Διαμόρφωση Παλμών. Pulse Modulation

Transcript

1 Διαμόρφωση Παλμών Pulse Modulation

2 Δειγματοληψία

3 Θεώρημα δειγματοληψίας Ένα βαθυπερατό σήμα πεπερασμένης ενέργειας που δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες των W Hertz μπορεί να περιγραφθεί πλήρως από τις τιμές του σε χρονικές στιγμές ισαπέχουσες κατά 1/2W sec Ένα βαθυπερατό σήμα πεπερασμένης ενέργειας που δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες των W Hertz μπορεί να ανακτηθεί πλήρως από δείγματά του που λαμβάνονται με ρυθμό 2W ανά sec Nyquist 1928, Shannon 1949

4 Φάσμα σήματος μετά τη δειγματοληψία x () t = x( nt ) δ ( t nt ) δ n= x () t = x() t δ ( t nt ) δ n= s 1 n Xδ ( f ) = X( f) δ f Ts n= Ts 1 n Xδ ( f ) = X( f ) δ f Ts n= Ts 1 n Xδ ( f ) = X f = f s X f nf Ts n= Ts n= s s ( ) s

5 Επίδραση δειγματοληψίας στο φάσμα Αρχικό σήμα x(t) F X(f) Μετά τη δειγματοληψία x δ (t) t F -W 0 W T s X δ (f) f t -2f s -f s 0 f s 2 f s -f s -W -f s +W -W W f s -W f s +W f

6 Περιοδικότητα φάσματος Η δειγματοληψία αντιγράφει το φάσμα του αρχικού σήματος στα ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας δειγματοληψίας nf s Εάν η συχνότητα δειγματοληψίας f s 2W, τότε το αρχικό σήμα μπορεί να ληφθεί με διάβαση μέσω βαθυπερατού φίλτρου Εάν f s < 2W εμφανίζεται παραλλαγή (aliasing), δηλαδή, αναδίπλωση του φάσματος

7 Παραλλαγή T s X δ (f) -2f s -f s 0 f s 2 f s f

8 Ανάκτηση του σήματος Τα δείγματα του σήματος αρκούν για την ανακατασκευή του Είναι οι συντελεστές Fourier του περιοδικού φάσματος x () t = x( nt ) δ ( t nt ) δ n= X ( f ) = x( nt )exp( j2 π nft ) δ n= 1/ T s s s x( nt ) = T X ( f )exp( jn2 π ft ) df s s δ s 0 s s

9 Ανάκτηση του σήματος Εάν Τ s 1/2W τοαρχικόσήμαείναιηέξοδος οποιουδήποτε βαθυπερατού φίλτρου, όπου T f W s 1 H ( f) = 0 f W Ts? αλλού

10 Ιδανικό φίλτρο ανάκτησης T s X δ (f) -1/Τ s 0 1/Τ s f -1/T s +W -W W 1/Τ s -W Απαιτείται ζώνη ασφάλειας (guard band)

11 Ανάκτηση του σήματος Έστω βαθυπερατό φίλτρο ανάκτησης εύρους ζώνης B, όπου W B f W τότε x( t) = X( f )exp( j2 π ft) df = T X ( f )exp( j2 π ft) df B = T x( nt )exp( j2 πnft )exp( j2 π ft) df = T ( ) exp 2 ( ) s x nts j π f t nts df = 2 BT x( nt )sinc 2B t nt B B s s s B n = n= B B s ( ) s s s n= s δ

12 Ανάκτηση του σήματος Για το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο ανάκτησης εύρους ζώνης W και Τ s =1/2W ( ) ( ) xt () = 2 WT xnt ( )sinc 2W t nt s s s n= t = xnt ( s)sinc n n= Ts = xnt ( )sinc ft n n= s s

13 Τι σημαίνει αυτό; Μπορούμε να λάβουμε το αρχικό σήμα χωρίς λάθη αθροίζοντας καθυστερημένες εκδοχές συναρτήσεων sinc με βάρη τα δείγματα x(3t s ) ( ) sinc 2W t 3T s x(t) T s 2T s 3T s 4T s 5T s t

14 Πρακτικά θέματα δειγματοληψίας Η συνάρτηση δειγματοληψίας αποτελείται από παλμούς πεπερασμένου πλάτους και διάρκειας αντί κρουστικές συναρτήσεις Οδηγεί σε ποικίλα συστήματα διαμόρφωσης Το σήμα είναι χρονικά πεπερασμένο, άρα το φάσμα του δεν μπορεί να είναι βαθυπερατό Το φίλτρο ανάκτησης δεν είναι ιδανικό

15 Μη ιδανικοί παλμοί δειγματοληψίας Η μορφή των παλμών δειγματοληψίας δεν επηρεάζει τη διαδικασία υπό την προϋπόθεση ότι το διαμορφωμένο σήμα προκύπτει ως γινόμενο του σήματος πληροφορίας με περιοδική συνάρτηση τραίνου παλμών H πιο συνηθισμένη περίπτωση είναι η δειγματοληψία με παλμούς επίπεδης κορυφής (flat-top sampling) διαμόρφωση PAM πιο κάτω Για την αναπαραγωγή μπορεί να απαιτηθεί ισοστάθμιση (equalization)

16 Μη ιδανικό φίλτρο ανάκτησης Οι ανεπιθύμητες συχνότητες που περνούν από το φίλτρο εμφανίζονται ως υψίσυχνος θόρυβος

17 Χρονικά πεπερασμένο σήμα Οδηγεί σε παραλλαγή (aliasing), δηλαδή, αναδίπλωση του φάσματος Υψηλές συχνότητες εμφανίζονται ως χαμηλότερες συχνότητες εντός του φάσματος του σήματος πληροφορίας Ανάγκη για φίλτρο αντι-παραλλαγής (anti-aliasing) πριν τη δειγματοληψία

18 Παραλλαγή Ανακατασκευασμένο σήμα

19 Παραλλαγή Στη δειγματοληψία σημάτων μουσικής και βίντεο το φαινόμενο της παραλλαγής πρέπει να αποφευχθεί Εάν το μουσικό τμήμα περιέχει υψηλές συχνότητες που δεν γίνονται ακουστές, μετά τη δειγματοληψία αυτές θα ακουστούν ως χαμηλές συχνότητες Στο βίντεο ή κινηματογράφο εμφανίζεται ως το φαινόμενο της αργά ή αντίστροφα κινούμενης ρόδας

20 Παραλλαγή Τα προηγούμενα παραδείγματα αφορούν τη χρονική εκδοχή της παραλλαγής Στηχωρικήεκδοχήτης εμφανίζεται στις ψηφιακές φωτογραφίες και είναι γνωστή ως μορφές Moiré Ανάγκη για φίλτρο αντιπαραλλαγής (antialiasing)

21 Παλμογράφος δειγματοληψίας Μια πρακτική χρήση της αναδίπλωσης (aliasing) Χρήση μικρής συχνότητας δειγματοληψίας f s για παρατήρηση σημάτων μεγάλης συχνότητας f x όπου f s =(1-α)f x, 0<α<1

22 Παλμογράφος δειγματοληψίας Η δειγματοληψία μετακινεί το φάσμα του αρχικού σήματος αριστερά και δεξιά κατά nf s σε που απέχουν f y = f x -f s = ±αf s από τις αρμονικές της συχνότητας δειγματοληψίας Κρατάμε τις m αρμονικές, εδώ m=2 Αρκεί a<1/(2m+1) γιαναμην έχουμε επικάλυψη Βαθυπερατό φίλτρο ανακτά το y(t)=x(αt)

23 Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Ζωνοπερατό σήμα εύρους ζώνης W με συχνότητες στην περιοχή από f L έως f H (0<f L <f H, W= f H -f L ) μπορεί να ανακτηθεί από δείγματα που λαμβάνονται με ρυθμό 2fΗ 2f L < fs < n+ 1 n f όπου n =0,1, ακέραιος τέτοιος ώστε n < L και το φίλτρο ανάκτησης έχει κρουστική απόκριση ( n+ 1) t nt ( n+ 1) sinc nsinc Ts Ts W

24 Δειγματοληψία ζωνοπερατών σημάτων Παράδειγμα, στη ραδιοφωνία FM έχουμε f L = 88 MHz, f H = 108 MHz, W = 20 MHz, οπότε 88 n < 4,4 = 20 Για n=4, 43,2 MHz < f s < 44 MHz Για n=3, 54 MHz < f s < 58,67 MHz Για n=2, 72 MHz < f s < 88 MHz Για n=1, 108 MHz < f s < 176 MHz Για n=0, 216 MHz < f s (ρυθμός Nyquist)

25 Συστήματα διαμόρφωσης παλμών

26 Είδη διαμόρφωσης παλμών Pulse Amplitude Modulation (PAM): A m(t) Pulse Position Modulation (PPM): T d m(t) Pulse Duration Modulation (PDM) ή Pulse Width Modulation (PWM): T m(t) PDM ή PWM T PPM A PAM T d T s t

27 Διαμόρφωση παλμών Ηδιαμόρφωση πλάτους παλμών (PAM) παράγεται από τεμαχιστή (chopper) Συχνά όμως χρησιμοποιείται κύκλωμα sample-andhold με αποτέλεσμα παλμούς επίπεδης κορυφής

28 Τεμαχιστής (chopper)

29 Παραγωγή PAM Το διαμορφωμένο σήμα PAM (φυσική δειγματοληψία) είναιτογινόμενοτουσήματος επίτησυνάρτησηδειγματοληψίας(σειρά παλμών)

30 Παραγωγή PAM (φυσική δειγματοληψία)

31 Φάσμα PAM Εάν το σήμα είναι βαθυπερατό, τότε μπορεί να ανακτηθεί από το διαμορφωμένο σήμα PAM x () t = x()() t s t s st ( ) = τ f sinc( nfτ)exp( jn2 π ft) s s s n= x ( t) = τ f sinc( nfτ)exp( jn2 π f t) x( t) s s s s n= X ( f ) = τ f sinc( nfτ) X( f nf ) s s s s n=

32 Φάσμα PAM Το αποτέλεσμα της πεπερασμένης διάρκειας παλμού είναι ο πολλαπλασιασμός του n-στου λοβού με dsinc( nd) όπου η σταθερά d είναι ο κύκλος εργασίας (duty cycle) του παλμού d = τ f = s τ T s

33 Φάσμα PAM Ο πρώτος όρος είναι το φάσμα του σήματος, πολλαπλασιασμένο με d, άρα με διάβαση από βαθυπερατό φίλτρο ανακτάμε το σήμα Χ d = τ f = s τ T s Χ

34 Ανάκτηση σήματος Εάν Τ s 1/2W μπορούμε να ανακτήσουμε το σήμα με χρήση κατάλληλου φίλτρου Αλλιώς εμφανίζεται παραλλαγή

35 Δείγματα με επίπεδη κορυφή Παρότι το σήμα PAM μπορεί να ληφθεί με τεμαχιστή, η πιο δημοφιλής μέθοδος χρησιμοποιεί την τεχνική sample-and-hold (S/H) που οδηγεί σε δείγματα με επίπεδη κορυφή (flat top sampling)

36 Παραγωγή δειγμάτων με επίπεδη κορυφή (στιγμιαία δειγματοληψία)

37 PAM και δείγματα με επίπεδη κορυφή x () t = x( nt ) p( t nt ) p s s n x p() t = p() t x( nts) δ ( t nts) n x () t = p() t x () t p X ( f ) = P( f ) X ( f ) p δ δ

38 Φάσμα PAM με δείγματα επίπεδης κορυφής Το αποτέλεσμα της δειγματοληψίας με δείγματα επίπεδης κορυφής ισοδυναμεί με τη διάβαση του ιδανικού σήματος δειγματοληψίας μέσω φίλτρου P(f) Το P(f) δρα ως βαθυπερατό φίλτρο που εξασθενεί τις υψηλές συχνότητες του σήματος πληροφορίας Φαινόμενο ανοίγματος (aperture effect)

39 Ανάκτηση σήματος PAM με δείγματα επίπεδης κορυφής Το φαινόμενο ανοίγματος μπορεί να διορθωθεί με εξισωτή (equalizer) H ( f) = Kexp( j2 π fτ )/ P( f) eq Εάν ο κύκλος εργασίας είναι μικρός d = τ T s 1 δεν απαιτείται σχεδόν καθόλου ισοστάθμιση d Χ Χ

40 Εύρος ζώνης για μετάδοση PAM Το φάσμα της PAM περιλαμβάνει πολλές αρμονικές της συχνότητας δειγματοληψίας Για τον υπολογισμό του εύρους ζώνης πρέπει να ληφθεί υπόψη η συμπεριφορά των παλμών στο πεδίο του χρόνου Υποθέτοντας μικρή χρονική διάρκεια παλμών σε σχέση με την περίοδο δειγματοληψίας 1 τ Ts 2W 1 BT W 2τ

41 Σήματα PDM και PPM

42 Παραγωγή σημάτων PDM Ο απλούστερος τρόπος παραγωγής βασίζεται στην παρατήρηση ότι το πλάτος του παλμού μπορεί να προκύψει από τη σύγκριση της τιμής το σήματος και αυτής μιας τριγωνικής κυματομορφής

43 Σήμα PDM

44 Παραγωγή σημάτων PDM Διάφορες παραλλαγές είναι δυνατές: Η αρχή του παλμού είναι σταθερή και μεταβάλλεται το τέλος Το τέλος του παλμού είναι σταθερό και μεταβάλλεται η αρχή Το κέντρο του παλμού είναι σταθερό και μεταβάλλονται αμφότερες οι πλευρές

45 Παραλλαγές σημάτων PDM

46 Διαμορφωτής PDM και PPM Μη ομοιόμορφη δειγματοληψία Τα δείγματα εξαρτώνται από την τιμή στα t k αντί στα kt s

47 Αποδιαμόρφωση PDM [ ] Ηδιάρκειατουk-στου παλμού είναιτ 1 ( ) k = τ0 + μxkts όπου τ 0 είναι η διάρκεια όταν το σήμα είναι μηδέν Υποθέτοντας παλμούς μοναδιαίου πλάτους κεντραρισμένους στο kt s καιότιητιμήτουτ k αλλάζει αργά από παλμό σε παλμό, αναλύοντας σε Fourier x () t = c + 2c cos(2 π nf t) s 0 n s n= 1 c = τ f sinc( nfτ) n s s 0 [ 1 xt ( )] τ = τ + μ 2 x ( t) = τ f + sin( πnf τ)cos(2 πnf t) s s s s n= 1 π n

48 Αποδιαμόρφωση PDM Οπότε x () t = τ f + 2 sin( πnfτ)cos(2 πnf t) s s s s n= 1 π n 2 f τ 1 + μxt ( ) + sin πnfτ 1 + μxt ( ) cos(2 πnft) [ ] [ ] { } s 0 s 0 s n= 1 π n δηλαδή, το σήμα PDM αποτελείται από μια συνιστώσα DC, το προς διαμόρφωση σήμα πληροφορίας x(t) και σήματα PM στις αρμονικές της συχνότητας δειγματοληψίας f s Εάν δεν υπάρχει επικάλυψη των φασμάτων των σημάτων PM με το σήμα πληροφορίας, δηλαδή, τ 0 Ts, τότε το x(t)λαμβάνεται με βαθυπερατό φιλτράρισμα!

49 Αποδιαμόρφωση PDM Ένας άλλος πρακτικός τρόπος αποδιαμόρφωσης για την PDM και PPM είναι η μετατροπή τους σε PAM χρησιμοποιώντας ramp generator Άσχετααπότημέθοδοαποδιαμόρφωσης, οι PDM και PPM απαιτούν μικρούς χρόνους ανόδου (risetime) παλμών, ώστε να διατηρηθεί η ακρίβεια της πληροφορίας Το απαιτούμενο εύρος ζώνης είναι σημαντικά μεγαλύτερο σε σχέση με την PAM Το σταθερό πλάτος παλμών δίνει ανοσία σε μη γραμμικότητες Η μεταφορά της πληροφορίας μέσω της θέσης των παλμών και όχι του πλάτους προδίδει ιδιότητες καταστολής του θορύβου παρόμοιες των PM και FM

50 Μετατροπή PDM, PPM σε PAM T s Η θέση ή η διάρκεια προσδιορίζουν το πλάτος PAM

51 Πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου

52 Πολυπλεξία αναλογικών σημάτων Πολλά αναλογικά σήματα μπορούν να διαμορφωθούν κατά SSB και μεταδοθούν μέσω ενός κοινού διαύλου Πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας (FDM) Μια εναλλακτική μέθοδος είναι η πολυπλεξία το πεδίο του χρόνου (TDM) Το σήμα που προκύπτει από διαμόρφωση PAM είναι μηδέν τον περισσότερο καιρό Τα κενά αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μετάδοση άλλου διαμορφωμένου κατά PAM σήματος

53 Frequency Division Multiplexing (FDM)

54 Μειονέκτημα FDM Στις αναλογικές μεθόδους πολυπλεξίας συχνότητας, που χρησιμοποιήθηκαν στην τηλεφωνία (SSB-FDM), λόγω μη γραμμικοτήτων, εμφανίζεται το πρόβλημα της διαφωνίας (cross-talk) μεταξύ των καναλιών φωνής

55 Time Division Multiplexing (TDM) Ο δίαυλος μοιράζεται στα προς μετάδοση σήματα σε χρονική βάση Τα διαφορετικά σήματα μεταδίδονται δειγματοληπτημένα σε διαφορετικές χρονικές στιγμές

56 Συγχρονισμός ΣεόλατασυστήματαTDM πρέπει να υπάρχει συγχρονισμός μεταξύ πομπού και δέκτη! Διαφορετικά δεν θα ληφθούν τα σωστά σήματα