Διπλωματική εργασία «Διδακτική προσέγγιση του εμβαδού της έλλειψης με αναφορά στο έργο Σφαιροειδή και Κωνοειδή του Αρχιμήδη»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική εργασία «Διδακτική προσέγγιση του εμβαδού της έλλειψης με αναφορά στο έργο Σφαιροειδή και Κωνοειδή του Αρχιμήδη»"

Transcript

1 Διπλωματική εργασία «Διδακτική προσέγγιση του εμβαδού της έλλειψης με αναφορά στο έργο Σφαιροειδή και Κωνοειδή του Αρχιμήδη» ΣΤΕΦΑΝΑΚΗ ΣΤΑΜΑΤΙΝΑ Επιβλέπων καθηγητής Γιαννακούλιας Ευστάθιος ΑΘΗΝΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2008

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μερταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την./2/2008 από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1. Γιαννακούλιας Ευστάθιος (επιβλέπων καθηγητής) Αναπλ.Καθηγητής 2. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Αναπλ.Καθηγητής 3. Λάππας Διονύσιος Αναπλ. Καθηγητής 2

3 Αναγεννησιακή απεικόνιση του Αρχιμήδη, ενώ σχεδιάζει με το διαβήτη. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή.. Ο βίος του Αρχιμήδη Λίγα λόγια για τον κοινωνικό του περίγυρο. Η αλληλογραφία του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης ως αστρονόμος. Διηγήσεις για τον Αρχιμήδη. Ο θάνατος του Αρχιμήδη. Κεφάλαιο 1... Περί των έργων του Αρχιμήδη. 1.1 Η γλώσσα των έργων του Αρχιμήδη. 1.2 Τα σωζόμενα έργα του Αρχιμήδη. 1.3 Τα χαμένα έργα του Αρχιμήδη. 1.4 Κείμενα που αναφέρονται στη συλλογή Fihrist. 1.5 Πίνακας χαμένων έργων. 1.6 Πίνακας για τους κώδικες. 1.7 Πίνακας έργων που περιέχονται στους κώδικες. 1.8 Οι εκδόσεις των έργων του Αρχιμήδη. Κεφάλαιο 2. Οι μηχανικές ανακαλύψεις του Αρχιμήδη. 2.1 Εισαγωγή. 2.2 Το πυκνόμετρο ή αραιόμετρο. 2.3 Μια αστρονομική συσκευή. 2.4 Ο βαρούλκος, η υδροσκοπίαι και η πνευματική. 2.5 Τα κάτοπτρα. 2.6 Ο κοχλίας ή έλιξ. 2.7 Το οδόμετρο ή δρομόμετρο. 2.8 Το πλανητάριο ή σφαίρα. 2.9 Το πολύσπαστο Το σιφόνι. 4

5 2.11 Το τηλεβόλο Το χαριστίωνα Το υδραυλικό ρολόι. Κεφάλαιο 3. Τα έργα του Αρχιμήδη 3.1 Το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη 3.2 Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου α και β 3.3 Κύκλου Μέτρησις 3.4 Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων 3.5 Περί ελίκων 3.6 Μηχανικά ή επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βάρων επιπέδων α και β 3.7 Ο Ψαμμίτης 3.8 Τετραγωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής 3.9 Έφοδος 3.10 Βιβλίο Λημμάτων 3.11 Το Βοεικό πρόβλημα του Αρχιμήδη 3.12 Το Στομάχιον Κεφάλαιο 4. Ο υπολογισμός του εμβαδού της έλλειψης Επίλογος... Οι επιρροές που άσκησε ο Αρχιμήδης Βιβλιογραφία 5

6 Εισαγωγή Ο βίος του Αρχιμήδη Για να προσδιορίσουμε την ημερομηνία γέννησης του μεγάλου αυτού Έλληνα μαθηματικού χρησιμοποιούμε κάποιον έμμεσο τρόπο, δηλαδή την ημερομηνία θανάτου του, 1 η οποία χρονολογείται γύρω στο 212 π.χ.f F. Από την πληροφορία που μας δίνει ο 2 ιστοριοδίφης Ιωάννης ΤζέτζηςF F, σύμφωνα με την οποίαν όταν ο Αρχιμήδης ήταν 75 χρονών τον φόνευσε κάποιος Ρωμαίος στρατιώτης κατά τη διάρκεια της άλωσης της πόλεως των 3 ΣυρακουσώνF F, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι γεννήθηκε περίπου το 287 π.χ. «Ο Αρχιμήδης ο σοφός, μηχανητής εκείνος, τω γένει Συρακούσιος ην, γέρων γεωμέτρης, χρόνους τε εβδομήκοντα και πέντε παρελαύνων [ ]». (Ο Αρχιμήδης, ο σοφός, ο μηχανικός εκείνος που καταγόταν από τις Συρακούσες, γέρος γεωμέτρης, έζησε εβδομήντα πέντε χρόνια[ ]). Όσο αφορά την καταγωγή του, λίγα μπορούν να ειπωθούν με βεβαιότητα. 4 Σύμφωνα με την πληροφορία που μας δίνει ο ΚικέρωναςF F καταγόταν από πτωχή οικογένεια. «[ ]ex eadem urbe humilem homunculum a pulvere et radio excitabo, qui multis annis post fuit, Archimedem[ ]». ([ ]επιθυμώ από αυτή την πόλη, (τις Συρακούσες) να θυμηθώ έναν ταπεινό άνθρωπο της άμμου και του σχεδιαστικού κανόνα, τον Αρχιμήδη[ ]). 5 Το ίδιο υποστηρίζει και ο Σίλιος ο ΙταλικόςF F αφού γράφει στην πραγματεία του (η οποία σώζεται στα λατινικά): 1 Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά, σελίς 1. 2 Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά Μαρτυρία Οι Συρακούσες ήταν αποικία των Κορινθίων στη Σικελία που έχει ιδρυθεί τον 8 0 π.χ. αιώνα. 4 Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά Μαρτυρία Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά. Μαρτυρία

7 ([ ]βρισκόταν λοιπόν σε αυτή την πόλη ένας άνθρωπος, η μεγαλύτερη δόξα του αιώνα του, ο Αρχιμήδης ο οποίος χάρη στην μεγαλοφυΐα του ανυψώθηκε πολύ από τους άλλους θνητούς. Ήταν πτωχός, αλλά ο ουρανός και η γη αποκάλυψαν τις εμπνεύσεις του). Διαβάζοντας την πραγματεία του Πλούταρχου «Βίοι παράλληλοι, Μάρκελλος» αποσπάμε την πληροφορία ότι ήταν συγγενής του βασιλιά των Συρακουσών Ιέρωνος και ότι στο λουτρό τον συνόδευαν υπηρέτες. «Ο Αρχιμήδης λοιπόν ων συγγενής και φίλος του βασιλέως Ιέρωνος[ ]πολλάς φοράς δε συρόμενος υπό των υπηρετών διά το άλειμμα (μέ λάδι) και το λουτρόν, έγραφεν είς την εστίαν (εις τήν στάχτην) γεωμετρικά σχήματα, καί εν ω το σώμα ητο αλημμένον μέ λάδι έγραφεν μέ τόν δάκτυλόν του γραμμάς κατεχόμενος υπό μεγάλης ηδονής καί ων αληθώς μουσόληπτος[ ]». (Ο Αρχιμήδης λοιπόν ο οποίος ήταν συγγενής και φίλος του βασιλιά Ιέρωνα[ ]πολλές φορές δε συνοδευόμενος από τους υπηρέτες στο λουτρό για την επάλειψη με λάδι, έγραφε στην στάχτη γεωμετρικά σχήματα και καθώς το σώμα του ήταν αλειμμένο με λάδι έγραφε με το δάχτυλό του γραμμές, κατεχόμενος από μεγάλη ηδονή και αληθινά μουσόληπτος[ ]). Ακόμα περισσότερες πληροφορίες για τη σχέση των δύο αυτών ανδρών παίρνουμε από το κεφάλαιο «Περί Ηρακλείου ξς» του έργου του Ιωάννη Τζέτζη το οποίο φέρει τον 6 τίτλο «Χιλιάδες»F F. «Ούτος ο Συρακούσιος πάνσοφος Αρχιμήδης ήτο του Ιέρωνος του βασιλέως των Συρακουσών σύμβουλος, φίλος, γραμματεύς, γενικός μηχανικός[ ]». (Αυτός ο Συρακούσιος πάνσοφος Αρχιμήδης, ήταν του Ιέρωνα βασιλιά των Συρακούσιων σύμβουλος, φίλος, γραμματέας, γενικός μηχανικός[ ]). 6 Χιλιάδες V32, v , Σταμάτης

8 Λίγα λόγια για τον κοινωνικό του περίγυρο Η παραμονή του Αρχιμήδη στην Αλεξάνδρεια μνημονεύεται από τον Διόδωρο. Εκεί ο Αρχιμήδης δημιούργησε φιλίες με σπουδαίους μαθηματικούς όπως οι προαναφερθέντες Κώνων ο Σάμιος, ο Ερατοσθένης, ο Κυρηναίος και ο Δοσίθεος. Ο πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας και είχε υπολογίσει το πηλίκο των διαμέτρων του ήλιου και της σελήνης, σύμφωνα με μαρτυρία του ίδιου, στην εισαγωγή 7 της πραγματείας του «Ψαμμίτης»F F. Το γεγονός ότι κάποιος Άραβας συγγραφέας αποκαλεί τον Αρχιμήδη «υιό του Πυθαγόρα» δεν το λαμβάνουμε σοβαρά υπόψη μας, αφού οι Άραβες συγγραφείς συνήθιζαν να γράφουν για τις ζωές των Ελλήνων προκατόχων τους, χρησιμοποιώντας τη φαντασία τους. Επίσης, δε θεωρούμε ότι ισχύει η πληροφορία που μας παρέχει ο Linceo Mirabello ότι ο Αρχιμήδης ήταν μαθητής του Πλάτωνα, επειδή κάτι τέτοιο δεν μπορεί να ισχύει για χρονολογικούς λόγους αφού ο Πλάτωνας είχε πεθάνει 60 χρόνια πριν από τη γέννηση του Αρχιμήδη. Τέλος, ο David Rivault στην έκδοση που συνέταξε το 1615 γράφει ότι είχε ακούσει από έναν πολυμαθή Έλληνα φίλο ότι η μάρτυς Santa Lucia ήταν απόγονος του σπουδαίου Αρχιμήδη. Το βέβαιο πάντως είναι ότι το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του έζησε στις Συρακούσες, ενώ σύμφωνα με Άραβες συγγραφείς ένα μεγάλο διάστημα το πέρασε στην Αίγυπτο και αφότου επέστρεψε επισκέφτηκε και άλλες χώρες μέσα στις οποίες συγκαταλέγεται και η Ισπανία. Εκεί, όπως υποστηρίζει ο Leonardο da Vinci, διάβασε στην Ιστορία των Ισπανών, ο Αρχιμήδης βοήθησε τον βασιλιά Ecliderides του Cilodastri, σε έναν θαλάσσιο πόλεμο εναντίον των Άγγλων με την ανακάλυψη μιας συσκευής για αναβλύζουσα καμένη πίσσα στα καράβια των αντιπάλων. Την επίσκεψη του όμως αυτή στην Ισπανία επιβεβαιώνει κατά κάποιο τρόπο και ο Διόδωρος, αφού αναφέρει ότι το χρυσό μέταλλο που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης στην κατασκευή του κοχλία ήταν ισπανικής προελεύσεως. 7 Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά. Μαρτυρία 43. 8

9 Η αλληλογραφία του Αρχιμήδη Ο Αρχιμήδης ήταν μοναχικός τύπος. Όταν ήταν νέος είχε σπουδάσει για ένα διάστημα στην Αλεξάνδρεια των Αιγύπτων, όπου ανέπτυξε φιλία με τον Κόνωνα, ένα ταλαντούχο μαθηματικό τον οποίο εκτιμούσε ως άνθρωπο και ως διανοητή, καθώς και με τον Ερατοσθένη, έναν επίσης καλό μαθηματικό. Ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει τα κείμενά του, άλλοτε με αποδείξεις και άλλοτε χωρίς, στους συναδέλφους του στην Αλεξάνδρεια και ιδίως στον Ερατοσθένη και στον Κόνωνα (στον οποίο όταν αναφερότανε, μίλαγε με μεγάλο πάντα θαυμασμό) και στο μαθητή του Δοσίθεο περιμένοντας την γνώμη τους. Αυτά τα γραπτά τα συνόδευε από εισαγωγικές επιστολές οι οποίες συνήθως περιείχαν μια περίληψη των προτάσεων που κάθε φορά αποδείκνυε. Μερικές φορές μάλιστα οι εισαγωγικές αυτές επιστολές αποτελούνταν και από προτάσεις προηγούμενων επιστολών. Αρχικά έστελνε στους φίλους του μαθηματικούς μονάχα τις προτάσεις προτείνοντας τους να τις σχολιάσουν. Τους παρότρυνε να βρουν μόνοι τους τις αποδείξεις και υποστήριζε ότι αυτό έπρεπε να το κάνουν για τον εαυτό τους. Όπως γράφει ο ίδιος ο Αρχιμήδης στην εισαγωγή της πραγματείας του «Περί ελίκων» ήθελε να δώσει την ευχαρίστηση στους φίλους του μαθηματικούς να τις ανακαλύψουν οι ίδιοι. Η ολοκληρωμένη και σωστή απόδειξη ακολουθούσε έπειτα από κάποιο χρονικό διάστημα απεσταλμένη από τον ίδιο. Μάλιστα, μερικές φορές χρειάστηκε να περάσουν χρόνια προτού ο Αρχιμήδης, υπό 8 την πίεση των φίλων του, δημοσιεύσει πλήρεις αποδείξεις των προτάσεών τουf F. Χάρη σε αυτήν τη διαδικασία που ακολουθούσε είμαστε σε θέση να συμπεράνουμε λεπτομέρειες σχετικές με τη σειρά με την οποία ο Αρχιμήδης έκανε τις ανακαλύψεις του και επιπλέον πληροφορίες σχετικές με τη δημοσιοποίησή τους. Τέλος, τη φήμη που απέκτησε ο Αρχιμήδης δεν την όφειλε μονάχα στις επιστολές αυτές που συνήθιζε να στέλνει. Ακόμα και πριν από αυτά, το έργο του πάνω στην αστρονομία είχε διαδοθεί και εκτιμηθεί ευρέως και η ευφυΐα του σε συνδυασμό με το εφευρετικό του πνεύμα είχε προκαλέσει μεγάλο θαυμασμό. Διαβάζοντας την εισαγωγή του έργου του Αρχιμήδη «Περί ελίκων» συνειδητοποιούμε ότι είχαν περάσει αρκετά χρόνια από την πρώτη έκδοση των προτάσεων και των προβλημάτων που περιείχε το έργο «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» μέχρι την επικοινωνία του Αρχιμήδη για δεύτερη φορά με τους μαθηματικούς στην Αλεξάνδρεια. Μάλιστα, με μια επιστολή του ο Αρχιμήδης αποκάλυψε ότι δύο προτάσεις που ο ίδιος έδωσε για την σφαίρα, ήταν λανθασμένες και ο λόγος ο οποίος τον ώθησε να κάνει αυτή την κίνηση 8 B.L. Van Der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2000, σελίς

10 ήταν γιατί ήθελε να παραπλανήσει εκείνους τους μαθηματικούς οι οποίοι συνήθιζαν να καυχιούνται λέγοντας ότι οι ίδιοι είχαν ανακαλύψει όσα ο Αρχιμήδης τους έδινε με τα γράμματα του χωρίς όμως να δίνουν τις αντίστοιχες αποδείξεις. Όπως γράφει χαρακτηριστικά στην εισαγωγή του έργου του «Περί ελίκων», άφηνε καμιά φορά να του ξεφύγουν λίγες λανθασμένες προτάσεις «ώστε εκείνοι οι οποίοι λέγουν ότι τα βρίσκουν όλα, χωρίς όμως να παρουσιάζουν καμία απόδειξη, να ελέγχονται ότι ισχυρίζονται πως βρίσκουν τα 9 αδύνατα»f F. Αν διαβάσει κανείς την ειρωνικά εγκωμιαστική εισαγωγή της πραγματείας του Αρχιμήδη «Μέθοδο», θα μπορούσε να σκεφτεί ότι στόχος αυτής της παρατήρησης ίσως ήταν ο Ερατοσθένης. Ο Αρχιμήδης είχε αφιερώσει τα έργα του «Περί των μηχανικών θεωρημάτων έφοδος» ή απλά «Έφοδος» και το «Βοεικό πρόβλημα» στον φίλο του Ερατοσθένη τον Κυρηναίο. Τις πραγματείες του «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», «Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων», «Περί ελίκων» και «Τετραγωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής» τις είχε αφιερώσει στον Δοσίθεο. Τέλος, στον Γέλωνα - υιό και συμβασιλέα του Ιέρωνα είχε αφιερώσει την πραγματεία του «Ψαμμίτης». Το γεγονός ότι δεν περιέχουν αφιερώσεις οι πραγματείες του «Κύκλου μέτρησις», «Οχουμένων», «Στομάχιον», «Βιβλίο λημμάτων» και «Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων», μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι είναι πιθανόν να έφτασαν στα χέρια μας ελλιπείς. 9 B.L. Van Der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2000, σελίς

11 Ο Αρχιμήδης ως αστρονόμος Στην περίοδο της μεγαλύτερης άνθησης των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, ο μαθηματικός και αστρονόμος Αρίσταρχος ο Σάμιος παρατήρησε το θερινό ηλιοστάσιο. Όπως 10 αναφέρει ο Αρχιμήδης στην πραγματεία του «Ψαμμίτης»F F, ο Αρίσταρχος πρότεινε την τολμηρή υπόθεση ότι η γη περιφέρεται σε κύκλο γύρω από τον ήλιο, την οποία όμως οι περισσότεροι αστρονόμοι της εποχής απέρριψαν, τεκμηριώνοντας την άποψή τους με ισχυρά επιχειρήματα. Ένα από τα επιχειρήματα, ενάντια στη περιστροφή της γης γύρω από τον ήλιο, είναι ότι κάτι τέτοιο θα θα απαιτούσε αδιάκοπες αλλαγές στις φαινόμενες αποστάσεις μεταξύ των απλανών αστέρων. Για να αντιμετωπίσει αυτή τη δυσκολία ο Αρίσταρχος υποστήριξε ότι η σφαίρα των απλανών αστέρων έχει ακτίνα τόση μεγάλη που η τροχιά της γης θα μπορούσε να θεωρηθεί σαν ένα απλό σημείο σε σύγκριση με αυτή. Το μόνο από τα έργα του Αρίσταρχου που έχει σωθεί είναι η πραγματεία «Περί μεγεθών και αποστημάτων ηλίου και σελήνης», στην οποία ο Αρίσταρχος από μερικές υποθέσεις που προέκυψαν από παρατηρήσεις διατυπώνει τις ακόλουθες προτάσεις: Η απόσταση γης ήλιου είναι μεγαλύτερη από το 18-πλάσιο και μικρότερη από το 20- πλάσιο της απόστασης γης σελήνης. Οι διάμετροι του ηλίου και της σελήνης έχουν τον αυτό λόγο όπως οι αποστάσεις τους. 19 Ο λόγος της διαμέτρου του ηλίου προς τη διάμετρο της γης είναι μεγαλύτερος από και 3 μικρότερος από Στην απόδειξη της τελευταίας πρότασης χρησιμοποιούνται οι παρατηρήσεις των εκλείψεων, ενώ η απόδειξη της πρώτης πρότασης είναι σημαντική για την ιστορία της τριγωνομετρίας επειδή δίνει για πρώτη φορά μια μέθοδο προσέγγισης του ημιτόνου μιας μικρής γωνίας (3 μοιρών). Για τον Αρχιμήδη ως αστρονόμο, γνωρίζουμε δυστυχώς πολύ λίγα. Σύμφωνα με 11 μια δήλωση του ΙππάρχουF F ο Αρχιμήδης έκανε σφάλμα 4 1 της ημέρας (πάρα πολύ μικρό) 12 στην παρατήρηση των ηλιοστασίων. Στην πραγματεία του «Ψαμμίτης»F F περιγράφει έναν μηχανισμό που χρησιμοποίησε για να μετρήσει τη φαινομένη διάμετρο του ηλίου. Ο Αρχιμήδης φαίνεται να ασπάζεται την άποψη των περισσότερων αστρονόμων η οποία 10 B.L. Van Der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2000, σελίς Κλαύδιος Πτολεμαίος, Μεγίστη Σύνταξις, ΙΙΙ, B.L. Van Der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2000, σελίς

12 υποστηρίζει ότι η γη βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος. Σύμφωνα με τον Μακρόβιο, ο Αρχιμήδης υπολόγισε τον αριθμό των σταδίων από τη γη ως την σελήνη, από την σελήνη ως την Αφροδίτη, από εκεί ως τον Ερμή, ως τον Ήλιο, τον Άρη, τον Δία, τον Κρόνο και τέλος από εκεί ως την σφαίρα των απλανών. Όμως το μεγαλύτερο επίτευγμα του Αρχιμήδη στο πεδίο της αστρονομίας, το οποίο θαυμάστηκε ιδιαίτερα στην αρχαιότητα, ήταν η κατασκευή ενός πλανηταρίου. Το πλανητάριο ήταν μια περιστρεφόμενη ανοιχτή σφαίρα με εσωτερικούς μηχανισμούς οι οποίοι μιμούνταν τις κινήσεις του ήλιου, της σελήνης και των πέντε πλανητών. Μια απλή στροφή έθετε σε λειτουργία όλες τις περίπλοκες κινήσεις με τις ποικίλες περιόδους 13 περιστροφής των διαφόρων ουρανίων σωμάτων. Όπως γράφει ο ΚικέρωναςF F: «Όταν ο Gallus έθεσε τη σφαίρα σε κίνηση μπορούσε να δει κανείς, σε κάθε στροφή, τη σελήνη να ανατέλλει μετά τον ήλιο επάνω από το γήινο ορίζοντα, όπως ακριβώς συμβαίνει κάθε μέρα στον ουρανό. Και μετά έβλεπε πώς ο ήλιος εξαφανιζόταν και πώς η σελήνη εισερχόταν στον κώνο της σκιάς της γης με τον ήλιο στην απέναντι πλευρά...». 13 B.L. Van Der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2000, σελίς

13 Διηγήσεις για τον Αρχιμήδη Η αγάπη και η εμμονή του με τα μαθηματικά αλλά και οτιδήποτε τον απασχολούσε 14 δηλώνεται από τον ΠλούταρχοF F: «[...]συνεχώς μαγεμένος από μία Σειρήνα που τον συνόδευε πάντα, ξέχασε να φάει και να φροντίσει το σώμα του. Και όταν, όπως θα συνέβαινε συχνά, τον ωθούσαν να λούσει τον εαυτό του, αυτός θα εξακολουθούσε να ζωγραφίζει γεωμετρικά σχήματα στις στάχτες ή με το δάχτυλό του θα σχεδίαζε γραμμές πάνω στο αλειμμένο σώμα του, όντας κατεχόμενος από μια φοβερή έκσταση και πραγματικά ένας δούλος στις Μούσες[...]». Βγαίνοντας από το μπάνιο, άλειφε το σώμα του με λάδι κατά τη συνήθεια της εποχής, και συνεπαρμένος παρατηρούσε τα διαγράμματα που σχημάτιζε με το νύχι στο λαδωμένο του σώμα. Λέγεται επίσης ότι είχε ως πίνακα ένα πάτωμα στρωμένο με άμμο ή ένα κομμάτι σκληρής γης σκονισμένο και δίχως ανωμαλίες. Καθισμένος δε μπροστά στη φωτιά διέγραφε σχήματα στη στάχτη. Αρκετά γνωστή σε όλους είναι η ακόλουθη ιστορία την οποία διηγείται ο 15 Βιτρούβιος στο έργο του «De Αrchitectura» («Περί αρχιτεκτονικής»)f F: «[ ]nimirum Hiero enim Syracusis auctus regia potestate, rebus bene gestis cum auream coronam votivam diis inmortalibus in quodam fano constituisset ponendam, manupretio locative faciendam et aurum ad saconam adpendit redemptori. Is ad tempus opus manu factum subtiliter regi adprovabit et ad saconam pondus coronae visus est praestitisse. Posteaquam indicium est factum dempto auro tantundem argendi in id coronarium opus admixtum esse, indignatus Hiero se contemptum esse neque inveniens, qua ratione id furtum reprehenderet, rogavit Archimedem, uti in se sumeret sibi de eo cogitationem. Tunc is, cum haberet eius rei curam, casu venit in balineum, ibique cum in solium descenderet, animadvertit, quantum corporis sui in eo insideret, tantum aquae extra solium effluere. Idque cum eius rei rationem explicationis ostendisset, non est moratus, sed exsiluit gaudio motus de 14 E.J. Dijksterhuis, Archimedes, Princeton, NJ, Princeton University Press, Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά. Μαρτυρία

14 solio et nudus vadens domum <uni> versis significabat clara voce invenisse, quod quereret ; nam currens identidem graece clamabat εύρηκα εύρηκα[ ]» ([ ]Όταν ο βασιλιάς Ιέρωνας, αφότου πέτυχε να γίνει βασιλιάς των Συρακουσών, θέλησε για την επιτυχία του να αφιερώσει στους αθάνατους θεούς σε ένα ναό ένα χρυσό στεφάνι. Το παράγγειλε έναντι αμοιβής σε χρυσοχόο και όταν αυτό ετοιμάστηκε ζύγιζε όσο έπρεπε. Το έργο αυτό, που παραδόθηκε μέσα στη χρονική προθεσμία από τον τεχνίτη, δέχτηκε την πλήρη επιδοκιμασία του βασιλιά και επιπλέον είχε το προκαθορισμένο βάρος. Αργότερα διατυπώθηκε η κατηγορία ότι αφαιρέθηκε μέρος του χρυσού και στη θέση του τοποθετήθηκε στο στεφάνι το ανάλογο μέρος αργύρου. Ο Ιέρωνας αγανάκτησε διότι εξαπατήθηκε. Επειδή λοιπόν ήταν προβληματισμένος για το πώς θα αποδείκνυε την απάτη, έδωσε εντολή στον Αρχιμήδη να ερευνήσει την υπόθεση. Καθώς ο τελευταίος προσπαθούσε να εκπληρώσει την εντολή εισήλθε στο Βαλάνειο για να κάνει μπάνιο και όταν μπήκε μέσα στην μπανιέρα του ήρθε στο νου ότι όσο νερό χυνόταν έξω από την μπανιέρα τόσο ήταν το βάρος του βυθιζόμενου σώματος. Έπειτα από σκέψη για την αιτία αυτού του φαινομένου φώναξε «Εύρηκα! Εύρηκα!»). Έτσι ο Αρχιμήδης διατύπωσε μια αρχή της υδροστατικής που είναι γνωστή ως η αρχή του Αρχιμήδη. Την αρχή αυτή την διατύπωσε στο έργο του: «Επί των πλεόντων σωμάτων». Η αρχική διατύπωση είναι η ακόλουθη: «Ένα στερεό βαρύτερο από ένα υγρό, αν τεθεί εντός αυτού, θα βυθιστεί. Αν ισορροπήσει στο υγρό τότε θα είναι πιο ελαφρό από το πραγματικό του βάρος κατά βάρος ίσο τ εκείνου του υγρού που εκτοπίζει». Το φαινόμενο αυτό επαληθεύει το ότι ένα σώμα, που εισάγεται σε ένα υγρό, δέχεται μια ώθηση κατακόρυφη προς τα άνω (άνωση) ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει. Η αρχή του Αρχιμήδους διατυπώνεται ως εξής: «Κάθε σώμα το οποίο βυθίζεται μέσα σε κάποιο υγρό υφίσταται άνωση, η οποία είναι ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού». 16 Μία άλλη ιστορία, την οποία αναφέρει ο ΗρωναςF F στην πραγματεία του «Αποσπάσματα Μηχανικής», αφορά μια μηχανική ανακάλυψη του Αρχιμήδη (ανακάλυψη των μοχλών): 16 Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά. Μαρτυρία

15 «Της αυτης δέ εστιν θεωρίας το δοθέν βάρος τη δοθείση δυνάμει κινησαι τουτο γάρ Αρχιμήδους μέν εύρημα λέγεται μηχανικόν, εφ ω λέγεται ειρηκέναι. Δός μοι, φησί, που στω και κινω τήν γην». (Αυτή η θεωρία ισχύει για να κινήσει το δοθέν βάρος με την βοήθεια δοθείσας δύναμης. Διότι αυτό λέγεται ότι είναι μηχανική ανακάλυψη του Αρχιμήδη για την οποία λέγεται ότι είπε: πού να σταθώ και μπορώ να κινήσω τη γη). Η ιστορία έχει ως εξής: ο Αρχιμήδης υποστήριζε ότι μπορούσε να κινήσει ένα δοθέν βάρος με μία δοθείσα δύναμη χωρίς ιδιαίτερη προσπάθεια. Όταν ο Ιέρωνας άκουσε αυτήν τη θεωρία, προσκάλεσε τον Αρχιμήδη για να του δείξει πως αυτό το οποίο υποστήριζε μπορούσε να συμβεί. Ο βασιλιάς τότε είχε παραγγείλει να ναυπηγηθεί ένα πολυτελές πλοίο, η λεγόμενη «Συρακοσία», το οποίο θα δώριζε στον βασιλιά της Αιγύπτου Πτολεμαίο. Το πλοίο αυτό ήταν τεράστιο, εξοπλισμένο με όλα τα θαύματα της τεχνολογίας και είχε τραβηχτεί στη στεριά με μεγάλη δυσκολία όπου επανδρώθηκε με πλήρωμα. Ο Αρχιμήδης εφηύρε ένα μηχάνημα, το λεγόμενο πολύσπαστο, το οποίο ήταν δυνατόν να χειριστεί ακόμη και ένας άνθρωπος μόνος του, και με πολύ απλές κινήσεις του χεριού του, έσυρε το πλοίο από την στεριά στην θάλασσα τόσο απαλά σαν να κυλούσε πάνω σε νερό. Αυτή η ιστορία έγινε γνωστή σε όλους κυρίως εξαιτίας της φράσης του Αρχιμήδη: «Δός μοι που στω καί κινω τήν γην». 17 Μια παραλλαγή αυτής της ιστορίας μας δίνει ο ΠλούταρχοςF F στο Παράλληλοι»: έργο του «Βίοι «[...]Πάντως ο Αρχιμήδης έγραψε στον Ιέρωνα, που ήταν συγγενής και φίλος του, ότι αν δοθεί η δύναμη μπορεί να μετακινηθεί οποιδήποτε δοθέν βάρος και καυχώμενος, όπως λένε, για τη δύναμη της απόδειξης, είπε ότι αν διέθετε άλλη μια γη θα μπορούσε να μετακινούσε ετούτη πατώντας σε εκείνη. Κι επειδή ο Ιέρων έμεινε κατάπληκτος και τον παρακάλεσε να αποδείξει το πρόβλημα με πράξεις και να δείξει κάτι από τα μεγάλα που κινείται με μικρή δύναμη, ο Αρχιμήδης πήρε μια βασιλική τρικάταρτη ολκάδα που την είχαν σύρει έξω στον ναύσταθμο με πολύ κόπο και πολλούς εργάτες, κι αφού έβαλε μέσα πολλούς ανθρώπους και το συνηθισμένο φορτίο, κάθισε μόνος του μακριά και χωρίς να κοπιάσει καθόλου, αλλά 17 Βίοι Παράλληλοι, Μάρκελλος, Πλούταρχος, εκδόσεις Αρχαία Ελληνική γραμματεία, Τόμος Β, σελίς

16 ακίνητος και κουνώντας μόνο με το χέρι του την άκρη ενός πολύσπαστου μηχανήματος, έκανε το πλοίο να μετακινείται ομαλά και ατάραχα, σαν να γλιστρούσε πάνω στη θάλασσα. Ο βασιλιάς, λοιπόν, έμεινε έκπληκτος μ αυτό, κατάλαβε τη δύναμη της τέχνης του και έπεισε τον Αρχιμήδη να του φτιάξει μηχανήματα για κάθε μορφή πολιορκίας». 16

17 Ο θάνατος του Αρχιμήδη Τα περιστατικά του θανάτου του Αρχιμήδη περιγράφονται με διάφορες παραλλαγές 18 από Αρχαίους ή Βυζαντινούς συγγραφείςf F όπως ο Δίων, ο Πλούταρχος, ο Τίτος ο Λίβιος, ο 19 Σίλιος ο Ιταλικός, ο Βαλέριος ο Μάξιμος, ο Παχυμέρης και ο ΤζέτζηςF F σύμφωνα με τον οποίο: «[ ]Ούτος κατά Διόδωρον, της Συρακούσης ταύτης προδότου προς τον Μάρκελλον αθρόως γενομένης είτε κατά τον Δίωνα Ρωμαίοις πορθηθείσης, Αρτέμιδιτων πολιτών τότε παννυχιζόντων, τοιουτοτρόπως τέθνηκεν υπό τινος Ρωμαίου. Ην κεκυφώς, διάγραμμα μηχανικόν τι γράφων, τις δε Ρωμαίος επιστάς ειλκεν αιχμαλωτίζων. Ο δέ του διαγράμματος όλος υπάρχων τότε, τις ο καθέλκων ουκ ειδώς έλεγε προς εκείνον Απόστηθι, ω άνθρωπε, του διαγράμματος μου. Ως δ είλκε τουτον συστραφείς και γνούς Ρωμαίον είναι. Εβόα, τι μηχάνημα τις των εμων μοι δότω. Ο δε Ρωμαίος πτοηθείς ευθύς εκεινον κτείνει, άνδρα σαθρόν καί γέροντα, δαιμόνιον τοις έργοις[ ]». ([ ]Αυτός σύμφωνα με τον Διόδωρο όταν η πόλη των Συρακουσών κατελήφθη από τον Μάρκελλο με προδοσία ή, σύμφωνα με τον Δίωνα, κυριεύτηκε από τους Ρωμαίους ενώ οι πολίτες διασκέδαζαν λόγω της γιορτής της Αρτέμιδος, φονεύθηκε από κάποιον Ρωμαίο με τον εξής τρόπο. Βρισκόταν σκυμμένος μελετώντας κάποιο γεωμετρικό διάγραμμα, οπότε ήρθε κάποιος Ρωμαίος και τον έσυρε ως αιχμάλωτο. Ο δε Αρχιμήδης, ήταν τότε αφοσιωμένος στο διάγραμμα, και μη γνωρίζοντας ποιος τον τραβά του είπε: «Ω άνθρωπε, μην αγγίζεις το διάγραμμα μου». Ενώ δε τον τραβούσε γυρίζοντας κατάλαβε ότι είναι Ρωμαίος. Φώναξε, «κάποιος από τους δικούς μου ας μου δώσει κάποιο μηχάνημα». Ο δε Ρωμαίος επειδή φοβήθηκε αμέσως τον σκότωσε, άνδρα αδύνατο και γέροντα, δαιμόνιο στις πράξεις[ ]). 20 Μια παραλλαγή αυτής της εκδοχής την οποία δίνει ο ΠλούταρχοςF F στο έργο του «Βίοι παράλληλοι, Μάρκελλος», υποστηρίζει ότι ο Ρωμαίος αυτός στρατιώτης πήγε αμέσως να τον σκοτώσει με το ξίφος του, και ο Αρχιμήδης τον παρακάλεσε θερμά να περιμένει λίγη 18 Οι Φυσικοί Επιστήμονες της Αρχαίας Ελλάδος, εκδότης Β. Σπανδάγος, Μέρος ΙΙ, σελίς Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά Μαρτυρία Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά Μαρτυρία

18 ώρα ώστε να μην αφήσει το πρόβλημα μισοτελειωμένο και άλυτο. Όμως ο στρατιώτης αδιαφόρησε στις παρακλήσεις του και τον σκότωσε: «[ ] έτεροι μέν ουν λέγουσιν επιστηναι μέν ευθύς ως αποκτενουντα ξιφήρη τόν Ρωμαιον εκεινον δ ιδόντα δεισθαι καί αντιβολειν αναμειναι βραχύν χρόνον, ως μή καταλίπη το ζητούμενον ατελές καί αθεώρητον, τόν δέ ου φροντίσαντα διαχρήσασθαι[ ]» Σύμφωνα με μία τρίτη εκδοχή πάλι από το ίδιο έργο του Πλούταρχου, κάποιοι στρατιώτες οι οποίοι τον συνάντησαν στο δρόμο να πηγαίνει κάποια μαθηματικά όργανα στον Μάρκελλο, ηλιακά ρολόγια, σφαίρες και γωνίες, με τα οποία μπορούσε κανείς να κατανοήσει το μέγεθος του ήλιου, τον σκότωσαν γιατί νόμισαν ότι στη θήκη είχε χρυσάφι. «[ ] καί τρίτος εστί λόγος, ως κομίζοντι προς Μάρκελλον αυτω των μαθηματικων οργανων σκιόθηρα καί σφαίρας καί γωνίας, αις εναρμόττει τό του ηλίου μέγεθος προς τήν όψιν, στρατιωται περιτυχόντες καί χρυσίον εν τω τεύχει δόξαντες φέρειν απέκτειναν [ ]» Παρά τις διαφορές των τριών αυτών εκδοχών του θανάτου του Αρχιμήδη, υπάρχει 21 ένα κοινό σημείο που τις ενώνει και το περιγράφει ο Ιωάννης ΤζέτζηςF F: «Εθρήνησε δέ Μάρκελλος τουτο μαθών ευθέως, λαμπρώς τε τουτον έκρυψεν εν τάφοις τοις πατρώοις σύν τοις αρίστοις πολιτων καί τοις Ρωμαίοις πασι. Τόν δέ φονέα του ανδρός οιμαι πελέκει κτείνει.» (Λυπήθηκε λοιπόν ο Μάρκελλος μόλις το έμαθε, και τον έθαψε με λαμπρότητα στον πατρικό τάφο μεταξύ των αρίστων συμπολιτών του και όλων των Ρωμαίων. Λέγεται μάλιστα ότι σκότωσε τον φονιά με πέλεκα) 21 Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά Μαρτυρία

19 22 Ο τάφος του Αρχιμήδη όπως απεικονίζεται στο Λεξικό του Α. Ρ. Ραγκαβή.F F Ο Ε. Σταμάτης αναφέρει ότι ο τάφος του Αρχιμήδη ανακαλύφθηκε από τον Κικέρωνα το 75 π.χ. Με την πάροδο των χρόνων ο τάφος ξεχάστηκε και καλύφθηκε από χώματα. Ανακαλύφθηκε δε εκ νέου το 1966 μετά από ανασκαφές της Ιταλικής Αρχαιολογικής Υπηρεσίας. Το θλιβερό αυτό επεισόδιο που συμβολίζει την αιώνια σύγκρουση του κόσμου της 23 βίας με τον κόσμο του πνεύματος ενέπνευσε πολλούς ποιητές και λογοτέχνεςf F. Ο τραγικός θάνατος του Αρχιμήδη αναπαριστάνεται σε ένα περίφημο ψηφιδωτό. Στη δημοπρασία της 24 προσωπικής περιουσίας του Jerome BonaparteF F, ειπώθηκε ότι το ψηφιδωτό αυτό προέρχεται από την Ηράκλεια. Όμως ο F.W. Goethert στην διατριβή του (Zur Kunst der romischen Republic, Βερολίνο, 1931) θεωρεί πολύ πιθανό, από την εξέταση του θώρακα και του μανδύα του στρατιώτη, από την στάση του Αρχιμήδη, και από τις πτυχές στο ρούχο του ότι το ψηφιδωτό δεν είναι αρχαίο αλλά προέρχεται από τη σχολή του Ραφαήλ. 22 Χρήστος Δ. Λάζος, «Αρχιμήδης ο ευφυής μηχανικός», Εκδ.Αίολος, σελίς Οι Φυσικοί Επιστήμονες της Αρχαίας Ελλάδος, εκδότης Β. Σπανδάγος, Μέρος ΙΙ, σελίς B.L. Van Der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2000, σελίς

20 Ρωμαϊκό ψηφιδωτό του 1 ου μ.χ. αιώνα, όπου απεικονίζεται η σκηνή του φόνου του Αρχιμήδη από ένα Ρωμαίο στρατιώτη. 20

21 Κεφάλαιο 1 ο Περί των έργων του Αρχιμήδη 1.1 Η γλώσσα των έργων του Αρχιμήδη 25 Σύμφωνα με τον ιστοριοδίφη Ιωάννη ΤζέτζηF F ο πραγματείες του στη σικελική δωρική διάλεκτο: Αρχιμήδης είχε γράψει τις «[ ]Καί τίνα ά ανέγνωκα, ή όναρ ταυτα ειδον; Εδόκουν καί τόν Δώριον έχειν δέ χαρακτηρα, καί άπαν δέ τό γνώρισμα σαφές του Αρχιμήδους». ([ ]Και ποιανού είναι τα βιβλία τα οποία διάβασα ή μήπως τα είδα όνειρο; Φαίνεται ότι ήταν γραμμένα στη δωρική διάλεκτο και το ύφος τους ήταν σαφώς του Αρχιμήδη). Όμως οι πραγματείες του: «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» το α και β βιβλίο, «Κύκλου μέτρησις», «Βοεικόν πρόβλημα», «Στομάχιον» και «Έφοδος» σώζονται στην κοινή αττική γλώσσα. Θεωρείται πιθανό ότι η μετατροπή της γλώσσας αυτών των έργων έγινε 26 στην ΚωνσταντινούποληF F από τον μηχανικό Ισίδωρο τον Μιλήσιο, τον ένα από τους δύο αρχιτέκτονες του ναού της Αγίας Σοφίας. Όσο αφορά στα συγγράμματα του Αρχιμήδη, τα οποία έχουν σωθεί στην σικελική δωρική διάλεκτο, έχουν υποστεί μικρές γλωσσικές μεταβολές οι οποίες οφείλονται 27 στους αντιγραφείς. Ύστερα από προσεκτική παρατήρηση των διασωθέντων έργωνf F του Αρχιμήδη, στο θεώρημα 15 της πραγματείας «Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων» αλλά και στην εισαγωγή του έργου «Περί ελίκων» παρατηρήθηκε η μεταβολή της λέξης από 25 Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά Μαρτυρία Αρχιμήδους Άπαντα, εκδότης Ευάγγελος Σ. Σταμάτης, Τόμος Ά - Μέρος Ά 27 Από τα έργα του Αρχιμήδη σώζονται τα παρακάτω (με τη σειρά με την οποία εμφανίζονται στην δεύτερη έκδοση του Heiberg). Περί σφαίρας και κυλίνδρου α και β βιβλίο. Κύκλου μέτρησις. Περί κωνοειδών και σφαιροειδών. Περί ελίκων. Μηχανικά ή Επίπεδων Ισορροπιών ή Κέντρα Βαρών α βιβλίο. Μηχανικά ή Επίπεδων Ισορροπιών ή Κέντρα Βαρών β βιβλίο. Ψαμμίτης. Ο τετραγωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής. Περί οχουμένων α και β βιβλίο. Στομάχιον. Έφοδος. 21

22 «σαμειον» όπως είναι στην δωρική διάλεκτο σε «σημειον». Στο τέλος του θεωρήματος 28 της πραγματείας «Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων» σημειώθηκε η μεταβολή της λέξης από «αμιόλιος» σε «ημιόλιος» και την ίδια ακριβώς αλλαγή παρατηρούμε και στο τέλος του θεωρήματος 8 της πραγματείας «Μηχανικά ή Επίπεδων Ισορροπιών ή Κέντρα Βαρών». Άλλες μεταβολές στα έργα του Αρχιμήδη έχουν γίνει κατά καιρούς εξαιτίας του μεγάλου αριθμού των αντιγραφέων που μεσολάβησαν από την αντιγραφή του πρωτότυπου χειρόγραφου έργου μέχρι και την αντιγραφή των χειρογράφων αυτών που έχουμε στα χέρια μας σήμερα. 22

23 1.2 Τα σωζόμενα έργα του Αρχιμήδη 1. Περί σφαίρας και κυλίνδρου α και β βιβλίο. 2. Κύκλου μέτρησις. 3. Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων. 4. Περί ελίκων. 5. Μηχανικά ή Επίπεδων Ισορροπιών ή Κέντρα Βαρών Επιπέδων α και β βιβλίο. 6. Στομάχιον (Stomachion). 7. Περί οχουμένων α και β βιβλίο. 8. Τετραγωνισμός ορθογώνιου κώνου τομής. 9. Ψαμμίτης. 10. Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος. 11. Βιβλίο λημμάτων (μόνο στα Αραβικά). 12. Βοεικόν πρόβλημα. 13. Αρχαί γεωμετρίας (στα Αραβικά). 14. Περί κύκλων εφαπτόμενων αλλήλων (στα Αραβικά). 15. Ωρολόγιον υδραυλικόν (στα Αραβικά). 16. Εγγραφή κανονικού επταγώνου (στα Αραβικά). 23

Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΘΕΜΑ : ΠΟΙΑ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ; ΜΕΛΗ : ΧΑΡΑ ΚΑΤΟΥΦΑ ΑΘΗΝΑ ΦΛΑΜΙΑΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΓΡΗΣ ΚΟΥΡΟΣ ΝΤΑΝΕΣΙ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας. Θέμα:

ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας. Θέμα: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας ΑΥΓΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΣΟΦΟΥ. ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ, Msc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΣΟΦΟΥ. ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ, Msc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΣΟΦΟΥ ΦΥΣΙΚΟΣ, Msc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011 Ο Αρχιμήδης Διακόσια περίπου χρόνια μετά τον Αντιφώντα και τον Βρύσωνα αναλαμβάνει δράση ο

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Υπατία Τετάρτη20 Νοεµβρίου 2013 Σχολικό έτος 2013-2014 Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Τµήµα Β1 Βιογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής)

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Από την εποχή που οι άνθρωποι σήκωσαν τα μάτια τους προς τον ουρανό και παρατήρησαν τον Ήλιο (τον θεό τους) και τα αστέρια, είχαν την πεποίθηση ότι η Γη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες.

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Γαλιλαίος (1581-1643) Γεννήθηκε στην Πίζα το 1581 Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Ως δευτεροετής φοιτητής ανακάλυψε: 1. Τον

Διαβάστε περισσότερα

Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου

Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου Gillian Bradshaw, Ο άνθρωπος που µετρούσε την άµµο Διαβάσαµε και προτείνουµε. Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου Πάρος, Ιούλιος 2006 1 Περιεχόµενα 1. Η συγγραφέας 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών.

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. Μ4 Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή προσδιορίζεται πειραματικά η πυκνότητα του υλικού ενός στερεού σώματος. Το στερεό αυτό σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό γνωστής πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός κεφάλαιο 6 ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΩΣΗ ΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΧΩΡΩΝ ΩΣ ΤΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΗΣ ΒΕΣΤΦΑΛΙΑΣ (1453-1648) 2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός Ορισμός Πρόκειται για μια γενικότερη πνευματική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών η Μεθοδολογία: «Ανυψωτήρας» Το υγρό του δοχείου κλείνεται με δύο έμβολα που βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο. Στο έμβολο με επιφάνεια Α ασκείται δύναμη F. ον Η F ασκεί

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΛΙΑΤΟΣ Β 3 ΛΑΡΙΣΑ 2008 Τα Όργανα Μέτρησης Του Χρόνου Αστρολάβος Ο αστρολάβος είναι αρχαίο αστρονομικό όργανο που χρησιμοποιούνταν για να παρατηρηθούν τα αστέρια

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν.

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν. Είναι γνωστή σε όλους η σειρά επιστημονικής φαντασίας Star Trek η οποία έχει φανατικούς θαυμαστές σε όλο τον κόσμο. Οι τεχνολογικές καινοτομίες και οι «φανταστικές» τεχνολογίες που είχε συμπεριλάβει στο

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία

Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Εισαγωγή στη Βυζαντινή Φιλολογία Ενότητα 3: Βυζαντινή Επιστολογραφία: είδη - χαρακτηριστικά. Συνέσιος ο Κυρηναίος: Βίος και Έργο Κιαπίδου Ειρήνη-Σοφία Τμήμα Φιλολογίας Σκοποί ενότητας Οι φοιτητές θα έρθουν

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Aστρολάβος - Eξάντας

Aστρολάβος - Eξάντας Aστρολάβος - Eξάντας Αν πλέοντας προς την Αλεξάνδρεια το βάθος των νερών είναι 11 οργιές, θέλεις ακόμα ταξίδι μιας μέρας. Ηρόδοτος (4 ος αιώνας π.χ.) Από τα πανάρχαια χρόνια, οι ναυτικοί είχαν πάντα την

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινη Αγκαλιά Συγγραφέας: Ιφιγένεια Μαστρογιάννη

Χάρτινη Αγκαλιά Συγγραφέας: Ιφιγένεια Μαστρογιάννη Χάρτινη Αγκαλιά Συγγραφέας: Ιφιγένεια Μαστρογιάννη Επιμέλεια εργασίας: Παναγιώτης Γιαννόπουλος Περιεχόμενα Ερώτηση 1 η : σελ. 3-6 Ερώτηση 2 η : σελ. 7-9 Παναγιώτης Γιαννόπουλος Σελίδα 2 Ερώτηση 1 η Η συγγραφέας

Διαβάστε περισσότερα

«Ο Αϊούλαχλης και ο αετός»

«Ο Αϊούλαχλης και ο αετός» ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 «Ο Αϊούλαχλης και ο αετός» (Φλώρινα - Μακεδονία Καύκασος) Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 Ψηφίστε το παραμύθι που σας άρεσε περισσότερο εδώ μέχρι 30/09/2011

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΝΗΤΕΣ ΕΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΚΤΟΣ ΟΜΑΔΑΣ (Τετράβιβλος, βιβλίο 1ο, κεφ. 7, σελ. 42-43, Περί ημερινών και νυκτερινών ).

ΠΛΑΝΗΤΕΣ ΕΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΚΤΟΣ ΟΜΑΔΑΣ (Τετράβιβλος, βιβλίο 1ο, κεφ. 7, σελ. 42-43, Περί ημερινών και νυκτερινών ). ΠΛΑΝΗΤΕΣ ΕΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΚΤΟΣ ΟΜΑΔΑΣ (Τετράβιβλος, βιβλίο 1ο, κεφ. 7, σελ. 42-43, Περί ημερινών και νυκτερινών ). Οι ομάδες των πλανητών (Sects) και η σπουδαιότητά τους σε ένα χάρτη Η πρωταρχική ενέργεια που

Διαβάστε περισσότερα

Ο συγγραφέας Θάνος Κονδύλης και το «Έγκλημα στην αρχαία Αμφίπολη Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015-10:2

Ο συγγραφέας Θάνος Κονδύλης και το «Έγκλημα στην αρχαία Αμφίπολη Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015-10:2 Ο συγγραφέας Θάνος Κονδύλης και το «Έγκλημα στην αρχαία Αμφίπολη Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015-10:2 Συνέντευξη στη Μαίρη Γκαζιάνη «Τελικά οι σύγχρονοι Έλληνες φέρουμε στο αίμα μας το dna των αρχαίων προγόνων

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ ΕΝΩΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. α) Ζεύγος δυνάμεων Δράσης Αντίδρασης είναι η δύναμη που ασκεί ο μαθητής στο έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Όψεις Βυζαντίου... στο Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας. Εφορεία Αρχαιοτήτων Θεσπρωτίας

Όψεις Βυζαντίου... στο Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας. Εφορεία Αρχαιοτήτων Θεσπρωτίας Εφορεία Αρχαιοτήτων Θεσπρωτίας... στο Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας Το φυλλάδιο αυτό είναι του/της... που επισκέφθηκε το Αρχαιολογικό Μουσείο Ηγουμενίτσας στις... Το φυλλάδιο που κρατάς στα χέρια σου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1

33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1 ΕΝΑ ΓΟΗΤΕΥΤΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΑ ΒΥΖΑΝΤΙΝΑ ΧΡΟΝΙΑ, ΓΕΜΑΤΟ ΕΚΠΛΗΞΕΙΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ. 33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1 Εικόνα 1 Εικόνα 2 Ρωμαϊκές λεγεώνες

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ

Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ Δομή της Πτυχιακής Εργασίας Στόχοι της εργασίας Ιστορικά στοιχεία Δημήτριος ο Φαληρεύς Καλλίμαχος Ο εμπλουτισμός Καταστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ. Οι εκλείψεις στην Ωριαία αστρολογία

ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ. Οι εκλείψεις στην Ωριαία αστρολογία ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ Οι εκλείψεις στην Ωριαία αστρολογία Οι εκλείψεις παίζουν σημαντικό ρόλο στην Ωριαία αστρολογία. Από τα βάθη των αιώνων μέχρι σήμερα πολλοί αστρονόμοι και αστρολόγοι έχουν μελετήσει το φαινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Του Γιοστέιν Γκάαρντερ Λογοτεχνικό ανάγνωσμα Χριστουγέννων 2014-2015

Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Του Γιοστέιν Γκάαρντερ Λογοτεχνικό ανάγνωσμα Χριστουγέννων 2014-2015 Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Του Γιοστέιν Γκάαρντερ Λογοτεχνικό ανάγνωσμα Χριστουγέννων 2014-2015 Δημητριάννα Σκουρτσή Γ2 Σχολικό έτος 2014-15 Τάξη Γ Γυμνασίου Λογοτεχνικό Εξωσχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΑΘΗΝΑ 2011 Έκδοση: c Πνευματικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της πυκνότητας με τη μέθοδο της άνωσης

Προσδιορισμός της πυκνότητας με τη μέθοδο της άνωσης Άσκηση 8 Προσδιορισμός της πυκνότητας με τη μέθοδο της άνωσης 1.Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός της πυκνότητας στερεών και υγρών με τη μέθοδο της άνωσης. Βασικές Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗ ΔΥΣΗ ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΕΝΤΥΠΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΚΑΙΝΗΣ ΔΙΑΘΗΚΗΣ (16 Ο αι.)

ΣΤΗ ΔΥΣΗ ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΕΝΤΥΠΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΚΑΙΝΗΣ ΔΙΑΘΗΚΗΣ (16 Ο αι.) ΣΤΗ ΔΥΣΗ ΟΙ ΠΡΩΤΕΣ ΕΝΤΥΠΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΚΑΙΝΗΣ ΔΙΑΘΗΚΗΣ (16 Ο αι.) 1. Από τον Έρασμο στο Textus Receptus Πρώτη έκδοση του ελληνικού κειμένου της Αγ. Γραφής η πολύγλωσση Κομπλουτιανή

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΟΝΟ ΕΝΑΣ ΘΕΟΣ!

ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΟΝΟ ΕΝΑΣ ΘΕΟΣ! ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΟΝΟ ΕΝΑΣ ΘΕΟΣ! (There is only one God) Πού μπορείς να πάς ώστε να απομακρυνθείς από το Θεό; Ο Θεός γεμίζει κάθετόπο και χρόνο. Δεν υπάρχει τόπος χωρίς να είναι εκεί ο Θεός. Ο Θεός μίλησε μέσα

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ 2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ Συμπλήρωση κενών ακόλουθες λέξεις (τρεις λέξεις περισσεύουν): βιβλιοθήκη, Βαλκανική, ανθρωπιστικός, πανεπιστήμιο, χειρόγραφο, Ιταλική, τυπογραφία, σπάνιος. Η Αναγέννηση και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

THOMAS VOGEL Το τελευταίο παραµύθι του Μιγκέλ Τόρρες ντα Σίλβα (ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ)

THOMAS VOGEL Το τελευταίο παραµύθι του Μιγκέλ Τόρρες ντα Σίλβα (ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ) THOMAS VOGEL Το τελευταίο παραµύθι του Μιγκέλ Τόρρες ντα Σίλβα (ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ) Μετάφραση: ΛΙΝΑ ΣΙΠΙΤΑΝΟΥ Εκδόσεις Κριτική 2003 Παρουσίαση του βιβλίου: Ευαγγελία Τατάγια ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το µυθιστόρηµα ξετυλίγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΥΠΕΥΘΗΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Αλεξανδρή Ελευθερία. Η ΕΛΙΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ: Δημαράκης Κοσμάς Δράκου Άννα Καίρης Μάριος Κομίνη Ιωάννα Σουλάνδρος Τάσος

Η ΥΠΕΥΘΗΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Αλεξανδρή Ελευθερία. Η ΕΛΙΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ: Δημαράκης Κοσμάς Δράκου Άννα Καίρης Μάριος Κομίνη Ιωάννα Σουλάνδρος Τάσος Η ΥΠΕΥΘΗΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Αλεξανδρή Ελευθερία Η ΕΛΙΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ: Δημαράκης Κοσμάς Δράκου Άννα Καίρης Μάριος Κομίνη Ιωάννα Σουλάνδρος Τάσος Ξεκινώντας την εργασία θα θέλαμε να παραθέσουμε το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά

Διαβάστε περισσότερα

Ορτυγία. Κάντε κλικ για να επεξεργαστείτε τον υπότιτλο του υποδείγματος

Ορτυγία. Κάντε κλικ για να επεξεργαστείτε τον υπότιτλο του υποδείγματος Ορτυγία Κάντε κλικ για να επεξεργαστείτε τον υπότιτλο του υποδείγματος Τοποθεσία Πού βρίσκεται; Το νησί της Ορτυγίας βρίσκεται στην κάτω Ιταλία στις Συρακούσες. Τα αξιοθέατα: Ο ναός του Απόλλωνα üη πλατεία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορική αναδρομή!!!

Ιστορική αναδρομή!!! Ιστορική αναδρομή!!! Προϊστορικά χρόνια τροφοσυλλέκτης αρχικά για να βρίσκει την τροφή του να φτιάχνει τα καταφύγιά του σημαντικότεροι σταθμοί στην ιστορία του ανθρώπου μυϊκή ενέργεια αργότερα φτιάχνει

Διαβάστε περισσότερα

Τα Ρολόγια. Τανανάκη Ειρήνη. Μαθήτρια Β1 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης

Τα Ρολόγια. Τανανάκη Ειρήνη. Μαθήτρια Β1 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης Τα Ρολόγια Τανανάκη Ειρήνη Μαθήτρια Β1 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης Επιβλέπων Καθηγητής : Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Καθηγητής Πληροφορικής, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα ψηφιακά

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ -ΟΡΘΟΔΟΞΗ ΠΙΣΤΗ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΙΑ

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ -ΟΡΘΟΔΟΞΗ ΠΙΣΤΗ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ -ΟΡΘΟΔΟΞΗ ΠΙΣΤΗ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΙΑ Δ.Ε. 13: «Τι μπορεί να μάθει ο άνθρωπος για το Θεό. Προσέγγιση της γιορτής της Μεταμόρφωσης» (σελίδες εγχειριδίου 69-76) Δ.Ε. 19: «Η μνήμη των Αγίων, αφορμή για

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής. «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα»

Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής. «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα» Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα» Εκπαιδευτικός: Μπλούχου Στεφανία Τάξη: Β Σχολικό έτος: 2012-13 ΣΧΕΔΙΟ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12)

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟ Α ΟΜΑΔΑ: 1 1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16),0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12),0 3. Ποιοι είναι οι μαθητές του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Τα παιδιά της Πρωτοβουλίας και η Δώρα Νιώπα γράφουν ένα παραμύθι - αντίδωρο

Τα παιδιά της Πρωτοβουλίας και η Δώρα Νιώπα γράφουν ένα παραμύθι - αντίδωρο Τα παιδιά της Πρωτοβουλίας και η Δώρα Νιώπα γράφουν ένα παραμύθι - αντίδωρο Ο Ηλίας ανεβαίνει Ψηλά Ψηλότερα Κάθε Μάρτιο, σε μια Χώρα Κοντινή, γινόταν μια Γιορτή! Η Γιορτή των Χαρταετών. Για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ»

«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ» «ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ» ΤΑΞΗ Γ1 2 ο Δ Σ ΓΕΡΑΚΑ ΔΑΣΚ:Αθ.Κέλλη ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κατά τη διάρκεια της περσινής σχολικής χρονιάς η τάξη μας ασχολήθηκε με την ανάγνωση και επεξεργασία λογοτεχνικών βιβλίων

Διαβάστε περισσότερα

κάθετη δύναμη εμβαδόν επιφάνειας Σύμβολο μεγέθους Ορισμός μεγέθους Μονάδα στο S.I.

κάθετη δύναμη εμβαδόν επιφάνειας Σύμβολο μεγέθους Ορισμός μεγέθους Μονάδα στο S.I. 4.1 Η πίεση ονομάζουμε το μονόμετρο φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως το πηλίκο του μέτρου της συνολικής δύναμης που ασκείται κάθετα σε μια επιφάνεια προς το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής. πίεση = κάθετη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Το μικροσκόπιο είναι ένα από τα πιο συναρπαστικά εργαλεία του ανθρώπου.

Το μικροσκόπιο είναι ένα από τα πιο συναρπαστικά εργαλεία του ανθρώπου. Το μικροσκόπιο είναι ένα από τα πιο συναρπαστικά εργαλεία του ανθρώπου. Τα μικροσκόπια και η ιστορία τους Αριστοτέλης Δημόκριτος Οι αρχαίοι Έλληνες Αν και ο Δημόκριτος, με την ατομική θεωρία του, υποστήριξε

Διαβάστε περισσότερα

Κατανόηση προφορικού λόγου

Κατανόηση προφορικού λόγου Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο Γ Δεύτερη διδακτική πρόταση Μυθολογία Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δραστηριοτήτων: 1 διδακτική ώρα έφηβοι και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Naoki HigasHida. Γιατί χοροπηδώ. Ένα αγόρι σπάει τη σιωπή του αυτισμού. david MiTCHELL. Εισαγωγή:

Naoki HigasHida. Γιατί χοροπηδώ. Ένα αγόρι σπάει τη σιωπή του αυτισμού. david MiTCHELL. Εισαγωγή: Naoki HigasHida Γιατί χοροπηδώ Ένα αγόρι σπάει τη σιωπή του αυτισμού Εισαγωγή: david MiTCHELL 41 Ε13 Προτιμάς να είσαι μόνος σου; «Α, μην ανησυχείτε γι αυτόν προτιμά να είναι μόνος του». Πόσες φορές το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Ειρήνη Σταματούδη, LL.M., Ph.D. Διευθύντρια Ο.Π.Ι.

Εισαγωγή. Ειρήνη Σταματούδη, LL.M., Ph.D. Διευθύντρια Ο.Π.Ι. Εισαγωγή Ο οδηγός που κρατάς στα χέρια σου είναι μέρος μιας σειράς ενημερωτικών οδηγών του Οργανισμού Πνευματικής Ιδιοκτησίας. Σκοπό έχει να δώσει απαντήσεις σε κάποια βασικά ερωτήματα που μπορεί να έχεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς:

Λύνω τις ασκήσεις. 2. Γράφω δίπλα πώς διαβάζεται καθένας από τους παρακάτω αριθμούς: Λύνω τις ασκήσεις 1. Γράφω δίπλα με ψηφία τους παρακάτω αριθμούς: Εκατόν ενενήντα εννέα:.. Τριακόσια ένα: Τετρακόσια πενήντα οκτώ:... Πεντακόσια εννέα:.. Οχτακόσια ογδόντα οκτώ:.... Εννιακόσια δύο: Εννιακόσια

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 4: Πίεση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΙΕΣΗ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 4: Πίεση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΙΕΣΗ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΙΕΣΗ Φυσική Β Γυμνασίου Δύναμη και Πίεση Κρατάς μία πινέζα μεταξύ του δείκτη και του αντίχειρα σου, με δύναμη 10 Ν. Η μύτη της πινέζας έχει διάμετρο 0,1mm ενώ η κεφαλή της έχει διάμετρο 10mm.

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Η Νίκη ήταν κόρη της Στύγας και του Πάλλαντα. Είχε αδέρφια της το Κράτος, το Ζήλο και τη Βία.

Η Νίκη ήταν κόρη της Στύγας και του Πάλλαντα. Είχε αδέρφια της το Κράτος, το Ζήλο και τη Βία. Η Νίκη σε νομίσματα Νίκη: θεά της ελληνικής μυθολογίας προσωποποιούσε τη δόξα του ελληνικού πολιτισμού. Η Νίκη στέλνονταν από το Δία για να εξυμνήσει μία νίκη, να προσφέρει σπονδές ή να στεφανώσει ένα

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 1. Τι ήταν και γιατί γράφτηκαν οι επιστολές του αποστόλου Παύλου; Ήταν γράμματα που έστελνε ο απόστολος στις χριστιανικές κοινότητες που είχε ιδρύσει.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

κάντε κλικ στη Τρίτη επιλογή : Οι Θεσσαλονικείς αδελφοί ισαπόστολοι Κύριλλος και Μεθόδιος

κάντε κλικ στη Τρίτη επιλογή : Οι Θεσσαλονικείς αδελφοί ισαπόστολοι Κύριλλος και Μεθόδιος ΤΑΞΗ Δ ΜΑΘΗΜΑ : ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Κύριλλος και Μεθόδιος : Ιεραπόστολοι στους σλαβικούς λαούς. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ 1. Να αντιληφθούν οι μαθητές ότι μέσα από την ιεραποστολή του Κυρίλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΔΕΛΤΙΩΣΗ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΔΕΛΤΙΩΣΗ «Δεν γράφω για να είμαι αγαπητή» Βικτόρια Χίσλοπ: «Τον Ερντογάν τον φοβάμαι. Είναι δικτάτορας!» H Βικτόρια Χίσλοπ Η συγγραφέας Βικτόρια Χίσλοπ, γνωστή για «Το Νησί» που μεταφέρθηκε με μεγάλη επιτυχία στην

Διαβάστε περισσότερα

Χριστούγεννα. Ελάτε να ζήσουμε τα. όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά

Χριστούγεννα. Ελάτε να ζήσουμε τα. όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά Ελάτε να ζήσουμε τα όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά Χριστούγεννα (μέσα από ιστορίες και χριστουγεννιάτικα παιχνίδια) 1 Στόχοι: Μέσα από διάφορες

Διαβάστε περισσότερα