ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου"

Έρις Θεοδωρίδης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά πόσον ο κατηγορούμενος Α είναι ένοχος. Εκείνος απάντησε ότι και οι τρεις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς: (i) O A είναι αθώος ή ο Β είναι ένοχος. (ii) Ο B είναι αθώος ή ο Γ είναι αθώος. (iii) Εάν ο Α είναι ένοχος, τότε οι Β και Γ είναι και οι δύο ένοχοι. Θεωρώντας δεδομένο ότι ο δικαστής λέει την αλήθεια, ο Α είναι τελικά αθώος ή ένοχος; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. a. Όπως φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα αληθείας, η συγκεκριμένη πρόταση δεν αποτελεί ταυτολογία, δεδομένου ότι δεν είναι αληθής για κάθε συνδυασμό τιμών των επιμέρους προτάσεων p, q και r. Αυτό μπορεί να αποδειχτεί και μέσω χρήσης ταυτοτήτων. P q r (p q) r (p q) (q r) ((p q) r) ((p q) (q r)) T T T T T T T T F F F T T F T T F F T F F T F F F T T T T T F T F T F F F F T T T T F F F T T T Έστω α η πρόταση «Ο Α είναι ένοχος», β η πρόταση «Ο Β είναι ένοχος» και γ η πρόταση «ο Γ είναι ένοχος». Τότε ο δικαστής μας διαβεβαιώνει ότι και οι τρεις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς: 1. α β 2, β γ 3. α β γ. Από την (3) προκύπτει ότι η α (β γ) είναι αληθής Άρα η α ( β γ) είναι αληθής Άρα εξαιτίας της (2) η α Τ είναι αληθής Άρα η α F είναι αληθής. Άρα η α είναι αληθής. Άρα η α είναι ψευδής. Άρα ο Α είναι αθώος. Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να δει την τιμή αληθείας των προτάσεων που είπε ο δικαστής, για κάθε συνδυασμό τιμών αληθείας των προτάσεις α, β και γ και να δει τι τιμή έχει η πρόταση α όταν και οι τρεις προτάσεις που είπε ο δικαστής είναι αληθείς. Σελίδα 1 από 5

2 Θέμα 2: a. Έστω η προτασιακή μορφή Ν(x,y) που έχει το νόημα «Ο x μπορεί να νικήσει τον y στο σκάκι». Διατυπώστε ως προτάσεις κατηγορηματικού λογισμού τις παρακάτω προτάσεις φυσικής γλώσσας: 1. «Όλοι μπορούν να νικήσουν τον Βασίλη στο σκάκι» 2. «Ο Αντώνης δεν μπορεί να νικήσει κανέναν στο σκάκι» 3. «Υπάρχει κάποιος που μπορεί να νικήσει τουλάχιστον δύο άτομα στο σκάκι» 4. «Υπάρχει κάποιος που μπορεί να νικήσει τους πάντες στο σκάκι, εκτός από τον Σπύρο» Ποιες είναι οι τιμές αλήθειας των παρακάτω προτάσεων αν το πεδίο ορισμού των μεταβλητών είναι το σύνολο των ακεραίων Z; Αιτιολογείστε με μια φράση ή ένα αντιπαράδειγμα την απάντηση: a. 1. x Ν(x, Βασίλης) 2. x Ν(Αντώνης, x) 3. x y 1 y 2 (Ν(x,y 1) Λ Ν(x,y 2) Λ (y 1 <> y 2)) 4. x ( y ( (y<>σπύρος) N(x,y)) 1. Αληθές. Ο m=n 2 +1 είναι ένας τέτοιος αριθμός 2. Αληθές. O n=0 είναι ένας τέτοιος αριθμός 3. Αληθές. Ο n=-m είναι ένας τέτοιος αριθμός 4. Αληθές. Ο n=1 είναι ένας τέτοιος αριθμός 5. Αληθές. Ισχύει για n=3 και m=1 Θέμα 3: a. Έστω ακέραιοι a, Αποδείξτε με απαγωγή σε άτοπο ότι αν ο 4 διαιρεί ακέραια τον τότε οι a,b δεν είναι και οι δύο περιττοί. Αποδείξτε χωρίς να χρησιμοποιήσετε διαγράμματα Venn και χωρίς αναγωγή σε προτάσεις του προτασιακού λογισμού ή χρήση πίνακα μελών, ότι για οποιαδήποτε σύνολα A, B, C, ισχύει ότι ( A B) C A ( B C). a. Το γεγονός ότι σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος m τέτοιος ώστε. Έστω τώρα ότι οι a, b είναι και οι δύο περιττοί Τότε, και άρα = 2m (1) Σελίδα 2 από 5

3 Στη σχέση (1), ένας περιττός αριθμός (αριστερό μέλος) είναι ίσος με ένα άρτιο αριθμό (δεξιό μέλος). Αυτό είναι άτοπο. Επομένως, οι a,b δεν μπορεί να είναι και οι δύο περιττοί. ( A B) C ( A B) C A B C ( A B) C A ( B C) A ( B C) A ( B C) ( A B) ( A C) Άρα x ( A B) C x ( A B) C x ( A B) x ( A B) ( A C) x A ( B C) Θέμα 4: a. Το Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών έκανε μια στατιστική σε 40 φοιτητές που έδωσαν την τελική εξέταση και πέρασαν το ΗΥ118 για να μελετήσει την αποτελεσματικότητα των μεθόδων του μαθήματος. Τα αποτελέσματα που καταγράφηκαν είναι: 23 φοιτητές συμμετείχαν στην πρόοδο 18 φοιτητές έλυναν τις ασκήσεις 31 πήγαιναν στις παραδόσεις 11 συμμετείχαν στην πρόοδο και έλυναν τις ασκήσεις 19 συμμετείχαν στην πρόοδο και πήγαιναν στις παραδόσεις 14 πήγαιναν στις παραδόσεις και έλυναν τις ασκήσεις 37 φοιτητές έκαναν τουλάχιστον ένα από τα 3 (πήγαιναν στις παραδόσεις ή έλυναν τις ασκήσεις ή συμμετείχαν στην πρόοδο) Να υπολογίσετε: 1. Πόσοι φοιτητές πήγαν μόνο στον τελικό; 2. Πόσοι φοιτητές εκμεταλλεύτηκαν όλες τις δυνατότητες (πρόοδο, ασκήσεις, παραδόσεις) 3. Πόσοι φοιτητές πήγαν μόνο στην πρόοδο και τον τελικό; Έστω ότι Α={, { }}. Κατασκευάστε τα παρακάτω σύνολα: (1)A-, (2) { }-A, (3)A P(A), (4) A P(A). (Σημείωση: P(A) είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου Α). a. Έστω: P το σύνολο των φοιτητών που έδωσαν τελικό και συμμετείχαν στη μελέτη. P =40. P A το σύνολο των φοιτητών που συμμετείχαν στην πρόοδο P A =23 P B το σύνολο των φοιτητών που έλυναν τις ασκήσεις. P B =18 P C το σύνολο των φοιτητών που πήγαιναν στις παραδόσεις. P C =31 Γνωρίζω επίσης ότι P A P B =11, P Α P C =19, P B P C =14 και P A P B P C =37 1. Οι φοιτητές που πήγαν μόνο στον τελικό ήταν P - P A P B P C =40-37=3 2. P A P B P C = P A + P B + P C - P A P B - P Α P C - P B P C + P A P B P C 37= P A P B P C P A P B P C =9 3. Έστω το παρακάτω διάγραμμα Venn Σελίδα 3 από 5

4 O ζητούμενος αριθμός είναι ο α που είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου που φαίνεται σκιαγραφημένο. Βλέπουμε ότι P A =α+β+δ+ε=23 P A P B =β+ε=11 P Α P C =δ+ε=19 P A P B P C =ε=9 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι α=2 1. A- = A 2. { } A = 3. A P(A) = {, { }} {, { }, {{ }}, {, { }}} = {, { }, {{ }}, {, { }}} 4. A P(A) = {, { }} {, { }, {{ }}, {, { }}} = {{{ }}, {, { }}} Θέμα 5: Αποδείξτε επαγωγικά ότι n 1 (n N), ισχύει ότι o 5 n 1διαιρείται ακριβώς με το 4.. Για n=1 ισχύει αφού 5 n 1=5 1-1=4 (2 n )! 2! 2 που είναι άρτιος. nn!! 1!1! Έστω ότι ισχύει για n=k, δηλαδή o 5 k -1 διαιρείται ακριβώς με το 4, άρα υπάρχει ακέραιος m τέτοιος που 5 k -1 = 4m (1) Πρέπει να δείξουμε ότι ο 5 k+1-1 διαιρείται με το 4. Πράγματι, από την (1) 5 k = 4m +1 και 5 k+1-1 = 5 k 5-1=(4m+1) 5-1=20m+5-1=20m+4=4(5m+1), άρα διαιρείται ακριβώς με το 4 Θέμα 6: Έστω δύο σχέσεις ισοδυναμίας R και S ορισμένες επί του ίδιου μη κενού συνόλου Α a. Αποδείξτε ότι η R S είναι σχέση ισοδυναμίας Αποδείξτε ότι η R S δεν είναι κατ ανάγκη σχέση ισοδυναμίας a. Πρέπει να δείξω ότι η σχέση είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Πράγματι. Οι R και S έχουν την ανακλαστική ιδιότητα, άρα και η τομή τους θα την έχει (όλα τα ζεύγη της μορφής (a,a) ανήκουν και στην R S) Σελίδα 4 από 5

5 Είναι συμμετρική γιατί αν (a,b) R S τότε (a,b) R και (a,b) S Αλλά οι R και S έχουν τη συμμετρική ιδιότητα, άρα και (b,a) R και (b,a) S άρα (b,a) R S Αντίστοιχα αποδεικνύεται ότι έχει και τη μεταβατική ιδιότητα Η R S δεν είναι κατ ανάγκη σχέση ισοδυναμίας Έστω Α={a,b,c}, R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}, S={(a,a),(b,b),(c,c),(a,d),(d,a)}. Οι R και S είναι σχέσεις ισοδυναμίας. Η R S = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a)} όμως δεν έχει τη μεταβατική ιδιότητα! Θέμα 7: a. Έστω σύνολο B = {1,2,3} και S μία διμελής σχέση στο δυναμοσύνολο P(B) του B, η οποία ορίζεται ως C, D P( B), ( C, D) S C D. (i) Δείξτε ότι η S είναι σχέση μερικής διάταξης. (ii) Σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse της S. (iii) δώστε ένα παράδειγμα μέγιστης αλυσίδας και ένα παράδειγμα μέγιστης αντιαλυσίδας. Έστω το σύνολο των ακεραίων A={2, 4, 8, 16, 32} επί του οποίου ορίζουμε τη σχέση R {(a,b) : a b}. (1) Eίναι η R σχέση μερικής διάταξης; (2) Είναι η R σχέση ολικής διάταξης; a. (1) Είναι ανακλαστική (κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του), αντισυμμετρική (εάν το Α είναι υποσύνολο του Β και το Β του Α, τότε τα Α, Β είναι ίσα) και μεταβατική (εάν το Α είναι υποσύνολο του Β και το Β του Γ, τότε το Α είναι υποσύνολο του Γ). Επομένως είναι σχέση μερικής διάταξης. (2) (3) Παράδειγμα μέγιστης αλυσίδας:, {1}, {1,2}, {1, 2, 3} Παράδειγμα μέγιστης αντιαλυσίδας: {1}, {2}, {3} (1) Είναι ανακλαστική (κάθε στοιχείο του Α διαιρεί ακέραια τον εαυτό του), αντισυμμετρική (για οποιαδήποτε δύο στοιχεία x, y του Α, αν το x διαιρεί ακέραια το y και το y διαιρεί ακέραια το x, τότε x=y) και μεταβατική (εάν το x διαιρεί ακέραια το y και το y διαιρεί ακέραια το z, τότε το x διαιρεί ακέραια το z). Επομένως είναι σχέση μερικής διάταξης. (2) Είναι σχέση ολικής διάταξης γιατί για οποιαδήποτε στοιχεία x, y του Α ισχύει ότι το x διαιρεί ακέραια το y ή το y διαιρεί ακέραια το x. Σελίδα 5 από 5

Σχετικά έγγραφα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 018 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. b. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε