Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ"

Transcript

1 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Copyriht: Μαθηματικός Περιηγητής Σχολικό Έτος: 6-7

2 ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όριο συνάρτησης στο Ιδιότητες των ορίων Μη πεπερασμένο όριο στο Όριο συνάρτησης στο άπειρο

3 ΜΑΘΗΜΑ ο Όριο συνάρτησης στο, Εισαγωγή Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως: Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; Tι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της; Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου; Στις παραγράφους που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου "διαισθητικά", στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και μερικές βάσικές ιδιότητές του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης. Η έννοια του ορίου Έστω η συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R {} και γράφεται: Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y = + με εξαίρεση το σημείο A(,) (Σχ. 38). Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι: "Καθώς το, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό, το f(), κινούμενο πάνω στον άξονα y y, προσεγγίζει τον 3

4 πραγματικό αριθμό. Και μάλιστα, οι τιμές f() είναι τόσο κοντά στο όσο θέλουμε, για όλα τα που είναι αρκούντως κοντά στο ". Στην περίπτωση αυτή γράφουμε; και διαβάζουμε: Γενικά: "το όριο της f(), όταν το τείνει στο, είναι ". Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό, τότε γράφουμε και διαβάζουμε: "το όριο της f(), όταν το τείνει στο, είναι l " ή"το όριο της f() στο είναι l ". ΣΧΟΛΙΟ Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι: Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο, πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε "κοντά στο ", δηλαδή η f να είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο της μορφής: a,, o ή a, ή, o Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. 39α, 39β) ή να μην ανήκει σ' αυτό (Σχ. 39γ). 4

5 Η τιμή της f στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο (Σχ. 39α) ή διαφορετική από αυτό. (Σχ. 39β). Έστω, τώρα, η συνάρτηση: της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος. Παρατηρούμε ότι: Όταν το προσεγγίζει το από αριστερά (<), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: Οταν το προσεγγίζει το από δεξιά (>), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θελουμε τον πραγματικό αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: Γενικά: Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει το από μικρότερες τιμές ( < ), τότε γράφουμε: και διαβάζουμε: 5

6 "το όριο της f(), όταν το τείνει στο από τα αριστερά, είναι l ". Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l,καθώς το προσεγγίζει το από μεγαλύτερες τιμές ( > ), τότε γράφουμε: και διαβάζουμε: "το όριο της f(), όταν το τείνει στο από τα δεξιά, είναι l ". Τους αριθμούς l f ( ) και l f ( ) τους λέμε πλευρικά όρια της f στο και συγκεκριμένα το l αριστερό όριο της f στο, ενώ το l δεξιό όριο της f στο. Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι: Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (Σχ. 4) δεν έχει όριο στο =, αφού: 6

7 και έτσι: Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Είδαμε ότι, όταν γράφουμε f ( ) l, εννοούμε ότι οι τιμές f() βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο l, για όλα τα τα οποία βρίσκονται "αρκούντως κοντά στο ". Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με Στη συνέχεια, όταν γράφουμε f είναι ίσο με l. f., θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της f στο και Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες: Αποδεικνύεται ότι : Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής, o, ισοδυναμία:, τότε ισχύει η Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (,β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, ), τότε ορίζουμε: 7

8 Για παράδειγμα, Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, ), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (,β), τότε ορίζουμε: Για παράδειγμα, ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι το f ( ) είναι ανεξάρτητο των άκρων α,β των διαστημάτων (α, ) και (,β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f. 8

9 Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης f ( ) στο =, του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή περιοριζόμαστε στο υποσύνολο,, παίρνει τη μορφή: Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι f ( ) ΣΥΜΒΑΣΗ Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής, o, και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ. β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, ), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (, β). γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (, β), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α, ). Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( ) είναι θετική κοντά στο =, αφού ορίζεται στο σύνολο,, και είναι θετική σε αυτό. Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι : 9

10 Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f() = (Σχ. 47α) στο είναι ίσο με την τιμή της στο, ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης g() = c (Σχ. 47β) στο είναι ίσο με c. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Κατανοώ /Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε το f ( ) γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι : και το f( ), εφόσον υπάρχουν, όταν η 4/Α (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [, + ) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους

11 επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς. Β. Εμπεδώνω. (Σχολικό βιβλίο). Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το f ( ), όταν: 3. (Σχολικό βιβλίο). Ομοίως όταν : 5. (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο,, f ( ) 6 και f ( ). Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R, για τις οποίες υπάρχει το με

12 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο Ιδιότητες ορίων Όριο και διάταξη Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα. ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν Αν f ( ) f ( ), τότε, τότε f κοντά στο (Σχ. 48α) f κοντά στο (Σχ. 48β) ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν οι συναρτήσεις, Ισχύει: f g έχουν όριο στο και ισχύει f g f ( ) g( ) κοντά στο, τότε: Έστω τώρα το πολυώνυμο Απόδειξη Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε:

13 Επομένως, Για παράδειγμα, Έστω η ρητή συνάρτηση Q( ). Τότε, P( ) f ( ), όπου P(), Q() πολυώνυμα του και ϵ R με Q( ) Επομένως, Για παράδειγμα, Κριτήριο παρεμβολής Υποθέτουμε ότι "κοντά στο " μια συνάρτηση f "εγκλωβίζεται" (Σχ. 5) ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε, όπως 3

14 φαίνεται και στο σχήμα, η f θα έχει το ίδιο όριο l. Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν h() f() g() κοντά στο και τότε f ( ) l Για παράδειγμα,. Πράγματι, για έχουμε: Οπότε: Επειδή, σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:. 4

15 Τριγωνομετρικάόρια Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικών ορίων. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι: ΠΡΟΤΑΣΗ ημ, για κάθε ϵ R (η ισότητα ισχύει μόνο όταν = ) ΠΡΟΤΑΣΗ. Όριο σύνθετης συνάρτησης Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια απλών συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το f g( ) συνάρτησης fog στο σημείο, τότε εργαζόμαστε ως εξής:, της σύνθετης. Θέτουμε u = g().. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u g ( ) και 3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l f ( u). Αποδεικνύεται ότι, αν g() u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με l, δηλαδή ισχύει: Η απόδειξη παραλείπεται αφού είναι εκτός εξεταστέας ύλης. 5

16 ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής f g( ) με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: "g() u κοντά στο " και γιαυτό δεν θα ελέγχεται. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Έύρεση ορίου με ιδιότητες) Να βρείτε το όριο: ΛΥΣΗ Έχουμε: 9 3 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΟΡΙΟΥ f ( Μορφή ) η περίπτωση (Ρητή συνάρτηση) Αν f P( ), με P( ), Q( ) πολυώνυμα. Παραγοντοποιούμε τους όρους του κλάσματος Q( ) και έχουμε: f Επομένως: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το όριο: P( ) R( ) R( ) Q( ) K( ) K( ) f K ( ) R( )

17 ΛΥΣΗ Παρατηρούμε όμως ότι για = μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Έχουμε: Επομένως, Τώρα προσπαθώ την άσκηση η περίπτωση (Άρρητη συνάρτηση) Αν f f f A( ) B( ), πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση και έχουμε: P( ) A( ) B( ) A( ) B( ) A( ) B( ) A( ) B( ) P( ) P( ) A( ) B( ) P( ) A( ) B( ).. A( ) B( ) Ή A( ) B( ) A( ) B( ) ( ) ( ) A( ) B( ) ( ) ( )... ( ) ( ) A( ) B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A( ) B( ) ( ) ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το όριο: 3 ΛΥΣΗ Για = μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 3 και έτσι έχουμε: 7

18 Επομένως, Τώρα προσπαθώ την άσκηση. 3 η περίπτωση (τρίτη ρίζα) Αν f 3 A( ) 3 B( ) ή ( ) P( ) A( ) B( ), τότε έχοντας υπόψη μας τις ταυτότητες: P( ) πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση: 3 A( ) A( ) B( ) B( ) καταλήγουμε: 3 A( ) 3 B( ) A( ) B( ) f P( ) A( ) B( ) Q( ) A( ) A( ) B( ) B( ) 3 A( ) 3 A( ) 3 B( ) 3 B( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρείτε το όριο: ΛΥΣΗ: Τώρα προσπαθώ την άσκηση 3. 8

19 4 η περίπτωση (Κλαδική συνάρτηση-πλευρικά όρια) Βρίσκουμε τα: Αν l l l Αν l ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ f A( ), B( ), A... l, τότε f l l, τότε δεν υπάρχει το f B... l Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο = της συνάρτησης: ΛΥΣΗ Αν <, τότε f() = 3 4, οπότε: Αν >, τότε f() = /, οπότε: Επομένως f Τώρα προσπαθώ την άσκηση 4. 5 η περίπτωση (Κριτήριο της παρεμβολής) Τα όρια της μορφής : A( ) g( ) A( ) g( ) 9

20 υπολογίζονται συνήθως με το Κ.Π. ως εξής: A( ) A( ) g( ) g( ) g( ) Επομένως: A( ) g( ) g( ) g( ) Βρίσκουμε τα g( ), g( ). Αν είναι ίσα ( l ), τότε A( ) g( ) l ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρείτε το όριο: 3 3 ΛΥΣΗ Για ευκολία θέτουμε f ( ) 3 3 και έχουμε διαδοχικά: f ( ) Δηλαδή: 3 3 f ( ) ( I) Έχουμε: 3 3 Επομένως από το Κριτήριο της παρεμβολής θα είναι: 3 3 Γενικότερα το κριτήριο ης παρεμβολής χρησιμοποιείται όταν ζητείται το f ( ) o και η f ( ) μπορεί να «κλειστεί» από δύο άλλες συναρτήσεις που έχουν το ίδιο όριο όταν. Τώρα προσπαθώ την άσκηση 5.

21 6 η περίπτωση (Τριγωνομετρικά όρια) Έχουμε υπόψη μας τα επόμενα τριγωνομετρικά όρια και μετασχηματίζουμε κατάλληλα το όριο που ζητάμε: (*) (*) (*) (*) Όσα σημειώνονται με (*) χρειάζονται απόδειξη πριν την εφαρμογή τους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρείτε τα όρια: i) ii) ΛΥΣΗ i) ii) Τώρα προσπαθώ την άσκηση 6. 7 η περίπτωση (Όρια με απόλυτα) Αν ζητείται όριο με μορφή παραπλήσια της ( ), τότε: h ( )

22 Αν ( ) l ( ), a,, ( ) ( )... h( ) h( ), τότε Αν ( ) m ( ), a,, ( ) ( )... h( ) h( ) Αν, τότε ( ), τότε κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την ( ) και εξετάζουμε τα πλευρικά όρια ( ), ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) i) ΛΥΣΗ, τότε i) Αφού ii). «κοντά στο». Επομένως έχουμε: ii) Αφού:,,,, Έχουμε: Επομένως το όριο δεν υπάρχει. Τώρα προσπαθώ την άσκηση 7.

23 8 η περίπτωση (Όρια με παράμετρο) Να βρείτε τα α, β ώστε: g(, a, ) l, ( ), τότε πρέπει και ( ) διαφορετικά το g(, a, ) (ΙΙ) διότι g(, a, ).Από τη σχέση (ΙΙ) παίρνουμε μια σχέση μεταξύ ( ) των παραμέτρων α και β. Λύνουμε αυτήν τη σχέση ως προς α ή β και αντικαθιστούμε στο g(, a, ) ( ) όρος Να υπάρχει το όριο το οποίο στη συνέχεια παραγοντοποιούμε, ώστε να εξαλειφθεί ο. Στο τέλος έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους. f ( ) l : A(, a, ), f ( ) B(, a, ), Έχουμε: f ( ) f ( ) A (, a, ) B (, a, ) Από την οποία έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε τα α και β ώστε: i) 3 a 4 ii) f ( ), όπου, f ( ) a 3, ΛΥΣΗ i) Επειδή πρέπει και 3 a 4 a 3 3 Επομένως έχουμε διαδοχικά: a 4 a 3 a 4 a 3 a a a a a a Άρα: a 6 a 5 3

24 ii) Έχουμε: f ( ) a I f ( ) a 3 3 a a Άρα 3 Τώρα προσπαθώ την άσκηση 8. 9 η περίπτωση (Μετασχηματισμός ορίου) Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το f g( ), τότε εργαζόμαστε ως εξής:. Θέτουμε u = g().. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u g( ) και o 3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l f ( u). uu o, της σύνθετης συνάρτησης fog στο σημείο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το όριο: i) 4 ii) 3 ΛΥΣΗ i) Θέτουμε u 4, τότε u, οπότε 4 4 ii) Είναι: Θέσουμε u = 3, τότε u 3, οπότε: Τώρα προσπαθώ την άσκηση 9. 4

25 η περίπτωση (Η συνάρτηση «κρύβεται») Αν δίνεται, f ( ) «η συνάρτηση κρύβεται») και ζητείται το l (δηλαδή το όριο μιας παράστασης της f ( ) ή όπως λέμε f ( ), τότε: Θέτουμε, f ( ) h () οπότε έχουμε h Λύνουμε την () ως προς f ( )... l Με τις ιδιότητες των ορίων βρίσκουμε το f ( )... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ f ( ) Αν, να βρείτε το όριο f ( ) (αν υποθέσουμε ότι υπάρχει). ΛΥΣΗ f ( ) Θέτουμε h( ) και άρα h Έχουμε: f ( ) h( ) f ( ) h( ) Επομένως: f ( ) h( ) h( ) Τώρα προσπαθώ την άσκηση. η περίπτωση (Θεωρητικές ασκήσεις) Στις Θεωρητικές ασκήσεις στα όρια έχουμε υπόψη μας τα επόμενα: Σε ασκήσεις όπου δίνεται σχέση που ιακοποιεί η συνάτηση f : Α) f y... και αναζητούμε το όριο h. Επομένως έχουμε: f ( ) f ( ) f h... h. Θέτουμε h, οπότε όταν Β) f y... και αναζητούμε το όριο f ( ). Θέτουμε h οπότε όταν h. Επομένως έχουμε: 5

26 f ( ) f h... h Γ) f... y και αναζητούμε το όριο f ( ). Θέτουμε h οπότε h όταν h Επομένως έχουμε: h f ( ) f... h ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Αν f : μια συνάρτηση με: f ( y) f ( ) f ( y) y για κάθε, y και i) Να βρείτε τις τιμές f (), f () f ( ) ii) Να βρείτε το όριο f ( ) ΛΥΣΗ i) Έχουμε: y f ( ) f () f () f () 3 f () f (), y f ( ) f () f () f () f () f () f () f () f () ii) Θέτουμε h h και όταν: h. Επομένως έχουμε: f ( ) f ( h) f () f ( h) h f ( h) h f ( h) h h h h h h. Αν f : μια συνάρτηση με: i) Να βρείτε τις τιμές f (), f () f ( y) f ( ) f ( y) y για κάθε, y, και f ( ), f ( ) ii) Να βρείτε το όριο f ( ) ΛΥΣΗ i) Έχουμε: y f () f () f () f () f () f () f () f ή f και επειδή f ( ), f θα είναι, y f f () f () f () f () f () 6

27 ii) Θέτουμε h και όταν: h. Επομένως έχουμε: f ( ) f ( h) f () f ( h) 4h f ( h) 4h f ( h) 4 h 4 5 h h h h h Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις,, 3, 4 και 5. /Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Κατανοώ /Α (Σχολικό βιβλίο).. Έστω μια συνάρτηση f με f ( ) 4. Να βρείτε το g( ) αν: 3/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : Β. Εμπεδώνω 7

28 4/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : 5/Α (Σχολικό βιβλίο). Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο αν : 6/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια : 7/Α (Σχολικό βιβλίο). Να βρείτε τα όρια: 8/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε το f ( ), αν: 9/Α (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται η συνάρτηση α,β ϵ R, για τις οποίες ισχύει f ( ). 3 a, 3 f ( ). Να βρείτε τις τιμές των 3, 3 8

29 /Β (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια: Β. Εμπεδώνω /Β (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν 4/Β. Να βρείτε το f ( ), αν : 3. (Σχολικό βιβλίο). Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ =. Να υπολογίσετε τα όρια: 9

30 Γ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (που αντιστοιχούν σε κάθε προηγούμενη περίπτωση). Να βρείτε τα όρια: i) 4 ii) 3. Να βρείτε τα όρια: 3. Να βρείτε τα όρια: i) ii) Να βρείτε τα όρια: i) ii) Να βρείτε τα όρια: f ( ) 5, 5 5 5, 5 5 i) 5 ii) f ( ), όταν 5 f ( ), για κάθε, 6. Να βρείτε τα όρια: i) ii) iii) 5 4 iv) 7. Να βρείτε τα όρια: i) ii) Να βρείτε τα α και β όταν: i) 3 a 3 3 ii) 4 a 3 a 3

31 9. Να βρείτε τα όρια: i) ii) 3 f ( ) 5. α) Αν 3, να βρείτε το όριο f ( ) (αν υποθέσουμε ότι υπάρχει). 9 β) Αν f. Αν f : και ( ) 3, να βρείτε το όριο f ( ) (αν υποθέσουμε ότι υπάρχει). f ( ) Να βρείτε: μια συνάρτηση με: f y f ( ) f ( y) y, για κάθε, y i) To f () ii) f ( ). Έστω η συνάρτηση f : με: f y f ( ) f ( y) y για κάθε, y, f ( ) για κάθε και i) Να βρείτε τις τιμές f (), f (), f (). ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση «-». f ( ) f ( ), iii) Αν g( ), να βρείτε το α, ώστε να υπάρχει το g( ). 5 5 a, 5 f :, μια συνάρτηση με: 3. Έστω i) Να βρείτε το f (). ii) Αν f () f y f ( ) f ( y), τότε να αποδείξετε ότι 4. Έστω f : i) Να βρείτε το f (). για κάθε,, μια συνάρτηση με: f ( ) ( ) y. f για κάθε, f y f ( ) f ( y) για κάθε, y ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. iii) Αν ισχύει f ( ) f ( a ) για κάποιο a, να αποδείξετε ότι: a. 3

32 α) f ( ) f () β) f ( ) f ( ) για κάθε 5. Αν f : μια συνάρτηση με: f ( ) f (3) και 3 i) Να βρείτε το f (3). f ( ) f (3) ii) Να βρείτε το όριο A. 3 9 f (3 h) 6 h h 3

33 ΜΑΘΗΜΑ 4ο Μη πεπερασμένο όριο στο ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ϵ R Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο. Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό, οι τιμές f() αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο όριο + και γράφουμε: Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο. Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό, οι τιμές f() ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό M (M >). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο όριο και γράφουμε: 33

34 Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια a,, ισχύουν οι συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής παρακάτω ισοδυναμίες: Αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες : Ενώ: ν ϵ N ν ϵ N (Σχ. 57β). Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της f ( ), ν ϵ N Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα: ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος) 34

35 ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γινομένου) Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε. Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι: και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: Επειδή f g f g και Για παράδειγμα: f g f, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς g αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( ) και g( ), τότε έχουμε: και ενώ, 35

36 αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( ) και g( ), τότε έχουμε : και ΜΕΘΟΔΟΣ (Εύρεση ορίου Α= f ( ) g ( ) όταν f ( ) * l και g( ) ) Γράφουμε: f ( ) A f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) και έχουμε: Αν g( ), τότε:, l A l, l ή Αν g( ), τότε:, l A l, l ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Nα βρεθούν τα όρια : 36

37 ΛΥΣΗ. Να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης στο = και στη συνέχεια να εξετασθεί, αν υπάρχει το όριο της f() στο. ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι ίσα. Επομένως δεν υπάρχει όριο της f στο. Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις,,3. 37

38 ΜΕΘΟΔΟΣ («Διερεύνηση ορίου με παράμετρο» της μορφής g( ) και παραμέτρου ). f (, ) A με g ( ) f (, ), δηλαδή όταν ο αριθμητής εναι και συνάρτηση μιας Γράφουμε: Βρίσκουμε το f (, ) A f (, ) f (, ) g( ) g( ) g( ) f (, ) h( ) (είναι δηλαδή συναρτήσει του λ) και διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Α) Αν h( ) ( διάστημα) και ανάλογα με το αν g( ) ή g( ) «κοντά» στο θα είναι A. Β) Αν h( ) ( διάστημα) και ανάλογα με το αν g( ) ή g( ) «κοντά» στο θα είναι A. Γ) Αν h( ), τότε έχουμε την περίπτωση της απροσδιορστίας ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ που είδαμε προηγούμενα. 3/Β (Σχολικό). Δίνονται οι συναρτήσεις: Nα βρείτε τις τιμές των λ, μ ϵ R για τις οποίες υπάρχουν στο R τα όρια (ή να βρείτε τα όρια για όλες τις τιμές των λ, μ ϵ R) : ΛΥΣΗ Για τη συνάρτηση f ( ) έχουμε: Ακόμα: A 38

39 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν, τότε: Αν, ό Αν, ό είναι Άρα το όριο της f ( ) στο δεν υπάρχει. Αν, τότε: Αν, ό Αν, ό είναι A, οπότε A, οπότε A Άρα το όριο της f ( ) στο δεν υπάρχει. Αν, τότε f, οπότε, οπότε: Για την συνάρτηση g( ) έχουμε: Ακόμα: Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν, τότε A, οπότε 3 f A g( ) και άρα: A Οπότε:, τότε ενώ, τότε και, τότε A g Αν ( ) 39

40 Αν, τότε και άρα: A Οπότε: Αν, τότε ενώ Επομένως: Αν, τότε και, τότε A g Αν ( ) δεν υπάρχει το όριο της g( ) στο. δεν υπάρχει το όριο της g( ) στο. Αν g( ). Τώρα προσπαθώ την άσκηση 4 ΜΕΘΟΔΟΣ (Η συνάρτηση «κρύβεται») Αν δίνεται, f ( ) «η συνάρτηση κρύβεται») και ζητείται το (δηλαδή το όριο μιας παράστασης της f ( ) ή όπως λέμε f ( ), τότε: Θέτουμε, f ( ) h () οπότε έχουμε h Λύνουμε την () ως προς f ( )... Με τις ιδιότητες των ορίων βρίσκουμε το f ( )... ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το f, όταν : ΛΥΣΗ i) 3 f ( ) ii) f ( ) i) Θέτουμε: 3 3 h( ) f ( ) f ( ) h( ) Άρα: 4

41 h( ) h( ) Επομένως: 3 h( ) h( ) f ( ) 3 ( ) ii) Θέτουμε: f ( ) ( ) f ( ) ( ) Άρα: ( ) Επομένως: f ( ) ( ) ( ) Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 6 και 7. Βασική πρόταση (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις χωρίς απόδειξη. Ωστόσο για λόγους πληρότητας παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω) Α) Αν f, g : με f ( ) g( ) για κάθε a,, και g( ), τότε και f ( ). Β) Αν f, g : f ( ). με f ( ) g( ), a,, και g( ), τότε ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α) Αφού g( ) g( ) «κοντά» στο. Έχουμε: f ( ) g( ) f ( ) g( ) «κοντά» στο. Είναι, άρα από το κριτήριο της παρεμβολής θα έχουμε ( ) g. ( ) f 4

42 Έχουμε: f ( ) f ( ) ( αφού f ( ) «κοντά» στο ). Β) g( ) g( ) «κοντά» στο. Έχουμε: f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) «κοντά» στο. Είναι, άρα από το κριτήριο της παρεμβολής θα έχουμε ( ) g. ( ) f Έχουμε: f ( ) f ( ) ( αφού «κοντά» στο ). f ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Κατανοώ /Α (Σχολικό). Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο όταν : /Α (Σχολικό). Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο όταν : Β. Εμπεδώνω /Β (Σχολικό). Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το /Β (Σχολικό). Να αποδείξετε ότι: 4

43 i) Η συνάρτηση f ( ) δεν έχει όριο στο. ii) Η συνάρτηση f ( ) δεν έχει όριο στο. 4/Β (Σχολικό). Να βρείτε το f, όταν : Γ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τα όρια: i) ii) 3 4 iii) 3 4. Να βρείτε τα όρια: i) ii) 4 iii) 3. Να βρείτε τα όρια: 4 i) ii) 3 iii) 5 4. Nα βρείτε τα όρια για όλες τις τιμές των λ, μ ϵ R: i) ii) Έστω η συνάρτηση f : Να βρείτε: i) τη συνάρτηση f f ( ) ii) To 3 6. Αν f, g : με: f ( ) f ( y) yf ( ) f ( y) y, για κάθε, y δύο συναρτήσεις, τέτοιες ώστε: Να βρείτε (αν υπάρχει) το f ( ) g( ) 3 5 g( ), 3 f ( ) 3 43

44 7. Αν f ( ) 3, να βρείτε το 9 3 f ( ) 8. Να βρείτε το όριο l 3 για τις διάφορες τιμές του l 44

45 ΜΑΘΗΜΑ 5ο Όριο συνάρτησης στο άπειρο OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g, h σε ένα διάστημα της μορφής (α, + ). Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο, το f() προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο + όριο το l και γράφουμε: το g() αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο + όριο το + και γράφουμε: το h() μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο + όριο το και γράφουμε: 45

46 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο +, πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,+ ). Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, β). Ετσι, για τις συναρτήσεις f, g, h των παρακάτω σχημάτων έχουμε: Για τον υπολογισμό του ορίου στο + ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: Για παράδειγμα, Για τα όρια στο +, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης 46

47 Έστω η συνάρτηση f() = Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων για τον υπολογισμό του f ( ), καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Για έχουμε: Επειδή: Έχουμε: Γενικά: Για την πολυωνυμική συνάρτηση:, με α ν ισχύει: Για παράδειγμα, Έστω η συνάρτηση: Για έχουμε :. Επειδή: 47

48 Έχουμε: Γενικά, Για την ρητή συνάρτηση:, α ν, β κ ισχύει : Για παράδειγμα, Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης Αποδεικνύεται () ότι : Αν α > (Σχ. 6), τότε 48

49 Αν < α < (Σχ. 6), τότε ΜΕΘΟΔΟΣ (Εύρεσης ορίου P( ) και P( ) Q ( ) με P( ), Q( ) πολυώνυμα), Q( )... P( )... a Α. P( ) (παίρνουμε δηλαδή το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου) Β. P( ) a a ( δηλαδή παίρνουμε το όριο του πηλίκου των Q( ) μεγιστοβάθμιων όρων των πολυωνύμων). 49

50 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Να βρείτε τα όρια: ΛΥΣΗ i) 3 ii) 5 i) ii) Τώρα προσπαθώ την άσκηση.. Να βρείτε τα όρια: i) ii) ΛΥΣΗ i) ii) Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις και. ΜΕΘΟΔΟΣ (Εύρεσης ορίου P( ) Q( ) Αρχικά κάνουμε αντικατάσταση έχοντας υπόψη τις ιδιότητες των ορίων και τις επιτρεπτές πράξεις του απείρου. Αν πάρουμε απροσδιόριστη μορφή, τότε: Α) Βγάζουμε «κοινό παράγοντα» εντός του ριζικού και στη συνέχεια «σπάμε τη ρίζα» [προσέχοντας αν ή ]. Αν η προηγουμένη διαδικασία δώσει και πάλι απροσδιόριστη μορφή, τότε: Β) Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση της και συνεχίζουμε τη διαδιακασία του «κοινού παράγοντα». ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Να βρείτε τα όρια: i) ii) 5

51 ΛΥΣΗ i) ii). Να βρείτε τα όρια: i) ii) ΛΥΣΗ i) Έχουμε: Επομένως: ii) Έχουμε: Επομένως: 3. Να βρείτε το όριο: ΛΥΣΗ Έχουμε: Επομένως: ; Τώρα λοιπόν ακολουθούμε το Β) βήμα (Πολλαπλασιασμός με συζυγή παράσταση) 5

52 Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 3 και 4. ΜΕΘΟΔΟΣ (Διερεύνηση ορίου f, όταν ) Ακολουθούμε τα βήματα της προηγούμενης μεθόδου μεταφέροντας και την παράμετρο. Καταλήγουμε σε μια σχέση της μορφής g( ) (όπου η παράμετρος) Στη συνέχεια εξετάζουμε τις περιπτώσεις: Α) g( ) ( διάστημα) Β) g( ) ( διάστημα) Γ) g( ),,....Στην περίπτωση αυτή αντικαθιστούμε στο αρχικό όριο τις τιμές του και βρίσκουμε το ζητούμενο όριο με την μέθοδο που ξέρουμε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : ΛΥΣΗ: i) Έχουμε διαδοχικά: i) 3 ii) Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν, τότε Αν, τότε 5

53 Αν, το ζητούμενο όριο γίνεται (που με την διαδικασία του κοινού παράγοντα καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. Άρα έχουμε διαδοχικά: ii) Έχουμε διαδοχικά: B, 5 6 Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ή, τότε B Αν, τότε B Αν Αν, τότε το ζητούμενο όριο γίνεται: 3 B 5 6 Αν, τότε το ζητούμενο όριο γίνεται: Τώρα προσπαθώ την άσκηση 5. B ΜΕΘΟΔΟΣ (Εύρεση ορίου εκθετικών και λογαριθμικών ορίων που είναι απροσδιόριστης μορφής) F( a, ) Αν έχουμε ζητούμενο όριο της μορφής με a, τότε βγάζουμε (, G a ) κοινό παράγοντα το αφού a και δημιουργούνται παραστάσεις που, 53

54 Αν έχουμε ζητούμενο όριο της μορφής F( a, ) (, G a ) με a, τότε βγάζουμε κοινό παράγοντα το a. και δημιουργούνται παραστάσεις a Στις λογαριθμικές συναρτήσειςτης μορφής ln P( ) που, αφού ή ln P( ) Q( ) που καταλήγουν σε απροσδιόριστη μορφήδουλεύουμε βγάζοντας κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο ως προς ή με συζυγή παράσταση όπως είδαμε προηγούμενα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Nα βρείτε τα όρια: i) ΛΥΣΗ i) Έχουμε διαδοχικά: ii) 5e 7 e διότι: ii) Έχουμε διαδοχικά: και 3 3 e 5 e e 7 e 7 e e e e e e 4 διότι: e e 54

55 . Nα βρείτε τα όρια: i) ln 3 ii ln 3 5 ΛΥΣΗ i) Έχουμε διαδοχικά: ln ln ln ln ln ln 3 ii) Έχουμε διαδοχικά: ln ln ln ln ln Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 6, 7 και 8. ΜΕΘΟΔΟΣ (Όρια με τριγωνομετρικούς όρους της μορφής: a,, Χρησιμοποιούμε το κριτήριο της παρεμβολής: a a a Επειδή, από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε: a = ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε τα όρια: 55

56 i) ii) 3 3 ΛΥΣΗ i) Έχουμε: , από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε: Επειδή ii) Έχουμε διαδοχικά: A () Θα βρούμε τα όρια 3 3,. Έχουμε: Επειδή Όμοια: 3 3, από το κριτήριο της παρεμβολής είναι από το κριτήριο της παρεμβολής είναι 3. Επομένως από την () είναι. 56

57 Τώρα προσπαθώ την άσκηση 9. ΜΕΘΟΔΟΣ (Όρια με απόλυτα) Σε όρια όπου συναντούμε g( ) πρέπει να έχουμε υπόψη μας τα επόμενα: g( ) l ά ώ g( ), a, g( ) l ά ώ g( ),, g( ) l ά ώ g( ), a, g( ) l ά ώ g( ),, Έτσι θα είναι g( ) g( ) ή g( ) g( ) και θα έχουμε ένα όριο χωρίς απόλυτες τιμές, εφαρμόζοντας τα προηγούμενα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το όριο: ΛΥΣΗ Έχουμε: 3 3 ά ώ a ά ώ a,, 3,,, ( ) Επομένως ( όταν a, ): Τώρα προσπαθώ την άσκηση. ΜΕΘΟΔΟΣ (Θεωρητικές ασκήσεις) Οι περισσότερες θεωρητικές ασκήσεις ανήκουν στην κατηγορία «Η συνάρτηση κρύβεται» και ακολουθούμε τη γνωστή διδικασία. Στο τέλος του Κεφαλαίου θα δούμε και συνδυαστικές-θεωρητικές ασκήσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Αν f ( ) 3, να βρείτε το όριο ΛΥΣΗ 5 3 f ( ) f ( ) 3 57

58 Έχουμε:. Αν f ( ) 5 3 f ( ) f ( ) f ( ) 3 f ( ) f ( ) f ( ) 3, να βρείτε το όριο ΛΥΣΗ Έχουμε: 5 3 f ( ) f ( ) f ( ) 5 3 g( ) 5 3 g( ) 5 3 g( ) f ( ) 3 g( ) 3 g( ) 3 g( ) Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις,, 3 και 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Κατανοώ /Α (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια: /Α (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια: 3/Α (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια: 58

59 Β. Εμπεδώνω /Β (Σχολικό). Nα προσδιορίσετε το λ ϵ R, ώστε το 5 στο R. 3/Β (Σχολικό). Αν ισχύει f 4/Β (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια : να υπάρχει f a, να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες. Γ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τα όρια:. Να βρείτε τα όρια: 3. Να βρείτε τα όρια: 4. Να βρείτε τα όρια: i) 4 ii) i) ii) i) 5 9 ii) 5 9 i) 3 3 ii) Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: ii) i)

60 6. Να βρείτε τα όρια: i) 7. Να βρείτε τα όρια: 8. Να βρείτε τα όρια: 9. Να βρείτε τα όρια: i) 3 i) ln ii) 4e 6 e ii) ln ii) e ` i) 5 iii). Να βρείτε τα όρια: 3 ii) B iv) 3 3 5,. Αν i) 3 f ( ), να βρείτε το 4 ii) 3 f ( ) f ( ) Αν f : Να βρείτε το μία συνάρτηση τέτοια ώστε: * ώστε: 3. Αν f, g :, f ( ) (), f ( ) 3 () f ( ) f ( ) δύο συναρτήσεις τέτοιες ώστε: 3 f g,να αποδείξετε ότι f ( ) g( ) 4. Αν f :, μια συνάρτηση τέτοια ώστε: f ( ) 3 και f ( ) 3 4 6

61 Να βρείτε το, ώστε να είναι: f ( ) f ( ) 3 6

62 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Επανάληψη στα όρια Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. «κοντά» στο, τότε και f ( ). Αν f ( ). Αν f ( ) ll, τότε f ( ) l ή f ( ) l 3. Αν f ( ), τότε f ( ) «κοντά στο». 4. Μια συνάρτηση είναι δυνατόν να μην ορίζεται σε ένα σημείο αλλά να υπάρχει το όριό της στο. 5. Αν f ( ) l και g( ), τότε f ( ) (Με την προϋπόθεση ότι όλα τα g ( ) όρια υπάρχουν). 6. Αν ( ) ( ) o f g l, τότε θα υπάρχουν πάντα τα όρια f ( ) και g( ) 7. Για όλες τις συναρτήσεις f, g με o f ( ), g( ) είναι : f ( ) g ( ). o 8. Αν f ( ) και f «κοντά» στο, τότε f ( ) 9. Αν f ( ), τότε η f παίρνει μόνο θετικές τιμές «κοντά» στο. Αν η f είναι άρτια συνάρτηση και f ( ) l, τότε και f ( ) l. Αν f ( ) ή, τότε f ( ).Αν f ( ), τότε f ( ) 3. Αν 4. Αν f ( ) και f ( ) «κοντά» στο, τότε f ( ), τότε f ( ) για κάθε. f ( ). 5. Αν a, τότε a. 6. Αν Αν a, τότε a. 7. Αν a, τότε a. 6

63 8. Αν Αν a, τότε ln

64 Τέστ Θεωρίας (3 ) στα ΟΡΙΑ ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ) ) Το f ( ) είναι ανεξάρτητο των άκρων α,β των διαστημάτων (α, ) και (,β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f. 3) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f με f ( ) «κοντά» στο και αν το όριο της f στο υπάρχει, τότε f ( ). 4) Αν, τότε 5) Δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της f ( ), ν ϵ N 6) Αν f ( ) ή, τότε f ( ) 7) Αν f ( ), τότε f ( ) για κάθε. 8) Αν ( ) ( ) o f g l, τότε θα υπάρχουν πάντα τα όρια f ( ) 9) Αν Αν a, τότε ln. o και g( ) ) Αν f ( ) ll, τότε f ( ) l ή f ( ) l (Μονάδες 3=3) Β. Πότε λέμε ότι της f έχει αριστερό όριο στο, και πότε δεξιό όριο στο και πώς σχετίζονται αυτά με την ύπαρξη του ορίου της f στο ; (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο Α. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής. (Μονάδες ) 64

65 Β. Έστω το πολυώνυμο: Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 3 ) 65

66 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΘΕΜΑ A Α. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής. Α. Αν P πολυώνυμο ν βαθμού ( ) και, να αποδείξετε ότι: P P (Μονάδες 7 ) (Μονάδες 8) Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f ( ), τότε κατ ανάγκη o β) Ισχύει. o f ( ) γ) Αν f ( ), τότε f ( ) κοντά στο. o δ) ε) Αν, τότε ΘΕΜΑ B B. Να βρείτε τα όρια: Β. Να βρείτε το όριο: Β3. Να βρείτε το όριο της συνάρτησης f στο (αν υπάρχει): (Μονάδες 5=) (Μονάδες 8) (Μονάδες 8 ) f ( ) 3,, 3 (Μονάδες 9 ) 66

67 ΘΕΜΑ Γ Γ. Αν, επόμενα όρια: f g οι συναρτήσεις f και g( ) αντίστοιχα, να βρείτε τα i) fog ( ) ii) f Γ. Να βρείτε τα α και β ώστε: (Μονάδες 4=8) 3 a (Μονάδες 9) Γ3. Δίνονται οι συναρτήσεις: Nα να βρείτε τα όρια: f και g για όλες τις τιμές των λ, μ ϵ R. (Μονάδες 4=8) ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνάρτηση f :, με: f y f ( ) f ( y) y για κάθε,, f ( ) για κάθε και Δ. Να βρείτε τις τιμές f (), f (), f (). y, f ( ) (Μονάδες 6) Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση «-». (Μονάδες ) Δ3. Αν g : * μια συνάρτηση με: 67

68 , να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το f ( ), g( ) 5 5 a, 5 g( ). (Μονάδες 9) Τα μαθήματα συνεχίζονται... 68

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Φ3: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ

Φ3: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ Φ: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γιώργος Μιχαηλίδης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΥ Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών και Σπουδών ικονομίας και Πληροφορικής Α ΤΜΣ ΡΙ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΙΑΦΡΙΚΣ ΛΓΙΣΜΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την υπογραφή του συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. f(x) = g(x)+c. Α2. ί. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;; (Να κάνετε πρόχειρο σχήμα).

ΛΥΣΕΙΣ. f(x) = g(x)+c. Α2. ί. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;; (Να κάνετε πρόχειρο σχήμα). ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ, 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 62 Ασκήσεις 27 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες. Συναρτήσεις Παράγωγοι. Kglykos.gr. εκδόσεις.

Επανάληψη. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 62 Ασκήσεις 27 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες. Συναρτήσεις Παράγωγοι. Kglykos.gr. εκδόσεις. Επανάληψη Κώστας Γλυκός Συναρτήσεις Παράγωγοι Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 6 Ασκήσεις 7 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες Kglys.gr / 7 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1 Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα