ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

Transcript

1 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη εικόα 1 X (,x] F, x. Ορισός (Συάρτηση Καταοής Πιθαότητας). Οοάζουε συάρτηση καταοής πιθαότητας (σ.κ.π.) της τ.. Χ τη: F(x) = P(X x), x. Ιδιότητες: 1. 0 F(x ) 1,. F(x 1 ) F(x ) ότα x 1 x, 3. F(x n ) F(x) ότα x n x, δηλαδή η F είαι δεξιά συεχής, 4. F( ) lim F(x) = 0 και F( ) lim F(x) = 1. x x Ατίστροφα αποδεικύεται ότι κάθε συάρτηση F, η οποία ικαοποιεί τις ιδιότητες, 3 και 4 είαι σ.κ.π. i) Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές: Μια τ.. Χ καλείται διακριτή α παίρει ε πιθαότητα 1 πεπερασέο ή αριθήσιο σύολο τιώ {x 0, x 1, }, δηλαδή: P(X {x 0, x 1,...}) = P(X = x ) = 1. Η συάρτηση f(x ) = P(X = x ), = 0,1,, καλείται συάρτηση άζας πιθαότητας (σ..π.) της τ.. Χ και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. f(x ) 0, = 0, 1,,,. f(x ) = 1. = 0 Ατίστροφα αποδεικύεται ότι κάθε συάρτηση f η οποία ικαοποιεί τις ιδιότητες 1 και είαι σ..π. =0 Ισχύου οι εξής σχέσεις: και F(x) = 0, x < x 0, r f(x ), xr x < x r+1, r = 0, 1,,..., =0 Δ.Φουσκάκης - Τυχαίες Μεταβλητές 1

2 f(x ) = F(x 0), = 0, F(x )-F(x -1), = 1,,... Ισχύου επίσης τα παρακάτω ε a < b: P(a < X b) = F(b) F(a), P(a X b) = F(b) F(a) + P(X = a), P(a < X < b) = F(b) F(a) P(X = b), P(a X < b) = F(b) F(a) + P(X = a) P(X = b). Παράετροι καταοής: Έστω Χ ία διακριτή τ.. ε τιές {x 0, x 1,...} και σ..π. f(x ) = P(X = x ), = 0,1,. Λέγεται ότι η Χ έχει (πεπερασέη) έση τιή ότα =0 Τότε η έση τιή αυτής ορίζεται ως: x f(x ) <. = Ε(Χ) = x f(x ). Έστω g: συάρτηση. Τότε ισχύει: ε τη προϋπόθεση ότι =0 Ε[g(Χ)] = g(x )f(x ), =0 =0 g(x ) f(x ) <. Λέγεται ότι η υπάρχει η ροπή -τάξης περί τη αρχή της τ.. Χ,, ότα Ε[ Χ ] <. Τότε η ροπή -τάξης περί τη αρχή ορίζεται ως: ' = Ε[Χ ] = =0 x f(x ). Έστω ότι η τ.. X έχει πεπερασέη έση τιή = Ε[Χ]. Λέγεται ότι η υπάρχει η κετρική ροπή -τάξης,, ότα Ε[ Χ - ] <. Τότε η κετρική ροπή -τάξης ορίζεται ως: = Ε[(Χ - ) ] = (x -) f(x ). =0 Ειδικά η κετρική ροπή ης -τάξης οοάζεται διασπορά και συβολίζεται σ ή V[Χ]. Έχουε συεπώς σ = V[Χ] = (x -) f(x ). =0 Δ.Φουσκάκης - Τυχαίες Μεταβλητές

3 Η τετραγωική ρίζα της διασποράς οοάζεται τυπική απόκλιση και συβολίζεται ε σ (σ 0). ii) Συεχείς Τυχαίες Μεταβλητές: Μια τ.. Χ καλείται συεχής α υπάρχει πραγατική συάρτηση f ε πεδίο ορισού το : 1. f(x) 0, x,. + f(x)dx = 1. Η συάρτηση f καλείται συάρτηση πυκότητας πιθαότητας (σ.π.π.) της τ.. Χ. Ατίστροφα αποδεικύεται ότι κάθε συάρτηση f η οποία ικαοποιεί τις ιδιότητες 1 και είαι σ.π.π. Ισχύου οι εξής σχέσεις: P(X = a) = 0, a. F(x) = P(X x) = f(x) = df(x) dx x f(x)dx., όπου η παράγωγος υπάρχει. P(a < X b) = P(a X b) = P(a < X < b) = P(a X < b) = b f(x)dx = F(b) F(a), a < b. a Παράετροι καταοής: Έστω Χ ία συεχής τ.. και σ.π.π. f(x). Λέγεται ότι η Χ έχει (πεπερασέη) έση τιή ότα Τότε η έση τιή ορίζεται ως: + x f(x)dx <. = Ε[Χ] = + xf(x)dx. Έστω g: συάρτηση. Τότε ισχύει: ε τη προϋπόθεση ότι Ε[g(Χ)] = + g(x)f(x)dx, Δ.Φουσκάκης - Τυχαίες Μεταβλητές 3

4 + g(x) f(x)dx <. Λέγεται ότι η υπάρχει η ροπή -τάξης περί τη αρχή,, ότα Ε[ Χ ] <. Τότε η ροπή -τάξης περί τη αρχή ορίζεται ως: ' = Ε[Χ ] = + x f(x)dx. Έστω ότι η X έχει πεπερασέη έση τιή = Ε[Χ]. Λέγεται ότι η υπάρχει η κετρική ροπή -τάξης αυτής,, ότα Ε( Χ- ) <. Τότε η κετρική ροπή - τάξης ορίζεται ως: = Ε[(Χ-) ] = + (x-) f(x)dx. Ειδικά η κετρική ροπή ης -τάξης οοάζεται διασπορά και συβολίζεται σ ή V(X). σ = V(X) = + (x-) f(x)dx. Η τετραγωική ρίζα της διασποράς συβολίζεται ε σ (σ 0) και οοάζεται τυπική απόκλιση. Ιδιότητες Μέσης Τιής και Διασποράς: Έστω Χ = α ε πιθαότητα 1. Τότε Ε[Χ] = α. Έστω α, β και Χ, Υ τ.. ε (πεπερασέες) έσες τιές. Τότε η τ.. αχ+βυ έχει (πεπερασέη) έση τιή και ισχύει: Ε[αΧ+βΥ] = αε[χ] + βε[υ]. Έστω Χ τ.. και g:, h: συεχείς συαρτήσεις. Με τη προϋπόθεση ότι υπάρχου οι έσες τιές Ε[g(Χ)] και Ε[h(Χ)] ισχύει: Ε[g(Χ) + h(χ)] = Ε[g(Χ)] + Ε[h(Χ)]. Έστω α i, g i : συεχείς συαρτήσεις ε i = 1,,..., και Χ τ.. Με τη προϋπόθεση ότι υπάρχου οι Ε[g i (Χ)] ε i= 1,,..., ισχύει: α g(x) ] = Ε[ v i i i=1 v i=1 α E[g (X)]. Α υπάρχει η ροπή -τάξης περί τη αρχή, δηλαδή α Ε[ Χ ] <, τότε και Ε[ Χ m ] <, m <. Έστω Χ = α ε πιθαότητα 1. Τότε V[Χ] = 0. Έστω α, β και Χ τ.. Τότε V[αΧ+β] = α V[Χ]. Έστω Χ τ.. ε πεπερασέη Ε[Χ ]. Τότε η V[Χ] είαι πεπερασέη και ισχύει: V[X] = E[X ] {E[X]}. i i Δ.Φουσκάκης - Τυχαίες Μεταβλητές 4

5 Θεώρηα (Αισότητα Marov). Έστω Χ τ.. και Υ = g(χ) ια η αρητική τ.. Α υπάρχει η Ε[g(X)] τότε α + : P(g(Χ) α) E[g(X)]. α Πόρισα (Αισότητα Chebyshev). Έστω Χ τ.. της οποίας υπάρχει η Ε[Χ] = και η V[X] = σ. Τότε α + σ P( Χ- α). α Δ.Φουσκάκης - Τυχαίες Μεταβλητές 5