Μαθηματικά Ο.Π. Γ ΓΕΛ 05/ 05 / 2019 ΘΕΜΑ Α. Α1. Σελίδες Σχολικού Βιβλίου. Α2. Σελίδα 161 Σχολικού Βιβλίου

Transcript

1 Γ ΓΕΛ 5/ 5 / 9 Μαθηματικά Ο.Π. ΘΕΜΑ Α Α. Σελίδες 4-43 Σχολικού Βιβλίου Α. Σελίδα 6 Σχολικού Βιβλίου Α3. i) Ψ ii) Σελίδα 56 Σχολικού Βιβλίου (Σχόλιο) Α4. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β ' ' ' ( ) ( )( ) B. H '() ( ) ( ) =, R ( ) '(), '(), '() χ + - Σελίδα από 9

2 '() ά, ή,, '() ά,, ή, Η παρουσιάζει για = τοπικό μέγιστο το ()= B. Η ' ' ' ' ''(), R ''(), ''(), '' χ - + ΚΟΙΛΗ ΚΥΡΤΗ ''() ά, ή, έίά, ''() ά, έ ί ά, ή, Η έχει σημείο καμπής το,( ), Σελίδα από 9

3 Β3. Η είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών στο R άρα δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Το ' lim () lim lim lim άρα η έχει στο + οριζόντια ασύμπτωτη ' την y=. (ο άξονας, ) () lim lim lim lim lim lim Άρα η C δεν έχει ασύμπτωτή στο. lim () lim lim ( ) lim Το ( ),() ά C έ yy ', ', B4. i) Σημείο τομής της C ' ί,. ό ίό ( ) : y ( ) '( )( ) ( ) y o ( ) y ii) Στο διάστημα, ί ά () y () (),, () Σελίδα 3 από 9

4 ΘΕΜΑ Γ Α. Από '( h) '( 9h) '( h) '( ) '( 9h) '( ) lim lim lim n n n h h h u h = lim u 9 h u ' u '( ) ' u '( ) lim u u u 9 ''( ) 9 ''( ) ''( ) () ( ) 4 θέτουμε ( ) 4 g ( ) ( ) g ( ) 4 lim ( ) lim lim g ( ) lim 4 () () ( ή ί ) Από lim Η παρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό σημείο όπου είναι και παραγωγίσιμη άρα από Θ.F. '() (3) Από () ''( ) ( ) ' '( ) C C άρα (3) '( ) ( ) ' ' ( ) C C και τότε: ( ), R () B. α) Η G '( ) ln( ( ) ' g '( ) '( ) g ( ). Τότε ( ) ( ) ' ' g '( ) ή g '( ) g '( ) ή Σελίδα 4 από 9, R.

5 lim lim lim g ( ) lim Στον πίνακα: Χ g g τ.ελ τ.μεγ g(-)=- g()= Η g είναι συνεχής στο Ag=R ως ρητή. g ( R) g, g,,, g, g ( R ) g ( ), limg(),, g, ί g ύ g ( ), g (),, g (), g() lim β) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τα δοσμένα είναι g() d d d ln ln. g ( ) Το μισό του παραπάνω εμβαδού είναι το a a a d a d ln ln a. Τότε ln a ln ln a ln a a a (,) δεκτή. γ) Από το Σύνολο Τιμών της g είναι g ( ) ή g g g 3 g 5. g 3 g 3 Σελίδα 5 από 9

6 Τότε η εξίσωση g g 3 5 έχει λύση αν και μόνο αν g g ί έή ί ό ά g άρα, ή ή ΘΕΜΑ Δ Δ. Η '( ) ( )' ', R. Eπίσης ''( ) ', R ''( ) ''( ) ''( ) Από τον πίνακα: χ ΚΟΙΛΗ ΚΥΡΤΗ Σ.Κ Η συνεχής στο A άρα η στρέφει τα κοίλα κάτω στο,, και τα κοίλα άνω στο, και έχει Σ.Κ, ( ), Σελίδα 6 από 9

7 ' lim lim και ' Το lim '( ) lim lim αφού lim lim και το lim '( ) Χ ΟΛ.ΕΛ: '() Αφού συνεχής στο R ως πράξεις συνεχών από τη μονοτονία της έχουμε: Σ.Τ ',, ' (, ', [,) [, ) [, ) Από το Σύνολο Τιμών της είναι '( ) άρα η είναι γνήσια αύξουσα άρα - και αντιστρέφεται. Δ. Η ln ί ά η εξίσωση γράφεται ln a ln ln a ln ln a '( ) ln a. αν ln a η εξίσωση έχει ρίζα αν ln, a η εξίσωση έχει ρίζες αν ln, a η εξίσωση έχει ρίζα αν ln a, a ί ί ύ Δ3. i) Aπο ά R ί Σελίδα 7 από 9

8 το ii) Το,,,. Από σχέση ( ) (), αφού,, άρα και γιατί, Από () Το d d A B A B Τότε και Α= από όπου, ( ) lim lim. Το Δ4. i) Το lim () ' lim ( ) lim lim lim lim lim D.H.L ' Άρα η πλάγια ασύμπτωτη της στο - είναι η ευθεία y ή y που είναι ο άξονας συμμετρίας των C, C. ii) Η ( ) για κάθε > γιατί ή ( ) () για κἀθε >. Θα αποδειχθεί ότι και ( ) για κάθε >. Έστω ότι υπάρχει : ΑΤΟΠΟ αφού ()> για κάθε >. Σελίδα 8 από 9

9 Από ( ) ( ) ( ) ( ), (). Είναι lim ( ) lim lim αφού lim από () το lim ( ) ( ) και lim. Τότε Σελίδα 9 από 9