οποίο η κινητική ενέργεια του κύβου μετατρέπεται σε θερμότητα κατά τη δραστηριότητα Γ. W Δ) Από την δραστηριότητα Β υπολογίζουμε την τριβή ολίσθησης: y 0 N w mg 0N Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση : 0 T 4N T =μν ή μ=0, Δ) Η σταθερή ταχύτητα που κινείται το σώμα είναι: x t 0,5 m/s. Ο ρυθμός με τον οποίο ο κινητήρας προσφέρει ενέργεια στο σώμα είναι: P 4 0,5m / s W Δ3) Για την δραστηριότητα Γ εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ από x=0 έως x=9m. K o 0 K W 0 m 0 x 6m / s.

195 Δ4) Ο μέσος ρυθμός με τον οποίο η κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την δραστηριότητα Γ είναι: = = () Η επιτάχυνση (επιβράδυνση) που έχει το σώμα είναι: α =-Τ/m =-m/s Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να σταματήσει το σώμα είναι: υ= υ0 - α Δt ή 0= υ0 - α Δt ή Δt = υ0 / α = 3s. Από την () έχουμε: = = = = -W 40. (0838-Δ) Μια σφαίρα μάζας m=0,5 Kg κρέμεται από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου δυναμόμετρου που το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο στη οροφή ανελκυστήρα πολυωρόφου κτηρίου. Η συνολική μάζα του ανελκυστήρα είναι M = 500 Kg. Τη χρονική στιγμή to = 0 s ο ανελκυστήρας ξεκινάει από το ισόγειο του κτιρίου και τη χρονική στιγμή t = 6 s το δάπεδο του ανελκυστήρα περνάει από ενδιάμεσο όροφο που βρίσκεται σε ύψος 8 m. Ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή επιτάχυνση και σε αυτόν ασκούνται δυο δυνάμεις το βάρος του και η δύναμη από το συρματόσκοινο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s. Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία ανέρχεται ο ανελκυστήρας. Δ. Την ένδειξη του δυναμόμετρου (είναι ίση με το μέτρο της δύναμης που ασκεί στη σφαίρα) όταν η σφαίρα κινείται όπως ο ανελκυστήρας. Δ3. Τη μέση ισχύ που αναπτύσσει ο κινητήρας του ανελκυστήρα για το χρονικό διάστημα από 0 s - 6 s. Τη χρονική στιγμή t σπάει το συρματόσκοινο, οπότε ο ανελκυστήρας εκτελεί ελεύθερη πτώση. Να υπολογίσετε: Δ4. Τη νέα ένδειξη του δυναμόμετρου όταν η σφαίρα κινείται όπως ο ανελκυστήρας. Δ) Ο ανελκυστήρας εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, και διανύει απόσταση 8m σε χρόνο 6s: H at a m / s t

196 Δ) Η σφαίρα έχει την επιτάχυνση του ανελκυστήρα: από ο Ν. Νεύτωνα: ma mg ma ma mg 5,5N Δ3) Για τον ανελκυστήρα : από ο Ν. Νεύτωνα : M a Mg Ma Ma Mg 5500N a a a W a Η Μέση ισχύς είναι: P () όπου έργο της α : W a H t Οπότε : a H () P P 6500W t Δ4) Η σφαίρα έχει την επιτάχυνση του ανελκυστήρα (α=g): από ο Ν. Νεύτωνα ισχύει: ma mg mg 0 4. (0969-Δ) Ένα άδειο κιβώτιο μάζας 0kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Ένας εργάτης ασκεί στο κιβώτιο οριζόντια δύναμη μέτρου 60Ν για χρονικό διάστημα Δt και το μετατοπίζει κατά 5 m πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και δαπέδου είναι 0,3 ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. Να υπολογίσετε: Δ) Το χρονικό διάστημα Δt. Δ) Τα έργα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο κιβώτιο στο χρονικό διάστημα Δt. Δ3) Την κινητική ενέργεια του κιβωτίου όταν έχει μετατοπιστεί κατά 5m. Ένα ίδιο κιβώτιο είναι γεμάτο με άμμο μάζας 40kg και βρίσκεται ακίνητο πάνω στο ίδιο οριζόντιο δάπεδο. Δ4) Να υπολογίσετε το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που πρέπει να ασκήσει ο εργάτης στο γεμάτο κιβώτιο ώστε στο ίδιο χρονικό διάστημα Δt να το μετατοπίσει κατά 5m. Δ) Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N mg N 00N y Οπότε το μέτρο της τριβής είναι: T T 0,400N 40N χ T N x Θεωρώντας την σταθερή, από ο Ν. Nεύτωνα: w y

197 T ma T ma a a m / s a m / s m 0 Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με u0=0. Η ό : at t t 5s Δ) Το έργο βάρους και το έργο της κάθετης δύναμης είναι: W W 0 αφού οι δυνάμεις είναι κάθετες στην μετατόπιση. Το έργο της τριβής : W T x J W 000J T Το έργο της είναι : W x J W 500J T Δ3) Από ΘΜΚΕ : W W WT WN Ww 500J 000J 500J Δ4) Αφού το γεμάτο κιβώτιο μετακινείται 5m στον ίδιο χρόνο, πρέπει να έχει την ίδια επιτάχυνση: a a m / s Η μάζα του όμως είναι τώρα m (0 40) Kg m 50Kg στον yy 0 N w N mg N 500N y οπότε νέο μέτρο τριβής T T 0,4 500N 00N Θεωρώντας την σταθερή, από ο Ν. Nεύτωνα έχουμε: x m a T ma T ma ma T (50 00) N 300N N T w 4. (086-Δ) Διαστημόπλοιο βρίσκεται σε ύψος 30 m πάνω από την επιφάνεια της Σελήνης. Τη χρονική στιγμή t = 0s η Σεληνάκατος μάζας 000 kg εγκαταλείπει το διαστημόπλοιο χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται κατακόρυφα προκειμένου να προσεδαφισθεί στην επιφάνεια της Σελήνης. Εξαιτίας της λειτουργίας της μηχανής της σεληνακάτου ασκείται σε αυτή δύναμη η κατεύθυνση της οποίας είναι αντίθετη της ταχύτητας και με σταθερό μέτρο Ν. Τη χρονική στιγμή t = 0s η μηχανή της σεληνακάτου παύει να λειτουργεί. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της σελήνης g=,6m/s και ότι η Σελήνη δεν έχει ατμόσφαιρα. Να υπολογίσετε: Δ) το μέτρο της επιτάχυνσης της Σεληνακάτου όταν λειτουργεί η μηχανή της.

198 Δ) τη μέση ισχύ που ανέπτυξε η μηχανή της Σεληνακάτου. Δ3) την ταχύτητα με την οποία η Σεληνάκατος φτάνει στην επιφάνεια της Σελήνης. Δ4) το χρονικό διάστημα που απαιτείται από τη στιγμή που η Σεληνάκατος εγκατέλειψε το διαστημόπλοιο μέχρι να προσεδαφιστεί στη Σελήνη.

199 Δ) Από ο Ν. Nεύτωνα mg ma mg ma a a m / s a 0, m / s m 000 Δ) Εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με u0=0,οπότε την t=0s: διανύει at 0 0 m 0 οπότε το έργο της : W x W J W και η Μέση ισχύς : P P W P 3000W t 0 h mg A mg 0m B Δ3) όταν παύει ο κινητήρας (το 0 ο s), έχει ταχύτητα : u at u 0,0 u m / s Για τα τελευταία 0m, ασκείται μόνο το βάρος του, οπότε από ΑΔΜΕ (Α Β): U U mu mgh mued u0 gh ued u u gh u,6 0 u 6 m / s ed 0 ed ed Δ4)Αποκτά νέα επιτάχυνση, από ο Ν. NEWTON: ma mg ma a g a,6 m / s Αρα εκτελεί ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (με u0=m/s) και θα έχει ταχύτητα 6m/s u u0 6 σε χρονο: u u0 at t t t,5 s a,6 Άρα ο ολικός χρόνος είναι : t 0,5 t,5s 43. (084-Δ)

200 Αυτοκίνητο μάζας 900kg είναι αρχικά ακίνητο. Τη χρονική στιγμή t0=0s επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση και αποκτά ταχύτητα μέτρου 5m/s τη χρονική στιγμή t=5s. Δ) Να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη που επιταχύνει το αυτοκίνητο. Δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου τις χρονικές στιγμές t=4s και t3=6s. Δ3) Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση υ(t) σε βαθμολογημένο σύστημα αξόνων για το χρονικό διάστημα 0s έως 5s. Δ4) Αν P και P η μέση ισχύς της συνισταμένης δύναμης που επιταχύνει το αυτοκίνητο στη διάρκεια του 5 ου και του 6 ου δευτερολέπτου της κίνησης του αντίστοιχα, να δέίξετε ότι : 9 P P Δ) Το αυτοκίνητο εκτελεί ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη με ταχύτητα : u u at 5 m / s t από ο Ν. Νεύτωνα: ma 900 5N 4500N Δ)Τη χρονική στιγμή t=4s, θα έχει ταχύτητα : u at u 0 m / s Τη χρονική στιγμή t3=6s, θα έχει ταχύτητα : u3 at3 u3 30 m / s Δ3)το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου θα είναι: 5 u(m/s) 0 5 t(s) Δ4)Μέση ισχύς ( m u u ) W P P P t t t Τη χρονική στιγμή t=5s, θα έχει ταχύτητα : u 5 m / s Στο 5 ο s, (4 5)s, Δt=s

201 m ( u u ) P m( u u ) s Στο 6 ο s, (5 6)s, Δt=s Και η σχέση: m ( u 3 u ) 3 P m( u u ) s 9 9 P P m( u u ) m( u 3 u ) 9 (5 0 ) (30 5 ) ΑΛΗΘΗΣ 44. (9633-Δ) Μια παλέτα με τούβλα μάζας m = 400 kg ανυψώνεται κατακόρυφα με τη βοήθεια ενός γερανού κατά 0 m πάνω από το έδαφος. Ο γερανός ασκεί στην παλέτα κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω, το μέτρο της οποίας έχει τέτοια τιμή ώστε η παλέτα ξεκινώντας από την ηρεμία αρχικά να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση για χρονική διάρκεια ίση με 5 s οπότε η παλέτα φτάνει στο μέσο της διαδρομής (δηλαδή στα 5 m), και στη συνέχεια επιβραδύνεται ομαλά μέχρι που σταματά στο ύψος των 0 mπάνω από το έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s και ότι η αντίσταση το αέρα είναι αμελεητέα. να υπολογίσετε: Δ) Το μέτρο της επιτάχυνσης της παλέτας στα πρώτα 5 s της κίνησης, καθώς και το μέτρο της ταχύτητας που αποκτά στο τέλος της επιταχυνόμενης κίνησης. Δ) Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο γερανός στην παλέτα στη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης. Δ3) Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο γερανός στην παλέτα στη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης. Δ4) Τη μέση ισχύ του γερανού κατά τη διάρκεια της ανόδου της παλέτας.

202 Δ) Από την εξίσωση της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης που πραγματοποιεί η παλέτα από τη χρονική στιγμή to = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5 s έχουμε: y a t 5 a 5 a 0,4 m / s Δ) Εφαρμόζουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα έχουμε: ma w ma mg ma N Δ3) Για την κίνηση που ακολουθεί δηλαδή από τη χρονική στιγμή t = 5 s μέχρι τη χρονική στιγμή t που μηδενίζεται η ταχύτητα της παλέτας. Υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας της παλέτας τη χρονική στιγμή t= 5 s: u u a 0,4 u m / s t 5 Για την ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση ισχύει: u 0 u a a a t t t Επίσης γνωρίζοντας ότι η παλέτα μετατοπίζεται ακόμα για άλλα 5 m: y u t a t 5 t t t 5 t t 5 t t t 5s t οπότε η επιβράδυνση της κίνησης είναι:

203 a a 0,4 m / s t 5 Από τον ο Νόμο του Νεύτωνα υπολογίζουμε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η παλέτα κατά τη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης: m a w m a mg m a 3.984N Δ4) Αρκεί να εφαρμόσουμε τη σχέση: W W y y P P 4.07W t t 0 o o 45. (9077-Δ) Ένα σώμα μάζας 0kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται σ αυτό 60 (N) οριζόντια δύναμη σταθερής κατεύθυνσης, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ 0 0 t(s) σώματος και δαπέδου είναι μ=0, και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=0m/s. Δ) Να σχεδιάσετε ένα απλό σχήμα στο οποίο να φαίνονται όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα κατά τη διάρκεια που ασκείται η δύναμη και να υπολογίσετε το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Δ) Να προσιορίσετε σε ποιο χρονικό διάστημα το σώμα επιταχύνεται και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δ3) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t =0s. Δ4)Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του σώματος στη χρονική διάρκεια 0 0s Δ) Στον άξονα yy ισχύει: y 0 N w N mg N 00N y Οπότε το μέτρο της τριβής είναι: T T 0, 00N 0 N() χ T N x w y

204 Δ) Από (0 5) (sec): Το σώμα επιταχύνεται ομαλά, όπως προκύπτει από τον ο Ν.Νεύτωνα. Σ α T α 0 0 0α x () α ( ) () Από (5 τον ο Ν.Νεύτωνα. 0) (sec): Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, όπως προκύπτει από Σ α T α 0 0 0α α 0 s (3) x Από (0 0) (sec): Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, όπως προκύπτει από τον ο Ν.Νεύτωνα. Σ α T α 0 0α α ( ) x Δ3) Οι εξισώσεις κίνησης σε κάθε χρονικό διάστημα είναι: Από (0 5) (sec): Το σώμα επιταχύνεται ομαλά χωρίς αρχική ταχύτητα. α 0 ( ) x α 0 ( ) Από (5 0)sec: Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με 0 m/ s Από (0 x Δ 0 ( 0 ) 00 ( ) 0 0 m/ s 0) (sec): Το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με α Δ 0 (0 0) 0 ( ) x Δ α Δ 0(0 0) (0 0) ( 0) Δ4) Η μέση ταχύτητα είναι: μ S x x x 50m 00m 00m oλ t t 0s ολ ολ μ,

205 46. (787-Δ) Ένας γερανός ανυψώνει σε ύψος 80 m πάνω από την επιφάνεια του εδάφους, ένα κιβώτιο μάζας 500 Kg. Το κιβώτιο ανυψώνεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου = m/s. Δ) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί ο γερανός στο κιβώτιο. Δ) Να υπολογίσετε την ισχύ του γερανού. Από λάθος του χειριστή του γερανού το κιβώτιο απαγκιστρώνεται τη στιγμή που έχει ανέβει σε ύψος 80m και έχει σταματήσει. Θεωρώντας τη χρονική στιγμή απαγκίστρωσης ως t = 0, Δ3) Να βρεθεί το ύψος πάνω από το έδαφος στο οποίο βρίσκεται το κιβώτιο τη χρονική στιγμή t = s. Δ4) Να υπολογίσετε το λόγο της κινητικής ενέργειας Κ προς τη δυναμική ενέργεια U του σώματος, τη χρονική στιγμή t = s Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας θεωρούμε το έδαφος. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s. Δ) Το κιβώτιο αφου κινείται με σταθερή ταχύτητα, εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή, οπότε από ο Ν. Νεύτωνα: 0 W mg 5000N Δ)Αφου η δύναμη του γερανού και η ταχύτητα είναι w σταθερή, η ισχύς του δίνεται από τη σχέση: 3 3 P u P 50 W P 30 0 W t=0 Δ3)Το κιβώτιο εκτελεί ελεύθερη πτώση και σε s mg y διανύει: y gt y 0 m y 0 m H Οπότε βρίσκεται σε ύψος (από το έδαφος): h=h y Δ4) Η δυναμική ενέργεια του κιβωτίου ισούται με: U mgh () h h=60m

206 Ενώ η κινητική ενέργεια τότε : mu () Όπου η ταχύτητα ισούται: u gt (3) Άρα : mu K K u K (gt) U mgh U gh U gh K (0) K U 060 U (790-Δ) Ένας μαθητής πετάει μια πέτρα μάζας m = 00 g, από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα u 0. Το μέγιστο ύψος, που φτάνει η πέτρα από το έδαφος είναι ίσο με hmax = 5 m και στη συνέχεια επανέρχεται στο σημείο εκτόξευσης. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 0 m/s και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Να ορίσετε ως επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια το έδαφος. Δ) Να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια της πέτρας τη χρονική στιγμή που βρίσκεται στο μέγιστο ύψος από το έδαφος. Δ) Να υπολογίσετε το μέτρο υ0 της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης. Δ3) Να βρείτε σε ποιο ύψος από το έδαφος η κινητική ενέργεια της πέτρας είναι ίση με το μισό της αρχικής της κινητικής ενέργειας. Δ4) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της σφαίρας όταν επανέρχεται στο έδαφος και στη συνέχεια να σχεδιάσετε σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων, τη γραφική παράσταση της τιμής της ταχύτητάς της σε συνάρτηση με το χρόνο, από τη χρονική στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται στο μέ-γιστο ύψος (t = 0), μέχρι τη χρονική στιγμή που επανέρχεται στο έδαφος. Δ) Η μάζα της πέτρας ισούται με m=00g= =0,Kg Στο μέγιστο ύψος, η πέτρα έχει δυναμική ενέργεια: U mgh max U 0,0 5 J U 0 J Δ) Εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ για την πέτρα (θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέργειας, τo έδαφος) U U U U 0, 0 mu0 mghmax u0 ghmax h mg u 0 τελική αρχική

207 u gh u 0 5 m / s 0 max 0 u 0 0 m / s Δ3) Αναζητούμε το ύψος όπου Κτελ= K Εφαρμόζοντας ξανά ΑΔΜΕ για την πέτρα : U U U U U 0, mu0 u0 0 mgh h h m h,5m 4g 40 Δ4) Εφαρμόζοντας ξανά ΑΔΜΕ για την πέτρα, από την ανώτερη θέση μέχρι το έδαφος : U U U K K U 0J K 0, U 0 Κατά την πτώση της εκτελεί ελεύθερη πτώση, άρα θα διανύσει h=5m, σε χρόνο: h 5 g 0 y gt t t s t s Και θα έχει ταχύτητα u=g t u=0m/s Οπότε το διάγραμμα του μέτρου της ταχύτητας του συναρτήσει του χρόνου θα είναι : u(m/s) 0 7,5 5,5 0 0,5 t(s)

208 48. (79-Δ) Αερόστατο που άδειο έχει μάζα m= 70 kg, μεταφέρει επιβάτη με μάζα m= 80 kg Τη χρονική στιγμή t= 0 s το αερόστατο βρίσκεται ακίνητο στην επιφάνεια του εδάφους και αρχίζει ναανυψώνεται με την επίδραση της κατακόρυφης δύναμης που ασκείται από τον αέρα. Δίνεται ότι το μέτρο της είναι 3000 Ν και η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει τιμή g=0m/s Να υπολογίσετε: Δ) Την επιτάχυνση με την οποία ανυψώνεται το αερόστατο Δ) Την δύναμη που ασκεί στον επιβάτη το δάπεδο του καλαθιού του αερόστατου Δ3) Τη χρονική στιγμή που το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος H= 00 m από την επιφάνεια του εδάφους καθώς και την κινητική ενέργεια του επιβάτη στο ίδιο ύψος. Κάποια στιγμή πριν φτάσει το αερόστατο σε ύψος H= 00 m βρισκόταν σε ύψος h= 64 m πάνω από το έδαφος. Δ4) Να υπολογίσετε την μέση ταχύτητα του αερόστατου κατά την μετατόπιση του από τη θέση h= 64 m στη θέση H= 00 m Δ) Η ολική μάζα του αερόστατου είναι : m m m m 50Kg από ο Ν. Νεύτωνα: ma W m a a a m / s a m / s 50 ( mm ) g m m w Δ) Ο άνθρωπος στο καλάθι δέχεται το βάρος του : W=mg και τη δύναμη από το δάπεδο Ν. όμως κινείται με την ίδια επιτάχυνση με του αερόστατου (α=m/s ) N α w