ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. Έστω Ζ=α+βi 1. = 3. Z Z Z. , Αν Z R τοτε 4. Z z1 z2 z1 z2 z1 z2. M M z z 10. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΠΡΑΞΗ

Transcript

1 ΦΥΛ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Έστω Ζ=α+βi. =. Z Z Z 3. Z Z Z, Αν ZR τοτε Z Z 4. Z Z Z Z M M

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω ο = 8-5i.Nα βρείτε το μέτρο του και την απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων. Αν = 3-4i και ω = i να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών : i) 3 ω i 3 iv) i( ) 5 3. Nα βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών : i) 0 6i = 3 5i 7 ( i) = 3 ( i) (3 4i) 3 i 3 ( i) ( 5 i) ( i) iv) 4 =, ν ( i) * 4. Να αποδείξετε ότι ( ) i i 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) i i 0 7 i 6. Αν ()( x yi 5) i να δείξετε ότι 7. Να αποδείξετε ότι : i) R Re() x y 9 o είναι φανταστικός αν και μόνο αν Im() 8. Για τον μιγαδικό να δείξετε ότι : i) είναι πραγματικός αν και μόνο αν ²= είναι φανταστικός αν και μόνο αν ²= -

3 * 9. Έστω C. Nα δείξετε ότι ο αριθμός + είναι πραγματικός αν και μόνο αν R ή = 0. Αν - να δείξετε ότι αν = τότε ο ω= αντίστροφα. είναι φανταστικός και. Για κάθε, C, να δείξετε ότι 4 Re( ).. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει : i) vi) 3 4i < v 3 4i i vi 3i 9 iv) 4 3 ix) 3i v) a x) 3 3. Aν, 5 και 3 να υπολογίσετε το 4. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών ω της μορφής ω= 3 με 5. Αν για τον μιγαδικό ισχύει 3 Α= 3i 3i περίπτωση όπου 3, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης.nα δοθεί γεωμετρική ερμηνεία για την παράσταση στην 6. i) Nα αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει 5 4 βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Αν και είναι δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν την προηγούμενη σχέση να δείξετε ότι 7. Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στο κύκλο Ο(0,0) και ακτίνας να i δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του ω= i

4 9 8. Αν 3, ( ) να δείξετε ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο γράφει κύκλο. 9. Αν η εικόνα του μιγαδικού διαγράφει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας, να δείξετε ότι η εικόνα του ω=+ δια γράφει έλλειψη. 0. Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα R να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού ω = ( ) κινείται σε έλλειψη.. Δίνεται 4i 5 : i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών Nα βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη δυνατή τιμή του. Αν ω= 6 8i και 5 τιμή της παράστασης Α = να βρείτε να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη 3. Αν =9 i και =4 να αποδείξετε ότι i) Να βρείτε το σύνολο των σημείων που είναι εικόνες του για τους οποίους ισχύει 3 5 4i Από τους μιγαδικούς,που ικανοποιούν την προηγούμενη σχέση ποιος έχει το μικρότερο μέτρο; i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει 4i Ποιος από τους μιγαδικούς έχει το μικρότερο μέτρο ; 6. Αν, C και 0 να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών ω, ω, ω 3 i 3 είναι κορυφές ισόπλευρου τρίγωνου 7. Αν, C και με εικόνες Α,Β αντίστοιχα να δείξετε ότι ο αριθμός είναι φανταστικός, αν και μόνο αν το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές ή τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά. 8. Έστω, C οι ρίζες της ² +α+β=0. Αν 3 και Re( )=3 τότε :

5 i) Να βρείτε τα α,β R και τις ρίζες της εξίσωσης Να δείξετε ότι ( ) R 9. Να δείξετε ότι οι ρίζες της 0, έχουν το ίδιο μέτρο. Για ποια τιμή της παραμέτρου είναι 30. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων : i) 3 5 4i 3 5 4i i i iv) 4i i v) i vi) 3. Έστω και 6 4 να βρείτε το 3. Αν και να δείξετε ότι Im i 33. Να βρείτε το Γ.Τ. των σημείων M () αν : i) και Im() 0 i και Re() 34. Αν i 3 να δείξετε ότι i i) Nα περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις : και Im() 0 Να αποδείξετε ότι αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στο 4 σύνολο (Σ) τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο βρίσκεται στον άξονα χ χ 36. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της 4 0 με 4 4 βρίσκονται πάνω σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. 37. Να βρείτε το ν σε κάθε περίπτωση: i) () i 6 ( 3) i 8 i i 8()( i i3) i

6 38. Aν () i v i 3 3 i a. Να δείξετε ότι b. Να δείξετε ότι το M (),, v τότε: κινείται σε κύκλο 39. Αν τότε: a. Αν 6 4 να δείξετε ότι 4 b. Αν να δείξετε ότι : αν και μόνο αν ο φανταστικός. είναι 40. Έστω x yi και θέτουμε u i και i w. Αν η εικόνα M () κινείται στην ευθεία () : x y 0. Να δείξετε ότι a. u b. Η εικόνα N() w κινείται σε κύκλο 4. Αν 3 και 3, να δείξετε ότι 4. Α. Αν i να δείξετε ότι i Im() 0 i Β. Αν i,,,.., v 3 και ισχύει η σχέση 3 i i v i (...) v i... να δείξετε ότι i i i (...) i v v