HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Κλάσεις ισοδυναµίας. Σχέσεις ισοδυναµίας. 15 -Σχέσεις

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 05/04/2016 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/6/ /6/ Σχέσεις ισοδυναµίας Ορισµός: Μίαδιµελήςσχέση επί ενός συνόλου A είναι σχέση ισοδυναµίας αν και µόνο αν έχει την ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική ιδιότητα. Κλάσεις ισοδυναµίας Έστω Rµία σχέση ισοδυναµίαςεπί ενός συνόλου Α. Ηκλάση ισοδυναµίας [a] R του a Αως προς τη σχέση R ορίζεται ως [a] R : { x arx} ιαισθητικά, το σύνολο όλων των στοιχείων που είναι ισοδύναµα µε το aως προς την R. Κάθε τέτοιο x (συµπεριλαµβανοµένου και του a) µπορεί να θεωρηθεί ως αντιπρόσωποςτης [a] R. 4/6/ /6/

2 Κλάσεις ισοδυναµίας Κλάσεις ισοδυναµίας Εφόσον arb [a] R =[b] R [a] R [b] R arb Ισχύει ότι arb [a] R =[b] R [a] R [b] R Τώρα ξέρουµε ότι Εάν arbτότε { x arx } = { x brx }... Με άλλα λόγια, µία κλάση ισοδυναµίας βασισµένη στην R είναι απλά ένα µέγιστο σύνολο αντικειµένωνπου σχετίζονται µεταξύ τους µέσω της R 4/6/ /6/ ιαµερίσεις Μίαδιαµέρισηενός συνόλου Aείναι µία συλλογή από ξένα, µη κενά υποσύνολα του Aπου η ένωσή τους είναι ίση µε το A. Τα ξένα, µη κενά υποσύνολα που αποτελούν µία διαµέρισητου Α ονοµάζονται σύµπλοκατης διαµέρισης. Πχ. Τα σύνολα Α 1 ={1,2,3}, Α 2 ={4,5}, Α 3 ={6} αποτελούν µία διαµέριση του Α={1,2,3,4,5,6} ιαµερίσεις και κλάσεις ισοδυναµίας Μία σχέση ισοδυναµίας στο A επιφέρειµία διαµέριση του A... δηλαδή για µία δοσµένη σχέση ισοδυναµίας R επί ενός συνόλου Α, µπορώ να βρω τη διαµέριση του Α που η Rεπιφέρει Μία διαµέριση του A αντιστοιχεί σεµία σχέση ισοδυναµίας στο A... δηλαδή για µία συγκεκριµένη διαµέριση ενός συνόλου, µπορώ να περιγράψω τη σχέση ισοδυναµίας R που επιφέρει αυτή τη διαµέριση 4/6/ /6/

3 ιαµερίσεις και κλάσεις ισοδυναµίας Μίαδιαµέρισηενός συνόλου Aµπορεί να θεωρηθείσαν το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναµίας {A 1, A 2, } για κάποια σχέση ισοδυναµίας επί του A. Τα A i είναι όλα ξένα: x,i,j (( x A i x A j ) A i = A j ) Η ένωση όλων των A i µας δίνει το σύνολο A γιατί κάθε x στο A είναι µέλος κάποιας κλάσης ισοδυναµίας (της [x] R ) Από τη σχέση στα σύµπλοκα Έστω R(w1, w2) = Η λέξη w1 έχει τους δύο τελευταίους χαρακτήρες της ίδιους µε τους δύο τελευταίους χαρακτήρες της λέξης w2. Όλες οι λέξειςπου έχουν τους ίδιους 2 τελευταίους χαρακτήρες αποτελούν ένα σύµπλοκο ύο σύµπλοκα είναι ξένα µεταξύ τους Η ένωση όλων των σύµπλοκωνµας δίνει το σύνολο όλων των λέξεων 4/6/ /6/ Από τα σύµπλοκα στη σχέση Για παράδειγµα, θεωρείστε το σύνολο A={1,2,3,4,5,6} και τη διαµέρισήτου {{1,2,3},{4},{5,6}} Από ποια σχέση ισοδυναµίας προκύπτει αυτή η διαµέριση του Α; Από τα σύµπλοκα στη σχέση Για παράδειγµα, θεωρείστε το σύνολο A={1,2,3,4,5,6} και τη διαµέρισήτου {{1,2,3},{4},{5,6}} R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1), (3,2),(4,4), (5,5),(6,6),(5,6),(6,5) } 4/6/ /6/

4 Ερωτήσεις Ποια είναι η αναπαράσταση πίνακα µιας σχέσης ισοδυναµίας; Ποια είναι η αναπαράσταση γράφου µιας σχέσης ισοδυναµίας; Μερικές διατάξεις Μία σχέση Rεπί του Aλέγεταισχέση µερικής διάταξηςεάν και µόνο αν έχει τηνανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική ιδιότητα. Συχνά χρησιµοποιούµε το σύµβολο για τέτοιες σχέσεις. Σηµειώστε ότι δεν είναι απαραίτητο να ισχύει κάποιο από τα a bήb a. Γι αυτό το λόγο η διάταξη λέγεται µερική Ένα σύνολο Aµαζί µε µία µερική διάταξη επί του Aονοµάζεται µερικώς διατεταγµένο σύνολοκαι συµβολίζεται µε τη διατεταγµένη δυάδα (A, ). 4/6/ /6/ Μερικές διατάξεις, παράδειγµα R(A,B) = {A B} (a,bσύνολα) Ανακλαστική: A A Αντισυµµετρική: Αν A B και B Aτότε A=B Μεταβατική: Αν A B και B Cτότε A C Άρα η σχέση είναι σχέση µερικής διάταξης προσέξτε ότι για δύο σύνολα, µπορεί να ισχύει ότι ούτε A B, ούτε B A. (µερική διάταξη) Εάν µία σχέση R είναι σχέση µερικής διάταξης, η παράσταση της ως γράφος µπορεί να απλοποιηθεί: Οι ακµές από ένα κόµβο στον εαυτό τους µπορούν να παραλειφθούν, γιατί µπορούµε να τις θεωρήσουµε ως δεδοµένες (γιατί;) 4/6/ /6/

5 Εάν µία σχέση R είναι σχέση µερικής διάταξης, η παράσταση της ως γράφος µπορεί να απλοποιηθεί: Οι ακµές από ένα κόµβο στον εαυτό τους µπορούν να παραλειφθούν, γιατί µπορούµε να τις θεωρήσουµε ως δεδοµένες (ανακλαστική) Εάν µία σχέση R είναι σχέση µερικής διάταξης, η παράσταση της ως γράφος µπορεί να απλοποιηθεί: Οι ακµές από ένα κόµβο στον εαυτό τους µπορούν να παραλειφθούν, γιατί µπορούµε να τις θεωρήσουµε ως δεδοµένες (ανακλαστική) Αν στο γράφο υπάρχουν οι ακµές που αντιστοιχούν στα R(a,b), R(b,c) τότε µπορούµε να παραλείπουµε τις ακµές R(a,c) (γιατί;) 4/6/ /6/ Εάν µία σχέση R είναι σχέση µερικής διάταξης, η παράσταση της ως γράφος µπορεί να απλοποιηθεί: Οι ακµές από ένα κόµβο στον εαυτό τους µπορούν να παραλειφθούν, γιατί µπορούµε να τις θεωρήσουµε ως δεδοµένες (ανακλαστική) Αν στο γράφο υπάρχουν οι ακµές που αντιστοιχούν στα R(a,b), R(b,c) τότε µπορούµε να παραλείπουµε τις ακµές R(a,c) (µεταβατική) Παράδειγµα: Θεωρείστε το ({1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, ) 4/6/ /6/

6 Παράδειγµα: Τα υποσύνολα του συνόλου {x, y, z} µε τη σχέση υποσυνόλου {x,y,z} {x,y} {x,z} {y,z} Μερικές διατάξεις Η σχέση < είναι σχέση µερικής διάταξης; Ανακλαστική; Αντισυµµετρική; Μεταβατική; {x} {y} {z} {} 4/6/ /6/ Μερικές διατάξεις Η σχέση < είναι σχέση µερικής διάταξης; Ανακλαστική: OXI! Αντισυµµετρική: ΝΑΙ! Μεταβατική: NAI Αυστηρή σχέση µερικής διάταξης Μία σχέση R επί του A λέγεταιαυστηρή σχέση µερικής διάταξηςεάν και µόνο αν είναιµηανακλαστική, ασύµµετρη, και µεταβατική. Πχ. Η σχέση < 4/6/ /6/

7 Αλυσίδες -Αντιαλυσίδες Έστω (A, R) µε Α µερικώς διατεταγµένο (είτε αυστηρά, είτε όχι) ως προς την R.Ένα υποσύνολο του Aονοµάζεται αλυσίδα ανγια κάθε ζεύγος στοιχείων του, ισχύει ότιείναι συγκρίσιµα (σχετίζονται) µέσω της R. Έστω (A, R) µε Α µερικώς διατεταγµένο ως προς την R.Ένα υποσύνολο του Aονοµάζεται αντιαλυσίδα ανγια κάθε ζεύγος στοιχείων του, ισχύει ότιείναι µη συγκρίσιµα µέσω της R. Παράδειγµα Έστω Α={α 1, α 2,...α n } το σύνολο των µαθηµάτωνπου πρέπει κανείς να περάσει για να πάρει πτυχίο. Έστω η σχέσηπροαπαιτούµενο(x,y) = {Tο µάθηµα x, είναι προαπαιτούµενο του µαθήµατος y} Τι σχέση είναι η σχέση Προαπαιτούµενο(x,y); 4/6/ /6/ Παράδειγµα Προαπαιτούµενα... Έστω Α={α 1, α 2,...α n } το σύνολο των µαθηµάτωνπου πρέπει κανείς να περάσει για να πάρει πτυχίο. Έστω η σχέσηπροαπαιτούµενο(x,y) = {Για να περάσω το µάθηµα x, πρέπει να περάσω το µάθηµα y} Τι σχέση είναι η σχέση Προαπαιτούµενο(x,y); Αυστηρή σχέση µερικής διάταξης Το µέγεθος της µεγαλύτερης αλυσίδας προσδιορίζει το ελάχιστο πλήθος εξαµήνων για να πάρει κανείς πτυχίο. Το µέγεθος της µεγαλύτερης αντιαλυσίδαςπροσδιορίζει το µέγιστο πλήθος µαθηµάτων που µπορεί κανείς να πάρει σε ένα εξάµηνο. HY001 HY011 HY021 HY031 HY012 HY013 HY022 HY023 HY024 HY014 HY041 4/6/ /6/

8 Αλυσίδες/αντιαλυσίδες Παράδειγµα: Τα υποσύνολα του συνόλου {x, y, z} µε τη σχέση υποσυνόλου {x,y,z} {x,y} {x,z} {y,z} {x} {y} {z} Σχέσεις ολικής διάταξης Έστω µία µερική διάταξη (A, ). Εάν x,y Α (x y y x) δηλαδή εάν όλα τα στοιχεία του Α είναι συγκρίσιµα µεταξύ τους, τότε η σχέση ονοµάζεται σχέση ολικής διάταξης, και το σύνολο Α ολικά διατεταγµένο ως προς την {} 4/6/ /6/ Ολικές διατάξεις, παράδειγµα R(a,b) = {a b} (a,bπραγµατικοί) Ανακλαστική: a a Αντισυµµετρική: Αν a b και b aτότε a=b Μεταβατική: Αν a b και b cτότε a c Άρα η σχέση είναι σχέση µερικής διάταξης αλλά και σχέση ολικής διάταξης, αφού οποιοιδήποτε πραγµατικοί αριθµοί είναι συγκρίσιµοι µέσω της σχέσης Τι σχέσεις είναι οι παρακάτω; (N, ) Σχέση ολικής διάταξης (N, ) (όπου σηµαίνει διαιρεί ) Σχέση µερικής διάταξης Σχέση µερικής διάταξης 4/6/ /6/