ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Transcript

1 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων, και η καταληκτική ημερομηνία παράδοσής της θα είναι περίπου 10 μέρες μετά την ολοκλήρωση του κεφαλαίου. (βʹ) Η καταληκτική ημέρα παράδοσης κάθε ομάδας ανακοινώνεται στο μάθημα και αναρτάται στην α- τζέντα του eclss τουλάχιστον μια εβδομάδα νωρίτερα. (γʹ) Μετά την διόρθωσή τους, οι ομάδες θα επιστρέφονται. (δʹ) Οι λύσεις μιας ομάδας ασκήσεων αναρτώνται στο eclss λίγες μέρες μετά την ημερομηνία παράδοσης της επόμενης ομάδας ασκήσεων. (εʹ) Οι βαθμολογίες αναρτώνται στο eclss, και αυξάνουν, υπό προϋποθέσεις, την τελική βαθμολογία. 2. Επίδραση στον τελικό βαθμό: (αʹ) Οι ασκήσεις προσφέρουν bonus 2 (στις 10) μονάδων, εφόσον ο βαθμός στην τελική εξέταση είναι προβιβάσιμος, δηλαδή 5 και άνω. (βʹ) Δεν χρειάζεται να παραδώσετε όλες τις ομάδες ασκήσεων για να πάρετε το bonus. Μπορείτε να παραδώσετε τις μισές για να πάρετε μια μονάδα (εφόσον βέβαια είναι σωστές), κ.ο.κ. Ομοίως, δεν απαιτείται να παραδώσετε όλες τις ασκήσεις μιας ομάδας. (γʹ) Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για να πάρετε το bonus, συνδυασμό bonus παρελθόντων ετών και bonus του τρέχοντος έτους. Μπορείτε, όμως, να χρησιμοποιήσετε bonus αποκλειστικά ενός από τα παρελθόντα έτη , , και αντί του τρέχοντος. (δʹ) Δεν χρειάζεται να δηλώσετε (με μήνυμα στο διδάσκοντα, γραπτώς στην τελική εξέταση, κ.ο.κ.) ότι θα κάνετε χρήση bonus, ακόμα και αν είναι παρελθόντων ετών. 3. Παράδοση (γενικές οδηγίες): (αʹ) Μπορείτε να παραδώσετε τις ομάδες σας με δύο τρόπους: ιδιοχείρως και ηλεκτρονικά. Αν είναι δυνατόν, παραδώστε τις ομάδες ασκήσεων ιδιοχείρως. (βʹ) Απαγορεύεται η τμηματική παράδοση μιας ομάδας (για παράδειγμα, η μισή μια μέρα και η μισή κάποια άλλη μέρα, ή η μισή ηλεκτρονικά και η μισή ιδιοχείρως). (γʹ) Πριν την παράδοση, γράψτε, ευανάγνωστα, οπωσδήποτε το όνομά σας, τον αριθμό της ομάδας α- σκήσεων, και, αν έχετε, τον αριθμό μητρώου σας, πάνω δεξιά στην πρώτη σελίδα, ακόμα και αν την παραδίδετε ηλεκτρονικά! (Οι φοιτητές των κατατακτηρίων και ορισμένοι προερχόμενοι από μεταγραφές δεν έχουν αριθμούς μητρώου. Για αυτούς αρκεί να υπάρχει το όνομά τους.) (δʹ) Μπορείτε να γράφετε με μολύβι ή/και με στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός κόκκινου. (εʹ) Μπορείτε να παραδώσετε την ομάδα σας οποτεδήποτε πριν την καταληκτική ημερομηνία παράδοσης. 4. Παράδοση ιδιοχείρως: (αʹ) Χρησιμοποιείτε κόλλες μεγέθους περίπου A4, χωρίς ξέφτια λόγω σκισίματος από τετράδιο. Συρράψτε τις κόλλες, και μην τις παραδώσετε εντός πλαστικού διάφανου φακέλου, ντοσιέ, κτλ., ή πιασμένες με συνδετήρα, ή τυλιγμένες/τσαλακωμένες μαζί, κ.ο.κ.

2 2 (βʹ) Μην παραδίδετε πολλές ομάδες ασκήσεων συρραμμένες μαζί (π.χ., την ομάδα 4, που παραδίδετε καθυστερημένη, συρραμμένη με την ομάδα 5), ή πολύ περισσότερο, στο ίδιο φύλλο. (Ο λόγος για αυτό τον κανόνα είναι ότι οι ομάδες ενδέχεται να διορθωθούν από διαφορετικούς διορθωτές.) (γʹ) Τόπος παράδοσης: Παραδίδετε τις εργασίες (με αυτή τη σειρά προτίμησης) Α) στην αρχή ή στο τέλος των διαλέξεων (όχι κατά τη διάρκειά τους!), ή Β) στο ταχυδρομικό κουτί του διδάσκοντα (βρίσκεται έξω από το γραφείο του) ή Γ) στον ίδιο το διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Μπορείτε να δώσετε τις εργασίες σας σε κάποιον άλλο για να τις παραδώσει. (δʹ) Παραδίδετε ιδιοχείρως την ομάδα μέχρι τις 17:00μμ της ανακοινωμένης ημέρας παράδοσης. 5. Ηλεκτρονική παράδοση: (αʹ) Η ηλεκτρονική παράδοση γίνεται αποκλειστικά μέσω του ειδικού εργαλείου του eclss, και όχι με αποστολή emil στο διδάσκοντα. (βʹ) Δεκτά είναι μόνο σκαναρισμένα ή δακτυλογραφημένα έγγραφα (με χρήση MS WORD κτλ.), και όχι, για παράδειγμα, φωτογραφίες. (γʹ) Αποφύγετε πάντως την δακτυλογράφηση των εργασιών. Μπορείτε να αξιοποιήσετε τον πεπερασμένο χρόνο σας πολύ καλύτερα. (δʹ) Παραδίδετε για κάθε εργασία ένα μόνο ασυμπίεστο αρχείο PDF ή doc μεγέθους το πολύ 3MB με ονομασία τον αριθμό μητρώου σας και τίποτα άλλο (π.χ pdf). Σε περίπτωση που παραδίδετε δύο εργασίες μαζί, βάλτε τες σε ένα αρχείο zip. (εʹ) Μην αφήνετε σχόλια στο eclss μέσω του σχετικού εργαλείου, εκτός αν είναι απόλυτη ανάγκη. (ϛʹ) Προσοχή: ενδέχεται η δυνατότητα ηλεκτρονικής υποβολής των ασκήσεων μέσω του αντίστοιχου εργαλείου του eclss να ενεργοποιηθεί λίγες μόνο μέρες πριν την καταληκτική προθεσμία παράδοσης, και αρκετά μετά την ανακοίνωση αυτής της προθεσμίας. (ζʹ) Καταληκτική ώρα παράδοσης: Παραδίδετε ηλεκτρονικά την ομάδα μέχρι τις 11:59μμ της ανακοινωμένης ημέρας παράδοσης. (ηʹ) ΔΕΝ ΘΑ ΓΙΝΟΥΝ ΔΕΚΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΥΝ ΣΟΒΑΡΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΩ ΟΔΗΓΙΕΣ. Αυτές οι εργασίες θα πρέπει να παραδοθούν ξανά, ιδιοχείρως, και εκπρόθεσμα. 6. Αλλαγές στην ημέρα παράδοσης: (αʹ) Σε περίπτωση που η καταληκτική ημέρα παράδοσης μιας ομάδας ασκήσεων είναι ημέρα διάλεξης και η διάλεξη ακυρωθεί ή αναβληθεί, η υποβολή της ομάδας μετατίθεται αυτόματα για την ημέρα της επόμενης διάλεξης, χωρίς να προηγηθεί ανακοίνωση από τον διδάσκοντα. (βʹ) Μπορείτε να καθυστερήσετε την παράδοση των ομάδων ασκήσεων, χωρίς επίπτωση, βάσει του ακόλουθου κανόνα: Μπορείτε να καθυστερήσετε το πολύ τρεις ομάδες ασκήσεων, και να παραδώσετε κάθε μια από αυτές όταν θα παραδίδατε και την επόμενή της, αν οι ημερομηνίες παράδοσής τους διαφέρουν, ή την πρώτη που ακολουθεί με διαφορετική ημερομηνία παράδοσης, αν η ημερομηνία παράδοσής τους είναι κοινή. Επομένως, αν η ομάδα i έχει ημερομηνία παράδοσης την X i και η ομάδα i + 1 έχει ημερομηνία παράδοσης την X i+1, τότε μπορείτε να παραδώσετε την ομάδα i στην ημερομηνία X i+1, εφόσον X i+1 > X i, αλλιώς στο πρώτο X k > X i. ΟΜΩΣ, δεν μπορείτε να παραδώσετε μια ομάδα σε κάποια ημερομηνία X l > X k > X i. (γʹ) Μην ζητήσετε παράταση εκ των προτέρων: απλώς ο διορθωτής θα δει ότι παραδώσατε καθυστερημένα την ομάδα. Οι ομάδες ασκήσεων που παραδίδονται εκπρόθεσμα παραδίδονται ιδιοχείρως ή ηλεκτρονικά, σε ένα zip-file μαζί με την τρέχουσα ομάδα. 7. Διόρθωση: (αʹ) Η διόρθωση θα είναι πρόχειρη, λόγω έλλειψης ανθρώπινων πόρων.

3 3 (βʹ) Αν οι πράξεις που απαιτούνται για να προκύψει ένα αριθμητικό αποτέλεσμα είναι αρκετές, μπορείτε να δώσετε το εν λόγω αποτέλεσμα ως έκφραση που περιέχει παραγοντικά, συνδυασμούς, γινόμενα με πολλούς παράγοντες, αθροίσματα με πολλούς όρους, κτλ., χωρίς καμία βαθμολογική απώλεια. (Παρατήρηση: το ίδιο ισχύει και για την τελική εξέταση.) (γʹ) Όλες οι ομάδες ασκήσεων έχουν την ίδια βαρύτητα. Όχι όμως και όλες οι ασκήσεις σε μια ομάδα. 8. Επιστροφή διορθωμένων εργασιών και ανακοίνωση βαθμολογίας: (αʹ) Οι εργασίες θα διορθώνονται με καθυστέρηση τουλάχιστον ενός μήνα από την καταληκτική ημερομηνία παράδοσης. (βʹ) Οι διορθωμένες εργασίες θα διατίθενται για παραλαβή στο τραπεζάκι έξω από το γραφείο του διδάσκοντα, και η βαθμολογία θα αναρτάται περιοδικά στα έγγραφα του eclss. Στο τέλος του εξαμήνου, όσες δεν παραληφθούν από τους συγγραφείς τους θα ανακυκλωθούν. (γʹ) Αν έχετε ενστάσεις σχετικά με τη διόρθωση, ελάτε με την διορθωμένη ομάδα σας σε ώρες γραφείου του διδάσκοντα. (δʹ) Αν δεν μπορείτε να βρείτε την βαθμολογία της εργασίας σας στο σχετικό έγγραφο, αναζητήστε τη στις διορθωμένες, και δώστε τη στον διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Αν δεν υπάρχει στις διορθωμένες (και μόνο τότε) ενημερώστε τον διδάσκοντα. 9. Συνεργασία: (αʹ) Μπορείτε να συνεργαστείτε όσο θέλετε, και να ανταλλάξετε προφορικά ιδέες, ακόμα και λύσεις. (βʹ) Αρκεί ο καθένας να γράψει μόνος του την λύση του, και να καταλαβαίνει τι γράφει. (γʹ) Εργασίες εμφανώς αντιγραμμένες θα μηδενίζονται, και το bonus του συγγραφέα τους θα τίθεται αμετάκλητα στο μηδέν. Επομένως, άλλες εργασίες που έχει ήδη παραδώσει ή θα παραδώσει στο μέλλον δεν θα έχουν επίδραση στο τελικό του βαθμό. (δʹ) Απαγορεύεται να δείτε λύσεις ασκήσεων παλαιοτέρων ετών ή λύσεις των ίδιων ασκήσεων από το διαδίκτυο. 10. Σημαντικά σχόλια: (αʹ) Προσπαθήστε να είστε κατά το δυνατόν σαφείς στις λύσεις σας. Δεν βοηθά μόνο τους διορθωτές, αλλά και εσάς να οργανώνετε τη σκέψη σας καλύτερα. (βʹ) Ενημερώστε άμεσα τον διδάσκοντα σε περίπτωση εύρεσης λάθους είτε στις εκφωνήσεις είτε στις λύσεις. (γʹ) Ενημερώστε τον διδάσκοντα αν η παράδοση μιας ομάδας ασκήσεων συμπίπτει με την παράδοση ασκήσεων άλλων μαθημάτων του ίδιου εξαμήνου. (Ενδεχομένως να υπάρξει αλλαγή, αν η ύλη το επιτρέπει.) (δʹ) Για την εύρυθμη λειτουργία του μαθήματος, προσπαθήστε να τηρήσετε κατά το δυνατόν όλες τις άνω οδηγίες. (εʹ) Βλέπετε το dis mil σας. Το έχετε για να επικοινωνούν μαζί σας οι διδάσκοντες, εκτός των άλλων και όταν υπάρχει πρόβλημα με την παράδοση κάποιας εργασίας.

4 4 1η Ομάδα Ασκήσεων 1. (Ένα σύνολο που δεν είναι πεδίο) Έστω το σύνολο των αριθμών {0, 1, 2, 3, 4, 5} για τους οποίους ορίζουμε την πρόσθεση modulo 6 και τον πολλαπλασιασμό modulo 6. Δηλαδή, για να υπολογίσουμε την πρόσθεση (πολλαπλασιασμό) modulo 6 δύο στοιχείων προσθέτουμε (πολλαπλασιάζουμε) τα στοιχεία μεταξύ τους και κατόπιν λαμβάνουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 6. Είναι αυτό το σύνολο, εφοδιασμένο με αυτές τις πράξεις, πεδίο; Γιατί; 2. (Πρόσθεση αρχείων) Δίνονται δύο σκληροί δίσκοι, έστω A και B, με χωρητικότητα 1 TB ο καθένας, εντελώς γεμάτοι με δεδομένα που δεν μπορούν να συμπιεστούν. Σας δίνεται και ένας τρίτος, έστω C, κενός, της ίδιας χωρητικότητας. Πως μπορείτε να τον χρησιμοποιήσετε ώστε να μην χάσετε καθόλου δεδομένα των A,B, σε περίπτωση που χαθεί ένας (οποιοσδήποτε) από τους τρεις; Χρησιμοποιήστε πρόσθεση modulo 2 μεταξύ αντίστοιχων bits των δίσκων A και B. 3. (Εύρεση supremum και infimum) Προσδιορίστε τα supremum, infimum, mximum και minimum των ακόλουθων συνόλων: [0, 1), (0, 1], Q, {1 12, 1 13, 1 14 },..., A = {x : (x 2)(x 3) 0}, A Q. 4. (Supremum υποσυνόλου) Αποδείξτε την ακόλουθη πρόταση ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν για δύο σύνολα έχουμε A B, τότε sup A < sup B. 5. (Αυθαίρετα κοντινά σύνολα) Έστω δύο μη κενά σύνολα A και B τέτοια ώστε για κάθε x A και y B έχουμε x y, και επιπλέον για κάθε ɛ > 0 υπάρχουν x A, y B, τέτοια ώστε y x < ɛ. Να δείξετε ότι υπάρχουν τα sup A, inf B και μάλιστα είναι ίσα. 6. (Infimum αθροίσματος) Έστω συναρτήσεις f, g : B R κάτω φραγμένες στο σύνολο B. Να δείξετε ότι inf{f(x) + g(x) : x B} inf{f(x) : x B} + inf{g(x) : x B}. Πότε ισχύει η ισότητα; 7. (Άθροισμα άρτιας και περιττής) Αποδείξτε την ακόλουθη πρόταση ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Οποιαδήποτε συνάρτηση f : R R μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα μιας περιττής και μιας άρτιας συνάρτησης. 8. (Αύξουσα σύνθεση) Να δείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f, g είναι (γνησίως) αύξουσες, τότε είναι (γνησίως) αύξουσα και η σύνθεσή τους f g. 9. (Φθίνουσα σύνθεση) Να δείξετε ότι αν η f είναι (γνησίως) αύξουσα και η g είναι (γνησίως) φθίνουσα, τότε οι συνθέσεις f g και g f, εφόσον ορίζονται, είναι (γνησίως) φθίνουσες. 2η Ομάδα Ασκήσεων 10. (Όριο απολύτου) Να δείξετε, αποκλειστικά με χρήση του ορισμού του ορίου, ότι lim x 0 x = (Αλλαγή μεταβλητής) Αποδείξτε ότι όπου 0. lim f(x) = x x 0 lim h x 0 b f(h + b), 12. (Ύπαρξη ορίου) Αποδείξτε την ακόλουθη πρόταση ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν υπάρχει το lim x 0 f(x 2 ) τότε υπάρχει και το lim x 0 f(x).

5 5 13. (Όριο φράγμα) Έστω lim x x 0 f(x) = k > 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ανοικτή γειτονιά (, b) περί το x 0, δηλαδή, b R με < x 0 < b, τέτοια ώστε x (, b) {x 0 } f(x) > P, όπου P θετικό. Παρατηρήστε ότι το αποτέλεσμα αυτό είναι πιο ισχυρό από το x (, b) {x 0 } f(x) > 0, διότι στην πρώτη περίπτωση οι τιμές του x δεν μπορούν να πλησιάσουν αυθαίρετα κοντά στο (Ύπαρξη ορίου) Αποδείξτε την ακόλουθη ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν lim f(x) = L και lim g(x) = x x 0 x x 1 x 0, τότε lim f(g(x)) = L. x x (Όριο αντίστροφης συνάρτησης) Αποδείξτε την ακόλουθη ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν lim x x 0 f(x) =, τότε και lim x x 0 1/f(x) = (Όριο αντίστροφης συνάρτησης) Αποδείξτε την ακόλουθη ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν lim x x 0 f(x) = 0, τότε και lim x x 0 1/f(x) =. 17. (Αύξουσα φραγμένη άνω συνάρτηση) Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f : [, ) R είναι αύξουσα και φραγμένη άνω, τότε υπάρχει το όριο lim f(x). (Υπόδειξη: πρέπει να χρησιμοποιήσετε την έννοια του supremum.) x 18. (Αύξουσα όχι φραγμένη άνω συνάρτηση) Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f : [, ) είναι αύξουσα και όχι φραγμένη άνω, τότε lim f(x) =. x 19. (Αύξουσα συγκλίνουσα συνάρτηση) Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f : [, ) R είναι αύξουσα και υπάρχει το όριο lim f(x), τότε είναι φραγμένη άνω. x 20. (Όρια του cos x στο ± ) Να δείξετε, με χρήση του ορισμού του ορίου και όχι με γραφικά επιχειρήματα, ότι δεν υπάρχουν τα lim cos x, lim cos x. x x 3η Ομάδα Ασκήσεων 21. (Υπολογισμός ορίων) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα όρια: (αʹ) lim sin sin x. x 0 (βʹ) lim cos sin x. x 0 (γʹ) lim tn x2 +1 x 1 x (Κοινό πρόσημο σε ανοικτή γειτονιά) Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 με f(x 0 ) > 0 (εναλλακτικά, f(x 0 ) < 0), τότε υπάρχει μια ανοικτή γειτονιά I γύρω από το x 0, δηλαδή ένα διάστημα της μορφής I = (, b) με x 0 (, b) τέτοιο ώστε f(x) > 0 (εναλλακτικά, f(x) < 0) παντού στο I. 23. (Σύνθεση συνεχούς συνάρτησης με ακολουθία) Έστω f συνάρτηση συνεχής σε κάποιο x 0. Έστω ακολουθία n x 0. Να δείξετε ότι lim f( n) = f( lim n). n n 24. (Ύπαρξη ριζών πολυωνύμων) Να αποδείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια ρίζα.

6 6 25. (Υλοποίηση Μεθόδου Διχοτόμησης) Να υλοποιήσετε την Μέθοδο της Διχοτόμησης σε μια γλώσσα προγραμματισμού της επιλογής σας, και κατόπιν να την εκτελέσετε για να εντοπίσετε μια ρίζα της συνάρτησης f(x) = x cos x, ξεκινώντας από το αρχικό διάστημα [0, π] και εκτελώντας 20 επαναλήψεις. Ο κώδικας πρέπει να εξάγει σαν ενδιάμεσα αποτελέσματα τα διαδοχικά διαστήματα που εξετάζει. Να παραδώσετε στις λύσεις τον κώδικά σας και τα εξαγόμενα ενδιάμεσα και τελικά αποτελέσματα από αυτόν. 26. (Άπειρες ρίζες) Αποδείξτε την ακόλουθη ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Υπάρχει μη σταθερή συνεχής συνάρτηση με άπειρες ρίζες σε φραγμένο κλειστό διάστημα. 27. (Lipschitz συνέχεια δυνάμεων) Δείξτε ότι η f(x) = x n, όπου n N, n > 2, είναι Lipschitz συνεχής σε κάθε φραγμένο διάστημα και όχι Lipschitz συνεχής σε κάθε μη φραγμένο διάστημα. 28. (Lipschitz συνέχεια τριγωνομετρικών συναρτήσεων) Δείξτε ότι η f(x) = A cos(x + b) όπου A,, b R είναι Lipschitz συνεχής στο R. 4η Ομάδα Ασκήσεων 29. (Συνάρτηση Dirichlet) Να δείξετε ότι η συνάρτηση x 2 f D (x) είναι παραγωγίσιμη στο 0 αλλά πουθενά αλλού. H συνάρτηση Dirichlet f D (x) ορίζεται ως εξής: { 1, x Q, f D (x) = 0, x R Q. 30. (Χρήση ορισμού) Υπολογίστε την παράγωγο της εφαπτομένης tn x με χρήση του ορισμού της παραγώγου. 31. (Χρήση ορισμού) Υπολογίστε παντού την παράγωγο της συνάρτησης f : R R που ορίζεται ως f(x) = x με χρήση του ορισμού της παραγώγου. 32. (Ύπαρξη δεύτερης παραγώγου) Αποδείξτε την ακόλουθη ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν μια συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη παντού στο R τότε πρέπει να έχει και δεύτερη παράγωγο παντού στο R. 33. (Ανισότητα παραγώγων) Έστω συναρτήσεις f, g τέτοιες ώστε f() = g() και f (x) g (x) παντού σε ένα διάστημα I = [, b] ή I = [, ). Να δείξετε ότι f(x) g(x) παντού στο I. 34. (Κριτήριο ακρότατου) Αποδείξτε την ακόλουθη ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν f (x 0 ) = 0, τότε η συνάρτηση f(x) έχει τοπικό ακρότατο στο x (Γνησίως μονότονη συνάρτηση θετική παράγωγος) Αποδείξτε την ακόλουθη ή βρείτε αντιπαράδειγμα: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, b] και παραγωγίσιμη στο (, b), τότε f (x) > 0 παντού στο (, b). 36. (Υπολογισμοί αόριστων ολοκληρωμάτων) Υπολογίστε τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: (αʹ) x 2 sin x dx. (βʹ) x 2 cos x dx.

7 7 5η Ομάδα Ασκήσεων 37. (Υπολογισμός τιμών της εφαπτόμενης) Υπολογίστε προσεγγιστικά τις τιμές tn x για τις ακόλουθες τιμές του x: π/4 0.1, π/4 0.01, π/ , π/4, π/ , π/ , π/ Χρησιμοποιήστε μόνο την τιμή της tn x και της παραγώγου της στη θέση x 0 = π/4. Συγκρίνετε, με χρήση ενός αναλυτικού πίνακα, τις τιμές που βρήκατε με τις ακριβείς. 38. (Απροσδιοριστίες 0/0) Να δείξετε ότι τα ακόλουθα όρια εμφανίζουν και τα τρία απροσδιοριστία 0 0 : sin 2 x x, sin 2 x x 4, sin x x 2. Κατόπιν, να υπολογίσετε τα άνω όρια ή να δείξετε ότι δεν υπάρχουν. 39. (Χρήση Κανόνα L Hôpitl) Να υπολογίσετε το ακόλουθο όριο με χρήση του Κανόνα του L Hôpitl: lim x 0 sin 3 x + sin 2 x + sin x x 3 + x 2. + x 40. (Κυρτή σύνθεση) Να δείξετε ότι αν η g είναι αύξουσα και κυρτή και η h είναι κυρτή, τότε η σύνθεση g h είναι κυρτή. Μην υποθέσετε παραγωγισιμότητα των f, g! 41. (Κυρτότητα Συνέχεια) Να δείξετε ότι αν η g είναι κυρτή σε κάποιο ανοικτό διάστημα I τότε είναι και συνεχής σε αυτό. Να δείξετε επίσης ότι αν η g είναι κυρτή σε κάποιο φραγμένο και όχι ανοικτό διάστημα I τότε ενδέχεται η g να μην είναι συνεχής. 42. (Υλοποίηση Μεθόδου Νεύτωνα) Υλοποιήστε τη Μέθοδο του Νεύτωνα σε μια γλώσσα προγραμματισμού της προτίμησής σας. Η ρουτίνα που θα δημιουργήσετε πρέπει, κατ ελάχιστον, να επιστρέφει αριθμητικά δεδομένα για κάθε επανάληψη της μεθόδου και την τελική εκτίμηση για τη ρίζα της δοσμένης συνάρτησης, δεν είναι όμως απαραίτητο να παράγει κάποιο σχήμα. Τα ορίσματα εισόδου πρέπει να περιλαμβάνουν τουλάχιστον το αρχικό σημείο όπου υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης και τη ζητούμενη ακρίβεια. Δεν χρειάζεται να δίνεται ως όρισμα η συνάρτηση της οποία ζητείται η ρίζα. 43. (Αριθμητικό παράδειγμα) Χρησιμοποιήστε την υλοποίηση της Άσκησης 42 για να εντοπίσετε μια ρίζα της συνάρτησης f(x) = 2 cos x + x 2 με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. 44. (Υπολογισμός τόξου εφαπτόμενης) Χρησιμοποιήστε την υλοποίηση της Άσκησης 42 για να εντοπίσετε την τιμή του τόξου εφαπτόμενης rctn 1 με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. 6η Ομάδα Ασκήσεων 45. (Μη ολοκληρώσιμη συνάρτηση) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f : [ 1, 1] R με { 1 f(x) = 2, x Q [ 1, 1], 1 2, x (R Q) [ 1, 1]. δεν είναι ολοκληρώσιμη. Υπολογίστε το κάτω και το άνω ολοκλήρωμά της. 46. (Μετατόπιση συνάρτησης) Έστω, b, c R με < b. Να δείξετε, χρησιμοποιώντας αποκλειστικά τον ορισμό του ολοκληρώματος, ότι αν είναι ολοκληρώσιμη η f(x) στο διάστημα [, b], τότε είναι ολοκληρώσιμη και η f(x c) στο διάστημα [ + c, b + c], με b+c +c f(x c) dx = b f(x) dx.

8 8 47. (Ολοκλήρωμα συνεχούς συνάρτησης) Να δείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο διάστημα [, b] και επιπλέον f 0 σε αυτό το διάστημα και b f = 0, τότε υποχρεωτικά f = 0 παντού στο [, b]. 48. (Ολοκλήρωμα Γινόμενου) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ακόλουθη ισότητα, ή να βρείτε αντιπαράδειγμα: b ( b fg = ) ( b ) f g. Θεωρήστε ότι όλα τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στην παραπάνω ισότητα υπάρχουν. 49. (Ανισότητα Cuchy-Schwrz) Έστω f, g : [, b] R ολοκληρώσιμες. Να δείξετε οτι η ακόλουθη ανισότητα, γνωστή ως ανισότητα των Cuchy-Schwrz. b [ b ] 1 [ fg f 2 2 b ] 1 g 2 2. (Υπόδειξη: εξετάστε το τριώνυμο b (f(x) + θg(x)) dx του θ.) 50. (Ανισότητα Cuchy-Schwrz) Να βρείτε αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε η Ανισότητα Cuchy- Schwrz να ισχύει με ισότητα. 51. (Περίπου μηδενική συνάρτηση) Να δείξετε ότι αν b g2 = 0, τότε για κάθε f ολοκληρώσιμη στο [, b] θα έχουμε fg = 0. Βεβαιωθείτε ότι αντιλαμβάνεστε την γεωμετρική ερμηνεία αυτής της ιδιότητας. 7η Ομάδα Ασκήσεων 52. (Γενίκευση του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού) Έστω συνάρτηση G : [, b] R συνεχής. Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις f 1, f 2 : [c, d] R με f 1 ([c, d]), f 2 ([c, d]) (, b). Να δείξετε ότι για κάθε x (c, d) έχουμε ( ) f2 (x) G(t) dt = G(f 2 (x))f 2(x) G(f 1 (x))f 1(x). f 1 (x) Επίσης, να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος, εξετάζοντας τι θα συμβεί αν το x μεταβληθεί κατά μια πολύ μικρή ποσότητα x. 53. (Ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης) Έστω ολοκληρώσιμη f : [, ] R περιττή. Να δείξετε ότι f = (Ολοκλήρωμα άρτιας συνάρτησης) Έστω ολοκληρώσιμη f : [, ] R άρτια. Να δείξετε ότι f = 2 0 f. 55. (Υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις) Ορίζουμε τις υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις υπερβολικό ημίτονο sinh x, υπερβολικό συνημίτονο cosh x, υπερβολική εφαπτόμενη tnh x, και υπερβολική συνεφαπτομένη coth x, ως sinh x = exp x exp( x), cosh x = 2 exp x + exp( x), tnh x = sinh x 2 cosh x, cosh x coth x = sinh x. Οι άνω συναρτήσεις καλούνται τριγωνομετρικές λόγω της ομοιότητας που έχουν πολλές από τις ιδιότητές τους με αντίστοιχες ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπολογίστε τις παραγώγους των άνω συναρτήσεων, και εκφράστε τες χρησιμοποιώντας αποκλειστικά άλλες υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

9 9 56. (Συνάρτηση Φ) Στην Θεωρία Πιθανοτήτων ορίζουμε την ακόλουθη συνάρτηση: Φ(x) = x exp ( t 2 /2 ) dt. 2π (Αν και αυτό δεν μας αφορά εδώ, αναφέρουμε απλώς πως μπορεί να δειχθεί ότι το άνω ολοκλήρωμα δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κλειστή μορφή). Να γράψετε το αόριστο ολοκλήρωμα exp( x 2 ) dx χρησιμοποιώντας την συνάρτηση Φ. 57. (Καταχρηστικό ολοκλήρωμα της x n e x ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 0 x n e x dx για κάθε n N. 58. (Ζεύγος αόριστων ολοκληρωμάτων) Να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα e x sin x dx, e x cos x dx (Ζεύγος καταχρηστικών ολοκληρωμάτων) Να υπολογίσετε το ζεύγος καταχρηστικών ολοκληρωμάτων 0 e x sin x dx, 0 e x cos x dx. 60. (Καταχρηστικό ολοκλήρωμα της log x) Να υπολογίσετε το καταχρηστικό ολοκλήρωμα του λογαρίθμου, 0 log x dx. 8η Ομάδα Ασκήσεων 61. (Αντίστροφες υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις) Να κάνετε τα ακόλουθα, για τις συναρτήσεις του υπερβολικού ημιτόνου και υπερβολικού συνημιτόνου: (αʹ) Υπολογίστε τα όρια της συνάρτησης καθώς το όρισμα x ±. (βʹ) Σχεδιάστε τη συνάρτηση. (γʹ) Προσδιορίστε ένα τύπο για την αντίστροφή της. Αν η αντίστροφη δεν μπορεί να οριστεί για το αρχικό πεδίο ορισμού της υπερβολικής τριγωνομετρικής συνάρτησης, περιορίστε το κατάλληλα. (δʹ) Σχεδιάστε την αντίστροφή της. (εʹ) Υπολογίστε την παράγωγο της αντίστροφης. (Δείτε την Άσκηση 55 για τον ορισμό των δύο αυτών συναρτήσεων και τον προσδιορισμό των παραγώγων τους.) 62. (Αόριστο Ολοκλήρωμα) Να υπολογίσετε το ακόλουθο αόριστο ολοκλήρωμα: 1 + x 2 dx. (Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την Άσκηση 61.) 63. (Περιστροφή περί τον άξονα των x) Να προσδιορίσετε τον όγκο που δημιουργείται αν περιστρέψουμε το γράφημα της συνάρτησης f(x) = cos kx μεταξύ των σημείων x = 0 και x = 2π περί τον άξονα των x. Το k N. Τι παρατηρείτε? Μπορείτε να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος? 64. (Λουλουδάκι) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου R = {(r, θ) : 0 θ 2π, 0 r cos kθ/2 }, όπου k N. Τι παρατηρείτε? Μπορείτε να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος?

10 (Περιστροφή περί τον άξονα των y) Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που δημιουργείται αν περιστρέψουμε το χωρίο μεταξύ των γραφημάτων των συναρτήσεων f(x) = x και g(x) = x 2 μεταξύ του x = 0 και το x = 1 περί τον άξονα των y. 66. (Μήκος έλλειψης) Να δώσετε μια έκφραση για το μήκος της έλλειψης που περιγράφεται από την εξίσωση x y2 b 2 = 1. Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε σε κλειστή μορφή το ολοκλήρωμα που προκύπτει. (Αν το καταφέρετε, έχετε κάνει λάθος.) 67. (Μήκος παραβολής) Να υπολογίσετε το μήκος της παραβολής που περιγράφεται από την εξίσωση y = x 2 μεταξύ των σημείων (0, 0) και (1, ). (Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την Άσκηση 62.) 9η Ομάδα Ασκήσεων 68. (Αντίστροφες υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις) Να κάνετε τα ακόλουθα, για τις συναρτήσεις της υπερβολικής εφαπτόμενης και της υπερβολικής συνεφαπτόμενης: (αʹ) Υπολογίστε τα όρια της συνάρτησης καθώς x ±. (βʹ) Σχεδιάστε τη συνάρτηση. (γʹ) Προσδιορίστε ένα τύπο για την αντίστροφή της. Αν η αντίστροφη δεν μπορεί να οριστεί για το αρχικό πεδίο ορισμού της υπερβολικής τριγωνομετρικής συνάρτησης, περιορίστε το κατάλληλα. (δʹ) Σχεδιάστε την αντίστροφή της. (εʹ) Υπολογίστε την παράγωγο της αντίστροφης. (Δείτε την Άσκηση 55 για τον ορισμό των δύο αυτών συναρτήσεων και τον προσδιορισμό των παραγώγων τους.) 69. (Διαφορική Εξίσωση 1) Να βρείτε τη γενική λύση της ΔΕ y (x) + (log x + 1)y(x) = x x 1 + x 2 στο διάστημα (0, ). Ακολούθως, να βρείτε την ειδική λύση που ικανοποιεί την επιπλέον συνθήκη y(1) = (Διαφορική Εξίσωση 2) Να βρείτε όλες τις λύσεις της ΔΕ y (x)y(x) + x = 0 στο διάστημα ( 10, 10). Κατόπιν, να σχεδιάσετε τις λύσεις, και να προσδιορίσετε αυτές που διέρχονται από το σημείο (0, 10) και το σημείο (0, 5)< αν υπάρχουν. 71. (Διαφορική Εξίσωση 3) Να βρείτε τη γενική λύση της ΔΕ y (x) + (1 + 1/x)y(x) = 1 στο διάστημα (0, ). Ακολούθως, να βρείτε την ειδική λύση που ικανοποιεί την επιπλέον συνθήκη y(1) = (Ολοκλήρωμα της 1/(x(1 x)) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα dx x(1 x). Να δώσετε ένα τύπο που να ισχύει και στα τρία διαστήματα (, 0), (0, 1), και (1, ).

11 (Διαφορική Εξίσωση 4) Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y (x) = y(x)(1 y(x)), για την περίπτωση που 0 < y(x) < 1. Η σταθερά R +. Σχεδιάστε μερικές από τις λύσεις. Σε ποιο διάστημα ορίζεται κάθε μια από αυτές; 74. (Διαφορική Εξίσωση 5) Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y (x) = y(x)(1 y(x)), για την περίπτωση που y(x) > 1. Η σταθερά R +. Σχεδιάστε μερικές από τις λύσεις. Σε ποιο διάστημα ορίζεται κάθε μια από αυτές; 75. (Διαφορική Εξίσωση 6) Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ y (x) = y(x)(1 y(x)), για την περίπτωση που y(x) < 0. Η σταθερά R +. Σχεδιάστε μερικές από τις λύσεις. Σε ποιο διάστημα ορίζεται κάθε μια από αυτές; 10η Ομάδα Ασκήσεων 76. (Πολυώνυμα Tylor) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα πολυώνυμα Tylor: (αʹ) Για τη συνάρτηση f(x) = e ex περί το 0, και με n = 3. (βʹ) Για τη συνάρτηση f(x) = e cos x περί το 0, και με n = 3. (γʹ) Για τη συνάρτηση f(x) = x 5 x 2 + x περί το 0, και με n = 3. (δʹ) Για τη συνάρτηση f(x) = x 5 x 2 + x περί το 1, και με n = 3. Σχεδιάστε, αν θέλετε με χρήση υπολογιστή, και στις 4 περιπτώσεις, τόσο την αρχική συνάρτηση, όσο και το ζητούμενο πολυώνυμο Tylor. 77. (Υπολογισμός sin x) Στην άσκηση αυτή πρέπει να δημιουργήσετε ένα πρόγραμμα (σε γλώσσα προγραμματισμού της προτίμησής σας) το οποίο θα υπολογίζει τιμές της συνάρτησης f(x) = sin x για οποιοδήποτε x ( π/2, π/2). (Η τιμή του ημιτόνου σε άλλα σημεία μπορεί να υπολογιστεί από αυτά με χρήση της περιοδικότητας του ημιτόνου.) Το πρόγραμμα πρέπει να δέχεται ως είσοδο πρώτον μια τιμή x στο άνω διάστημα και δεύτερον ένα μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα E, και κατόπιν να υπολογίζει το sin x μέσω του πολυωνύμου Tylor P n (x) του ημιτόνου γύρω από το x 0 = 0, προσθέτοντας τόσους όρους στο πολυώνυμο ώστε εγγυημένα το σφάλμα, δηλαδή η απόλυτη τιμή R n (x) του υπολοίπου R n (x), να είναι μικρότερο του E. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο που δίνει ένα άνω φράγμα στην τιμή του σφάλματος: R n x n+1 (n + 1)!. (1) Το πρόγραμμα πρέπει να παρέχει ως έξοδο την τιμή για το sin x που υπολόγισε, το άνω φράγμα για το σφάλμα και τα ακόλουθα, ως γραφικές παραστάσεις της τάξης n του πολυώνυμου Tylor: (αʹ) Την τιμή του πολυωνύμου P (x) στη θέση x. (βʹ) Το υπόλοιπο R n (x) (θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη ρουτίνα που παρέχει η ίδια η γλώσσα προγραμματισμού για το ημίτονο). (γʹ) Το άνω φράγμα στο σφάλμα που δίνει ο τύπος (1).

12 12 Εξηγήστε γιατί ισχύει ο τύπος (1). Κατόπιν, τρέξτε το πρόγραμμά σας για την τιμή x = 1 και E = 10 6 και τυπώστε την έξοδο του προγράμματος. 78. (Υπολογισμός exp x) Επαναλάβετε την Άσκηση 77 αλλά για την συνάρτηση f(x) = exp x με x (, 0), x 0 = 0, και σε δύο σημεία: το x = 1 και το x = 40. Εξηγήστε γιατί ισχύει ο τύπος (1) και σε αυτή την περίπτωση. Τι παρατηρείτε; 11η Ομάδα Ασκήσεων 79. (Σειρές 1) Να προσδιορίσετε αν οι ακόλουθες σειρές συγκλίνουν ή όχι: 1 2n + n sin 3n, 1 2n 2 + n 2 sin 2 3n, n! (2n), (2n)! (3n). 80. (Σειρές 2) (αʹ) Για κάθε θετικό ακέραιο k Z, να προσδιορίσετε αν η σειρά (n!) 2 n=1 (kn)! συγκλίνει ή αποκλίνει. (βʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό p R να προσδιορίσετε αν η σειρά n=1 n(1 + n2 ) p συγκλίνει ή αποκλίνει. (Υπόδειξη: εξετάστε τις χαρακτηριστικές περιπτώσεις k = 1, k = 2, και p = 1.) 81. (Όριο και σειρά Ι) (αʹ) Υπολογίστε το ακόλουθο όριο: ( lim x x+1/x) / (x + 1/x) x. x (βʹ) Χρησιμοποιώντας το άνω σκέλος, βρείτε αν η ακόλουθη σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει: ( n n+1/n) / (n + 1/n) n. 82. (Σειρές) Να προσδιορίσετε αν συγκλίνουν οι ακόλουθες σειρές n=2 n log n, n=1 n n 2 + 1, n=1 n 2 2 n, (log n) n /e n2 +n (Αόριστο ολοκλήρωμα και σειρά) Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα dx και ακολούθως να x(log x) 2 αποφανθείτε για την σύγκλιση της σειράς n=2 84. (Ευθείες) 1 n(log n) 2. 12η Ομάδα Ασκήσεων (αʹ) Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις ευθείες Ax + By = C 1 και Bx Ay = C 2, όπου A, B 0? (βʹ) Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις ευθείες Ax + By = C 1 και Ax + By = C 2, όπου A, B 0? 85. (Ιδιότητες παραλληλογράμμων) Να δείξετε ότι ισχύουν τα ακόλουθα στον R 2, κάνοντας χρήση ιδιοτήτων των διανυσμάτων. (αʹ) Οι διαγώνιες ενός ρόμβου είναι κάθετες μεταξύ τους.

13 13 (βʹ) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο ανν οι διαγώνιές του έχουν το ίδιο μήκος. 86. (Περιγραφές επιπέδων) Υπενθυμίζουμε ότι ένα επίπεδο στον R 3 μπορεί να περιγραφεί με τους ακόλουθους τρόπους: (αʹ) (βʹ) (γʹ) (δʹ) (εʹ) (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ 1 (x 1, y 1, z 1 ) + λ 2 (x 2, y 2, z 2 ), λ 1, λ 2 R, όπου το διάνυσμα (x 0, y 0, z 0 ) R 3, και τα διανύσματα (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) R 3 είναι μη μηδενικά, και όχι παράλληλα μεταξύ τους. όπου τα, b, c δεν είναι όλα μηδέν. x + by + cz = d, x x 0 y y 0 z z 0 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = 0, όπου το διάνυσμα (x 0, y 0, z 0 ) R 3, και τα διανύσματα (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) R 3 είναι μη μηδενικά, και όχι παράλληλα. x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0 = 0, όπου τα (x 0, y 0, z 0 ), (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), είναι μη συνευθειακά. A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Ax + By + Cz = Ax 0 + By 0 + Cz 0, όπου το διάνυσμα (A, B, C) είναι μη μηδενικό. Βεβαιωθείτε ότι σε όλες τις περιπτώσεις κατανοείτε τη σχέση που έχουν οι παράμετροι με το επίπεδο. Ακολούθως, για κάθε ένα από τα παρακάτω επίπεδα, δώστε περιγραφή (δηλαδή, προσδιορίστε όλες τις παραμέτρους) και στις πέντε από τις άνω μορφές: (αʹ) Το επίπεδο στο οποίο ανήκουν τα σημεία (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). (βʹ) Το επίπεδο που έχει κάθετο διάνυσμα το ( 1, 2, 3) και διέρχεται από το σημείο (1, 1, 0). 87. (Επίπεδα στο χώρο) Να υπολογίσετε την γωνία ανάμεσα στα επίπεδα 7x+6y+2 = 7 και 3x 2y+4 = (Κωνική τομή 1) Έστω η κωνική τομή με εξίσωση 13η Ομάδα Ασκήσεων 3 2 x y2 + 5xy + 4 2x + 4 2y = 0. Να προσδιοριστεί το είδος της (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή, ειδική περίπτωση). Να προσδιοριστεί το κέντρο και όλοι οι άξονες συμμετρίας ως προς το σύστημα συντεταγμένων xy. 89. (Παραβολή) (αʹ) Να σχεδιάσετε παραβολή με κορυφή το σημείο (2, 2), άξονα συμμετρίας την y = 4 x, διευθετούσα την y = x 1, και p = 2 2.

14 14 (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση που ικανοποιεί η άνω παραβολή στο σύστημα συντεταγμένων xy. 90. (Εφαπτόμενες σε γεωμετρικό τόπο) (αʹ) Να περιγραφεί ο γεωμετρικός τόπος που δίνεται από την εξίσωση 4x 2 16x + y 2 6y + 21 = 0. (βʹ) Ακολούθως, να βρεθούν όλες οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και είναι εφαπτομενικές στον άνω γεωμετρικό τόπο. 91. (Χαρακτηρισμός γεωμετρικού τόπου) Να σχεδιάσετε, με κατά το δυνατό καλύτερη ακρίβεια, την κωνική τομή που ικανοποιεί την ακόλουθη εξίσωση (αʹ) 13x y xy 114x 66y = 0. Να υπολογίσετε την θέση του κέντρου, των κορυφών, των αξόνων, και της διευθετούσας (αν υπάρχει). 92. (Φούρναρης) Ένας φούρναρης φτιάχνει κουλούρια των οποίων το σχήμα ταυτίζεται με το στερεό εκ περιστροφής που προκύπτει αν περιστρέψουμε, περί τον άξονα των y, την έλλειψη με κέντρο το σημείο (20, 0), μεγάλο άξονα μήκους 4 παράλληλο με τον άξονα των y και μικρό άξονα μήκους 2 επί του άξονα των x. (αʹ) Γράψτε εξίσωση για την έλλειψη. (βʹ) Δώστε τον όγκο των κουλουριών σε μορφή ολοκληρώματος. (γʹ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα του προηγούμενου σκέλους. 93. (Κωνική Τομή 2) Έστω ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση 5x 2 26xy + 5y x 72y = 0. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι κωνική τομή. Να προσδιορίσετε το είδος της (έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή) και επιπλέον το κέντρο και τους άξονές της αν είναι έλλειψη ή υπερβολή, και την κορυφή και τον άξονά της, αν είναι παραβολή.