Νέοι πίνακες κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου σε ορθογωνικές πλάκες

Transcript

1 Νέοι πίνακες κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου σε ορθογωνικές πλάκες Τριαντάφυλλος Μακάριος, ρ Πολιτικός Μηχανικός, όκιµος Ερευνητής του Ι.Τ.Σ.Α.Κ. Αβραάµ Πιπερίδης, ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας. Λέξεις κλειδιά: Πλάκες, µέθοδος λωρίδων, Markus, ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η παρούσα εργασία, ασχολείται µε τη σύνταξη νέων πινάκων κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου τετραέρειστων, τριέρειστων και διέρειστων ορθογωνικών πλακών, που προήλθαν από την παραµετρική επεξεργασία 1776 προσοµοιωµάτων ορθογωνικών πλακών. Παρουσιάζει τα αποτελέσµατα εκτεταµένης παραµετρικής ανάλυσης σε κατάλληλους νέους πίνακες που διαθέτουν υψηλή ακρίβεια και είναι απαλλαγµένοι από τις εσφαλµένες παραδοχές που έκανε ο Markus στους οµώνυµους πίνακές του. Οι νέοι πίνακες είναι αρτιότεροι από τους κλασικούς πίνακες Markus διότι αφενός δίδεται η δυνατότητα υπολογισµού των µέγιστων βυθίσεων των πλακών και αφετέρου µπορούν µε τη χρήση αυτών να αντιµετωπιστούν επιτυχώς εκτός από τις τετραέρειστες, και οι τριέρειστες ή οι διέρειστες ορθογωνικές πλάκες, γεγονός που δε συµβαίνει στους πίνακες Markus. Τέλος εξετάσθηκαν τα όρια ισχύος των υπόψη νέων πινάκων σε ακραίες περιπτώσεις συνεχών πλακών και αποδείχτηκε η καταλληλότητα τους στις περισσότερες περιπτώσεις πλακών. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από πολύ παλιά άρχισαν οι ερευνητικές προσπάθειες για τον υπολογισµό της απόκρισης των ορθογωνικών πλακών, στο τρισορθογώνιο σύστηµα αναφοράς Oxyz υπό τη δράση του οµοιόµορφου φορτίου p (x,y) w w w p(x,y) w = = (1) x x y y K Η ακριβής θεωρητική λύση προκύπτει από την επίλυση της γνωστής διτετράγωνης εξίσωσης (1) µε µερικές παραγώγους κατά Kirchhoff, θέτοντας κατάλληλες σταθερές ολοκλήρωσης που να ανταποκρίνονται στις εκάστοτε συνοριακές συνθήκες της πλάκας, όπου w είναι η συνάρτηση ως προς x και y της ελαστικής επιφάνειας των πλακών, δηλ. w = w(x,y), Ε=µέτρο ελαστικότητας, ν=δείκτης Poisson, h =το πάχος της πλάκας και Κ ο δείκτης δυσκαµψίας της πλάκας που ισούται f 3 2 µε K = Eh 12(1 ν ), (Νιτσιώτας-1985, Μακάριος-2000). Χρησιµοποιώντας σειρές Fourier f επιλύεται η εξίσωση (1) και προκύπτει η κλειστή µαθηµατική λύση. Με τον τρόπο αυτό προέκυψαν οι γνωστοί πίνακες Czerny οι οποίοι παρέχουν ακριβή αποτελέσµατα και οι οποίοι συντάχθηκαν για δείκτη Poisson ν=0. Σηµειώνουµε όµως ότι η επίλυση της εξ. (1) είναι δυνατή µόνο στην περίπτωση των µεµονωµένων ορθογωνικών πλακών, ενώ στη γενική περίπτωση των πλακών η ανάλυση µε βάση την εξίσωση (1) είναι ιδιαίτερα δυσχερής έως αδύνατη. Έτσι µε δεδοµένο την εµφάνιση µεγάλης ποικιλίας πλακών που εµφανίζονται στις κατασκευές, η προσφυγή στις προσεγγιστικές µεθόδους ανάλυσης αποτελεί αναγκαιότητα.

2 Οι προσεγγιστικές µέθοδοι ανάλυσης που κινούνται στο πλαίσιο της θεωρίας ελαστικότητας, είναι διαφόρου βαθµού ακριβείας, αναλόγως των παραδοχών της κάθε µίας. Οι σηµαντικότερες των µεθόδων αυτών είναι: α. Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων F.E.M., β. Μέθοδος Λωρίδων (πίνακες Markus-1932), γ. Η θαµιστική µέθοδος Cross σε δύο διευθύνσεις (Siess & Newmark-1950, Brunner-1955), δ. Η µέθοδος των Πεσσοειδών Φορτίσεων (βλ. Beton Kalender, Πενέλης & Συν.-1996), ε. Η προσεγγιστική µέθοδος Pieper-Martens(1966), στ.η µοντελοποίηση της πλάκας µε χρήση εσχάρας δοκών (MacLeod-1990, ουδούµης & Κουµουράς-1996) Σήµερα για οποιαδήποτε περίπτωση πλακών δυνάµεθα εύκολα να καταφύγουµε στη µέθοδο των επιφανειακών πεπερασµένων στοιχείων έχοντας σε κάθε περίπτωση αξιόπιστη λύση. Εν τούτοις υπάρχουν περιπτώσεις που στην πράξη προτιµείται η µέθοδος των λωρίδων (µε χρήση των πινάκων Markus) είτε επειδή αυτή διαθέτη αυξηµένη εποπτεία είτε επειδή δύναται να είναι πάντοτε επίκαιρη για τη δηµιουργία περιβάλλουσας των ακραίων ροπών σε ειδικές περιπτώσεις συνεχών πλακών, είτε τέλος για τις ανάγκες ενός απλού και καθηµερινού υπολογισµού πλακών. Όµως η χρήση των πινάκων Markus είναι προβληµατική, καθότι, αφενός χρησιµοποιήθηκαν από τον Markus µη-δόκιµες παραδοχές και αφετέρου υπάρχουν εγγενείς αδυναµίες, όπως: α. Οι δύο κεντρικές διασταυρούµενες λωρίδες που θεώρησε ο Markus ότι κάµπτονται δήθεν ελεύθερα δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα εξαιτίας της διπλής καµπυλότητας που αναπτύσσεται στην ελαστική επιφάνεια της πλάκας (µε άλλα λόγια αγνοείται η «στρεπτική αντίδραση» των εγκάρσιων λωρίδων). Μόνο από αυτή την παραδοχή σηµειώνονται στους πίνακες Markus αποκλίσεις στις τιµές των ροπών που φτάνουν µέχρι και 64 %. β. Θεωρήθηκε ότι η λειτουργία των τετραέρειστων ορθογωνικών πλακών λαµβάνει χώρα για λόγους πλευρών lmax lmin 1. 66, ενώ όπως αποδείχθηκε από τον Czerny, µη-αµελητέες ροπές αναπτύσσονται για λόγους πλευρών lmax lmin 2. 00, εξαιτίας της διπλής καµπυλότητας της ελαστικής επιφάνειας. γ. Θεωρήθηκε ότι ο λόγος Poisson είναι µηδενικός ενώ για το οπλισµένο σκυρόδεµα είναι ν=0.15. Αν και η παραδοχή του µηδενικού λόγου Poisson (ν=0) είναι συµβατή µε τη λειτουργία του οπλισµένου σκυροδέµατος σε στάδιο ΙΙ (ρηγµατωµένες διατοµές) εντούτοις δεν καλύπτει περιπτώσεις πλακών που λειτουργούν σε στάδιο Ι, όπως αυτή των προεντεταµένων ή µεταλλικών πλακών. Σε κάθε όµως περίπτωση, σήµερα η πλειονότητα των επιστηµόνων δείχνει να θεωρεί ως γενικό κανόνα ότι, κατά την ελαστική ανάλυση είναι ορθολογικό και ρεαλιστικό να λαµβάνονται υπόψη τα πραγµατικά χαρακτηριστικά της κατασκευής ώστε να προκύπτει η ακριβέστερη δυνατή λύση, ενώ οι διάφορες εγγενείς αδυναµίες των µεθόδων ανάλυσης αντιµετωπίζονται συνήθως µε την τοποθέτηση των κατασκευαστικών οπλισµών. Επίσης σηµειώνουµε ότι η παραδοχή περί µηδενικού λόγου Poisson έγινε και από τον Czerny στους οµώνυµους πίνακές του. δ. Για τον υπολογισµό των βυθίσεων της ελαστικής επιφάνειας των πλακών αναγκάζεται ο µηχανικός που χρησιµοποιεί τους πίνακες Markus να καταφύγει καταχρηστικά στις κλασσικές µεθόδους της στατικής των γραµµικών φορέων. ε. Τέλος, δεν έχουν συνταχθεί ανάλογοι πίνακες για τριέρειστες και διέρειστες πλάκες από τον Markus µε αποτέλεσµα να είναι αδύνατη η εφαρµογή της µεθόδου των λωρίδων στις πλάκες αυτές. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η σύνταξη νέων πινάκων κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου σε ορθογωνικές τετραέρειστες, τριέρειστες και διέρειστες πλάκες, χωρίς την είσδυση των παραπάνω αδόκιµων παραδοχών και εγγενών αδυναµιών των πινάκων Markus. Οι νέοι αυτοί πίνακες που παρουσιάζονται στην παρούσα εργασία παρέχουν υψηλή ακρίβεια στα αποτελέσµατα των µέγιστων ροπών και των µέγιστων βυθίσεων, ίση µε αυτή της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (µε επιφανειακά στοιχεία πυκνής διακριτοποίησης) και κατά συνέπεια αντικαθιστούν πλήρως τους πίνακες Markus. Με τους νέους αυτούς πίνακες κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου στις ορθογωνικές πλάκες µπορεί να εφαρµοστεί απρόσκοπτα η εποπτική ελαστική µέθοδος των «λωρίδων», µέσα στο πλαίσιο των προσεγγιστικών ελαστικών µεθόδων ανάλυσης των πλακών.

3 2 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για τη σύνταξη των νέων πινάκων κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου σε ορθογωνικές πλάκες ακολουθήθηκε η κάτωθι µεθοδολογία η οποία είναι τελείως διαφορετική από την διαδικασία που ακολούθησε ο Markus: α. Ανάλυση 1776 πλακών (ώστε να αντιµετωπισθούν όλοι οι λόγοι πλευρών lmax lmin 2.00 για όλους τους τύπους των ορθογωνικών πλακών) µε επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία κελύφους και επαρκώς πυκνή διακριτοποίηση. Από τις αναλύσεις αυτές, στις οποίες χρησιµοποιήθηκε λόγος Poisson ν=0.15, προέκυψαν οι µέγιστες κατά µέγεθος ροπές ανοιγµάτων και στηριγµάτων των πλακών καθώς επίσης και τα µέγιστα ελαστικά βέλη κάµψης, ενώ άπαντα αυτά τα αποτελέσµατα θεωρήθηκαν στη συνέχεια ως ακριβή. β. Για κάθε πλάκα χωριστά εφαρµόσθηκε η µέθοδος των λωρίδων, σχηµατίζοντας πρώτα τα αντίστοιχα στατικά συστήµατα των πλακών τόσο κατά x όσο και κατά y, ενώ στη συνέχεια για το κάθε στατικό σύστηµα ευρέθηκε η συνάρτηση της µέγιστης κατά το µέγεθος εµφανιζόµενης ροπής, συναρτήσει του άγνωστου (αλλά υπό προσδιορισµό) οµοιόµορφου φορτίου p x ή p y που φέρει αντίστοιχα το κάθε εξεταζόµενο στατικό σύστηµα. γ. Η συνάρτηση της κάθε ακραίας εµφανιζόµενης ροπής εξισώθηκε στη συνέχεια µε την αντίστοιχη µέγιστη ροπή που προέκυψε από το 1ο βήµα της υπόψη µεθοδολογίας και κατά συνέπεια η συνάρτηση ροπής εκφυλίστηκε σε εξίσωση µε µοναδικό άγνωστο το εκάστοτε φορτίο p x ή p y που φέρει αντίστοιχα το κάθε εξεταζόµενο στατικό σύστηµα. Σε κάθε περίπτωση ισχύει px + py p, όπου p το ολικό οµοιόµορφο φορτίο της πλάκας. δ. Παρόµοια διαδικασία έγινε και για τον υπολογισµό των βυθίσεων της ελαστικής επιφάνειας των πλακών λαµβάνοντας υπόψη το υλικό, το πάχος και τις διαστάσεις της κάθε πλάκας. Τονίζεται ιδιαίτερα ότι κατά το πρώτο βήµα της µεθοδολογίας εξετάσθηκε πρώτα ο βαθµός πύκνωσης της διακριτοποίησης που πρέπει να χρησιµοποιηθεί. Αυτό έγινε µε χωριστές επαναληπτικές επιλύσεις κατά τις οποίες γινόταν αύξηση της πύκνωσης µέχρις ότου συµπέσουν, µε µεγάλη προσέγγιση, τα αποτελέσµατα της ανάλυσης µε τα απολύτως ακριβή αποτελέσµατα εκ της θεωρίας ελαστικότητας που παρέχονται στους πίνακες Czerny. Προς τούτο λήφθηκε, µόνο για τις συγκεκριµένες αυτές επαναληπτικές επιλύσεις, λόγος Poisson ν=0 για να καταστεί δυνατή η σύγκριση των ροπών και βυθίσεων µε τις αντίστοιχες δεδοµένες ροπές και βυθίσεις στους πίνακες Czerny. Από τη διερεύνηση αυτή δείχθηκε ότι η µικρότερη πλευρά λ el του κάθε επιφανειακού πεπερασµένου στοιχείου έπρεπε να ισούται µε το της αντίστοιχης πλευράς λ pl της πλάκας αλλά ταυτόχρονα τηρήθηκε και η γνωστή σύσταση αναφορικά µε το λ el το οποίο έπρεπε να µην είναι µικρότερο από το πάχος h του κάθε στοιχείου, δηλ. h λ f f el = λ pl. Για να επιτευχθεί αυτό θεωρήθηκαν, για την ανάλυση των 1776 περιπτώσεων πλακών, προεντεταµένες πλάκες µεγάλων διαστάσεων της τάξεως 20x20m έως 20x40m. Τέλος, το υλικό των πλακών θεωρήθηκε γραµµικό, ελαστικό, ισότροπο και οµογενές, ενώ όλες οι επιλύσεις έγιναν µε το γνωστό γενικό πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων SAP2000v ΤΥΠΟΙ ΠΛΑΚΩΝ - ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ. Οι τύποι πλακών ορθογωνικών πλακών που εξετάσθηκαν είναι οι έξι (6) γνωστοί τύποι των τετραέρειστων πλακών, οι έξι (6) γνωστοί τύποι των τριέρειστων πλακών και ένας τύπος διέρειστης πλάκας µε στήριξη σε δύο συνεχόµενες πλευρές, καθότι σ αυτές τις ορθογωνικές

4 πλάκες εµφανίζεται η διπλή καµπυλότητα στην ελαστική επιφάνεια των πλακών. Όλα τα αποτελέσµατα της παραµετρικής ανάλυσης από τις 1776 περιπτώσεις πλακών παρουσιάζονται ταξινοµηµένα στους πίνακες 1-6 τετραέρειστων πλακών, πίνακες 7-12 τριέρειστων πλακών και πίνακας 13 διέρειστων πλακών που ακολουθούν. Οι πίνακες διατίθενται και σε ψηφιακή µορφή. 4 ΟΡΙΑ ΙΣΧΥΟΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα όρια ισχύος των νέων πινάκων κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου είναι σηµαντικά µεγαλύτερα από τα αντίστοιχα όρια των πινάκων Markus, λόγω της υψηλής ακρίβειας που διαθέτουν όπως προέκυψε από εκτεταµένη διερεύνηση (Πιπερίδης-2000) σε ακραίες περιπτώσεις συνεχών πλακών οι οποίες κάλυπταν το σύνολο των δυνατών ακραίων περιπτώσεων στην περιοχή της µη ισχύος της µεθόδου των λωρίδων (σύµφωνα µε τους πίνακες Markus). Κατά τη διερεύνηση αυτή διενεργήθηκαν εναλλακτές φορτίσεις προς προσδιορισµό της περιβάλλουσας ροπών, χρησιµοποιώντας αφενός τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων και αφετέρου τη µέθοδο των λωρίδων. Τα συµπεράσµατα που εξήχθησαν είναι: α. Η µέθοδος των λωρίδων µε χρήση των νέων αυτών πινάκων εφαρµοζόµενη στις µεµονωµένες πλάκες δίδει αποτελέσµατα υψηλής ακρίβειας τόσο στην εύρεση των ακραίων ροπών κάµψης όσο και στις βυθίσεις της ελαστικής επιφάνειας. β. Στις συνεχείς πλάκες, η µέθοδος, δίδει αποτελέσµατα µε καλή και αποδεκτή ακρίβεια, ελαφρώς υπέρ της ασφάλειας για τις τιµές των ροπών, µε την προϋπόθεση ότι σε κάθε στατική τοµή, π.χ. κατά τη διεύθυνση x, ο λόγος του µικρότερου προς το µεγαλύτερο άνοιγµα είναι µεγαλύτερος x x από το 0.50, δηλ. λ min λmax Ανάλογα ισχύουν και κατά την άλλη διεύθυνση y. γ. Στην περίπτωση που σε κάποια στατική τοµή, π.χ. κατά x, ο λόγος του µικρότερου προς το x x µεγαλύτερο άνοιγµα είναι µικρότερος από το 0.50, δηλ. λ min λmax 0. 50, τότε η απόκλιση που παρουσιάζει η µέθοδος των λωρίδων µε τη χρήση των νέων πινάκων γίνεται σηµαντική κατά περίπτωση, αλλά στην συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων είναι υπέρ της ασφάλειας. δ. Τέλος, ενώ στις µεµονωµένες πλάκες οι µέγιστες βυθίσεις της ελαστικής επιφάνειας υπολογίζονται µε υψηλή ακρίβεια σε κάθε περίπτωση, στις συνεχείς πλάκες δεν συνιστάται η χρήση των πινάκων για τον υπολογισµό των βυθίσεων της ελαστικής επιφάνειας. 5 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ουδούµης, Ι.Ν. - Κουµουράς,.Β. (1996): Προσοµοίωση της καµπτικής λειτουργίας των ορθογωνικών τετραερείστων πλακών µε µοντέλα εσχάρας διασταυρούµενων πλακολωρίδων, 12 ο Ελληνικό Συνέδριο Σκυροδέµατος, τόµος ΙΙ, σελ.55-66, Λεµεσός. MacLeid, J.A. (1990): Analytical modeling of Structural Systems, Ellis Horwood. Μακάριος, Τ. (2000): Εισαγωγή στη θεωρία των Επιφανειακών Φορέων ( ίσκοι- Πλάκες-Πτυχωτοί Φορείς), Τµήµα Πολιτ. Μηχανικών Παν/µίου Θεσσαλίας, Βόλος. Markus (1932): Die Theorie elastischer Gewebe und ihre Anwendung auf die Berechnung biegsamer Platten, Berlin. Νιτσιώτας Γεώργ. (1985): Ελαστοστατική. Γραµµική Θεωρία, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη. Πενέλης, Γεωργ. και Συνεργάτες (1995): Κατασκευές από Οπλισµένο Σκυρόδεµα, Πανεπιστηµιακές παραδόσεις, Έκδοση Υπηρ. ηµοσιευµάτων Α.Π.Θ. Θεσ/νίκη. Πιπερίδης Αβραάµ. (2000): Σύνταξη πινάκων κατανοµής οµοιόµορφου φορτίου τετραέρειστων, τριέρειστων και διέρειστων πλακών, ιπλωµ. Εργασία, Τµήµα Πολιτ. Μηχανικών Παν/µίου Θεσσαλίας. Pieper, K. Martens, P. (1966): Durchlaufende vierseiting gestutzte Platten im Hochbau, B.u.ST. 61, dep. 6. Siess, Ch. P. Newmark, N. (1950): Moments in thow-way concrete floor slabs, University of Illinois, Bulletin No 43. USA.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17