ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου"

Ενυώ Βικελίδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 018 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. b. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά πόσον ο κατηγορούμενος Α είναι ένοχος. Εκείνος απάντησε ότι και οι τρεις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς: (i) O A είναι αθώος ή ο Β είναι ένοχος. (ii) Ο B είναι αθώος ή ο Γ είναι αθώος. (iii) Εάν ο Α είναι ένοχος, τότε οι Β και Γ είναι και οι δύο ένοχοι. Θεωρώντας δεδομένο ότι ο δικαστής λέει την αλήθεια, ο Α είναι τελικά αθώος ή ένοχος; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. a. Όπως φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα αληθείας, η συγκεκριμένη πρόταση δεν αποτελεί ταυτολογία, δεδομένου ότι δεν είναι αληθής για κάθε συνδυασμό τιμών των επιμέρους προτάσεων p, q και r. Αυτό μπορεί να αποδειχτεί και μέσω χρήσης ταυτοτήτων. P q r (p q) r (p q) (q r) ((p q) r) ((p q) (q r)) T T T T T T T T F F F T T F T T F F T F F T F F F T T T T T F T F T F F F F T T T T F F F T T T b. Έστω α η πρόταση «Ο Α είναι ένοχος», β η πρόταση «Ο Β είναι ένοχος» και γ η πρόταση «ο Γ είναι ένοχος». Τότε ο δικαστής μας διαβεβαιώνει ότι και οι τρεις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς: 1. α β, β γ 3. α β γ. Από την (3) προκύπτει ότι η α (β γ) είναι αληθής Άρα η α ( β γ) είναι αληθής Άρα εξαιτίας της () η α Τ είναι αληθής Άρα η α F είναι αληθής. Άρα η α είναι αληθής. Άρα η α είναι ψευδής. Άρα ο Α είναι αθώος. Σελίδα 1 από 6

2 Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να δει την τιμή αληθείας των προτάσεων που είπε ο δικαστής, για κάθε συνδυασμό τιμών αληθείας των προτάσεις α, β και γ και να δει τι τιμή έχει η πρόταση α όταν και οι τρεις προτάσεις που είπε ο δικαστής είναι αληθείς. Θέμα : a. Έστω η προτασιακή μορφή K(x,y) που έχει το νόημα «Ο x μπορεί να κοροϊδέψει τον y». Διατυπώστε ως προτάσεις κατηγορηματικού λογισμού τις παρακάτω προτάσεις φυσικής γλώσσας: 1. «Ο Πέτρος δεν μπορεί να κοροϊδέψει κανένα». «Υπάρχει κάποιος που μπορεί να κοροϊδέψει τουλάχιστον δύο άτομα» 3. «Ο καθένας μπορεί να κοροϊδευτεί από ακριβώς δύο άτομα» b. Καθορίστε την αλήθεια για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις όπου οι μεταβλητές x, y, z ορίζονται στο σύνολο Α={1,, 3}. 1. x y, x <y+1. x y, x +y <1, 3. x y z, x +y <z 4. x y z, x +y <z a. 1. x K(Πέτρος, x). x y1 y (K(x,y1) Λ K(x,y) Λ (y1 <> y)) 3. x y1 y (K(y1,x) Λ K(y,x) Λ (y1 <> y) Λ z (K(z,x) (z=y1) (z=y))) b. 1. Αληθής: Υπάρxει x (το x=1) για το οποίο για οποιοδήποτε y, η ανισότητα ισχύει.. Ψευδής: Για x=3 και y=3 η ανισότητα δεν ισχύει. 3. Αληθής: Υπάρxει x (το x=1) για το οποίο για οποιοδήποτε y, υπάρχει z (το 3) τέτοιο ώστε η ανισότητα να ισχύει. 4. Ψευδής: Δεν υπάρχουν x και y τέτοια ώστε για οποιοδήποτε z η ανισότητα να είναι αληθής. Πιο συγκεκριμένα, ακόμα κι αν επιλέξουμε τα μικρότερα δυνατά x και y (x=1, y=1), για z=1, η ανισότητα δεν ισχύει. Θέμα 3: [16 μονάδες] a. Δείξτε ότι δύο ακέραιοι m και n είναι περιττοί, αν και μόνο αν το γινόμενό τους mn είναι περιττός ακέραιος. b. Αποδείξτε χωρίς να χρησιμοποιήσετε διαγράμματα Venn και χωρίς αναγωγή σε προτάσεις του προτασιακού λογισμού, ότι για οποιαδήποτε σύνολα A, B, C, ισχύει ότι ( A B) C ( A C) ( B C) Σελίδα από 6

3 a. Ευθύ: m περιττός, επομένως υπάρχει k τέτοιο ώστε m=k+1 n περιττός, επομένως υπάρχει l τέτοιο ώστε n=λ+1 Τότε, mn = (k+1)*( λ+1) = 4kλ+k+λ+1 = (kλ+k+λ)+1 ο οποίος είναι περιττός. Αντίστροφο: Έστω ότι mn περιττός ακέραιος και ότι κάποιος από τους m, n είναι άρτιος. Αφού ο mn είναι περιττός, mn = z+1 για κάποιο ακέραιο z. Επίσης, αφού ο mn είναι γινόμενο άρτιου και περιττού, ισχύει για κάποιους ακεραίους k, λ, ότι mn = λ*(k+1). Άρα, θα πρέπει z+1 = λ*(k+1) z+1 = 4λk+λ z+1 = (λk+λ) άτοπο αφού αυτό σημαίνει πως ένας άρτιος είναι ίσος με ένα περιττό. Ανάλογα μπορεί κανείς να δουλέψει όταν και ο m και ο n είναι άρτιοι. b. Έστω x (A B)-C x (A B) x C (x A x B) x C (x C x A) (x C x B) x (A-C) (B-C) x (A-C) (B-C) (A B)-C (A-C) (B-C) Έστω τώρα x (A-C) (B-C) (x C x A) (x C x B) x C (x A x B) x (A B)- C (A-C) (B-C) (A B)-C Άρα ( A B) C ( A C) ( B C) Θέμα 4: a. Σε κάποιο κανάλι ακούτε κάποια δημοσκόπηση σύμφωνα με την οποία το ποσοστό των υποψηφίων που θα ήταν ικανοποιημένοι από τα κόμματα A, B και C είναι 65%, 57% και 58%, αντίστοιχα. Επιπρόσθετα, το 8% είναι ικανοποιημένο από το A ή το B, το 30% από το A ή το C, το 7% το B ή το C, και το 80% θα ήταν ικανοποιημένο από τουλάχιστον ένα από τα κόμματα A, B, C. Τι συμπέρασμα βγάζετε για τη δημοσκόπηση; b. Έστω ότι Α={, b}. Κατασκευάστε τα παρακάτω σύνολα: (1)A-, (){ }-A, (3)A P(A), (4) A P(A). a. Γνωρίζουμε ότι A B C A B C A B B C A C A B C A B C A B C A B C 15/ Από τα παραπάνω συνάγεται ότι ο πληθικός αριθμός της τομής τριών συνόλων είναι αρνητικός αριθμός πράγμα άτοπο. Επομένως, η δημοσκόπηση σίγουρα δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα και είναι παντελώς αναξιόπιστη Σελίδα 3 από 6

4 b. 1. A- = A. { } A = 3. A P(A) = {, b} {, { }, {b}, {, b}} = {, b, { }, {b}, {, b}} 4. A P(A) = {, b} {, { }, {b}, {, b}} = { b, { }, {b}, {, b}} Θέμα 5: Αποδείξτε επαγωγικά ότι n 1 (n N), ισχύει: n n 1 Για n=1 ισχύει αφού k Έστω ότι ισχύει για n=k, δηλαδή k Πρέπει να δείξουμε ότι Πράγματι, k 1 k k 1 k 1 ( k 1) k ( k 1) 1 1 ( k 1) k k k 1 k k k( k 1) 1 k( k 1) k( k 1) k( k 1) k( k 1) ( k 1) Θέμα 6: Έστω ( ab, ),( c, d) R και η σχέση Sπου ορίζεται ως ( abs, ) ( cd, ) a b c d. a. Αποδείξτε ότι η Sείναι σχέση ισοδυναμίας b. Πως σχετίζονται οι κλάσεις ισοδυναμίας των στοιχείων (1,1) και (0,-1); a. Πρέπει να δείξω ότι η σχέση είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Πράγματι. Είναι ανακλαστική γιατί ( ab, ) R,( ab, ) S( ab, ). Πράγματι, ( abs, ) ( ab, ) a b a bπου ισχύει Είναι συμμετρική γιατί ( ab, ),( cd, ) R,( abs, ) ( cd, ) ( cd, ) S( ab, ). Πράγματι, ( abs, ) ( cd, ) a b c d c d a b ( cd, ) S( ab, ) Σελίδα 4 από 6

5 Είναι μεταβατική γιατί ( ab, ),( cd, ),( e, f) R,( abs, ) ( cd, ) ( cd, ) S( e, f) ( abs, ) ( e, f). Πράγματι, ( abs, ) ( cd, ) a b c d(1) ( cd, ) S( e, f) c d e f() Από (1) και () προκύπτει ότι a b e f ( ab, ) S( e, f) b. Παρατηρούμε ότι (1,1) S(0, 1) αφού *1-1 =1 = *0-(-1). Εφόσον τα στοιχεία αυτά σχετίζονται, οι κλάσεις ισοδυναμίας τους ταυτίζονται. Θέμα 7: a. Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις που αναπαριστώνται με τη μορφή πίνακα είναι σχέσεις μερικής διάταξης; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. b. Έστω το σύνολο των ακεραίων A={, 3, 4, 6, 8, 1} επί του οποίου ορίζουμε τη σχέση μερικής διάταξης R {(a,b):a b}. Σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse της και δώστε ένα παράδειγμα μέγιστης αλυσίδας και ένα παράδειγμα μέγιστης αντιαλυσίδας. a. Η (a) είναι ανακλαστική και αντισυμμετρική αλλά όχι μεταβατική (το σχετίζεται με το 1, το 1 με το 3, αλλά το με το 3 δεν σχετίζονται). Οπότε δεν είναι σχέση μερικής διάταξης. Η (b) είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική, οπότε είναι σχέση μερικής διάταξης. Η (c) είναι ανακλαστική και αντισυμμετρική αλλά όχι μεταβατική (το σχετίζεται με το 3, το 3 με το 4, αλλά το με το 4 δεν σχετίζονται). Οπότε δεν είναι σχέση μερικής διάταξης. b. Διάγραμμα Hasse Σελίδα 5 από 6

6 Μια αλυσίδα με μέγιστο μήκος είναι η {,4,8} και μια αντιαλυσίδα με μέγιστο μήκος είναι η {,3} Σελίδα 6 από 6

Σχετικά έγγραφα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά