ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις"

Transcript

1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας: τα υποσύνολα του Ω στα οποία τα κατηγορήματα παίρνουν τιμή True). Αποδείξτε ότι αν η, () () είναι ταυτολογία τότε Α Β και αντιστρόφως Ευθύ: Έστω x A Τότε p(x) αληθής αλλά και () () αληθής (η πρόταση είναι ταυτολογία) οπότε και () αληθής Άρα x Β και Α Β Αντίστροφο: Έστω ότι Α Β Αν x A, τότε και x B. Συνεπώς p(x) και q(x) αληθείς, άρa p(x) q(x) αληθής Αν x Α, τότε p(x) ψευδής. Kαι πάλι p(x) q(x) αληθής Οπότε, () () αληθής Άσκηση 3.2 [0.8 μονάδες] 1. Αποδείξτε ότι αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους δεν είναι ορθογώνιο 2. Έστω m,n N. Αποδείξτε ότι αν m + n 100, τότε είτε m 50 είτε n Αποδείξτε ότι για κάθε n N, o n 2 +n είναι άρτιος 4. Αποδείξτε ότι αν n και m περιττοί ακέραιοι τότε και ο m*n είναι επίσης περιττός ακέραιος. Σε κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις αναφέρετε τι είδους αποδεικτική διαδικασία ακολουθήσατε 1. Γνωρίζω από τη Γεωμετρία ότι αν ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο τότε έχει ίσες διαγωνίους Απόδειξη: Τα τρίγωνα ABD και ΑBC είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια και έχουν ίσες κάθετες πλευρές (Θεώρημα Θαλή) άρα και οι υποτείνουσές τους είναι ίσες. Η πρόταση που θέλω να αποδείξω είναι η αντιστροφοαντίθετη αυτής, άρα ισχύει. 2. Έστω ότι m+n 100 και m<50 και n<50 m<50 n<50 m+n<100 Άτοπο μια και υπέθεσα ότι m+n

2 a. Έστω n άρτιος. Τότε για κάποιο k, N n=2k n 2 =(2k) 2 n 2 =4k 2. n 2 +n=4k 2 +2k=2(2 k 2 +k). Άρα είναι άρτιος b. Έστω n περιττός. Τότε για κάποιο m, N n=2m+1 n 2 =4m 2 +4m+1. n 2 +n=4m 2 +4m+1+2m+1=4m 2 +6m+2=2(2m 2 +3m+1). Άρα είναι άρτιος Απόδειξη µε περιπτώσεις 4. Έστω ότι οι m και n είναι περιττοί ακέραιοι. ηλαδή για κάποιους k,l, N n=2k+1και m=2l+1. m*n=(2k+1)(2l+1)=4kl+2k+2l+1=2s+1, s N. Άρα είναι περιττός Ευθεία απόδειξη Άσκηση 3.3 [1 μονάδες] Έστω U το σύνολο των ακεραίων και Α={3,6}, Β={3,8,10,12} και C={6,8,10}. Υπολογίστε τα: a. b. ( ) c. B C d. C B e. A C a. ={3,12} b. ( = =A = {6} c. B-C={3,12} d. C-B={6} e. A C = {(3,6),(3,8),(3,10),(6,6),(6,8),(6,10)} Άσκηση 3.4 [0.8 μονάδες] Βρείτε τον πληθικό αριθμό των παρακάτω συνόλων a. {{ b. c. { d. { e. {x,{x, a. { = 1 b. =0 c. { = 1 d. { =1 e. {x,{x, =3 f. 2 Z g. 2 h. 2 f. 2 Z = g. 2 =1 h. "2 " = 2

3 Άσκηση 3.5 [1.2 μονάδες] 1. Στα παρακάτω διαγράμματα Venn αναγνωρίστε τα σκιασμένα σύνολα χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο τα σύμβολα της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος. 2. Ένα από τα σχήματα αναπαριστά τη διαφορά συνόλων. Εντοπίστε το και γράψτε τον ορισμό της διαφοράς χρησιμοποιώντας μόνο τα σύμβολα της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος 3. Ένα από τα σχήματα αναπαριστά τη συμμετρική διαφορά συνόλων. Εντοπίστε το και γράψτε τον ορισμό της συμμετρικής διαφοράς χρησιμοποιώντας μόνο τα σύμβολα της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος 1. a. b. Α c. (A B) ( H) = ( ) ( ) d. ( ) I J = ( ) ( ) = 2. Το σχήµα b. αναπαριστά τη διαφορά συνόλων. Άρα H L = Α 3. Το σχήµα c. αναπαριστά τη συµµετρική διαφορά συνόλων. Άρα H L = (A B) ( H) = ( ) ( )

4 Άσκηση 3.6 [1.2 μονάδες] Οι 8 σειρές μιας σκακιέρας ονομάζονται με αριθμούς από το 1 ως το 8, ενώ οι 8 στήλες με γράμματα από το a ως το h. Κάθε τετράγωνο περιγράφεται από ένα διατεταγμενο ζεύγος (γράμμα στήλης, αριθμός γραμμής) 1. Ένα άλογο είναι στο (d,3). Γράψτε τις πιθανές θέσεις του μετά από μια κίνηση (υπενθ. Το άλογο κινείται κατά τρία τετράγωνα σχηματίζοντας ένα Γ. Η κίνηση του είναι μικτή, δηλαδή συνδυασμός δύο κινήσεων, μίας κάθετης και μίας οριζόντιας, ώστε να συμπληρώσει συνολικά τρία τετράγωνα ) 2. Αν R={1,2,,8, C={a,b,,h χρησιμοποιείστε συμβολισμούς της θεωρίας συνόλων να περιγράψετε το σύνολο P των συντεταγμένων όλων των τετραγώνων της σκακιέρας 3. Ένας πύργος είναι τοποθετημένος στο (g,2). Αν Τ={2 και G={g εκφράστε όλες τις δυνατές θέσεις του πύργου μετά από μία κίνηση, συναρτήσει των R,C,T και G. (Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν άλλα πιόνια στη διαδρομή του. Υπενθ. Ο πύργος κινείται οριζόντια ή κάθετα στη σκακιέρα όσα τετράγωνα επιθυμεί) 1. Οι πιθανές θέσεις εκφράζονται από το σύνολο P={(b,2),(b,4),(c,1),(c,5),(e,1),(e,5),(f,2),(f,4) 2. P=C R 3. P=(G R) (C T)-(G T) Άσκηση 3.7 [1 μονάδα] Τις περασμένες Απόκριες μια ολόκληρη τάξη μαθητών (40 άτομα) μασκαρεύτηκε. 18 απ αυτούς φόρεσαν καπέλλο, 20 φόρεσαν περούκα και 27 έβαψαν το πρόσωπό τους. 7 φόρεσαν καπέλλο και περούκα, 12 φόρεσαν περούκα και βάφτηκαν και 4 φόρεσαν καπέλλο, περούκα και βάφτηκαν. Βρείτε πόσοι 1. Φόρεσαν καπέλλο και βάφτηκαν 2. Φόρεσαν καπέλλο, βάφτηκαν αλλά δεν έβαλαν περούκα Έστω Α το σύνολο αυτών που φόρεσαν καπέλλο, Β αυτών που φόρεσαν περούκα και Γ αυτών που βάφτηκαν. Από τα δεδομένα έχουμε ότι Α =18, Β =20, Γ =27, Α Β =7, Β Γ =12, Α Β Γ =4 και Α Β Γ =40

5 Ψάχνουμε τα 1. Α Γ και 2. Α Γ - Α Β Γ Από την αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού: Α Β Γ = Α + Β + Γ - Α Β - Α Γ - Β Γ + Α Β Γ 40= Α Γ Α Γ =10 Και Α Γ - Α Β Γ =10-4=6 Άσκηση 3.8 [1.5 μονάδες] Αποδείξτε επαγωγικά τη γενίκευση του νόμου του De Morgan για την ένωση συνόλων: k l = k l Θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή Βασικό Βήμα: Για n=1, k = k. Μπορούμε να το αποδείξουμε και για n=2 (η αποδειξη βρίσκεται σχεδόν σε όλα τα βιβλία) Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω για κάποιον k N, k m = k m Θα αποδείξω ότι και k mnk = k mnk k mnk = ( k m ) mnk = k m mnk = (Εφαρμόζω τον De Morgan για 2 σύνολα, τα k m και mnk ) ( k m ) mnk = (επαγωγική υπόθεση) k mnk ο.ε.δ. Άσκηση 3.9 [1.5 μονάδες] Αποδείξτε επαγωγικά ότι το γινόμενο τριών οποιωνδήποτε συνεχόμενων φυσικών αριθμών διαιρείται με το 6 Βασικό Βήμα: Το γινόμενο των 3 πρώτων φυσικών αριθμών (1,2,3) ισούται με 6 (και προφανώς διαιρείται με το 6) Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω για κάποιον k N, το k(k+1)(k+2) διαιρείται με το 6. Θα αποδείξω ότι και το (k+1)(k+2)(k+3) διαιρείται επίσης με το 6. Από την υπόθεση k(k+1)(k+2) =6m, για κάποιον m N (k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=6m+3(k+1)(k+2). Οι k+1 και k+2 είναι διαδοχικοί αριθμοί, συνεπώς ο ένας από τους δύο είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Ένας από τους δύο λοιπόν θα γράφεται στη μορφη 2s, s N. Άρα ο 3(k+1)(k+2) θα μπορεί να γραφτεί στη μορφή 3*2t, t, N ο.ε.δ.

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6.

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 4 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 4.1 [1 μονάδα] Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στη σχέση R από το Α={0,1,2,3} στο Β={0,1,2,3,4} όπου (a,b) R αν και μόνο

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

A

A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 11/11/017 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2017

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2017 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [1 μονάδα] Έστω F(x,y) = «Το αυτοκίνητο x έχει μέγιστη ταχύτητα μεγαλύτερη από αυτή του αυτοκινήτου y», με Π.Ο. των x,y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press. Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ Μην γυρίσετε την επόμενη σελίδα πριν σας το πουν. Για το test αυτό πρέπει να γνωρίζετε ότι: Δεν επηρεάζει τη βαθμολογία σου στο σχολείο. Χρησιμοποιείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-677 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2017 1 η Σειρά Ασκήσεων Παράδοση: Τρίτη, 28/2/2017 μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες Άσκηση 1.1 [1 μονάδα]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Sample 2 ΜΕΡΟΣ A ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε αυτό το μέρος υπάρχουν 15 ερωτήσεις. Να απαντήσετε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Σε κάθε ερώτηση η σωστή απάντηση είναι ΜΟΝΟ ΜΙΑ. Να βάλετε σε ΚΥΚΛΟ τη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα

2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑ ΑΣ 2 ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά. «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2010 Α Γυμνασίου ΘΕΜΑ 1 ο Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 σχηματίζουμ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η συνεπαγωγή ν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι το P συνεπάγεται το Q και γράφουμε P Q Π.χ, όταν α=β

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20 Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ. Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ. Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15 1/2 ΕΤΩΝ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #3 Λυμένες Ασκήσεις σε Σύνολα/ Αποδείξεις /Μαθηματική Επαγωγή 14/3/2017

Φροντιστήριο #3 Λυμένες Ασκήσεις σε Σύνολα/ Αποδείξεις /Μαθηματική Επαγωγή 14/3/2017 Φροντιστήριο #3 Λυμένες Ασκήσεις σε Σύνολα/ Αποδείξεις /Μαθηματική Επαγωγή 14/3/2017 Άσκηση Φ3.1 Αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες. (1) B (Ø A) = B (2) ( A U) = A (3) ( A B) ( A B) = A (4) ( A B) ( B A)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ. Εξετάζουμε ενδεικτικά ορισμένες περιπτώσεις: 1 ο 2 ο. 3 ο 4 ο

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ. Εξετάζουμε ενδεικτικά ορισμένες περιπτώσεις: 1 ο 2 ο. 3 ο 4 ο ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διάστασης m n όπου m,n φυσικοί αριθμοί, το οποίο είναι διαιρεμένο σε τετράγωνα που το καθένα ισούται με την μονάδα μέτρησης του εμβαδού του. Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Kamke 1950, Halmos 1960 και C. L. Liu and C. Liu 1985. 1.1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ 6ο ΓΕΛ ΛΜΙΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΝΤΦΥΛΛΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ Στοιχεία θεωρίας Σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα. Το σύνολο όλων των ελληνικών ποδοσφαιρικών ομάδων. Το σύνολο όλων των χωρών της Ευρώπης.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο 1.1 ΠΡΟΒΛΗ ΜΑ Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν απόσταση 1. Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκινα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 Β' Λυκείου. Ύλη: Αναλογίες- Ομοιότητα- Μετρικές σχέσεις

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 Β' Λυκείου. Ύλη: Αναλογίες- Ομοιότητα- Μετρικές σχέσεις ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Αναλογίες- Ομοιότητα- Μετρικές σχέσεις 15-0-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (5 μον.) ii. Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η.

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η. Άσκηση 1η Αν η εξίσωση είναι αόριστη, τότε: α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη β) Να λυθεί η ανίσωση γ) Αν ισχύει ότι να βρεθεί ο αριθμός Α Άσκηση 2η Αν η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του και η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα