LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I"

Transcript

1 LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \ B) (C \ B) = (A C) \ B. (γ ) A \ B = B \ A αν και μόνο αν A = B. (δ ) A B αν και μόνο αν B = A (B \ A). Λύση. (α ) Θα δείξουμε πρώτα πως A (B \ C) ((A B) \ C) (A C). Εστω x ένα τυχαίο στοιχείο του A (B \ C). Άρα x A ή x B \ C. Ξεχωρίζουμε τις δύο αυτές περιπτώσεις υποθέτουμε πρώτα πως x A. Αφού A A B, τότε x A B. Αν x / C, τότε x (A B) \ C, αλλιώς αν x C, τότε x A C, εφόσον υποθέσαμε αρχικά πως x A. Σε κάθε περίπτωση, x ((A B) \ C) (A C), οπότε αποδείχθηκε πως A (B \ C) ((A B) \ C) (A C). Μας μένει να δείξουμε πως A (B \C) ((A B)\C) (A C). Θεωρούμε ένα τυχαίο στοιχείο x του ((A B) \ C) (A C). Άρα x (A B) \ C ή x A C. Εστω x (A B) \ C. Επομένως, x A B και x / C. Άρα x A ή x B. Ξεχωρίζουμε τις δύο αυτές περιπτώσεις θεωρούμε πρώτα πως x A. Τότε αφού A A (B \ C), θα ισχύει προφανώς x A (B \ C). Τώρα υποθέτουμε πως x B. Αφού ισχύει x / C, τότε x B \ C, και τελικά x A (B \ C), αφού B \ C A (B \ C). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν θα ισχύει x A (B \ C), οπότε αποδείξαμε πως A (B \ C) ((A B) \ C) (A C), οπότε θα ισχύει το ζητούμενο, δηλαδή A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) Θα δείξουμε πρώτα πως (A\B) (C \B) (A C)\B. Εστω x ένα τυχαίο στοιχείο του (A \ B) (C \ B). Άρα θα ισχύει x A \ B και x C \ B. Εχουμε x A \ B x A και x / B, όπως και x C \ B x C και x / B. Αφού x A και x C, τότε x A C. Αφού επιπλέον ισχύει x / B, τότε θα έχουμε x (A C) \ B, αποδεικνύοντας το ζητούμενο. 1

2 Τώρα θα δείξουμε πως (A \ B) (C \ B) (A C) \ B. Εστω x ένα τυχαίο στοιχείο του (A C) \ B. Άρα x A C και x / B, δηλαδή ισχύουν ταυτόχρονα x A, x C και x / B. Εχουμε x A και x / B x A\B, και παρομοίως, x C και x / B x C\B. Αφού x A\B και x C\B, τότε x (A \ B) (C \ B), οπότε (A \ B) (C \ B) (A C) \ B, ολοκληρώνοντας την απόδειξη. (γ ) Εστω πρώτα πως A \ B = B \ A. Θα δείξουμε πως A B. Ας υποθέσουμε πως κάτι τέτοιο δεν ισχύει, δηλαδή A B, οπότε θα υπάρχει x A, τέτοιο ώστε x / B. Εξ ορισμού, θα ισχύει x A \ B. Αφού A \ B = b \ A, τότε x B \ A, άρα και x B, αφού B \ A B. Αυτό είναι άτοπο όμως, αφού πιο πριν δείξαμε πως x / B. Άρα A B. Ο εγκλεισμός B A αποδεικνύεται με εντελώς παρόμοιο τρόπο, λόγω της συμμετρίας που έχει η ζητούμενη πρόταση ως προς τα A, B. Άρα A = B. Τώρα υποθέτουμε πως A = B. Τότε προφανώς A\B = A\A = B \A =, ολοκληρώνοντας την απόδειξη. (δ ) Εστω A B. Θα δείξουμε πρώτα πως B A (B \ A). Εστω x τυχαίο στοιχείο του B. Αν x A, τότε προφανώς θα ισχύει και x A (B \ A), καθώς A A (B \ A). Αν x / A, τότε x B \ A, αφού x B, οπότε x A (B \ A), αφού B \ A A (B \ A). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, θα ισχύει x A (B \ A), άρα B A (B \ A). Μας μένει να δείξουμε πως B A (B \ A). Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B \ A), άρα x A ή x B \ A. Ξεχωρίζουμε αυτές τις δύο περιπτώσεις αν x A, τότε και x B, αφού A B. Αν x B \ A, τότε προφανώς x B, αφού B \ A B. Σε κάθε περίπτωση ισχύει x B, οπότε B A (B \ A), και τελικά B = A (B \ A). Τώρα υποθέτουμε πως B = A (B \ A). Προφανώς, A A (B \ A) = B, άρα A B, ολοκληρώνοντας την απόδειξη. Άσκηση 2. Αν A, B είναι τυχόντα σύνολα, να δειχθεί ότι (α ) P(A) P(B) P(A B). (β ) P(A) P(B) = P(A B), αν και μόνο αν A B ή B A. (γ ) P(A \ B) (P(A) \ P(B)) { }. Λύση. (α ) Εστω X τυχαίο στοιχείο του P(A) P(B). Άρα X P(A) ή X P(B). Αν X P(A), τότε X A A B, οπότε και X P(A B). Ομοίως αν X P(B), οπότε σε κάθε περίπτωση X P(A B), ολοκληρώνοντας την απόδειξη. (β ) ( ) Εστω P(A) P(B) = P(A B). Αυτό συνεπάγεται πως A B P(A) P(B), αφού εξ ορισμού A B P(A B). Άρα A B P(A) ή A B P(B). Αν A B P(A), τότε A B A. Αφου ισχύει πάντα A A B, θα έχουμε 2

3 A = A B, το οποίο είναι ισοδύναμο με την σχέση B A (δες Πρόταση 1.6 από τις σημειώσεις). Ομοίως, αν υποθέσουμε πως A B P(B), τότε με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε στην σχέση B A, αποδεικνύντας το ζητούμενο. ( ) Εστω A B ή B A. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε πως A B (η περίπτωση B A λύνεται με τον ακριβώς ίδιο τρόπο). Ηδη γνωρίζουμε από την (α ) πως P(A) P(B) P(A B), άρα αρκεί να δειχθεί ότι P(A) P(B) P(A B). Αφού όμως A B, θα ισχύει A B = B, οπότε ολοκληρώνοντας την απόδειξη. P(A B) = P(B) P(A) P(B), (γ ) Εστω X τυχαίο στοιχείο του P(A \ B). Άρα X A \ B. Θέλουμε να δείξουμε πως X (P(A) \ P(B)) { }. Ξεχωρίζουμε δύο περιπτώσεις: X = Τότε X { } (P(A) \ P(B)) { }, αποδεικνύοντας το ζητούμενο. X Αφού A \ B A, τότε θα ισχύει και X A, άρα X P(A). Μας μένει να δείξουμε πως X / P(B), ή ισοδύναμα, X B. Οπότε αρκεί να βρούμε τουλάχιστον ένα στοιχείο του X που να μην ανήκει στο B (στην συγκεκριμένη περίπτωση, όπως θα δούμε, κάθε στοιχείο του X ικανοποιεί αυτήν την ιδιότητα). Αφού X, υπάρχει x X. Εφόσον έχουμε X A \ B, αυτό το x, θα ανήκει και στο A \ B, οπότε εξ ορισμού δεν θα ανήκει στο Β. Αυτό ακριβώς μας δείχνει πως X B, οπότε X / P(B), άρα τελικά X P(A) \ P(B) (P(A) \ P(B)) { }, ολοκληρώνοντας την απόδειξη. Άσκηση 3. Σωστό ή Λάθος; Εξηγείστε σύντομα την απάντησή σας. (α ) 1 {1, 2}. (β ) 1 {1, 3, 5, 2}. (γ ) 3 {1, 5, 2}. (δ ) {1, 2} {1, 3, 5, 2}. (ε ) {1} {1, 2, 3}. (στ ) {1} {1, 2, 3}. (ζ ) {1, 2} {1, {2}}. (η ) {2} {1, {2}}. (θ ) {2} {1, {2}}. (ι ) {{2}} {1, {2}}. 3

4 (ια ). (ιβ ). (ιγ ) { }. (ιδ ) { }. Λύση. (α ) Σωστό. Τα στοιχεία του {1, 2} είναι τα 1, 2, και προφανώς το 1 είναι ένα από αυτά. (β ) Λάθος. Το a δεν είναι σύνολο, οπότε η δοθείσα σχέση δεν έχει νόημα. (γ ) Λάθος. Τα στοιχεία του {1, 5, 2} είναι τα 1, 5, 2, και το 3 δεν είναι κάποιο από αυτά. (δ ) Σωστό. Τα στοιχεία του {1, 2} είναι τα 1, 2, ενώ αυτά του {1, 3, 5, 2} είναι τα 1, 3, 5, 2. Προφανώς, κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου, ανήκουν και στο δεύτερο. (ε ) Λάθος. Τα στοιχεία του {1, 2, 3} είναι τα 1, 2, 3, και το {1} δεν είναι ένα από αυτά (Προσοχή: 1 {1}). (στ ) Σωστό. Το μοναδικό στοιχείο του {1} είναι το 1, ενώ τα στοιχεία του {1, 2, 3} είναι τα 1, 2, 3. Προφανώς, κάθε στοιχείο του {1} είναι και στοιχείο του {1, 2, 3}. (ζ ) Λάθος. Το στοιχείο 2 του {1, 2}, δεν ανήκει στο {1, {2}}, του οποίου τα στοιχεία είναι τα 1, {2}. (η ) Σωστό. Τα στοιχεία του {1, {2}} είναι τα 1, {2}, και το {2} είναι ένα από αυτά. (θ ) Λάθος. Για τον ίδιο λόγο που είναι λάθος το (ζ ). (ι ) Σωστό. Το μοναδικό στοιχείο του {{2}} είναι το {2}, το οποίο προφανώς είναι και στοιχείο του {1, {2}}, του οποίου τα στοιχεία είναι τα 1, {2}. (ια ) Σωστό. Το κενό είναι υποσύνολο παντός συνόλου (ή αλλιώς κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του). (ιβ ) Λάθος. Το κενό δεν έχει καθόλου στοιχεία. (ιγ ) Σωστό. Το μοναδικό στοιχείο του { } είναι το, οπότε προφανώς ισχύει { }. (ιδ ) Σωστό. Οπως στο (ια ). Άσκηση 4. Βρείτε τα δυναμοσύνολα των συνόλων X, A, όπου X = {α, γ, ω}, A = {a, {a, b}}. 4

5 Λύση. Θα γράψουμε όλα τα υποσύνολα του X: Υποσύνολα με κανένα στοιχείο:. Υποσύνολα με ένα στοιχείο: {α}, {ga}, {ω}. Υποσύνολα με δύο στοιχεία: {α, γ}, {α, ω}, {γ, ω}. Υποσύνολα με τρία στοιχεία: X. Άρα θα έχουμε Ομοίως για το A: P(X) = {, {α}, {γ}, {ω}, {α, γ}, {α, ω}, {γ, ω}, X}. Υποσύνολα με κανένχ στοιχείο:. Υποσύνολα με ένα στοιχείο: {a}, {{a, b}}. Υποσύνολα με δύο στοιχεία: A. Άρα θα ισχύει P(A) = {, {a}, {{a, b}}, A}. Άσκηση 5. Αν A = {a, b, {a, c}, }, βρείτε τα σύνολα (α ) A \ {a}. (β ) A \. (γ ) A \ {a, c}. (δ ) A \ {{a, c}}. (ε ) {a} \ A. Λύση. (α ) A \ {a} = {x A x / {a}} = {x A x a} = {b, {a, c}, }. Με άλλα λόγια, από το στοιχεία του A, που είναι τα a, b, {a, c},, εξαιρούμε τα στοιχεία του {a}, δηλαδή εξαιρούμε το a. (β ) A \ = {x A x / } = A, καθώς x / για οποιοδήποτε x. Με άλλα λόγια, εξαιρώντας από ένα σύνολο το κενό, στην ουσία δεν εξαιρείς τίποτα. (γ ) A \ {a, c} = {x A x / {a, c}} = {x A x a, x c} = {b, {a, c}, }. 5

6 (δ ) A \ {{a, c}} = {x A x / {{a, c}}} = {x A x {a, c}} = {a, b, } (προσέξτε την διαφορά με το (γ )). (ε ) {a}\a = {x {a} x / A} = {x = a x / A} =, καθώς a A. Επομένως δεν μπορεί να υπάρχει στοιχείο που να ικανοποιεί ταυτόχρονα x = a και x / A. Άσκηση 6. Σωστό ή λάθος; Θεωρούμε πως A = {, { }} και B = {a, {a}, b}. (α ) P(A). (β ) P(A). (γ ) { } P(A). (δ ) {{a}} P(B). (ε ) {{a}} P(B). (στ ) {{a}, b} P(B). (ζ ) {{a}, {{a}}} P(B). Λύση. (α ) Σωστό. Είναι ισοδύναμο με την σχέση A, που είναι αληθής. (β ) Σωστό. Το κενό είναι υποσύνολο παντός συνόλου. (γ ) Σωστό. Είναι ισοδύναμο με το (β ). (δ ) Σωστό. Αφού {{a}} P(B) {{a}} B {a} B, και η τελευταία σχέση είναι αληθής. (ε ) Σωστό. Αφού {{a}} P(B) {a} P(B) {a} B a B, και η τελευταία σχέση είναι αληθής. (στ ) Λάθος. Εφόσον το στοιχείο b δεν ανήκει στο P(B), ή ισοδύναμα, δεν είναι υποσύνολο του B (το b δεν είναι σύνολο). (ζ ) Σωστό. Αφού και τα δύο στοιχεία του {{a}, {{a}}}, τα οποία είναι τα {a}, {{a}}, ανήκουν στο P(B). Για το {{a}}, αυτό το είδαμε στο (δ ), ενώ για το {a}, η σχέση {a} P(B) είναι ισοδύναμη της {{a}} P(B), που είναι αληθής από το (ε ). Άσκηση 7. Δείξτε ότι δεν υπάρχει σύνολο X, τέτοιο ώστε P(X) X. (Εξετάστε τα υποσύνολα Y του X που έχουν την ιδιότητα Y / Y, για να οδηγηθείτε σε αντίφαση ανάλογη με το παράδοξο του Russell.) 6

7 Λύση. Θεωρούμε το σύνολο M = {Y P(X) Y / Y }. Εξ ορισμού, M P(X), άρα και M X, εφόσον ισχύει P(X) X από την υπόθεση. Άρα M P(X). Αν M M, τότε θα έχουμε M / M, άτοπο. Αν M / M, εφόσον έχουμε M P(X), θα ισχύει M M, ξανά άτοπο. Άρα δεν μπορεί να ισχύει P(X) X. Άσκηση 8. Ορίζουμε την συμμετρική διαφορά δύο συνόλων A B να είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν ή στο A ή στο B, αλλά όχι και στα δύο, δηλαδή A B = (A \ B) (B \ A). Να δειχθεί ότι A B = (A B) \ (A B). Λύση. Θα δείξουμε πρώτα πως A B (A B) \ (A B). Εστω x ένα τυχαίο στοιχείο του A B. Εξ ορισμού, θα ισχύει x A \ B ή x B \ A. Και οι δύο περιπτώσεις λύνονται με όμοιο τρόπο, οπότε χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε πως x A \ B. Αφού A A B, τότε θα ισχύει x A B. Εφόσον x / B, τότε και x / A B, άρα συμπεραίνουμε πως x (A B) \ (A B). Τώρα θα δείξουμε πως A B (A B) \ (A B). Εστω x τυχαίο στοιχείο του (A B) \ (A B). Άρα x A B και x / A B. Επομένως ισχύει x A ή x B. Αν x A, τότε αναγκαστικά θα ισχύει x / B, διότι σε διαφορετική περίπτωση θα είχαμε και x A B, άτοπο. Άρα x A \ B, οπότε και x (A \ B) (B \ A) = A B. Η περίπτωση x B αποδεικνύεται με τον ακριβώς ίδιο τρόπο. Άσκηση 9. Υπολογίστε τα σύνολα A A και A. Δείξτε ότι A B = B A. Λύση. Ισχύει και Επίσης, A A = (A \ A) (A \ A) = A \ A =, A = (A \ ) ( \ A) = A \ = A. A B = (A \ B) (B \ A) = (B \ A) (A \ B) = B A. Άσκηση 10. Δείξτε ότι η συμμετρική διαφορά έχει την προσεταιριστική ιδιότητα: (A B) C = A (B C). 7

8 Λύση. Θα δείξουμε πρώτα πως (A B) C A (B C). Εστω x τυχαίο στοιχείο του (A B) C. Εξ ορισμού, x C \ (A B) ή x (A B) \ C. Ξεχωρίζουμε τις δύο αυτές περιπτώσεις: αν x C \ (A B), τότε x C, αλλά x / A B. Ο τελευταίος ισχυρισμός σημαίνει πως είτε το x δεν ανήκει ούτε στο A, ούτε στο B, ή ανήκει και στα δύο. Αν το x δεν ανήκει σε κανένα από τα A και B, θα έχουμε αρχικά x B C, αφού x C, και τελικά x A (B C), αφού x / A και x B C. Αν το x ανήκει και στο A και στο B, τότε, το x δεν ανήκει στο B C, αφού ανήκει και στο B και στο C, οπότε ανήκει στο A (B C), αφού το x ανήκει στο A, αλλά όχι στο B C. Αν τώρα x (A B) \ C, τότε x A B και x / C. Άρα το x ανήκει ή στο A ή στο B, αλλά όχι και στα δύο. Αν x A, τότε x / B. Αφού το x δεν ανήκει σε κανένα από τα B, C, τότε δεν θα ανήκει και στο B C, άρα x A (B C). Αν x B, τότε x / A. Αφού x B και x / C, τότε x B C. Αφού x / A, τότε x A (B C). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, ισχύει x A (B C), αποδεικνύοντας το ζητούμενο. Ο αντίστροφος εγκλεισμός αποδεικνύεται αναλόγως. Άσκηση 11. Αποδείξτε ότι (α ) (A B) A = B. (β ) (A B) C = (A C) (B C). Λύση. (α ) Ισχύει (A B) A = (B A) A = B (A A) = B = B. (β ) Θα δείξουμε πρώτα πως (A B) C (A C) (B C). Εστω x τυχαίο στοιχείο του (A B) C. Τότε x A B και x C. Άρα το x ανήκει ή στο A ή στο B, αλλά όχι και στα δύο (από τον ορισμό της συμμετρικής διαφοράς). Αν x A, τότε αφού x C, θα έχουμε x A C. Επίσης, θα ισχύει x / B, οπότε και x / B C, αφού B C B. Επομένως, x (A C) \ (B C), οπότε και x (A C) (B C), αφού (A C)\(B C) (A C) (B C). Εργαζόμενοι ομοίως, αν υποθέσουμε πως x B, καταλήγουμε πως x B C και x / A C, οπότε και πάλι x (A C) (B C). Τώρα θα δείξουμε πως (A B) C (A C) (B C). Εστω x τυχαίο στοιχείο του (A C) (B C). Από τον ορισμό της συμμετρικής διαφοράς προκύπτει πως ισχύει είτε x A C είτε x B C, 8

9 αλλά όχι και τα δύο. Αν x A C, τότε x A και x C. Εφόσον x / B C, θα έχουμε αναγκαστικά x / B (ειδάλλως, θα είχαμε x B και x C, οπότε x B C, άτοπο). Άρα x A B, και αφού x C, θα έχουμε x (A B) C. Η περίπτωση x B C αποδεικνύεται ανάλογα. Άσκηση 12. Εστω A, B, C, D σύνολα. Αποδείξτε ότι (A B) (C D) (A C) (B D). Βρείτε ένα παράδειγμα για να αποδείξετε πως δεν ισχύει πάντα ο αντίθετος εγκλεισμός. Απόδειξη. Θα αποδείξουμε πως κάθε στοιχείο του συνόλου (A B) (C D) ανήκει και στο (A C) (B D). Εφόσον έχουμε καρτεσιανά γινόμενα στην παράσταση, το τυχαίο στοιχείο που θα θεωρήσουμε θα έχει την μορφή ζεύγους, δηλαδή (x, y). Αν (x, y) (A B) (C D), τότε είτε (x, y) A B είτε (x, y) C D. Αν (x, y) A B, τότε x A και y B, επομένως θα ισχύει x A C και y B D, εφόσον A A C και B B D. Άρα (x, y) (A C) (B D). Η απόδειξη είναι παρόμοια αν υποθέσουμε πως (x, y) C D. Ο αντίθετος εγκλεισμός δεν ισχύει πάντα θέτοντας A = {0}, B = {1}, C = {2}, D = {3}, ισχύει (A B) (C D) = ({0} {1}) ({2} {3}) = {(0, 1)} {(2, 3)} = {(0, 1), (2, 3)}, ενώ (A C) (B D) = ({0} {2}) ({1} {3}) = {0, 2} {1, 3} = {(0, 1), (0, 3), (2, 1), (2, 3)} Άσκηση 13. Ελέγξατε αν ισχύουν οι ισότητες. (α ) (A \ B) C = (A C) \ (B C) (β ) (A B) C = (A C) (B C). Λύση. (α ) Η ισότητα αυτή ισχύει. Θα δείξουμε πρώτα πως (A \ B) C (A C) \ (B C). Εστω (x, y) τυχαίο στοιχείο του (A\B) C. Άρα x A\B και y C, οπότε x A και x / B. Αφου x A και y C, έχουμε (x, y) A C. Επιπλέον, αφού x / B, θα έχουμε (x, y) / B C, οπότε (x, y) (A C) \ (B C). 9

10 Τώρα θα δείξουμε πως (A \ B) C (A C) \ (B C). Εστω (x, y) τυχαίο στοιχείο του (A C) \ (B C). Άρα (x, y) A C και (x, y) / B C. Επομένως x A και y C, εφόσον (x, y) A C. Αφού ισχύει y C και (x, y) / B C, θα έχουμε αναγκαστικά x / B (αν είχαμε x B, τότε y C (x, y) B C, άτοπο). Άρα x A \ B, αφού x A και x / B. Τελικά, θα ισχύει (x, y) (A \ B) C, αφού x A \ B και y C. (β ) Και αυτή ισότητα ισχύει. Θα το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας την (α ) και την Πρόταση 2.2(1) από τις σημειώσεις (επιμερισμός του καρτεσιανού γινομένου ως προς την ένωση): (A B) C = ((A \ B) (B \ A)) C = ((A \ B) C) ((B \ A) C) = ((A C) \ (B C)) ((B C) \ (A C)) = (A C) (B C). Άσκηση 14. Θεωρούμε τις σχέσεις ρ και σ στο X, δηλαδή ρ, σ X X. Εάν οι ρ, σ είναι συμμετρικές, εξετάστε αν οι ρ σ, ρ σ και ρ\σ είναι συμμετρικές. Λύση. Η ρ σ είναι συμμετρική: έστω (x, y) ένα τυχαίο στοιχείο της σχέσης αυτής. Τότε ισχύει είτε (x, y) ρ είτε (x, y) σ. Αν (x, y) ρ, τότε αφού η ρ είναι συμμετρική θα έχουμε (y, x) ρ, και ομοίως, αν (x, y) σ, τότε (y, x) σ. Σε κάθε περίπτωση θα ισχύει (y, x) ρ σ, αποδεικνύοντας το ζητούμενο. Η ρ σ είναι και αυτή συμμετρική: έστω (x, y) ένα τυχαίο στοιχείο της. Τότε θα έχουμε (x, y) ρ και (x, y) σ, επομένως (y, x) ρ και (y, x) σ, αφού οι ρ, σ είναι συμμετρικές. Τελικά συμπεραίνουμε πως (y, x) ρ σ, άρα η ρ σ είναι συμμετρική. Τέλος, η ρ \ σ είναι συμμετρική: έστω (x, y) ένα τυχαίο στοιχείο της. Τότε ισχύει (x, y) ρ και (x, y) / σ. Αφού οι ρ, σ είναι συμμετρικές, τότε (y, x) ρ και (y, x) / σ, επομένως, (x, y) ρ \ σ, ολοκληρ νοντας την απόδειξη. Άσκηση 15. Στο σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6} ορίζουμε την σχέση xρy αν και μόνο αν y είναι πολλαπλάσιο του x. Εξετάστε αν η σχέση ρ ικανοποιεί την ανακλαστική, την μεταβατική και την αντισυμμετρική ιδιότητα, και εάν τις ικανοποιεί, εξετάστε τι είδους διάταξη είναι. 10

11 Λύση. Για ευκολία, θέτουμε ως A το δοθέν σύνολο. Κάθε ακέραιος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του εαυτού του, επομένως η ρ είναι ανακλαστική (xρx, για κάθε x A). Επίσης, αν xρy και yρz, τότε ο y είναι πολλαπλάσιο του x, και ο z είναι πολλαπλάσιο του y. Τα πολλαπλάσια του y είναι και πολλαπλάσια του x, επομένως xρz, άρα η ρ είναι μεταβατική. Η ρ είναι και αντισυμμετρική, διότι όταν δύο θετικοί ακέραιοι αλληλοδιαιρούνται, τότε αυτοί είναι αναγκαστικά ίσοι (όλα αυτά προκύπτουν από τις στοιχειώδεις ιδιότητες της διαιρετότητας), δηλαδή xρy και yρx x = y. Η ρ είναι κατ αρχήν σχέση μερικής διάταξης. Η ρ δεν είναι όμως σχέση ασθενούς διάταξης, καθώς δεν ικανοποιείται η ιδιότητα (ΑΔ2) (δες σελίδα 31 στις σημειώσεις). Για παράδειγμα, τα στοιχεία 3 και 5 του A, δεν είναι συγκρίσιμα μέσω αυτής της σχέσης. Για τον ίδιο λόγο, δεν είναι ούτε σχέση γνήσιας διάταξης. 11

(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c

(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c Λύσεις Ασκήσεων στα Θεμέλια των Μαθηματικών II Ρωμανός-Διογένης Μαλικιώσης Παρασκευή, 29 Οκτωβρίου 2010 Άσκηση 1. Απλοποιήστε τις ακόλουθες εκφράσεις (α ) (D c F ) c (D F ) (β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c

Διαβάστε περισσότερα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά

Διαβάστε περισσότερα

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i): Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6.

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 4 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 4.1 [1 μονάδα] Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στη σχέση R από το Α={0,1,2,3} στο Β={0,1,2,3,4} όπου (a,b) R αν και μόνο

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

x (y + ε) = x y x y = x y 2

x (y + ε) = x y x y = x y 2 Ασκήσεις για το μάθημα «Ανάλυση Ι και Εφαρμογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Α Ομάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Εστω

Διαβάστε περισσότερα

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press. Σημειώσεις του Μαθήματος ΜΕΜ 103 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2018 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

x < A y f(x) < B f(y).

x < A y f(x) < B f(y). Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1. Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press. Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

1.Σύνολα. 2. Υποσύνολα

1.Σύνολα. 2. Υποσύνολα 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα του ελληνικού αλφαβήτου θεωρούμενα ως μια ολότητα αποτελούν ένα σύνολο, το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ 1 ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ 1. Πεδίο ορισμού (οι τιμές που «επιτρέπεται» να πάρει ο χ, υποσύνολο του R, η προβολή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στον χ χ) Ζητάμε: α) Οι υπόριζες ποσότητες

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/008-09.(i) S =, : 0 =, :, με + 0 {( ) } {( ) ( )( ) } {(, ):, με 0, 0 } {(, ):, με 0, 0} = + + = 0 + = 0 = (ii). 3 {( ) ( )} ( ) ( ) {(, ):, με 0 ή. } { = } S=, :, με = + =, :,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0 4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 13/3/2018

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 13/3/2018 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 1//018 Σημείωση: Όλες οι παρακάτω αποδείξεις ακολουθούν την επαγωγική μέθοδο. Κάποια από τα παραδείγματα έχουν αποδειχθεί και με άλλες μεθόδους στο Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων

Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων ιακριτά Μαθηματικά Ι https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα