o PAUL BENACERRAF ΚΑΙ Η ΓΝΩΣΙΟΑΟΓΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΡΕΑΛΙΣΜΟ1

Transcript

1 o PAUL BENACERRAF ΚΑΙ Η ΓΝΩΣΙΟΑΟΓΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΡΕΑΛΙΣΜΟ1 Στο άρθρο του «Mathematical Truth» (1973/1983)2 ο Paul Be- nacerraf θέτει ένα σημαντικό πρόβλημα για τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Τον απασχολεί το κατά πόσον είναι δυνατό μια αποδεκτή σημασιολογία για τα μαθηματικά να εναρμονιστεί με μια ικανοποιητική γνωσιολογία. Πιστεύει ότι η πλήρης φι- 1. Αυτό το κεφάλαιο περιλαμβάνει ένα μεγάλο μέρος του άρθρου: Χριστοπούλου, Δ., «Ο Ρ. Benacerraf και η γνωσιολογική πρόκληση στο μαθηματικό ρεαλισμό», Δευκαλίων 18/1, Αθήνα, εκδ. Στιγμή, 45-70, που δημοσιεύτηκε το έτος 2000 ως συνοπτική παρουσίαση της μεταπτυχιακής διπλωματικής εργασίας με τον ίδιο τίτλο. 2. Το άρθρο Benacerraf, Ρ. (1973) «Mathematical Truth», The Journal of Philosophy 70, , έχει αναδημοσιευτεί στον τόμο των Benacerraf, Ρ. & Putnam, Η. (1983) Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2η έκδ., Cambridge, Cambridge University Press,

2 Η ΓΝΩΣΙΟΛΟΓ1ΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΡΕΑΛΙΣΜΟ λοσοφική θεώρηση για τα μαθηματικά απαιτεί τον επιτυχή συνδυασμό και των δύο αυτών συνθηκών, οδηγείται όμως τελικά στην απαισιόδοξη διαπίστωση ότι οι διάφορες θεωρίες της φιλοσοφίας των μαθηματικών καλύπτουν είτε την πρώτη συνθήκη εις βάρος της δεύτερης είτε τη δεύτερη εις βάρος της πρώτης. Συμβαίνει, δηλαδή, να καλύπτουν την πρώτη συνθήκη, παρέχοντας μια ικανοποιητική θεωρία αλήθειας και αναπτύσσοντας μια σημασιολογία για τα μαθηματικά ενιαία με τη σημασιολογία των άλλων (μη μαθηματικοποιημενών) περιοχών της γλώσσας, χωρίς όμως να δίνουν μια επίσης ικανοποιητική απάντηση στο ερώτημα από πού προέρχεται η μαθηματική γνώση. Είτε, από την άλλη πλευρά, ικανοποιούν τη δεύτερη συνθήκη, δηλαδή απαντούν στο γνωσιολογικό ερώτημα, υστερώντας όμως στο σημασιολογικό επίπεδο. Στην πρώτη περίπτωση αναφέρεται ως βασικό παράδειγμα ο μαθηματικός ρεαλισμός, η θέση η οποία υποστηρίζει την ύπαρξη μιας ανεξάρτητης από τον ανθρώπινο νου μαθηματικής πραγματικότητας ή, ακόμα πιο συγκεκριμένα, η θέση η οποία υιοθετεί μια οντολογία ανεξάρτητων μαθηματικών αντικειμένων. Σύμφωνα με τον Benacerraf (1983,410), ο μαθηματικός ρεαλισμός διαθέτει μια προσέγγιση της μαθηματικής αλήθειας («καθιερωμένη σημασιολογική προσέγγιση») με μια σειρά από πλεονεκτήματα στο σημασιολογικό επίπεδο. Το κυριότερο από αυτά είναι η ενιαία αντιμετώπιση, από άποφη λογικής δομής και ανάλυσης, των μαθηματικών και μη μαθηματικών περιοχών της γλώσσας. Η καθιερωμένη προσέγγιση εξομοιώνει από λογική άποφη τις μαθηματικές με τις εμπειρικές προτάσεις. Έτσι, για παράδειγμα, οι προτάσεις: 1. «Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις μεγάλες πόλεις παλαιό- τερες από τη Νέα Υόρκη». και 2. «Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις τέλειοι αριθμοί μεγαλύτεροι από τον 17». παρουσιάζουν την ίδια λογική δομή, ενώ οι συνθήκες αλήθειας τους προσδιορίζονται με τον ίδιο τρόπο (ό.π., 405). Οι λογικές σχέσεις, οι κανόνες αναφοράς και η χρήση των πο- σοδεικτών υπόκεινται σε ενιαίο χειρισμό, κάτι το οποίο εξασφαλίζει κάποιου είδους οικονομία, αφού η ίδια θεωρία λογι- κογραμματικής ανάλυσης που υιοθετούμε για άλλες περιοχές της γλώσσας μπορεί να εφαρμοστεί και για τις μαθηματικοποιημένες περιοχές. Οι συνθήκες αλήθειας των προτάσεων (1) και (2) προσδιορίζονται ενιαία: Η πρόταση (1), όπως και η πρόταση (2), είναι αληθής, αν και μόνο αν τρία τουλάχιστον αντικείμενα από το σύμπαν το οποίο διατρέχει ο αντίστοιχος ποσοδείκτης, τα οποία επιπλέον έχουν τις κατάλληλες ιδιότητες, βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη σχέση με ένα άλλο αντικείμενο. Πρέπει, μάλιστα, να σημειωθεί ότι η συγκεκριμένη προσέγγιση δίνει ιδιαίτερη έμφαση στα σημα- σιολογικά χαρακτηριστικά μιας πρότασης (π.χ., στην αναφορά των όρων), αφήνοντας περιθώριο να υποτεθεί ότι είναι δυνατή μια σύνδεση των όρων των προτάσεων με κάποια «αντικειμενική μαθηματική πραγματικότητα». Για παράδειγμα, τόσο ο όρος Νέα Υόρκη όσο και ο όρος 17 αναψέρο- νται σε συγκεκριμένα αντικείμενα. Ένα άλλο πλεονέκτημα της ίδιας προσέγγισης είναι ότι τονίζει την έννοια της αλήθειας, θέτοντάς τη σε προτεραιότητα έναντι της έννοιας της μαθηματικής απόδειξης. Παρά τα πλεονεκτήματά της στο σημασιολογικό επίπεδο, η προσέγγιση του μαθηματικού ρεαλισμού υστερεί στην εξήγηση του τρόπου απόκτησης της μαθηματικής γνώσης, αφού η υποτιθέμενη οντολογία των μαθηματικών αντικειμένων βρίσκεται «πέρα από τα όρια ακόμα και του καλύτερα 28 29

3 κατανοητού μέσου της ανθρώπινης γνωστικής ικανότητας» {ό.π., 409). Τα μαθηματικά αντικείμενα (αριθμοί, σύνολα κ.λπ.) θεωρούνται αφηρημένα, βρίσκονται, σύμφωνα τουλάχιστον με τις παραδοσιακές ρεαλιστικές αντιλήψεις, εκτός χωροχρονικού πλαισίου και, κατά συνέπεια, δεν εμπίπτουν στους συνήθεις τρόπους γνωστικής πρόσβασης στα (φυσικά) πράγματα. Ενώ όμως η ρεαλιστική προσέγγιση για τα μαθηματικά παρουσιάζει πλεονεκτήματα στο σημασιολογικό επίπεδο, υστερώντας συγχρόνως στο γνωσιολογικό, οι διάφορες αντι- ρεαλιστικές προσεγγίσεις αντιμετωπίζουν το αντίθετο πρόβλημα, με αποτέλεσμα να μην έχει επιτευχθεί μέχρι τώρα στη φιλοσοφία των μαθηματικών η εναρμόνιση της σημασιολογι- κής και της γνωσιολογικής συνιστώσας. Ο Benacerraf αναφέ- ρεται σε κάποιες αντιρεαλιστικές μαθηματικές προσεγγίσεις με τον όρο «συνδυαστικές» [combinatorial]. Οι προσεγγίσεις αυτές «επιχειρούν να περιγράφουν τις συνθήκες αλήθειας των μαθηματικών προτάσεων στη βάση μόνο συντακτικών και όχι σημασιολογικών θεωρήσεων» (ό.π., 407). Στην περίπτωση αυτή ο προσδιορισμός των συνθηκών αλήθειας βασίζεται μόνο στην τυπική παραγωγή των μαθηματικών προτάσεων από συγκεκριμένα σύνολα αξιωμάτων. Έτσι, τα συντακτικά χαρακτηριστικά, όπως η έννοια της απόδειξης, είναι κυρίαρχα, αφού η απόδοση τιμών αλήθειας στις προτάσεις βασίζεται κυριολεκτικά στους συντακτικούς κανόνες. Τα σημασιο- λογικά στοιχεία, π.χ. αναφορά των ονομάτων, αγνοούνται. Η διαφορά είναι σημαντική. Στην προηγούμενη περίπτωση («καθιερωμένη προσέγγιση») δεν αρκεί μια πρόταση να είναι απλώς θεώρημα σε κάποιο τυπικό σύστημα, αλλά χρειάζεται αυτό το γεγονός να συνοδεύεται από σαφή εξήγηση του τρόπου σύνδεσης της αποδειξιμότητας με την έννοια της αλήθειας. Αυτό, όμως, προϋποθέτει τη σύνδεση του συντα κτικού και του σημασιολογικού επιπέδου. Αντίθετα, στις αντιρεαλιστικές συνδυαστικές προσεγγίσεις η αλήθεια είναι κάτι που εξαντλείται στην «αποδειξιμότητα». Το σημασιολογικό επίπεδο εμφανίζεται εντελώς υποβαθμισμένο, ενώ δεν υπονοείται περαιτέρω κανενός είδους σύνδεση με κάποια «εξωτερική (ως προς τη γλώσσα) πραγματικότητα». Ωστόσο, στις προσεγγίσεις αυτές, το γνωσιολογικό ερώτημα είναι εύκολο να απαντηθεί, είναι σχεδόν τετριμμένο: αποκτούμε μαθηματική γνώση αποδεικνύοντας μαθηματικές προτάσεις από άλλες προτάσεις και αξιώματα. Όπως αναφέρει ο Benacerraf, «δεν μας εκπλήσσει το γεγονός ότι μέσω αυτών των (αντιρεαλιστικών) προσεγγίσεων της μαθηματικής αλήθειας πολύ λίγο μυστήριο καλύπτει τον τρόπο απόκτησης της μαθηματικής γνώσης. Χρειάζεται μόνο εξήγηση για την ικανότητά μας να παράγουμε και να διατηρούμε τυπικές εξηγήσεις» {ό.π., 409). Το συμπέρασμα του Benacerraf, όπως αναφέρεται στο άρθρο, είναι ότι καμία από τις μέχρι τώρα θεωρίες της σύγχρονης φιλοσοφίας των μαθηματικών δεν είναι ικανοποιητική, επειδή καμία δεν συνδυάζει μια αποδεκτή σημασιολογία με μια πειστική απάντηση στο ερώτημα τι συνιστά μαθηματική γνώση.3 *Και επειδή το πρόβλημα έχει μία σημασιολογική και μία γνωσιολογική συνιστώσα, η λύση θα έπρεπε να αναζητηθεί είτε στην πρώτη είτε στη δεύτερη. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ωστόσο, παρουσιάζει το άρθρο για τους μαθηματικούς ρεαλιστές, επειδή αποκαλύπτει την «αχίλλειο πτέρνα» της προσέγγισής τους. Όπως είδαμε, η ρεαλιστική προσέγγιση («καθιερωμένη προσέγγιση») παρουσιάζει πλεονεκτήματα στη σημασιολογική περιοχή, αλλά υστερεί στη γνωσιολογική, αφού αδυνατεί να απαντήσει στο ερώτημα 3. Αυτό είναι το σύνθετο πρόβλημα που θέτει ο Benacerraf και όχι απλώς μια κριτική προς τον μαθηματικό ρεαλισμό, όπως συνήθως εκλαμβάνεται

4 ΤΑ ΔΙΛΗΜΜΑΤΑ TOY PAUL BENACERRAF σχετικά με τον τρόπο απόκτησης της μαθηματικής γνώσης. Τα μαθηματικά αντικείμενα βρίσκονται «πέρα από τα όρια ακόμα και του καλύτερα κατανοητού μέσου της ανθρώπινης γνωστικής ικανότητας». Πώς μπορούμε, λοιπόν, να τα γνωρίσουμε; Έχουμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα όπου μια οντολογική θέση -η θέση του μαθηματικού ρεαλισμού- πλήττεται από την πλευρά της γνωσιολογίας. Διότι δεν μπορούμε να επιμείνου- με στον ισχυρισμό για την ύπαρξη κάποιου είδους αντικειμένων, όταν υπάρχει σοβαρό πρόβλημα στο να αποδείξουμε ότι πράγματι αυτά μπορεί να αποτελόσουν αντικείμενο γνώσης. Στο επιχείρημα αυτό του Benacerraf έχουν στηρίξει τις επιθέσεις τους κατά του μαθηματικού ρεαλισμού πολλοί αντιρεα- λιστές φιλόσοφου αλλά και αρκετοί ρεαλιστές, από την άλλη πλευρά, έλαβαν αφορμή για να επεκτείνουν και να ενισχύ- σουν τις προσπάθειες υπεράσπισής του. Με αυτή την έννοια, το άρθρο του Benacerraf μπορεί να χαρακτηριστεί ως γνωσι- ολογική πρόκληση για τον μαθηματικό ρεαλισμό.4 Ο ίδιος ο Benacerraf δεν υπερασπίζεται τις συνδυαστικές αντιρεαλιστικές προσεγγίσεις απορρίπτοντας οριστικά τον μαθηματικό ρεαλισμό, παρά την «αξιοποίηση» του επιχειρήματος του από τους αντιρεαλιστές προς αυτή την κατεύθυνση. Δεδομένων μάλιστα των πλεονεκτημάτων της καθιερωμένης σημασιολο- γικής προσέγγισης της ρεαλιστικής θέσης, τα οποία προαναφέρθηκαν και που ο ίδιος ο Benacerraf αναγνωρίζει, θεωρήθηκε ενδεδειγμένη από τους υποστηρικτές του μαθηματικού ρεαλισμού η περαιτέρω διερεύνηση της δεύτερης συνιστώσας του προβλήματος, δηλαδή της γνωσιολογικής. Η συνήθης θεώρηση των μαθηματικών αντικειμένων ως απομακρυσμένων από το χωροχρονικό σύμπαν δεν αφήνει 4. Αυτόν τον χαρακτηρισμό χρησιμοποιεί ο J. Katz (1998). περιθώρια να υποτεθεί ότι είναι δυνατός κάποιος τρόπος φυσικής σύνδεσής τους με τον γνώστη τους. Ωστόσο είναι απαραίτητος ένας «κατάλληλος» τρόπος σύνδεσης της μαθημα- τικής πραγματικότητας με τις αληθείς πεποιθήσεις που σχηματίζουμε γι αυτήν, αν θέλουμε να χαρακτηρίσουμε τις πεποιθήσεις αυτές ως γνώση. Η μαθηματική εποπτεία, την οποία προτείνει ο Kurt Friedrich Godel, θεωρείται έννοια αρκετά ασαφής για να παίξει τον ρόλο του συνδετικού κρίκου μεταξύ γνώστη και μαθηματικών αντικειμένων. Βέβαια, ο ρεαλιστής Godel θεωρεί την υπόθεση για την ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων εξίσου νόμιμη με την υπόθεση της ύπαρξης των φυσικών σωμάτων. Σε ό,τι μάλιστα αφορά τα στοιχειώδη αξιώματα της θεωρίας των συνόλων, γράφει ότι αυτά έχουν τη δύναμη να μας επιβάλλονται: «παρά την απόστασή τους από την αισθητηριακή εμπειρία, έχουμε πραγματικά κάτι σαν αντίληψη για τα αντικείμενα της θεωρίας συνόλων, όπως φαίνεται από το γεγονός ότι τα αξιώματα μας επιβάλλονται ως αληθινά» (Godel, 1964).5 Επιχειρεί με αυτόν τον τρόπο μία απάντηση στο γνωσιολογικό πρόβλημα με βάση την ύπαρξη μιας έλλογης λειτουργίας, της μαθηματικής εποπτείας, η οποία παίζει ρόλο ανάλογο με αυτόν της αισθητηριακής αντίληψης. Ο παραλληλισμός εποπτείας-αισθητηριακής αντίληψης λειτουργεί κυρίως σε δύο επίπεδα. Στο πρώτο και πιο στοιχειώδες επίπεδο οι στοιχειώδεις μαθηματικές προτάσεις (αξιώματα) συλλαμβάνονται μέσω της εποπτείας, όπως και οι στοιχειώδεις αλήθειες για τα φυσικά αντικείμενα προέρχονται από την παρατήρηση μέσω της αισθήσεων. Σε ένα πιο θεωρητικό επίπεδο, όμως, παρατηρείται ότι, όπως ακριβώς δεν προ 5. Godel, Κ. (1964) «What is Cantor s Continuum Problem», στο Benacerraf, P. & Putnam, H. (1983) Philosophy of Mathematics, ό.π.,

5 κύπτουν όλες οι προτάσεις της φυσικής από τα αισθητηριακά δεδομένα, έτσι ακριβώς δεν είναι και όλες οι μαθηματικές αλήθειες άμεσα εποπτεύσιμες. Πράγματι, υπάρχουν αξιώματα που αφορούν μεγάλους διατακτικούς ή πολύπλοκα σύνολα που βρίσκονται σε ένα επίπεδο απομακρυσμένο από την εποπτεία. Στην περίπτωση αυτή η πίστη μας στην αλήθεια αυτών των αξιωμάτων βασίζεται στον τρόπο με τον οποίο φωτίζουν μια ολόκληρη μαθηματική περιοχή και στη συμβολή τους στην επίλυση προβλημάτων της θεωρίας, όπως ακριβώς και η αποδοχή κάποιων προτάσεων της φυσικής στηρίζεται στη γονιμότητα, την αποτελεσματικότητα και τον γενικότερο ρόλο που παίζουν μέσα στη θεωρία. Ο παραλληλισμός, ωστόσο, της μαθηματικής εποπτείας και της αισθητηριακής αντίληψης δεν είναι αρκετός για να εξηγήσει τι ακριβώς είναι η μαθηματική εποπτεία και αυτό είναι το ασθενές σημείο του ρεαλισμού του Godel. Δηλώνεται ένα μέσο χάρη στο οποίο ο γνώστης πληροφορείται για τα μαθηματικά αντικείμενα, αλλά δεν δίνονται σαφείς πληροφορίες γι αυτό. Αυτός είναι ο λόγος που κάποιοι αντιρεαλιστές φιλόσοφοι, όπως ο Charles Chihara (1982), θεώρησαν την υπόθεση της εποπτείας χαλαρή εξήγηση. Μία συγκεκριμένη παράγραφος του άρθρου «M athematical Truth» του Benacerraf έγινε αφορμή για τη σύνδεση του προβλήματος με τις αιτιακές θεωρίες γνώσης. Πράγματι, ο Benacerraf αναφέρει ότι είναι υπέρ μιας αιτιακής αντίληψης, καθώς «μια θεωρία αυτού του είδους πρέπει να είναι ορθή καί υπόκειται στην έννοια που διαθέτουμε για τη γνώση» (Benacerraf & Putnam, 1983, 412-3). Για τα συνήθη φυσικά αντικείμενα, όπως σπίτια, δέντρα κ.λπ., αυτή η προσέγγιση εφαρμόζεται χωρίς προβλήματα. Κατ επέκταση, μπορεί να θεωρηθεί ότι ισχύει και στην περίπτωση γενικών νόμων ή φυσικών θεωριών. Χρειάζεται γενικά ένα είδος αιτιακής αλληλεπίδρασης ανάμεσα στην πεποίθηση του γνώστη ότι ισχύει ρ και στη συνθήκη που επιτρέπει στην ρ να ισχύει. Οι συνθήκες αλήθειας της ρ και η αιτία για την πεποίθηση του γνώστη πρέπει να συνδέονται μεταξύ τους. Διαφορετικά δεν μπορεί το υποκείμενο να γνωρίζει ότι ισχύει η ρ. Το πρόβλημα, ωστόσο, για τον ρεαλισμό είναι ότι τα μαθηματικά αντικείμενα θεωρούνται, κατά παράδοση, απομονωμένα από το χωροχρονικό πλαίσιο και ακατάλληλα για να συμμετέχουν σε αιτιακές αλληλεπιδράσεις. Αν δηλαδή οι αριθμοί, τα σύνολα κ.λπ. είναι το είδος των αφηρημένων οντοτήτων που υποτίθεται συνήθως ότι είναι για τον ρεαλισμό, τότε δεν μπορεί να υπάρχει κάποια αιτιακή σύνδεση ανάμεσα στις συνθήκες αλήθειας των μαθηματικών προτάσεων και στους γνώστες των μαθηματικών αντικειμένων. Η Penelope Maddy (1990) εκθέτει τον ίδιο προβληματισμό ως εξής: Για να συνιστά γνώση μια «αληθής και καλώς δικαιολογημένη πεποίθηση», χρειάζεται κάτι περισσότερο* χρειάζεται αυτό που καθιστά την πεποίθηση αληθή να συνδέεται με κάποιον κατάλληλο τρόπο με αυτή την πεποίθηση. Για να γνωρίζω, π.χ., ότι 2+2=4, προϋποτίθεται ότι τα αντικείμενα 2 και 4 παίζουν έναν αιτιακό ρόλο στη γέννηση της πεποίθησής μου. Αυτό όμως είναι αδύνατον, αν τα αντικείμενα αυτά θεωρηθούν απομονωμένα από το χωροχρονικό σύμπαν. Με βάση αυτόν τον προβληματισμό, η γνωσιολογική πρόκληση για τον μαθηματικό ρεαλισμό παίρνει μία ακόμα πιο συγκεκριμένη μορφή: εάν δεχτούμε την ορθότητα της αιτιακής θεωρίας της γνώσης και ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αι- τιακώς αδρανή, τότε δεν μπορούμε να τα γνωρίσουμε. Έτσι, δεδομένων των αιτιακών θεωριών, ο μαθηματικός ρεαλισμός δεν απαντά στο πρόβλημα της μαθηματικής γνώσης. Η απά 34 35

6 ντηση των αντιρεαλιστών στο επιχείρημα αυτό είναι ότι πρέπει να εγκαταλειψθεί η θέση του μαθηματικού ρεαλισμού. Ο νομιναλιστής Hartry Field, για παράδειγμα, πιστεύει ότι από το άρθρο του Benacerraf προκύπτουν επιχειρήματα αποφασιστικής σημασίας για την τύχη του μαθηματικού ρεαλισμού και διατυπώνει την άποφη ότι δεν υπάρχουν μαθηματικές οντότητες.6 Άλλοι φιλόσοφοι επιχειρούν να μετριάσουν την ισχύ του επιχειρήματος του Benacerraf, ενώ οι υποστηρικτές του ρεαλισμού προσπαθούν να τον υπερασπιστούν. Σε ό,τι αφορά την υπεράσπιση του μαθηματικού ρεαλισμού, θα γίνει αναφορά στις διάφορες αντιδράσεις αυτών των φιλοσόφων. Α. Αμφισβήτηση των αιτιακών θεωριών γνώσης Ορισμένοι φιλόσοφοι ασκούν κριτική στις αιτιακές θεωρίες γνώσης και είτε τις απορρίπτουν εντελώς είτε προτείνουν πιο ήπιες εκδοχές τους, οι οποίες δεν θα μπορούσαν να αξιοποιηθούν προς όφελος αντιρεαλιστικών επιχειρημάτων. Για παράδειγμα, ο Mark Steiner (1975) θεωρεί την πιο ισχυρή -και άρα πιο επιθετική για τον μαθηματικό ρεαλισμό- μορφή αιτιακής θεωρίας άκρως προβληματική για το ίδιο το γεγονός της γνώσης. Η ισχυρή αυτή εκδοχή της αιτιακής θεωρίας διατυπώνεται από τον ίδιο με τον ακόλουθο τρόπο: «Δεν μττορεί οχνα γνωρίζει ότι ρ, εκτός εάν το γεγονός ότι ρ προκαλεί (αιτιακά) την πεποίθηση του X ότι ρ». Ο Steiner υποστηρίζει ότι μια τόσο ισχυρή διατύπωση δημιουργεί γενικότερα προβλήματα ως προς την εξήγηση της απόκτησης γνώσης, γι αυτό 6.0 μεσαιωνικός νομιναλισμός υποστήριζε ότι υπάρχουν μόνον επιμέρους όντα (καθέκαστα) και όχι καθόλου όντα, και με αυτή την έννοια ήταν αντίπαλος του παραδοσιακού ρεαλισμού, που υποστήριζε την ύπαρξη των καθόλου όντων. Ο σύγχρονος νομιναλισμός του Field (1980) αρνείται εξ ολοκλήρου την ύπαρξη μαθηματικών οντοτήτων είτε ως διακριτών μεμονωμένων αντικειμένων είτε ως καθόλου. και συνιστά στροφή προς ασθενέστερες μορφές της αιτιακής θεωρίας Εκφράζει την άποφη ότι η μόνη εκδοχή των αιτιακών θεωριών γνώσης που θα μπορούσε να γίνει αποδεκτή θα ήταν μια μετριοπαθής εκδοχή, η οποία δεν θα απέκλειε τα μαθηματικά αντικείμενα από κάποιες αιτιακού τύπου σχέσεις. Θα μπορούσε, δηλαδή, να θεωρηθεί ότι ένα γεγονός που αφορά τους αριθμούς μπορεί να παίζει αιτιακό ρόλο στην εξήγηση τυχόν πεποιθήσεών μας για κάποιο αξίωμα της θεωρίας αριθμών. Μια μετριοπαθής εκδοχή της αιτιακής θεωρίας αυτού του είδους δεν θα έβλαπτε καθόλου τη ρεαλιστική θέση σχετικά με την ύπαρξη μαθηματικών αντικειμένων. Καταλήγει στο ότι η πιο εύλογη εκδοχή της αιτιακής θεωρίας μπορεί να συμβιβαστεί με τον μαθηματικό ρεαλισμό, ενώ, αντίθετα, η πιο ισχυρή εκδοχή δεν είναι καθόλου εύλογη. Ο James Robert Brown (1990) υπερασπίζεται, κατ αρχάς, τη μαθηματική εποπτεία του Godel έναντι των επικριτών της, και συγκεκριμένα έναντι του Chihara. Σημειώνουμε πως ο τελευταίος αναφέρεται στη μαθηματική εποπτεία ειρωνικά, χα- ρακτηρίζοντάς τη «μυστικιστική εμπειρία» (Chihara, 1982). Ο Brown απαντά στη βάση της γκεντελιανής αναλογίας μεταξύ μαθηματικής εποπτείας και αισθητηριακής αντίληψης: μέσω της αισθητηριακής αντίληψης έχουμε πρόσβαση στις στοιχειώδεις προτάσεις της φυσικής και μέσω της μαθηματικής εποπτείας στα στοιχειώδη μαθηματικά αξιώματα. Επιπλέον, ο ίδιος τάσσεται γενικά εναντίον των αιτιακών θεωριών γνώσης. Αναφέρει ότι η παράδοση που χρησιμοποιεί την αι- τιακή θεωρία με σκοπό την απόρριψη της ύπαρξης αψηρη- μένων οντοτήτων είναι παρωχημένη. Ωστόσο ο ίδιος πιστεύει ότι «ευτυχώς για τους πλατωνιστές, η αιτιακή θεωρία είναι λανθασμένη» (Irvine, 1990,110). Η κριτική του στηρίζεται σε δυσεπίλυτα προβλήματα που αντιμετωπίζει η αιτιακή θεωρία, 36 37

7 όπως είναι, για παράδειγμα, αυτά που αναφέρονται στις γενικεύσεις. Ισχυριζόμαστε, αναφέρει, ότι γνωρίζουμε, π.χ., πως όλα τα κοράκια είναι μαύρα, ενώ δεν βρισκόμαστε σε αιτιακή σχέση με όλα τα κοράκια παρά μόνο με μερικά από αυτά. Το επιχείρημα αυτό χρησιμοποιεί ο Brown όχι για να πάρει μέρος στη συζήτηση περί επαγωγής, αλλά για να δείξει απλώς ότι η αιτιακή σχέση μεταξύ γνώστη και αντικειμένου γνώσης ισχύει μόνο σε συγκεκριμένο πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων και, κατά συνέπεια, δεν μπορεί να δικαιολογήσει τη γνώση γενικών αποφάνσεων, φυσικών νόμων, τις επιστημονικές προβλέψεις που αφορούν μελλοντικές καταστάσεις κ.λπ. Μάλιστα, ο Brown κάνει αναφορά στην πρόταση του Gilbert Harman (1973) για να υποστηρίξει μια εναλλακτική προσέγγιση. Ο τελευταίος προτείνει την τροποποίηση της αιτιακής θεωρίας γνώσης, έτσι ώστε κάθε πρόταση της μορφής «το Α προκαλεί (αιτιακά) το Β» να αντικαθίσταται από την πρόταση «το Α εξηγεί το Β». Ο Brown θεωρεί ότι η τροποποίηση αυτή που προτείνει ο Harman οδηγεί σε μια ιδιαίτερα ασθενή εκδοχή της αιτιακής θεωρίας, η οποία διευκολύνει τον μαθηματικό ρεαλιστή σε εξαιρετικό βαθμό. Πράγματι, σύμφωνα με την εκδοχή αυτή, οι μαθηματικές οντότητες ή τα γεγονότα που σχετίζονται με αυτές δεν χρειάζεται να βρίσκονται σε αιτιακή σχέση με τον γνώστη τους, αρκεί να παρέχουν μια καλή εξήγηση για την αλήθεια των μαθηματικών προτάσεων. Το αν είναι η καλύτερη δυνατή εξήγηση ή απλώς μια καλή εξήγηση αποτελεί φυσικά γενικότερο θέμα προς συζήτηση. Η προσέγγιση αυτή υιοθετείται στη φιλοσοφία της επιστήμης γενικότερα. Στη διαμάχη μεταξύ επιστημονικού ρεαλισμού και αντιρεαλισμού οι ρεαλιστές χρησιμοποιούν τη «συναγωγή στην καλύτερη εξήγηση» ως επιχείρημα για να υποστηρίξουν την ύπαρξη μη παρατηρήσι- μων φυσικών οντοτήτων έναντι των εργαλειοκρατών αντιρεαλιστών. Ενώ διαθέτουμε απευθείας πρόσβαση σε φυσικά αντικείμενα, όπως το φεγγάρι, μέσω των αισθήσεών μας, δεν διαθέτουμε κάτι τέτοιο για απομακρυσμένα αντικείμενα στο διάστημα. Δεν διαθέτουμε επιπλέον αισθητηριακή πρόσληψη αρκετών μη παρατηρήσιμων οντοτήτων της φυσικής, όπως τα ηλεκτρόνια - ή άλλα υποατομικά σωματίδια. Όμως, οι ρεαλιστές επικαλούνται την αρχή της καλύτερης εξήγησης για να υποστηρίξουν την ύπαρξη αυτών των οντοτήτων. Εικάζεται η πραγματική ύπαρξή τους -τη ν οποία βέβαια αμφισβητούν οι εργαλειοκράτες αντιρεαλιστές-, επειδή παρέχει την καλύτερη εξήγηση για τις εργαστηριακές παρατηρήσεις που αφορούν «νέφη ηλεκτρονίων» ή άλλα φαινόμενα. Ανάλογα, οι μαθηματικοί ρεαλιστές εικάζουν την ύπαρξη μαθηματικών αντικειμένων, επειδή παρέχει την καλύτερη εξήγηση για το αληθές των μαθηματικών προτάσεων (Irvine, ό.π., 97). Όπως λοιπόν σημειώνει ο Brown, οι μαθηματικές οντότητες αποτελούν την καλύτερη εξήγηση για τις μαθηματικές αλήθειες, οι σχέσεις μεταξύ των καθόλου αποτελούν την καλύτερη εξήγηση για τις κανονικότητες που εμφανίζονται στη φύση (π.χ., επανάληψη του λευκού χρώματος σε διάφορα αντικείμενα), οι δυνατοί κόσμοι αποτελούν την καλύτερη εξήγηση για τις έννοιες της τροπικότητας και τον επιστημονικό λόγο μας για την αναγκαιότητα και τη δυνατότητα. Δεν μπορούν αυτές οι οντότητες να απορρίπτονται καταρχήν με βάση τον ισχυρισμό ότι δεν βρίσκονται σε φυσικές αιτιακές αλληλεπιδράσεις με τους γνώστες τους (ό.π., 114).Έτσι, ο Brown υποστηρίζει ότι δεν μπορεί να απορριφθεί η ύπαρξη των μαθηματικών οντοτήτων με βάση το γεγονός της ακαταλληλότητάς τους στο να σχετίζονται αιτιακά με τον γνώστη. Διότι, ενώ η ίδια η αιτια- κή θεωρία για τη γνώση εμφανίζει προβλήματα, η τροποποι 38 39

8 ημένη μορφή της που προαναφέρθηκε είναι σε θέση να εξηγήσει την υπάρχουσα μαθηματική γνώση, χωρίς να πλήττει τη ρεαλιστική θέση. Όπως αναφέρει ο Brown, οι διάφοροι ρεαλισμοί (π.χ., των συνήθων φυσικών αντικειμένων ή των θεωρητικών οντοτήτων της φυσικής) δεν είναι ισχυρότεροι από τον ρεαλισμό των μαθηματικών αντικειμένων. Για τους επιστημονικούς ρεαλιστές ο ρεαλισμός που αφορά τα συνήθη φυσικά αντικείμενα ή τα μη παρατηρήσιμα φυσικά αντικείμενα είναι μια πολύ καλή εξήγηση (ίσως η καλύτερη δυνατή) για τα δεδομένα της αισθητηριακής αντίληψης. Μπορούμε, ανάλογα, να δεχτούμε την ύπαρξη, π.χ., των μαθηματικών συνόλων για τους ίδιους λόγους για τους οποίους απορρίπτουμε τον Berkeley και δεχόμαστε την ύπαρξη των συνήθων φυσικών αντικειμένων. Δεν έχουμε πιο ισχυρούς λόγους για να κάνουμε το δεύτερο απ ό,τι για να κάνουμε το πρώτο, καταλήγει. Ενώ λοιπόν ο αντιρεαλισμός προβάλλει το επιχείρημα ότι η γνώση των αφηρημένων και αιτιακώς αδρανών αντικειμένων δεν μπορεί να εξηγηθεί δεδομένων των αιτιακών θεωριών, οι Steiner και Brown προσπαθούν να πλήξουν το επιχείρημα καταρρίπτοντας ή τροποποιώντας τις ίδιες τις αιτιακές θεωρίες. Ο πρώτος είναι διατεθειμένος να δεχτεί μια μετριοπαθή εκδοχή της αιτιακής θεωρίας που θα συμπεριλαμβάνει κάποιου τύπου αιτιακές σχέσεις μεταξύ των μαθηματικών αντικειμένων και των πεποιθήσεών μας. Ο δεύτερος απορρίπτει ως λανθασμένη την αιτιακή θεωρία για τη γνώση και θεωρεί εύλογη την ύπαρξη μιας ανάλογης με την αισθητηριακή αντίληψη λειτουργίας, η οποία μας συνδέει με τα μαθηματικά αντικείμενα, χωρίς να προϋποθέτει κάποια αιτιακή φυσική αλληλεπίδραση. β. To a priori της μαθηματικής γνώσης Αλλοι υποστηρικτές του μαθηματικού ρεαλισμού αντιμετωπίζουν διαφορετικά το πρόβλημα. Διαφωνούν με την τακτική επίθεσης εναντίον των αιτιακών θεωριών γνώσης, επειδή θεωρούν ότι η όλη προβληματική σχετικά με τις αιτιακές θεωρίες δεν πρέπει να συνδέεται με τη μαθηματική γνώση. Ο δεύτερος αυτός τύπος αντίδρασης υπεραμύνεται του a priori χαρακτήρα της μαθηματικής γνώσης. Η άποψη ότι η ορθότητα ή μη των αιτιακών θεωριών δεν πρέπει να συνδέεται καθόλου με το πρόβλημα του μαθηματικού ρεαλισμού βασίζεται στο ότι οι αιτιακές θεωρίες αφορούν μόνο την εμπειρική γνώση, επομένως όχι τη μαθηματική.7 Ένας από τους εκπροσώπους αυτής της κατηγορίας είναι ο Jerrold Katz (1995). Υποστηρίζει κατ αρχάς ότι η αιτιακή θεωρία για τη γνώση δεν είναι άμοιρη προβλημάτων και ότι η ισχύς της προϋποθέτει την επιτυχία του προγράμματος του εμπειρισμού, για την οποία ο ίδιος δεν είναι καθόλου αισιόδοξος. Αλλά ακόμα και αν οι αιτιακές θεωρίες είναι βάσιμες, τίποτε δεν μας υποχρεώνει να τις εφαρμόσουμε στην περίπτωση των μαθηματικών. Δεν υπάρχει τίποτε στον φυσικό κόσμο που να μας συνδέει αιτιακά με τους αριθμούς ή τα σύνολα, αλλά αυτό δεν αποκλείει την ύπαρξη κάποιου άλλου τρόπου με τον οποίο έχουμε πρόσβαση στη μαθηματική αλήθεια. Σύμφωνα με τον Katz, η αισθητηριακή αντίληψη και γενικότερα η εμπειρική γνώση παίζει ουσιαστικό ρόλο στην περίπτωση των φυσικών αντικειμένων, επειδή παρέχει πληροφορίες σχετικά με το ποιες δυνατότητες έχουν καταστεί ενεργές στον φυσικό κόσμο μας. Αυτό συμβαίνει -σύμφωνα 7. Μια μεταφορά της προβληματικής του Benacerraf στον ηθικό ρεαλισμό επιχειρήσαμε με τον Στέλιο Βιρβιδάκη το 2008 (στο συνέδριο ECAP6, European Congress of Analytic Philosophy, Krakow)

9 με τον ίδιο- διότι τα ψυσικά αντικείμενα θα μπορούσαν να είναι διαφορετικά απ ό,τι είναι στον κόσμο μας και, επομένως, η αισθητηριακή αντίληψη είναι η βασική πηγή πληροφόρησης από την οποία γνωρίζουμε ποια από τις διάφορες δυνατότητες είναι ενεργοποιημένη στον συγκεκριμένο κόσμο. Για παράδειγμα, κάποιο είδος ζώου συνηθίζει ένα συγκεκριμένο είδος τροφής σε αυτόν τον κόσμο, αλλά όχι σε κάθε δυνατό κόσμο. Η εμπειρία αποκαλύπτει ποιο ακριβώς ενδεχόμενο έχει ενεργοποιηθεί στον οικείο μας κόσμο. Αντίθετα, σύμφωνα με τον Katz, τα αφηρημένα αντικείμενα, π.χ. τα μαθηματικά αντικείμενα, είναι τα ίδια (και με τις ίδιες ιδιότητες) σε όλους τους δυνατούς κόσμους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2 είναι ο μοναδικός πρώτος άρτιος αριθμός σε όλους τους δυνατούς κόσμους. Σημειώνουμε ότι οι απόψεις αυτές παραπέμπουν στον Leibniz και στην αναγκαιότητα των μαθηματικών αληθειών. Ο Katz θεωρεί τις ιδιότητες των μαθηματικών αντικειμένων αναγκαίες και τις αληθείς μαθηματικές προτάσεις αναγκαία αληθείς. Τα μαθηματικά αντικείμενα παρουσιάζουν γι αυτόν μια σταθερότητα σε όλους τους δυνατούς κόσμους. Η σταθερότητα αυτή των μαθηματικών ιδιοτήτων και αληθειών θα καθιστούσε περιττή την ανάγκη ύπαρξης μιας ικανότητας παρόμοιας με την αισθητηριακή αντίληψη, χάρη στην οποία θα μπορούσαμε να πληροψορηθούμε, μεταξύ κάποιων δυνατοτήτων, ποιες είναι ενεργοποιημένες στον συγκεκριμένο κόσμο που ζούμε. Εδώ δεν χρειάζεται κάτι τέτοιο. Αντίθετα, θεωρείται απαραίτητη στην περίπτωση αυτή μια θεμελιώδης νοητική λειτουργία με την οποία γινόμαστε ικανοί να συλλαμβάνουμε τις (αναγκαίες) μαθηματικές αλήθειες.8 8. Στο σημείο αυτό θα ωφελούσε ο έλεγχος των παραπάνω απόψεων με βάση την κριτική που αναπτύσσει ο Αναπολιτάνος (1985,106-7) στη θέση του Leibniz για Ο Katz δίνει στις απόψεις του το όνομα «ρασιοναλιστική γνωσιολογία» ή «ρεαλιστικός ρασιοναλισμός» (1998, 25-6). Η μαθηματική γνώση είναι γι αυτόν καθαρά μη εμπειρική και ο ανθρώπινος λόγος είναι το μοναδικό μέσο απόκτησής της. Ο ίδιος δέχεται διάφορες λειτουργίες του λόγου, όπως για παράδειγμα τον παραγωγικό συλλογισμό. Όμως, στο βασικό επίπεδο της πρόσληψης των στοιχειωδών ιδιοτήτων και σχέσεων των μαθηματικών αντικειμένων, η κύρια λειτουργία του λόγου είναι η μαθηματική εποπτεία. Ο Katz έχει τη γνώμη πως ο Godel έδειξε στους ρεαλιστές τη σωστή κατεύθυνση, μιλώντας για μια αντίστοιχη προς την αισθητηριακή αντίληψη λειτουργία, η οποία όμως είναι καθαρά λειτουργία του Λόγου. Ο ίδιος κατανοεί τη λειτουργία της εποπτείας ως άμεση κατανόηση της δομής των αφηρημένων αντικειμένων και επισημαίνει με έμφαση ότι η εποπτεία δεν έχει σχέση με οποιουδήποτε τύπου δράση αντικειμένων πάνω στα αισθητηριακά όργανα του γνώστη - κάτι το οποίο και ο Godel είχε την αναλυτικότητα των μαθηματικών αληθειών. Όπως σημειώνει, οι (κατά Leibniz) «αληθείς σε κάθε δυνατό κόσμο προτάσεις αντιστοιχούν στις λογικά έγκυρες προτάσεις μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας. Στη λογική, ονομάζουμε λογικά έγκυρες τις προτάσεις μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας οι οποίες είναι αληθείς σε κάθε δυνατή δομή-ερμηνεία της γλώσσας αυτής. Ο ισχυρισμός ότι γενικά οι μαθηματικές προτάσεις είναι αληθείς σε κάθε δυνατό κόσμο είναι λανθασμένος, διότι σε σύγχρονη γλώσσα, είναι ισοδύναμος με τον επίσης λανθασμένο ισχυρισμό ότι οι μαθηματικές προτάσεις είναι όλες λογικά έγκυροι τύποι (δηλαδή τύποι αληθείς σε κάθε δομή-ερμηνεία της γλώσσας) [...] η αλήθεια των μαθηματικών προτάσεων εξαρτάται από τη σημασιολογική δομή-ερμηνεία της γλώσσας και το αντίστοιχο σύμπαν στο οποίο την εξετάζουμε». [...] «Το ακριβές ανάλογο ενός κατά Leibniz δυνατού κόσμου είναι η δομή ή ερμηνεία μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας. Μια δομή λέγεται μοντέλο μιας μαθηματικής θεωρίας, αν τα αξιώματα της θεωρίας είναι αληθή στη δομή αυτή» (ό.π 108). Περαιτέρω, εκείνες οι μαθηματικές προτάσεις που αποδεικνύονται ως θεωρήματα από τα αξιώματα μιας μαθηματικής θεωρίας διατυπωμένης σε πρωτοβάθμια γλώσσα είναι αληθείς σε όλα τα μοντέλα της θεωρίας. Όμως, χρειάζεται να ληφθεί υπόψη ότι υπάρχουν επίσης οι μη αποκρίσιμες (μη αποφασίσιμες) προτάσεις, οι οποίες δεν αποδεικνύονται ούτε οι ίδιες ούτε οι αρνήσεις τους από τα αξιώματα (στο πλαίσιο της θεωρίας στην οποία περιλαμβάνονται). Αυτές είναι αληθείς σε κάποιο/α μοντέλο/α, όχι όμως σε όλα

10 ΤΑ ΔΙΛΗΜΜΑΤΑ TOY PAUL BENACERRAF διευκρινίσει. Υπερασπιζόμενος, μάλιστα, την γκεντελιανή αυτή έννοια απέναντι σε ειρωνικές επικρίσεις, απαντά ότι δεν έχουμε να κάνουμε με κάποιου είδους μυστικισμό, αλλά με ένα φιλοσοφικό μυστήριο, το οποίο άλλωστε δείχνει να απασχολεί σοβαρά και τους επικριτές αυτής της υπόθεσης. Πέρα από την υπεράσπιση μιας εκδοχής της μαθηματικής εποπτείας, η επιμονή του Katz στον αναγκαίο χαρακτήρα των μαθηματικών αληθειών (που ισχύουν σε κάθε δυνατό κόσμο) χρειάζεται προσοχή. Ενδεχομένως ο ίδιος να προϋποθέτει κατηγορικές μαθηματικές θεωρίες. Σε αυτές τα μοντέλα είναι ισόμορφα, γι αυτόν τον λόγο μια κατηγορική θεωρία έχει ένα μοντέλο (μέχρι ισομορφισμού). Στις μη κατηγορικές μαθηματικές θεωρίες εμφανίζονται, εκτός των καθιερωμένων/ορθόδοξων μοντέλων και μη καθιερωμένα/ανορθόδοξα μοντέλα. Κατά συνέπεια, αν θεωρηθεί ότι ένας κατά Katz «δυνατός κόσμος» είναι ένα μοντέλο, δεν είναι εύκολο να υποστηριχθεί η άποψη ότι τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες σε κάθε δυνατό κόσμο.9 Επιπλέον, ο ίδιος δεν λαμβάνει υπόφη την ύπαρξη μη αποκρίσιμων/μη αποφασίσι- μων προτάσεων, όπως η Υπόθεση του Συνεχούς10 για τη θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel με το αξίωμα επιλογής (ZFC). Ένας άλλος υποστηρικτής του a priori χαρακτήρα της μαθηματικής γνώσης, ο Bob Hale (1987,124),11 διατηρεί αρκετές 9. Οι μη κατηγορικές θεωρίες είναι και οι συνηθέστερες από άποψη μαθηματικού ενδιαφέροντος. 10. Η Υπόθεση του Συνεχούς (The Continuum Hypothesis (CH)) είναι η πρόταση: 2* = ΝΓ Ο αριθμός 2* είναι ο πληθάριθμος του συνεχούς, δηλαδή ο πληθάριθμος της πραγματικής ευθείας. Σύμφωνα με την Υπόθεση του Συνεχούς, ο ες, δηλαδή ο αμέσως επόμενος άπειρος πληθάριθμος μετά τον Ν0, είναι ίσος με τον πληθάριθμο του συνεχούς. 11. Οι απόψεις αυτές του Hale (1987) εξελίχθηκαν όταν μαζί με τον Wright ανέπτυξαν το πρόγραμμα του νεοφρεγκεανισμού/νεολογικισμού. Για την αντιμετώπιση της προβληματικής Benacerraf στο πλαίσιο του νεοφρεγκεανισμού, βλ. κεφάλαιο 2. Η ΓΝΠΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΡΕΑΛΙΣΜΟ εττιψυλάξεις για την υπόθεση της γκεντελιανής μαθηματικής εποπτείας, καθώς και κάθε παρόμοιας υπόθεσης που επιχειρεί να προτείνει έναν «αντίστοιχο» ή «παράλληλο» ή «ανάλογο» προς την αισθητηριακή αντίληψη τρόπο πρόσβασης στη μαθηματική πραγματικότητα. Πιστεύει ότι μια αντιστοιχία αυτού του είδους δεν είναι βάσιμη, διότι στην περίπτωση της αισθητηριακής αντίληψης υπάρχει πραγματικά μια αιτιακή επίδραση. Αυτό αποκλείεται, σύμφωνα με τον Hale, να υποστηριχθεί στην περίπτωση των αντικειμένων της θεωρίας συνόλων, τα οποία δεν είναι δυνατό να συμμετέχουν σε σχέσεις αιτιακού τύπου. Θεωρεί, λοιπόν, ότι η έννοια της εποπτείας θα έπρεπε να αποδεσμευτεί εντελώς από το μοντέλο της αναλογίας με την αισθητηριακή αντίληψη και να βασιστεί περισσότερο σε μη αισθητηριακές χρήσεις των ρημάτων της αντίληψης - όπως η παρατήρηση ότι αυτό έπεται εκείνου ή ότι δεν μπορεί κανείς ποτέ να σταματήσει τη μέτρηση των φυσικών αριθμών κ.λπ. Ο φανερός και φυσικός τρόπος εξήγησης της γνώσης αληθειών για αφηρημένα αντικείμενα είναι σε αυτή την περίπτωση ότι ο ρεαλιστής τα αναγνωρίζει, διακρίνοντας με αμεσότητα τις εννοιολογικές διασυνδέσεις τους και στη συνέχεια παράγει μέσω του συλλογισμού τις πιο σύνθετες αλήθειες από τις βασικές. Σε μια διευθέτηση αυτού του είδους παραμένει φυσικά κρίσιμη η σχέση μεταξύ α) της ανάγνωσης των μαθηματικών προτάσεων ως περιγραφών των ιδιοτήτων και των σχέσεων, κάποιων ανεξάρτητων από τον νου, αφηρημένων αντικειμένων και β) της ανάγνωσης των ίδιων προτάσεων με βάση την αντιμετώπιση της αλήθειας τους ως «εσωτερικού της γλώσσας» ζητήματος, αποτελέσματος δηλαδή γλωσσικών και εννοιολογικών συμβάσεων

11 Γ. Ο μαθηματικός ρεαλισμός και η ψυσικοποιημένη φιλοσοφία Έναν διαφορετικό τρόπο αντιμετώπισης του προβλήματος προτείνει η «ψυσικοποιημένη» [naturalized] εκδοχή του μαθηματικού ρεαλισμού. Η πιο αντιπροσωπευτική περίπτωση είναι αυτή της Maddy (1990), η οποία, σε αντίθεση με τους προηγούμενους ρεαλιστές, επιχειρεί να εντάξει τα μαθηματικά αντικείμενα στο χωροχρονικό πλαίσιο και να τα παρουσιάσει ως ενεργά από την άποψη των αιτιακών αλληλεπιδράσεων. Έτσι, ο ψυσικοποιημένος ρεαλισμός της θεωρεί τις μαθηματικές οντότητες κάθε άλλο παρά απομονωμένες από το χωροχρονικό σύμπαν. Υποστηρίζει ότι αυτές είναι τοποθετημένες στον χώρο και τον χρόνο και ότι βρίσκονται σε φυσική (αιτιακή) σχέση με τον γνώστη τους. Με τη θεωρία αυτή η Maddy προσπαθεί να υπερασπιστεί τον μαθηματικό ρεαλισμό απέναντι σε αντιρεαλιστές, όπως ο σύγχρονος νομιναλιστής Field, που υποστηρίζουν ότι λόγω της ακαταλλη- λότητας των υποτιθέμενων μαθηματικών οντοτήτων να βρεθούν σε οποιαδήποτε φυσική σχέση με τον γνώστη τους δεν θα ήταν ποτέ δυνατό να τις γνωρίσουμε, ακόμα και αν πραγματικά υπήρχαν. Όπως προαναψέρθηκε, η άποψη της M addy εντάσσεται σε μια ψυσικοποιημένη αντίληψη για τη φιλοσοφία, η οποία γενικά προϋποθέτει μια «επίπλωση» του σύμπαντος από φυσικά αντικείμενα, δηλαδή χωροχρονικά αντικείμενα των οποίων η γνώση δεν μπορεί να προέρχεται από πηγές ξένες και μεθόδους ασυμβίβαστες προς εκείνες των φυσικών επιστημών. Η ψυσικοποιημένη ή νατουραλιστική φιλοσοφία [naturalized philosophy] έχει υποστηριχθεί κυρίως από τον W.V.O. Quine, ο οποίος άσκησε κριτική στη συμβα- σιοκρατική αντίληψη για τα μαθηματικά, η οποία είχε προ ηγουμένως υποστηριχθεί από τον Rudolf Carnap. Σύμφωνα με απόψεις του τελευταίου, τα μαθηματικά και η λογική αποτελούν τις «τυπικές» επιστήμες, μια κατηγορία επιστημών που διακρίνεται από την κατηγορία των «εμπειρικών» επιστημών (π.χ., φυσική, χημεία, βιολογία κ.ά.). Η αλήθεια των προτάσεων των τυπικών επιστημών είχε θεωρηθεί αποτέλεσμα συμβάσεων (Achinstein & Barker, 1969), ενώ από την άλλη πλευρά οι εμπειρικές επιστήμες χρησιμοποιούσαν τις εμπειρικές μεθόδους, την παρατήρηση, το πείραμα κ.λπ. Η διάκριση μεταξύ «τυπικών» και «εμπειρικών» επιστημών βασιζόταν στη διάκριση μεταξύ αναλυτικών και συνθετικών προτάσεων. Οι λογικοί εμπειριστές πίστευαν ότι οι μαθηματικές προτάσεις δεν παρέχουν νέες πληροφορίες (δεν έχουν πληροφοριακό περιεχόμενο). Δεν υποτιμούσαν την πρακτική αξία τους, όμως πίστευαν ότι, λόγω της αναλυτικότητάς τους, δεν προσθέτουν νέες πληροφορίες, αλλά το μόνο που κάνουν είναι απλώς να καθιστούν φανερές, μέσω της παραγωγής, κάποιες αλήθειες που βρίσκονται αθέατες ήδη στις αρχικές υποθέσεις (Hempel, 1983).12 Ο Quine, ωστόσο, στο άρθρο του «Two Dogmas of Empiricism» (1951) άσκησε κριτική στη διάκριση μεταξύ αναλυτικών και συνθετικών προτάσεων, ενώ εξέφρασε την πλήρη διαφωνία του προς τη συμβασιοκρατική αντίληψη για τις μαθηματικές επιστήμες στα άρθρα του «Truth by Convention» και «Carnap and Logical Truth».13 O Quine αντέταξε ένα ολιστικό σχήμα, ένα «δίχτυ πεποιθήσεων» για τις επιστήμες της φύσης. Σε αυτό το δίχτυ μπορεί κανείς να παρατηρήσει ένα συνεχές από διαβαθμίσεις, 12. Hempel, C., «On the nature of mathematical truth», στο Benacerraf & Putnam (1983) Philosophy of Mathematics, ό.π., Περιλαμβάνονται στον τόμο των Benacerraf & Putnam (1983), ό.π., και , αντίστοιχα

12 το οποίο ξεκινά από τις προτάσεις εκείνες που συνδέονται περισσότερο με την εμπειρική παρατήρηση και καταλήγει στις πιο θεωρητικές προτάσεις, αυτές που είναι ιδιαίτερα απομακρυσμένες από το επίπεδο της εμπειρίας. Από αυτή την οπτική γωνία οι διαφορές που εμφανίζονται μεταξύ των μαθηματικών προτάσεων, των θεωρητικών φυσικών προτάσεων και των πλησιέστερων προς την εμπειρική παρατήρηση προτάσεων είναι για τον Quine διαφορές βαθμού και όχι διαφορές είδους, διότι η επιστήμη είναι ενιαία και όλες ανεξαιρέτως οι θεωρίες ελέγχονται τελικά από την εμπειρία. Επιπλέον, ο Quine άσκησε κριτική στην έννοια του γλωσσικού πλαισίου του Carnap και έδειξε την αβασιμότητα της διάκρισης μεταξύ «εσωτερικών» και «εξωτερικών» υπαρκτικών ερωτήσεων ως προς το γλωσσικό πλαίσιο, αποκαλύπτοντας τα προβλήματα που αυτή εμφανίζει σε τεχνικό επίπεδο.14 Σύμφωνα λοιπόν με τον Quine (1969), πρέπει να παραδεχτούμε ότι αναπόσπαστο μέρος των επιστημονικών θεωριών μας, δηλαδή της καλύτερης δυνατής περιγραφής που διαθέτουμε για τον κόσμο, αποτελεί μια οντολογία φυσικών αντικειμένων και στη συνέχεια μια οντολογία μη παρατηρήσιμων οντοτήτων. Με βάση αυτή την προσέγγιση, μπορούμε να δεχτούμε, επίσης, την οντολογία των μαθηματικών αντικειμένων (π.χ., των συνόλων) ως εξίσου αναγκαίων για τη συγκρότηση των επιστημονικών θεωριών μας [indispensability argument: επιχείρημα αναγκαιότητας] Αποκαλύπτει τα προβλήματα της διάκρισης μεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών ως προς το πλαίσιο ερωτήσεων που κάνει ο Carnap στο άρθρο Quine (1951) «On Carnap s Views on Ontology», Philosophical Studies 2(5), Εκφράζει την αντίθεσή του στις προσπάθειες αντιμετώπισης των υπαρκτικών ερωτήσεων μέσα σε αυστηρά γλωσσικά πλαίσια, επιχειρηματολογώντας για τη σχετικότητα που χαρακτηρίζει τον προσδιορισμό της οντολογίας μιας επιστημονικής θεωρίας. 15. Σήμερα επικρατεί ο όρος «επιχείρημα του αναπόδραστου». Βάση για τον μαθηματικό ρεαλισμό της Maddy αποτελούν τα επιχειρήματα των Quine και Putnam σχετικά με την αναγκαιότητα αποδοχής μιας οντολογίας μαθηματικών αντικειμένων για τη συγκρότηση της καλύτερης δυνατής θεωρίαςπεριγραφής για τον κόσμο. Σύμφωνα με τον Quine, δεχόμαστε την ύπαρξη των συνήθων φυσικών αντικειμένων και, ακόμα περισσότερο, των μη παρατηρήσιμων φυσικών οντοτήτων με σκοπό την καλύτερη οργάνωση των δεδομένων μας και τη συγκρότηση των επιστημονικών θεωριών μας. Ανάλογα δεχόμαστε, επίσης, την οντολογία των μαθηματικών αντικειμένων (π.χ., των πραγματικών αριθμών και των συνόλων). Μπορούμε να δεχτούμε την οντολογία των μαθηματικών αντικειμένων (π.χ., των συνόλων) ως αναπόσπαστο μέρος της γενικότερης οντολογίας μιας επιστημονικής θεωρίας. Αποδεχόμενοι όλες αυτές τις οντότητες, επιτυγχάνουμε την τακτοποίηση των ασύνδετων κομματιών της εμπειρίας μας με τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Ωστόσο δεν θα μπορούσαμε να κάνουμε διαφορετικά, συμπληρώνει ο Putnam, αφού χωρίς τα μαθηματικά είναι αδύνατη η διατύπωση των επιστημονικών θεωριών μας. Ο Putnam, λοιπόν, ενισχύει την άποφη του Quine για την αναγκαιότητα των μαθηματικών αντικειμένων ως στοιχείων της οντολογίας των επιστημονικών θεωριών, υποστηρίζοντας ότι όχι μόνο έχουμε το δικαίωμα να δεχτούμε την ύπαρξη των μαθηματικών οντοτήτων ως μέρος της καλύτερης δυνατής επιστημονικής περιγραφής που διαθέτουμε για τον κόσμο, αλλά είμαστε υποχρεωμένοι εκ των πραγμάτων να το κάνουμε. Αυτό συμβαίνει διότι όχι μόνο τα μαθηματικά συμβάλλουν στη συγκρότηση και διατύπωση των επιστημονικών θεωριών μας, αλλά, ακόμα περισσότερο, οι επιστημονικές θεωρίες δεν θα μπορούσαν να συγκροτηθούν χωρίς τα μαθηματικά (βλ. Putnam, 1979, 60-78)

13 H Maddy (1990) επικαλείται τα παραπάνω επιχειρήματα για να δικαιολογήσει τη ρεαλιστική θέση της για τις μαθηματικές συνολοθεωρητικές οντότητες. Στη συνέχεια επιχειρεί να υποστηρίξει την άποψη ότι προσλαμβάνουμε τα μαθηματικά αντικείμενα με αισθητηριακό τρόπο. Οι μαθηματικές οντότητες είναι για τη Maddy απολύτως ενταγμένες στο χωροχρονικό σύμπαν, όπως ακριβώς και οι φυσικές οντότητες. Πρέπει εδώ να σημειώσουμε ότι ο ρεαλισμός της είναι συνολοθεωρητικός με την έννοια ότι κατ αρχάς πραγματεύεται το θέμα της με βάση τα σύνολα και στη συνέχεια εξετάζει τη σχέση των συνόλων με τους φυσικούς και τους πραγματικούς αριθμούς. Τα σύνολα της Maddy ανήκουν σε μία από τις ακόλουθες κατηγορίες: είναι σύνολα φυσικών αντικειμένων, σύνολα τα οποία έχουν ως στοιχεία τους σύνολα φυσικών αντικειμένων ή πιο σύνθετα σύνολα που έχουν ως στοιχεία τους σύνολα της προηγούμενης κατηγορίας κ.ο.κ. Τα σύνολα όλων αυτών των κατηγοριών χαρακτηρίζονται ως «μη καθαρά» [impure] με την έννοια ότι η συνολοθεωρητική ιεραρχία βασίζεται τελικά σε σύνολα φυσικών αντικειμένων και μόνο. Αντίθετα, το 0 δεν συμπεριλαμβάνεται στην οντολογία της Maddy ούτε και σύνολα του τύπου {0}, { {0} }, {0, {0}}. Ο εξοστρακισμός του κενού συνόλου θεωρείται νόμιμος με βάση το επιχείρημα ότι το κενό σύνολο μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει εισαχθεί για λόγους απλοποίησης και διευκόλυνσης των συνολοθεωρητικών πράξεων, ως δηλαδή συμβατικό σύμβολο (βλ. Maddy, 1990,156-7).Έτσι, ο συνολοθεωρητικός ρεαλιστής της Maddy μπορεί να κτίσει την ιεραρχία των «μη καθαρών» [impure] συνόλων του ξεκινώντας από το σύνολο όλων των μεμονωμένων φυσικών αντικειμένων και κατασκευάζοντας στη συνέχεια τα υπόλοιπα σύνολα μέσω της πράξης του δυναμοσυνόλου - παραλεί- ποντας όμως κάθε φορά το κενό σύνολο. Η οντολογία αυτή διευκολύνει την τοποθέτηση από τη Maddy των μαθηματικών αυτών αντικειμένων στο χωροχρονικό πλαίσιο: ένα σύνολο τοποθετείται στον χώρο και τον χρόνο εκεί όπου βρίσκονται τοποθετημένα τα στοιχεία του. Για παράδειγμα, το σύνολο με τα πενήντα δύο χαρτιά της τράπουλας καταλαμβάνει τον χώρο όπου βρίσκεται η τράπουλα. Το σύνολο των φυσικών αντικειμένων προσλαμβάνεται αισθητηριακά. Η Maddy υποστηρίζει την άποψή της έναντι πιθανών αντιρρήσεων. Για παράδειγμα, η ύπαρξη ενός συνόλου φυσικών αντικειμένων υποστηρίζεται με βάση τα επιχειρήματα των Quine και Putnam σχετικά με την αναγκαιότητα της αποδοχής μαθηματικών οντοτήτων για τη συγκρότηση και τη διατύπωση των επιστημονικών θεωριών μας. Το γιατί αυτό που προσλαμβάνεται είναι ένα σύνολο φυσικών αντικειμένων (και όχι, π.χ., ένα άθροισμα φυσικών αντικειμένων ή απλώς τα φυσικά αντικείμενα) αποτελεί επίσης ερώτημα. Η Maddy ισχυρίζεται, ωστόσο, ότι τα πράγματα δεν είναι απλούστερα στην περίπτωση της πρόσληψης φυσικών αντικειμένων. Στην περίπτωση αλληλεπίδρασης του γνώστη με ένα φυσικό αντικείμενο πρόκειται απλώς για την πρόσληψη μιας ελάχιστης επιφάνειας του φυσικού αντικειμένου, όπως αυτή δίνεται σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Δεν αλληλεπιδρούμε φυσικά με ολόκληρο το φυσικό αντικείμενο. Αυτό που προσλαμβάνουμε δεν είναι τίποτε περισσότερο από μια «πολύ λεπτή χωροχρονική φέτα» του φυσικού αντικειμένου. Η σχέση αυτής της χωροχρονικής φέτας με το όλο φυσικό αντικείμενο δεν είναι σαφέστερη από τη σχέση ανάμεσα σε ένα μέλος και στο σύνολό του (ό.π., 168). Ουσιαστικά, αυτό που στην πραγματικότητα προσλαμβάνουμε είναι «κάτι που καταλαμβάνει τον χώρο και διεγείρει τις αισθήσεις μας». Το αν αυτό το «κάτι» θεωρηθεί ότι είναι δέσμες αισθητηριακών 50 51

14 δεδομένων ή κάποιο υλικό που αποτελείται από άτομα ή είναι οργανωμένο κατά τον έναν ή τον άλλο τρόπο αποτελεί ζήτημα θεωρητικής τάξης, ζήτημα επιλογής επιστημονικής θεωρητικής τοποθέτησης και όχι κάτι που προσδιορίζεται άμεσα μέσω των αισθήσεων. Στην περίπτωση του συνόλου -ισχυρίζεται η M addy- προσλαμβάνουμε «κάτι που έχει μια αριθμητική ιδιότητα», «κάτι που μπορεί να συνδυαστεί με τα όμοιά του», «κάτι που μπορεί να υποδιαιρεθεί» κ.λπ. και είναι ζήτημα θεωρητικής επιλογής το εάν αυτό θα το θεωρήσουμε σύνολο, άθροισμα, κλάση ή οτιδήποτε άλλο. Η ίδια η αισθητηριακή αντίληψη δεν μας ξεκαθαρίζει τι ακριβώς είναι αυτό το «κάτι» που ερεθίζει τις αισθήσεις μας - είτε πρόκειται για φυσικό υλικό είτε για μαθηματικό αντικείμενο. Για να το προσδιορίσουμε, χρειάζεται να ανατρέξουμε στις καλύτερες δυνατές επιστημονικές θεωρίες που διαθέτουμε για τον κόσμο. Και είναι γεγονός ότι, σύμφωνα με τις καλύτερες επιστημονικές θεωρίες μας, τα σύνολα και όχι τα αθροίσματα έχουν αναδειχθεί ως τα πιο θεμελιώδη μαθηματικά αντικείμενα - όπως κατ αναλογία, στη φυσική επιστήμη, τα άτομα των φυσικών και όχι οι μπερκλεϊνιανές δέσμες της αισθητηριακής εμπειρίας προτιμώνται και επιλέγονται ως οι πιο κατάλληλες θεωρητικές φυσικές οντότητες (ό.π., 60-1). Επιπλέον, εγκαταλείποντας τις παραδοσιακές εκδοχές του μαθηματικού ρεαλισμού, προτείνει μια εναλλακτική άποφη για τη μαθηματική εποπτεία. Αναφέρεται, συγκεκριμένα, στον σχηματισμό πεποιθήσεων εποπτείας σχετικά με τις στοιχειώδεις ιδιότητες των συνόλων, αλλά και γενικότερα των πραγμάτων, με τον όρο «πεποιθήσεις εποπτείας» (ό.π., 70). Τις πεποιθήσεις αυτές η Maddy τις αποκαλεί «πρωταρχικές», επειδή δημιουργούνται σε εξαιρετικά πρώιμα στάδια της γνώσης των πραγμάτων. Σχηματίζονται όταν το υποκείμενο επιτυγχάνει, μέσω της επανάληψης νευρικών ερεθισμάτων, να σχηματίσει τη συνολική εικόνα ενός γεωμετρικού σχήματος ή τη γενική αντίληψη ενός συνόλου, της υποδιαίρεσής του, της τομής και της ένωσης συνόλων, του δυναμοσυνόλου κ.λπ. Μια πρωταρχ^ή πεποίθηση είναι, παραδείγματος χάριν, ότι τα σύνολα έχουν αριθμητικές ιδιότητες, ότι η αριθμητική ιδιότητα ενός συνόλου δεν αλλάζει όταν τα στοιχεία του αναδιαταχθούν, ότι από ένα σύνολο μπορούν να προκύψουν υποσύνολα και να συνδυαστούν μεταξύ τους με διάφορους τρόπους κ.λπ. Έτσι, αναφέρεται σε ένα είδος «μη καθαρού (ή νοθευμένου από την εμπειρία) a priori» [impurely a priori] σχετικά με το οποίο διευκρινίζει ότι δεν είναι αλάνθαστο, γι αυτό οι πεποιθήσεις εποπτείας χρειάζονται συνεχώς έλεγχο: «χωρίς την επιβεβαίωση που παρέχει η κατάλληλη θεωρητική υποστήριξη, καμία πεποίθηση εποπτείας δεν μπορεί να μετρήσει σαν κάτι περισσότερο από μια απλή εικασία» (ό.π., 74). Ως παράδειγμα πεποίθησης εποπτείας αναφέρει, επίσης, τη διαισθητική «αρχή της συμπερίληψης», σύμφωνα με την οποία κάθε ιδιότητα προσδιορίζει ένα σύνολο αντικειμένων. Η υιοθέτηση αυτής της αρχής οδήγησε σε σοβαρά προβλήματα τη μαθηματική δραστηριότητα των αρχών του 20ού αιώνα,16 γι αυτό και αργότερα τροποποιήθηκε. Μια αντίρρηση στην εν λόγω προσέγγιση είναι η ακόλουθη: Ένας παρατηρητής που βλέπει ένα μήλο βλέπει επίσης ένα μονοσύνολο με στοιχείο το μήλο. Το μονοσύνολο είναι τοποθετημένο στον χώρο εκεί όπου βρίσκεται το φυσικό αντικείμενο μέλος του. Στο ερώτημα πώς διαφοροποιείται το 16. Η ανεξέλεγκτη χρήση ιδιοτήτων για την περιγραφή συνόλων θεωρήθηκε υπεύθυνη για την εμφάνιση των μαθηματικών παραδόξων, γι αυτό και η «αρχή της συμπερίληψης» περιορίστηκε με κατάλληλο τρόπο στο πλαίσιο της κατά Zermelo- Fraenkel θεωρίας συνόλων (βλ. Αναπολιτάνος, 1985, 213)

15 μήλο από το μονοσύνολό του η Maddy απαντά ότι δεν υπάρχει λόγος να επιμείνουμε στην ύπαρξη κάποιας διαφοράς μεταξύ του φυσικού αντικειμένου (a) και του μονοσυνόλου ({a}), αλλά μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αυτά ταυτίζονται. Μοναδικό κίνητρο για την επιμονή σε μια διάκριση μεταξύ τους είναι η προσήλωση ορισμένων φιλοσόφων σε έναν αυστηρό δυϊσμό μεταξύ φυσικού και μαθηματικού κόσμου. Η ίδια επιλέγει να αντιμετωπίζει ένα φυσικό αντικείμενο ως επίσης μαθηματικό αντικείμενο. Ο μονισμός της Maddy θεωρεί τον κόσμο φυσική και μαθηματική πραγματικότητα ταυτόχρονα, βλέπει δηλαδή δύο εκδοχές του κόσμου αναπόσπαστα δεμένες μεταξύ τους. Η Maddy ονομάζει τη θεωρία της «φυσικοποιημένο πλατωνισμό», όπως όμως η ίδια παρατηρεί, η προσέγγισή της είναι περισσότερο αριστοτελική παρά πλατωνική, αφού οι μαθηματικές της οντότητες ενυπάρχουν στα φυσικά αντικείμενα. Συμπληρώνει, ωστόσο, ότι η χρήση του όρου «μαθηματικός πλατωνισμός» είθισται να συνδέεται παραδοσιακά με κάθε άποψη που δέχεται την αντικειμενική ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων, μια άποψη που και η ίδια προσπαθεί να υποστηρίξει. Εντάσσει τον φυσικοποιημένο ρεαλισμό της σε ένα γενικότερο πλαίσιο απόψεων που στοιχειοθετούν μια μετριοπαθή, αλλά σημαντική εκδοχή του σύγχρονου μαθηματικού ρεαλισμού. Χαρακτηριστικό γνώρισμα του συγκεκριμένου τύπου απάντησης στο πρόβλημα της μαθηματικής γνώσης είναι η απομάκρυνση από το παραδοσιακό πρότυπο του μαθηματικού ρεαλισμού, που θεωρεί τα μαθηματικά αντικείμενα ανεξάρτητα του χωροχρονικού πλαισίου και μη συμμετέχοντα σε φυσικές αλληλεπιδράσεις. Ανακεφαλαιώνοντας, διαθέτουμε γενικά τρεις τύπους απάντησης στο πρόβλημα που θέτει ο Benacerraf στο άρθρο του «Mathematical Truth» για τον μαθηματικό ρεαλισμό: α) απόρριψη των αιτιακών θεωριών γνώσης, β) επίκληση του a priori χαρακτήρα της μαθηματικής γνώσης και μιας δυνατότητας πρόσβασης στις στοιχειώδεις μαθηματικές αλήθειες μέσω της εποπτείας καιγ) νατουραλιστική προσέγγιση στα μαθηματικά αντικείμενα, ώστε το γνωσιολογικό πρόβλημα για την περίπτωση των μαθηματικών να καθίσταται παρόμοιο με εκείνο των άλλων περιοχών γνώσης. Κατ αρχάς, σε ό,τι αφορά τον πρώτο τύπο απάντησης, ακόμα και αν θεμελιωθεί σε ισχυρότατα επιχειρήματα, δεν λύνει το πρόβλημα του μαθηματικού ρεαλισμού. Πράγματι, όπως παρατηρεί και ο αντιρεαλιστής Field, η γνωσιολογική πρόκληση στον μαθηματικό ρεαλισμό δεν συνδέεται στενά με τις αιτιακές θεωρίες γνώσης. Το πρόβλημα δεν περιορίζεται στο ότι οι μαθηματικές οντότητες δεν μπορούν να συμμετάσχουν σε αιτιακές αλληλεπιδράσεις με τον γνώστη τους και να προκαλέσουν τις πεποιθήσεις του. Οι αντιρρήσεις των νατουραλιστών αντιρεαλιστών προέρχονται από την ακαταλληλότητα των μαθηματικών αντικειμένων να βρεθούν σε οποιουδήποτε είδους φυσική σχέση με τον γνώστη τους, χάρη στην οποία θα μπορούσε να εξηγηθεί ο τρόπος με τον οποίο ο γνώστης αποκτά πληροφορίες γι αυτά.έτσι, ακόμα και αν οι αιτιακές θεωρίες εγκαταλειφθούν εντελώς, το πρόβλημα παραμένει. Για τον Field, ακόμα και αν υπήρχαν σύνολα ή αριθμοί, δεν θα μπορούσαμε ποτέ να τα γνωρίσουμε. Έχουμε, επομένως, μια χαρακτηριστική περίπτωση στην οποία ο ισχυρισμός για την ύπαρξη κάποιων οντοτήτων υπονομεύεται από τη διαπίστωση ότι τέτοιου είδους οντότητες δεν μπορεί να αποτελούν αντικείμενο γνώσης. Με άλλα λόγια, μια οντολογική θέση πλήττεται επιστημολογικά. Ας σημειωθεί ότι ο Field εκθέτει τις αντιρεαλιστικές απόψεις του περί μαθηματικών στο βιβλίο του Science Without Numbers (1980), όπου 54 55

16 και επιτίθεται κατά των επιχειρημάτων του Putnam για την αναγκαιότητα της μαθηματικής οντολογίας στη συγκρότηση και διατύπωση των επιστημονικών θεωριών [indispensability arguments]. Υποστηρίζει ότι οι επιστημονικές θεωρίες μπορούν να διατυπωθούν και χωρίς τα μαθηματικά. Θεωρεί ότι τα μαθηματικά είναι χρήσιμα λόγω μιας ιδιότητας που αποδίδεται ως συντηρητικότητα [conservativeness]. Σύμφωνα με τον Field, οι λογικές συνέπειες μιας επιστημονικής θεωρίας που είναι μαθηματικοποιημένη αποτελούν ήδη συνέπειες της μη μαθηματικοποιημένης (νομιναλιστικά διατυπωμένης) εκδοχής της θεωρίας. Τα μαθηματικά μεσολαβούν απλώς για να διευκολύνουν την παραγωγή νομιναλιστικών συνεπειών από νομιναλιστικά διατυπωμένες προκείμενες. Πώς, όμως, μπορεί να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα που θέτει ο Benacerraf για τον ρεαλισμό; Ο δεύτερος και ο τρίτος τύπος απάντησης παρουσιάζουν εντελώς διαφορετικές αφετηρίες. Γενικά, οι δύο τελευταίοι τύποι απάντησης στο πρόβλημα κινούνται στο πλαίσιο δύο βασικών τοποθετήσεων του μαθηματικού ρεαλισμού. Ο ρεαλισμός του Godel είναι κυρίαρχος στη σκέφη των εκπροσώπων που αντιδρούν εντός του πλαισίου της απάντησης (β). Πρόκειται για έναν ρεαλισμό που διατηρεί την παραδοσιακή απόσταση των μαθηματικών αντικειμένων από το χωροχρονικό σύμπαν, καθώς και την απαίτηση για το a priori της μαθηματικής γνώσης. Γι αυτό και υποχρεώνεται να καταφύγει στην πρόταση ενός αναλόγου της αισθητηριακής αντίληφης, δηλαδή της μαθηματικής εποπτείας. Η εν λόγω λειτουργία δέχτηκε την κριτική των αντιρεαλιστών, όπως προαναφέρθηκε. Μολονότι η έννοια της εποπτείας έλαβε αρνητικούς χαρακτηρισμούς από (αναλυτικούς) φιλοσόφους κατά τις προηγούμενες δεκαετίες, σήμερα διαπιστώνονται προσπάθειες υπεράσπι σής της μέσω της διασαφήνισης του τρόπου λειτουργίας της, όπως αυτή του John Bengson (2015). Ο Bengson πιστεύει ότι η υπόθεση της εποπτείας δεν είχε λάβει ποτέ την κατάλληλη επεξεργασία και ανάλυση. Η εξήγηση που δίνει βασίζεται σε μια αναλογία της εποπτείας με την αισθητηριακή αντίληφη ετασηραίνοντας διαφορές και ομοιότητες. Η εποπτεία έχει ένα επιστημικό στάτους και αποτελεί μια συνειδητή νοητική κατάσταση με περιεχόμενο, όπως και η αισθητηριακή αντίληφη. Διαθέτουμε, για παράδειγμα, εποπτεία τού ότι η ταυτότητα είναι μεταβατική, έχουμε εποπτεία τού ότι δεν ισχύει «ρ και άρνηση ρ», έχουμε εποπτεία για το ότι κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν διάδοχο. Η εποπτεία, ωστόσο, δεν εξαρτάται από τις αισθήσεις και επιπλέον διαφέρει από την αισθητηριακή αντίληφη ως προς το ότι παρουσιάζει όχι μόνο ενικές συγκεκριμένες περιπτώσεις, π.χ., αυτό το μήλο ταυτίζεται με τον εαυτό του, αλλά εξίσου και γενικές, π.χ., καθετί ταυτίζεται με τον εαυτό του (2015, 715). Ο Bengson αναφέρεται σε νοητικές καταστάσεις οι οποίες είναι αναπαραστα- σιακές [representational], δηλαδή αναπαριστούν τον κόσμο με τον τρόπο που αυτός θα έπρεπε να είναι, ώστε το περιεχόμενό τους να είναι αληθές. Κάποιες,17 ωστόσο, από αυτές τις νοητικές καταστάσεις όχι μόνο αναπαριστούν τον κόσμο με έναν συγκεκριμένο τρόπο, αλλά επίσης τον παρουσιάζουν [present] με τον συγκεκριμένο τρόπο. Η αισθητηριακή εμπειρία (οπτική, ακουστική κ.λπ.) εντάσσεται σε αυτή την κατηγορία. Όπως εξηγεί ο Bengson με ένα παράδειγμα, ο κόσμος όχι μόνο αναπαριστάνεται σε κάποιον ως αυτός στον οποίο υπάρχει ένα κόκκινο μήλο στο τραπέζι (έτσι ώστε να καθίσταται αληθές το περιεχόμενο αυτής της οπτικής αντί 17. Ο Bengson τις αποκαλεί «presentational»

17 Η ΓΝΩΣΙΟΛΟΠΚΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΡΕΑΛΙΣΜΟ ληψης), αλλά επιπλέον, μέσω της συγκεκριμένης εμπειρίας, παρουσιάζεται, δηλαδή καθίσταται παρόν, το κόκκινο μήλο στο τραπέζι σε εκείνον που διαθέτει αυτή την οπτική αντίληψη (ό.π., 717). Το ενδιαφέρον είναι ότι στην ίδια κατηγορία νοητικών λειτουργιών κατατάσσει επίσης την εποπτεία, θεωρώντας ότι και αυτή όχι μόνο αναπαριστά, αλλά και παρουσιάζει, δηλαδή καθιστά παρόν, το περιεχόμενό της. Για παράδειγμα, η εποπτεία όχι μόνο αναπαριστά τον κόσμο ως εκείνον τον κόσμο στον οποίο η αρχή της μη αντίφασης είναι αληθής, αλλά επιπλέον το γεγονός ότι δεν μπορεί να ισχύει «ρ και άρνηση ρ» παρουσιάζεται και καθίσταται παρόν στον καθέναν από εμάς που έχει αυτή την εποπτεία (ό.π., 719). Το ότι η αισθητηριακή αντίληψη και η εποπτεία έχουν αυτή την ομοιότητα αποτελεί βασική θέση18 της προσέγγισης του Bengson. Περαιτέρω θεωρεί ότι και οι δύο λειτουργίες επιβάλλονται στο υποκείμενο, έχουν δηλαδή το χαρακτηριστικό που αναφέρει ο Godel σχετικά με τη μαθηματική εποπτεία: τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων επιβάλλονται στον ανθρώπινο νου. Τόσο η αισθητηριακή αντίληψη όσο και η εποπτεία διακρίνονται από τις πεποιθήσεις, τις ελπίδες ή τη φαντασία, για παράδειγμα, οι οποίες δεν παρουσιάζουν (δεν καθιστούν παρόντα) τα περιεχόμενά τους. Σε κάθε περίπτωση, τόσο η αισθητηριακή αντίληψη όσο και η εποπτεία είναι δυνατό να σφάλλουν. Για παράδειγμα, η εποπτεία ότι μια οποιαδήποτε ιδιότητα προσδιορίζει ένα σύνολο αντικειμένων («αρχή της συμπερίληψης») σφάλλει, όπως διαπιστώ 18. «The core quasi-perceptualist thesis» και «presentationalism»: O Bengson παραλληλίζει την εποπτεία με την αισθητηριακή αντίληψη, διότι και οι δύο λειτουργίες καθιστούν παρόντα τα αντικείμενά τους. Όπως αναψέρει, «δεδομένης της φύσης των παραστάσεων, στον βαθμό που ο χ δεν έχει λόγο να αμφισβητήσει τη δεδομένη παράσταση, διαθέτει τουλάχιστον κάποια εκ πρώτης όψεως δικαιολόγηση για την πίστη του ότι τα πράγματα είναι έτσι όπως παρουσιάζονται ότι είναι» (2015, 741). θηκε από την εμφάνιση παραδόξων. Στη συνέχεια ο Bengson αναψέρεται στις ημιδιαφανείς [translucent] νοητικές καταστάσεις, οι οποίες δεν βασίζονται σε άλλες και δεν απαιτούν στη λειτουργία τους τη μεσολάβηση άλλων περιεχομένων. Η αναλογία μεταξύ της αισθητηριακής αντίληψης και της επο- τιτείας περιγράφεται με τον ακόλουθο τρόπο: ενώ ο χ έχει την αισθητηριακή εμπειρία ότι ρ αν και μόνο αν παρουσιάζεται ημιδιαφανώς και μέσω των αισθήσεων στον χ ότι ρ, κατ αναλογία ο χ έχει την εποπτεία ότι ρ αν και μόνο αν παρουσιάζεται ημιδιαφανώς στη διάνοια του χ ότι ρ. Σύμφωνα λοιπόν με tov Bengson, η εποπτεία είναι μια ημιδιαφανής παρουσίαση ή παράσταση ότι ρ στη διάνοια του υποκειμένου. Έχει, μάλιστα, το χαρακτηριστικό να δικαιολογεί κάποιες πεποιθήσεις μας. Η παρέμβαση του Bengson δείχνει ότι η συζήτηση σχετικά με την εποπτεία είναι σήμερα ανοιχτή και παραμένει ενδιαφέρουσα. Σε ό,τι αφορά την εναλλακτική ρεαλιστική θέση για τα μαθηματικά που κυριαρχεί στον τύπο απάντησης (γ), αυτή συνίσταται κυρίως στην αποδοχή των μαθηματικών οντοτήτων λόγω της αναγκαιότητάς τους κατά τον σχηματισμό και τη συγκρότηση των φυσικών επιστημονικών θεωριών μας σύμφωνα με τα επιχειρήματα των Quine και Putnam. Πρόκειται για μετριοπαθή ρεαλιστική θέση η οποία διατηρεί την οντολογική απαίτηση σχετικά με τα μαθηματικά αντικείμενα σε ένα minimum που δικαιολογείται από το γεγονός ότι αυτά είναι απολύτως απαραίτητα στην καλύτερη δυνατή περιγραφή που διαθέτουμε για τον φυσικό κόσμο. Ο ρεαλισμός αυτός δεν εμφανίζει τα χαρακτηριστικά του παραδοσιακού μαθηματικού πλατωνισμού, όπως το a priori, η αναγκαιότητα και βεβαιότητα της μαθηματικής γνώσης, αλλά επιτρέπει τη θεώρηση των μαθηματικών οντοτήτων ως κατοίκων ενός 58 59

18 ενιαίου φυσικού σύμπαντος. Ο ρόλος των μαθηματικών οντοτήτων, όπως και των φυσικών μη παρατηρήσιμων οντοτήτων στις επιστημονικές θεωρίες, καλείται να δικαιολογήσει την υπόθεση της ύπαρξής τους. Κάτι τέτοιο, ωστόσο, δεν παρέχει ιδιαίτερη στήριξη στον μαθηματικό ρεαλισμό, επειδή καταρ- χήν τον εμπλέκει στη γενικότερη διαμάχη ρεαλισμού-αντιρε- αλισμού που αφορά τις ίδιες τις φυσικές επιστημονικές θεωρίες. Επιπλέον, πρέπει να παρατηρηθεί ότι αυτή η προσέγγιση καθίσταται ακόμα πιο ασθενής ως ρεαλιστική προσέγγιση, δεδομένου ότι, σύμφωνα με τον Quine (1948/49), τουλάχιστον μία οντολογία εισάγεται προκειμένου να διευκολύνει μια συγκεκριμένη επιστημονική επιδίωξη. Πρόκειται για την πραγματιστική προσέγγιση για τα εννοιολογικά σχήματα. Ένα εννοιολογικό σχήμα, όπως η οντολογία των συνήθων φυσικών αντικειμένων, είναι ένας «βολικός μύθος» ο οποίος τακτοποιεί τα δεδομένα της εμπειρίας με οικονομικότερο τρόπο, απ ό,τι, για παράδειγμα, το φαινομεναλιστικό σχήμα σχετικά με τις δέσμες αισθητηριακών δεδομένων. Ανάλογα, η οντολογία των μαθηματικών αντικειμένων αποτελεί έναν «μύθο» υψηλότερου βαθμού, ο οποίος απλοποιεί σε εξαιρετικό βαθμό την τακτοποίηση των δεδομένων μας στις επιστημονικές θεωρίες. Σύμφωνα με τη φυσικοποιημένη φιλοσοφία του Quine (στην οποία βασίζεται ο ρεαλισμός της Maddy), δεν υπάρχει κυρίαρχη οντολογία στην οποία να ανάγονται κάποιες άλλες οντολογίες. Όλες αποτελούν «χρήσιμους» μύθους, και η χρήση τους εξαρτάται πάντοτε από την οπτική μας γωνία και από μια ποικιλία επιστημονικών ενδιαφερόντων και προοπτικών. Τόσο ο ρεαλισμός του Godel όσο και οι μετριοπαθέστεροι τύποι ρεαλισμών που εντάσσονται στη φυσικοποιημένη φιλοσοφία οφείλουν μια πληρέστερη απάντηση στο πρόβλη μα που έθεσε ο Benacerraf: στο γνωσιολογικό ερώτημα σχε- ΤιΚά με τα μαθηματικά. Η έννοια της μαθηματικής εποπτείας χρειάζεται περαιτέρω διασαφήνιση, ενώ η προσέγγιση των συνολοθεωρητικών αντικειμένων ως χωροχρονικών αντικειμένων στο φυσικό σύμπαν παρουσιάζει προβλήματα. Χρήσιμη θα μπορούσε να αποβεί η γνώμη του Hale ότι οι απριορι- στές ρεαλιστές φιλόσοφοι οφείλουν μια πληρέστερη εξήγηση της έννοιας της a priori γνώσης.19 Επίσης, ο επαναπροσδιορισμός της σχέσης μεταξύ του a priori και της αναλυτικότητας θα ήταν μια καλή φιλοσοφική μέριμνα, δεδομένου ότι μετά την αμφισβήτηση που δέχτηκε το συνθετικό a priori, η a priori γνώση συνδέθηκε πιο στενά με την αναλυτικότητα. Η Maddy έθεσε το πρόβλημα του κατά πόσον ένας νατουραλιστής φιλόσοφος που αποδέχεται την προσέγγιση του Quine θα ήταν διατεθειμένος να δεχτεί κάποιου είδους νοθευμένο [impure] a priori. Κάτι τέτοιο θα έφερνε ενδεχομένως πιο κοντά τους απριοριστές με τους νατουραλιστές φιλοσόφους. Η σαφέστερη οριοθέτηση του περιεχομένου των παραπάνω εννοιών θα μπορούσε να συμβάλει στην πληρέστερη κατανόηση των αντιθέσεων αλλά και των σημείων συνάντησης μεταξύ των βασικότερων τάσεων τις οποίες ακολουθούν οι μαθηματικοί ρεαλιστές στην προσπάθειά τους να αντιμετωπίσουν επιτυχώς τη γνωσιολογική Πρόκληση. 19. Βλ. στο επόμενο κεφάλαιο