HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/ /23/ Έχουµε δει Ανάγκη/σηµασία Κατηγόρηµα, µεταβλητές, προτασιακή µορφή, πεδίο ορισµού, µοντέλο Ποσοδείκτες Καθολικός Υπαρξιακός Ελεύθερες / δεσµευµένες µεταβλητές Ο συµβολισµός ϕ(x:=a) Ένα παράδειγµα... P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο Έστω M το σύνολο των µαθηµάτων που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Τότε η πρόταση Pγράφεται ως: xπ(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια µαθήµατα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΕΝ έδωσες κανένα µάθηµα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 2/23/ /23/

2 Πως µπορούµε να χειριστούµε την ίδια περίπτωση χωρίς να εµπλέξουµε κενό πεδίo ορισµού; P= Πέρασα όλα τα µαθήµατα που έδωσα το προηγούµενο εξάµηνο ΈστωΣτο σύνολο όλων των µαθηµάτων (µη κενό) Έστω Π(x) = Πέρασα το µάθηµα x Έστω Ε(x) = Έδωσα το µάθηµα x Τότε η πρόταση Pγράφεται: x (Ε(x) Π(x)) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια µαθήµατα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΕΝ έδωσες κανένα µάθηµα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 2/23/ Συντακτικό του κατηγορηµατικού λογισµού xp(x) πρόταση yq(x) προτασιακή µορφή x( y R(x,y)) -πρόταση xp(b) -πρόταση η xp(b) είναι αληθής αν και µόνο ανη P(b) είναι αληθής Κανόνας: έναςποσοδείκτης που δεν δεσµεύει κάποια µεταβλητή µπορεί να αγνοηθεί 2/23/ Εµβέλεια ποσοδεικτών Παραδείγµατα Ποιο είναι το νόηµα της έκφρασης x xp(x) ; η xδεν είναι ελεύθερη µεταβλητή στην x P(x), εποµένως η δέσµευση του xδεν χρησιµοποιείται. Ποιο είναι το νόηµα της έκφρασης ( xp(x)) Q(x); Η µεταβλητή xείναι εκτός της εµβέλειαςτου ποσοδείκτη x, και εποµένως είναι ελεύθερη. Άρα δεν έχουµε πρόταση! Ποιο είναι το νόηµα της έκφρασης ( x P(x)) ( xq(x)); Πρόταση, χωρίς πλεονασµατικούς ποσοδείκτες. Η µεταβλητή x εµφανίζεται µε το ίδιο όνοµα, αλλά δεν αφορά στο ίδιο στοιχείο! Θα ήταν ισοδύναµο εάν γράφαµε ( x P(x)) ( yq(y)) Πως θα πούµε στον Κατηγορηµατικό Λογισµό ότι Όλοι θαυµάζουν κάποιον 2/23/ /23/

3 Παραδείγµατα Πως θα πούµε στον Κατηγορηµατικό Λογισµό ότι Όλοι θαυµάζουν κάποιον (όχι συγκεκριµένο) Έστω Θαυµάζει(x,y)= O x θαυµάζει τον y x y Θαυµάζει(x,y) «Για κάθε άνθρωπο x, υπάρχει κάποιος άνθρωπος yέτσι ώστε ο x να θαυµάζει τον y» «Κάθε άνθρωπος έχει κάποιον να θαυµάζει» Παραδείγµατα Πως θα πούµε στον Κατηγορηµατικό Λογισµό ότι Υπάρχει κάποιος τον οποίο όλοι θαυµάζουν Έστω Θαυµάζει(x, y)= O x θαυµάζει τον y y xθαυµάζει(x,y) «Υπάρχει κάποιος άνθρωπος yτον οποίο κάθε άνθρωπος xθαυµάζει» 2/23/ /23/ Εάν B(x,y)= ο xβασίζεται στον y, εκφράστε τα παρακάτω σε φυσική γλώσσα: x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( yβ(x,y))= 2/23/ /23/

4 y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( yβ(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( yβ(x,y))= 2/23/ /23/ y( x Β(x,y))= x( yβ(x,y))= x( yβ(x,y))= 2/23/ /23/

5 x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτόν 2/23/ /23/ x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτόν x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε κάποιον x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτόν x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε κάποιον y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο κάποιος βασίζεται 2/23/ /23/

6 x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτούς x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε κάποιον y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο κάποιος βασίζεται 2/23/ x y P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) 2/23/ x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) 2/23/ x y P(x,y) F y x P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) 2/23/

7 x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) x y P(x,y) 2/23/ x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) F x y P(x,y) 2/23/ x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) F x y P(x,y) T 2/23/ x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) F x y P(x,y) T T 2/23/

8 Topic #3 Predicate Logic Ισχυρότερες / ασθενέστερες προτάσεις 1. x( y R(x,y)) 2. y( x R(x,y)) 3. x( y R(x,y)) Αν η 3 είναι αληθής τότε και η 2 είναι αληθής. Αν η 2 είναι αληθής, τότε και η 1 είναι αληθής Λέµε ότι: Η 3 είναι λογικάισχυρότερηαπό τη 2 Η 2είναι λογικάισχυρότερηαπό τη 1 Μερικές συντοµεύσεις Μερικές φορές, το π.ο. περιορίζεται κατά την ποσοτικοποίηση, π.χ., Το x>0 P(x) είναι συντοµογραφία του Για κάθε x µεγαλύτερο του µηδενός, P(x). Πως θα το γράφατε αυτό χωρίς συντοµογραφία; 2/23/ (c) , Michael P. Frank 2/23/ Μερικές συντοµεύσεις Μερικές φορές, το π.ο. περιορίζεται κατά την ποσοτικοποίηση, π.χ., Το x>0 P(x) είναι συντοµογραφία του Για κάθε x µεγαλύτερο του µηδενός, P(x). Πως θα το γράφατε αυτό χωρίς συντοµογραφία; x (x>0 P(x)) Μερικές συντοµεύσεις Το x>0 P(x) είναι συντοµογραφία του: Υπάρχει x µεγαλύτερο του µηδενός, τέτοιο ώστε P(x). Πως θα το γράφατε µε βάση τον τυπικό ορισµό το x>0 P(x) ; =??? 2/23/ /23/

9 Μερικές συντοµεύσεις Το x>0 P(x) είναι συντοµογραφία του: Υπάρχει x µεγαλύτερο του µηδενός, τέτοιο ώστε P(x). Πως θα το γράφατε µε βάση τον τυπικό ορισµό το x>0 P(x) ; = x (x>0 P(x)) Για να το ξαναδούµε Το x>0 P(x) είναι συντοµογραφία του Για κάθε xµεγαλύτερο του µηδενός, P(x). = x (x>0 P(x)) Το x>0 P(x) είναι συντοµογραφία του Υπάρχει x µεγαλύτερο του µηδενός, τέτοιο ώστε P(x). = x (x>0 P(x)) 2/23/ /23/ Μερικές συντοµεύσεις Τι θα σήµαινε το x (x>0 P(x)) ; ; ; Ολατα xείναι µεγαλύτερα του µηδενός, και για όλα ισχύει P(x). Τι θα σήµαινε το x (x>0 P(x)) ; ; ; Υπάρχει κάποιο xγια το οποίο η x>0 P(x)είναι αληθής...αλλά αυτό είναι αληθές και για τα αρνητικά x Αλληλεπιδράσεις µεταξύ ποσοδεικτών και τελεστών Έστω ότι το π.ο (D) είναι οι φοιτητές του ΗΥ118. Έστω Ψ(x) Ο x είναι ψηλός Έστω Ο(x) Ο x είναι όµορφος Ας δούµε τι σηµαίνουν στα Ελληνικά οι παρακάτω προτάσεις 1. x (Ψ(x) Ο(x)) 2. x (Ψ(x) Ο(x)) 3. x (Ψ(x) Ο(x)) 4. x (Ψ(x) Ο(x)) 2/23/ /23/

10 Ελληνικές εκφράσεις 1. x (Ψ(x) Ο(x)) Υπάρχει τουλάχιστον ένας φοιτητής που είναι και ψηλός και όµορφος 2. x (Ψ(x) Ο(x)) Όλοι οι φοιτητές είναι ψηλοί και όµορφοι 3. x (Ψ(x) Ο(x)) Όλοι οι ψηλοί φοιτητές είναι όµορφοι 4. x (Ψ(x) Ο(x)) Για τουλάχιστον ένα φοιτητή, ισχύει πως εάν είναι ψηλός τότε είναι και όµορφος Σχετικά µε την τελευταία 4. x (Ψ(x) Ο(x)) Για τουλάχιστον ένα φοιτητή, ισχύει πως εάν είναι ψηλός, τότε είναι και όµορφος Η x (Ψ(x) Ο(x)) είναι αληθής εάν και µόνο αν, για κάποιο φοιτητή a,η Ψ(a) Ο(a) είναι αληθής. Όµως, Ψ(a) Ο(a) Ψ(a) Ο(a) Οπότε, η (4) σηµαίνειεπίσης ότι Υπάρχει τουλάχιστον ένας φοιτητής που είναι κοντός ή όµορφος 2/23/ /23/ Θεωρείστε την πρόταση r: x (Q(x) P(x)) σε σχέση µε ένα µη κενό π.ο. της µεταβλητής x. Υποθέστε, ωστόσο, ότι yq(y) Μπορείτε να σκεφτείτε κατά πόσον η r είναι αληθής; Θεωρείστε την x (Q(x) P(x)) σε έναµη κενό π.ο. D Εφόσον yq(y), η Q(y)είναι ψευδής για κάθε y Εποµένως, η Q(a) P(a)είναι αληθής για κάθε a στο D Εποµένως, η x (Q(x) P(x)) είναι αληθής 2/23/ /23/

11 Νόµοι ισοδυναµίας «Ξεδίπλωµα» ποσοδεικτών: Εάνπ.ο.={a, b, c, } x P(x) P(a) P(b) P(c) x P(x) P(a) P(b) P(c) Από αυτές, µπορούµε να αποδείξουµε τις ισοδυναµίες: x P(x) ( x P(x)) x P(x) x P(x) ( x P(x)) x P(x) Ποιοί νόµοι ισοδυναµίας τουπροτασιακού λογισµού µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να το αποδείξουµε αυτό; 2/23/