4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ"

Πρίσκιλλα Ταρσούλη
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Ταυτότητα της διαίρεσης (x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου υ(x) είναι ή το µηδενικό πολυώνυµο ή βαθµός υ(x) < βαθµός δ(x) (x) διαιρετέος δ(x) διαιρέτης π(x) πηλίκο υ(x) υπόλοιπο Αν υ(x) = τότε (x) = δ(x)π(x) τέλεια διαίρεση.. Θεώρηµα Το υπόλοιπο της διαίρεσης πολυωνύµου Ρ(x) µε το x ρ ισούται µε την τιµή του Ρ(x) για x = ρ, δηλαδή είναι υ = Ρ(ρ).. Θεώρηµα Ένα πολυώνυµο Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και µόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και µόνο αν Ρ(ρ) =.

διαιρετέος δ(x) διαιρέτης π(x) πηλίκο υ(x) υπόλοιπο Αν υ(x) = τότε (x) = δ(x)π(x) τέλεια διαίρεση.

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Περιορισµός Κάθε διαιρέτης είναι µη µηδενικό πολυώνυµο.. Ταυτόσηµες εκφράσεις «η διαίρεση του Ρ(x) µε το δ(x) είναι τέλεια» «η διαίρεση του Ρ(x) µε το δ(x) δίνει υπόλοιπο µηδέν» «το δ(x) διαιρεί το Ρ(x)» «το δ(x) είναι παράγοντας του Ρ(x)» «το Ρ(x) διαιρείται από το δ(x)» «το Ρ(x) έχει παράγοντα το δ(x)». Μέθοδος Η πράξη της διαίρεσης, αν θέλουµε, αντικαθίσταται µε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4. Μέθοδος Όταν ο διαιρέτης είναι της µορφής x ρ : i) Θα είναι υ(x) = υ (σταθερό πολυώνυµο) ii) Ο βαθµός του πηλίκου π(x) θα είναι κατά µονάδα µικρότερος του βαθµού του διαιρετέου (x). iii) Θέτουµε όπου x το ρ 5. Μέθοδος Όταν ο διαιρέτης δεν είναι της µορφής x ρ : εργαζόµαστε µε την ταυτότητα της διαίρεσης, χρησιµοποιώντας γενική µορφή των πολυωνύµων. 6. Μέθοδος Όταν ο διαιρέτης είναι της µορφής (x ρ )(x ρ ) ή (x ρ ) : i) Θα είναι υ(x) = αx + β (δηλαδή βαθµού το πολύ ) ii) ύο φορές ταυτότητα της διαίρεσης (στο διαιρετέο και στο πηλίκο). iii) Θέτουµε διαδοχικά όπου x τα ρ, ρ.

διαιρείται από το δ(x)» «το Ρ(x) έχει παράγοντα το δ(x)». Μέθοδος Η πράξη της διαίρεσης, αν θέλουµε, αντικαθίσταται µε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4.

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν το πολυώνυµο x + είναι παράγοντας του Ρ(x) = x x + Είναι x + = x ( ) υ = Ρ( ) = + = το είναι ρίζα του Ρ(x) οπότε το x + είναι παράγοντας του Ρ(x). Να βρείτε πολυώνυµο Ρ(x) τέτοιο ώστε διαιρούµενο µε το x να δίνει πηλίκο 5x + 6 και υπόλοιπο x +. Σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (x ) Ρ(x) = (x )(5x + 6) + x + Ρ(x) = x + x 5x 8 + x + Ρ(x) = x + x x 7 έχουµε Σχόλιο. Έστω το πολυώνυµο Ρ(x) = 6κx 4κλx + (λ κ)x + 5κ + 4 µε κ,λ R Να βρείτε τα κ, λ, αν το x είναι παράγοντας του Ρ(x) Πρέπει και αρκεί Ρ() = 6κ 4κλ + λ κ + 5κ + 4 = λ + 5κ 4κλ + 4κ + 4 = λ + 4κ 4κλ + κ + 4κ + 4 = (λ κ) + (κ + ) = λ κ = και κ + = λ = κ και κ = λ = 4 και κ =

Να βρείτε πολυώνυµο Ρ(x) τέτοιο ώστε διαιρούµενο µε το x να δίνει πηλίκο 5x + 6 και υπόλοιπο x +.

4 4 4. Με την βοήθεια µόνο του σχήµατος Horner να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο Ρ(x) = x 4 5x + 5x + 5x 6 έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του πολυωνύµου Σ(x) = x 5x + 6 και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x) : Σ(x) Οι ρίζες του τριωνύµου Σ(x) είναι και Σ(x) = (x )(x ) Σχήµα Horner για ρ = Άρα Ρ(x) = (x )(x x x + ) () Σχήµα Horner για ρ = Άρα x x x + = (x )(x ) Οπότε η () γίνεται Ρ(x) = (x )(x )(x ) = Σ(x)(x ) Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι τα x, x είναι παράγοντες του Ρ(x) και το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x) : Σ(x) είναι π(x) = x. 5. Να βρείτε τα α και β ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) = x (α β)x x + µε το x + να είναι 4, ενώ η διαίρεση του Κ(x) = x 4 αx + βx α + 5β + µε το x να είναι τέλεια. Πρέπει Ρ( ) = 4 Κ () = ( α β ) + + = 4 α+β α+ 5 β+ = α+β= α+ 6 β= α=β α+ β= α=β β+ β= α=β β= 4 α= 4 = 7 β= 4

η () γίνεται Ρ(x) = (x )(x )(x ) = Σ(x)(x ) Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι τα x, x είναι παράγοντες του Ρ(x) και το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x) : Σ(x) είναι π(x) = x. 5.

5 5 6. Να βρείτε τα κ, λ ώστε το πολυώνυµο Ρ(x) = (κ )x + (λ + )x λx + να διαιρείται µε το x + και το Β(x) = κx + (λ + )x 4 να έχει παράγοντα το x. Σχόλιο Πρέπει Ρ( ) = Β () = κ + λ+ λ + = κ+ ( λ+ ) 4 = ( )( ) ( )( ) ( ) ( κ )( 8) + 8( λ+ ) + λ+ = κ+λ = 8κ+ 8+ 8λ+ 8+ λ+ = λ= κ 8κ+ λ+ 7= λ= κ 8κ+ ( κ ) + 7= λ= κ 8κ+ κ+ 7= λ= κ 8κ= 47 λ= κ 47 κ= 8 47 λ= 8 47 κ= 8 5 λ= 4 7. Να αποδείξετε ότι οι διαιρέσεις των πολυωνύµων Α(x) = x + x 8 + 5x 4 + x + και Β(x) = x 6 x 4 5 µε οποιοδήποτε πολυώνυµο της µορφής x ρ δεν είναι τέλειες υ = Α(ρ) = ρ + ρ 8 + 5ρ 4 + ρ + > αφού οι εκθέτες του ρ είναι άρτιοι η διαίρεση του Α(x) µε το x ρ δε µπορεί να είναι τέλεια. Οµοίως υ = Β(ρ) = ρ 6 ρ 4 5 = ( ρ 6 + ρ 4 + 5) <

λ= κ 8κ= 47 λ= κ 47 κ= 8 47 λ= 8 47 κ= 8 5 λ= 4 7.

6 6 8. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης πολυωνύµου Ρ(x) µε το x είναι ίσο µε Ρ( ) Η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (x ) είναι Για x = Ρ(x) = (x )π(x) + υ () η () Ρ( ) ( ) = Ρ( ) ( ) = π Ρ( ) = υ π( ) + υ + υ Σχόλιο 9. Να βρεθεί το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) = x x 5x µε το x. υ = Ρ() = 5 = 8 = 5 Ταυτότητα της διαίρεσης : x x 5x = (x )(α x + βx + γ) 5 Σχόλιο 4 Άρα π(x) = α x + βx + γ = x x 5x = α x + β x + γx α x βx γ 5 x x 5x = α x + (β α) x + (γ β)x (γ +5) α = και β α = και γ β = 5 και γ +5 = α = και β = και γ β = 5 και γ = 7 α = και β = και γ ( ) = 5 και γ = 7 α = και β = και γ = 7 και γ = 7 x x 7 Άλλοι τρόποι είναι α) Σχήµα Horner β) Εκτέλεση της διαίρεσης Ρ(x) :(x )

υ = Ρ() = 5 = 8 = 5 Ταυτότητα της διαίρεσης : x x 5x = (x )(α x + βx + γ) 5 Σχόλιο 4 Άρα π(x) = α x + βx + γ = x x 5x = α x + β x + γx α x βx γ 5 x x 5x = α x + (β α) x + (γ

7 7. Αν το πολυώνυµο Ρ(x) διαιρούµενο µε το x δίνει υπόλοιπο και µε το x + δίνει υπόλοιπο, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x 4. Η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (x 4) είναι Ρ(x) = (x 4)π(x) + υ(x), όπου υ(x) = κx + λ () Για x = η () Ρ() = κ+λ Όµως από υπόθεση είναι Ρ() = Άρα κ + λ = () Για x = η () Ρ( ) = κ+λ Πάλι από υπόθεση είναι Ρ( ) = Άρα κ + λ = () Σύστηµα των (), () : κ =, λ = () υ(x) = x + Σχόλιο 5. Έστω πολυώνυµο Ρ(x) τέτοιο ώστε για κάθε x R να ισχύει Ρ(x + ) + Ρ(x) = x + x Αν το Ρ(x) έχει ρίζα το να δείξτε ότι δεν έχει ρίζα το. Αρκεί να δείξουµε ότι Ρ() Η δοσµένη συνθήκη για x = Ρ() + Ρ() = Όµως από υπόθεση είναι Ρ() =, οπότε Ρ() = άρα το δεν είναι ρίζα του Ρ(x).. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου Ρ(x) µε το x είναι, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου Ρ(x + 5) + x 6 µε το x +. Λύση Από υπόθεση έχουµε ότι Ρ() =. Έστω Κ(x) = Ρ(x+ 5) + x 6 () Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης Κ(x): (x +) είναι υ = Κ( ). Όµως για x = η () Κ( ) = Ρ( + 5) 6 Κ( ) = Ρ() 7 και επειδή Ρ() = βρίσκουµε ότι Κ( ) = 4. Οπότε υ = 4

είναι Ρ( ) = Άρα κ + λ = () Σύστηµα των (), () : κ =, λ = () υ(x) = x + Σχόλιο 5.

8 8. Έστω το πολυώνυµο Ρ(x) τέτοιο ώστε Ρ(x) = Ρ( x) για κάθε x R. είξτε ότι το πολυώνυµο Q(x) = Ρ(x) Ρ() έχει σαν παράγοντες όλους τους παράγοντες του x x. Είναι x x = x(x ) Η υπόθεση Q(x) = Ρ(x) Ρ(), για x = Q () = Ρ () Ρ () = Άρα το x είναι παράγοντας του Q(x) Η υπόθεση Q(x) = Ρ(x) Ρ(), για x = Q () = Ρ ( ) Ρ () () Η υπόθεση Ρ(x) = Ρ( x), για x = Ρ() = Ρ() ( ) Q () = Άρα το x είναι παράγοντας του Q(x) 4. Να βρείτε πολυώνυµο Ρ(x) ου βαθµού, έτσι ώστε να ισχύουν Ρ() = και Ρ(x) = 4x + Ρ(x ) για κάθε x R. Έστω Ρ(x) = αx + βx + γ, α το ζητούµενο πολυώνυµο. Ρ() = α + β + γ = γ = Η Ρ(x) = 4x + Ρ(x ) για x = Ρ() = Ρ( ) = α( ) + β( ) + γ = 4α β + α β = () Η Ρ(x) = 4x + Ρ(x ) για x = Ρ() = 8 + Ρ() Σύστηµα των (), () α = και β = Άρα Ρ(x) = x + x α + β + = 8 + 4α + β = 8 α + β = 4 ()

Ρ() = Ρ() ( ) Q () = Άρα το x είναι παράγοντας του Q(x) 4. Να βρείτε πολυώνυµο Ρ(x) ου βαθµού, έτσι ώστε να ισχύουν Ρ() = και Ρ(x) = 4x + Ρ(x ) για κάθε x R.

9 9 5. Έστω τα πολυώνυµα Ρ(x) = x, Q(x) = x και F(x) = αx + βx + γ α Να βρείτε τα α, β, γ ώστε να ισχύει Ρ(Q(x )) = F(x + ) για κάθε x R. Από την υπόθεση Q(x) = x Q(x ) = (x ) = x 4 () Από την υπόθεση Ρ(Q(x )) = F(x + ) Ίσα πολυώνυµα P (x 4) = F(x + ) ( ) (x 4) = α(x + ) + β(x + ) + γ α (9 x 4x + 6) = α( x + x + ) + βx + β + γ α 8 x 48x + = α x + 6αx + α + βx + β + γ α 8x 48x + = αx + (6α + β)x + α + β + γ α =8 και 6α + β = 48 και α + β + γ = α = 6 και β = 48 και 6 + β + γ = α = 6 και β = 4 και 84 + γ = α = 6 και β = 4 και γ = 6. Να βρείτε τα κ και λ ώστε το πολυώνυµο έχει παράγοντα το (x )(x ). Ρ(x) = x + (κ )x + (λ )x + να Πρέπει για κάθε x R να ισχύει Ρ(x) = (x )(x )π(x) () Η () για x = Ρ() = + (κ ) + (λ ) + = + κ + λ + = κ + λ = () Η () για x = Ρ() = + (κ ) + (λ ) + = 8 + 8κ 4 + λ + = 8κ + λ = 4 4κ + λ = () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε κ =, λ =.

48x + = α x + 6αx + α + βx + β + γ α 8x 48x + = αx + (6α + β)x + α + β + γ α =8 και 6α + β = 48 και α + β + γ = α = 6 και 6 6 + β = 48 και 6 + β + γ = α = 6 και β = 4 και 84 + γ = α = 6 και β = 4 και

10 7. Έστω πολυώνυµο Ρ(x) τέτοιο ώστε να ισχύει Ρ(Ρ(x) +) + Ρ(x) = Ρ(x + ) x + για κάθε x R. Αν το Ρ(x) έχει παράγοντες τους x και x, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x. Το ζητούµενο υπόλοιπο θα είναι ίσο µε Ρ(). x παράγοντας του Ρ(x) Ρ() = x παράγοντας του Ρ(x) Ρ() = Η δοσµένη σχέση για x = Ρ(Ρ() +) + Ρ() = Ρ( + ) + Ρ( + ) + = Ρ() + Ρ() = Ρ() + = Ρ() + Ρ() =

Το ζητούµενο υπόλοιπο θα είναι ίσο µε Ρ().

11 8. Πολυώνυµο Ρ(x) διαιρούµενο µε το x δίνει υπόλοιπο και διαιρούµενο µε το x + 5x + 6 δίνει υπόλοιπο x. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) µε το (x )(x + 5x + 6) Λύση Από τις υποθέσεις είναι Ρ() = () και Ρ(x) = (x + 5x + 6) π(x) + x () Οι ρίζες του τριωνύµου x + 5x + 6 είναι και Η () για x = Ρ( ) = π( ) + ( ) Ρ( ) = 7 () Η () για x = Ρ( ) = π( ) + ( ) Ρ( ) = 9 (4) Η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (x )(x + 5x + 6) είναι Ρ(x) = (x )(x + 5x + 6) π(x) +αx + βx + γ (5) Η (5) για x = Ρ() = α + β + γ = 4α + β + γ (Α) Η (5) για x = Ρ( ) = α ( ) + β ( ) + γ 7 = 4α β + γ (Β) Η (5) για x = Ρ( ) = α ( ) + β ( ) + γ 9 = 9α β + γ (Γ) Λύνοντας το σύστηµα των (Α), (Β), (Γ) βρίσκουµε α =, β =, γ =. Οπότε το ζητούµενο υπόλοιπο είναι το αx + βx + γ = x

() για x = Ρ( ) = π( ) + ( ) Ρ( ) = 7 () Η () για x = Ρ( ) = π( ) + ( ) Ρ( ) = 9 (4) Η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (x )(x + 5x + 6) είναι Ρ(x) = (x )(x + 5x + 6) π(x) +αx + βx + γ (5) Η

12 9. Να βρείτε τις τιµές των κ και λ ώστε το πολυώνυµο Ρ(x) = x 4 (κ )x + λx (λ + κ)x + να διαιρείται µε το (x ) Πρέπει Ρ(x) = (x )π(x) και π(x) = (x ) π (x) Ρ() = () και π() = () Σχήµα Horner στο Ρ(x) και για ρ =, ώστε να έχουµε το π(x) και το Ρ() -κ+ λ -λ-κ -κ+ λ-κ+ -λ-κ+ -κ+ λ-κ+ -λ-κ+ -λ-κ+5 Οπότε π(x) = x + ( κ + )x + (λ κ + )x λ κ + 5 και Ρ() = λ κ + 5 Άρα π() = + ( κ + ) + (λ κ + ) λ κ + 5 = + ( κ + ) + (λ κ + ) λ κ + 5 = κ + + λ κ + λ κ + 5 = 4κ + Οι () και () λ κ + 5 = και 4κ + = λ = 5 κ και 5 κ= λ = και κ= λ = και 5 κ=

-λ-κ+ -κ+ λ-κ+ -λ-κ+ -λ-κ+5 Οπότε π(x) = x + ( κ + )x + (λ κ + )x λ κ + 5 και Ρ() = λ κ + 5 Άρα π() = + ( κ + ) + (λ κ + ) λ κ + 5 = +

13 . Έστω το πολυώνυµο Ρ(x) = νx ν+ + (ν + )x ν + α i) Να βρείτε το α ώστε το Ρ(x) να διαιρείται µε το x. ii) Για την τιµή του α που βρήκατε δείξτε ότι το Ρ(x) διαιρείται µε το (x ). i) Για να διαιρείται το Ρ(x) µε το x, θα πρέπει Ρ() = ν + ν + + α = α = Τότε Ρ(x) = νx ν+ + (ν + )x ν ii) Για να διαιρείται τώρα το Ρ(x) µε το (x ) αρκεί και π() =, όπου π(x) το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x): (x ). Με Horner βρίσκουµε το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x): (x ) Σχόλιο 6 -ν ν ν... -ν... Από το παραπάνω σχήµα έχουµε π(x) = νx ν + x ν- + x ν- +.+ x + π() = ν Tο πλήθος των µονάδων είναι ν, δεδοµένου ότι το π(x) έχει συνολικά ν + όρους. Άρα π() = ν + ν =. Εποµένως το Ρ(x) διαιρείται µε το (x ).

i) Για να διαιρείται το Ρ(x) µε το x, θα πρέπει Ρ() = ν + ν + + α = α = Τότε Ρ(x) = νx ν+ + (ν + )x ν ii) Για να διαιρείται τώρα το Ρ(x) µε το (x ) αρκεί και π() =, όπου

14 4. Έστω το πολυώνυµο Ρ(x) = x 7x 8x i) Να βρείτε όλους τους πρωτοβάθµιους παράγοντες του Ρ(x). ii) Αν Q(x) πολυώνυµο βαθµού, να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Q(x) µε το Ρ(x). Ποια η µορφή του υπολοίπου; iii) Αν ισχύουν Q() =, Q( ) =, Q(8) =, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Q (x): Ρ (x) i) Ρ(x) = x 7x 8x = x(x 7x 8) Οι ρίζες του τριώνυµου x 7x 8 είναι το 8 και το. Οπότε (x 7x 8) = (x 8)(x + ) και Ρ(x) = x(x 8)(x + ) ii) Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι Q(x) = (x 7x 8) π(x) + αx + βx + γ () Όπου π(x) το πηλίκο και αx + βx + γ = υ(x) το υπόλοιπο iii) Από την () Q () = γ, Q ( ) = α β + γ, Q (8) = 64α + 8β + γ γ = Και από την υπόθεση α β + γ = 64α + 8β + γ = Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε 5 α =, β=, γ = Άρα υ(x) = 5 x x + γ. 6 6

15 5. i) είξτε ότι : Τα πολυώνυµα Ρ(x) και Σ(x) διαιρούµενα µε το Α(x), δίνουν το ίδιο υπόλοιπο αν και µόνο αν το Α(x) είναι παράγοντας της διαφοράς Ρ(x) Σ(x) ii) Έστω Ρ(x) = αx + x + 6 και Σ(x) = x. Nα βρείτε το πολυώνυµο Ρ(x), αν τα Ρ(x) και Σ(x) διαιρούµενα µε το x + δίνουν το ίδιο υπόλοιπο. i) Από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε Ρ(x) = Α(x) π (x) + υ (x), και Σ(x) = Α(x) π (x) + υ (x) Αφαιρώντας κατά µέλη Ευθύ : Όταν υ (x) = υ (x). Η () Ρ(x) Σ(x) = Α(x) π (x) + υ (x) Α(x) π (x) υ (x) Ρ(x) Σ(x) = Α(x) [π (x) π (x)] + υ (x) υ (x) () Ρ(x) Σ(x) = Α(x) [π (x) π (x)] το Α(x) είναι παράγοντας της διαφοράς Ρ(x) Σ(x) Αντίστροφο : Όταν το Α(x) είναι παράγοντας της διαφοράς Ρ(x) Σ(x). Λόγω της µοναδικότητας του πηλίκου η () υ (x) υ (x) = υ (x) = υ (x) ii) Με βάση το ( i, αντίστροφο) έχουµε Ρ(x) Σ(x) = (x + ) π(x) Οπότε Ρ(x) = αx + x + 6 x + = (x + ) π(x) Για x = α( ) + ( ) + 6 ( ) + = 8α = x + x α = α = 8

i) Από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε Ρ(x) = Α(x) π (x) + υ (x), και Σ(x) = Α(x) π (x) + υ (x) Αφαιρώντας κατά µέλη Ευθύ : Όταν υ (x) = υ (x).

Σχετικά έγγραφα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέµα 1 Α) Να αποδείξετε την σχέση: Ρ(Α ) 1 Ρ(Α) Β) Να δώσετε τον ορισµό της νιοστής ρίζας ενός µη αρνητικού αριθµού α. Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,