1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ"

Transcript

1 . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό θα οριστούν αντιπροσωπευτικά σήματα, τα οποία έχουν ιδιαίτερη σημασία στη θεωρία σημάτων. Το κεφάλαιο αυτό πραγματεύεται του βασικούς ορισμούς των σημάτων και ταξινομεί τα σήματα. Επίσης αναφέρονται οι βασικές ιδιότητες που παρουσιάζουν τα σήματα και οι μετατροπές σήματος ως προς το χρόνο. Στη συνέχεια ορίζονται μερικά στοιχειώδη σήματα, τα οποία παίζουν έναν ιδιαίτερο ρόλο στην θεωρία σημάτων, ως εργαλεία για τη μελέτη πολυπλοκότερων σημάτων. Τέλος στο παράρτημα Α υπάρχουν μερικά βασικά στοιχεία για τους μιγαδικούς αριθμούς. Εισαγωγή Ως σήμα ορίζεται ένα φυσικό μέγεθος το οποίο μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο ή το χώρο ή, με οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή ή μεταβλητές. Για παράδειγμα, το σήμα ομιλίας αντιστοιχεί στις μεταβολές της ακουστικής πίεσης σε σχέση με το χρόνο και προέρχεται από τις κινήσεις των φωνητικών χορδών. Το σήμα εικόνας αντιστοιχεί στις μεταβολές της φωτεινότητας σε σχέση με τις δύο χωρικές μεταβλητές. Άλλα παραδείγματα σηματών είναι τα σεισμικά σήματα, τα ιατρικά σήματα (όπως το καρδιογράφημα), επίσης ο ετήσιος δείκτης τιμών καταναλωτή, ο δείκτης του ποσοστού ανεργίας ανά μήνα κ.λπ. Από μαθηματική άποψη, ένα σήμα εκφράζεται ως συνάρτηση μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών. Ανάλογα με το πλήθος των ανεξαρτήτων μεταβλητών τα σήματα χαρακτηρίζονται ως μονοδιάστατα σήματα (-D), διδιάστατα (-D), πολυδιάστατα σήματα.. Ταξινόμηση Σημάτων Ανάλογα με τον τύπο της ανεξάρτητης ή της εξαρτημένης μεταβλητής της συνάρτησης μπορούμε να κατατάξουμε τα σήματα στις παρακάτω κατηγορίες.. Σήματα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά σήματα Σήματα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά σήματα είναι τα σήματα των οποίων η ανεξάρτητη μεταβλητή μεταβάλλεται σ ένα συνεχές διάστημα. Στα μονοδιάστατα σήματα το πεδίο ορισμού του σήματος είναι διάστημα της ευθείας των πραγματικών αριθμών. Στο Σχήμα.

2 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο έχει σχεδιαστεί ένα αναλογικό σήμα. Επειδή η ανεξάρτητη μεταβλητή συνήθως είναι ο χρόνος τα σήματα αυτά ονομάζονται σήματα συνεχούς χρόνου ή σήματα συνεχούς μεταβλητής x () Σχήμα. Γραφική αναπαράσταση ενός αναλογικού σήματος... Σήματα διακριτού χρόνου Σήματα διακριτού χρόνου είναι τα σήματα των οποίων το πεδίο ορισμού είναι κάποιο διακριτό σύνολο, (π.χ. το σύνολο των ακεραίων αριθμών), ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή είναι δυνατόν να λαμβάνει οποιαδήποτε τιμή. Το σήμα στο Σχήμα.α είναι ένα σήμα διακριτού χρόνου. x ( ) x ( ) (α) (β) Σχήμα. Γραφική αναπαράσταση (α) ενός σήματος διακριτού χρόνου και (β) ενός ψηφιακού σήματος...3 Ψηφιακά σήματα Ψηφιακά σήματα είναι τα σήματα στα οποία τόσο η ανεξάρτητη μεταβλητή, όσο και η εξαρτημένη μεταβλητή μπορούν να λαμβάνουν μόνο διακριτές τιμές. Στο Σχήμα.β φαίνεται ένα ψηφιακό σήμα.. Ιδιότητες Αναλογικών Σημάτων Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται μερικές βασικές ιδιότητες που έχουν τα αναλογικά σήματα. Ανάλογες ιδιότητες έχουν και τα διακριτά σήματα... Περιοδικά και Μη Περιοδικά Σήματα Ένα αναλογικό σήμα x () λέγεται περιοδικό, όταν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ για τον οποίο ισχύει x () = x( + T) για κάθε τιμή του. Στο Σχήμα.3 έχει σχεδιαστεί ένα περιοδικό σήμα. Ο σταθερός αριθμός Τ λέγεται περίοδος. Η ελαχίστη δυνατή περίοδος είναι γνωστή ως

3 Ενότητα. Ιδιότητες Αναλογικών Σημάτων 3 θεμελιώδης περίοδος και συμβολίζεται με T. Στην πράξη πολλές φορές αναφερόμαστε απλώς στην περίοδο και ενοούμε τη θεμελιώδη. x ( ) T T T T Σχήμα.3 Περιοδικό σήμα συνεχούς χρόνου. Παράδειγμα περιοδικού σήματος είναι το ημιτονοειδές σήμα ( ) = ( + ) x si ω θ (.) με περίοδο T = π ω. Το ω είναι γνωστό ως κυκλική συχνότητα και είναι ω η συχνότητα του ημίτονου. Ένα άλλο περιοδικό σήμα είναι το μιγαδικό σήμα = π f, όπου f y ()= ω (.) e j με την ίδια περίοδο T = π ω. Αν και τα μιγαδικά σήματα δεν έχουν φυσική υπόσταση είναι μαθηματικά ελκυστικά γιατί απλουστεύουν την άλγεβρα των πράξεων. Για παράδειγμα, πολλαπλασιασμός δύο εκθετικών σημάτων αντιστοιχεί απλώς στη πρόσθεση των εκθετών y Ae j = y Ae j = ω, τότε y ( ) y ( ) A e j ( ω ) + ω =. Στο τους. Πράγματι, αν ( ) ω και ( ) Παράρτημα Α υπάρχει μια σύντομη παρουσίαση των μιγαδικών αριθμών και των ιδιοτήτων τους... Αιτιατά και Μη Αιτιατά Σήματα Ενα σήμα x ( ) λέγεται αιτιατό, εάν είναι μηδενικό για αρνητικές τιμές του χρόνου, δηλαδή, x ( ) = για < (.3) Στην αντίθετη περίπτωση, το σήμα λέγεται μη αιτιατό. Στο Σχήμα.4 εικονίζονται ένα αιτιατό και ένα μη αιτιατό σήμα. x ( ) x ( ) (α) (β) Σχήμα.4 Παράδειγμα (α) αιτιατού σήματος και (β) μη αιτιατού σήματος.

4 4 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο..3 Σήματα Πεπερασμένα και Σήματα Πεπερασμένης και Άπειρης Διάρκειας Ένα σήμα x ( ) λέγεται πεπερασμένο αν x ( ) x ( ) λέγεται σήμα πεπερασμένης διάρκειας αν όπου T και T, ( T T ) x ( ), =, <, για κάθε τιμή του χρόνου. Ένα σήμα T T (.4) <, είναι πεπερασμένοι αριθμοί. Αν τουλάχιστον ένα από τα T και T γίνει ίσο με το άπειρο τότε το σήμα έχει άπειρη διάρκεια...4 Άρτια και Περιττά σήματα Ένα σήμα x ( ) λέγεται άρτιο ή (παρουσιάζει άρτια συμμετρία) αν x( ) = x ( ) < < + (.5) Αντίθετα, λέγεται περιττό (παρουσιάζει περιττή συμμετρία) αν x( ) = x ( ) < < + (.6) Το σήμα στο Σχήμα.5α παρουσιάζει άρτια συμμετρία και το σήμα στο Σχήμα.5β περιττή συμμετρία. x () x () (α) (β) Σχήμα.5 Σήματα συνεχούς χρόνου τα οποία παρουσιάζουν (α) άρτια συμμετρία και (β) περιττή συμμετρία. Κάθε σήμα μιγαδικό ή πραγματικό μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα ενός άρτιου, x ( ) και ενός περιττού σήματος, x ( ) όπου x e, [ ] * ( ) = x( ) + x ( )..5 Ενεργειακά Σήματα - Σήματα Ισχύος x ( ) = x ( ) + x ( ) (.7) e o [ ] * και ( ) = x( ) x ( ) Για κάθε σήμα x ()- x(), η ενέργεια του σήματος E x, δίνεται από τη σχέση x o (.8) e, Ex = lim x ( ) d όπου x () - x () είναι το μέτρο του σήματος. T T T - E = x ( ) x + = (.9)

5 Ενότητα. Ιδιότητες Αναλογικών Σημάτων 5 Ένα σήμα χαρακτηρίζεται ως ενεργειακό σήμα αν < E x < (.) Η μέση ισχύς P x του σήματος x ()- x () δίνεται από τη σχέση T P = x lim x( ) d - P ( ) x= lim T T N x N + T Αν το σήμα είναι περιοδικό, τότε η μέση ισχύς του P x δίνεται από τη σχέση T N N N P = x x( ) d T - P x N ( ) x= (.) (.) Ένα σήμα χαρακτηρίζεται ως σήμα ισχύος αν < P x < (.3) Σημειώνεται ότι για πραγματικά σήματα x () = x ( ) (βλέπε Παράρτημα Α)...6 Αιτιοκρατικά και Τυχαία-Στοχαστικά Σήματα Όταν οι τιμές που παίρνει ένα σήμα σε κάθε χρονική στιγμή ορίζονται χωρίς αβεβαιότητα το σήμα χαρακτηρίζεται ως αιτιοκρατικό σήμα ή νομοτελειακό σήμα. Ένα τέτοιο σήμα, για παράδειγμα, είναι το συνημίτονο (Σχήμα.6α). Στην πράξη, όμως, συναντάμε πολλά σήματα, όπως ο θερμικός θόρυβος, στα οποία η τιμή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή δεν μπορεί να καθοριστεί με βεβαιότητα πριν εμφανιστούν. Τα σήματα αυτά ονομάζονται τυχαία ή στοχαστικά σήματα (Σχήμα 6β). Για να επεξεργαστούμε τέτοιου είδους σήματα αναγκαστικά καταφεύγουμε στη θεωρία των Πιθανοτήτων και Στατιστικής. Στο βιβλίο αυτό θα περιοριστούμε μόνο στα αιτιοκρατικά σήματα. A ( ) = cos( π + π 4) x A f x ( ) T A (α) (β) Σχήμα.6 Παράδειγμα (α) νομοτελειακού σήματος και (β) στοχαστικού σήματος. Παράδειγμα. Δίνεται το σήμα 3, < x ( ) = (.4), Να εκφράσετε το σήμα ως άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος.

6 6 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο Λύση Το άρτιο σήμα x ( ) e είναι [ ] < ( ) = 3 x [ ( ) + ( )] = e x x x ( ) [ + 3 ] e =, <, (.5) ενώ περιττό το σήμα x ( ) o είναι [ + ] < ( ) = 3 x o [ x( ) x( ) ] = x ( ). [ 3] o. Από τις γραφικές παραστά- στο Σχήμα.7 εικονίζονται το σήμα x ( ), το xe ( ) και το xo ( ) σεις των σημάτων x ( ) το xe ( ) και το xo ( ) φαίνεται ότι x( ) x ( ) x ( ) e + o = (.6) = (.7) 3 x ( ) x e ( ) (α) (β) (γ) x o ( ) Σχήμα.7 Γραφικές παραστάσεις για τα σήματα (α) x (), (β) x e () και (γ) x ( )..3 Μετατροπές Σήματος ως προς το Χρόνο Πολλές φορές στην πράξη παρουσιάζονται σήματα τα οποία σχετίζονται μεταξύ τους με αλλαγή της ανεξάρτητης μεταβλητής, δηλαδή του χρόνου. Στη συνέχεια αναφέρονται οι βασικές μετατροπές σήματος ως προς το χρόνο..3. Ανάκλαση Ένα σήμα y ( ) αποτελεί την ανάκλαση του σήματος x ( ) ως προς = αν y ( ) = x( ) (.8) Η μετατροπή της ανάκλασης έχει σαν αποτέλεσμα την εναλλαγή μεταξύ παρελθόντος και μέλλοντος ενός σήματος. Αν το σήμα x ( ) είναι η έξοδος ενός μαγνητοφώνου, τότε το σήμα ( ) x είναι η έξοδος του ιδίου μαγνητοφώνου, όταν αυτό περιστέφεται αντίθετα. Στο Σχήμα.8 έχει σχεδιαστεί ένα σήμα συνεχούς χρόνου και η ανάκλασή του ως προς =..3. Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου Το σήμα x ( ) αποτελεί μια χρονική συστολή του σήματος ( ) = x a με a ( ) ( ) > x, όταν x (.9)

7 Ενότητα.3 Μετατροπές Σήματος ως προς το Χρόνο 7 x ( ) x( ) (α) (β) Σχήμα.8 (α) Ένα σήμα συνεχούς χρόνου και (β) η ανάκλασή του ως προς =. Το σήμα x() αποτελεί μια χρονική διαστολή του σήματος x (), αν ( ) = x( a ) με < a x (.) < Αν το σήμα x () είναι η έξοδος ενός μαγνητοφώνου, τότε το σήμα x ( ) είναι η εξόδος του ιδίου μαγνητοφώνου, όταν αυτό περιστρέφεται με διπλάσια ταχύτητα και x/ ( ) είναι η εξόδος, όταν αυτό περιστρέφεται με υποδιπλάσια ταχύτητα. Στο Σχήμα.9 έχουν σχεδιαστεί η χρονική συστολή και διαστολή ενός σήματος. x () x( ) x( ) (α) (β) (γ) Σχήμα.9 (α) Σήμα, (β) η χρονική συστολή του και (γ) η χρονική διαστολή του..3.3 Χρονική Μετατόπιση Ένα σήμα y ( ) είναι μια χρονικά μετατοπισμένη κατά μορφή του σήματος x ( ) αν y ( ) = x ( ) (.) Στο Σχήμα. έχει σχεδιαστεί ένα σήμα x ( ) και η χρονικά μετατοπισμένη μορφή του. x () x ( ) (α) (β) Σχήμα. (α) Το σήμα x () και (β) η χρονικά μετατοπισμένη μορφή του. Η χρονική μετατόπιση είναι μια πολύ συνηθισμένη μεταβολή στην πράξη. Σε περιπτώσεις μετάδοσης ενός σήματος έχουμε χρονικές καθυστερήσεις, οι οποίες εξαρτώνται από τις

8 8 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο ιδιότητες του μέσου μετάδοσης. Για παράδειγμα, σε ένα Τηλεπικοινωνιακό σύστημα το σήμα που λαμβάνει ο δέκτης είναι χρονικά καθυστερημένο σε σχέση με αυτό που εκπέμπεται από το πομπό. Παράδειγμα. Δίνεται το σήμα Να σχεδιάσετε το σήμα y ( ) = x( ). +, < x ( ) =, < (.), αλλιώς Λύση Το σήμα x () εικονίζεται στο Σχήμα.. Το σήμα y () αποτελεί την ανάκλαση του σήματος x (). Θα προσδιορίσουμε τη συνάρτηση του σήματος y () ( ) x x ( ) Σχήμα. Το σήμα x () του Παραδείγματος.. Σχήμα. Η γραφική παράσταση του σήματος y () y ( ) = x( ) y( ) = ( ) +, < ( ), < y( ), αλλιώς +, = +,, > > αλλιώς +, < y ( ) =, < (.3), αλλιώς Η γραφική παράσταση του σήματος y ( ) = x( ) δίνεται στο Σχήμα...4 Στοιχειώδη Σήματα Η ανάλυση ενός σήματος σε απλούστερα σήματα, των οποίων η συμπεριφορά είναι είτε γνωστή είτε ευκολότερο να μελετηθεί, αποτελεί βασική μεθοδολογία στην επεξεργασία σήματος. Στη συνέχεια θα ορίσουμε έναν αριθμό στοιχειωδών σημάτων που παίζουν ένα ιδιαίτερο ρόλο στην θεωρία σημάτων, ως εργαλεία για τη μελέτη πολυπλοκοτέρων σημάτων..4. Μιγαδικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου Το μιγαδικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου ορίζεται από τη σχέση

9 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα 9 x ()= c e s (.4) σ όπου s = σ + jω έτσι x c e j ()= e ω και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (α) Είναι αντιστρέψιμο ( ce ) = c e s (β) Είναι διαφορίσιμο ( ) s d ds ce s s = c se.. Μία σημαντική κατηγορία εκθετικών σημάτων συνεχούς χρόνου προκύπτει αν το s είναι πραγματικός αριθμός, s = σ, οπότε το x () ονομάζεται πραγματικό εκθετικό σήμα, και παρουσιάζει ασυμπτωτική συμπεριφορά ανάλογα με τις τιμές του σ (βλέπε Σχήμα.3). x () x () x () c c c (α) (β) (γ) Σχήμα.3 Το πραγματικό εκθετικό σήμα (α) για σ<, (β) για σ> και (γ) για σ=. Μία άλλη σημαντική κατηγορία εκθετικών σημάτων συνεχούς χρόνου προκύπτει αν το s είναι φανταστικός αριθμός (s= jω ), δηλαδή x ()= e jω. Το σήμα x e j ω ()= είναι περιοδικό με περίοδο Τ, αν ω =, τότε x ()=, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί περιοδικό για κάθε Τ. ω T = π ω, τότε η θεμελιώδης περίοδος T, δηλαδή η μικρότερη τιμή του T, είναι, Πράγματι, από το ορισμό ισχύει: jω jω ( + T) jω jω jω T jω T e = e e = e e e = ( ) ( ) cos ω T + jsi ω T = ω T = kπ T = π ω jθ όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση του Euler e = cosθ + jsi θ. Το γνωστό συνημιτονοειδές σήμα x ( ) = Acos( ω + ϕ) (βλέπε Σχήμα.4) είναι επίσης περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T και θεμελιώδη συχνότητα f όπου f = T και ω = π f. Το συνημιτονοειδές σήμα σχετίζεται άμεσα με το μιγαδικό εκθετικό σήμα. Πράγματι, αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση του Euler, μπορούμε να εκφράσουμε το φανταστικό εκθετικό σήμα με τη βοήθεια ημιτονοειδών σημάτων της ιδίας θεμελιώδους περιόδου, από τη σχέση Μπορούμε, προφανώς, να γράψουμε ( ω+ ϕ) ( ω ϕ) ( ω ϕ) j e = cos + + j si + (.5) ( ) ( ) jω+ ϕ j( ω+ ϕ) { } ( ) { } cos ω + ϕ =R ee και si ω + ϕ =I me (.6) όπου Re{} συμβολίζει το πραγματικό και Im{} το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού.

10 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο x () = Acos( ω + ϕ) A Acosϕ T = π ω Σχήμα.4 Το συνημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου. Η σχέση του Euler αντιστρέφεται και έτσι μπορούμε να εκφράσουμε το ημίτονο ή το συνημίτονο με τη βοήθεια εκθετικών μιγαδικών όρων, όπως για παράδειγμα ( ) cos ω e = jω jω + και si( ω ) e e = jω jω e (.7) j Το μιγαδικό εκθετικό σήμα e jω, όπως το (συν)ημιτονοειδές σήμα cos( ω ), si( ω ), είναι γνωστό ως σήμα μιας συχνότητας ή σήμα απλής συχνότητας. Όπως θα δούμε τα σήματα αυτά χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τα χαρακτηριστικά πολλών φυσικών διαδικασιών. Στο Σχήμα.5 δίνονται τρία παραδείγματα συνημιτονοειδών σημάτων με διαφορετική κυκλική συχνότητα και περιόδο. Παρατηρούμε ότι, όταν η συχνότητα αυξάνει, ω < ω < ω3, η θεμελιώδης περίοδος ελαττώνεται, T > T > T3, και αυξάνει ο ρυθμός των ταλαντώσεων του σήματος, δηλαδή αυξάνει ο ρυθμός μεταβολής του σήματος. Ένα σήμα χαμηλής συχνότητας μεταβάλλεται με αργό ρυθμό σε αντίθεση με ένα σήμα υψηλής συχνότητας που μεταβάλλεται με γρήγορο ρυθμό. x () = cos( ω ) x () = cos( ω ) T T x () = cos( ω ) 3 3 T 3 Σχήμα.5 Η συμπεριφορά του συνημιτόνου για διαφορετικές συχνότητες ω < ω < ω 3. Η γενική περίπτωση μιγαδικού εκθετικού σήματος συνεχούς χρόνου είναι s jθ x () = c e οπου & c = ce και s= σ+ jω (.8)

11 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα έτσι jθ ( σ+ jω x ce e ) σ j ce e ( ω + θ ()= = ) (.9) Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler έχουμε: σ σ ( ω θ) ( ω θ) σ ( ω θ) cos( ω θ π ) x () = ce cos + + jce si + σ = ce cos + + jce + (.3) Για σ= το πραγματικό και το φανταστικό μέρος (τμήμα) είναι (συν)ημιτονοειδή σήματα (Σχήμα.6α). Για σ> τα αντίστοιχα (συν)ημιτονοειδή σήματα πολλαπλασιάζονται μ έναν αυξανόμενο εκθετικό παράγοντα (Σχήμα.6β). Για σ< τα αντίστοιχα (συν)ημιτονοειδή σήματα πολλαπλασιάζονται μ έναν εκθετικό παράγοντα που φθίνει (Σχήμα.6γ). Τα σήματα αυτά είναι γνωστά ως φθίνοντα ημιτονοειδή σήματα και εμφανίζονται στις φθίνουσες αρμονικές μηχανικές ή ηλεκτρικές ταλαντώσεις όπως θα δούμε. Στο Σχήμα.6 οι διακεκομμένες γραμμές αντιστοιχούν στις συναρτήσεις ± ce σ και αποτελούν την περιβάλλουσα της καμπύλης ταλάντωσης. R ex { ( )} = cos c ( ω + θ) σ R ex { ( )} = ce cos( ω + θ) σ R ex { ( )} = ce cos( ω + θ) (α) (β) (γ) Σχήμα.6 Γραφική αναπαράσταση του πραγματικού μέρους του μιγαδικού εκθετικού σήματος (α) σ =, (β) σ > και (γ) σ <..4. Μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Το μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου, ορίζεται από τη σχέση x ( )= c a (.3) β όπου c και α είναι γενικά μιγαδικοί αριθμοί (εναλλακτικά ορίζεται από τη x ( ) = c e όπου a = e β ). (α) Αν c και α είναι πραγματικοί αριθμοί έχουμε τις γραφικές παραστάσεις του Σχήματος.7).

12 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο x ( ) x ( ) (α) (β) x ( ) x ( ) (γ) (δ) Σχήμα.7 (δ) α<-. Το πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου (α) α>, (β) <α<,(γ) -<α< και (β) Αν β είναι καθαρός φανταστικός αριθμός (β= jω ) τότε x ( )= e jω. Το σήμα αυτό συνδέεται με το (συν)ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου x ( ) = Acos( + φ ) με τη βοήθεια της σχέσης του Euler. Πράγματι, A A e φ e Ω cos( Ω ) A e φ + φ = + e j j j jω Ω (γ) Η γενική περίπτωση c ce j θ jω = a = ae δίνει x () = ca cos( Ω + θ) + jca si( Ω + θ ) (.3) Στο Σχήμα.8 εικονίζονται το πραγματικό μέρος του μιγαδικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου. Αν το δεν έχει διαστάσεις τότε το Ω και θ έχουν διαστάσεις γωνίας (rad). Re{ x ()} c a Re{ x ()} c a (α) (β) Σχήμα.8 Το πραγματικό μέρος του μιγαδικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου (α) a < και (β) a >.

13 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα Ιδιότητες των εκθετικών σημάτων (α) Η πρώτη ιδιότητα αφορά την περιοδικότητα του μιγαδικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου, ως προς τη συχνότητα. Τα μιγαδικά εκθετικά σήματα συνεχούς χρόνου, e jω και e jω, όταν ω ω είναι διαφορετικά σήματα. Το μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου, με συχνότητα Ω + π είναι το ίδιο με το αντίστοιχο της συχνότητας Ω. Πράγματι: j( Ω +π) jπ jω jω e = e e = e Έτσι το εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου με συχνότητα Ω είναι το ίδιο με συχνότητες Ω + π, Ω + 4π,K και γιαυτό το μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου χρειάζεται να περιγραφεί στο διάστημα συχνοτήτων Ω < π ή π Ω < π. Στο εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου παρατηρούμε ότι όσο αυξάνει η ω τόσο αυξάνει και ο ρυθμός των ταλαντώσεων. Στα εκθετικά σήματα διακριτού χρόνου, όσο το Ω αυξάνει από, μέχρι τη τιμή Ω = π, έχουμε σήματα με ρυθμό ταλάντωσης που επίσης αυξάνεται (Σχήμα.9). Αν το Ω αυξάνεται από την τιμή π, μέχρι την τιμή Ω = π, έχουμε τώρα μείωση του ρυθμού ταλάντωσης η οποία είναι η ίδια για Ω =. Έτσι διακριτά σήματα τα οποία παρουσιάζουν μικρούς ρυθμούς μεταβολής (χαμηλές συχνότητες) αποτελούνται από συχνότητες που βρίσκονται στη περιοχή του και π ή σε κάθε άρτιο πολλαπλάσιο του π. Αντίθετα διακριτά σήματα τα οποία παρουσιάζουν μεγάλους ρυθμούς μεταβολής (υψηλές συχνότητες) αποτελούνται από συχνότητες στην περιοχή του π ή σε κάθε περιττό πολλαπλάσιο του π. (β) Η δεύτερη ιδιότητα αφορά την περιοδικότητα του μιγαδικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου, ως προς τη μεταβλητή. Αν το e jω είναι περιοδικό με περίοδο Ν> πρέπει jω ( + N) jω jω N ( Ω ) si( Ω ) e = e e = cos N + j N = δηλαδή το Ω N πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του π έτσι Ω N = π k ή Ω π = k N (.33) Παρατηρούμε ότι το μιγαδικό εκθετικό σήμα δεν είναι γενικά περιοδικό, είναι περιοδικό όταν Ω π είναι ρητός αριθμός. Έχουνε λοιπόν για τα μιγαδικά εκθετικά σήματα: Αν x ( ) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν η θεμελιώδης συχνότητα είναι π N. Για να είναι περιοδικό πρέπει Ω π = kn. Αν οι k και N είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε η θεμελιώδης περίοδος είναι Ν. Η θεμελιώδης περίοδος μπορεί να γραφεί N k( ) = π Ω. Τα μιγαδικά εκθετικά σήματα συνεχούς χρόνου που έχουν συχνότητες πολλαπλάσιες της θεμελιώδους ω = π T (αρμονικές), e jk ( π T ), είναι διαφορετικά δηλαδή: π π jk jm e Τ e Τ k m j( Ω+π ) jω Δεν ισχύει όμως το ίδιο για τα διακριτού χρόνου όπου λόγω της e = e τα jk σήματα f e ( π N () = ) k =, ±, είναι τα ίδια για τιμές του k που διαφέρουν k

14 4 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο πολλαπλάσιο του N. Πράγματι f ( ) = e = e e = f ( ) k+ N j ( k+ N ) π π N j π jk N k ( ) x ( ) = cos = π x ( ) = cos 8 π x ( ) = cos 4 π x ( ) = cos ( π ) x ( ) = cos 3π x( ) = cos 7π x( ) = cos 4 x( ) = cos 5π 8 ( π) x( ) = cos = Σχήμα.9 Ημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου για διάφορες συχνότητες.

15 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα 5 Παρατηρούμε ότι υπάρχουν μόνο Ν διαφορετικά μιγαδικά εκθετικά σήματα διακριτού χρόνου των οποίων οι συχνότητες είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους. Τα σήματα αυτά ορίζουν το σύνολο A= { f( ), f( ), f( ), K f N ( )}. Αν f( k) ( ) A τότε είναι ίδιο με ένα από αυτά, δηλαδή, f ( ) = N f ( ), f ( ) = f N ( ) και ούτω καθεξής. Τελειώνοντας, έστω x ( ) η ακολουθία διακριτού χρόνου η οποία προέρχεται από τη δειγματοληψία του e jω σε σημεία τα οποία χρονικά ισαπέχουν x e jωt e j( ω T ) ( ) = = επειδή x ( )= e jω έχουμε Ω = ω T το x ( ) είναι περιοδικό μόνο όταν Ω π = kn ή ω T π = kn. Αν δειγματοληπτήσουμε το περιοδικό αναλογικό σήμα x () = cos( π ) με περιόδο T = προκύπτει το διακριτό σήμα x ( ) =cos( π ), (βλέπε Σχήμα.α), το οποίο είναι περιοδικό, αφού ικανοποιείται η σχέση (.33). Σε ανάλογα συμπεράσματα καταλήγουμε όταν η περίοδος δειγματοληψίας είναι T = 43, (βλέπε Σχήμα.β). Αντίθετα αν η περίοδος είναι T = π το διακριτό σήμα x ( ), σε αντίθεση με το x (), δεν είναι περιοδικό (βλέπε Σχήμα.γ). π x ( ) = cos (α) 8π x ( ) = cos 3 (β) x () = cos 6 (γ) Σχήμα. Ημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου..4.4 Η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος συνεχούς χρόνου Μια ειδική μορφή σήματος είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος συνεχούς χρόνου, η οποία ορίζεται ως και έχει τη μορφή του Σχήματος.., < u () =, > (.34)

16 6 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο u () u() Σχήμα. Η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος (συνεχούς χρόνου). Σχήμα. Η συνεχής προσέγγιση της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος. Η συνάρτηση u () είναι ασυνεχής και δεν ορίζεται στο =. Ένας άλλος τρόπος να δούμε τη συνάρτηση u () είναι ως όριο μιας ακολουθίας συναρτήσεων, < u () =, < <, Η συνάρτηση u() φαίνεται στο Σχήμα.. Παρατηρούμε ότι u () lim u (). =.4.5 Η κρουστική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή Συνάρτηση δέλτα Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η παράγωγος της συνάρτησης u() δ, < du() () = < d η οποία δεν ορίζεται στα σημεία ασυνέχειας και Δ και φαίνεται στο Σχήμα.3. (.35) (.36) δ () δ( ) Σχήμα.3 Η παράγωγος της συνάρτησης u (). Σχήμα.4 Η συνάρτηση Δέλτα. Παρατηρούμε ότι το εμβαδό της δ () είναι ίσο με τη μονάδα για κάθε τιμή της Δ και ότι η συνάρτηση δ () είναι ίση με το μηδέν έξω από το διάστημα. Όταν η χρονική διάρκεια του παλμού ελαττώνεται και αυξάνεται το ύψος του, το εμβαδό όμως παραμένει σταθερό και ίσο με τη μονάδα. Στο όριο γράφουμε δ() lim δ () = Η δ( ) ονομάζεται συνάρτηση δέλτα ή συνάρτηση Dirac ή κρουστική συνάρτηση. (.37) Η δ( ) δεν είναι συνάρτηση με τη συνήθη έννοια και ορίζεται μέσα από τις ιδιότητές της, δηλαδή δ( ) =, (.38)

17 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα 7 και δ d = (.39) ( ) Η κρουστική συνάρτηση είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος. Ένας γενικότερος ορισμός της δ () είναι και δ( ) =, (.4) x δ d x (.4) ( ) ( ) = ( ) όπου x ()είναι συνεχής συνάρτηση στο Μία βασική ιδιότητα της συνάρτησης δέλτα είναι δ() = δ( ) Η συνάρτηση δ () γραφικά παριστάνεται όπως στο Σχήμα.4. Το μέτρο του διανύσματος το οποίο χρησιμοποιούμε για να αποδόσουμε τη συνάρτηση δέλτα επιλέγεται ώστε να είναι ίσο με το εμβαδό της. Παράδειγμα.3 Να εξετάσετε αν τα παρακάτω σήματα είναι περιοδικά ή όχι. Αν το σήμα είναι περιοδικό να υπολογιστεί η θεμελιώδης συχνότητά του. ) x ( ) = 3cos 5+ 4 π ) ( ) x e j π = ( ) ( ) 3) x ( ) = e 4) x ( ) = cosπ ( ) Λύση = [ ] u ( ) () Εξετάζουμε αν υπάρχει θετικός αριθμός T για τον οποίο x ( + T) = x ( ) για κάθε τιμή του χρόνου. Έτσι έχουμε x ( + T) = x ( ) π + T + = + π 3cos 5 5 3cos Γνωρίζουμε όμως ότι αν cosϕ = cosθ τότε ϕ ± θ = k π, και επομένως προκύπτει ότι: ή π π ( 5 5 ) ( 5 ) (.4) kπ π + T = kπ Τ = (.43) π π ( 5 5 ) ( 5 ) kπ + T + + = kπ Τ = (.44) Από την (.43) δεν προκύπτει σταθερή τιμή για την περίοδο. Από την (.44) παρατηρούμε ότι το σήμα είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T = π 5 και θεμελιώδη συχνότητα f = 5π.

18 8 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο () Με όμοιο τρόπο σκέψης έχουμε ( ) ( ) j( π+ πt ) j( π ) jπt x + T = x e = e e = ( ) si( ) cos πt + j πt = πt = kπ T = k Παρατηρούμε ότι το σήμα είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T = και θεμελιώδη συχνότητα f =. (3) Για το σήμα έχουμε ( + ) ( + ) = = ( ) ( ) = x e x T e T θέτοντας T k = μεταβλητής k = το σήμα αποκτά τη μορφή ( ) = έχουμε x ( k) e + = k ( ) ( + ) = x k e = = Συγκρίνοντας τις (.45) και (.46) παρατηρούμε ότι x ( + k) = x ( ) (.45) [ ] με αλλαγή (.46), άρα το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο T = k. Η θεμελιώδης περίοδος του σήματος είναι T = και η θεμελιώδης συχνότητα f =. (4) Παρατηρούμε ότι το σήμα δεν είναι περιοδικό. ( ) cos( π ) x ( π) cos > = [ ] u ( ) = < (.47) Παράδειγμα.4 Αν x ( ) είναι το σήμα που δίνεται στο Παράδειγμα. (σχέση.) να υπολογιστούν τα σήματα ( ) = x ( ) u ( ) y ( ) = x ( ) δ( ) y Λύση Με τη βοήθεια της σχέσης ορισμού της συνάρτησης u () παρατηρούμε ότι το σήμα y() είναι το αιτιατό τμήμα του σήματος x (). Το σήμα y() είναι η συνάρτηση δέλτα χρονικά μετατοπισμένη κατά με πλάτος x () =. Στο Σχήμα.5 εικονίζονται τα σήματα x (), y() και y().

19 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα 9 x ( ) y ( ) = xu ( ) ( ) ( ) = ( ) δ( ) y x Σχήμα.5 Γραφικές παραστάσεις για τα σήματα x (), y ( ) και y ( ). Παράδειγμα.5 Να σχεδιάσετε τα ακόλουθα σήματα ( ) ( ) ( ) ( ) x = δ + 3 δ + 5 δ οταν & = ( ) = ( + ) ( ) y u u Λύση: Στο Σχήμα.6 απεικονίζεται ο τρόπος δημιουργίας του σημάτος x (). Παρατηρούμε ότι το σήμα x () είναι το άθροισμα του σήματος ( ) 6. β και του 5δ ( ) Σχήμα 6 u ( ) Σχήμα 6. β από το u+ ( ) Σχήμα 6. γ. δ Σχήμα 6 3δ Σχήμα. γ. Επίσης το σήμα y () είναι η διαφορά του σήματος. a, του ( ) δ ( ) u ( ) δ ( ) ( a ) ( ) 3 ( β ) ( ) 5δ ( ) a u ( ) β u+ ( ) 3 ( γ ) ( ) γ

20 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο 5 x ( ) y ( ) 3 3 ( δ ) ( ) δ Σχήμα.6 Ο τρόπος δημιουργίας των σημάτων x () και y () του Παραδείγματος.5. Παράδειγμα.6 Να αναπτυχθεί ένα τυχαίο αναλογικό σήμα σε άθροισμα από ολισθήσεις μοναδιαίου δείγματος. Λύση: Έστω το τυχαίο αναλογικό σήμα x () του σχήματος 7. a. Θεωρούμε το κλιμακωτό σήμα x, $( ) του Σχήματος 7. a, το οποίο προσεγγίζει το σήμα x (). x () x $( ) 3 4 k ( k+ ) a ( a ) ( ) x ( ) ( + ) x( ) δ (β) x( ) δ ( + ) x( ) x( ) (γ) x( ) δ ( ) (δ) Σχήμα.7 Ανάπτυγμα σήματος συνεχούς χρόνου σε ολισθήσεις μοναδιαίου δείγματος. Υπενθυμίζουμε ότι η ( ) δ είναι ένας παλμός με αρχή τη χρονική στιγμή, με

21 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα διάρκεια και πλάτος ίσο με ένα. Ο παλμός, του σχήματος.7β, με αρχή τη χρονική στιγμή = και ύψος ίσο με την τιμή του σήματος την ίδια χρονική στιγμή, x( ) εκφράζεται από την x( ) δ ( + ) (.48) Με ανάλογο τρόπο εκφράζονται και οι άλλοι παλμοί, οι οποίοι προσδιορίζονται από το σήμα $x εκφράζεται από την εξίσωση $x( ) (βλέπε Σχήμα.7γ και δ). Έτσι το σήμα ( ) Αν, το σήμα x $( ) x (), έτσι x $( ) = xk ( ) δ ( k ) (.49) k= x () = lim xk ( ) δ ( k ) (.5) k = Όταν, το k γίνεται η συνεχής μεταβλητή τ, το παραπάνω άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα και επειδή δ() lim δ (), το σήμα x () δίνεται από την εξίσωση: = x () = x()( τδ τ) dτ = x()( τδτ d ) τ (.5) Το παραδειγμα αυτό αναδεικνύει μια φυσική προέκταση του ορισμού (.4) και θα μας φανεί χρήσιμο στο επόμενο κεφάλαιο. Παράδειγμα.7 Δίνεται το σήμα του Σχήματος.8. Να σχεδιάσετε τα σήματα x () = xu () () και x () = x( u ) (). Παρατηρήστε ότι τα σήματα x + () και x () είναι αιτιατά σήματα. Το μη αιτιατό σήμα x ()μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο σημάτων με τη βοήθεια της σχέσης: + ( ) = ( ) + ( ) x x x + (.5) x ( ) Σχήμα.8 Το σήμα του Παραδείγματος.7. Λύση Στο Σχήμα.9α εικονίζεται το σήμα x ( ), και στο Σχήμα.9β η ανάκλασή του x( ). + Το αιτιατό τμήμα του σήματος, x ( ), x ( ) = x ( ) u ( ) εικονίζεται στο Σχήμα.9γ και το αιτιατό τμήμα του σήματος, x( ), x ( ) = x( ) u ( ) εικονίζεται στο Σχήμα.9δ. Παρατηρούμε από τα διαγράμματα ότι το σήμα x ( ) είναι ίσο με το άθροισμα του

22 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο + σήματος x ( ) και της ανάκλασης x ( ) του σήματος x ( ) + ( ) = ( ) + ( ) x x x, δηλαδή είναι x ( ) x ( ) (α) (β) x ( ) u ( ) x ( ) u ( ) (γ) (δ) Σχήμα.9 Τα σήματα του Παραδείγματος Μοναδιαία βηματική ακολουθία-μοναδιαίο βήμα διακριτού χρόνου Η μοναδιαία βηματική ακολουθία λαμβάνεται από τη συνάρτηση μοναδιαίου βήματος, αν αντικαταστήσουμε το με το και υπολογίσουμε αυτό μόνο για ακέραιες τιμές του χρόνου. Έτσι έχουμε, < u ( ) =, (.53) Στο Σχήμα.3 έχουμε τη γραφική παράσταση του μοναδιαίου βήματος διακριτού χρόνου. u () δ () Σχήμα.3 Η μοναδιαία βηματική ακολουθία. Σχήμα.3 Η κρουστική ακολουθία.4.7 Το μοναδιαίου δείγμα-κρουστική ακολουθία Το μοναδιαίο δείγμα ορίζεται με τη σχέση, = δ ( ) = (.54), αλλιώς

23 Ενότητα.4 Στοιχειώδη Σήματα 3 Στο Σχήμα.3 έχουμε τη γραφική παράσταση της κρουστικής ακολουθίας. Η μοναδιαία βηματική ακολουθία συνδέεται με τη κρουστική ακολουθία με τη σχέση u ( ) = δ ( k) (.55) k= ενώ η κρουστική ακολουθία συνδέεται με τη μοναδιαία βηματική ακολουθία με τη σχέση δ ( ) = u ( ) u ( ) (.56) Παράδειγμα.8 Να αναπτυχθεί το διακριτό σήμα x ( ), του Σχήματος.3α, σε άθροισμα από ολισθήσεις μοναδιαίου δείγματος. ( ) x (α) x( ) δ( + ) (β) x( ) δ( + ) (γ) x( ) δ( ) (δ) x( ) δ( ) (ε) x( ) δ( ) (στ) Σχήμα.3 Ανάπτυγμα σήματος διακριτού χρόνου σε ολισθήσεις μοναδιαίου δείγματος.

24 4 Εισαγωγή στα Σήματα Κεφάλαιο Λύση Υπενθυμίζουμε ότι δ( ) είναι η ακολουθία της οποίας όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά, εκτός από το στοιχείο για =, το οποίο είναι ίσο με ένα. Η ακολουθία του Σχήματος.3β, της οποίας όλα τα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, εκτός από το στοιχείο τη χρονική στιγμή =, το οποίο είναι ίσο με x( ), εκφράζεται από τη x( ) δ ( + ) (.57) Με ανάλογο τρόπο εκφράζονται και οι ακολουθίες στα Σχήματα.3γ έως ζ. Έτσι το διακριτό σήμα x ( ) του Σχήματος.3α, μπορεί να εκφραστεί ως x ( ) = xk ( ) δ ( k) (.58) k= Σύνοψη Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό δόθηκε ο ορισμός της έννοιας σήμα και η μαθηματική της έκφραση. Κατατάξαμε τα σήματα σε τρεις κατηγορίες, τα Αναλογικά Σήματα, τα Σήματα Διακριτού Χρόνου και τα Ψηφιακά Σήματα. Περιγράψαμε τις βασικές ιδιότητες που έχουν τα αναλογικά σήματα, που αποτελούν το αντικείμενο αυτού του βιβλίου, και αναφέραμε τις μεταβολές που υφίσταται ένα αναλογικό σήμα ως προς το χρόνο. Επίσης στο κεφάλαιο αυτό περιγράψαμε το μιγαδικό εκθετικό σήμα και το ημιτονοειδές σήμα. Αναφέραμε δύο σημαντικές συναρτήσεις, τη συνάρτηση μοναδιαίου βήματος και τη συνάρτηση δέλτα..5 Ασκήσεις. Ποιά από τα σήματα είναι περιοδικά; ( ) = si( π ) x ( ) = si( π ) x ( ) = si ( ) x x ( ) = x ( ) + x ( ) x ( ) = x ( ) + x ( ) Δίνεται το σήμα, το οποίο περιγράφεται από τη συνάρτηση (.) στο Παράδειγμα.. Να σχεδιάσετε τα σήματα y( ) = x ( + ) y3( ) = x ( / ) y( ) = x( ) y4( ) = x( ) y5( ) = x( ).3 Δίνονται οι βασικές συναρτήσεις +, Π ( ) = u ( + ) u ( ) Λ( ) = +,, αλλου& Να σχεδιάσετε τα σήματα x ( ) = Π ( + 6) x ( ) = ( ) ( ) r, =, < Λ x ( ) = r(, + ) 3 5

25 Ενότητα.5 Ασκήσεις 5.4 Να σχεδιάσετε τα σήματα (α) x ( ) u ( ) και (β) x ( ) u ( ) x είναι e όπου ( ) το περιττό μέρος του σήματος x ( ) και x ( ) e το άρτιο μέρος του. x ( ).5 Να εξετάσετε αν τα παρακάτω σήματα είναι περιοδικά ή όχι. Αν το σήμα είναι περιοδικό να υπολογιστεί η θεμελιώδης συχνότητά του. π ) x () = cos π ) x () e j ( π ) 3) x ( ) = cos + = 7 4) x e j 8 ( )= π π π 5) x () = si 6 6) x ( ) = cos 8 7) x ( ) = cos cos π 8) x ( ) = cos π + si π cos π π ( 3 ) = 9) x () = e.6 Να εξεταστεί αν τα σήματα είναι ενεργειακά σήματα ή σήματα ισχύος και να υπολογιστεί η ενέργειά τους ή η ισχύς τους. a α) x ( ) = c e u ( ) a > β) x ( ) = Acos( ω + θ) γ) x ( ) Ae j ( ω = + θ)

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΣΗΜΑΤΑ. (Σχ. 1.7). Η σταθερή Τ είναι το διάστηµα δειγµατοληψίας.

1.2 ΣΗΜΑΤΑ. (Σχ. 1.7). Η σταθερή Τ είναι το διάστηµα δειγµατοληψίας. ΣΗΜΑΤΑ.2 ΣΗΜΑΤΑ Ένα σήµα (sigal ) είναι µια συνάρτηση που παριστάνει ένα φυσικό µέγεθος. Ένα σήµα συνεχούς χρόνου (coiuous-ime sigal ) είναι µια συνάρτηση x() της οποίας το πεδίο ορισµού αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμοί Σημάτων Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Βασικές κατηγορίες σημάτων Περιοδικά σήματα Άρτια και περιττά σήματα Εκθετικά σήματα Μετασχηματισμοί σημάτων (signal

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 1, Μέρος 2ο: ΠΕΡΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Φασματική Αάλ Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων (Μιγαδικέςδ έ Σειρές

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας Συστήματα Επικοινωνιών Ι Τηλεπικοινωνιακά Σήματα και Συστήματα + Περιεχόμενα 2 n Εισαγωγή n Εφαρμογές συστημάτων επικοινωνίας n Μοντέλο τηλεπικοινωνιακού συστήματος n Σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ.

Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Αρμονική ταλάντωση και επειδή Ω=2πF Περιοδικό με βασική περίοδο Τ p =1/F Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. 1 Ημιτονοειδή σήματα Σ.Χ. Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler Το ημιτονοειδές σήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί

Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί (olts) Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί Γενικά Σε κυκλώματα DC, οι ηλεκτρικές μεγέθη εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ωμικές αντιστάσεις, φυσικά μετά την ολοκλήρωση πιθανών μεταβατικών φαινομένων λόγω παρουσίας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 1: Εισαγωγή Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Εισαγωγή στα Σήματα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Εισαγωγή στα Σήματα Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Τελευταία ενημέρωση: 11/11/2011 Τι είναι ένα σήμα; Ως σήμα ορίζουμε το σύνολο των τιμών που λαμβάνει μια ποσότητα (εξαρτημένη μεταβλητή) όταν αυτή μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Το εκπαιδευτικό υλικό που παρουσιάζεται βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση

Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση Σήματα και Συστήματα Τα συστήματα επεξεργάζονται ένα ή περισσότερα σήματα: Το παραπάνω σύστημα μετατρέπει το σήμα x(t) σε y(t). π.χ. Σε ένα σήμα ήχου μπορεί να ενισχύσει

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = x a (nt s ) (1)

x[n] = x a (nt s ) (1) Εισαγωγη στα Σήματα και τα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Σεπτεμβρίου 015 1 Σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα Συνεχούς/Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς

Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Σήµα εικόνας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θ.Ε. ΠΛΗ (0-3) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ # ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Στόχος της άσκησης είναι η εξοικείωση με γραφικές παραστάσεις βασικών σημάτων και πράξεις, καθώς και τον υπολογισμό ΜΣ Fourier βασικών σημάτων με τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Οι σειρές Fourier. Eισαγωγικές Επισημάνσεις

Οι σειρές Fourier. Eισαγωγικές Επισημάνσεις παραρτημα Α Οι σειρές Fourier Μέρος (Ι) Eισαγωγικές Επισημάνσεις Ο Γάλλος μαθηματικός Jean Baptist Fourier μελετώντας την διάδοση της θερμότητας στα στερεά σώματα και στην προσπάθειά του να δώσει σε κλειστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Επανάληψη Μιγαδικών Αριμών Δημήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy Που χρησιμεύει: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουμε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήμα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

t 1 f[n] t 2 t 3 t 4 f [n] f [-n] -k n

t 1 f[n] t 2 t 3 t 4 f [n] f [-n] -k n Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 221: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 2: Σήματα διακριτού χρόνου!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζεται μηχανικό κύμα; Να περιγράψετε το μηχανισμό διάδοσής του. 2. Τι χρειάζεται για να δημιουργηθεί και να διαδοθεί ένα μηχανικό κύμα; Διαδίδονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #3 Ιδιάζοντα σήματα Βασικές κατηγορίες συστημάτων Διασυνδέσεις συστημάτων Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Τα ιδιάζοντα σήματα είναι σήματα τα οποία είναι ιδεατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαρμογή διαχείρισης λογιστικών φύλλων Microsoft Excel ως εκπαιδευτικό εργαλείο μάθησης

Η εφαρμογή διαχείρισης λογιστικών φύλλων Microsoft Excel ως εκπαιδευτικό εργαλείο μάθησης ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 5 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ, ΤΕΥΧΟΣ Γ Νέες Τεχνολογίες Εκπαίδευσης Η εφαρμογή διαχείρισης λογιστικών φύλλων Microsoft Excel ως εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα κυκλώματα που θεωρούμε εδώ είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι.

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΞ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΧΕΙΜ. 00 - ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Για τα παρακάτω συστήματα εισόδου εξόδου α. y ( 3x( x( n ) β. y ( x( n ) / γ. y ( x( x( n ) δ. y( x( n ) Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Μετρήσεις Τεχνικών Μεγεθών Τελική Εξέταση Ι (Ιουνίου Εαρινό Εξάμηνο 9 Πρόβλημα Α Ένας μηχανικός, με βάση τις μετρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχημ/μός Fourier Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourier. Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός :

Μετασχημ/μός Fourier Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourier. Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός : Μετασχημ/μός Fourir Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourir Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός : j h(i) H( Ω ) ορίζεται ως μετασχηματισμός Fourir της ακολουθίας h(i)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης

Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης Διδακτικές σημειώσεις για το μάθημα Εισαγωγή στα Κυκλώματα του ου εξαμήνου Ιάκωβος Στ. Βενιέρης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ, ΔΙΚΤΥΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ, ΔΙΚΤΥΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ, ΔΙΚΤΥΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ - ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ & ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Πληροφορία Επικοινωνία συντελείται με τη μεταβίβαση μηνυμάτων από ένα πομπό σε ένα δέκτη. Μήνυμα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: O Carlos Santana εκμεταλλεύεται τα στάσιμα κύματα στις χορδές του. Αλλάζει νότα στην κιθάρα του πιέζοντας τις χορδές σε διαφορετικά σημεία, μεγαλώνοντας ή μικραίνοντας το

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Τύπων. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα:

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα: ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Περιεχόμενα: Διαμόρφωση Φάσης (PM) και Συχνότητας (FM) Διαμόρφωση FM από Απλό Τόνο - - Στενής Ζώνης - - Ευρείας Ζώνης - - από Πολλούς Τόνους Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα