ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

Transcript

1 ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις έννοιες της Προτασιακής Λογικής. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να σταλεί µε στον Σύµβουλο Καθηγητή σας το αργότερο µέχρι την ευτέρα 26 Απριλίου 2004, ώρα 3:00

2 Για εκπαιδευτικούς λόγους, οι απαντήσεις στα ερωτήµατα έχουν γραφτεί µε πολύ αναλυτικό τρόπο και έχουν προστεθεί και συµπληρωµατικές εξηγήσεις που δεν ήταν απαραίτητο να τις δώσετε. Α π α ν τ ή σ ε ι ς στα Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Εξηγήστε αν είναι προτασιακοί τύποι ή όχι οι εκφράσεις α) (( p p )) ( p β) ( ( 2 p2 ( p )) p2 γ) ((( p p )) p ) ( p ( ))) δ) ( p )) ( 2 0 p0 p2 p3 ) ε) (( p p2 ) p3) Σε περίπτωση που είναι να κάνετε το αντίστοιχο δεντροδιάγραµµα και να γράψετε τον τύπο χωρίς τις περιττές παρενθέσεις (σύµφωνα µε τους κανόνες της σελίδας 2 του βιβλίου). Απάντηση Ερωτήµατος α) Η έκφραση (( p ( p2 )) ( p p2 )) δεν είναι προτασιακός τύπος γιατί δεν είναι της µορφής ( β), (β γ), (β γ), (β γ), (β γ) όπου β, γ είναι κάποιοι προτασιακοί τύποι. Πράγµατι η έκφραση (( p ( p2 )) ( p p2 )) είναι της µορφής (β γ) όπου ο β= ( p ( p2 )) είναι προτασιακός τύπος αλλά όπου ο γ= ( p ) p2 δεν είναι προτασιακός τύπος καθώς περιέχει δύο προτασιακές µεταβλητές (εκ των 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

3 οποίων η δεύτερη εµφανίζεται µε άρνηση) αλλά δεν περιέχει κανένα διµελή σύνδεσµο µεταξύ τους. β) Η έκφραση ( ( p p2 )) δεν είναι προτασιακός τύπος γιατί ενώ µοιάζει να είναι της µορφής (β γ) όπου πράγµατι γ είναι ο προτασιακός τύπος ( p ) p2, δεν υπάρχει τίποτα στην θέση που θα έπρεπε κανονικά να είναι ο τύπος β. γ) Η έκφραση ((( p ( p2 )) p0 ) ( p ( p0 ))) είναι τύπος γιατί είναι της µορφής (β γ) όπου β είναι ο τύπος (( p ( p2 )) p 0 ) και γ είναι ο τύπος p ( )). Το δεντροδιάγραµµα είναι το ακόλουθο: ( p0 p 2 / p p 2 p 0 \ / / (p ( p 2 )) p 0 p ( p 0 ) \ / \ / ((p ( p 2 )) p 0 ) (p ( p 0 )) \ / (((p ( p 2 )) p 0 ) (p ( p 0 ))) δ) Η έκφραση ( p ) p2 p3 δεν είναι προτασιακός τύπος γιατί λείπουν κάποιες παρενθέσεις που θα µας επέτρεπαν να προσδιορίσουµε µε σαφήνεια την δοµή της. Πράγµατι δεν υφίσταται προτεραιότητα (κατά την ανάγνωση ενός τύπου) του συνδέσµου ως προς τον σύνδεσµο άλλα ούτε και το αντίστροφο. Εποµένως δεν µπορούµε να αποφασίσουµε αν η έκφραση που εξετάζουµε είναι τύπος της µορφής (β γ) όπου β = και γ= p ή αν είναι τύπος της µορφής (β γ) όπου β= p p 2 και γ= p3. p 2 p 3 ε) Η έκφραση (( p p2 ) p3) είναι τύπος της µορφής (β γ) όπου β= p p 2 και γ= p 3. Ο τύπος αυτός προέκυψε αφού προστέθηκαν παρενθέσεις οι οποίες διορθώνουν το πρόβληµα που αναφέραµε σχετικά µε την έκφραση στο δ). Το δεντροδιάγραµµα του τύπου είναι το παρακάτω. 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

4 p p 2 \ / (p p 2 ) p 3 \ / ((p p 2 ) p 3 ) Ερώτηµα 2. Εξετάστε αν ο καθένας από τους παρακάτω προτασιακούς τύπους είναι ταυτολογία, αντίφαση ή τίποτα από τα δύο. α) p p p ) ( p2 β) ( p p) p γ) ( p p ( ( p p ) ) 2 ) 3 2 p Η εξέταση να γίνει µε δύο τρόπους: πρώτα µε πίνακες αλήθειας και κατόπιν µε το σκεπτικό των παραδειγµάτων της σελίδας 30 του βιβλίου. Απάντηση Ερωτήµατος 2 Α. Χρησιµοποιώντας πίνακες αλήθειας. α) Ο πίνακας αληθείας για τον τύπο p p p ) είναι ο παρακάτω ( p2 και µας δείχνει ότι ο τύπος είναι ταυτολογία, γιατί όλες οι αποτιµήσεις αποδίδουν σε αυτόν την τιµή αλήθειας Α. p p 2 p p p 2 p p p 2 p ( p p p 2 ) Α Α Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

5 β) Ο πίνακας αληθείας για τον τύπο ( p p) p είναι ο παρακάτω και µας δείχνει ότι ο τύπος είναι αντίφαση, γιατί όλες οι αποτιµήσεις αποδίδουν σε αυτόν την τιµή αλήθειας Ψ, δηλαδή καµιά αποτίµηση δεν τον ικανοποιεί. p p p p (p p) p Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ γ) Ο πίνακας αληθείας για τον τύπο φ = p p ) ( ( p p ) ) είναι ο ( p παρακάτω. Βλέπουµε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο αποτιµήσεις (που δίνονται στις δυο τελευταίες σειρές του πίνακα) οι οποίες αποδίδουν σε αυτόν την τιµή αλήθειας Ψ, εποµένως ο τύπος δεν είναι ούτε ταυτολογία ούτε αντίφαση. p p 2 p 3 p p 2 p 3 p 2 (p 3 p 2 ) (p 3 p 2 ) p φ Α Α Α Α Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Α Α Ψ Α Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Β. Σύµφωνα µε το σκεπτικό των παραδειγµάτων της σελίδας 30 του βιβλίου. α) p p p ) ( p2 Όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι αληθής τότε ο τύπος είναι αληθής αν και µόνο αν ο υποτύπος του ( p p p 2 ) είναι επίσης αληθής, πράγµα το οποίο ισχύει καθώς πρόκειται για τύπο της µορφής β γ όπου το β= p είναι ψευδές. 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

6 Όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι ψευδής τότε ο τύπος είναι αληθής αν και µόνο αν ο υποτύπος του ( p p p 2 ) είναι επίσης ψευδής, πράγµα το οποίο ισχύει καθώς πρόκειται για τύπο της µορφής β γ όπου το β= p είναι αληθές ενώ το γ=p p 2 είναι ψευδές. Στον παραπάνω συλλογισµό δεν παίζει κανένα ρόλο η τιµή της προτασιακής µεταβλητής p 2. είξαµε λοιπόν ότι ο τύπος είναι ταυτολογία γιατί έχει την τιµή αλήθειας Α, όποια τιµή αλήθειας και να πάρουν οι προτασιακές µεταβλητές του, p και p 2. β) ( p p) p Όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι αληθής τότε ο τύπος είναι ψευδής αν και µόνο αν ο υποτύπος του (p p) είναι ψευδής, πράγµα το οποίο ισχύει καθώς πρόκειται για τύπο της µορφής β γ όπου το β=p είναι αληθές, ενώ το γ= p είναι ψευδές. Όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι ψευδής τότε ο τύπος είναι ψευδής αν και µόνο αν ο υποτύπος του (p p) είναι αληθής, πράγµα το οποίο ισχύει καθώς πρόκειται για τύπο της µορφής β γ όπου το β=p είναι ψευδές. είξαµε λοιπόν ότι ο τύπος είναι αντίφαση γιατί έχει την τιµή αλήθειας Ψ, όποια τιµή αλήθειας και να πάρει η µοναδική προτασιακή µεταβλητή του p. γ) ( p p2 p ) ( ( p3 p2 ) ) Όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι αληθής τότε ο τύπος είναι αληθής όποιες τιµές αλήθειας και να πάρουν οι άλλες δύο προτασιακές µεταβλητές του, δηλ. η p 2 και η p 3. Αυτό συµβαίνει γιατί ο τύπος είναι της µορφής β γ όπου το γ (που είναι της µορφής δ p ) είναι αληθές όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι αληθής. Όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι ψευδής και η προτασιακή µεταβλητή p 2 είναι αληθής τότε ο τύπος είναι αληθής, όποια τιµή αλήθειας και να πάρει η προτασιακή µεταβλητή p 3. Αυτό συµβαίνει γιατί ο τύπος είναι της µορφής β γ όπου το β= p p 2 είναι ψευδές (αφού η µεταβλητή p είναι ψευδής και η µεταβλητή p 2 είναι αληθής). Όταν η προτασιακή µεταβλητή p είναι ψευδής και η προτασιακή µεταβλητή p 2 είναι επίσης ψευδής τότε ο τύπος είναι ψευδής, όποια τιµή αλήθειας και να πάρει η προτασιακή µεταβλητή p 3. Αυτό συµβαίνει γιατί ο τύπος είναι της 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

7 µορφής β γ όπου το β= p p 2 είναι αληθές (αφού οι µεταβλητές p και p 2 είναι και οι δύο ψευδείς), ενώ το γ= ( (p 3 p 2 ) p ) είναι ψευδές (αυτό ισχύει γιατί ο υποτύπος (p 3 p 2 ) είναι τότε αληθής ανεξάρτητα από την τιµή της µεταβλητής p 3, ενώ ο υποτύπος p είναι ψευδής). Ερώτηµα 3. Εξετάστε αν είναι ικανοποιήσιµα τα σύνολα α) {( p p p, p ( p p ), p } 2 ) p3 β) { p p p, p }, 2 2 p γ) { p p + : i } (δηλ. το { p p p p, p p, }) i i N 0, Κ Η εξέταση να γίνει µε πίνακα αλήθειας (όπου είναι δυνατόν) αλλά και χωρίς πίνακα αλήθειας, αναλύοντας τους τύπους (δείτε την άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.4). Απάντηση Ερωτήµατος 3 α) Από τον παρακάτω πίνακα αλήθειας βλέπουµε ότι υπάρχουν δύο αποτιµήσεις ( η και 5 η γραµµή αντίστοιχα) που ικανοποιούν και τους τρείς τύπους. Και οι δυό αποτιµήσεις αυτές δίνουν την τιµή αλήθειας Α στις προτασιακές µεταβλητές p 2 και p 3. (Σηµείωση: Από την στιγµή που βρίσκουµε µία σειρά του πίνακα αλήθειας η οποία δηλώνει αποτίµηση που ικανοποιεί το σύνολο τύπων µας, δεν είναι απαραίτητο να συνεχιστεί η κατασκευή του πίνακα). 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

8 p p 2 p 3 (p p 2 ) p (p 2 p 3 ) p 2 p 3 p 3 Α Α Α Α A Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α A Α Ψ Α Ψ Ψ A Α Ψ Ψ Α Α Α A Α Ψ Α Ψ Ψ A Ψ Ψ Ψ Α A A Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ A Ψ Μπορούµε να δούµε πως το σύνολο είναι ικανοποιήσιµο και χωρίς να χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα αλήθειας των τριών τύπων που το αποτελούν. Πράγµατι ο τρίτος τύπος p 2 p 3 ικανοποιείται µόνο από αποτιµήσεις που δίνουν την τιµή αλήθειας Α και στις δύο µεταβλητές p 2 και p 3. Τέτοιες αποτιµήσεις ικανοποιούν και τους δύο πρώτους τύπους (p p 2 ) p 3 και p (p 2 p 3 ), όποια τιµή αλήθειας και να δοθεί στην µεταβλητή p. β) Από τον παρακάτω πίνακα αλήθειας βλέπουµε ότι καµιά αποτίµηση δεν ικανοποιεί και τους τρείς τύπους του συνόλου { p p p, p }. p p 2 p p p 2 p 2 p Α Α Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ Α Α Α, 2 2 p Μπορούµε να δούµε πως το σύνολο δεν είναι ικανοποιήσιµο και χωρίς να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας των τριών τύπων που το αποτελούν. Πράγµατι ο πρώτος τύπος p ικανοποιείται µόνο από αποτιµήσεις που δίνουν προφανώς την τιµή αλήθειας Α στην µεταβλητή p, οπότε τότε ο δεύτερος 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

9 τύπος p p 2 ικανοποιείται µόνο όταν η µεταβλητή p 2 πάρει την τιµή αλήθειας Α. Τότε όµως δεν ικανοποιείται ο τρίτος τύπος p 2 p. γ) Στην περίπτωση του συνόλου τύπων { p p : i } (δηλ. το { 3 i i + N p 0 p, p p2, p2 p, Κ }) δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε πίνακα αλήθειας γιατί το σύνολο είναι άπειρο. Παρατηρούµε όµως ότι για να είναι ικανοποιήσιµος κάθε τύπος του συνόλου αυτού, θα πρέπει (για φυσικό αριθµό i) κάθε µεταβλητή pi να έχει διαφορετική τιµή αλήθειας από την µεταβλητή p i+. Επιπλέον κάθε τύπος του συνόλου { 3 p 0 p, p p2, p2 p, Κ } ικανοποιείται από µία αποτίµηση σ αν και µόνο αν () η σ δίνει σε όλες τις µεταβλητές p 2i την ίδια τιµή αλήθειας και (2) η σ δίνει σε όλες τις µεταβλητές p 2i+ την ίδια τιµή αλήθειας, που είναι διαφορετική από την τιµή αλήθειας των µεταβλητών p 2i. Υπάρχουν δύο αποτιµήσεις που ικανοποιούν τις παραπάνω δύο συνθήκες και εποµένως το σύνολο τύπων { p 0 p, p p, p 2 2 p 3, Κ }) είναι ικανοποιήσιµο. Ερώτηµα 4. ίνονται ο προτασιακοί τύποι ( p p2 ) ( ( p3 p2 ) p) ( p p p2 ) Να βρεθούν ταυτολογικά ισοδύναµοι προτασιακοί τύποι σε Κανονική ιαζευκτική Μορφή (Κ Μ) α) µε χρήση πίνακα αλήθειας β) µε εφαρµογή των νόµων της σελίδας 3 του βιβλίου. 2 Απάντηση Ερωτήµατος 4 α) Ονοµάζουµε Κανονική ιαζευκτική Μορφή (Κ Μ) ενός τύπου φ κάθε τύπο φ, ταυτολογικά ισοδύναµο µε τον φ, και ο οποίος είναι σε κανονική διαζευκτική µορφή. Ενας τρόπος να βρεθεί µία Κ Μ ενός τύπου φ προκύπτει από τον πίνακα αληθείας για τον φ. Η κατασκευή της Κ Μ γίνεται ως εξής: (α) από κάθε 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

10 σειρά του πίνακα αλήθειας όπου ο φ έχει την τιµή αλήθειας Α, δηλ. από κάθε αποτίµηση σ j (για τις προτασιακές µεταβλητές p, p 2,, p n του φ) που ικανοποιεί τον φ, δηµιουργούµε τον τύπο φ j = q q 2 q n όπου για i=,,n, q i =p i αν σ j (p i )= Α και q i = p i αν σ j (p i )= Ψ, και (β) δηµιουργούµε τον τύπο φ φ j φ k, όπου k είναι ο αριθµός των αποτιµήσεων που ικανοποιούν τον φ. Από την παραπάνω κατασκευή, προκύπτει ότι ο τύπος φ φ j φ k είναι µία Κ Μ του τύπου φ, γιατί είναι σε κανονική διαζευκτική µορφή και είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον φ, δηλαδή για κάθε αποτίµηση σ ισχύει ότι σ(φ)=α αν και µόνο αν σ(φ φ j φ k )=Α. Παρατηρούµε ότι ο πρώτος τύπος δηλαδή ο τύπος ( p p2 ) ( ( p3 p2 ) p) είναι ο τύπος του ερωτήµατος 2 γ) του οποίου έχουµε ήδη κατασκευάσει τον πίνακα αλήθειας (τον οποίον ξαναγράφουµε εδώ για ευκολία): p p 2 p 3 p p 2 p 3 p 2 (p 3 p 2 ) (p 3 p 2 ) p φ Α Α Α Α Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Α Α Ψ Α Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Εποµένως µία Κ Μ του φ είναι ο τύπος (p p 2 p 3 ) (p p 2 p 3 ) (p p 2 p 3 ) (p p 2 p 3 ) ( p p 2 p 3 ) ( p p 2 p 3 ). Κατασκευάζουµε τώρα τον πίνακα αλήθειας του δεύτερου τύπου ( p p p2 ) 2 p p 2 p p 2 (p p 2 ) p 2 Α Α Α Α Α Ψ Ψ Α 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

11 Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Εποµένως µία Κ Μ του φ= ( p p2 ) p2 είναι ο τύπος (p p 2 ) (p p 2 ) ( p p 2 ). β) Μία Κ Μ του τύπου (p p 2 ) ( (p 3 p 2 ) p ) προκύπτει από την διαδοχική εφαρµογή νόµων της σελίδας 3 του βιβλίου. Συγκεκριµένα (p p 2 ) ( (p 3 p 2 ) p ) (p p 2 ) ( (p 3 p 2 ) p ) (νόµος αντικατάστασης συνεπαγωγής) ( p p 2 ) ( (p 3 p 2 ) p ) (νόµος de Morgan) ( p p 2 ) ( (p 3 p 2 ) p ) (νόµος διπλής άρνησης) ( p p 2 ) ( (p 3 p 2 ) p ) (νόµος αντικατάστασης συνεπαγωγής) ( p p 2 ) ((p 3 p 2 ) p ) (νόµος διπλής άρνησης) ( p p 2 ) (p 3 p 2 ) p (νόµος προσεταιριστικότητας) Είναι εύκολο να δούµε ότι αυτή η Κ Μ είναι ισοδύναµη µε την πρώτη Κ Μ που βρήκαµε παραπάνω, δηλ. µε τον τύπο (p p 2 p 3 ) (p p 2 p 3 ) (p p 2 p 3 ) (p p 2 p 3 ) ( p p 2 p 3 ) ( p p 2 p 3 ). Μία Κ Μ του δεύτερου τύπου δηλαδή του (p p 2 ) p 2 προκύπτει από την διαδοχική εφαρµογή νόµων της σελίδας 3 του βιβλίου. Συγκεκριµένα (p p 2 ) p 2 ((p p 2 ) p 2 ) ( p 2 (p p 2 ) ) (νόµος αντικατάστασης ισοδυναµίας) ( (p p 2 ) p 2 ) ( p 2 (p p 2 ) ) (νόµος αντικατάστασης συνεπαγωγής) ( (p p 2 ) p 2 ) ( p 2 (p p 2 ) ) (νόµος αντικατάστασης συνεπαγωγής) 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

12 ( ( (p p 2 ) p 2 ) p 2 ) ( ( (p p 2 ) p 2 ) (p p 2 ) ) (νόµος επιµεριστικότητας) ( (p p 2 ) p 2 ) (p 2 p 2 ) ( (p p 2 ) (p p 2 )) (p 2 (p p 2 )) (νόµος επιµεριστικότητας) ( (p p 2 ) ( p 2 ) ) Ψ Ψ ( p 2 (p p 2 ) ) (οι τύποι (p 2 p 2 ) και ( (p p 2 ) (p p 2 ) ) είναι αντιφάσεις της µορφής (χ χ) και γι αυτό τους συµβολίζουµε µε Ψ δηλ. ψευδές). ( (p p 2 ) ( p 2 ) ) Ψ ( p 2 (p p 2 ) ) (δεύτερος νόµος απορρόφησης σελ. 67 για την περίπτωση όπου φ=ψ είναι αντίφαση*) ( (p p 2 ) p 2 ) (p 2 (p p 2 )) (δεύτερος νόµος απορρόφησης σελ. 67 για την περίπτωση όπου φ είναι αντίφαση και ψ φ. Ο νόµος αυτός µπορεί να εφαρµοστεί γιατί όταν το φ είναι αντίφαση τότε, για κάθε ψ, ισχύει φ = ψ.) (p p 2 p 2 ) (p 2 ( p p 2 )) (νόµος αντικατάστασης συνεπαγωγής) (p p 2 p 2 ) (p 2 p ) (p 2 p 2 ) (νόµος επιµεριστικότητας) (p p 2 ) (p 2 p ) (p 2 p 2 ) (πρώτος νόµος απορρόφησης σελ. 67 για την περίπτωση όπου φ=ψ) (p p 2 ) (p 2 p ) p 2 (πρώτος νόµος απορρόφησης σελ. 67 για την περίπτωση όπου φ=ψ) Είναι εύκολο να δούµε ότι αυτή η Κ Μ είναι ισοδύναµη µε την Κ Μ που βρήκαµε παραπάνω, δηλ. µε τον τύπο (p p 2 ) (p p 2 ) ( p p 2 ). Ερώτηµα 5. α) Να δείξετε ότι { p p2, p2 p3} = p p3 β) Εξετάστε αν κάποιος από τους παρακάτω προτασιακούς τύπους συνεπάγεται ταυτολογικά τον άλλον p q και p q Εάν τα σύµβολα και σηµαίνουν «συνεπαγωγή» και «ισοδυναµία» αντίστοιχα ερµηνεύστε το αποτέλεσµα. γ) Εξετάστε αν { p p, p p } = p 2 2 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

13 Απάντηση Ερωτήµατος 5 Η µέθοδος που χρησιµοποιεί τον πίνακα αλήθειας είναι η εξής. Αν φ, φ 2 και φ είναι τρείς τύποι για τους οποίους θέλουµε να ελέγξουµε αν το σύνολο τύπων {φ, φ 2 } συνεπάγεται ταυτολογικά τον φ, τότε κατά την κατασκευή κάθε σειράς του πίνακα αλήθειας των φ, φ 2 και φ εξετάζουµε αν οι φ, φ 2 είναι αληθείς και ο φ ψευδής. εν υπάρχει τέτοια σειρά (δηλαδή αποτίµηση) αν και µόνο αν το σύνολο τύπων {φ, φ 2 } συνεπάγεται ταυτολογικά τον φ. α) Ο πίνακας αλήθειας είναι ο παρακάτω για τους τύπους p p 2, p 2 p 3, p p 3. Σύµφωνα µε τα παραπάνω µπορούµε να συµπεράνουµε ότι το σύνολο τύπων { p p 2, p 2 p 3 } συνεπάγεται ταυτολογικά τον τύπο p p 3. Πράγµατι στις σειρές του πίνακα αλήθειας όπου οι τύποι p p 2, p 2 p 3 παίρνουν την τιµή αλήθειας Α (δηλαδή στις σειρές, 5, 7 και 8 ) ισχύει οτι ο τύπος p p 3 παίρνει επίσης την τιµή Α. Πράγµα που ισοδυναµεί µε το ότι στον πίνακα δεν υπάρχει σειρά όπου οι τύποι p p 2, p 2 p 3 παίρνουν την τιµή αλήθειας Α και ο τύπος p p 3 παίρνει την τιµή αλήθειας Ψ. p p 2 p 3 p p 2 p 2 p 3 p p 3 Α Α Α Α A Α Α Α Ψ A Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α A Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α A A Α Ψ Ψ Ψ Α A Α ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Περί γενίκευσης του παραπάνω προβλήµατος «{p p 2, p 2 p 3 } = p p 3?» στο πρόβληµα «{φ ψ, ψ θ} = φ θ?» (φ, ψ, θ αυθαιρετοι τύποι) 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

14 Μπορούµε, όπως και παραπάνω, να χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα αλήθειας βάζοντας όπου p, φ, όπου p 2, ψ και όπου p 3, θ. Εναλλακτικά (και πιο σύντοµα) µπορούµε να ακολουθήσουµε και πάλι το σκεπτικό των παραδειγµάτων της σελ. 30 του βιβλίου (βλ. και ερώτηµα 2 της εργασίας). Ετσι, για να δείξουµε ότι {φ ψ, ψ θ} = φ θ, αρκεί να πούµε τα εξής: έστω υ αποτίµηση τέτοια ώστε υ(φ ψ) = = υ(ψ θ). Αν υ(φ θ)=0, τότε υ(φ)= και υ(θ)=0. Αλλά τότε υ(ψ)= και συνεπώς υ(θ)=, άτοπο. β) Ο τύπος p q είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο (p q) (q p). Οπότε προφανώς (όπως προκύπτει και από τον πίνακα αλήθειας της σύζευξης) κάθε αποτίµηση που αποδίδει την τιµή αλήθειας Α στον p q, αποδίδει την ίδια τιµή Α και στον (p q), δηλαδή ο p q συνεπάγεται ταυτολογικά τον p q. Με άλλα λόγια αν δύο προτάσεις είναι ισοδύναµες τότε από την µία προκύπτει αναγκαστικά η άλλη. Αυτό σηµαίνει ότι η ισοδυναµία είναι πιο ισχυρή από την συνεπαγωγή. γ) Για να εξετάσουµε αν το σύνολο τύπων { p p 2, p 2 p } συνεπάγεται ταυτολογικά τον τύπο p µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον πίνακα αλήθειας των τριών αυτών τύπων όπως το δείξαµε στην αρχή της απάντησης για το α). Θα το κάνουµε όµως λίγο διαφορετικά, χρησιµοποιώντας το θεώρηµα 2.5, σελ. 27 του βιβλίου, χρησιµοποιώντας δηλαδή το γεγονός ότι ένα σύνολο τύπων Τ συνεπάγεται ταυτολογικά εναν τύπο φ αν και µόνο αν δεν υπάρχει αποτίµηση που να ικανοποιεί ταυτόχρονα τους τύπους του Τ και τον τύπο φ. Αυτήν την ιδέα, για πεπερασµένο σύνολο τύπων Τ, την έχετε ξανασυναντήσει (στην αρχή της απάντησης του ερωτήµατος) στην αρχική µας µέθοδο µε τον πίνακα αλήθειας, όταν λέγαµε ότι για να ισχύει ότι Τ =φ, θα πρέπει να µην υπάρχουν σειρές στον πίνακα αλήθειας (για τους τύπους του Τ και τον φ) όπου η τιµή αλήθειας να είναι Α για τους τύπους του Τ και Ψ για τον φ. [Κάθε τέτοια σειρά, όταν υπάρχει, αντιστοιχεί σε αποτίµηση που ικανοποιεί ταυτόχρονα τους τύπους του Τ και τον τύπο φ.] Το σύνολο Τ { φ} είναι στην περίπτωσή µας το σύνολο {p p 2, p 2 p, p }. Ας κοιτάξουµε αν υπάρχει αποτίµηση σ που να ικανοποιεί και τους τρείς αυτούς τύπους. Για να ικανοποιείται ο τρίτος τύπος θα πρέπει σ(p )=Ψ. Τότε είναι εύκολο να δεί κανείς ότι για οποιαδήποτε τιµή της σ(p 2 ) ικανοποιούνται 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

15 και ο πρώτος και ο δεύτερος τύπος. είξαµε λοιπόν ότι το Τ { φ} = {p p 2, p 2 p, p } είναι ικανοποιήσιµο. Εποµένως το Τ= {p p 2, p 2 p } δεν συνεπάγεται ταυτολογικά το φ=p. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Περί γενίκευσης του παραπάνω προβλήµατος «{p p 2, p 2 p } = p?» στο πρόβληµα «{φ ψ, ψ φ} = φ?» Αν το ζητούµενο ήταν να εξετάσουµε αν ισχύει {φ ψ, ψ φ} = φ για αυθαίρετους τύπους φ,ψ τότε θα έπρεπε να ξεχωρίσουµε την περίπτωση που η φ είναι ταυτολογία οπότε προφανώς ισχύει ότι {φ ψ, ψ φ} = φ. Οταν φ είναι ταυτολογία, οι τύποι φ ψ και ψ φ δεν ικανοποιούνται και οι δυό ταυτόχρονα (γιατί κάθε αποτίµηση που ικανοποιεί την ψ, ικανοποιεί την φ ψ αλλά όχι την ψ φ και κάθε αποτίµηση δεν ικανοποιεί την ψ, ικανοποιεί την ψ φ αλλά όχι την φ ψ). Αφού λοιπόν καµιά αποτίµηση δεν ικανοποιεί τους φ ψ και ψ φ, βλέπουµε ότι ισχύει η πρόταση «κάθε αποτίµηση που ικανοποιεί τους φ ψ και ψ φ, ικανοποιεί και την φ». Αν φ δεν είναι ταυτολογία, αυτό σηµαίνει πως υπάρχει µία αποτίµηση που δίνει την τιµή 0 στην φ και εργαζόµαστε ακριβώς όπως όταν εξετάζαµε αν ισχύει {p p 2, p 2 p } = p. Ετσι και τώρα βρίσκουµε ότι δεν ισχύει ότι {φ ψ, ψ φ} = φ γιατί το σύνολο {φ ψ, ψ φ, φ} είναι ικανοποιήσιµο. Θυµίζουµε ότι κάθε αποτίµηση ορίζεται πάνω στο σύνολο των προτασιακών µεταβλητών και, συµφωνα µε το θεωρηµα 2.4, επεκτείνεται σε µία µοναδική συνάρτηση ορισµένη στο σύνολο των τύπων. Την συνάρτηση αυτή του θεωρήµατος 2.4 την λέµε επίσης αποτίµηση. Ετσι λέµε λοιπόν ότι «µια αποτίµηση (δεν) ικανοποιει έναν τύπο» αντί να πούµε ότι «η µοναδική επέκταση, όπως ορίζεται από το θεωρηµα 2.4, µιας αποτίµησης (δεν) ικανοποιεί έναν τύπο.» Ερώτηµα 6. Να δείξετε ότι α) το σύνολο {, } είναι πλήρες. β) το σύνολο { } δεν είναι πλήρες 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

16 Απάντηση Ερωτήµατος 6 α) Το σύνολο {, } είναι πλήρες δηλαδή µπορούµε να εκφράσουµε κάθε προτασιακό τύπο µόνο µε τους συνδέσµους και. Συγκεκριµένα χρειάζεται να δείξουµε ότι ισχύει η παρακάτω πρόταση: Για κάθε τύπο φ µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν τύπο φ* που είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον φ και στον οποίον εµφανίζονται µόνο οι σύνδεσµοι και. Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων (χρησιµοποιώντας τους νόµους της σελ. 3 του βιβλίου). Βάση: φ = p, προτασιακή µεταβλητή Η πρόταση ισχύει τετριµµένα δηλαδή ισχύει χωρίς να έχουµε τίποτα να δείξουµε αφού στον φ δεν εµφανίζεται κανένας σύνδεσµος και άρα φ*=p. Επαγωγικό Βήµα Θέλουµε να δείξουµε ότι η πρόταση ισχύει για τύπους φ της µορφής β γ, β γ, β γ, β γ, β, όπου β και γ είναι τύποι για τους οποίους ισχύει η πρόταση από υπόθεση επαγωγής. ηλαδή υποθέτουµε (αυτή είναι η υπόθεση επαγωγής) ότι έχουµε πρώτα µετασχηµατίσει τις β, γ σε λογικά ισοδύναµες β*, γ* µε εµφανιζόµενους συνδέσµους µόνον από το {, }. - Εστω φ= β γ. Από τον νόµο διπλής άρνησης προκύπτει ότι φ β γ και από τον νόµο άρνηση συνεπαγωγής, προκύπτει ότι φ (β γ). Αρα φ*= (β* γ*). - Εστω φ= β γ. Από τον νόµο διπλής άρνησης προκύπτει ότι φ β γ και από τον νόµο αντικατάστασης συνεπαγωγής προκύπτει τελικά ότι φ β γ. 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

17 Αρα φ*= β* γ*. - Εστω φ= β γ. Από τον νόµο αντικατάστασης ισοδυναµίας, προκύπτει ότι φ (β γ) (γ β) και από τους νόµους διπλής άρνησης και άρνησης συνεπαγωγής προκύπτει ότι φ ( (β γ) (γ β) ). Αρα φ*= ( (β* γ*) (γ* β*) ). Η απόδειξη για φ= β γ και φ= β είναι άµεση. Πράγµατι φ*= β* γ* και φ= β* β) Έστω φ ένας προτασιακός τύπος µε µία µόνο προτασιακή µεταβλητή, στον οποίον χρησιµοποιείται (όσες φορές θέλουµε) µόνον ο σύνδεσµος. Παρατηρούµε ότι ο τύπος είναι πάντα αληθής όταν η µεταβλητή είναι αληθής (αυτή η παρατήρηση αποτελεί την πρόταση Α που αποδεικνύουµε παρακάτω). Όµως ο τύπος p είναι ψευδής όταν η µεταβλητή p είναι αληθής. ηλαδή δεν υπάρχει τύπος που να είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο p και ο οποίος να περιέχει µόνον τον σύνδεσµο. Ο σύνδεσµος δεν εκφράζεται µέσω του συνδέσµου, συνεπώς το { } δεν είναι πλήρες. Η πρόταση Α «Έστω φ ένας προτασιακός τύπος µε µία µοναδική µεταβλητή p, στον οποίον χρησιµοποιείται (όσες φορές θέλουµε) µόνον ο σύνδεσµος. Αν η µεταβλητή p είναι αληθής τότε ο τύπος φ είναι αληθής.» αποδεικνύεται µε επαγωγή στην πολυπλοκότητα του φ. Η απόδειξη είναι σύντοµη και δίνεται παρακάτω. (Απόδειξη µε επαγωγή στην πολυπλοκότητα του φ) Βάση φ= p, p προτασιακή µεταβλητή. Αν p αληθής τότε προφανώς φ αληθής (η πρόταση ισχύει τετριµµένα). 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

18 Επαγωγικό βήµα Το επαγωγικό βήµα είναι το εξής: αν αληθεύει η πρόταση για τύπους ψ, θ (στους ψ και θ εµφανίζεται µόνο ο σύνδεσµος και µια µόνο προτασιακή µεταβλητή, η ίδια στον ψ και θ ) τότε αληθεύει για φ = ψ θ. Εστω λοιπόν ο τύπος φ = ψ θ στον οποίον εµφανίζεται µόνο ο σύνδεσµος και εµφανίζεται επίσης µόνο µία προτασιακή µεταβλητή p. Αν η µεταβλητή p είναι αληθής τότε, από υπόθεση επαγωγής, οι τύποι ψ και θ είναι αληθείς. Και εποµένως, αφού φ= ψ θ, προκύπτει από τον πίνακα αλήθειας ότι η φ είναι αληθής. Τέλος της απόδειξης. ΣΗΜΕΙΩΣΗ ίνουµε τώρα µία ισοδύναµη µορφή της παραπάνω απόδειξης χρησιµοποιώντας ισχυρή επαγωγή στον αριθµό n των εµφανίσεων του συνδέσµου. (Απόδειξη µε ισχυρή επαγωγή στον αριθµό n των εµφανίσεων του συνδέσµου ) Βάση (n=0) φ= p. Αν p αληθής τότε προφανώς φ αληθής (η πρόταση ισχύει τετριµµένα) Επαγωγικό βήµα Θα χρησιµοποιήσουµε ισχυρή επαγωγή στον αριθµό n των εµφανίσεων του συνδέσµου, δηλαδή το επαγωγικό βήµα είναι το εξής: αν αληθεύει η πρόταση για τύπους µε το πολύ n- εµφανίσεις του τότε η πρόταση αληθεύει και για τύπους µε n εµφανίσεις του. Εστω λοιπόν φ τύπος όπου εµφανίζεται µόνο η προτασιακή µεταβλητή p (που υποθέτουµε ότι είναι αληθής) και όπου υπάρχουν n εµφανίσεις του συνδέσµου. ηλαδή φ= ψ θ µε άθροισµα των εµφανίσεων του στους ψ,θ ίσον µε n. Αυτό σηµαίνει ότι σε καθένα από τους ψ, θ υπάρχουν το πολύ n- εµφανίσεις του. Και άρα, από υπόθεση επαγωγής, η ψ είναι αληθής και η θ είναι αληθής (εφόσον υποθέσαµε ότι p αληθής). Και εποµένως, αφού φ= ψ θ, προκύπτει από τον πίνακα αλήθειας ότι η φ είναι αληθής. Τέλος της απόδειξης. 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

19 Παρατηρούµε ότι η απλούστερη µορφή τύπου για τον οποίον µιλάει η πρόταση είναι p p, πού σηµαίνει ότι κατ αρχήν θα µπορούσαµε να αρχίσουµε µε βάση επαγωγής το n=, δηλαδή φ= p p για το οποίο η πρόταση ισχύει (Αν p αληθής τότε από τον πίνακα αλήθειας προκύπτει ότι φ αληθής). Όµως είναι απαραίτητο να αρχίσουµε την επαγωγή από την (συνηθισµένη) βάση (n=0) αλλιώς δεν θα αποδεικνύαµε (ενώ θα έπρεπε) την πρόταση για τους τύπους της µορφής φ= ψ θ όπου (ψ=p και θ p) ή (ψ p και θ=p), p προτασιακή µεταβλητή. Ερώτηµα 7. Έστω G T ( Γ ) Τ( ) η συνάρτηση που ορίζεται επαγωγικά στο σύνολο : 0 Γ0 των προτασιακών τύπων ως εξής G( p) = p p και G ( φ) = G( φ) G( φ ψ ) = ( G( φ)) ( G( ψ )) για οποιονδήποτε διµελή σύνδεσµο m το πλήθος των εµφανίσεων προτασιακών µεταβλητών στον φ (µαζί µε φ τις επαναλήψεις) α) Αν φ = p p ) ( ( p p ) ), να υπολογιστεί ο προτασιακός ( p τύπος G (φ ) και ο αριθµός m φ. β) Να δείξετε µε επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων ότι ο προτασιακός τύπος G(φ ) και ισχύει m G 2 δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης ( φ ) = m φ (δηλ στον ) προτασιακές µεταβλητές από όσες στον φ ) G (φ εµφανίζονται διπλάσιες 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

20 Απάντηση Ερωτήµατος 7 α) G [ φ ] = G [ (p p 2 ) ( (p 3 p 2 ) p ) ] = G [ (p p 2 ) ] G [ ( (p 3 p 2 ) p ) ] = ( G [ p ] G [ p 2 ] ) ( G [ (p 3 p 2 ) ] G [ p ] ) = ( G [ p ] G [p 2 ] ) ( G [ (p 3 p 2 ) ] G [ p ] ) = ( G [ p ] G [p 2 ] ) ( (G [ p 3 ] G[ p 2 ] ) G [ p ] ) = ( (p p ) (p 2 p 2 ) ) ( ( (p 3 p 3 ) (p 2 p 2 ) ) (p p ) ) m φ = 5. β). Θα δείξουµε µε επαγωγή στην πολυπλοκότητα του τύπου ότι ο προτασιακός τύπος G [ φ ] δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης. - Βάση της επαγωγής: Η φ είναι προτασιακή µεταβλητή (έστω p). Τότε G [ φ ] = G [ p ] = p p άρα G [ φ ] δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης. - Επαγωγικό βήµα: Αν ο τύπος φ έχει µία από τις παρακάτω µορφές : φ= χ ή φ= χ*ψ όπου * είναι οποιοσδήποτε διµελής σύνδεσµος και όπου χ και ψ είναι προτασιακοί τύποι, για τους οποίους ισχύει (από υπόθεση επαγωγής ) ότι ούτε το G [ χ ] αλλά ούτε και το G [ ψ ] περιέχουν σύµβολα άρνησης, πρέπει να δείξουµε ότι και το G [ φ ] δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης. Αν φ= χ, τότε το G [ φ ] δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης γιατί G [ φ ] = G [ χ ] = G [χ ] και το G [ χ ] (από υπόθεση επαγωγής) δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης. Αν φ= χ * ψ όπου * είναι οποιοσδήποτε διµελής σύνδεσµος, τότε το G [ φ ] δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης γιατί G [ φ ] = G [χ * ψ] = G [χ] * G [ψ] όπου (από υπόθεση επαγωγής) ούτε το G [ χ ] αλλά ούτε και το G [ ψ ] περιέχουν σύµβολα άρνησης, και προφανώς το * δεν είναι ο σύνδεσµος της άρνησης. 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

21 β) 2. Θα δείξουµε µε επαγωγή στην πολυπλοκότητα του τύπου ότι m G[ φ ] = 2.m φ όπου m φ το πλήθος των εµφανίσεων προτασιακών µεταβλητών στον φ (µαζί µε τις επαναλήψεις). - Βάση της επαγωγής: Η φ είναι προτασιακή µεταβλητή (έστω p). Τότε m φ = και αφού G [ p ] = p p, m G[ φ ] = 2. Εποµένως ισχύει ότι m G[ φ ] = 2.m φ. - Επαγωγικό βήµα: Αν ο τύπος φ έχει µία από τις παρακάτω µορφές : φ= χ ή φ= χ*ψ όπου * είναι οποιοσδήποτε διµελής σύνδεσµος και όπου χ και ψ είναι προτασιακοί τύποι, για τους οποίους ισχύει (από υπόθεση επαγωγής ) ότι m G[ χ ] = 2.m χ και m G[ ψ ] = 2.m ψ πρέπει να δείξουµε ότι m G[ φ ] = 2.m φ. Αν φ= χ, τότε m φ = m χ (επειδή οι χ και φ= χ έχουν τον ίδιον αριθµό µεταβλητών), m G[ φ ] = m G[χ] (επειδή G [ φ ] = G [χ ] ) και m G[χ] = 2.m χ (από υπόθεση επαγωγής). Αρα m G[ φ ] = 2.m φ. Αν φ= χ * ψ όπου * είναι οποιοσδήποτε διµελής σύνδεσµος, τότε m φ =m χ + m ψ, m G(φ) = m G(χ) + m G(ψ) (επειδή G[ φ ]=G [χ] * G [ψ] ) και m G[ χ ] = 2.m χ και m G[ ψ ] = 2.m ψ (από υπόθεση επαγωγής). Αρα m G[ φ ] = m G(χ) + m G(ψ) = 2.m χ + 2.m ψ = 2.(m χ + m ψ ) =2.m φ. Ερώτηµα 8. α) Με βάση τα αξιωµατικά σχήµατα ΑΣ-ΑΣ2-ΑΣ3 (σελ 44 του βιβλίου) πείτε αν προκύπτει άµεσα ως θεώρηµα καθένα από τα παρακάτω. ικαιολογήστε την απάντησή σας. φ φ από το ΑΣ χ ( χ χ) από το ΑΣ φ ( ψ χ) από το ΑΣ ( φ ψ ) (( φ ψ ) φ) από το ΑΣ3 β) Πείτε, για καθεµία από τις 4 παρακάτω δηλώσεις, αν ισχύει αποκλειστικά και µόνο µε βάση το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής (σελ του βιβλίου). ικαιολογήστε την απάντησή σας. 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

22 Αν T { φ} ψ τότε T { ψ } φ Αν T { φ } ( ψ ) τότε T { ψ } φ Αν φ ψ τότε ψ φ Αν φ ψ τότε ψ ( φ) Απάντηση Ερωτήµατος 8 Ενας τύπος φ προκύπτει άµεσα - σαν τυπικό θεώρηµα - από το αξιωµατικό σχήµα ΑΣ φ (ψ φ ) ή από το αξιωµατικό σχήµα ΑΣ3 ( φ ψ ) ( ( φ ψ ) φ ) αν και µόνο αν ο φ δηµιουργείται αφού αντικαταστήσουµε τα φ και ψ µε προτασιακούς τύπους. (Μπορεί ο φ να αντικατασταθεί από τον εαυτόν του και το ίδιο ισχύει για τον ψ, και σε αυτήν την περίπτωση βλέπουµε ότι προκύπτει σαν τυπικό θεώρηµα το ίδιο το αξιωµατικό σχήµα.) Το φ φ δεν προκύπτει άµεσα από το ΑΣ καθώς κατ αρχήν δεν είναι δυνατόν να προκύψει το φ από τον υποτύπο (ψ φ ) του ΑΣ, µετά από αντικατάσταση του ψ και του φ (αυτό που προκύπτει είναι αναγκαστικά ένας τύπος της µορφής β γ, όπου β και γ τύποι). Το χ (χ χ) προκύπτει άµεσα από το φ (ψ φ ) (δηλ. στο ΑΣ) το φ µε χ και το ψ µε χ επίσης. ΑΣ αντικαθιστώντας στο Το φ (ψ χ) δεν προκύπτει άµεσα από το ΑΣ καθώς δεν είναι δυνατόν, στο φ (ψ φ ) (δηλ. στο ΑΣ), να αντικατασταθεί το φ ταυτόχρονα µε το φ και µε το χ. Το (φ ψ) ( (φ ψ) φ) δεν προκύπτει άµεσα από το ΑΣ3 καθώς δεν είναι δυνατόν, στο ( φ ψ ) ( ( φ ψ ) φ ) (δηλ. στο ΑΣ3), να αντικατασταθεί το φ µε κάτι ώστε ο τύπος φ να γίνει φ. (Θα µπορούσε να αντικατασταθεί το φ µε φ ώστε ο τύπος φ να γίνει φ, αλλά οι τύποι φ και φ είναι διαφορετικοί παρ ότι ξέρουµε ότι είναι ταυτολογικά ισοδύναµοι.) 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

23 β) Το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής (σελ του βιβλίου) λέει ότι για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ και για τυχόντες προτασιακούς τύπους φ,ψ, ισχύει η δήλωση «Αν Τ {φ } - ψ τότε Τ {ψ } - φ». Η δεύτερη δήλωση και η τέταρτη δήλωση προκύπτουν άµεσα από το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής, η δεύτερη δήλωση αντικαθιστώντας τον τύπο ψ της εκφώνησης του Θεωρήµατος µε ψ και η τέταρτη δήλωση αντικαθιστώντας τον τύπο φ (της εκφώνησης του Θεωρήµατος) µε φ. Αυτό σηµαίνει πως αρκεί να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής για να αποδείξουµε ότι αυτές οι δύο δηλώσεις ισχύουν. Η πρώτη δήλωση και η τρίτη δήλωση δεν προκύπτουν άµεσα από το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής, µε αντικατάσταση κάποιου ή κάποιων τύπων της εκφώνησης του Θεωρήµατος. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η πρώτη δήλωση και η τρίτη δήλωση ισχύουν. Για να τις αποδείξουµε χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής, αλλά όχι µόνο το θεώρηµα αυτό. Η αναλυτική εξήγηση δίνεται στις επόµενες παραγράφους. Η πρώτη δήλωση «Αν T { φ} ψ τότε T { ψ } φ» µπορεί να αποδειχτεί χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής αλλά αυτό δεν αρκεί όπως θα εξηγήσουµε αµέσως τώρα. Πράγµατι, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής, το συµπέρασµα T { ψ } φ της πρώτης δήλωσης προκύπτει από την υπόθεση T { φ } ( ψ ) (βλ. δεύτερη δήλωση του ερωτήµατος 8). Για να αποδείξουµε λοιπόν την πρώτη δήλωση χρειάζεται επιπλέον να δείξουµε ότι αν T { φ} ψ τότε T { φ } ( ψ ) και γι αυτό αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει στο αξιωµατικό σύστηµα ΠΛ (ορισµένο στην σελ. 44 του βιβλίου) µία τυπική απόδειξη του ψ από το ψ. Μία τέτοια απόδειξη υπάρχει πράγµατι (προσπαθήστε να την βρείτε, δείτε και την άσκηση 2. σελ. 68 του βιβλίου). Η τρίτη δήλωση «Αν φ ψ τότε ψ φ» µπορεί να αποδειχτεί χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής αλλά αυτό δεν αρκεί όπως θα εξηγήσουµε αµέσως τώρα. Πράγµατι αν φ ψ τότε προκύπτει, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής, ότι ψ ( φ) (βλ. τέταρτη δήλωση του ερωτήµατος 8), προκύπτει δηλαδή ότι υπάρχει στο αξιωµατικό 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

24 σύστηµα ΠΛ (ορισµένο στην σελ. 44 του βιβλίου) µία τυπική απόδειξη του φ από το ψ. Για να προκύψει όµως αυτό που λέει η δήλωση, δηλαδή ότι ψ φ, χρειάζεται κάτι επιπλέον. Το επιπλέον αυτό που θα χρειαστούµε είναι ότι υπάρχει τυπική απόδειξη του φ από το φ (η οποία δίνεται στο Παράδειγµα 2.5, σελ. 48 του βιβλίου). Παραθέτοντας αυτές τις δύο τυπικές αποδείξεις την µία µετά την άλλη έχουµε µία τυπική απόδειξη του φ από το ψ, δηλαδή δείχνουµε ότι ισχύει το ζητούµενο ψ φ. Ερώτηµα 9. Να δείξετε µε τυπικές αποδείξεις ότι α) ( φ φ) φ β) { φ ( χ ψ ), φ χ} φ ψ Επίσης, πως µπορείτε να συµπεράνετε το α) αν δοθεί ότι φ φ = φ ; Απάντηση Ερωτήµατος 9 α) Θέλουµε να δείξουµε ότι το ( φ φ) φ είναι τυπικό θεώρηµα του αξιωµατικού συστήµατος ΠΛ που ορίζεται στην σελίδα 44 του βιβλίου. ηλαδή πρέπει να δείξουµε ότι το ( φ φ) φ προκύπτει χρησιµοποιώντας τα αξιωµατικά σχήµατα ΑΣ, ΑΣ2 και ΑΣ3 του ΠΛ και τον αποδεικτικό κανόνα Modus Ponens. Από την µορφή που έχει το ( φ φ) φ βλέπουµε πώς δεν µπορεί να προκύψει σε ένα βήµα µόνο, χρησιµοποιώντας ένα από τα αξιωµατικά σχήµατα. Η πολυπλοκότητά του συγκρίνεται µόνο µε την πολυπλοκότητα του ΑΣ (φ ψ) φ. Είναι και τα δυό της µορφής (α β) γ αλλά στο ΑΣ πρέπει το α να είναι το ίδιο µε το γ, πράγµα που δεν ισχύει στο ( φ φ) φ, εποµένως δεν µπορεί να προκύψει το ( φ φ) φ από το ΑΣ σε ένα βήµα. Αρα το ( φ φ) φ θα προκύψει αναγκαστικά µέσω Modus Ponens, το οποίο θα εφαρµοστεί σε κατάλληλη «µορφή» του ΑΣ3. Ο λόγος που 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

25 βλέπουµε ότι το Modus Ponens µπορεί να εφαρµοστεί σε κατάλληλη «µορφή» του ΑΣ3 είναι απλός: πράγµατι το ΑΣ3 είναι της µορφής δ ε όπου δ = ( φ ψ) και ε = ( ( φ ψ) φ) και ο τύπος µας ( φ φ) φ δεν είναι άλλος από τον ε όπου αντικαταστήσαµε τον ψ µε φ. Ετσι λοιπόν αν χρησιµοποιήσουµε στην τυπική µας απόδειξη τον ΑΣ3 µε την «µορφή» ( φ φ) ( ( φ φ) φ) τότε, από την µορφή αυτή, θα παραχθεί µε εφαρµογή του Modus Ponens, το ( ( φ φ) φ), µε την προυπόθεση βέβαια ότι έχει παραχθεί σε κάποιο προγενέστερο βήµα η ειδική µορφή ( φ φ) του δ. Αυτό που µας µένει λοιπόν είναι να δώσουµε µία τυπική απόδειξη του ( φ φ). Μία τέτοια απόδειξη προκύπτει από το Παράδειγµα 2.4, σελ. 45 του βιβλίου (όπου δίδεται µία τυπική απόδειξη του φ φ), αρκεί να αντικαταστήσουµε παντού στην απόδειξη του βιβλίου το φ µε φ. Ο παραπάνω συλλογισµός έχει σαν στόχο να σας εξηγήσει πώς σκεφτόµαστε προσπαθώντας να φτιάξουµε µία τυπική απόδειξη. Ανακεφαλαιώνοντας δίνουµε τώρα τα βήµατα της απόδειξης που περιγράψαµε. µόλις. [ φ (( φ φ) φ) ] [ ( φ ( φ φ)) ( φ φ) ] ΑΣ2 2. φ (( φ φ) φ) ΑΣ 3. ( φ ( φ φ)) ( φ φ) Modus Ponens από, 2 4. φ ( φ φ) ΑΣ 5. φ φ (από το Παράδειγµα 2.4, σελ. 45) 6. ( φ φ) ( ( φ φ) φ) ΑΣ3 7. ( φ φ) φ Modus Ponens από 5,6 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

26 β) ίνουµε τα βήµατα µίας τυπικής απόδειξης του φ ψ, από το σύνολο Τ = {φ (χ ψ), φ χ }. Στα δύο πρώτα βήµατα γράφουµε τις υποθέσεις µας δηλαδή τα στοιχεία του συνόλου Τ.. φ (χ ψ) 2. φ χ 3. (φ (χ ψ) ) ( ( φ χ ) ( φ ψ) ) ΑΣ2 4. ( φ χ ) ( φ ψ) Modus Ponens από το και 3 5. φ ψ Modus Ponens από το 2 και 4 γ) Εστω ότι µας δίδεται φ φ = φ. Από το Θεώρηµα Πληρότητας Προτασιακού Λογισµού (Θεώρηµα 2.2 σελ. 54 του βιβλίου) προκύπτει ότι φ φ - φ. Και από το Θεώρηµα Απαγωγής (σελ. 46 του βιβλίου) προκύπτει το ζητούµενο, δηλαδή - ( φ φ ) φ. είξαµε δηλαδή ότι είχαµε δείξει και στο α), ότι δηλαδή το ( φ φ ) φ είναι τυπικό θεώρηµα του ΠΛ. Αλλά τώρα το δείξαµε µε διαφορετικό τρόπο χωρίς να κατασκευάσουµε µια τυπική απόδειξή του, αλλά χρησιµοποιώντας δύο θεωρήµατα, το Θεώρηµα Πληρότητας και το Θεώρηµα Απαγωγής και ξεκινώντας από την σηµασιολογική πληροφορία ότι φ φ = φ. Η απόδειξη του α), αντίθετα, γίνεται στα πλαίσια του αξιωµατικού συστήµατος ΠΛ, χωρίς καµία αναφορά σε πληροφορία σηµασιολογικού περιεχοµένου. Ερώτηµα 0. Ένας προτασιακός τύπος φ µοιάζει µε ηλεκτρικό κύκλωµα όπου οι προτασιακές του µεταβλητές είναι είτε κλειστός («περνάει ρεύµα»= αλήθεια) p i είναι διακόπτες. Κάθε διακόπτης µπορεί να 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

27 είτε ανοιχτός («δεν περνάει ρεύµα»=ψεύδος). Έτσι οι προτασιακοί τύποι στοιχειώδη κυκλώµατα p q και p q αναπαριστούν αντίστοιχα τα p q p q α) Ποιοι προτασιακοί τύποι αντιστοιχούν στα κυκλώµατα p q q r p p q q p p Αφού απλοποιήσετε τον δεύτερο προτασιακό τύπο να δείξετε ότι το αντίστοιχο κύκλωµα µπορεί να αντικατασταθεί από έναν µόνο διακόπτη. β) Κατασκευάστε τα κυκλώµατα των προτασιακών τύπων ) ( p q) r, 2) ( p q) ( q p) 5η εργασία, ΠΛΗ 20,

28 Απάντηση Ερωτήµατος 0 α) Στο πρώτο κύκλωµα αντιστοιχεί ο τύπος ( (p q r) q) p. Στο δεύτερο κύκλωµα (δηλαδή στο ροµβοειδές κύκλωµα) αντιστοιχεί ο τύπος ( p p ) (p q p) (q p) (q q p ) (τον οποίον βρίσκουµε έχοντας τέσσερες δυνατές διαδροµές από την µία ακρη του κυκλώµατος στην άλλη). Ο τύπος αυτός είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο (p q ) (q p ) ο οποίος µε την σειρά του είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο q (το τελευταίο προκύπτει εφαρµόζοντας τον νόµο επιµεριστικότητας και τον νόµο απορρόφησης εφόσον ο τύπος (p p) είναι ταυτολογία. Αφού βρήκαµε ότι στο κύκλωµα αντιστοιχεί τύπος που είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον τύπο q, το ροµβοειδές κύκλωµα µπορεί να αντικατασταθεί µε ένα καινούργιο κύκλωµα που αποτελείται από έναν µόνο διακόπτη (για την προτασιακή µεταβλητή q). β) ΣΧΗΜΑ 0β)_2 p q q p ΣΧΗΜΑ0β)_ p q r 5η εργασία, ΠΛΗ 20,