ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

Transcript

1 ΔΕΥΤΕΡΑ 6 28 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α Σελίδα 5, ορισμός. β) i. Σελίδα 35, από Έστω... ( x)= y. β) ii. Σελίδα 35, από Από τον τρόπο... g( y)= x. Α2 Σελίδα 42, ορισμός Fermat. Α3 Σελίδα 35, θεώρημα. Α4 α) Λάθος. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου, σελίδα 34. β) Λάθος. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου, σελίδα 7. Α5 H σωστή απάντηση είναι η γ. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ

2 Θέμα Β Β. H :R R. ( x)= e x + λ, λ R με οριζόντια ασύμπτωτη. lim ( e x + λ 2)= x + lim x + e + λ 2 x = lim = διότι lim e x =+ x + x e x + άρα lim x + e + λ 2 x = + λ 2 = λ = 2 Β2. (x) = e x + 2, R Θεωρούμε g(x) = e x + 2 x, R g συνεχής στο [ 2, 3] ως πράξεις συνεχών (σύνθεση εκθετικής και πολυωνυμικής) g ( 2)= e = 2 e > 2 g ( 3)= e = g ( 2) g ( 3)<. 3 e < 3 Άρα υπάρχει x ( 2, 3) έτσι ώστε g( x )= e x + 2 x = ( x ) x = g (x) = ( e x + 2 x) g (x) = e x < άρα g(x)a γνησίως φθίνουσα στο R. Οπότε η λύση x είναι μοναδική στο ( 2, 3) εφόσον η g είναι γνησίως μονότονη. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 2

3 Β3. (x) = e x + 2 για x, x 2 R με ( x )= ( x 2 ) e x + 2 = e x e x = e x2 e x 2 ex e x x = x 2 άρα η είναι στο R. Η είναι άρα αντιστρέφεται οπότε έχουμε y = (x) y = e x + 2 με y > 2 y 2 = e x με y 2 > y > 2 e x = y 2 x = ln y 2 x = ln ( y 2) ( y)= ln y 2 με y > 2 Θέτουμε όπου y το x άρα (x) = ln ( x 2) για κάθε x > 2. Β4. (x) = ln x 2 lim ln x 2 x 2 = ( )= + + Διότι: lim ln ( x 2)= lim ln u = x u Θέτουμε x 2 = u για x 2 + τότε u + y x C C ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 3

4 Θέμα Γ e x + β x, x < Γ. (x) = x2 + α, x αφού η παραγωγίσιμη στο x = θα είναι και συνεχής στο x = από lim x (x) = lim x + (x) lim ( e x + β x)= lim + β = + α α = β Επαναδιατυπώνοντας x x + (x) = x2 + α, x e x + α x, x < αφού η είναι παραγωγίσιμη στο x = πρέπει (x) lim x x (x) = lim x + x e x + α x ( + α ) lim = lim x x x + e x + α ( x ) lim = lim x x lim x x + x + x ( x 2 + α ) x 2 + α ( + α ) x ( x ) e x + α = 2 + α = 2 α = οπότε και β =. x e x Διότι lim x x = (εφαρμόζεται o κανόνας DLH ) lim x = lim e x = e =. x e x + x, x < Γ2. (x) = x2 +, x ( e x ) x (x) (x) (x) ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 4

5 Για x > έχουμε παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με (x) = 2x > και συνεχής (, ) τότε γνησίως αύξουσα στο [, + ). Για x < έχουμε παραγωγίσιμη ως αλγοριθμικό άθροισμα παραγωγίσιμων με (x) = e x + > και συνεχής στο (, + ) άρα γνησίως αύξουσα στο (, ) αφού συνεχής στο x = τότε είναι γνησίως αύξουσα στην ένωση των διαστημάτων δηλαδή στο R. Εύρεση συνόλου τιμών (x) = x2 +, x e x + x, x < Δ = (,] Δ 2 = (, + ) συνεχ ης Δ = lim (x), ( =,2 B x ( ] διότι lim (x) = lim ( e x + x)= x x και αφού lim e x lim e κ = x x θέτω κ = x x κ Δ2 συνεχ ης = B ( lim (x), lim (x) ) x + x + = ( 2, + ) άρα Δ = Δ Δ2 = (,2] ( 2, + )= R. Γ3. i) lim (x) = άρα υπάρχει κ < τέτοιο ώστε (κ ) <. x lim (x) συνεχ = ης x = > άρα υπάρχεικ < λ < τέτοιο ώστε ( e λ )>. Οπότε η συνεχής στο [ κ, λ ] (,) ως άθροισμα εκθετικής και πολυωνυμικής (κ ) ( λ )< ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 5

6 από Θ. Bolzano υπάρχει ένα x ( κ, λ ) τέτοιο ώστε ( x )= και η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) άρα το x : μοναδική ρίζα της στο(, ). ii) 2 (x) x (x) = Θεωρούμε ϕ(x) = 2 (x) x (x), D ϕ = ( x, + ) Έστω ότι υπάρχει ρ > x τέτοιο ώστε ϕ( ρ)= 2 ( ρ ) x ( ρ )= ( ρ )( ( ρ ) x )= ( ρ )= ( ρ ) R ( ρ ) x R = η Αδύνατο διότι ( ρ )= x ( ρ )= Αδύνατη αφού ρ > x B ( ρ )> ( x ) ( ρ )> ( ρ )= x αδύνατη αφού ( ρ )> και x <. Γ4. Μ ( x, y) y = (x), x t : x( t ) = 3, y ( t ) = x ( t ) = 2 μον /sec. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 6

7 Ε= 2 ΟΚ ΔΜ ΟΚ = x = x ΔΜ = (x) Ε= 2 x (x) Ε ( t ) = 2 x ( t ) ( xt ) Ε ( t ) = 2 x ( t ) ( xt ) + 2 x ( t ) ( xt ) y t Ε ( t ) = 2 x ( t ) y ( t ) + 2 x ( t ) Ε ( t ) = = 28 τ.μ./s 2 Θέμα Δ Δ (x) = ( x ) ln ( x 2 2x + 2)+ α x + β η παραγωγίσιμη ως (x) = ln ( x 2 2x + 2)+ ( x ) είναι y 2x 2 x 2 2x α Η εφαπτομένη της C στο Α, = ( x ) y = x + άρα προκύπτει το (Σ) = Πρέπει = α = β = 2 και α = = 2 = α + β = dx Δ2 2 2 Ε= (x) ε dx = ( x ) ln x 2 2x + 2 = = * 2 ( x ) ln (( x ) +)dx * όταν x 2 x οπότε (x) = (x) για x [, 2 ]. 2 + ln x ln > ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 7

8 Θέτουμε x = u du = dx x = u = x = 2 u = άρα Ε= u ln ( u 2 +)du = = u2 2 ln ( u2 +) = 2 ln 2 u 2 2 u 2 + 2udu = = 2 ln 2 u 3 u 2 + du u 3 Υπολογισμός u 2 + du Εκτελούμε τη διαίρεση u 2 2 u 2 2 ln ( u2 +) du ln ( u 2 +)du u 3 u 3 u u u 2 + u άρα u 3 = u ( u 2 +) u u 3 οπότε u 2 + du = udu = u2 2 ( u 2 +) 2 u 2 + du = 2 2 ln u2 + = 2 2 ln 2 άρα Ε= 2 ln ln 2 u u 2 + du = 2 ln ln 2 = ln 2 2 τ.μ. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 8

9 Δ3 i) Να δείξετε ότι (x) για κάθε x R. (x) = ( x )ln (( x ) 2 +) x + 2 (x) = ( x ) ln ( x 2 2x + 2)+ ( x ) 2 (x) = ln ( x 2 2x + 2)+ 2 x x 2 2x (x) ln ( x 2 2x + 2)+ 2 x x 2 2x ln ( x 2 2x + 2)+ 2 x x 2 2x + 2 ln (( x ) 2 +) ln > > 2 x 2x 2 x 2 2x + 2 x Για x = ισχύει η ισότητα. ii) (x) = ( x )ln ( x 2 2x + 2) x + 2 λ λ ( λ )ln ( λ 2 2λ + 2)+ 3 2 λ + 2 ( λ )ln ( λ 2 2λ + 2) λ λ ( λ )ln ( λ 2 2λ + 2) λ + 2 λ ( λ ) ΘΜΤ στο λ, λ + 2 (ικανοποιούνται οι συνθήκες) λ + 2 ( λ ) λ + = ( ξ ) 2 λ λ + 2 ( λ ) 2 Δ4 (x) = ( x ) ln ( x 2 2x + 2) x + 2 g(x) = x 3 x + 2 (x) = ln ( x 2 2x + 2)+ 2 ( x )2 x 2 2x + 2 g (x) = 3x 2 ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 9

10 Επειδή, g, και ε: y = x + 2 είναι συνεχείς παραγωγίσιμες έχουμε: (x) ε α) lim x x = lim ( x )ln x 2 2x + 2 = x x άρα η (ε) εφάπτεται στην C στο x = g(x) ε x 3 β) lim = lim x x x x = άρα η (ε) εφάπτεται στην C y στο x =. Συμπέρασμα η y = x + 2 είναι κοινή εφαπτομένη της C και C g. ( ) Εφαπτομένη της C g στο, g y g ( )= g ( ) ( x ) y 2 = x y = x + 2 Θα βρούμε την εφ της C στο x =. y = ( x ) y = x y = x + 2 Παρατηρούμε ότι οι, g δέχονται κοινή εφαπτομένη την y = x + 2. Επειδή (x) (το ίσο για x = ) και g (x) = 3x 2 (το ίσο για x = ) Είναι g ( x ) x 2 H g ( x )= x 2 έτσι η y = x + 2 είναι μοναδική. δεν έχει άλλο ζευγάρι λύσεων. Επιμέλεια απαντήσεων των θεμάτων: Τομέας Μαθηματικών Αξιολόγηση θεμάτων Τα θέματα χαρακτηρίζονται ως ποιοτικά, διατυπωμένα με σαφήνεια, καλύπτουν σχεδόν όλη την ύλη βασισμένα στο Σχολικό Βιβλίο. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ