Σ.Δ.ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ και ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

Transcript

1 Σ.Δ.ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΔΠΜΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ και ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

2 Περιεχόμενα Εισαγωγικά - Ένα πλήρες σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας Ψηφιακάσήματακαισυστήματα Ανάλυση στο χρόνο Ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων DTFT, DFT, FFT Μετασχηματισμός z Ψηφιακά κυκλώματα 1ης 2ας και υψηλής τάξεως δομές υλοποίησης Φίλτρα FIR Φιλτρα IIR Μη γραμμικά φίλτρα Προσαρμοστικά φίλτρα 2/54

3 Εισαγωγικά Διάφορα σήματα Ένα πλήρες σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας 3/54

4 Χρόνος - συχνότητα υ a n b n t(sec) f(hz) (α) (β) Περιγραφή στο χρόνο (α) ή στη συχνότητα (β) 4/54

5 Σήματα1 - σεισμικά Σεισμικά 5/54

6 Σήματα 2- φωνή πλάτος ηλέξη ενα χρόνος (sec) 0.02 Ένα τμήμα 100 ms χρόνος (sec) 6/54

7 Ηχος chirp 7/54

8 Σήματα 3 - βιοϊατρικά ECG /EKG Τυπικό ηλεκτροκαρδιογράφημα 8/54

9 EEG 9/54

10 Σήματα 3 Μουσικά όργανα 10/54

11 Σήματα 4 Τυχαία σήματα - θόρυβος πλάτος χρόνος ιστόγραμμα /54

12 Ένα πλήρες σύστημα επεξεργασίας σήματος Αναλογικό σήμα Prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα 12/54

13 Αναλογικό σήμα Sample and hold-s/h 10 Ένα «ισοδύναμο κύκλωμα» για S/H /54

14 Sample and hold Ψηφιακό σήμα /54

15 ΑDC βασικές διεργασίες Περιορισμός του εύρους συχνοτήτων με Βαθυπερατό φίλτρο Δειγματοληψία Κβάντιση Κωδικοποίηση Σχηματικά: Αναλoγικό σήμα prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα βαθυπερατό φίλτρο φίλτρο S/H S/H Δειγματοληψία Δειγματοληψία και και κράτιση κράτιση Kβαντιστής Λογικά Λογικά κυκλώματα κυκλώματα 15/54

16 Δειγματοληψία - γραφικά s δ x δ (t) T s T s (α) (β) Χ(jΩ) X δ (jω) Α Α/Τ s Ω Ø Ω Ø 0 Ω Ø Ω s 2Ω s (γ) (δ) 16/54

17 Δειγματοληψία στο χρόνο s δ (t) + sδ (t) = (t δ k= - - kt s ) x(t) x δ (t)=x(t).s δ (t) x δ (t) = x(t) + - δ(t - kt ) = s + - x(t)δ(t - kt ) = s + - x(kt )δ(t s - kt s ) 17/54

18 Δειγματοληψία στη συχνότητα S( jω) = I{s δ (t)}= 1 Τ s + k= - I{e jkω s t } = 2π Τ s + k= δ(ω - kω s ) Χ = δ (jω) = I {x 1 2π (t)} = I{x(t)s Χ(jΩ) S(jΩ) = δ 1 T s + - δ (t)} = X(jΩ - jkω s ) Τελικ ά : Χ δ (jω ) = 1 T s + - X(jΩ - jkω s ) 18/54

19 Μια προσέγγιση Χ(jΩ) = I {x(t)} = x(t)e jωt dt Ωt Χ(jΩ) = x(t)e dt x(nt j jωnts jω s )e Ts = Ts X(e ) Χ δ (jω) = X(e jω ) 1 T s Χ(jΩ) 19/54

20 X(jΩ) Δειγματοληψία αλλοίωση παράδειγμα (α) (β) (γ) (δ) f (khz) Το αποτέλεσμα της δειγματοληψίας στο φάσμα του σήματος. Το σήμα (α) έχει μέγιστη συχνότητα f m =3kHz και δειγματοληπτείται (β) με f s =8kHz. Στo (γ) όπου f s =6kHz η αλληλεπικάλυψη των φασμάτων είναι οριακή. Ενώ στo (δ) έχουμε αλλοίωση διότι f m > f s /2 20/54

21 Η αλλοίωση αφορά την περιοχή 0-f s /2 Α Η(Ω) Α/Τ Η(ω) Ω f s ω Η(ω) 0 f s ω 21/54

22 Δειγματοληψία - αλλοίωση - ασάφεια στο χρόνο Το σήμα x 2 έχει συχνότητα 5πλάσια του x 1. Παρόλα αυτά το σήμα x(n) αντιστοιχεί και στα δύο σήματα. Η δειγματοληψία που έχει γίνει για το x 1 ικανοποιεί το θεώρημα δειγματοληψίας και αναπαριστά σωστά το σήμα x 1. Για το x 2 όμως δεν ικανοποιείται και δεν μπορεί σε καμμία περίπτωση να θεωρηθεί σωστή. Αυτή είναι και η αιτία της ασάφειας. 1.5 x(n) x1 x2 n /54

23 «Καθρεπτικές» Συχνότητες και φασματικές γραμμές Η(Ω) Α Η(ω) Α/Τ Ω Κάθε συχνότητα έχει την κατοπτρική της στο διάστημα 0-f s f 1 f 1<f 1 f 1= f s -f 1 f 1 f 1 ω Η(ω) Και γενικά για κάθε f 0 f s ω fimage ( Ν) = Nfs ± f f 1 f 1 23/54

24 «Καθρεπτικές» Συχνότητες -παράδειγμα Εστω f s =40kHz γιά f=10 khz f image =Nf s ±f=n40±10 Ν=0 f image =±10kHz N=1 f image = 40±10= 50, 30 κλπ γιά f=30 khz f image =Nf s ±f=n40±30 Ν=0 f image =±30kHz N=1 f image =40±30= 70, 10 Ν=-1 f image =-40±30=-70, /54

25 «Καθρεπτικές» Συχνότητες -συνέχεια Παράδειγμα Τα σήματα x(t)=cos(6πt), και y(t)=cos(18πt) δειγματοληπτούνται με περίοδο δειγματοληψίας Τ=0.1 secs. Να σχεδιαστούν τα φάσματα των jωτ jωt Ζητούνται X(e ), Υ(e ) Για την δειγματοληψία T = 0.1 Ω Ω δειγ 2 = π Τ δειγ = = 10π 2π 0.1 = 20π : συνεχεια 25/54

26 x(t) = cos (6πt) Ω = 6π x X(jΩ) -6π 0 6π X δ (jωt) 20π 10π 6π 0 6π 10π 20π συνεχεια 26/54

27 y(t) = cos (18π t) Ω = 18π Υ( jω) y -18π -10π 0 10π 18π Υ δ ( jωτ) -38π -18π -10π -2π 0 2π 10π 18π 38π 27/54

28 Δειγματοληψία συμπέρασμα ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ - SHANNON NYQUIST Ένα αναλογικό σήμα x a (t) με περιορισμένο φάσμα εύρους (<F o ) μπορεί να ανακατασκευασθεί από τα δείγματά του x(n)=x a (nt s ) εάν η συχνότητα δειγματοληψίας F s = 1/T s είναι διπλάσια του εύρους F o, F s >2F o Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει αλλοίωση του φάσματος (aliasing) και το σήμα δεν μπορεί να ανακατασκευασθεί. F s /2 = Συχνότης Nyquist [-F s /2, F s /2] = Ζώνη Nyquist ανάγκη φίλτρου περιορισμού συχνοτήτων - φίλτρο αντιαλλοίωσης - βαθυπερατό φίλτρο 28/54

29 Δειγματοληψία στο χρόνοπαράδειγμα (με το Matlab) συχνότητα αναλ.σήματος f=13 Το αρχικό σήμα Το διακριτό σήμα clf; t = 0:0.0005:1; f = 13; xa = cos(2*pi*f*t); subplot(2,1,1) plot(t,xa);grid xlabel('time, msec');ylabel('amplitude'); title('continuous-time signal x_{a}(t)'); axis([ ]) T=input('T='); n = 0:T:1; xs = cos(2*pi*f*n); k = 0:length(n)-1; subplot(2,1,2); stem(k,xs);grid; xlabel('time index n');ylabel('amplitude'); title('discrete-time signal x[n]'); axis([0 (length(n)-1) ]) 29/54

30 Continuous-time signal x a (t) 1 f = 1 26 Amplitude Time, msec Discrete-time signal x[n] 1 Amplitude Time index n 30/54

31 Ένα Φαινόμενο αλλοίωσης!! Δειγματοληψία τροχού μέγιστη ταχύτητα Ερώτημα: ποία είναι η μέγιστη ταχύτητα του τροχού Διάμετρος τροχού=0.6m μήκος περιφ.=1.88m για ταχύτητα υ km/h=0.278υ m/s συχν. περιστροφής=0.148υ Hz Αρα η συχνότητα δειγματοληψίας=2 x 0.148υ =0.296υ Hz Υποθέτωντας ότι μία μηχανή λήψεως έχει συχνότητα 16 frames/s 16=0.296υ υ=54 km/h μέγιστη ταχύτης 31/54

32 Ηχητικό παράδειγμα αλλοίωσης Sampling frequency 44.1kHz (CD-quality). The 4kHz downsampled version 32/54

33 Φίλτρο αντι-αλλοίωσης H Ιδανικό Φίλτρο αντιαλλοίωσης Φάσμα αναλογικού σήματος 0 f a f s συχνότητα H Φάσμα φιλτραρισμένου αναλογικού σήματος 0 f a f s συχνότητα 33/54

34 Φίλτρο αντιαλλοίωσης παράδειγμα Ζητείται η τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας f s εάν η επιτρεπτή άλλοίωση (σφάλμα) είναι 10%. 10kΩ Aναλογικό σήμα 10kΩ 0.008μF S/H Διακριτό σήμα συνέχεια 34/54

35 H Η a H(f ) = 1 2 [ 1 + (f / f ] 1 / 2 c ) Η b 0 f c =20 f a f s khz H απόκριση συχνότητας του φίλτρου είναι f 1 1 = = = khz C 2 RC π π Για f c =20kHz η ενίσχυσηείναιh a =0.707 (του μεγίστου) και επομένως η ενίσχυση H b =0.707 x 10/100= και η συχνότητα f a υπολογίζεται ως.0707 = 1 + ( f Αρα f s (ελάχιστη) = f c +f a = = kHz 0 2 1/ 2 [ a / 20) ] 1 f a = kHz 35/54

36 ADC -Κβάντιση Αναλoγικό σήμα prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα βαθυπερατό φίλτρο φίλτρο S/H S/H Δειγματοληψία Δειγματοληψία και και κράτιση κράτιση Kβαντιστής Λογικά Λογικά κυκλώματα Οι στάθμες κβάντισης είναι 2 3 = 8. Το βήμα έχει τιμή =1 Το σήμα λαμβάνει την τιμή της στάθμης (0-7). Το σφάλμα μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό αλλά πάντα στο διάστημα[ 0.5, 0.5]. τιμή : σφάλμα: /54

37 Κβάντιση - υπολογισμοί Για ένα ADC με Β αριθμό δυαδικών ψηφίων ο αριθμός των σταθμών κβάντισης είναι 2 Β Πχ. Για Β=3 8 στάθμες το βήμα κβάντισης είναι: q = V 2 B 37/54

38 υπολογισμοί μέγιστο σφάλμα κβάντισης Ψηφιακός Κώδικας V «Ιδεατή» Ψηφιακός κώδικας «Βελτιωμένο» Σχήμα κβάντισης V Τιμή αναλογικού δείγματος V Τιμή αναλογικού δείγματος Με μετακίνηση κατά ½ του βήματος επιτυγχάνεται ελάττωση του μεγίστου σφάλματος κβάντισης 38/54

39 υπολογισμοί σφάλμα κβάντισης Στη βελτιωμένη κβάντιση. Το μέγιστο σφάλμα είναι: q/2=v/2 B+1 Το σφάλμα κβάντισης (για κάθε δείγμα e) είναι τυχαίος αριθμός που έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα q/2, q/2 με μηδενική μέση τιμή. Η ισχύς θορύβου σ e 2 ( διακύμανση) είναι: σ 2 e = q / 2 q / P (e)e de = q / 2 q e de = q / 2 2 q 12 39/54

40 υπολογισμοί SNR Γιά ένα ημιτονικό σήμα εισόδου πλάτους Α που έχει δηλ κυμάτωση (peak-to-peak) 2A το βήμα κβάντισης είναι: q=2a/2 B =Α/2 Β-1 Υπολογίζουμε το λόγοσήματοςπροςθόρυβο-snr (S ignal to N oise R atio ) σε db: 2 ισχύς σήματος A / 2 SNR = = 10log = 2 ισχύς θορύβου q / log 2 2B = 6.02B db Δηλαδή ο SNR αυξάνει ~6dB /bit. 40/54

41 SNR Παράδειγμα Το ήμιτονικό σήμα έχει ptp=0.5v. Θέλουμε SNR=30dB Αρα 30=6.02B B 1 =4.69 bits Με 4.69 bits εξασφαλίζεται o SNR για το «μικρό» σήμα. Είναι (προφανώς) ο μικρότερος αριθμός Β 1 (bits). Τι γίνεται με το μεγάλο σήμα? Μπορεί να μετρηθεί με Β 1 (bins)? 41/54

42 Αυξάνουμε τον αριθμό Β=Β 1 +Β 2 Αλλα με το ίδιο βήμα κβάντισης B B 6 1 = 2 = = 12 B B B B = log (12) = 3.58 B = B 2 1 = = /54

43 Κβάντιση - παράδειγμα 1 Ένα σήμα μεταβάλλεται μεταξύ 0 και 4 Volts και κβαντίζεται με κώδικα 3-bits 1. Ποίο είναι το βήμα κβάντισης (σε Volts) 2. Ποίες είναι οι τιμές κβάντισης για τιμές σήματος υ=1, 2.3, και 3.75 Volts V q = = = B Volts 1V 1V 2.3V 2.5V V Επίπεδο κβάντισης Ψηφιακός κώδικας 3.5V V V V V V V 001 0V V Τιμή αναλογικού δείγματος 43/54

44 Κβάντιση - παράδειγμα 2 Ψηφιακός κώδικας 01 Ένα (διπολικό) σήμα μεταβάλλεται μεταξύ -5 και 5Voltsκαι κβαντίζεται με κώδικα 2- bits Εχουμε: βήμα κβάντισης q=10/2 2 =2.5 V Ψηφιακός κώδικας (2 s complement) Τιμή επιπέδου κβάντισης Διαστήματα αναλ. δειγμάτων εισόδου x < x < x < x < 5 44/54

45 DAC Ανακατασκευή του αναλογικού σήματος Αναλoγικό σήμα prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα 45/54

46 Περιγραφικά Συνήθης μέθοδος DAC (με ΖΟΗ) Δυαδικός κώδικας 10 5 ψηφιακό σήμα έξοδος DAC n--> σήμα που προκύπτει από το κύκλωμα S/H (μηδενικής τάξεως) έξοδος 10 αναλογ. φίλτρου Σήμα με εξομάλυνση από το αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο. t--> 46/54

47 Διαδικασία κράτησης μηδενικής τάξεως (Ζero Οrder Ηold) κύκλωμα S/H μηδενικής τάξεως (ZOH zero order hold) y(n) y(t) n Y(Ω) Yˆ ( Ω ) 0 ω s ημx/x To ψηφιακό σήμα y(n) μετατρέπεται μέσω του ΖΟΗ στο αναλογικό το οποίο έχει επίσης υψηλές συχνότητες, όπως φαίνεται από τα αντίστοιχα φάσματα, παρότι εμφανίζεται η εξασθένιση ημx/x. t 0 ω s 47/54

48 Μία εξήγηση της μορφής του φάσματος Yˆ ( Ω ) To σήμα ŷ(t) = n= 0 y(n)[u(t nt) u(t (n + 1)T)] Στο πεδίο των συχνοτήτων (Μετασχ. Laplace) γίνεται: st st 1 nts st / 2 e Ŷ(s) = y(n)e st n= 0 1 e T st Y(s) = e sinωτ / 2 Y(s) ωτ / 2 Η σχέση αυτή δείχνει ότι η αναλογική έξοδος Υ(s) έχει "διαμορφωθεί" με τον παράγοντα ημx/x οπου x=ωτ/2 Η βελτίωση της μορφής του αναλογικού σήματος γίνεται με εφαρμογή ένος βαθυπερατού φίλτρου (anti imaging filter). Eνα τέλειο τέτοιο φίλτρο θα έπρεπε να έχει την μορφή: st/(1-e st ) 48/54

49 Ιδανική Ανακατασκευή στο πεδίο της συχνότητας X(jΩ) (α) (β) Για να ανακατασκευασθεί το αναλογικό σήμα (α) πρέπει από το αντίστοιχο στο (β) να επιλεγεί μόνο η βασική ζώνη. Αυτό επιτυγχάνεται με το ιδανικό φίλτρο που έχει συχνότητα αποκοπής 4kHz. Χ δ ( jω) F(jΩ) Γιά π/τ s <ω/τ s <π/τ s jω 1 ω 1 X( e ) = X( j ) = X( jω) T Τ T s s s 49/54

50 Η μαθηματική έκφραση x a (t) = ημ[( π / Τ)(t x(n) n= ( π / Τ)(t nt)] nt) H σχέση αυτή ουσιαστικά δηλώνει ότι η ανακατασκευή του σήματος είναι δυνατή αν δίνονται όλα τα σημεία x(n) του ψηφιακού σήματος και αφού διαμορφωθούν για κάθε t από τις συναρτήσεις sinc(x) όπου x=π/τ(t-nt). Προφανώς η διαδικασία αυτή είναι μη αιτιατή καιδενγίνεταισεπραγματικόχρόνο. 50/54

51 x(2) x(0) x(1) 0 T 2T t Η γραφική απεικόνιση της σχέσεως ανακατασκευής. Είναι ένα άθροισμα απείρων όρων συναρτήσεων S(x)=ημ(x)/x. Για t ακέραιο πολλαπλάσιο του nt, μόνο μία τέτοια συνάρτηση συνεισφέρει με πλάτος x(nt). Για t nt, συνεισφέρουν όλες. 51/54

52 Αναλογική και ψηφιακή συχνότητα Ψηφιακός χώρος X(e jω ) 1 = X[j( Τs k= ω T 2π s T s k)] Αναλογικός χώρος Ω = ω Τ s 52/54

53 αναφορές και χρήσιμα sites Matlab Εισαγωγικά: Μatlab Signal processing Signal processing demos «τραγούδια» με το πληκτρολόγιο του τηλεφώνου S. W. Smith, The scientist and engineer s guide to digital signal processing, at 53/54

54 ασκήσεις 1. Να γίνει εγγραφή ενός τμήματος φωνής kαι να αναπαραχθεί με κβάντιση 10 έως 2 Bits. Ταυτόχρονα να σημειωθεί και ο «θόρυβος» (Σχετικό site: 2. Εξηγείστε γιατί στο όριο του θεωρήματος Shannon f=fs/2 όπου 2 δείγματα αντιστοιχούν σε δειγματοληψία του σήματος f, εξασφαλίζεται η ταυτοποίηση του ημιτονικού σήματος απο ενα τριγωνικό ή τετραγωνικό σήμα 54/54