ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ"

Transcript

1 ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

2 1) Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: % Σύνολο 160 % ,05 Σύνολο 2) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: N i F i % F i % Σύνολο 3) Σε µια τάξη λυκείου όπου δεν υπάρχουν συµµαθητές που να είναι αδέρφια: Οι 20 µαθητές έχουν κανένα ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 αδέρφια Οι 18 έχουν τουλάχιστον 1 αδερφό Οι 19 έχουν το πολύ 3 αδέρφια Πέντε οικογένειες των µαθητών έχουν 3 ή 4 παιδιά Το 15% των οικογενειών των µαθητών έχουν 4 τουλάχιστον παιδιά Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων %, N i, F i, F i % µε µεταβλητή X: το πλήθος των αδερφών των µαθητών. 4) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, ο οποίος αναφέρεται σε κάποια µεταβλητή X. % N i F i F i % x 1 x x 3 60 x 4 0,15 x Σύνολο

3 5) Έστω x 1, x 2,, x 5 οι τιµές µιας µεταβλητής X ως προς το οποίο εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους v. i. Αν οι συχνότητες δίνονται από τον τύπο = 2i +1, i = 1,2,...,5 να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. ii. Αν το µέγεθος του δείγµατος είναι 50 και ισχύει = 12, i = 2,3,4,5 να i 1 βρείτε την v 1. 6) Αν x 1, x 2, x 3 είναι οι τιµές µιας µεταβλητής X και 2 κ 2, 1 κ, 1 είναι οι 2κ σχετικές συχνότητες των x 1, x 2, x 3 αντίστοιχα, να υπολογισθεί ο αριθµός κ. 7) Έστω x 1, x 2, x 3, x 4 οι τιµές µιας µεταβλητής X ενός δείγµατος. Αν f 1 = 2 f 2 = 3 f 3 = 4 f 4, να βρείτε τις f 1, f 2, f 3, f 4. 8) Έστω x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 µε x 1 x 2... x 5 οι τιµές µιας µεταβλητής X ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους v. Αν ισχύει = i 2κ, i = 1,2,...,5: i. Να βρείτε το κ ii. Για κ = 15 2, να βρείτε την F 3 % iii. Αν N 3 = 30 να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. 9) Έστω x 1, x 2, x 3, x 4 µε x 1 x 2 x 3 x 4 οι τιµές µιας µεταβλητής ενός δείγµατος. Αν ισχύει N i = 3i 2 + 2, i = 1,2,3,4 να βρείτε: i. Το µέγεθος του δείγµατος ii. Την v 4 iii. Το πλήθος των παρατηρήσεων που έχουν τιµή 1. Το πολύ x 3 2. Τουλάχιστον x 3 iv. Την f 3 % 10) Έστω x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 µε x 1 x 2... x 5 οι τιµές µιας µεταβλητής X ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους v. Αν είναι F i % = i κ : i. Να βρείτε το κ ii. Για κ = 1 20 να βρείτε την f 2

4 11) Οι βαθµοί 50 φοιτητών στο µάθηµα της ιστορίας ήταν οι παρακάτω: i. Να κατασκευάσετε έναν πίνακα κατανοµής συχνοτήτων µε στήλες, %, N i, F i, F i %. ii. Να βρείτε τον αριθµό, καθώς και το ποσοστό των µαθητών που έγραψαν: Κάτω από 7 3. Πάνω από 8 4. Από 6 έως 8 iii. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα συχνοτήτων, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. iv. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό F i %, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. v. Η σχολή αποφάσισε να δώσει υποτροφία στο 14% των φοιτητών µε την µεγαλύτερη βαθµολογία. Ποιος είναι ο ελάχιστος βαθµός που πρέπει να γράψει ένας φοιτητής για να πάρει υποτροφία; 12) Το επόµενο κυκλικό διάγραµµα παριστάνει τις προτιµήσεις των µαθητών ενός γυµνασίου σε ποδοσφαιρικές οµάδες. Αν γνωρίζουµε ότι 300 από τους µαθητές είναι οπαδοί της οµάδας του ΠΑΟΚ, τότε: i. Να βρείτε το σύνολο των µαθητών ii. Να βρείτε πόσοι µαθητές είναι οπαδοί της οµάδας του ΠΑΟΚ, και πόσοι της ΑΕΚ και πόσοι του ΠΑΟ. iii. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. iv. Να µετατρέψετε το παραπάνω κυκλικό διάγραµµα σε ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων.

5 13) Το σχήµα που ακολουθεί παρουσιάζει το διάγραµµα συχνοτήτων για την κατανοµή των κερδών (σε χιλιάδες ευρώ) στους µετόχους µιας εταιρίας. i. Να βρείτε το πλήθος των µετοχών της εταιρίας. ii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και να συµπληρώσετε τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων. iii. Πόσοι µέτοχοι της εταιρίας είχαν κέρδος τουλάχιστον 60 χιλιάδες ευρώ; 14) Ρωτήθηκαν οι 16 παίχτες της µεικτής σχολικής ποδοσφαιρικής οµάδας γυµνασίου-λυκείου µιας κωµόπολης σε ποια τάξη πηγαίνουν. Από αυτούς οι 5 ήταν µαθητές της Γ λυκείου, οι 4 της Β λυκείου, οι 2 της Α λυκείου, οι 3 της Γ γυµνασίου και οι 2 της Β γυµνασίου. Να παραστήσετε τις παρατηρήσεις αυτές µε ένα σηµειόγραµµα. 15) Ρωτήθηκαν οι 20 µαθητές µιας τάξης την προτίµησή τους σχετικά µε τις ποδοσφαιρικές οµάδες. Τα αποτελέσµατα ήταν τα παρακάτω: ΑΕΚ, ΟΣΦΠ, ΟΣΦΠ, ΠΑΟ, ΠΑΟ, ΠΑΟ, ΠΑΟ, ΑΕΚ, ΠΑΟΚ, ΟΣΦΠ, ΟΣΦΠ, ΠΑΟΚ, ΠΑΟΚ, ΑΕΚ, ΑΕΚ, ΠΑΟ, ΟΣΦΠ, ΟΣΦΠ, ΠΑΟ, ΠΑΟ. i. Να καταγράψετε τα παραπάνω αποτελέσµατα σε πίνακα συχνοτήτων µε στήλες %, a i ii. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραµµα συχνοτήτων iii. Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων

6 16) Δίνεται ο επόµενος πίνακας κατανοµής συχνοτήτων µιας ποσοτικής µεταβλητής X µε τιµές x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. F i % x 1 14 x 2 5 x 3 x ,28 x 5 0,18 Σύνολο i. Να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος ii. Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα τοποθετώντας και τις στήλες %, N i, F i iii. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. 17) Στον επόµενο πίνακα δίνεται η κατανοµή συχνοτήτων για την µεταβλητή X: απασχόληση στον ελεύθερο χρόνο των µαθητών της Α λυκείου ενός σχολείου. i Απασχόληση 1 Υπολογιστές 6 2 Αθλητισµός 6 3 Μουσική 11 4 Τηλεόραση 9 5 Σινεµά 3 6 Εκδροµές 2 7 Διάβασµα 3 i. Να βρεθεί το πλήθος των µαθητών. ii. Να συµπληρωθεί ο πίνακας µε τις στήλες των N i %, F i % iii. Ποιο ποσοστό των µαθητών: 1. Ασχολείται µε την µουσική; 2. Ασχολείται µε την τηλεόραση και το σινεµά; 3. Δεν ασχολείται µε το διάβασµα; 18) Σε ένα κυκλικό διάγραµµα που παρουσιάζονται οι προτιµήσεις ψηφοφόρων για τον δήµο Θεσσαλονίκης, η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στον πρώτο υποψήφιο είναι 5x + 2y, για τον δεύτερο 2x + 2y και για τον τρίτο x. Αν ισχύει x + 4y = 108, τότε: i. Να υπολογίσετε τα ποσοστά των υποψηφίων. ii. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων µε τις στήλες %, a i, i = 1,2,3 iii. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραµµα συχνοτήτων.

7 19) Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή των µέσων ετήσιων θερµοκρασιών (σε C ) από 100 πρωτεύουσες σε ολόκληρο τον κόσµο. Μέση ετήσια θερµοκρασία 0,5) 7 5,10) 4 10,15) 9 15,20) 22 20,25) 33 25,30) 17 30,35) 8 Σύνολο 100 i. Ποιο είναι το πλάτος κάθε κλάσης; ii. Ποιο είναι το κάτω όριο της 3 ης κλάσης; iii. Ποιο είναι το κέντρο της 6 ης κλάσης; iv. Πόσο διαφέρουν τα κέντρα δύο διαδοχικών κλάσεων; v. Ποια είναι η συχνότητα της 5 ης κλάσης και τι εκφράζει; vi. Ποια είναι η σχετική συχνότητα επί τοις εκατό της 3 ης κλάσης και τι εκφράζει; vii. Πόσες πρωτεύουσες έχουν µέση ετήσια θερµοκρασία τουλάχιστον 20 C ; viii. Ποιο είναι το ποσοστό των πρωτευουσών που η µέση ετήσια θερµοκρασία τους ανήκει στο διάστηµα 15,20) ; 20) Ο επόµενος πίνακας δίνει τις τιµές της µεταβλητής X: ο αριθµός των διαγωνισµάτων που έγραψαν οι µαθητές ενός τµήµατος της Γ λυκείου ενός σχολείου στη διάρκεια µιας σχολικής χρονιάς. Αριθµός διαγωνισµάτων 10,15) 5 15,20) 10 20,25) 30 25,30) 25 30,35) 15 35,40) 10 40,45) 5 Σύνολο i. Να βρείτε το σύνολο των µαθητών του τµήµατος.

8 ii. Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα µε τις στήλες των συχνοτήτων N i %, F i %, F i. iii. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα: 1. Συχνοτήτων, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. 2. Αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F i %, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. 21) Τρία δείγµατα, τα έχουµε οµαδοποιήσει σε κλάσεις ίσου πλάτους όπως φαίνεται στους παρακάτω πίνακες: Δείγµα Α: Κλάσεις ) Δείγµα Β: Κλάσεις ) Δείγµα Γ: Κλάσεις ) Να συµπληρώσετε τους παραπάνω πίνακες. 22) Δίνεται το ιστόγραµµα των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F i % µιας κατανοµής ενός δείγµατος µεγέθους v = 50.

9 i. Ποιο είναι το πλάτος κάθε κλάσης; ii. Με τι ισούται το εµβαδόν κάθε ορθογωνίου; iii. Να βρείτε τις σχετικές συχνότητες % κάθε κλάσης. iv. Να βρείτε τις συχνότητες και τις αθροιστικές συχνότητες κάθε κλάσης. v. Ποια είναι η κεντρική τιµή, i = 1,2,3,4 κάθε κλάσης; vi. Να κατασκευάσετε πίνακα µε όλες τις παραπάνω πληροφορίες. vii. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. 23) Τα ηµερήσια έσοδα µιας εταιρίας (σε χιλιάδες ευρώ) για το µήνα Νο εµβριο ήταν τα επόµενα: i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων µε τις στήλες, ii. iii. N i %, F i %. Να βρείτε µε την βοήθεια του παραπάνω πίνακα: 1. Πόσες ηµέρες τα έσοδα ήταν λιγότερα από 10 χιλιάδες ευρώ. 2. Πόσες ηµέρες τα έσοδα ήταν τουλάχιστον 8 χιλιάδες ευρώ. 3. Το ποσοστό των ηµερών που τα έσοδα δεν ξεπέρασαν τις 9 χιλιάδες ευρώ. Το συµβούλιο της εταιρίας θεωρεί πετυχηµένη την πορεία της εταιρίας αν τα έσοδά της είναι περισσότερα από 200 χιλιάδες ευρώ τον µήνα. Ήταν πετυχηµένη η πορεία της εταιρίας κατά τον µήνα Νοέµβριο; 24) Έστω ότι σε ένα οµαδοποιηµένο δείγµα µεγέθους v = 120 στην κλάση 4,12) µε κεντρική τιµή την x 2 υπάρχουν 48 παρατηρήσεις. Να βρείτε: i. Το πλήθος των παρατηρήσεων της κλάσης 4,12) που είναι µικρότερες του 7. ii. Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγµατος που έχουν τιµή τουλάχιστον 4 και µικρότερη του 6. iii. Το x ώστε στο διάστηµα 4, x), x 8 : 1. Να ανήκουν 6 παρατηρήσεις. 2. Να ανήκει το 20% των παρατηρήσεων του δείγµατος.

10 25) Στο σχήµα φαίνονται οι ηλικίες των ατόµων σε ένα χωριό. i. Πόσοι είναι οι κάτοικοι στο χωριό; ii. Πόσοι είναι οι κάτοικοι στο χωριό που έχουν ηλικία πάνω από: iii. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και να βρείτε: 1. Το ποσοστό των κατοίκων που έχουν ηλικία κάτω των 55 ετών. 2. Την ηλικία κάτω από την οποία ανήκει το 50%. 26) Η βαθµολογία 40 µαθητών σε ένα διαγώνισµα δίνεται από τον πίνακα: Κλάσεις ) i. Να κατασκευάσετε: 1. Τον πίνακα µε τις συχνότητες %, F i % 2. Το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. ii. Να βρείτε τον βαθµό κάτω από τον οποίο έχει το: 1. 30% των µαθητών 2. 20% των µαθητών 3. 40% των µαθητών iii. Να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που έχει γράψει: 1. Κάτω από Κάτω από Τουλάχιστον 14

11 27) Η βαθµολογία 50 φοιτητών του Μαθηµατικού τµήµατος του πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης στο µάθηµα της στατιστικής είναι: i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων µε τις στήλες, N i %, F i, F i %. ii. Από τον πίνακα αυτόν, να εκτιµήσετε το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθµό: 1. Κάτω από την βάση 2. Τουλάχιστον 6 αλλά το πολύ 8 3. Άριστα, δηλαδή 9 ή 10 iii. Να κατασκευάστε το διάγραµµα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F i %. 28) Η βαθµολογία 50 µαθητών στο µάθηµα της γεωµετρίας σε ένα µαθηµατικό διαγωνισµό ήταν η παρακάτω: i. Να οµαδοποιήσετε τα παραπάνω δεδοµένα σε 5 κλάσεις πλάτους 2. ii. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων µε τις στήλες των,, N i, %, F i %,, a i, όπου a i είναι οι γωνίες των αντίστοιχων τοµέων του κυκλικού διαγράµµατος. iii. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. iv. Αν για την επόµενη φάση του διαγωνισµού προκρίνεται το 30% των µαθητών, ποια είναι η ελάχιστη βαθµολογία που πρέπει να γράψει κάποιος ώστε να προκριθεί; v. Να βρείτε τον αριθµό των µαθητών που έγραψαν µέχρι 15. vi. Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο κυκλικό διάγραµµα.

12 29) Στο σχήµα είναι το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων των υψών των µαθητών ενός τµήµατος του σχολείου. Να βρείτε: i. Το ύψος x *, κάτω από το οποίο ανήκει: 1. Το 30% των µαθητών 2. Το 60% των µαθητών 3. Το 45% των µαθητών ii. Το ποσοστό p των µαθητών που έχουν ύψος µέχρι: cm cm cm 30) Στο σχήµα φαίνονται οι µισθοί 200 εργαζοµένων σε µια βιοµηχανία, αλλά σβήστηκε κατά λάθος το ορθογώνιο της κλάσης 8,12). Αν είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει µισθός άνω των 2000 ευρώ: i. Να κατασκευάσετε το ορθογώνιο αυτό. ii. Πόσοι εργαζόµενοι έχουν µισθό πάνω από 1000 ευρώ;

13 31) Σε µια βιοµηχανία εργάζονται 300 άτοµα. Ο συνολικός χρόνος εργασίας τους σε έτη δίνεται από το κυκλικό διάγραµµα: i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. ii. Πόσοι συνολικά υπάλληλοι αναµένονται να συνταξιοδοτηθούν (συµπληρώνοντας 30-ετία) µέσα στα επόµενα: 1. 5 χρόνια 2. 7 χρόνια χρόνια 32) Στο σχήµα είναι το ιστόγραµµα συχνοτήτων της βαθµολογίας των µαθητών της Α λυκείου σε ένα διαγώνισµα. Μέσα σε κάθε ορθογώνιο που έχει βάση ίση µε τη µονάδα, φαίνεται το εµβαδόν του. i. Πόσοι είναι οι µαθητές; ii. Να κάνετε το πολύγωνο συχνοτήτων. 33) Οι µισθοί 8 συνταξιούχων του ΤΕΒΕ σε δεκάδες ευρώ είναι 45, 55, 90, 70, 30, 65, 85, 80. Να βρείτε: i. Τη µέση σύνταξη ii. Τη διάµεση σύνταξη 34) Κατά τη διάρκεια ενός αγώνα µπάσκετ µεταξύ των οµάδων Α και Β, ο προπονητής της οµάδας Α παρατηρεί ότι οι 5 παίχτες της οµάδας του που παίζουν έχουν ύψη 192 cm, 198 cm, 200 cm, 202 cm, 205 cm. i. Ποιο είναι το µέσο ύψος των παιχτών της οµάδας Α που παίζουν εκείνη τη χρονική στιγµή; ii. Βλέποντας ότι το µέσο ύψος των παιχτών της πεντάδας είναι µικρότερο από εκείνο της αντίπαλης οµάδας, ο προπονητής αποφασίζει να ψηλώσει την οµάδα του. Αν το µέσο ύψος των παιχτών της αντίπαλης οµάδας είναι 202 cm και ο προπονητής βγάλει τον κοντύτερο παίχτη, να βρεθεί το ύψος του παίχτη που µπήκε, αν τώρα το µέσο ύψος των παιχτών της πεντάδας είναι κατά 2 cm µεγαλύτερο από αυτό της αντίπαλης οµάδας.

14 35) Μια βιοτεχνία έχει 10 εργαζοµένους µε µέσο µηνιαίο µισθό 1200 ευρώ. i. Να βρείτε το νέο µισθό όταν: 1. Ένας εργαζόµενος µε µισθό 1200 πάρει σύνταξη. 2. Προσληφθούν δύο εργαζόµενοι ακόµη µε µισθό 850 ευρώ. 3. Πάρει σύνταξη ένας µε µισθό 1190 ευρώ και προσληφθούν τρεις µε µισθό 850 ευρώ. ii. Αν προσληφθεί ένας εργαζόµενος ποιος πρέπει να είναι ο µηνιαίος µισθός του ώστε ο µέσος µηνιαίος µισθός όλων να είναι 1210 ευρώ; 36) Η επίδοση ενός µαθητή σε δύο από τα τρία µαθήµατα είναι 18 και 16 µε αντίστοιχους συντελεστές 1 και 1,3. ποια πρέπει να είναι η επίδοση του µαθητή στο τρίτο µάθηµα µε συντελεστή 0,7 ώστε ο σταθµικός µέσος να είναι 16,2. 37) Στο σύστηµα για την εισαγωγή ενός µαθητή στην τριτοβάθµια εκπαίδευση µιας χώρας συνυπολογίζονται ο βαθµός x 1 του απολυτηρίου µε συντελεστή w 1 = 7,5, ο βαθµός x 2 του τεστ δεξιοτήτων µε συντελεστή w 2 = 1, ο βαθµός x 3 στο πρώτο βασικό µάθηµα µε συντελεστή w 3 = 1 και ο βαθµός x 4 στο δεύτερο βασικό µάθηµα µε συντελεστή w 4 = 0,5. Αν ένας µαθητής θέλει να βγάλει τελικό βαθµό 17 και έχει βαθµό στο τεστ δεξιοτήτων x 2 = 18, βαθµό στο πρώτο βασικό µάθηµα x 3 = 17 και βαθµό στο δεύτερο βασικό µάθηµα x 4 = 18, τι βαθµό απολυτηρίου x 1 πρέπει να έχει; 38) Η µέση τιµή του ηµεροµισθίου 50 εργατών είναι 31 ευρώ. Από αυτούς οι 10, λόγω ανθυγιεινής εργασίας έχουν µέσο ηµεροµίσθιο 35 ευρώ. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή του ηµεροµισθίου των υπολοίπων εργατών. 39) i. Η µέση τιµή 4 διαδοχικών ακέραιων αριθµών είναι 11,5. να βρεθούν οι αριθµοί αυτοί. ii. Αν σε καθέναν από τους αριθµούς του προηγούµενου ερωτήµατος προσθέσουµε το 3, ποια είναι η νέα µέση τιµή τους; Τι σχέση έχουν οι παραπάνω µέσες τιµές; 40) Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν διάµεσο 15. i. Να βρεθούν οι αριθµοί αυτοί και η µέση τιµή τους. ii. Αν πολλαπλασιάσουµε κάθε τιµή µε το 2, να βρεθεί η µέση τιµή των νέων αριθµών. Ποια σχέση συνδέει τις δύο µέσες τιµές; 41) Οι βαθµοί που πήραν 24 µαθητές ενός τµήµατος της Β λυκείου στο διαγώνισµα της φυσικής ήταν: 19, 10, 8, 13, 13, 8, 16, 10, 17, 8, 16, 16, 19, 10, 16, 13, 8, 13, 16, 13, 16, 8, 17, 17 i. Να κατασκευαστεί ο πίνακας συχνοτήτων και να συµπληρωθεί µε τις στήλες των συχνοτήτων και των γινοµένων, όπου οι τιµές της µεταβλητής X: βαθµός στο διαγώνισµα της φυσικής. ii. Να υπολογισθεί ο αριθµητικός µέσος των βαθµών.

15 iii. Αν οι µαθητές που πήραν 8 απουσίαζαν από το διαγώνισµα, ποιος θα ήταν ο νέος αριθµητικός µέσος των βαθµών; 42) Σε µια επιχείρηση είναι 50 εργαζόµενοι στα τµήµατα Α και Β. Οι εργαζόµενοι στο τµήµα Α πήραν αύξηση στο µηνιαίο µισθό 100 ευρώ, ενώ οι εργαζόµενοι στο τµήµα Β 50 ευρώ. Αν η µέση τιµή όλων των µηνιαίων µισθών αυξήθηκε κατά 70 ευρώ να βρείτε πόσοι είναι οι εργαζόµενοι στο τµήµα Α και πόσοι στο Β. 43) Η βαθµολογία 50 µαθητών σε έναν διαγωνισµό µαθηµατικών κυµαίνεται από 10 µέχρι 20. γνωρίζουµε επίσης ότι πέντε µαθητές έχουν βαθµό κάτω από 12, δεκαπέντε κάτω από 14, πέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 18 και δεκαπέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 16. i. Να οµαδοποιηθούν τα δεδοµένα σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευαστεί πίνακας µε τις τιµές των, N i %, F i, F i %, την κεντρική τιµή κάθε κλάσης και τα γινόµενα. ii. Να υπολογισθεί η µέση τιµή των βαθµών. iii. Να κατασκευαστεί το ιστόγραµµα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. iv. Να υπολογισθεί γραφικά η διάµεσος των βαθµών. 44) Οι τιµές του βάρους (σε kg) των 20 αθλητών µιας οµάδας είναι οι παρακάτω: i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων των βαρών χρησιµοποιώντας κλάσεις εύρους 6 kg. Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις στήλες,, N i %, F i %,. ii. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα συχνοτήτων, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. iii. Με τι ισούται το εµβαδόν που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και το πολύγωνο συχνοτήτων; iv. Να βρείτε το ποσοστό των αθλητών που ζυγίζουν τουλάχιστον 69 kg. v. Να βρείτε τον αριθµό των αθλητών που ζυγίζουν το πολύ 72 kg. vi. Να υπολογίσετε το µέσο βάρος των αθλητών. vii. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. viii. Να υπολογίσετε γραφικά τη διάµεση τιµή του βάρους. ix. Να υπολογίσετε µε ακρίβεια τη διάµεση τιµή του βάρους. x. Αν κάθε αθλητής κατά την περίοδο των αγώνων χάνει 2 kg, να υπολογίσετε το νέο βάρος της οµάδας.

16 45) Δίνεται επόµενος πίνακας κατανοµής συχνοτήτων: ) N i % F i % Σύνολο 5 i. Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. ii. Να υπολογίσετε την µέση τιµή. iii. Να υπολογίσετε την διάµεσο. 46) Σε κάθε έναν από τους παρακάτω πίνακες να βρείτε τη διάµεσο Κλάσεις % 3,8) 18 8,13) 32 13,18) 40 18,23) 10 Κλάσεις % 5,9) 15 9,13) 25 13,17) 40 17,21) 20

17 47) Να βρείτε τη διάµεσο των βαθµών των µαθητών της Α λυκείου του κάθε τµήµατος που πήραν σε ένα διαγώνισµα αν τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων είναι τα παρακάτω. 48) Να βρείτε τις τιµές του α { 0,1,2}, ώστε οι αριθµοί α 2, α +1, α 2 1, α 3 +1 να έχουν διάµεσο δ 1. 49) Να βρείτε τις τιµές του κ { 0,1,2}, ώστε η διάµεσος των αριθµών κ, 2κ 1, κ 2 1, 3κ να είναι µικρότερη από τη µέση τιµή αυτών.

18 50) Στον πίνακα δίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής X µε τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Αν η διάµεσος είναι 6,5, να βρείτε τις τιµές των α,β. % α β 51) Οι χρόνοι αναµονής σε λεπτά 20 µαθητών στη στάση λεωφορείων για να πάνε σχολείο φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Να βρείτε την τυπική απόκλιση. Χρόνος Μαθητές 1,3) 6 3,5) 8 5,7) 4 7,9) 2 52) Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι θερµοκρασίες σε 10 πόλεις στις 8 το πρωί. Να βρείτε την τυπική απόκλιση. Κλάσεις 0,2) 1 2,4) 5 4,6) 4 53) Οι βαθµοί µιας οµάδας φοιτητών σε ένα εργαστήριο είναι η εξής: 5, 8, 6, 9, 7, 8, 6, 7, 9, 5 i. Ποια είναι η µέση τιµή των βαθµών αυτών; ii. Ποια είναι η διακύµανση των τιµών αυτών; iii. Αν πολλαπλασιάσουµε όλες τις τιµές µε 12 και στη συνέχεια προσθέσουµε σε αυτές τον αριθµό 16, ποια θα είναι η µέση τιµή και η διακύµανση των τιµών που θα προκύψουν;

19 54) Στο επόµενο σχήµα φαίνονται οι εισπράξεις σε δεκάδες χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους αντιπρόσωπους µιας εταιρίας κατά την διάρκεια ενός έτους. i. Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Εισπράξεις N i x 2 i 0,2) 2,4) 4,6) 6,8) 8,10) 10,12) 12,14) Σύνολο ii. Πόσοι είναι οι αντιπρόσωποι της εταιρίας; iii. Πόσοι αντιπρόσωποι έχουν εισπράξεις πάνω από 6 δεκάδες χιλιάδες ευρώ; iv. Να υπολογισθεί η µέση τιµή και η διακύµανση. 55) Δίνονται οι τιµές της µεταβλητής X: 2, 3, 3, 1, 4, 5, 5, 6, 7. Να υπολογίσετε: i. Τη µέση τιµή και τη διάµεσο ii. Τη διασπορά και την τυπική απόκλιση iii. Τον συντελεστή µεταβολής CV

20 56) Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τον αριθµό των καλαθιών που σηµείωσαν δύο παίχτες του µπάσκετ, Α και Β, σε 12 αγώνες κατά την διάρκεια ενός πρωταθλήµατος. Αγώνες Παίχτης Α Παίχτης Β 1 ος ος ος ος ος ος ος ος ος ος ος ος i. Να βρείτε: 1. Την µέση τιµή των καλαθιών για κάθε παίχτη. 2. Την τυπική απόκλιση των καλαθιών για κάθε παίχτη. ii. Με βάση τα παραπάνω, αποτέλεσµα για το ποιος παίχτης είναι καλύτερος. 57) Σε ένα δείγµα 30 µαθητών της Α γυµνασίου βρήκαµε µέσο βάρος x Α = 50kg και τυπική απόκλιση s Α = 7kg. Σε ένα άλλο δείγµα 20 µαθητών της Α λυκείου βρήκαµε µέσο βάρος x Β = 70kg και τυπική απόκλιση s Β = 7kg. Να βρεθεί ποιο δείγµα έχει την µεγαλύτερη οµοιογένεια. 58) Το επόµενο ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F i % µας δίνει τη βαθµολογία v µαθητών της Γ λυκείου ενός σχολείου στο µάθηµα της ιστορίας. Δίνεται ότι το πλήθος των µαθητών που η βαθµολογία τους ανήκει στην κλάση 8,12) είναι 7 και ότι κανένας µαθητής δεν βαθµολογήθηκε µε 20.

21 i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων µε τις στήλες των,, N i, %, F i %,. ii. Να υπολογίσετε την µέση βαθµολογία. iii. Να υπολογίσετε την µέση τιµή και την διακύµανση των κεντρικών τιµών, όπου i = 1,2,3,4,5 iv. Να εξετάσετε το δείγµα των κεντρικών τιµών ως προς την οµοιογένειά του. 59) Το παρακάτω ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % αναφέρεται στο ύψος 50 αθλητών του στίβου. i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων µε τις στήλες των,, N i %, F i %. ii. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα των σχετικών συχνοτήτων, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. iii. Να υπολογίσετε την διάµεση τιµή των υψών των αθλητών. iv. Να βρείτε το ποσοστό των αθλητών που έχουν ύψος µεγαλύτερο ή ίσο των 165 cm και µικρότερο ή ίσο των 195 cm. 60) Σε ένα δείγµα ισχύει ότι x + 2s = 0. Να βρείτε τον συντελεστή µεταβλητότητας του δείγµατος. 61) Ένα σύρµα µήκους l = 40cm κόβεται σε 10 κοµµάτια µε µήκη l 1,l 2,...,l 10. Αν 10 ( l i 4) 2 = 90, να βρείτε τον συντελεστή µεταβλητότητας των l 1,l 2,...,l 10. i=1

22 62) Σε ένα δείγµα ανέργων για τον χρόνο σε βδοµάδες που είναι άνεργοι προέκυψε το παρακάτω πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Να βρείτε: i. Τη διάµεσο ii. Την µέση τιµή iii. Την τυπική απόκλιση iv. Τον συντελεστή µεταβλητότητας 63) Έστω x 1,x 2,...,x v οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος που έχουν µέση τιµή 3 και διασπορά 4. Να βρείτε τον συντελεστή µεταβλητότητας των παρατηρήσεων y 1, y 2,..., y v που προκύπτουν από τις τιµές x 1,x 2,...,x v αφού: i. Προσθέσουµε σε κάθε µία το 1 ii. Πολλαπλασιάσουµε κάθε µία µε το 2 iii. Αυξήσουµε κάθε µία κατά 10% iv. Ελαττώσουµε κάθε µία κατά 20% και µετά προσθέσουµε σε κάθε µία το 1,6 64) Ένας δάσκαλος σε ένα βιβλιοπωλείο επέλεξε 10 βιβλία µε αναγραφόµενες τιµές σε ευρώ όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Τιµή Βιβλία i. Ποια είναι η µέση τιµή, η διάµεσος, η τυπική απόκλιση και το εύρος των τιµών των βιβλίων; ii. Αν το βιβλιοπωλείο του κάνει έκπτωση 10% στην αναγραφόµενη τιµή και αυτά τα βιβλία τα δωρίσει σε φίλους όπου τα έξοδα αποστολής είναι 2 ευρώ το κάθε βιβλίο, να βρείτε τον συντελεστή µεταβλητότητας.

23 65) Δίνονται οι αριθµοί x 1,x 2,...,x v που έχουν µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s. i. Αν x = 6 και s = 2, να βρείτε την µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των αριθµών 2x 1 + 5, 2x 2 + 5,, 2x v + 5. ii. Αν v = 100, x = 27 και η µέση τιµή των 60 πρώτων αριθµών είναι 5, να βρείτε την µέση τιµή των υπόλοιπων 40. v 2 iii. Αν = 55, s = 2 και x = 3, να βρείτε τον αριθµό v. i=1 66) Τα χρόνια εργασίας ενός δείγµατος εργαζοµένων σε ένα εργοστάσιο σχηµατίζουν τα παρακάτω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. Να βρείτε: i. Τη διάµεσο ii. Την µέση τιµή iii. Την τυπική απόκλιση iv. Τον συντελεστή µεταβλητότητας µετά από 5 χρόνια. 67) Οι βαθµοί που έγραψαν οι µαθητές µιας τάξης σε ένα διαγώνισµα είναι πάνω από 4, έχουν µέσο όρο 12 και τυπική απόκλιση 2. υποθέτοντας ότι έχουµε περίπου κανονική κατανοµή, να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των µαθητών που έχουν βαθµό: i. Κάτω από 10 ii. Πάνω από 16 iii. Από 8 έως 14 iv. Το πολύ 8 v. Τουλάχιστον 10 68) Η µέση τιµή µιας κανονικής κατανοµής είναι 20 και η τυπική απόκλιση 4. ποιο ποσοστό των παρατηρήσεων είναι: i. Πάνω από 28 ii. Κάτω από 16 iii. Από 16 έως 28 iv. Τουλάχιστον 12 v. Το πού 12 ή τουλάχιστον 24

24 69) Τα νούµερα των παπουτσιών 400 µαθητών ενός λυκείου ακολουθούν περίπου την κανονική κατανοµή. Δέκα µαθητές φοράνε παπούτσια µε νούµερο τουλάχιστον 43 και 64 µαθητές το πολύ 37. να βρείτε πόσοι µαθητές φοράνε παπούτσια µε νούµερο από 37 έως ) Οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής X ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Αν το 16% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες του 10 και το 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες του 12 να βρείτε τον συντελεστή µεταβλητότητας του δείγµατος των παρατηρήσεων. 71) Οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής X ενός δείγµατος µεγέθους 800 ακολουθούν κανονική κατανοµή. Είκοσι παρατηρήσεις είναι µικρότερες του 18 και 128 µεγαλύτερες του 36. i. Να βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος του δείγµατος. ii. Να εξετάσετε αν το δείγµα των παρατηρήσεων είναι οµοιογενές. 72) Στο παρακάτω σχήµα παρουσιάζεται µια κανονική κατανοµή συχνοτήτων µε x = 10 και s = 2. i. Να υπολογίσετε τους λόγους E 1 E 2 και E 1 E ολ, όπου E ol το ολικό εµβαδόν που περικλείεται από την καµπύλη συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα. ii. Αν το δείγµα έχει 5000 παρατηρήσεις, να βρείτε πόσες παρατηρήσεις είναι µεγαλύτερες από ) Μια βιοµηχανία κατασκευάζει λαµπτήρες µε µέσο χρόνο ζωής 1800 ώρες και τυπική απόκλιση s = 150 ώρες. Η κατανοµή των λαµπτήρων ως προς τον χρόνο ζωής είναι κανονική ή σχεδόν κανονική κατανοµή. Τι ποσοστό λαµπτήρων αναµένεται να έχει χρόνο ζωής: i. Το πολύ 1800 ώρες; ii. Άνω των 1950 ωρών; iii. Από 1500 έως 1950 ώρες; iv. Κάτω από 1500 ώρες; 74) Αν για τις τιµές x 1 x 2... x 5 µιας µεταβλητής X ισχύουν οι σχέσεις x 1 + x 2 = 3, x 3 + x 4 = 9, x = 4, δ = 3, R = 8, τότε να βρείτε: i. Τις τιµές, i = 1,2,3,4,5 ii. Τη διασπορά s 2.

25 75) Δίνονται οι τιµές x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5, x 4 = 7, x 5 = 9, x 6 = 11 και x 7 = 13 ενός δείγµατος. Να βρείτε: i. Τη µέση τιµή x των παραπάνω τιµών ii. Την τυπική απόκλιση s iii. Τις τιµές y i για τις οποίες ισχύει y i = x, i = 1,2,3,...,7 s iv. Τη µέση τιµή των τιµών y i, i = 1,2,3,...,7 v. Να αποδειχθεί ότι s y = 1, όπου s y η τυπική απόκλιση των τιµών y i, i = 1,2,3,...,7 ( ) = x 2 και τα σηµεία Α 1 ( x 1, f ( x 1 )), Α 2 ( x 2, f ( x 2 )), 76) Έστω η συνάρτηση f x, Α 10 ( x 10, f ( x 10 )). Αν οι τετµηµένες των σηµείων Α 1,Α 2,...,Α 10 έχουν µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση 3, να βρείτε τη µέση τιµή των τεταγµένων τους. 77) Η µέση τιµή και η διακύµανση των βαθµών που πήραν 6 µαθητές στην ιστορία είναι x = 12 και s 2 = 10 αντίστοιχα. Για τους βαθµούς των πέντε 5 µαθητών ισχύει ( x) 2 = 11. Να βρεθεί ο βαθµός του 6 ου µαθητή, αν i=1 γνωρίζουµε ότι αυτός είναι µεγαλύτερος από το ) Η µέση τιµή και η διακύµανση των 20 τιµών ενός δείγµατος είναι x = 6 και 19 s 2 = 4 αντίστοιχα. Εάν για τις δεκαεννέα τιµές ισχύει ( t i x) 2 = 79, να βρείτε την εικοστή τιµή. 79) Η µέση τιµή και ο συντελεστής µεταβολής των 10 τιµών ενός δείγµατος είναι x = 80 και CV = 25% αντίστοιχα. Εάν για τις εννέα τιµές ισχύει 9 ( x) 2 = 3975 να βρείτε: i=1 i. Την δέκατη τιµή ii. Πόσες µονάδες τουλάχιστον πρέπει να αυξηθούν οι τιµές του δείγµατος ώστε να γίνει οµοιογενές; i=1

26 80) Στο παρακάτω ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F i %, η διάµεσος δ είναι ίση µε 32 και το µέγεθος του δείγµατος είναι ίσο µε 20. i. Να υπολογίσετε την αθροιστική σχετική συχνότητα της κλάσης 30,40) ii. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων µε στήλες,, N i %, F i %, iii. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο. iv. Να υπολογίσετε την µέση τιµή του δείγµατος. v. Να υπολογίσετε την διασπορά και την τυπική απόκλιση. vi. Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. 81) Το σκιασµένο εµβαδόν στην παρακάτω καµπύλη συχνοτήτων είναι ίσο µε το 95% του ολικού εµβαδού που περικλείεται από την καµπύλη και τον άξονα. i. Να βρείτε την µέση τιµή του δείγµατος. ii. Να βρείτε την τυπική απόκλιση. iii. Να βρείτε τον συντελεστή µεταβολής CV iv. Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. v. Να αποδείξετε ότι E 1 E 3 = 1 και E 2 E 3 = 38

27 82) Στο παρακάτω σχεδιάγραµµα δίνονται οι καµπύλες συχνοτήτων δύο δειγµάτων που ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Έστω E α, E β τα εµβαδά των χωρίων που περικλείονται από τις καµπύλες α, β αντίστοιχα και τον οριζόντιο άξονα. Τα εµβαδά συνδέονται µε τη σχέση E α = 4E β. Το δείγµα α έχει v α στο πλήθος παρατηρήσεις και το δείγµα β έχει v β = 50 παρατηρήσεις. Τα δείγµατα έχουν κοινό εύρος R και κοινή µέση τιµή µ. Να αποδείξετε ότι: i. v α = 200 ii. R µ = λ 2 κ 2 2 iii. E 1 E 2 = 3 83) Ένα δείγµα ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Το 81,5% των τιµών του δείγµατος βρίσκονται στο διάστηµα ( 17,29), όπου τα άκρα του διαστήµατος είναι κάποια από τις χαρακτηριστικές τιµές x 3s, x 2s, x s, x + s, x + 2s, x + 3s. Να βρείτε τον συντελεστή µεταβολής του δείγµατος. 84) Έστω ένα δείγµα 50 παρατηρήσεων x 1,x 2,...,x 50 µε συντελεστή µεταβολής CV = 75% και x 2 i = i=1 i. Να βρείτε τη µέση τιµή x και την τυπική απόκλιση s x του παραπάνω δείγµατος. ii. Αν καθεµία από τις παρατηρήσεις του παραπάνω δείγµατος αυξηθεί κατά 25% και στη συνέχεια ελαττωθεί κατά 2, τότε να βρείτε: 1. Τη µέση τιµή y των νέων παρατηρήσεων 2. Την τυπική απόκλιση s y των νέων παρατηρήσεων.

28 85) Ο χρόνος που µελετούν µαθηµατικά οι µαθητές της θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης στη διάρκεια µιας εβδοµάδας ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή µε τιµές στο διάστηµα t 1,t 2. Είναι γνωστό ότι το 60% των µαθητών µελετούν το πολύ µέχρι 20 ώρες την βδοµάδα, ενώ το 20% µελετούν περισσότερο από 25 ώρες την βδοµάδα. i. Να βρείτε τις τιµές t 1,t 2 ii. Να βρείτε το µέσο εβδοµαδιαίο χρόνο µελέτης των µαθητών. iii. Να οµαδοποιήσετε τις παραπάνω ώρες µελέτης σε 5 ισοπλατείς κλάσεις και να βρείτε την τυπική απόκλιση.

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr Κεφάλαιο 1:Περιγραφική Στατιστική Εισαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα (

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 09-11-14 ΘΕΜΑ Α Α1. Να αναφέρετε ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές και σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται. μονάδες 4 Α2.Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Έκφραση - Έκθεση Α και Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Έκφραση - Έκθεση Α και Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Έκφραση - Έκθεση Α και Β Λυκείου Επιμέλεια: ΣΤΕΛΙΟΣ ΚΑΛΑΠΟΤΛΗΣ ΑΡΕΤΗ ΣΙΑΠΑΝΤΑ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1 2 1. 2.

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, 4 Σ, Λ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark ΥΠΟΥΡΓΙΟ ΠΑΙΔΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΚΠΑΙΔΥΣΗΣ ΥΠΗΡΣΙΑ ΞΤΑΣΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΣ ΞΤΑΣΙΣ 007 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε αναφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είναι, «η ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων» Για το σκοπό αυτό, έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α )

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΘΕΜΑ Εξετάζουµε τις αθµολογίες ενός δείγµατος φοιτητών σε κάποιο διαγώνισµα και πήραµε τον πίνακα Χ i (αθ.) ν i f i % N i F i % 4

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 3 υπολογίζονται και συγκρίνονται οι µέσες τιµές όλων των αριθµητικών µεταβλητών που είναι ο γραπτός µέσος όρος όλων των µαθηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 015 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης 1. Σε ένα ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα μετέχουν 16 ομάδες. Κάθε ομάδα παίζει με όλες τις υπόλοιπες ως γηπεδούχος και ως φιλοξενούμενη. Νίκη μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΙΑΣ ΒΑΡΒΑΡΑΣ 21 & ΠΕΡΙΚΛΕΟΥΣ, Π. ΦΑΛΗΡΟ

ΑΓΙΑΣ ΒΑΡΒΑΡΑΣ 21 & ΠΕΡΙΚΛΕΟΥΣ, Π. ΦΑΛΗΡΟ Φ Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Α ΑΓΙΑΣ ΒΑΡΒΑΡΑΣ 21 & ΠΕΡΙΚΛΕΟΥΣ, Π. ΦΑΛΗΡΟ ΤΗΛ-FAX: 210 9851164, www.neapaideia.edu.gr, Ε-mail: info@neapaideia.edu.gr ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΝΕΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική;

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική; ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στην καθημερινή ζωή μας ακούμε φράσεις όπως: Ο έμπορος κερδίζει 30% (τριάντα τοις εκατό ή τριάντα στα εκατό) στην τιμή της αγοράς Τι σημαίνει ο έμπορος κερδίζει 30%; Αν

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357-22378101 Φαξ: 357-22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(55) Κορρέ Πελαγία(580) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εαρινό εξάμηνο 0 Ρέθυμνο, 5/6/0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ:. Εισαγωγή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 2014-2015

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 2014-2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 201-2015 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05 / 06 / 2015 ΧΡΟΝΟΣ: 2 Ώρες Βαθμός:. Ολογρ.:.. Υπογραφή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θεωρητικής Κατεύθυνσης Αρχαία Ελληνικά - Άγνωστο Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θεωρητικής Κατεύθυνσης Αρχαία Ελληνικά - Άγνωστο Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Αρχαία Ελληνικά - Άγνωστο Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗ ΕΛΕΝΗ ΜΑΥΡΙΔΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΠΕΤΡΑ ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΠΑΠΑΧΑΡΑΛΑΜΠΙΔΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Μαθηματικά 2) Φυσική 3) Χημεία 4) Βιολογία ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2012 2013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2012 2013 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2012 2013 ΠΡΟΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΓΙΑ ΦΟΙΤΗΣΗ ΣΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ») ΚΑΙ ΠΡΟΣ ΑΠΟΦΟΙΤΟΥΣ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ «ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ» (ΓΙΑ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδοµένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2014-2015 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ & Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ. (Mε βάση το Νόμο 4186/2013)

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ & Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ. (Mε βάση το Νόμο 4186/2013) ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ & Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (Mε βάση το Νόμο 4186/2013) Α Τάξη Ημερησίου Γενικού Λυκείου Η Α Τάξη Ημερησίου Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη αποκλειστικά γενικής παιδείας, στην

Διαβάστε περισσότερα

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4%

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς ===================================================================================== Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Σύμφωνα με το πρόσφατο νομοσχέδιο του Υπουργείου Παιδείας θα πραγματοποιηθούν σημαντικές αλλαγές στο Λύκειο και στον τρόπο εισαγωγής στα Τμήματα των Πανεπιστημίων και

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Μαθηματικά 2) Φυσική 3) Χημεία 4) Βιολογία ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα