ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΡΟΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ Περιεχόμενα 1. Αντικείμενο και σκοπός του πειράματος 2. Θεωρία 2.1 Μέτρηση κατανομής ταχύτητας 2.2 Ο νόμος της δύναμης 1/n 2.3 Ο νόμος των Hagen Poiseuille 3. Πειραματική εγκατάσταση, όργανα και υλικά 4. Πειραματική διαδικασία 4.1 Πείραμα Α 4.2 Πείραμα Β 4.3 Πείραμα Γ 5. Πειραματικά αποτελέσματα 6. Πίνακες πειραματικών μετρήσεων 7. Επεξεργασία αποτελεσμάτων 8. Ερωτήσεις ΠΑΤΡΑ 2013

2 ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ 2η: 1. Αντικείμενο και σκοπός του πειράματος Η πειραματική εργασία περιλαμβάνει τρία διαφορετικά πειράματα που έχουν σκοπό: 1. Μέτρηση απωλειών πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής. 2. Εύρεση της κατανομής της ταχύτητας σε διάφορες διατομές. 3. Εύρεση του συντελεστή τριβής. Ο σκοπός των πειραμάτων είναι να υπολογιστούν τα παραπάνω μεγέθη με μετρήσεις στο Εργαστήριο Ρευστομηχανικής και να συγκριθούν οι τιμές με τις αντίστοιχες θεωρητικές για επαλήθευση. Η γνώση των απωλειών πίεσης σε μια εγκατάσταση είναι αναγκαία για τη σωστή λειτουργία του συστήματος, (ειδικά σε εγκαταστάσεις που χρησιμοποιούνται αγωγοί μεγάλου μήκους, με διακλαδώσεις και καμπύλα τμήματα ή άλλα εξαρτήματα). Σε μια τέτοια εγκατάσταση, ρευστό ευρισκόμενο υπό συγκεκριμένες συνθήκες (πίεση ταχύτητα), πρέπει να μεταφερθεί σε κάποιους άλλους χώρους σε κάποιες άλλες συνθήκες. Σκοπός είναι μελετώντας τη ροή του ρευστού να υπολογιστεί το αναγκαίο ποσόν ενέργειας που θα πρέπει να έχει το ρευστό ώστε να υπερνικήσει τις απώλειες ενέργειας κατά τη ροή του και τέλος να έχει και τις προκαθορισμένες συνθήκες πίεσης και ταχύτητας. 2. Θεωρία Για την περίπτωση στρωτής ροής η μαθηματική έκφραση που συνδέει τη βαθμίδα πίεσης και την παροχή συμφωνεί με τα πειραματικά αποτελέσματα. Στην περίπτωση της τυρβώδους ροής μια τέτοια σχέση λαμβάνεται μόνο εμπειρικά διότι οι προσπάθειες για καθαρά θεωρητική ανάλυση της τυρβώδους ροής έχουν αποτύχει. Αυτές οι σχέσεις είναι γνωστές σαν νόμοι τριβής ή νόμοι αντίστασης. (2.1) Και για τις δύο περιπτώσεις, τυρβώδους ή στρωτής ροής ισχύει η παραπάνω σχέση όπου: P A, P B : στατικές πιέσεις στα σημεία Α, Β, l: απόσταση των σημείων Α, Β, d: διάμετρος αγωγού, ρ: πυκνότητα αέρα, ū: μέση ταχύτητα αέρα, λ: συντελεστής τριβής. Ο συντελεστής τριβής είναι διαφορετικός στη στρωτή και τυρβώδη ροή.

3 Για τη στρωτή ροή κατά μήκος των αγωγών κυκλικής διατομής (Hagen Poiseuille) έχει την τιμή: Για την τυρβώδη ροή ο Blasius πρότεινε την εμπειρική σχέση: (2.2) (2.3) η οποία έρχεται σε συμφωνία με τα πειράματα για αριθμούς Reynolds έως Για μεγαλύτερους αριθμούς Reynolds παρουσιάζει μεγάλη απόκλιση. Μεγαλύτερη όμως συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα δίνει ο γενικός νόμος τριβής για λείους αγωγούς του Prandtl, ο οποίος δίνεται από τη σχέση: (2.4) Συνεπώς ο σκοπός του πειράματος δεν είναι μόνο η εύρεση της απώλειας πίεσης σε ένα τμήμα του αγωγού, κάτι που άλλωστε γίνεται εύκολα με δύο μετρήσεις, αλλά κυρίως η εύρεση του συντελεστή τριβής ή καλύτερα η εύρεση του νόμου που υπακούει ο συντελεστής τριβής λ = f(re). Γνωρίζοντας την ακριβή σχέση του συντελεστή τριβής και του αριθμού Reynolds μπορούμε να υπολογίσουμε το λ, για δεδομένες άλλες συνθήκες ροής και συνεπώς μπορούμε να βρούμε τις απώλειες πίεσης. 2.1 Μέτρηση κατανομής ταχύτητας Όταν ένα ρευστό εισέρχεται σε ένα κυκλικό αγωγό από μια μεγάλη δεξαμενή, η κατανομή της ταχύτητας στις διατομές του μήκους εισροής μεταβάλλεται συναρτήσει της απόστασης από την αρχική διατομή. Σε διατομές πλησίον της εισόδου η κατανομή της ταχύτητας είναι σχεδόν ομοιόμορφη. Στις επόμενες διατομές η κατανομή της ταχύτητας αλλάζει, λόγω της επίδρασης της τριβής, έως ότου να ληφθεί ένα πλήρως αναπτυγμένο προφίλ της ταχύτητας σε μια ορισμένη διατομή του αγωγού, το οποίο παραμένει σταθερό σε όλο το υπόλοιπο μήκος του αγωγού. Όπως παρατηρούμε και στο σχήμα 2.1 αρχικά η ταχύτητα αναπτύσσεται σε μία μικρή περιοχή γύρω από τη μέση τιμή της, ενώ όσο προχωράει το φαινόμενο τόσο μεγαλώνει η διασπορά γύρω από τη μέση τιμή της ταχύτητας (δηλαδή η μέγιστη ταχύτητα αυξάνει). Το μήκος εισροής του αγωγού για τη στρωτή ροή είναι κατά προσέγγιση L cr = 0.03 d Re. Έτσι για αριθμούς Re από 5x10 3 έως 10 4 λαμβάνει τιμές από 150 έως 300 διαμέτρους του αγωγού. Το μήκος εισροής για την τυρβώδη ροή είναι συγκριτικά μικρότερο απ αυτό της στρωτής ροής. Σύμφωνα με μετρήσεις του H. Kirsten το μήκος αυτό είναι ίσο με 50 ως 100 διαμέτρους ενώ μία λιγότερο συντηρητική λύση δίνει ο J. Nikuradse, της τάξεως των 25 ως 40 διαμέτρους. Στο σχήμα 2.1 φαίνεται η κατανομή της ταχύτητας

4 κατά μήκος του αγωγού. Από το σημείο αυτό και παρακάτω, ότι ακολουθεί, αναφέρεται σε πλήρως αναπτυγμένη τυρβώδη ροή, σε ευθύγραμμο σωλήνα κυκλικής διατομής. Σχήμα 2.1: Κατανομή ταχυτήτων σε διάφορα σημεία κατά μήκος αγωγού. Η κατανομή ταχύτητας στους αγωγούς είναι θέμα που έχει απασχολήσει κατά καιρούς πολλούς ερευνητές, οι οποίοι στην προσπάθειά τους να βρουν ένα νόμο εκφραζόμενο από μια απλή μαθηματική σχέση έκαναν διάφορες παραδοχές που στη συνέχεια επαληθεύονταν μερικώς ή ολικώς στα πειράματα. Σύγκριση των νόμων αυτών με πειραματικά αποτελέσματα δείχνει τις περιοχές συμφωνίας ή ασυμφωνίας τόσο μεταξύ τους όσο και με τα πειράματα. Οι πιο γνωστοί νόμοι κατανομής ταχύτητας είναι οι κάτωθι: 2.2 Ο νόμος της δύναμης 1/n Είναι ο πιο απλός από μαθηματική άποψη νόμος. Προκύπτει από τη σχέση του Blasius και παρουσιάζει μεγάλη συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα για αριθμούς Reynolds ως Εξάλλου δεν αναμένεται καλύτερη συμφωνία, αφού και η σχέση του Blasius, απ όπου προκύπτει, ισχύει μέχρι αυτή την τιμή του αριθμού Re. Ο νόμος της δύναμης 1/n εκφράζεται από τη σχέση: (2.5) όπου U: η μέγιστη ταχύτητα στη διατομή, R: η ακτίνα στη διατομή, r: η απόσταση από τον άξονα του αγωγού (όπου r = 0). Ο εκθέτης μεταβάλλεται ελαφρά συναρτήσει του αριθμού Re. Συγκεκριμένα, έχει την τιμή n = 6 για Re = 4000, αυξάνει σε n = 7 για Re = 10 5 και παίρνει την τιμή n = 10 για Re = 3240x10 5. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει η έκφραση για τον λόγο της μέσης ταχύτητας ū, ως προς τη μεγίστη ταχύτητα U. Ευρίσκεται ότι:

5 (2.6) Από τη σχέση αυτή βρίσκεται ο λόγος (μέση/ μέγιστη) σαν συνάρτηση του αριθμού n. Συνήθης τιμή είναι n = 7, οπότε από τη σχέση (2.6) προκύπτει (τυρβώδης ροή). 2.3 Ο νόμος των Hagen Poiseuille Για τη στρωτή ροή η κατανομή της ταχύτητας έχει παραβολικό σχήμα και εκφράζεται από τη σχέση: (2.7) 3. Πειραματική εγκατάσταση, όργανα και υλικά Το πείραμα διεξάγεται στην εγκατάσταση του σχήματος 2.2. Διακρίνονται τα εξής βασικά εξαρτήματα: 1. Βάνα για τη μεταβολή της παροχής αέρα στον αγωγό. Γυρνώντας την βάνα μεταβάλουμε τη διατομή κατάθλιψης του ανεμιστήρα με αποτέλεσμα να αυξομειώνουμε την παροχή του αέρα (. Μεταβολή στην παροχή μεταφράζεται σε μεταβολή της ταχύτητας κι επειδή η ροή είναι ασυμπίεστη υποηχητική, η μεταβολή είναι ποιοτικά όμοια (η πυκνότητα δεν μεταβαλλεται). 2. Σύστημα παραγωγής της ροής. Αποτελείται απο φυγοκεντρικό ανεμιστήρα που παίρνει κίνηση από έναν ηλεκτροκινητήρα. 3. Μετρήσεις στατικής πίεσης, με οπές στο τοίχωμα. 4. Θάλαμοι μετρήσεων, προσαρμογή σωλήνων Pitot. Πρόκειται για τρεις θαλάμους ειδικά κατασκευασμένους, ώστε κατά την προσαρμογή με τον αγωγό να μην προκαλούν μεταβολή της διαμέτρου, που θα οδηγούσε σε τοπικές απώλειες. Φέρουν ειδικά διαμορφωμένες οπές για να λαμβάνονται περισσότερο ακριβείς μετρήσεις. 5. Πολλαπλό μανόμετρο. Είναι μανόμετρο στήλης νερού που μετρά στατική πίεση σε πολλά σημεία ταυτόχρονα, (στη συγκεκριμένη περίπτωση σε εννέα σημεία) προσφέροντας μια εικόνα της κατανομής στατικής πίεσης κατά μήκος του αγωγού) 6. Αγωγός μήκους 5.3 m και διαμέτρου 80 mm. Αποτελείται από τέσσερα τμήματα συνδεδεμένα μεταξύ τους με τρεις θαλάμους μετρήσεων. Κατά μήκος του αγωγού υπάρχουν οπές στατικής πίεσης και οπές για την προσαρμογή του σωλήνα Pitot, ο οποίος συνδέεται με ψηφιακό μανόμετρο μέσω του οποίου βρίσκεται η δυναμική πίεση και κατά συνέπεια η ταχύτητα.

6 7. Θέσεις μέτρησης ολικής και στατικής πίεσης στους θαλάμους μετρήσεων. Σχήμα 2.2: Πειραματική εγκατάσταση μέτρησης απωλειών πίεσης. 4. Πειραματική διαδικασία 4.1 Πείραμα Α Αρχικά σημειώνεται η ένδειξη του πολλαπλού μανομέτρου. Το πολλαπλό μανόμετρο μετρά στατική πίεση σε mmσν. Στη συνέχεια αφού τεθεί σε λειτουργία η εγκατάσταση, με ανοικτή πλήρως τη βάνα 1 ώστε να έχουμε μέγιστη παροχή, καταγράφονται οι νέες ενδείξεις του μανομέτρου σε εννέα διαφορετικά σημεία. Η διαφορά τους σε σχέση με την αρχική ένδειξη δείχνει την πτώση πίεσης κατά μήκος του αγωγού. Μετρώνται επίσης οι αποστάσεις των εννέα σημείων από την αρχική διατομή του αγωγού (Σχήμα 2.3). Οι μετρήσεις αυτές φαίνονται στον πίνακα 2.1. Σχήμα 2.3: Διάταξη μέτρησης της πίεσης σε εννέα σημεία.

7 4.2 Πείραμα Β Η μέτρηση της δυναμικής πίεσης γίνεται με ένα διαφορικό ψηφιακό μανόμετρο, συνδέοντας το σωληνάκι που ξεκινά από την υποδοχή (-) του μανομέτρου στην οπή στατικής πίεσης του αγωγού και το άλλο από την υποδοχή (+) με ένα σωλήνα Pitot (του οποίου η άκρη της κεφαλής μέτρησης καταλήγει στην ίδια διατομή που βρίσκεται και η οπή στατικής πίεσης Σχήμα 2.4). Σαν αποτέλεσμα της διαφοράς ολικής στατικής πίεσης, αναγράφεται στην οθόνη του ψηφιακού μανομέτρου η δυναμική πίεση. Λαμβάνονται μετρήσεις δυναμικής πίεσης σε τρεις έως πέντε διαφορετικές διατομές του αγωγού, των οποίων μετρείται η απόσταση από την αρχική διατομή του αγωγού. Σε κάθε διατομή παίρνουμε δέκα μετρήσεις δυναμικής πίεσης κατά μήκος της ακτίνας του αγωγού με βήμα 4 mm. Οι μετρήσεις αυτές φαίνονται στον Πίνακα 2.2. Σχήμα 2.4: Διάταξη μέτρησης της δυναμικής πίεσης σε μια διατομή του αγωγού. (Προσοχή: Στο σχήμα φαίνεται προσαρμοσμένο μανόμετρο Betz με το οποίο παλαιότερα γινόταν η μέτρηση της δυναμικής πίεσης, ενώ τώρα χρησιμοποιείται ψηφιακό μανόμετρο). 4.3 Πείραμα Γ Μεταβάλλοντας δέκα φορές την παροχή, γυρνώντας την βάνα, παίρνονται δέκα μετρήσεις δυναμικής πίεσης πάνω στον άξονα του αγωγού και σε απόσταση 4.8 m από την αρχική διατομή του. Καταγράφεται επίσης η διαφορά στατικής πίεσης που μετρά το πολλαπλό μανόμετρο μεταξύ της αρχής του αγωγού και της θέσης που μετράται η δυναμική πίεση με σωλήνα Pitot. Από την τιμή της μέγιστης ταχύτητας υπολογίζεται η μέση ταχύτητα σύμφωνα τη σχέση (2.6). Οι σχετικές μετρήσεις αναγράφονται στον Πίνακα 2.3.

8 5. Πειραματικά αποτελέσματα Γράψτε τις μετρήσεις που πήρατε στους πίνακες που ακολουθούν. Στις επόμενες σελίδες δίνονται ορισμένα διαγράμματα, τα οποία θα πρέπει να αναπαραχθούν κατά το γράψιμο της έκθεσης, με τη βοήθεια των θεωρητικών σχέσεων και των αντίστοιχων πειραματικών αποτελεσμάτων. Σχήμα 2.5: Αντίσταση τριβής σε λείους αγωγούς. Καμπύλη 1: σχέση Hagen Poiseuille Καμπύλη 2: σχέση Blasius Καμπύλη 3: σχέση Prandtl Σχήμα 2.6: Γενικός Νόμος τριβής για λείους αγωγούς. Καμπύλη 1: σχέση Prandtl, Καμπύλη 2: σχέση Blasius (Βλέπε Σχήμα από Εφαρμοσμένη Ρευστομηχανική, Δ. Γ. Παπανίκας)

9 Σχήμα 2.7: Πειραματική κατανομή της ταχύτητας σε διάφορες αποστάσεις από την είσοδο του αγωγού. Σχήμα 2.8: Κατανομή ταχύτητας σε λείους αγωγούς για διάφορους αριθμούς Re. (Βλέπε Σχήμα από Εφαρμοσμένη Ρευστομηχανική, Δ. Γ. Παπανίκας)

10 Σχήμα 2.9: Συσχετισμός πειραματικών τιμών με το νόμο της δύναμης και το νόμο του Prandtl. Σχήμα 2.10: Συσχετισμός πειραματικών τιμών με τους νόμος των Blasius, Prandtl, Hagen Poiseuille.

11 6. Πίνακες πειραματικών μετρήσεων Πίνακας 2.1: Μετρήσεις στατικής πίεσης κατά μήκος του αγωγού ΘΕΣΗ P 0 (mmσν) P (mmσν) ΔP (Pa) L (mm) Πίνακας 2.2: Μετρήσεις κατανομών ταχυτήτων Απόσταση από τον άξονα του αγωγού Απόσταση από την αρχική διατομή x/d x =.. x =.. x =.. r (mm) r/r x/d = P Δυν. U 1 (mmσν) (m/s) x/d = P Δυν. U 1 (mmσν) (m/s) x/d = P Δυν. U 1 (mmσν) (m/s) Οι παραπάνω τιμές των P Δυν. είναι αυτές που αναγράφονται στο ψηφιακό μανόμετρο. Για όλους τους υπολογισμούς πολλαπλασιάζονται επί 10 για να μετατραπούν σε Pa. (1 mmσν = 10 Pa).

12 Πίνακας 2.3: Υπολογισμός συντελεστή τριβής Μετρήσεις Μήκος αγωγού L (mm) Διάμετρος αγωγού d (mm) Πυκνότητα αέρα ρ (kg/m 3) Δυναμικό ιξώδες αέρα, μ (Pa s) Διαφορά πίεσης σημείων Α και Β, ΔP AB (mmσν) Δυναμική πίεση στον άξονα του αγωγού, P Δυν. (Pa) Μέγιστη ταχύτητα U (m/s) Μέση ταχύτητα ū (m/s) Αριθμός Re Συντελεστής τριβής λ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

13 7. Επεξεργασία αποτελεσμάτων Με τις τιμές που έχουν υπολογιστεί στον πίνακα 2.1 κατασκευάζεται το διάγραμμα που δείχνει την πτώση πίεσης κατά μήκος του αγωγού, ΔP = f(x). Η παράσταση είναι ευθεία γραμμή. Στον πίνακα 2.2 υπολογίζονται οι τιμές της ταχύτητας σε κάθε διατομή από τη σχέση που μας δίνει τη δυναμική πίεση. Σχεδιάζεται έτσι το προφίλ της ταχύτητας σε διαφορετικά διαγράμματα για τις διαφορετικές θέσεις από τις πειραματικές μετρήσεις, Στα ίδια σχήματα κατασκευάζονται οι γραφικές παραστάσεις που προκύπτουν από τη σχέση (2.5) και (2.7). Επίσης, κατασκευάζονται άλλα διαγράμματα που δείχνουν για κάθε θέση την πειραματική κατανομή ταχυτήτων και αυτές που προκύπτουν από τις σχέσεις (2.8) και (2.9). Von Karman (2.8) Darcy (2.9) όπου, Από τις μετρήσεις του πίνακα 2.3 υπολογίζεται ο αριθμός Reynolds όπου, d: διάμετρος του αγωγού, d = 0.08 m, v: το κινηματικό ιξώδες του ρευστού, v = x 10-4 m 2 /s, ū: η μέση ταχύτητα. Για τη στρωτή ροή η μέση ταχύτητα είναι η μισή της μέγιστης Για την τυρβώδη ροή ο λόγος υπολογίζεται από τη σχέση (2.6). Για τις διάφορες τιμές της μέσης ταχύτητας υπολογίζονται και οι διάφοροι αριθμοί Reynolds (Re). Χρησιμοποιώντας τις τιμές των πιέσεων που μετρήθηκαν και με τη βοήθεια της σχέσης (2.1) υπολογίζονται οι τιμές του συντελεστή τριβής λ. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν γράφονται στον πίνακα 2.3. Με βάση τα αποτελέσματα του πίνακα 2.3 κατασκευάζεται το διάγραμμα λ = f (Re). Ενδεικτικά σχήματα των ζητούμενων διαγραμμάτων δίδονται στο σχήμα 2.11.

14 8. Ερωτήσεις 1. Να σχεδιάσετε τις πειραματικές κατανομές ταχύτητας κατά μήκος του αγωγού. 2. Να βρείτε την εξίσωση που προσεγγίζει τα πειραματικά αποτελέσματα του συντελεστού τριβής λ = f(re) και να την συγκρίνετε με άλλες της βιβλιογραφίας. Σχήμα 2.11: Ενδεικτικά διαγράμματα.