x[n] x(nt s ) y c x c Discrete Time System D /C Conversion C/D Conversion Conv. From continous to discrete and from discrete to continous x trne

Transcript

1 Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 1: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 8: Δειγματοληψία Η γέφυρα από τα συνεχή στα διακριτά!"#!"#! "#$%

2 Σημειώσεις διαλέξεων 1 στο: hp:// 1 Οι σημειώσεις γράφτηκαν από τον καθηγητή Χαράλαμπο Δ. Χαραλαμπους (9). Τροποποιήθηκαν από τον επισκέπτη λέκτορα Θεμιστοκλή Χαραλάμπους (1).

3 1 Εισαγωγή Ο κόσμος που μας περιβάλλει είναι αναλογικός. Στις μέρες μας όμως για λόγους που αναφέραμε στην αρχή, η επεξεργασία σημάτων γίνεται με την βοήθεια ψηφιακών υπολογιστών Πρέπει να μετατραπούν τα συνεχή σήματα σε διακριτά για να μπορέσουμε να τα αναλύσουμε και το αντίθετο. Επομένως είναι πολύ σημαντικό να μελετηθεί η διαδικασία της δειγματοληψίας (ampling). Οι μετρούμενες τιμές ονομάζονται δείγματα (ample) του σήματος. Η μέτρηση γίνεται σε τακτά χρονικά διστήματα T δευτερόλεπτα. Επομένως, x[n] x(nt ) Το χρονικό διάστημα T είναι γνωστό ως περίοδος δειγματοληψίας. Ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι ω = π/t. xd n) ( n ) ( yd ( n) y c ( n ) C/D Converion T Dicree Time Syem D /C Converion T y c Conv. From coninou o dicree and from dicree o coninou Σημείωση: Γενικά, ένα σήμα ΔΕΝ μπορεί να ανακατασκευαστεί μοναδικά από τα δείγματα του. x 1 x rne x 3 T1 T T3 T4

4 ΗΜΥ 3 Δειγματοληψία Παλμοσειράς: C/D Συνέλιξη. Signal o be ampled X Sampled Signal x p x( ) P( ) x p =.p = όπου δ( nt ) =, για nt n P ( nt ), T δ( nt ) = (nt )δ( nt ) P x P ( T ) ( T ) () T T T.1 Πεδίο Συχνότητας (Ανακατασκευή) Υποθέστε ότι F{x} = X(jω) υπάρχει. Τότε, X c (jω) = F{ } = F{.p} = 1 π X c(jω) P (jω)

5 .1 Πεδίο Συχνότητας (Ανακατασκευή) 3 Αφού η P είναι περιοδική: p = k= α n = 1 T T T p = 1 T α k e jkω (Σειρά Fourier) pe jnω = 1 T T k= T δe jnω = 1 T, n e jkω (.1) (.) Επιπλέον, F{e jkω } = πδ(ω kω ) P (jω) = π δ(ω nω ), ω = π (.3) T T X P (jω) = 1 T = 1 T X P (jω) = 1 T X c (jω) δ(ω nω ) X c (j(ω nω )) δ(ω) (ιδιότητα συνέλιξης) X c (j(ω nω )) (.4) Υποθέστε ότι είναι ζωνοπερατή, π.χ., X c ( j ) pecrum of x( ) cu-off frequency

6 .1 Πεδίο Συχνότητας (Ανακατασκευή) 4 Από (.4) έχουμε (i) ω > ω Re plica of X c ( j ) X P ( j)... 1 T (ii) ω < ω Σ αυτήν την περίπτωση οι διαδοχικές επαναλήψεις του X(e jω ) επικαλύπτονται οπότε η αρχική μορφή χάνεται. Σάυτήν την περίπτωση είναι αδύνατον να επανακτήσουμε το αναλογικό σήμα από τα δείγματα του, x P x[n]. Αναφερόμαστε σε αυτό ως το φαινόμενο της επικάλυψη ή παραλλαγή ή ψευδωνυμία (aliaing). X P ( j) No longer Re plica of X c ( j) 1 T aliaing effec Άρα, το μπορεί να αναπαραχθεί από τη x P αν ω > ω, όπου ω είναι η μέγιστη συχνότητα, πέραν της οποίας ο μετασχηματισμός Fourier του αναλογικού σήματος είναι μηδέν. Η συχνότητα ω ονομάζεται και εύρος ζώνης (bandwidh) του σήματος. Πώς όμως μπορεί να αναπαραχθεί το από τα δείγματα του

7 ΗΜΥ 3 5 Η Ανακατασκευή (Ιδανικό Φίλτρο): x x P r xc, H(j) Removed P H(j) T Pae Low-Pa ideal filer Removed 3 Το Θεώρημα ή κριτήριο Δειγματοληψίας Εστω ένα ζωνοπερατό σήμα με X c (jω) =, ω < ω. π.χ., X c ( j) Τότε η καθορίζεται μοναδικά από τα δείγματα της (nt ), n =, ±1, ±,... αν η συχνότητα δειγματοληψίας είναι τουλάχιστον διπλάσια από ω, π.χ., ω = π T > ω (3.5) Εδώ το ω ονομάζεται ρυθμός δειγματοληψίας Nyqui. Η ανακατασκευή εκτελείται από ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής, ω c που ικανοποιεί ω < ω c < ω ω (3.6)

8 3.1 Συστήματα δειγματοληψίας 6 Παρατηρήσεις: (α) Δείξαμε ότι η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ω που απαιτείται για αποφυγή της επικάλυψης πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη διπλάσια μέγιστη συχνότητα ω που υπάρχει στο μετασχηματισμό Fourier του αναλογικού σήματος. Από τη φυσική σημασία της συχνότητας γνωρίζουμε ότι γρήγορες μεταβολές ενός σήματος στο χρόνο αντιστοιχούν στην ύπαρξη μεγάλων τιμών συχνότητας με υψηλή ενέργεια. Οπότε, όσο μεγαλύτερο το εύρος ζώνης ω του σήματος, τόσο μεγαλύτερος θα είναι κι ο ρυθμός μεταβολής του σήματος στο πεδίο του χρόνου. Επομένως χρειάζονται περισσότερα δείγματα για να ανακτηθούν οι γρήγορες μεταβολές και να μη χαθεί σημαντική πληροφορία. (β) Υποθέσαμε ότι υπάρχει πεπερασμένη μέγιστη συχνότητα ω στο σήμα συνεχούς χρόνου. Τέτοια σήματα λέγονται σήματα περιορισμένου εύρους ζώνης (bandlimied). Αν κάποιο σήμα δεν είναι περιορισμένου εύρους ζώνης, τότε προφανώς δεν είναι δυνατή η ανάκτηση του σήματος, παρά μόνο προσεγγιστικά. Σε αυτήν την περίπτωση, η περίοδος δειγματοληψίας διαλέγεται αρκετά μικρή, όσο χρειάζεται έτσι ώστε η απώλεια πληροφορίας να είναι μικρή και το πλήθος των δειγμάτων που προκύπτουν να μην υπερβαίνουν τη διαθέσιμη μνήμη. Η αναπαραγωγή του αρχικόυ σήματος, μπορεί να είναι ικανοποιητική αν ο X(e jω ) μειώνεται στο μηδέν αρκετά γρήγορα καθώς η συχνότητα μεγαλώνει (ω ), κάτι που στην πράξη ισχύει. 3.1 Συστήματα δειγματοληψίας Η δειγματοληψία παλμοσειράς προυποθέτει τη δημιουργία παλμών, οι οποίοι αποτελούν μια εξιδανικευμένη μορφή παλμών μικρής διάρκειας και πολύ μεγάλου πλάτους, που είναι δύσκολο/αδύνατον να κατασκευαστούν Δειγματοληψία μηδενικής τάξης Μια εναλλακτική συσκευή είναι η δειγματοληψία μηδενικής τάξης (zero-order hold). P h ( ) T Zero-order Hold X... T T Sample and Hold ill he nex ampling inan x = x P h = (nt )δ( nt ) h = x = (nt )δ h ( nt ) (3.7) x(nt )h ( nt ) (3.8)

9 3.1 Συστήματα δειγματοληψίας 7 x T T... Υποθέστε ότι το είναι ζωνοπερατό, π.χ., X c (jω) =, ω > ω c. Από το x χρειάζεται να ανακατασκευάσουμε το, π.χ., πρέπει να κατασκευάσουμε ένα φίλτρο H r (jω) τέτοιο ώστε: x h T P zero order hold x h r r xc H r ( j) H ( j) ideal low pa wih c H ( j) Εστω H (jω) = T jω F{h } H (jω) = e ενός τετραγωνικού παλμού με κέντρο το = ) c [ in(ωt/) ω c ] (παρουσιάζει την μετατόπιση χρόνου H (jω).h r (jω) = H(jω) H r (jω) = H(jω) H (jω) = Διάγραμμα του H r (jω) για ω c = ω ejωt/ [ in(ωt/) ω ] H(jω) c H r ( j) H r ( j). T 1 c..

10 3.1 Συστήματα δειγματοληψίας 8 Παρατηρήσεις: (α) Είναι ένας πρακτικά υλοποιήσιμος τρόπος ανακατασκευής ενός αναλογικού σήματος από τα δείγματα του, γνωστός και με το όνομα δειγματοληψία και συγκράτηση, που συναντάται συχνά σε πρακτικές συσκευές μετατροπής από ψηφιακό σε αναλογικό (Digial o Analog). (β) Η μέθοδος συνίσταται απλά στο να κρατηθεί η τιμή κάθε δείγματος μέχρι την επόμενη στιγμή δειγματοληψίας. Παράδειγμα 3.1. Εστω ότι το εύρος της συχνότητας ενός σήματος f 1 είναι ω 1 = π 1 5 και ενός άλλου σήματος f είναι ω = 3π 1 5. Να καθοριστεί η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας για τα ακόλουθα σήματα: (α) x 1 (β) x (γ) x 1 (δ) x 3 (ε) x 1 x Λύση: (α) ω (x 1 ) = ω (x 1 ) = 4π 1 5 (β) ω (x ) = ω (x ) = 6π 1 5 (γ) x 1 X 1 (ω) X 1 (ω), οπότε από τις ιδιότητες της συνέλιξης το εύρος ζώνης διπλασιάζεται. Επομένως, η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας γίνεται ω (x 1) = 4 ω (x 1 ) = 8π 1 5. (δ) Ομοίως, ω (x 3 ) = 3 ω (x ) = 18π 1 5. (ε) Με την ίδια λογική, ω (x 1 x ) = (ω (x 1 + ω (x ) = 1π 1 5.