Επεξεργασία Σήματος. Διεθνές Πανεπιστήμιο της Ελλάδος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής. Πρόγραμμα Σπουδών Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
|
|
- Νικηφόρος Θεοδωρίδης
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Διεθνές Πανεπιστήμιο της Ελλάδος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Πρόγραμμα Σπουδών Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Επεξεργασία Σήματος Δρ Δεμερτζής Κωνσταντίνος
2 Σήματα Συνεχούς Χρόνου 2
3 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων 4. Κατάταξη σημάτων ως προς την ενέργεια και την ισχύ 5. Απλές Πράξεις Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 6. Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 3
4 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 4
5 Επεξεργασία Σήματος Ως σήμα ορίζεται οποιαδήποτε συνάρτηση μεταξύ φυσικών ποσοτήτων. Ως επεξεργασία σήματος ορίζουμε την ανάλυση και τον χειρισμό σημάτων. Η επεξεργασία σήματος είναι ουσιαστικώς ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο, ορισμένο με αυστηρά μαθηματικά και με τις δικές του μεθοδολογίες και ορολογία. Οι εφαρμογές του είναι πάρα πολλές στις τεχνολογικές επιστήμες και βρίσκεται στη βάση τομέων όπως οι τηλεπικοινωνίες, ο αυτοματισμός, η επεξεργασία εικόνας, βίντεο και ήχου, η συμπίεση δεδομένων κλπ. Σε συστήματα τηλεπικοινωνιών, επεξεργασία σήματος λαμβάνει χώρα μόνο στο πρώτο επίπεδο του μοντέλου αναφοράς OSI (φυσικό επίπεδο) και προαιρετικά στο έκτο και έβδομο επίπεδο του ίδιου μοντέλου.
6
7 Σήματα Ορισμένα παραδείγματα: Η τιμή της τάσης μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου, καθώς ο πυκνωτής φορτίζεται και μετά εκφορτίζεται, είναι αναλογικό σήμα. Η τιμή του πληθωρισμού στην οικονομία μίας χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους, μετρημένη σε κάθε μήνα, είναι σήμα διακριτού χρόνου όπου πεδίο ορισμού είναι οι ακέραιοι Οι τιμές λαμπρότητας κάθε pixel σε μία ασπρόμαυρη ψηφιακή εικόνα είναι ψηφιακό σήμα, με πεδίο τιμών π.χ (αν για κάθε pixel αποθηκεύεται ένα byte) και πεδίο ορισμού το σύνολο φυσικών 1-Μ*Ν, όπου ΜxΝ η ανάλυση της εικόνας.
8 Η ομιλία είναι ένα ακουστικό σήμα. Σήματα Μια τοπική διαταραχή στην πυκνότητα του αέρα που διαδίδεται ως ακουστικό κύμα Για να την επεξεργαστούμε στον υπολογιστή πρέπει να την μετατρέψουμε σε ηλεκτρικό σήμα και μάλιστα ψηφιακό Εδώ υπεισέρχεται η ψηφιακή επεξεργασία σήματος
9 Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων είναι: a) Να αναπτύξει μαθηματικά μοντέλα τα οποία θα περιγράφουν επαρκώς ικανοποιητικά τις διάφορες κατηγορίες σημάτων που μεταφέρουν την χρήσιμη πληροφορία, (Τηλεπικοινωνίες, TV, κτλ). b) Να αναλύσει τα συστήματα που επεξεργάζονται και μεταδίδουν τα σήματα (Τι είναι σήμα? Τι είναι Σύστημα? Είσοδος/Έξοδος). c) Να συνθέσει «άριστα» συστήματα, τα οποία θα ελαχιστοποιούν την επίπτωση του θορύβου «επάνω» στα σήματα (Τι είναι θόρυβος?). 9
10 Επεξεργασία Σήματος Η Επεξεργασία Σήματος βρίσκεται στον πυρήνα όλων των εφαρμογών που βασίζονται σε σήματα, είτε πρόκειται για ιατρικές εφαρμογές, είτε για εφαρμογές γεωφυσικής και σεισμικής ανάλυσης, στην όραση υπολογιστών, στην αναζήτηση βάσει περιεχομένου, στην τηλεόραση υψηλής ευκρίνειας και στην επεξεργασία κινούμενης εικόνας βίντεο. Ενδεικτικές εφαρμογές EEG/MEG (Ηλεκτροεγκεφαλογραφία/Μαγνητοεγκεφαλογραφία), ανάλυση σεισμικών σημάτων, εξαγωγή χαρακτηριστικών χαμηλού επιπέδου και κατάτμηση εικόνων, ανάλυση βιοϊατρικής πληροφορίας, επεξεργασία κίνησης και μετασχηματισμών πολυμεσικού περιεχομένου, επεξεργασία ήχου/φωνής/φυσικής γλώσσας ρομποτική (πχ μηχανική όραση/ακοή/όσφρηση)
11
12
13
14
15 Machine Hearing 15
16 Machine Hearing 16
17 AI apps
18 1. Analog to Digital - Sampling a Signal AI apps How does Shazam work?
19 2. Recording - Capturing the Sound AI apps How does Shazam work?
20 3. Time-Domain and Frequency-Domain AI apps How does Shazam work?
21 3. The Discrete Fourier Transform AI apps How does Shazam work?
22 3. Music Recognition: Fingerprinting a Song AI apps How does Shazam work?
23 3. The Music Algorithm: Song Identification AI apps How does Shazam work?
24 AI apps How does Shazam work?
25
26
27
28
29
30
31
32
33 2. Κατηγορίες Σημάτων 33
34 Κατηγορίες Σημάτων Ως σήμα ορίζουμε τις τιμές που λαμβάνει μία ποσότητα y (εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία μεταβάλλεται συναρτήσει μίας άλλης ποσότητας x (ανεξάρτητη μεταβλητή). Αν οι ποσότητες x και y λαμβάνουν συνεχείς τιμές (π.χ. από το κλειστό πραγματικό διάστημα [0,+100]) τότε το σήμα είναι μία συνάρτηση y(x) και χαρακτηρίζεται αναλογικό. Αναλογικό σήμα είναι η ρέουσα ένταση που λαμβάνει συνεχείς τιμές σε ένα μέσο μετάδοσης συναρτήσει του χρόνου αντικατοπτρίζοντας τη διακύμανση μιας ποιότητας που μεταβάλλεται ομοίως στον χρόνο, καθώς αυτός οδεύει προς τα εμπρός.
35 Κατηγορίες Σημάτων Ως προς την μεταβλητή του χρόνου: Σήμα Συνεχούς Χρόνου (continuous time): ένα σήμα x t το οποίο ορίζεται για κάθε τιμή του t στο διάστημα χρόνου (a, b). Συνεχείς τιμές πχ 1, 2, 2.1, ,
36 Κατηγορίες Σημάτων Το αναλογικό σήμα χρησιμοποιεί ιδιότητες του μέσου μετάδοσης για να μεταφέρει τις πληροφορίες της μεταβολής της ποιότητας που αντικατοπτρίζει. Ένας ήχος που ταξιδεύει σε ένα μέσο, πχ τον αέρα, αποτελεί ένα αναλογικό σήμα που μεταφέρει τη διακύμανση της πίεσης που προκαλεί στον αέρα η ταλάντωση μιας ηχητικής πηγής, για παράδειγμα ενός διαπασών. Ένα ηλεκτρικό σήμα χρησιμοποιεί διαφορετικό μέσο (ηλεκτρικό κύκλωμα) για τη μετάδοση της πληροφορίας που εκπέμπει μια ηχητική πηγή, έπειτα από μετατροπή των κυμάτων πίεσης σε ηλεκτρικές διακυμάνσεις μέσω πχ ενός μικροφώνου. Ένα αναλογικό σήμα αντικατοπτρίζει με δυνάμει άπειρη ακρίβεια τη διακύμανση φυσικών φαινομένων, όπως φωτός, θερμοκρασίας, θέσης, ήχου, πίεσης, υγρασίας κλπ. Σε ένα ηλεκτρικό σήμα η πληροφορία μπορεί να μεταφέρεται με διαφοροποίηση της ηλεκτρικής τάσης, της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος, της συχνότητας κλπ που μεταβάλλονται ακολουθώντας τη μεταβολή του φυσικού φαινομένου που περιγράφουν.
37 Κατηγορίες Σημάτων Ως προς την μεταβλητή του χρόνου: Σήμα Διακριτού Χρόνου (discrete time): ένα σήμα το οποίο ορίζεται μόνο για κάποιες (συγκεκριμένες) στιγμές του χρόνου. Τα διακριτά σήματα συμβολίζονται από ακολουθίες {x(n)}. Η τιμή της ακολουθίας x n τη χρονική στιγμή n 0 είναι το βαθμωτό μέγεθος x(n 0 ). Ακέραιες τιμές πχ {5, 0, -1, 2, 4} 37
38 Κατηγορίες Σημάτων Αν η ποσότητα y λαμβάνει συνεχείς τιμές αλλά η ποσότητα x μόνο διακριτές τιμές (π.χ. από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών) τότε το σήμα λέγεται διακριτού χρόνου και πρόκειται για μία ακολουθία y[n], ενώ αν τα x και y λαμβάνουν διακριτές τιμές έχουμε πάλι ακολουθία y[n] και το σήμα λέγεται ψηφιακό. Αν οι ατομικές τιμές του σήματος αντί να μετρηθούν επακριβώς, επάνω στον άξονα του χρόνου, είναι εναρμονισμένες με κάποια ορισμένη ακρίβεια, τότε η ροή δεδομένων που προκύπτει είναι το ψηφιακό σήμα. Η διαδικασία προσέγγισης αυτής της ακρίβειας (δηλ. μιας συγκεκριμένης τιμής), μέσα από ένα σταθερό αριθμό ψηφίων (δηλ. bit) ονομάζεται ψηφιοποίηση. Σε γενικές γραμμές, ένα ψηφιακό σήμα είναι ένα ψηφιοποιημένο σήμα διακριτού χρόνου.
39 Συνεχής μεταβλητή Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς χρόνου Διακριτού χρόνου Διακριτή μεταβλητή x(t) y(t) z(t) Αναλογικά Μετατροπή Α/D x(n) y(n) z(n) Ψηφιακά {5, 0, -1, 2, 4} n=0, 1, 2, 3, 4 Το n συμβολίζει το δείγμα στον χρόνο 39
40 Κατηγορίες Σημάτων Ως προς την μεταβλητή του πλάτους: Συνεχούς τιμής: ένα σήμα που παίρνει όλες τις δυνατές τιμές σε ένα διάστημα τιμών Διακριτής τιμής: ένα σήμα που παίρνει τιμές από ένα πεπερασμένο σύνολο τιμών Γενικά υπάρχουν: Συνεχούς χρόνου/συνεχούς πλάτους Διακριτού χρόνου/συνεχούς πλάτους Συνεχούς χρόνου/διακριτού πλάτους Διακριτού χρόνου/διακριτού πλάτους 40
41 Σήματα Συνεχούς Χρόνου Τα σήματα συνεχούς χρόνου υποδιαιρούνται σε δύο κατηγορίες: Στα αναλογικά σήματα ή σήματα συνεχούς χρόνου και συνεχούς πλάτους, στα οποία τόσο η ανεξάρτητη μεταβλητή (t) όσο και η εξαρτημένη μεταβλητή (πλάτος του σήματος) λαμβάνουν συνεχείς (πραγματικές) τιμές, π.χ. x t = 6t. Στα διακριτά σήματα συνεχούς χρόνου, στα οποία η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει διακριτές τιμές, π.χ. x t = 0, 0 t 1 1, 1 < t 2 2, αλλού 41
42 Σήματα Διακριτού Χρόνου Τα σήματα διακριτού χρόνου διαιρούνται σε δύο κατηγορίες: Στα διακριτά σήματα συνεχούς τιμής (πλάτους), στα οποία η εξαρτημένη μεταβλητή (πλάτος) λαμβάνει συνεχείς τιμές, π.χ. x t = cos(n t), όπου n είναι φυσικός αριθμός. Στα διακριτά σήματα διακριτής τιμής ή ψηφιακά, στα οποία η ανεξάρτητη και η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνουν διακριτές τιμές. Δειγματοληψία Παρατηρούμε ότι το διακριτό σήμα {x(n)} παίρνει τιμές από το σύνολο {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Κβαντισμός 42
43 Κατηγορίες Σημάτων Αναλογικό Σήμα ή σήμα συνεχούς χρόνου και συνεχούς πλάτους, στο οποίο τόσο η ανεξάρτητη μεταβλητή (t) όσο και η εξαρτημένη μεταβλητή (πλάτος του σήματος) λαμβάνουν συνεχείς (πραγματικές) τιμές, π.χ. x t = 6t Ψηφιακό Σήμα: Ένα σήμα διακριτού χρόνου και διακριτής τιμής. Τα σήματα απαντώνται στη φύση συνήθως σε αναλογική μορφή, π.χ. σήματα ομιλίας, μουσικής, κλπ, όμως η εξέλιξη της ψηφιακής τεχνολογίας επιτρέπει την αποδοτικότερη επεξεργασία, μετάδοση και αποθήκευση των ψηφιακών σημάτων. Ένα αναλογικό σήμα μετατρέπεται σε ψηφιακό μέσω των διαδικασιών της δειγματοληψίας του κβαντισμού και της κωδικοποίησης. 43
44 Κατηγορίες Σημάτων Το διακριτό σήμα είναι το αποτέλεσμα της επεξεργασίας ενός αναλογικού σήματος με τη μέθοδο της δειγματοληπτικής μείωσης. Ένα ψηφιακό σήμα μπορεί να προκύψει από ένα αναλογικό σήμα, μέσω μίας διεργασίας γνωστής ως δειγματοληψίας ή δειγματοληπτικής μείωσης, π.χ. με στόχο το σήμα να αποθηκευτεί και να υποστεί επεξεργασία σε έναν ψηφιακό ηλεκτρονικό μέσο.
45 Τόσο στους υπολογιστές όσο και σε οποιοδήποτε άλλο ψηφιακό σύστημα, η κυματομορφή του ψηφιακού σήματος εναλλάσσεται μεταξύ δύο επιπέδων τάσης (0 και 4,8V) οι οποίες αναπαριστούν αντίστοιχα τις δύο τιμές του δυαδικού συστήματος (0 και 1). Έτσι, αναφερόμαστε σε αυτή τη κυματομορφή ως ψηφιακό σήμα. Παρ' όλο που πρόκειται για μια αναλογική κυματομορφή τάσεως, το ονομάζουμε ψηφιακό διότι εναλλάσσεται μεταξύ δύο σταθερών καταστάσεων. Το σήμα του ρολογιού είναι ένα ειδικό ψηφιακό σήμα το οποίο χρησιμοποιείται για τον συγχρονισμό των ψηφιακών κυκλωμάτων. Οι λογικές αλλαγές ενεργοποιούνται είτε από την αύξηση είτε από την μείωση του σήματος. Έτσι, όταν λέμε: Κατηγορίες Σημάτων Αύξηση του σήματος: διαδικασία μετάβασης από χαμηλή σε υψηλή τάση. Μείωση του σήματος: διαδικασία μετάβασης από υψηλή σε χαμηλή τάση.
46 Κατηγορίες Σημάτων Ψηφιακό Σήμα H κυματομορφή ενός ψηφιακού σήματος: (1) χαμηλό επίπεδο τάσης, (2) υψηλό επίπεδο, (3) μετάβαση σε υψηλό επίπεδο τάσης, (4) μετάβαση σε χαμηλό επίπεδο
47 Κατηγορίες Σημάτων 47
48 Διαδικασια μετατροπης αναλογικου σε ψηφιακο (ADC) Αναλογικο σημα Μετα την δειγματοληψια Κβαντισμενο σημα
49 Kβαντισμος - Quantization Τα σηματα συνεχους χρονου υφιστανται δειγματοληψια κατα τακτα χρονικα διαστηματα Η δειγματοληψια δεν εισαγει οποιαδηποτε παραμορφωση αν γινει με ρυθμο μεγαλυτερο απο τον ρυθμο Nyquist. Τα αναλογικα δειγματα εχουν τιμες σε ενα συνεχες διαστημα τιμων και χρειαζεται απειρος αριθμος bits για την παρασταση τους με τελεια ακριβεια. Κβαντισμος (Quantization) ειναι η διαδικασια της προσεγγισης ενος αναλογικου (συνεχους) δειγματος με ενα πεπερασμενο αριθμο bits. O κβαντισμος εισαγει παντοτε παραμορφωση. Μπορουμε να την μειωσουμε αν αυξησουμε τον αριθμο των bits με τα οποια παριστανουμε ενα δειγμα.
50 Κατηγορίες Σημάτων Δειγματοληψία και ψηφιοποίηση αναλογικού σήματος
51 Γραφικη παρασταση του Κβαντισμου M=8 ~ x x 8 = x 0 x x 7 x ~ x 1 x 1 =
52 Συνοπτικη παρασταση Κβαντιστη Συνηθως αρκει ο καθορισμος των επιπεδων κβαντισμου Παραδειγμα: {-3.5,-2.5, -1.5, -0.5, +0.5, 1.5, 2.5, 3,5} Γιατι? Υποθετουμε οτι ολα τα δείγματα κβαντιζονται στο πλησιεστερο επιπεδο κβαντισμου Αυτο καθοριζει τα ορια των ζωνων κβαντισμου, εν προκειμενω στο μεσον μεταξυ των επιπεδων κβαντισμου δηλαδη: {-, -3.0, -2.0, -1.0, 0, 1.0, 2.0, 3.0, } Καθε αλλο οριο αυξανει το σφαλμα κβαντισμου (θεωρημα Loyd-Marx)
53 Ειδη Θορυβου στον Κβαντιστη Θορυβος κβαντισμου (Quantization Noise) Εμφανιζεται γιατι η τιμη του δειγματος x αντικαθισταται απο την τιμη του πλησιεστερου επιπεδου κβαντισμου. Το σφαλμα κβαντισμου για ενα δειγμα ειναι n Q = x f Q (x) και ειναι μικροτερο, κατα απολυτο τιμη, απο το ημισυ του μεγεθους της ζωνης κβαντισμου. Θορυβος υπερφορτωσης (Overload Noise): Εμφανιζεται οταν το σημα εισοδου ειναι μεγαλυτερο απο το μεγαλυτερο επιπεδο κβαντισμου με αποτελεσμα τον «ψαλλιδισμο» του. Κοκκωδης Θορυβος (Granularity Noise): Εμφανιζεται οταν τα επιπεδα κβαντισμου δεν ειναι αρκετα πυκνα για να προσεγγισουν με ακριβεια το δειγμα. Ειναι πιο εμφανης οταν οι τιμες των δειγματων κυμαινονται ελαφρα γυρω απο ενα οριο περιοχης κβαντισμου. Αν ο αριθμος των επιπεδων κβαντισμου Μ ειναι σταθερος τοτε υπαρχει ανταλλαγη μεταξυ των θορυβων κβαντισμου και υπερφορτωσης
54 Συστήματα Σύστημα είναι οτιδήποτε δέχεται ως είσοδο ένα σήμα και παράγει ως έξοδο ένα άλλο σήμα. Μαθηματικά είναι ένας μετασχηματισμός που αντιστοιχίζει σε μία συνάρτηση y(x), ή σε μία ακολουθία y[n], κάποια άλλη συνάρτηση y'(x), ή ακολουθία y'[n]. Τα συστήματα διακρίνονται επίσης σε αναλογικά, διακριτού χρόνου και ψηφιακά, ανάλογα με τους τύπους σημάτων που δέχονται ως είσοδο και παράγουν ως έξοδο, ενώ υπάρχουν και υβριδικά. Π.χ. σύστημα είναι μία υπορουτίνα κάποιου προγράμματος επεξεργασίας εικόνας σε υπολογιστή, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που δέχεται μία τάση στα άκρα του και παράγει τάση σε έναν πυκνωτή ή ένα διαστημόπλοιο στο οποίο ασκούνται δυνάμεις (σήμα εισόδου) και αυτό ακολουθεί ανάλογη τροχιά (σήμα εξόδου). Τα σήματα και τα συστήματα είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος καθώς μπορούμε να φερθούμε σε ένα σήμα ως έξοδο κάποιου γνωστού συστήματος ή να χαρακτηρίσουμε πλήρως ένα σύστημα μελετώντας την έξοδό του για δεδομένη είσοδο.
55 Συστήματα Τα συστήματα χωρίζονται σε κατηγορίες με βάση διάφορα κριτήρια: Γραμμικά συστήματα και μη γραμμικά συστήματα, όπου στα γραμμικά η έξοδος ενός γραμμικού συνδυασμού επιμέρους εισόδων ισούται με τον γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων επιμέρους εξόδων (για σύστημα F ισχύει F(k1x1(t)+k2x2(t)) = k1f(x1(t))+k2f(x2(t))) Χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβλητά, όπου στα χρονικά αμετάβλητα η μόνη επίπτωση μίας ολίσθησης προς τα δεξιά της εισόδου είναι μία ίδια ολίσθηση της εξόδου (αν F(x(t)) = y(t), τότε F(x(t+s)) = y(t+s)) Στατικά και δυναμικά (ή με μνήμη) συστήματα, όπου στα στατικά η έξοδος σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου στο ίδιο σημείο, ενώ στα δυναμικά εξαρτάται και από άλλες τιμές της εισόδου. Τα δυναμικά συστήματα υποδιαιρούνται σε αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται μόνο από την τρέχουσα και από προηγούμενες τιμές της εισόδου και σε μη αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται επιπλέον και από μελλοντικές τιμές της εισόδου.
56 Συστήματα Η γραμμικότητα ενός συστήματος συνεπάγεται ότι δύο διαφορετικά σήματα μπορούν να διέλθουν μέσα από το σύστημα ταυτοχρόνως χωρίς να επηρεάζουν το ένα το άλλο, επομένως στην ολική έξοδο συμμετέχουν αθροιζόμενες οι έξοδοι των επιμέρους σημάτων, υπολογισμένες σαν τα τελευταία να διήλθαν μόνα τους απ' το σύστημα. Η χρονική ανεξαρτησία σημαίνει ότι τα χαρακτηριστικά του συστήματος δεν μεταβάλλονται καθώς αλλάζει τιμή η ανεξάρτητη μεταβλητή (συνήθως ο χρόνος), ενώ τα μη αιτιατά συστήματα δεν είναι ρεαλιστικά καθώς δεν δύνανται να λειτουργήσουν σε πραγματικό χρόνο και συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο για μοντελοποίηση προσομοιώσεων ή επεξεργασία αποθηκευμένων δεδομένων. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των γραμμικών συστημάτων είναι ότι αν η είσοδος είναι ένα απλό ημιτονοειδές σήμα, τότε η έξοδος είναι ένα ημίτονο ίδιας συχνότητας αλλά με τροποποιημένο πλάτος και φάση.
57 Γραμμικά Συστήματα
58 Γραμμικά Συστήματα
59 Γραμμικά Συστήματα
60 Γραμμικά Συστήματα
61 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων 61
62 Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 62
63 Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 63
64 Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 Μέση Τιμή Ημιτόνου Το ημιτονικό σήμα έχει μέση τιμή ίση με 0 64
65 Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Ενεργός Τιμή: x t = x rms = 1 t 2x 2 t t 2 t 1 t 1 dt 1/2 Ενεργός Τιμή Ημιτόνου Πάντα θετική ^2 και ρίζα.. 65
66 Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: Ενεργός Τιμή: Στιγμιαία Ισχύς: Μέση Ισχύς: Ενέργεια: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 x t = x rms = 1 t 2x 2 t t 2 t 1 t 1 P t = x 2 (t) dt P x = P av = 1 t 2x 2 (t) dt t 2 t 1 t 1 1/2 E x = t 1 t 2x 2 (t) dt 66
67 Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (2/2) Για τον υπολογισμό της ενέργειας και της ισχύος στο χρονικό διάστημα [, ], ισχύει αντίστοιχα: E = lim Τ Τ Τ x 2 (t) dt = x 2 (t) dt 1 P = lim Τ Τ 2T Τ x 2 (t) dt = lim 2T Τ E 67
68 4. Κατάταξη σημάτων ως προς την ενέργεια και την ισχύ 68
69 Κατάταξη σημάτων ως προς την ενέργεια και την ισχύ Ένα σήμα x(t) χαρακτηρίζεται ως: Σήμα ισχύος: όταν 0 < P av < όταν το διάστημα [t 1, t 2 ] τείνει στο άπειρο Σήμα ενέργειας: όταν η ενέργειά του στο διάστημα [, ] είναι t πεπερασμένη, δηλαδή E x = 2 t1 x 2 (t) dt <. Για να συμβαίνει αυτό, το πλάτος του σήματος θα πρέπει να φθίνει αρκετά γρήγορα προς το μηδέν στο πέρασμα του χρόνου. Σε μερικές περιπτώσεις αυτό δεν συμβαίνει, π.χ. x(t) = cos(ω 0 t) για < t <. Ένα σήμα δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σήμα ενέργειας και σήμα ισχύος, επειδή τα σήματα ενέργειας έχουν P x = 0 και τα σήματα ισχύος έχουν E x =. Ένα σήμα μπορεί να μην είναι ούτε σήμα ενέργειας, ούτε σήμα ισχύος. Τα περισσότερα σήματα που συναντάμε στην πράξη είναι είτε σήματα ενέργειας είτε σήματα ισχύος. Όλα τα περιοδικά σήματα (με εξαίρεση το x(t) = 0) είναι σήματα ισχύος. 69
70 Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η μέση τιμή του σήματος x(t) ως συνάρτηση των α και K. x(t) Απάντηση: Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε πως το σήμα x(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ και πλάτος Κ. K α 0 T 2T (t) Επομένως η μέση τιμή του στο διάστημα [t 1, t 2 ] = [0, Τ] δίνεται από τη σχέση: x t = x av = 1 t 2x T 1 t dt = x t dt = t 2 t 1 t 1 T 0 = 1 T 0 T a K dt = K T t T a 0 = K 1 a T 70
71 5. Απλές Πράξεις Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 71
72 Απλές Πράξεις Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 1. Χρονική Μετατόπιση 2. Ανάκλαση 3. Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου 4. Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός Σημάτων 72
73 Χρονική Μετατόπιση Σήματος (1/2) Ένα σήμα y(t) αποτελεί μία μορφή χρονικά μετατοπισμένη κατά ποσότητα χρόνου t 0 του σήματος x(t), όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί από την ποσότητα t t 0, δηλ. όταν ισχύει: y t = x t t 0 όπου το t 0 χρόνο. είναι ένας πραγματικός αριθμός που εκφράζει την ολίσθηση στο Το σήμα x(t) και η χρονικά μετατοπισμένη κατά t 0 μορφή του, y(t) (lagging). 73
74 Χρονική Μετατόπιση Σήματος (2/2) Η χρονική μεταβολή κατά θετικό t 0 αντιστοιχεί σε χρονική καθυστέρηση (ολίσθηση προς τα δεξιά) και είναι μια διαδικασία που συμβαίνει συνήθως κατά τη μετάδοση ενός σήματος μέσα από ένα τηλεπικοινωνιακό σύστημα. Αν η χρονική μεταβολή γίνει κατά αρνητικό t 0 τότε η χρονική μετατόπιση αντιστοιχεί σε χρονική προήγηση ή προπορεία, δηλ. η ολίσθηση του σήματος γίνεται προς τα αριστερά στον άξονα του χρόνου. Κατά την εφαρμογή της χρονικής μετατόπισης σε ένα σήμα, δεν προκύπτει μεταβολή της ενέργειάς του, ισχύει δηλαδή η σχέση: E[x(t)] = E x t t 0 74
75 Ανάκλαση Σήματος Ένα σήμα y(t) αποτελεί την ανάκλαση του σήματος x(t) ως προς t = 0, δηλ. ως προς τον κατακόρυφο άξονα, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί από t, δηλ. όταν ισχύει: x( t) y(t) = x( t) x( t) 0 t 0 t Σήμα συνεχούς χρόνου και η ανάκλασή του ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Η πράξη της ανάκλασης έχει ως αποτέλεσμα την εναλλαγή μεταξύ «παρελθόντος» και «μέλλοντος» ενός σήματος. Κατά την εφαρμογή της χρονικής μετατόπισης σε ένα σήμα, δεν προκύπτει μεταβολή της ενέργειάς του, ισχύει δηλαδή η σχέση: E[x(t)] = E[x( t)] 75
76 Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου Σήματος Το σήμα x 1 t αποτελεί μια χρονική συστολή του σήματος x(t), αν ισχύει: x 1 t = x at a > 1 δηλ. αν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί από την ποσότητα αt. Το σήμα x 2 t αποτελεί μια χρονική διαστολή του σήματος x(t), αν ισχύει: x 2 t = x at 0 < a < 1 (εάν μικρότερο του 0, τότε πάμε στην ανάκλαση) Η αρχή των αξόνων t = 0 παραμένει αμετάβλητη. x( t) x( 2t) x t 2 t 0 t t t 2 t 0 t t t t Αρχικό σήμα Η χρονική συστολή του Η χρονική διαστολή του Η πράξη της αλλαγής της κλίμακας του χρόνου κατά μία σταθερή α, οδηγεί στον πολλαπλασιασμό της ενέργειας του σήματος επί 1, δηλ., ισχύει: α E x t = 1 a E x t 76
77 Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός Σημάτων Δοθέντων δύο σημάτων συνεχούς χρόνου x 1 t και x 2 t, ορίζουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού σημάτων, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων στιγμιαίων τιμών τους, δηλ.: y t = x 1 t + x 2 t z t = x 1 t x 2 t 77
78 Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός Σημάτων Αν τα σήματα x 1 t και x 2 t δεν χαρακτηρίζονται από χρονική επικάλυψη, τότε η ενέργεια του σήματος y(t) είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών των δύο σημάτων, δηλ. ισχύει: E[y(t)] = E x 1 t + E x 2 t 78
79 Άσκηση 2 Ένα σήμα x(t) περιγράφεται (μαθηματική περιγραφή σήματος) από τη σχέση πολλαπλού κλάδου: x(t) = 2t + 2, 1 t < 0 2 t, 0 t < 2 0, αλλού Να περιγράψετε και να σχεδιάσετε τα παρακάτω σήματα: x t y 1 t = x t (ανάκλαση) y 2 t = x t 2 (ολίσθηση με καθυστέρηση 2) y 3 t = x t + 1 (ολίσθηση με καθυστέρηση -1 προπορεία ) y 4 t = x 2t (αλλαγή κλίμακας χρόνου επί 2) y 5 t = x t (αλλαγή κλίμακας χρόνου διά 2) 2 y 6 t = x 1 t (ανάκλαση) y 7 t = x(2t 2) (ανάκλαση) 79
80 Άσκηση 2 Απάντηση: Το αρχικό σήμα x(t) είναι: x t 2 Το σήμα y 1 t είναι η ανάκλαση του x(t) και υπολογίζεται αντικαθιστώντας το t με t: t y 1 t = 2 t + 2, 1 t < 0 2 t, 0 t < 2 0, αλλού = 2t + 2, 1 t > t, 0 t > 2 0, αλλού Η γραφική παράσταση του σήματος y 1 t = t + 2, 2 t < 0 2 2t, 0 t < 1 0, αλλού = x( t): x t t 80
81 Άσκηση 2 Το y 2 t είναι μια χρονικά μετατοπισμένη μορφή του x(t) y 2 t = 4 + 2t, 2 t < 1 1 t, 1 t < 1 0, αλλού x t t Τα y 3 t y 3 t = και y 4 t είναι χρονική συστολή και διαστολή του x(t), αντίστοιχα: 2 + 4t, 1 2 t < 0 2 2t, 0 t < 1 0, αλλού x 2t t y 4 t = 2 + t, 2 t < 0 2 t 2, 0 t < 4 0, αλλού 2 x t t 81
82 Άσκηση 2 Το y 5 t είναι μια χρονικά μετατοπισμένη μορφή προς τα δεξιά του σήματος y 1 t, δηλαδή της ανάκλασης του σήματος x(t). x 1 t t Το y 6 t = x 2 t 1 αποτελεί μια διαστολή του σήματος x(t 1) δηλαδή της χρονικά μετατοπισμένης μορφής του σήματος x(t). x 2t t 82
83 6. Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 83
84 Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 1. Απλά και Στοχαστικά Σήματα 2. Αιτιατά και μη Αιτιατά Σήματα 3. Σήματα Πεπερασμένου Πλάτους 4. Σήματα Πεπερασμένης και Σήματα Άπειρης Διάρκειας 5. Άρτια και Περιττά σήματα 6. Περιοδικά Σήματα 84
85 Απλά και Στοχαστικά Σήματα Απλό ή αιτιοκρατικό ονομάζεται ένα σήμα για το οποίο είμαστε πάντα σε θέση να γράψουμε μία μαθηματική σχέση που να το περιγράφει πλήρως σε κάθε χρονική στιγμή, άρα και να το προσδιορίσουμε πριν συμβεί. Αντίθετα, στοχαστικό ή τυχαίο ονομάζεται ένα σήμα το οποίο δεν είναι δυνατό να το προσδιορίσουμε επακριβώς πριν συμβεί, δηλαδή δεν μπορούμε να γράψουμε μία αναλυτική μαθηματική έκφραση που να το περιγράφει. Στην περίπτωση αυτή εντάσσεται ο θόρυβος καθώς και πληθώρα άλλων πραγματικών σημάτων. Για τη μελέτη των σημάτων αυτών χρησιμοποιείται η Θεωρία Πιθανοτήτων. 85
86 Αιτιατά και μη Αιτιατά Σήματα Ένα σήμα x(t) λέγεται αιτιατό εάν είναι μηδενικό για αρνητικές τιμές του χρόνου t (δεν έχει παρελθόν), δηλαδή αν ισχύει: x(t) = 0 για t < 0 Αυτή η διαπίστωση ισχύει γενικά, καθώς τα σήματα που μελετώνται στην πράξη προέρχονται από φυσικά συστήματα και προφανώς σε μεταγενέστερες χρονικές στιγμές από τη στιγμή έναρξης λειτουργίας του συστήματος, η οποία θεωρείται ως η χρονική στιγμή t = 0. x t x t t t Αιτιατό Σήμα Μη αιτιατό σήμα 86
87 Σήματα Πεπερασμένου Πλάτους Ένα σήμα x(t) λέγεται πεπερασμένου πλάτους όταν ισχύει: x(t) < για καθε t Ισοδύναμα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον όρο σήμα «φραγμένου πλάτους» 87
88 Σήματα Πεπερασμένης Διάρκειας και Σήματα Άπειρης Διάρκειας Ένα σήμα x(t) λέγεται σήμα πεπερασμένης διάρκειας όταν: x(t) = 0, t T 1 0, t T 2 όπου τα T 1 και T 2, (T 1 < T 2 ) είναι πεπερασμένοι αριθμοί. Αν τουλάχιστον ένα από τα T 1 και T 2 γίνει ίσο με το άπειρο, τότε το σήμα έχει άπειρη διάρκεια. 88
89 Άρτια και Περιττά Σήματα (1/2) Ένα σήμα x(t) λέγεται άρτιο και παρουσιάζει άρτια συμμετρία (συμμετρία με βάση τον άξονα y), όταν ισχύει: x( t) = x(t) < t < + Ένα σήμα x(t) λέγεται περιττό και παρουσιάζει περιττή συμμετρία (συμμετρία με βάση κέντρο συμμετρίας ίσο και αντίθετο--), όταν ισχύει: x( t) = x(t) < t < + x( t) x( t) 0 t Άρτιο Σήμα 0 Περιττό σήμα t 89
90 Άρτια και Περιττά Σήματα (2/2) Κάθε σήμα μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα ενός άρτιου x e t και ενός περιττού σήματος x o (t), δηλ. ως: x(t) = x e t + x o t όπου τα x e t και x o t δίνονται από τις σχέσεις: ανάκλαση x e t = 1 2 x t + x t ανάκλαση x ο t = 1 [x(t) x( t)] 2 Αποδεικνύεται ότι: το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών σημάτων είναι ένα άρτιο σήμα το γινόμενο ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος είναι ένα περιττό σήμα 90
91 Περιοδικά Σήματα (1/3) Ένα αναλογικό σήμα x(t) λέγεται περιοδικό αν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ έτσι ώστε να ισχύει x(t) = x(t + T) για κάθε t. Η ποσότητα Τ λέγεται περίοδος και μετριέται σε sec. Η ελάχιστη περίοδος ονομάζεται και θεμελιώδης περίοδος ( Τ 0 ) και ορίζει τη μικρότερη χρονική διάρκεια μετά την οποία το περιοδικό σήμα θα αρχίσει να επαναλαμβάνεται. Η ποσότητα f = 1/T ονομάζεται συχνότητα, δίνει τον αριθμό των επαναλήψεων του σήματος στη μονάδα του χρόνου (sec) και μετριέται σε Hertz (Hz), ενώ η ποσότητα ω = 2π/Τ = 2πf ονομάζεται κυκλική συχνότητα και μετριέται σε rad. 91
92 Περιοδικά Σήματα (2/3) Κλασσικό παράδειγμα περιοδικών σημάτων είναι τα ημιτονοειδή και συνημιτονοειδή σήματα, δηλαδή αυτά που περιγράφονται από μία σχέση της μορφής x(t) = A cos (ω 0 t + θ), όπου A είναι το πλάτος φάσης ή απλά φάση. cos 0 4 x t A t και θ είναι η γωνία A 0 A T 0 t Το ημιτονοειδές σήμα x(t) = A cos(ω 0 t + π/4) 92
93 Περιοδικά Σήματα (3/3) Έστω x(t) και y(t) περιοδικά σήματα με θεμελιώδεις περιόδους T 1 και T 2, αντίστοιχα. Θα μελετήσουμε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες το άθροισμα z(t) = x t + y(t) είναι περιοδικό σήμα. Εφόσον τα x(t) και y(t) είναι περιοδικά με θεμελιώδεις περιόδους T 1 και T 2 αντίστοιχα, ισχύει: x t = x t + mt 1, m = 1,2,.... y t = y t + nt 2, n = 1,2,.... Αν το άθροισμα z(t) = x t + y(t) είναι περιοδικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο T, τότε θα ισχύει z t = z t + T, η οποία γράφεται ως: z t + T = x t + mt 1 + y t + nt 2 Η σχέση αυτή ικανοποιείται μόνο όταν ισχύει: T 1 T = mt 1 = nt 2 = n T 2 m που αποτελεί και την αναγκαία προϋπόθεση για να είναι περιοδικό σήμα το άθροισμα δύο περιοδικών σημάτων. 93
94 Άσκηση 3 Να προσδιορίσετε την άρτια και την περιττή συνιστώσα του σήματος συνεχούς χρόνου x t = e jωt Απάντηση: Από τις εξισώσεις ορισμού των συνιστωσών x e t σήμα x t = e jωt και χρησιμοποιώντας τους τύπους του Euler: και x o (t) για το e +jωt = cos ωt + j sin ωt και e jωt = cos ωt j sin ωt έχουμε για την άρτια συνιστώσα: x e t = 1 2 x t + x t = 1 2 ejωt + e jωt = 1 2 cos ωt + j sin ωt + cos ωt j sin ωt = 1 2 cos ωt = cos ωt 2 94
95 Άσκηση 3 Ομοίως και για την περιττή: x o t = 1 2 x t x t = 1 2 ejωt e jωt = 1 2 cos ωt + j sin ωt cos ωt + j sin ωt = 1 2j sin ωt = j sin ωt 2 95
96 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή Συνάρτηση Δέλτα 3. Η Συνάρτηση Μοναδιαίας Κλίσης (Ράμπα) 4. Εκθετικά Σήματα 5. Ημιτονοειδή Σήματα 6. Τετραγωνικός Παλμός 7. Τριγωνικός Παλμός 8. Συνάρτηση Δειγματοληψίας 9. Τραίνο κρουστικών συναρτήσεων (σήμα Comb) 96
97 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 97
98 Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση Η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος ή μοναδιαία βηματική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή συνάρτηση του Heaviside, ορίζεται από τη σχέση: u t = 0, t < 0 1, t > 0 Η συνάρτηση u(t) είναι ασυνεχής εφόσον δεν ορίζεται στο t = 0. u( t) 1 0 t Συνάρτηση μοναδιαίου βήματος u(t) (Heaviside) 98
99 Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση Εναλλακτικά η μοναδιαία βηματική συνάρτηση ορίζεται ως το όριο μίας ακολουθίας συναρτήσεων u n (t), δηλαδή ως u t = lim Δ 0 u Δ t, όπου: u Δ (t) = 0, t < 0 t Δ, 0 t Δ 1, t Δ u ( t) 1 0 t Η συνεχής προσέγγιση της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος 99
100 Ιδιότητες Μοναδιαίας Βηματικής Συνάρτησης Οι πιο σημαντικές ιδιότητες της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι: (α) Η πράξη της κλιμάκωσης: Α u(t) = 0, t < 0 Α, t > 0 (β) Η πράξη της χρονικής μετατόπισης κατά μία ποσότητα χρόνου t 0 : u(t t 0 ) = 0, t < t 0 1, t > t 0 100
101 Ιδιότητες Μοναδιαίας Βηματικής Συνάρτησης (γ) Η πράξη της αλλαγής μεταβλητής: u( t) = 0, t > 0 1, t < 0 Aν προσθέσουμε τις u(t) και u( t), βρίσκουμε : u(t) u( t) = 1, t < 0 0, t = 0 1, t > 0 = sgn t η οποία ονομάζεται συνάρτηση προσήμου, επειδή επιστρέφει τις τιμές +1, 0 και 1, αν η τιμή του t είναι θετική, μηδενική ή αρνητική, αντίστοιχα. 101
102 Άσκηση 1 Να σχεδιάσετε το σήμα x(t) = u(t + 2) u(t 1) Απάντηση: Στα σχήματα (α) (δ) απεικονίζονται τα βήματα δημιουργίας του x(t) (σχήμα δ), το οποίο είναι το άθροισμα των u(t), u(t 1) και u(t + 2) (σχήματα α, β και γ, αντίστοιχα). (α) (β) (γ) (δ) 102
103 2. Κρουστική Συνάρτηση ή Συνάρτηση Δέλτα 103
104 Κρουστική Συνάρτηση Η παράγωγος της συνάρτησης u Δ (t) είναι: ( t) δ Δ t = du Δ t dt = 0, t < 0 1/Δ, 0 t Δ 0, t Δ 1 0 t Όταν Δ 0 η χρονική διάρκεια του παλμού ελαττώνεται και αυξάνεται το ύψος του, το εμβαδόν όμως παραμένει σταθερό και ίσο με τη μονάδα. Αν πάρουμε το όριο της δ Δ t όταν Δ 0 oρίζουμε τη συνάρτηση Δέλτα ή συνάρτηση Dirac ή κρουστική συνάρτηση δ(t) από τη σχέση: δ t = lim Δ 0 δ Δ t ( t) 1 0 t 104
105 Κρουστική Συνάρτηση Η δ(t) δεν είναι συνάρτηση υπό την αυστηρή μαθηματική έννοια, διότι δεν ορίζεται για t = 0. Εναλλακτικά, μελετούμε τη συνάρτηση δ(t) ως έναν τελεστή που επενεργεί σε άλλες συναρτήσεις οι οποίες είναι ομαλές στο σημείο 0 και τις οποίες ονομάζουμε συναρτήσεις δοκιμής. Έτσι, μπορούμε να εκφράσουμε (όχι να ορίσουμε) τη συνάρτηση δ(t) ως: δ t = 0 για t 0 + δ t φ t dt = φ(0) όπου φ(t) είναι μία συνάρτηση δοκιμής. 105
106 Κρουστική Συνάρτηση Ο προηγούμενος ορισμός μπορεί να γενικευθεί ώστε να περιγράψει την χρονικά μετατοπισμένη συνάρτηση δ(t t 0 ): + δ t t 0 φ t dt = + δ t t 0 φ t 0 dt = φ(t 0 ) + δ t t 0 dt = φ(t 0 ) Η παραπάνω σχέση περιγράφει το μαθηματικό μοντέλο της διαδικασίας της δειγματοληψίας, η οποία αποτελεί το πρώτο από τα τρία στάδια μετατροπής ενός σήματος από αναλογική σε ψηφιακή μορφή. Για φ(t) = 1 έχουμε: + δ t dt = 0 + δ t dt = 1 0 Η συνάρτηση δ(t) είναι πολύ σημαντική επειδή ενώ η χρονική της διάρκεια τείνει στο μηδέν, το εμβαδόν της παραμένει ίσο με την μονάδα 106
107 Ιδιότητες Κρουστικής Συνάρτησης (1/2) δ(t) = δ( t) δ t = du t dt t u(t) = δ τ dτ φ t δ t t 0 = φ t 0 δ t t 0 δ(αt) = 1 a δ(t) + 1 δ at φ t dt = φ 0 a + δ t φ t dt = φ 0 + δ t dt = 0 107
108 Ιδιότητες Κρουστικής Συνάρτησης (2/2) + δ t e jωt dt = Α δ t dt = Α δ t t0 dt = A φ t δ (t) = φ (0) δ(t) + φ(0) δ (t) t1 t 2 δ t t 0 φ t dt = φ t 0, t 1 < t 0 < t 2 0, t 0 < t 1, t 0 > t 2 t1 t 2 δ(τ t)δ t t 0 dt = δ t t 0, t 1 < t 0 < t 2 108
109 3. Συνάρτηση Μοναδιαίας Κλίσης (Ράμπα) 109
110 Συνάρτηση Μοναδιαίας Κλίσης Η συνάρτηση μοναδιαίας κλίσης συνεχούς χρόνου, ορίζεται από τη σχέση: r t = 0, t < 0 t, t 0 η r t = t u(t) Ισχύουν οι σχέσεις: dr t dt = d [t u t ] = u t dt r t = u τ d(τ) δ t = d r t dt 110
111 4. Εκθετικά Σήματα 111
112 Εκθετικά Σήματα Γενικός ορισμός εκθετικού σήματος: x(t) = Aβ st Όπου: Το Α ονομάζεται πλάτος του σήματος Το β είναι κάποιος πραγματικός αριθμός, με συνηθέστερη τιμή β = e = 2, Το s μπορεί να παίρνει πραγματικές (θετικές ή αρνητικές) ή μιδαγικές τιμές και καθορίζει σε σημαντικό βαθμό τη συμπεριφορά του σήματος. Ακολουθεί ανάλυση με βάση τις διαφορετικές τιμές του s. 112
113 (α) s αρνητικός Πραγματικά Εκθετικά Σήματα Αν s = 1/T, το σήμα γράφεται x(t) = Ae t/t. Το Τ ονομάζεται σταθερά χρόνου και περιγράφει την ταχύτητα με την οποία ελαττώνεται το σήμα. Για t = T έχουμε: Για t = 5T έχουμε: x T x T = A e 1 = 0,368 A = A e 5 = 0,0067 A Παρατηρούμε ότι μετά από την πάροδο πέντε (5) μονάδων χρόνου, το εκθετικό σήμα λαμβάνει μία αμελητέα τιμή σε σχέση με το πλάτος του. 113
114 Πραγματικά Εκθετικά Σήματα (β) s θετικός Αν s = 1/T, το σήμα γράφεται x t = Ae t/t. Τα συμπεράσματα είναι ανάλογα με την προηγούμενη περίπτωση. Εκθετικό σήμα για s = 1/T Εκθετικό σήμα για s = 1/T 114
115 Σχέσεις του Euler Στην ανάλυση των μιγαδικών συναρτήσεων χρησιμοποιείται συχνά η σχέση του Euler, δηλαδή: e jθ = cosθ + jsinθ Θέτοντας στην παραπάνω σχέση θ = θ έχουμε: e jθ = cosθ jsinθ Προσθαφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, αποκτούμε τις αντίστροφες σχέσεις του Euler που εκφράζουν τις συναρτήσεις συνημιτόνου και ημιτόνου σε ισοδύναμες μιγαδικές μορφές: cosθ = 1 2 ejθ + e jθ j sinθ = 1 2 ejθ e jθ 115
116 Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα Αν s = jω 0 το σήμα γράφεται x(t) = A e jω 0t, όπου το j = 1 είναι η φανταστική μονάδα. Τα εκθετικά μιγαδικά σήματα δεν έχουν φυσική υπόσταση αλλά χρησιμοποιούνται στη Θεωρία Σημάτων, καθώς απλουστεύουν την άλγεβρα των πράξεων. Με βάση τις σχέσεις του Euler, έχουμε: A cos ω 0 t + φ = Α Re{e j ω0t+φ } A sin ω 0 t + φ = Α Im{e j ω0t+φ } όπου Re{. } και Im{. } το πραγματικό και το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα. Επομένως, ένα σήμα συνημιτόνου μπορεί να θεωρηθεί ως το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού εκθετικού σήματος και ένα ημιτονικό ως το φανταστικό μέρος του. 116
117 Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα Ένα μιγαδικό εκθετικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί επίσης και ως: x t = A e j ω 0t+φ = X e jω 0t όπου η ποσότητα X = A e jφ ονομάζεται μιγαδικό πλάτος του σήματος. Επειδή το σήμα μπορεί να γραφεί και ως: x t = A e j ω 0t+φ = Α cosω 0 t + j Α sin ω 0 t Συμπεραίνουμε ότι το μιγαδικό εκθετικό σήμα x(t) είναι ένα περιοδικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο Τ 0 = 2π/ω 0 (sec). Η συχνότητα του σήματος δίνεται από τη σχέση f 0 = ω 0 /2π (Hertz), όπου ω 0 (rad/sec) είναι η κυκλική συχνότητα. Η ποσότητα φ ονομάζεται φάση και είναι ένα μέτρο της σχετικής θέσης στο χρόνο για χρονικό διάστημα μίας περιόδου. 117
118 Άσκηση 2 Να αποδειχθεί πως το εκθετικό μιγαδικό σήμα x t θεμελιώδη περίοδο T 0 = 2π ω 0 = e jω 0t είναι περιοδικό με Απάντηση: Αν είναι περιοδικό το x t θα ικανοποιεί τη σχέση x t + T = x t, όπου Τ θετικός αριθμός. Άρα: e jω 0 t+t = e jω 0t e jω 0t e jω 0T = e jω 0t e jω 0T = 1 Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Για ω 0 = 0 έχουμε ένα σήμα σταθερών τιμών x t = 1 και επομένως είναι περιοδικό με οποιαδήποτε τιμή περιόδου. Για ω 0 0 το εκθετικό μιγαδικό σήμα είναι θα περιοδικό για εκείνες τις τιμές της περιόδου T που ικανοποιούν τη σχέση ω 0 T = 2πm. Δηλαδή: T = m 2π, m = 1, 2, ω 0 Επομένως, η θεμελιώδης περίοδος του σήματος αντιστοιχεί στην τιμή m = 1 και είναι η T 0 = 2π ω
119 5. Ημιτονοειδή Σήματα 119
120 Ημιτονοειδή Σήματα Η γενική σχέση που περιγράφει ένα ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου είναι: x t = A cos ω 0 t + θ = A sin ω 0 t + θ + π 2 Οι συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου εμφανίζουν μία σταθερή διαφορά φάσης π/2 (90 ο ). Το ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Τ 0 = 2π/ω 0 (sec) και συχνότητα f 0 = ω 0 /2π = 1/Τ 0 (Hertz). Η ποσότητα φ ονομάζεται γωνία φάσης ή απλά φάση. Τα ημιτονοειδή είναι μία ιδιαίτερα χρήσιμη κατηγορία περιοδικών σημάτων, επειδή αντιστοιχούν σε πολλά σήματα του πραγματικού κόσμου, όπως τα ηχητικά κύματα, τα ηλεκτρικά ρεύματα, κλπ. Επιπλέον, σήματα που δεν είναι ημιτονοειδή μπορούν να γραφούν ως άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων με την ανάλυση Fourier. 120
121 6. Τετραγωνικός Παλμός 121
122 Τετραγωνικός Παλμός Τετραγωνικός παλμός διάρκειας α και πλάτους Α: Π α (t) = Α, t < a 0, t > a Ο τετραγωνικός παλμός μπορεί να παραχθεί από την αφαίρεση δύο συναρτήσεων μοναδιαίου βήματος, δηλαδή από τη σχέση: Π α t = Α[ u t + a u t a ] Επαναλαμβανόμενοι παλμοί με περίοδο Τ 0 δημιουργούν ένα «τραίνο παλμών», το οποίο είναι περιοδικό σήμα με περίοδο T 0 και διάρκεια παλμού α. Το τραίνο παλμών έχει ενδιαφέρον στις ψηφιακές επικοινωνίες επειδή προσεγγίζει τις μεταδιδόμενες παλμοσειρές που περιγράφουν τα δείγματα ενός ψηφιακού σήματος. 122
123 7. Τριγωνικός Παλμός 123
124 Τριγωνικός Παλμός Τριγωνικός παλμός διάρκειας α και πλάτους Α: Λ α (t) = Α 1 t a, t < a 0, t > a 124
125 8. Συνάρτηση Δειγματοληψίας 125
126 Συνάρτηση Δειγματοληψίας Συνάρτηση δειγματοληψίας: sinc t = sin t /t 1 t 0 t = 0 Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση sinc(t) έχει άρτια συμμετρία Διέρχεται περιοδικά από το μηδέν για t = ±nπ, n = 1,2 Το ύψος των δευτερευόντων λοβών μειώνεται ασυμπτωτικά προς το μηδέν. Οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές της συμβαίνουν περίπου στο μέσο των αποστάσεων μεταξύ των σημείων μηδενισμού, δηλαδή περίπου για t = ± n π, όπου sint =
127 9. Τραίνο κρουστικών συναρτήσεων (σήμα Comb) 127
128 Τραίνο κρουστικών συναρτήσεων (comb) Αν επαναλάβουμε τη συνάρτηση δ(t) με περίοδο T 0, δημιουργούμε το «τραίνο κρουστικών συναρτήσεων» (συνάρτηση comb): comb(t) = A + k= δ t kt 0 Αποδεικνύεται ότι η σειρά του δεξιού μέλους, συγκλίνει. Έτσι, η συνάρτηση comb(t) είναι δυνατό να οριστεί. 128
129 Δειγματοληψία Σήματος Συνεχούς Χρόνου Με τη συνάρτηση comb(t) υλοποιούμε τη δειγματοληψία ενός σήματος συνεχούς χρόνου x(t) με περίοδο δειγματοληψίας Τ 0 ίση με την περίοδο της comb(t). Το σήμα συνεχούς πλάτους και διακριτού χρόνου y(t), που προκύπτει από τη δειγματοληψία του σήματος x(t) με περίοδο δειγματοληψίας Τ 0, είναι: y(t) = + k= x kt 0 δ t kt 0 = x t + k= δ t kt 0 Οι συναρτήσεις δ t kt 0 επιτρέπουν την καταγραφή των τιμών του σήματος x(t) κατά τις χρονικές στιγμές nt 0 όπου n =,, 1,0,1,,, οδηγώντας έτσι στη δειγματοληψία του σήματος x(t). 129
130 Δειγματοληψία Σήματος Συνεχούς Χρόνου Διαδικασία δειγματοληψίας αναλογικού σήματος 130
131 References 1. Σήματα και Συστήματα (Θεωρία), Παρασκευάς Μιχαήλ, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών» Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας 2. Μ. Παρασκευάς «Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με MATLAB», Εκδόσεις Τζιόλα, Α. Μάργαρης «Σήματα και Συστήματα Συνεχούς & Διακριτού Χρόνου», Εκδόσεις Τζιόλα, Σ. Θεοδωρίδης, Κ.Μπερμπερίδης, Λ.Κοφίδης, «Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων», Εκδόσεις Τυπωθήτω, Α. Παλαμίδης, Α.Βελώνη, «Σήματα και Συστήματα με MATLAB», Σύγχρονη Εκδοτική, Α. Λιάβας, «Σήματα και Συστήματα», Εκπαιδευτικές Σημειώσεις, Γ. Μουστακίδης, «Βασικές Τεχνικές Επεξεργασίας Σημάτων», Εκδόσεις Τζιόλα,
132 Επεξεργασία Σήματος Δρ. Κωνσταντίνος Δεμερτζής 132
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 1: Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μέρος 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου 2 Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Κατηγορίες Σημάτων
1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ
. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 1, Μέρος 2ο: ΠΕΡΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 4 : Σήματα Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 4 : Σήματα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα ομιλίας Είδη /Κατηγορίες Σημάτων Στοιχειώδη Σήματα Χαρακτηριστικές Τιμές Σημάτων Τεχνικές
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 4 : Σήματα Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 4 : Σήματα Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα ομιλίας Είδη /Κατηγορίες Σημάτων Στοιχειώδη
Επικοινωνίες στη Ναυτιλία
Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,
ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος
ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος Τα κεφάλαια του μαθήματος 1 ο κεφάλαιο: Σήματα & Συστήματα 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση Fourier 3 ο κεφάλαιο: Απόκριση κατά συχνότητα 4 ο κεφάλαιο: Δειγματοληψία
Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i
Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα
Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 7: Μετατροπή Σήματος από Αναλογική Μορφή σε Ψηφιακή Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετατροπή Αναλογικού Σήματος σε Ψηφιακό Είδη Δειγματοληψίας: Ιδανική
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Δρ. Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογικά και ψηφιακά συστήματα Μετατροπή
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος
Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Εργαστήριο 3 Εισαγωγή στα Σήματα Αλέξανδρος Μανουσάκης Τι είναι σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται
ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ. 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού. 2. Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση. (απλά ηλεκτρικά στοιχεία)
ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία) 2. Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση 2019Κ1-1 ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ 2019Κ1-2 ΤΙ
3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα
3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου
Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 2 η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier
Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ.
Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ. 1 Εισαγωγή Αναλογικό σήμα (analog signal): συνεχής συνάρτηση στην οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή και η εξαρτημένη μεταβλητή (π.χ.
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 1: Σήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Σήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Διαφορές Αναλογικής Ψηφιακής Επεξεργασίας Παραγωγή Ψηφιακών
Εισαγωγή στην Επεξεργασία Σήματος. Νόκας Γιώργος
Εισαγωγή στην Επεξεργασία Σήματος Νόκας Γιώργος Βιβλιογραφία στον εύδοξο 1. Γ. Β. Μουστακίδης, Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων και Συστημάτων, εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοί Ο.Ε., Θεσσαλονίκη,
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =
2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier
2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή
Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας
Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Ενότητα 0: Εισαγωγή στο µάθηµα 2 Διαδικαστικά Παράδοση: Παρασκευή 16:00-18:30 Διδάσκων: E-mail:
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 1, Μέρος 2ο: ΠΕΡΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Το εκπαιδευτικό υλικό που παρουσιάζεται βασίζεται
2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier
2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙςΤΗΜΗς & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑς ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 2 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233
Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 1: Εισαγωγή Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες
ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Θεωρία
ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεωρία Καθηγητής: Τσιριγώτης Γεώργιος Καβάλα, 2014 1 1 Εισαγωγικές έννοιες 1 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σήμα: Σύμφωνα με
Ο μετασχηματισμός Fourier
Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας
Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό
Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος
Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,
Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση
Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση Σήματα και Συστήματα Τα συστήματα επεξεργάζονται ένα ή περισσότερα σήματα: Το παραπάνω σύστημα μετατρέπει το σήμα x(t) σε y(t). π.χ. Σε ένα σήμα ήχου μπορεί να ενισχύσει
Παλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM)
Παλμοκωδική Διαμόρφωση Pulse Code Modulation (PCM) Pulse-code modulation (PCM) Η PCM είναι ένας στοιχειώδης τρόπος διαμόρφωσης που δεν χρησιμοποιεί φέρον! Το μεταδιδόμενο (διαμορφωμένο) σήμα PCM είναι
Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) 2η Γραπτή Εργασία
Θ.Ε. ΠΛΗ22 (2012-13) 2η Γραπτή Εργασία Στόχος: Η 2 η εργασία αποσκοπεί στην κατανόηση των συστατικών στοιχείων των αναλογικών διαμορφώσεων, της δειγματοληψίας, και της μετατροπής του αναλογικού σήματος
Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ διακριτές σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου χρονοσειρές (time series)
Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ Είναι σύνηθες να μελετάμε διάφορα φαινόμενα σε διακριτές (και όχι συνεχείς) τιμές της μεταβλητής του χρόνου, οπότε, μιλάμε για για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου. Τα σήματα διακριτού
Κεφάλαιο 1 ο. Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων
Κεφάλαιο 1 ο Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρικό/ηλεκτρονικό σύστημα μπορεί εν γένει να παρασταθεί από ένα κυκλωματικό διάγραμμα ή δικτύωμα, το οποίο αποτελείται από στοιχεία δύο ακροδεκτών συνδεδεμένα
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμοί Σημάτων Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Βασικές κατηγορίες σημάτων Περιοδικά σήματα Άρτια και περιττά σήματα Εκθετικά σήματα Μετασχηματισμοί σημάτων (signal
ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.
3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού
Παλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM)
Παλμοκωδική Διαμόρφωση Pulse Code Modulation (PCM) Pulse-code modulation (PCM) Η PCM είναι ένας στοιχειώδης τρόπος διαμόρφωσης που δεν χρησιμοποιεί φέρον! Το μεταδιδόμενο (διαμορφωμένο) σήμα PCM είναι
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Κεφάλαιο 7 ο Ταξινόμηση Συστημάτων Κρουστική Απόκριση Κεφάλαιο
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός
Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται
Συστήματα Επικοινωνιών Ι
+ Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας Συστήματα Επικοινωνιών Ι Τηλεπικοινωνιακά Σήματα και Συστήματα + Περιεχόμενα 2 n Εισαγωγή n Εφαρμογές συστημάτων επικοινωνίας n Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήματος n Σήματα
ΠΛΗ21 Κεφάλαιο 1. ΠΛΗ21 Ψηφιακά Συστήματα: Τόμος Α Κεφάλαιο: 1 Εισαγωγή
Ψηφιακά Συστήματα: Τόμος Α Κεφάλαιο: 1 Εισαγωγή Στόχοι του κεφαλαίου είναι να γνωρίσουμε: Τι είναι τα Αναλογικά κ τι τα Ψηφιακά Μεγέθη Τι είναι Σήμα, Αναλογικό Σήμα, Ψηφιακό Σήμα Τι είναι Δυαδικό Σήμα
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Συστήματα Πολυμέσων. Ενότητα 2: Εισαγωγικά θέματα Ψηφιοποίησης. Θρασύβουλος Γ. Τσιάτσος Τμήμα Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγικά θέματα Ψηφιοποίησης Θρασύβουλος Γ. Τσιάτσος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Εισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011
Εισαγωγή στα Σήματα Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Τι είναι ένα σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται
() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.
Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } :
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 3: Εισαγωγή στα Συστήματα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 3: Εισαγωγή στα Συστήματα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Συστήματα 1. Ορισμός και Κατηγορίες Συστημάτων Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Συστήματα Διακριτού
Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1
Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση
Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ.
Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Αρμονική ταλάντωση και επειδή Ω=2πF Περιοδικό με βασική περίοδο Τ p =1/F Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. 1 Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler Το ημιτονοειδές σήμα
x[n] = x a (nt s ), n Z (11.1)
Κεφάλαιο 11 Σήματα και Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ως τώρα, τα σήματα που μελετήσαμε ήταν ολα συνεχούς χρόνου. Σε αυτό το κεφάλαιο, ξεκινάμε τη μελέτη μας σχετικά με την επεξεργασία σημάτων διακριτού χρόνου
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Μια μαθηματική συνάρτηση f(t) χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόμενη όταν: Όταν η τιμή παίρνεις θετικές και αρνητικές τιμές (εναλλάσσεται) σε σχέση με το χρόνο. Όταν η εναλλαγή
ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c
ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Διάλεξη 6
ΗΜΥ 00 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Διάλεξη 6 5 Σεπτεμβρίου, 0 Δρ. Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τα θέματά μας σήμερα Χρονικά
Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας
Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1
Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού
Ένα αναλογικό σήμα περιέχει άπειρες πιθανές τιμές. Για παράδειγμα ένας απλός ήχος αν τον βλέπαμε σε ένα παλμογράφο θα έμοιαζε με το παρακάτω:
Σημειώσεις Δικτύων Αναλογικά και ψηφιακά σήματα Ένα αναλογικό σήμα περιέχει άπειρες πιθανές τιμές. Για παράδειγμα ένας απλός ήχος αν τον βλέπαμε σε ένα παλμογράφο θα έμοιαζε με το παρακάτω: Χαρακτηριστικά
Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές
στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές http://courseware.mech.ntua.gr/ml23021/ 6 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E-mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo 1 Στα προηγούμενα μaθήματα Συστήματα
Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά
Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier Αθανάσιος
ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε
Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής
Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το
Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 6 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:
στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 6 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
. Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 3 ο : Πολυπλεξία με διαίρεση
Συστήματα Επικοινωνιών ΙI
+ Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών ΙI Παλμοκωδική διαμόρφωση (PCM) I + Ιστοσελίδα nιστοσελίδα του μαθήματος: n https://eclass.uowm.gr/courses/icte302/ + Περιεχόμενα
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 18 14 Νοεµβρίου, 2006 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Κωδικοποίηση Αναλογικής Πηγής: Κβάντιση Εισαγωγή Αναλογική πηγή: μετά από δειγματοληψία γίνεται διακριτού χρόνου άπειρος αριθμός bits/έξοδο για τέλεια αναπαράσταση Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης
Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων
Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 10: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση
Κεφάλαιο 5 Διασύνδεση Αναλογικών & Ψηφιακών Συστημάτων
Κεφάλαιο 5 Διασύνδεση Αναλογικών & Ψηφιακών Συστημάτων Αναλογικές & Ψηφιακές Διατάξεις Τα διάφορα μεγέθη των φυσικών διεργασιών τα μετράμε με αισθητήρες που ουσιαστικά παρέχουν ηλεκτρικά σήματα χαμηλής
Κεφάλαιο 5 Διασύνδεση Αναλογικών & Ψηφιακών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 5 Διασύνδεση Αναλογικών & Ψηφιακών Συστηµάτων Αναλογικές & Ψηφιακές Διατάξεις Control Systems Laboratory Τα διάφορα μεγέθη των φυσικών διεργασιών τα μετράμε με αισθητήρες που ουσιαστικά παρέχουν
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει
= R{(a + jb)e j2π 3 4 t } (6) a + jb = j2.707 = e j π (7) A = (9) f 0 = 3 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 7-8 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης