Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier 2 Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης 2 Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ζωνοπερατά Σήματα Μετασχηματισμός Hilbert Προ περιβάλλουσα, μιγαδική περιβάλλουσα, περιβάλλουσα Δειγματοληψία Ζωνοπερατά Συστήματα 1

2 Ζωνοπερατά Σήματα 3 Θα λέμε ότι ένα σήμα x(t) είναι ζωνοπερατό αν ο μετασχηματισμός Fourier X( ) είναι μη αμελητέος μόνο σε ένα διάστημα συχνοτήτων εύρους 2W, το οποίο είναι κεντραρισμένο γύρω από μια υψηλή συχνότητα 2W A X() 2W - c 0 c Ζωνοπερατά Σήματα 4 Όλα τα φυσικά σήματα και κυματομορφές είναι πραγματικά. Ένα πραγματικό ζωνοπερατό σήμα x(t) έχει ένα μιγαδικό βαθυπερατό ισοδύναμο x t το οποίο καλείται και μιγαδική περιβάλλουσα xt j2ct Re xte c xte x te 2 j 2t * j2t c 2

3 Φάσμα Πραγματικού Σήματος 5 Για το φάσμα ενός πραγματικού σήματος ισχύει ότι Το πλάτος παρουσιάζει πάντα άρτια συμμετρία ως προς τη μηδενική συχνότητα Η φάση παρουσιάζει περιττή συμμετρία ως προς τη μηδενική συχνότητα Το φάσμα αυτό καλείται πολλές φορές δίπλευρο (two sided spectra). Τα μιγαδικά σήματα δεν έχουν (δεν απαιτείται) καμία συμμετρία. Γενικότερα θα έλεγε κανείς κανέναν περιορισμό στη μορφή του φάσματος. Φάσμα Πραγματικού Σήματος 6 Παράδειγμα φάσματος πραγματικού σήματος X( ) 2W 2W X( ) argx( ) - c 0 Παράδειγμα φάσματος μιγαδικού σήματος X X 2W c arg X 0 3

4 Μιγαδικό Συζυγές 7 Το φάσμα του μιγαδικού συζυγούς ενός μιγαδικού σήματος συνδέεται με το φάσμα του αρχικού σήματος ως εξής c * t C * Αυτό σημαίνει ότι το πλάτος του φάσματος του c t είναι είδωλο ως προς τη μηδενική συχνότητα του * πλάτους του φάσματος του c t Φάσμα Μιγαδικού Συζυγούς 8 Παράδειγμα 4

5 Πραγματικό Σήμα και Μιγαδικό Συζυγές 9 Μια άμεση συνέπεια της σχέσης των φασμάτων του μιγαδικού συζυγούς και του αρχικού σήματος, είναι ότι φάσμα του πραγματικού μέρους υπολογίζεται ως εξής * ct c t s t Re c t 2 * * c t c t C C S 2 2 Παρατηρήστε ότι αν τα δύο φάσματα δεν επικαλύπτονται, το πραγματικό σήμα s(t) περιέχει όλη την πληροφορία του c(t) (δες επόμενο σχήμα) Πραγματικό Σήμα και Μιγαδικό Συζυγές 10 5

6 Πραγματικό Σήμα και Μιγαδικό Συζυγές 11 Η Βαθυπερατή Μιγαδική Περιβάλλουσα 12 Αν εκφράσουμε τη μιγαδική περιβάλλουσα σε καρτεσιανή μορφή x t x t jx t I Q το μεν xi t το καλούμε συνιστώσα σε φάση (inphase component), το δε xq t το καλούμε ορθογωνική συνιστώσα (quadrature component) Το φάσμα της μιγαδικής περιβάλλουσας είναι X X jx I Q 6

7 Η Βαθυπερατή Μιγαδική Περιβάλλουσα 13 1 XI X X 2 X X jxq I 14 Ζωνοπερατό Σήμα και Ορθογώνιες Συνιστώσες xi t ~ cos2 ct xt xq t sin 2 t c j2ct Re cos2 sin2 x t x t e xi t t c xq t t c 7

8 15 Ζωνοπερατό Σήμα και Ορθογώνιες Συνιστώσες xt ~ cos2 ct 1 x 2 I t sin 2 t c 1 x 2 Q t Περιβάλλουσα Σήματος 16 c Re Re Το σήμα a(t) καλείται περιβάλλουσα (envelope) του x(t) και το θ(t) καλείται φάση. t j2 t j j2ct xt xte ate e atcos 2t t c I Q cos sin x t a t t x t a t t 2 2 at x t x t t I Q t t xq arctan x I 8

9 Μετασχηματισμός Hilbert 17 Ο μετασχηματισμός Hilbert, ˆx t, ενός σήματος x(t), προκύπτει από την ολίσθηση φάσης όλων των φασματικών συνιστωσών του σήματος x(t) κατά 90 o. Η φάση των θετικών συχνοτήτων ολισθαίνει κατά 90 o, ενώ η φάση των αρνητικών συχνοτήτων κατά +90 o. Άρα η έκφραση «μετασχηματισμός» είναι κατά κάποιο τρόπο παραπλανητική, αφού ένας μετ/σμός κανονικά μεταφέρει το σήμα σε κάποιο άλλο πεδίο, ενώ αυτό δε συμβαίνει με το Hilbert. Το σήμα παραμένει στο πεδίο του χρόνου. Μετασχηματισμός Hilbert 18 Μαθηματικά ο μετ/σμός Hilbert περιγράφεται ως συνέλιξη του σήματος με το σήμα 1/ t Στην πράξη ο μετασχηματισμός Hilbert είναι ένα απλό φίλτρο με κρουστική απόκριση την 1 1 x xˆ t x t d t t 1/ t ht 9

10 Μετασχηματισμός Hilbert 19 j 2 j e 0 1 H F jsgn 0 0 t j 2 H j e 0 jsgn X Xˆ H X Μετασχηματισμός Hilbert 20 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Hilbert xˆ 1 1 xt xt ˆ d t t Να σημειώσουμε ότι αφού ο μετασχηματισμός Hilbert δεν μεταβάλει το πλάτος των συχνοτικών συνιστωσών του σήματος, η ενέργεια και η ισχύς του σήματος παραμένουν αμετάβλητα από το μετασχηματισμό. 10

11 Μετασχηματισμός Hilbert 21 Παράδειγμα: Υπολογίστε το μετασχηματισμό Hilbert x t cos 2 t του c 1 X c c 2 ˆ j X jsgn X c c 2 1 c c 2 j t xˆ t sin 2 c Ιδιότητες Μετασχηματισμού Hilbert 22 Ιδιότητα 1: Το σήμα και ο μετ/σμός του κατά Hilbert είναι ορθογώνια, δηλαδή xt, xt ˆ 0 Ιδιότητα 2: Εφαρμόζοντας δύο φορές το μετ/σμό Hilbert σε ένα σήμα προκύπτει το ίδιο σήμα με αλλαγμένο πρόσημο ˆx t x t 11

12 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Hilbert 23 Ιδιότητα 3: Το σήμα και ο μετ/σμός του κατά Hilbert έχουν την ίδια φασματική πυκνότητα είτε ενέργειας είτε ισχύος, ανάλογα με το σήμα. Ιδιότητα 4: Το σήμα και ο μετ/σμός του κατά Hilbert έχουν την ίδια αυτοσυσχέτιση. Ιδιότητα 5: Ο μετ/σμός Hilbert ενός άρτιου είναι περιττό, ενώ ενός περιττού είναι άρτιο σήμα. Ιδιότητα 6: Αν c(t) είναι ένα ζωνοπερατό σήμα και m(t) ένα βαθυπερατό σήμα και τα φάσματά τους δεν επικαλύπτονται, ο μετασχηματισμός Hilbert του s t c t m t είναι sˆ t cˆ t m t Αφαίρεση Αρνητικών Συχνοτήτων 24 Ο μετ/σμός Hilbert μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αφαιρέσουμε από το φάσμα ενός σήματος το τμήμα εκείνο που βρίσκεται στις αρνητικές (ή στις θετικές) συχνότητες. Αυτό γίνεται ως εξής ˆ ˆ x t x t jx t x t x t jx t 12

13 Η Προ περιβάλλουσα (Pre envelope) 25 Το σήμα x ˆ t x t jx t καλείται προ περιβάλλουσα του x(t). Το φάσμα της είναι ˆ sgn 2X 0 X 0 0 X X jx X jj X 0 0 2u X Η Προ περιβάλλουσα (Pre envelope) 26 Το φάσμα της προπεριβάλλουσας περιλαμβάνει μόνο το τμήμα των θετικών συχνοτήτων του φάσματος του ζωνοπερατού σήματος και με διπλάσιο πλάτος. 2W -c 2W -c 2A X X A 0 jxˆ A 0 -A 2W c 2W c 2W 0 c 13

14 Η Βαθυπερατή Μιγαδική Περιβάλλουσα 27 Παρατηρώντας το φάσμα, της προ περιβάλλουσας ενός ζωνοπερατού σήματος, συμπεραίνουμε ότι θα μπορούσε να προκύψει από την μετατόπιση ενός αντίστοιχου βαθυπερατού σήματος, στη ζώνη συχνοτήτων που είναι κεντραρισμένη στη συχνότητα του φέροντος j2 t c x t x t e Το σήμα x t καλείται μιγαδική περιβάλλουσα (complex envelope) του x(t) και είναι το αντίστοιχο σήμα βασικής ζώνης. Η Βαθυπερατή Μιγαδική Περιβάλλουσα 28 c 2u X X X c c X X 14

15 Η Βαθυπερατή Μιγαδική Περιβάλλουσα 29 Από τον ορισμό της προ περιβάλλουσας είδαμε ότι το ζωνοπερατό σήμα είναι το πραγματικό μέρος της j 2 t c xt Re x t Re xte Αν γνωρίζουμε το φάσμα της μιγαδικής περιβάλλουσας τότε το φάσμα του ζωνοπερατού 1 X X c X 2 c Δειγματοληψία 30 Η διαδικασία κατά την οποία ένα σήμα συνεχούς χρόνου μετατρέπεται σε σήμα διακριτού χρόνου. Ερωτήματα που τίθενται ρυθμός δειγματοληψίας (φάσμα) τρόπος ανακατασκευής του αρχικού σήματος από τα δείγματα (συνάρτηση παρεμβολής) Και στα δύο ερωτήματα απαντά το θεώρημα της δειγματοληψίας που διατυπώθηκε από τον Claude Shannon το 1949, ο οποίος στηρίχθηκε στην εργασία του H. Nyquist, που έδωσε το ρυθμό δειγματοληψίας. 15

16 Ρυθμός Δειγματοληψίας Nyquist 31 Ο ρυθμός του Nyquist είναι ο ελάχιστος επιτρεπτός ρυθμός δειγματοληψίας ενός αναλογικού σήματος που εξασφαλίζει την ορθή επανάκτηση του αρχικού σήματος από τα δείγματά του. Αν συμβολίσουμε με s το ρυθμό δειγματοληψίας ενός σήματος με περιορισμένο εύρος ζώνης, όπου η μέγιστη συχνότητα στο φάσμα του είναι W, τότε για να μπορούμε να ανακτήσουμε πλήρως και χωρίς σφάλματα το αρχικό σήμα, θα πρέπει s 2W Θεώρημα Ομοιόμορφης Δειγματοληψίας 32 Θεωρούμε σήμα x(t) με περιορισμένο εύρος ζώνης W, δηλαδή X( )=0 για W Δειγματοληπτούμε το σήμα με s 2W Δηλαδή παίρνουμε δείγματα σε πολλαπλάσια της βασικής περιόδου δειγματοληψίας T s και προκύπτει η ακολουθία δειγμάτων xnt s n Τώρα είναι δυνατή η ανακατασκευή του αρχικού σήματος από τα δείγματα n t x t xntssinc 2W t xntssinc n n 2W n Ts 16

17 Ιδανική Δειγματοληψία 33 Θεωρούμε τη συνάρτηση δειγματοληψίας που αποτελείται από περιοδική επανάληψη της μοναδιαίας κρουστικής συνάρτησης s t t nt n s 1 S n T s n s 1 s(t) 1/T s S() -3T s t - s 0 -T s 0 T s 3T s -2 s s 2 s Ιδανική Δειγματοληψία 34 Αν πολλαπλασιάσουμε στο χρόνο το σήμα x(t) με τη συνάρτηση δειγματοληψίας, θα προκύψει x t s t x t t nt x nt t nt n s s s n Σύμφωνα με την ιδιότητα Fourier που σχετίζει τον πολλαπλασιασμό στο πεδίο του χρόνου με τη συνέλιξη στο πεδίο της συχνότητας, θα ισχύει 1 1 X ns X n T T s n s n s 17

18 Ιδανική Δειγματοληψία 35 x(t) X() 0 t -W 0 W 1 s(t) 1/T s S() -3T s -T s 0T s 3T s t -2 s - s 0 s 2 s x s (t) X s () 0 t -2 s - s -W 0 W s 2 s Ιδανική Δειγματοληψία 36 Παρατηρούμε λοιπόν ότι Στο εύρος W ως W, το προκύπτον σήμα έχει το ίδιο φάσμα με το αρχικό σήμα, εκτός από μια μείωση στο πλάτος κατά 1/T s. Το φάσμα επαναλαμβάνεται περιοδικά με συχνότητα s. Για να προκύψει το αρχικό σήμα αρκεί η διέλευση του νέου σήματος από ένα βαθυπερατό φίλτρο με εύρος ζώνης W. Στην πράξη είναι αδύνατη η επίτευξη απότομης κλίσης της συνάρτησης μεταφοράς του φίλτρου. 18

19 Δειγματοληψία 37 Άρα απαιτείται μια μεγαλύτερη απόσταση των επαναλήψεων του βασικού φάσματος. Αυτό επιτυγχάνεται επιλέγοντας s >2W (Oversampling) Αν ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι μικρότερος από το όριο του Nyquist, τότε οι επαναλήψεις του φάσματος θα επικαλύπτονται με αποτέλεσμα την παρεμβολή και την απώλεια πληροφορίας. Δειγματοληψία 38 s =2W X s () Συνάρτηση Μεταφοράς Βαθυπερατού Φίλτρου Ανακατασκευής - s -W 0 W s s >2W X s () Συνάρτηση Μεταφοράς Βαθυπερατού Φίλτρου Ανακατασκευής - s -W 0 W s s <2W X s () Συνάρτηση Μεταφοράς Βαθυπερατού Φίλτρου Ανακατασκευής - s - m 0 m s 19

20 Πραγματική Φυσική Δειγματοληψία 39 Στην πράξη η δειγματοληψία επιτυγχάνεται με τη χρήση περιοδικής παλμοσειράς με εύρος T, πλάτος 1/T και βασική συχνότητα 1/T s. 1 nt s st ce n sinc e n nts Ts j2n t j2n t Fx t c e c x t e c X n j 2 n s t 2 s j F n t n n n s n n n 1 T nt sinc X n T n s s s s Πραγματική Φυσική Δειγματοληψία 40 20

21 Πραγματική Φυσική Δειγματοληψία 41 Προσοχή στο πλάτος των δειγμάτων, μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια των παλμών. Δειγματοληψία Sample and Hold 42 Η μαθηματική έκφραση για το κύκλωμα αυτό μπορεί να γραφεί ως η συνέλιξη ενός τετραγωνικού παλμού μοναδιαίου πλάτους με το γινόμενο της περιοδικής κρουστικής παλμοσειράς και του σήματος προς δειγματοληψία, δηλαδή Ts t 2 xs t x t t nts T s n 21

22 Δειγματοληψία Sample and Hold 43 Ts t 2 Xs F F x t t nts T s n Ts t 2 1 F X ns Ts Ts n jt 1 s T e sinc T X n Ts n s s s jts e sinc Ts X ns n Δειγματοληψία Sample and Hold 44 Το πλάτος των φασματικών συνιστωσών δεν είναι σταθερό εξαιτίας του πολλαπλασιαστικού παράγοντα, συνεπώς απαιτείται ένα φίλτρο που όχι μόνο θα αποκόπτει το φάσμα γύρω από τη μηδενική συχνότητα αλλά θα αναιρεί και αυτόν τον παράγοντα. Άρα η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου θα είναι της μορφής H jts e sinc T W 2 s 22

23 Γενίκευση Nyquist 45 Πολλά σήματα δεν έχουν φάσμα συμμετρικό ως προς το 0, αλλά το φάσμα τους έχει εύρος B, όπου B=B neg +B pos, δηλ. εκτείνεται σε Bneg Bpos Τότε, η συχνότητα δειγματοληψίας πρέπει να είναι αρκετά μεγάλη έτσι ώστε να μην υπάρχει επικάλυψη των φασματικών επαναλήψεων, δηλ. πρέπει s B Παρατηρήστε τα δύο επόμενα παραδείγματα Δειγματοληψία 46 Το διαθέσιμο (προσβάσιμο) εύρος μετά τη δειγματοληψία είναι από s /2 ως s /2. 23

24 Δειγματοληψία 47 Άρα γενικά η παραδοσιακή διατύπωση «η συχνότητα δειγματοληψίας πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη μέγιστη συχνότητα στο σήμα» δεν είναι απόλυτα ακριβής και ίσως και λίγο παραπλανητική. Αυτό που έχει σημασία είναι το δίπλευρο εύρος ζώνης. Αυτό θα γίνει περισσότερο σαφές στη δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων. Παράδειγμα Δειγματοληψίας 48 Υποθέστε ένα πραγματικό βαθυπερατό σήμα x(t), με φάσμα από W ως W. Αν δειγματοληπτηθεί απευθείας η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι s = 2W Εναλλακτικά, μπορούμε να πάρουμε μόνο το θετικό κομμάτι του φάσματος, δηλ. την προ περιβάλλουσα ˆ x t x t jx t Στην περίπτωση αυτή η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι s = W (παρόλο που η μέγιστη συχνότητα στο σήμα είναι η W) 24

25 Παράδειγμα Δειγματοληψίας 49 Χρονική Διάρκεια, Εύρος Ζώνης και Διαστάσεις Χώρου Σημάτων 50 Ο χώρος των σημάτων (signal space) που αποτελείται από μιγαδικά, συνεχούς χρόνου σήματα διάρκειας Τ, τα οποία έχουν το μεγαλύτερο τμήμα της ενέργειάς τους συγκεντρωμένο στο διάστημα [ W,W] έχει διάσταση προσεγγιστικά ίση με 2WT. Οι διαστάσεις του χώρου είναι βέβαια και οι διαστάσεις που το ίδιο το σήμα καταλαμβάνει ή εναλλακτικά οι βαθμοί ελευθερίας (degrees o reedom) που έχει. 25

26 Δειγματοληψία Ζωνοπερατών Σημάτων 51 Αν ένα ζωνοπερατό σήμα έχει εύρος ζώνης 2W και μέγιστη συχνότητα την h, τότε μπορεί να δειγματοληπτηθεί και να ανακατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μια συχνότητα δειγματοληψίας s =2 h /m, όπου m είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει την τιμή h /2W. Όλες οι συχνότητες δειγματοληψίας που είναι μεγαλύτερες δεν είναι υποχρεωτικά χρησιμοποιήσιμες εκτός και αν ξεπερνούν τη συχνότητα 2 h που καθορίζει η δειγματοληψία βαθυπερατών σημάτων. Δειγματοληψία Ζωνοπερατών Σημάτων 52 ÊáíïíéêïðïéçìÝíç óõ íüôçôá äåéãìáôïëçøßáò /2W s ÊáíïíéêïðïéçìÝíç êåíôñéêþ óõ íüôçôá c /2W 4W 8W s 26

27 Ζωνοπερατά Συστήματα 53 Ένα σύστημα καλείται ζωνοπερατό (bandpass system) όταν αφήνει να διέλθουν σήματα με περιεχόμενο στην περιοχή μιας υψηλής συχνότητας c, δηλαδή H()=1 για c B ενώ εξασθενίζει σημαντικά όλες τις φασματικές συνιστώσες που βρίσκονται έξω από αυτή την φασματική περιοχή. Στην πράξη θα μπορούσαμε να πούμε ότι ένα ζωνοπερατό σύστημα έχει κρουστική απόκριση που είναι ζωνοπερατό σήμα. Ζωνοπερατά Συστήματα 54 Υποθέτουμε ζωνοπερατό σήμα x(t) με φάσμα συγκεντρωμένο σε μια περιοχή εύρους 2W, δηλαδή ±W γύρω από την συχνότητα c. Επιπλέον το σήμα είναι στενής ζώνης. Το σήμα τίθεται ως είσοδος σε ΓΧΑ ζωνοπερατό σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) και συνάρτηση μεταφοράς H(). Το εύρος ζώνης του συστήματος είναι 2B, δηλαδή ±B γύρω από την c. Συνήθως 2B 2W 27

28 Ζωνοπερατά Συστήματα 55 Η έξοδος του συστήματος είναι ένα ζωνοπερατό σήμα y t x t h t Οι μιγαδικές περιβάλλουσες υπολογίζονται από c Re Re j 2 t j 2 ct xt xte yt yte Αν θέλουμε η σχέση της συνέλιξης να ισχύει και για τις μιγαδικές περιβάλλουσες y t x t h t Ζωνοπερατά Συστήματα 56 Πρέπει ht Re 2hte j2 t c Παρατηρήστε τον παράγοντα 2 που υπάρχει στην προηγούμενη έκφραση. Την h t πολλές φορές την αποκαλούμε μιγαδική κρουστική απόκριση (complex impulse response) του ζωνοπερατού συστήματος και γράφουμε h t h t jh t Όλα τα σήματα αυτά είναι βαθυπερατά. I Q 28

29 Ζωνοπερατά Συστήματα 57 Το φάσμα της μιγαδικής κρουστικής απόκρισης είναι H u H c c ενώ X u X 2 c c 58 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: e mail: kanatas@unipi.gr 29