a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6.
|
|
- Αμάραντος Κορομηλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 4.1 [1 μονάδα] Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στη σχέση R από το Α={0,1,2,3} στο Β={0,1,2,3,4} όπου (a,b) R αν και μόνο αν: a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6. a. {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)} b. {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 3)} c. {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} d. {(0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4)} e. {(2, 3), (3, 2)} Άσκηση 4.2 [1.5 μονάδα] Δίνονται οι παρακάτω σχέσεις επι του συνόλου των ακεραίων: (x,y) R αν και μόνο αν: 1. Το x διαιρεί ακέραια το y 2. x y 3. y=x+1 ή y=x-1 4. x=y 2 5. xy 1 Έχουν οι παραπάνω σχέσεις την ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική ή μεταβατική ιδιότητα; Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας
2 1. Είναι ανακλαστική (κάθε αριθμός διαιρεί τον εαυτό του) Δεν είναι συμμετρική (2 6 αλλά 6 2) Δεν είναι αντισυμμετρική (1-1 και -1 1 αλλά 1-1) Είναι μεταβατική (αν x y και y z εύκολα αποδεικνύεται ότι x z) 2. Δεν είναι ανακλαστική. (1,1) R Είναι συμμετρική μια και αν x y τότε και y x Δεν είναι αντισυμμετρική ((2,3) και (3,2) R αλλά δεν ισχύει ότι 2=3) Δεν είναι μεταβατική μια και 1 2 και 2 1 αλλά δεν ισχύει ότι Δεν είναι ανακλαστική. (1,1) R Είναι συμμετρική μια και οι x = y + 1 και y = x 1 είναι ισοδύναμες εξισώσεις Δεν είναι αντισυμμετρική ((2,3) και (3,2) R αλλά δεν ισχύει ότι 2=3) Δεν είναι μεταβατική μια και (1,2) R και (2,1) R αλλά (1,1) R Δεν είναι ανακλαστική: (2,2 ) R Δεν είναι συμμετρική (9, 3) R αλλά (3,9) R Είναι αντισυμμετρική ((x,y) R και (y,x) R αν και μόνο αν x=y=0 ή x=y=1 Δεν είναι μεταβατική μια και (16, 4) R and (4, 2) R αλλά (16,2) R 5. Δεν είναι ανακλαστική (0,0) R Είναι συμμετρική μια και xy = yx. Δεν είναι αντισυμμετρική ((2,3) και (3,2) R αλλά δεν ισχύει ότι 2=3) Είναι μεταβατική γιατί αν (a, b) R και (b, c) R, τότε και (a, c) R (παρατηρείστε ότι αν xry τότε x,y ομόσημα) Άσκηση 4.3 [1 μονάδα] 1. Έστω R η σχέση του «διαιρεί» επί του συνόλου των θετικών ακεραίων (a,b) R a b. Βρείτε a. την R 1 (Την αντίστροφη σχέση της R) και b. (Το συμπλήρωμα της R) 2. Έστω η σχέση ισοδυναμίας R επί του συνόλου των πραγματικών αριθμών R={(x,y) ο x-y είναι ακέραιος} Ποια είναι η κλάση ισοδυναμίας του 1 για την R
3 1.a. R 1 = {(b, a) a b} = {(a, b) b a} 1.b ={(a,b) a b}. 2. Το σύνολο των ακεραίων Z Άσκηση 4.4 [1.5 μονάδες] 1. Σχεδιάστε τα διαγράμματα Hasse για τη σχέση διαιρετότητας στα παρακάτω σύνολα a. {1,2,3,6,12,24} b. {2,4,6,12,24,36} 2. Σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse της σχέσης που αναπαριστά ο παρακάτω πίνακας 3. Σχεδιάστε τον κατευθυνόμενο γράφο της σχέσης που αναπαριστά το παρακάτω διάγραμμα Hasse 1.a.
4 1.b Άσκηση 4.5 [0.6 μονάδα] Δίνεται η σχέση R ={(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4),(4, 1),(4, 4)} επί του {1,2,3,4} a. Βρείτε τη μεταβατική κλειστότητα R * της R.
5 b. Σχεδιάστε τον κατευθυνόμενο γράφο για την R και την R * a. R * ={(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4),(4, 1),(4, 4),(3,1),(3,2),(4,2)} b. Άσκηση 4.6 [0.6 μονάδα) Έστω R={(1,1),(1,3),(2,1),(3,2)} επί του {1,2,3} Δώστε την αναπαράσταση πίνακα a. για την R b. την ανακλαστική κλειστότητα της R και c. τη συμμετρική κλειστότητα της R
6 a. b. c. Άσκηση 4.7 (0.8 μονάδα) Έστω σχέση R από το Α στο Β. Αποδείξτε ότι ( ) =, όπου το συμπλήρωμα της R Έστω (b,a) () (a,b) () (από τον ορισμό της αντίστροφης σχέσης) (a,b) R (b,a) R -1 (από τον ορισμό του συμπληρώματος) (από τον ορισμό της αντίστροφης σχέσης) (b,a) ( από τον ορισμό του συμπληρώματος) Άσκηση 4.8 (1.5 μονάδες) Έστω S σύνολο και για Α,Β (S) ορίζουμε Α Β να σημαίνει Α Β. Είναι η σχέση αυτή σχέση μερικής διάταξης στο (S); Εξηγείστε το. Υπόδειξη: Θεωρείστε περιπτώσεις, το S να είναι κενό, να έχει ένα στοιχείο ή να έχει περισσότερα του ενός στοιχεία. Περίπτωση 1. S=. Τότε το (S) περιέχει μόνο ένα στοιχείο, το. Σ αυτή την περίπτωση η σχέση είναι μερική διάταξη μια και: Προφανώς Α Α για όλα τα Α (S) μια και 0= (Ανακλαστική) Αν Α Β και Β Ατότε Α=Β μια και το (S) περιέχει μόνο ένα στοιχείο (Αντισυμμετρική) Αν Α Β και Β C, τότε Α C μια και αναγκαστικά A=B=C και όπως είπαμε προηγουμένως Α Α (Μεταβατική)
7 Περίπτωση 2. S =1. Σ αυτή την περίπτωση το (S) = {,S} περιέχει 2 στοιχεία. Και πάλι η σχέση είναι μερική διάταξη μια και: Α Α για όλα τα Α (S) επειδή Α Α (Ανακλαστική) Αν Α Β και Β Α τότε Α Β και Β Α, άρα Α = Β. Μια και το (S) δεν περιλαμβάνει διαφορετικά σύνολα ίδιου πληθικού αριθμού, συνεπάγεται ότι Α=Β (Αντισυμμετρική) Έστω ότι Α Β και Β C. Αν Α=, τότε Α =0 C, οπότε Α C. Αν Α=S, τότε Α Β σημαίνει ότι Β=S και Β C σημαίνει ότι C=S, άρα A=B=C=S και Α C (Μεταβατική) Περίπτωση 3. S 2 Σ αυτή την περίπτωση η δεν είναι σχέση μερικής διάταξης γιατί δεν είναι αντισυμμετρική Αν θεωρήσουμε a,b S με a b, τότε {α} {b} επειδή {a} {b}. Για τον ίδιο λόγο {b} {a}. Ωστόσο {a} {b} Άσκηση 4.9 (1.5 μονάδες) Έστω η σχέση R={(m,n): m,n Z, m n (mod 3)} (Υπενθύμιση: m n (mod 3) 3 (m-n)) Αποδείξτε ότι είναι σχέση ισοδυναμίας 2. Βρείτε τις κλάσεις ισοδυναμίας για την R 3. Βρείτε τη διαμέριση του Z που προκύπτει από αυτές τις κλάσεις ισοδυναμίας Η σχέση είναι ανακλαστική ((a,a) R α Z Είναι συμμετρική (αν m n (mod 3) (m-n)=3k (n-m)=-3k 3 (n-m) n m (mod 3) Είναι μεταβατική: (αν a b (mod 3) και b c (mod 3) τότε (a-b)=3k, b-c=3m άρα προσθέτοντας κατά μέλη- a-c=3(k+m) a c(mod3) Άρα είναι σχέση ισοδυναμίας 2. Διαλέγουμε ένα τυχαίο στοιχείο του Z, έστω το 0.
8 [0]R={,-6,-3,0,3,6, } Διαλέγουμε ένα τυχαίο στοιχείο του Z -[0] R, έστω το 1 [1] R={,-5,-2,1,4,7 } Διαλέγουμε ένα τυχαίο στοιχείο του Z -([0] R [1] R), έστω το 5 [5] R={..., -4, -1, 2, 5, 8,... } Z -([0] R [1] R [5] R)= άρα δεν υπάρχουν άλλες κλάσεις ισοδυναμίας 3. Τα [0] R, [1] R, [5] R αποτελούν μια διαμέριση του Z
Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017
Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018
Φροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018 Άσκηση Φ5.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016
Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 018 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. b. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΙσοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις
Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 18 Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραLÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I
LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \
Διαβάστε περισσότεραΠέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων
ιακριτά Μαθηματικά Ι https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/008-09.(i) S =, : 0 =, :, με + 0 {( ) } {( ) ( )( ) } {(, ):, με 0, 0 } {(, ):, με 0, 0} = + + = 0 + = 0 = (ii). 3 {( ) ( )} ( ) ( ) {(, ):, με 0 ή. } { = } S=, :, με = + =, :,
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015
Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους
Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις. Σχέσεις Ισοδυναµίας. Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση. Ανακλαστικές (a, a) R
Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ανακλαστικές (, ) R Συµµετρικές (, ) R
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/2017
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018
Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018 Άσκηση 9.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο
ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Την προηγούµενη φορά. Αντισυµµετρικότητα. 13 Σχέσεις
HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/207 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/207
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ
ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα
Διαβάστε περισσότεραιµελής σχέση HY118- ιακριτά Μαθηµατικά n-µελείς σχέσεις Σχέσεις 13 - Σχέσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 31/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/3/2016
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Κλάσεις ισοδυναµίας. Σχέσεις ισοδυναµίας. 15 -Σχέσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 05/04/2016 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 4: Ισοδυναμία, διάταξη, άπειρα σύνολα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Mar-18
Διαβάστε περισσότεραΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU
ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Ιστορική αναδρομή του Sudoku Μαθηματικό περιεχόμενο Συμμετρίες της λύσης Ενδιαφέροντα δεδομένα ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Αρχικό όνομα Number Place
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Σχέσεις ισοδυναµίας. 15 Σχέσεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης
Μάθημα 7α Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2017-2018 Μια Ενοποιητική Προσέγγιση στην ΥΝ Η Θεωρία Πλεγμάτων στην ΥΝ. Υπολογιστικές Μεθοδολογίες
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις
Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 15-Mar-18
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016
ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση
Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες
Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότερα( ( )) ( 3 1) 2( 3 1)
Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 7/4/2017 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ
Διαβάστε περισσότεραbca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}
Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες
Διαβάστε περισσότερα1 (6) 9 (6) 2 (3) 10 (9) 3 (6) 11 (6) 4 (8) 12 (6) 5 (6) 13 (8) 6 (5) 14 (6) 7 (6) 15 (11) 8 (8)
Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Τρίτη, 22 Δεκεμβρίου,
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις Μερικής Διάταξης
Σχέση Μερικής Διάταξης Σχέσεις Μερικής Διάταξης Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέση Μερικής Διάταξης (ή μερική
Διαβάστε περισσότεραof Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ
Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης
Διαβάστε περισσότεραof Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.
Σημειώσεις του Μαθήματος ΜΕΜ 103 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2018 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των
Διαβάστε περισσότεραx (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9.
Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2017-2018 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Πέμπτη, 14 Δεκεμβρίου,
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3: Συναρτήσεις - σχέσεις Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότερα(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c
Λύσεις Ασκήσεων στα Θεμέλια των Μαθηματικών II Ρωμανός-Διογένης Μαλικιώσης Παρασκευή, 29 Οκτωβρίου 2010 Άσκηση 1. Απλοποιήστε τις ακόλουθες εκφράσεις (α ) (D c F ) c (D F ) (β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις Μερικής ιάταξης
Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότεραm + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G
Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις Μερικής ιάταξης
Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 28/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/30/2017
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις Μερικής ιάταξης
Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότεραιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι
Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότερα(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):
Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις
202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #6 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 4/4/2019
ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #6 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 4/4/019 Άσκηση Φ6.Α.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, διάγραμμα. g : B C και h : C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά
Διαβάστε περισσότεραx < A y f(x) < B f(y).
Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),
Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΌταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).
4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες
Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:
Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και»
Η συνεπαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι: «ο P συνεπάγεται τον Q» και γράφουμε P Q. Παράδειγμα: x=3 x 2 =9. Ο
Διαβάστε περισσότερα1.Σύνολα. 2. Υποσύνολα
1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα του ελληνικού αλφαβήτου θεωρούμενα ως μια ολότητα αποτελούν ένα σύνολο, το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα