9.7. Τέµνουσες κύκλου. ΡΑΒ και ΡΓ τέµνουσες κύκλου, τότε ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ. ΡΕ εφαπτοµένη και ΡΑΒ τέµνουσα, τότε ΡΕ 2 = ΡΑ ΡΒ

Transcript

1 1 9.7 Τέµνουσες κύκλου ΘΩΙ 1. και τέµνουσες κύκλου, τότε. εφαπτοµένη και τέµνουσα, τότε 3. ύναµη σηµείου ως προς κύκλο (Ο, R) : ( Ο, R ) Ο R δ R 4. > 0 το σηµείο είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου (Ο, R) ( Ο, R ) < 0 ( Ο, R ) το σηµείο είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου (Ο, R) 0 το σηµείο είναι σηµείο του κύκλου (Ο, R) ( Ο, R ) 5.,,, οµοκυκλικά 6. εφαπτοµένη

2 ΣΗΣΙΣ 1. ίνεται κύκλος (, 4) και ένα σηµείο, έτσι ώστε 1. ν µια χορδή διέρχεται από το και έχει µήκος 4, να υπολογίσετε τα µήκη των τµηµάτων και. φού η ακτίνα του κύκλου είναι 4 και 1 < 4, το είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου. Ισχύει ότι R (4 ) Λύνοντας την εξίσωση αυτή βρίσκουµε 4 ή 18 ια 4, τότε 4 18 ια 18, τότε 4 4. πό σηµείο της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων φέρνουµε δύο ευθείες, που η µία τέµνει τον έναν κύκλο στα και, η δε άλλη τον άλλον κύκλο στα και Ζ. Να δείξτε ότι τα σηµεία,,, Ζ είναι οµοκυκλικά. Ισχύει και Ζ Ζ Οπότε, σύµφωνα µε γνωστή εφαρµογή το τετράπλευρο Ζ είναι εγγράψιµο, δηλαδή τα σηµεία,,,ζ είναι οµοκυκλικά. Ζ

3 3 3. ν,, Ζ είναι τα ύψη τριγώνου και Η το ορθόκεντρο, να δείξτε ότι i) Η Η Η Η Η ΗΖ ii) Η i) Τα σηµεία, βλέπουν την µε ίσες γωνίες (ορθές), άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο, οπότε Ζ Η Η Η Η Η Τα σηµεία Ζ, βλέπουν τη µε ίσες γωνίες (ορθές), άρα το τετράπλευρο Ζ είναι εγγράψιµο, οπότε ΗΖ Η Η Η ii) Οι γωνίες και του τετραπλεύρου EΗ είναι ορθές, άρα είναι εγγράψιµο. Οπότε Η 4. ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και διάµετρός του. πό ένα σηµείο στην προέκταση της, προς το, φέρνουµε την εφαπτοµένη και την x. ν είναι το σηµείο τοµής των και x, δείξτε ότι. νωρίζουµε ότι, οπότε αρκεί να αποδείξουµε ότι ( ) Οι γωνίες και του τετραπλεύρου E είναι ορθές, άρα είναι εγγράψιµο. ποµένως Ο χ

4 4 5. ρ ύο κύκλοι (, ρ) και Λ, εφάπτονται εσωτερικά στο. πό σηµείο Μ του µικρού κύκλου φέρνουµε χορδή του µεγάλου κύκλου. είξτε ότι Μ Μ Μ. Μ νωρίζουµε ότι Μ Μ ρ Μ (1) Μ 90 ο σαν εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο. Λ Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Μ : Μ Μ Μ ρ Μ Η (1) γίνεται Μ Μ Μ 6. ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και διάµετρός του. ύο χορδές και τέµνονται στο,, είξτε ότι + Φέρουµε την και τα τµήµατα, Οι γωνίες και ɵ είναι ορθές σαν εγγεγραµµένες σε ηµικύκλιο. + ɵ 90 ο + 90 ο 180 ο το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο (1) το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο () (1) + () : + + ( + ) + + +

5 5 7. ίνεται τρίγωνο και η διχοτόµος του. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι στα τρίγωνα, τέµνουν τις, στα, Ζ αντίστοιχα. είξτε ότι Ζ Τέµνουσες από το : Τέµνουσες από το : Ζ ιαιρώντας κατά µέλη : Ζ Ζ Θεώρηµα εσωτερικής διχοτόµου : Η (1) γίνεται (1) Ζ 1 Ζ Ζ Ζ 8. Με πλευρά µια χορδή 1 ενός κύκλου (Ο, ρ) κατασκευάζουµε τετράγωνο, του οποίου η πλευρά δεν έχει σηµείο της εσωτερικό του κύκλου. ν είναι εφαπτόµενο τµήµα µε, να υπολογίσετε το µήκος της ακτίνας του κύκλου. Η προέκταση της τέµνει τον κύκλο σε στο Μ Τότε Μ 4 1 Μ Μ 4 αι Μ Μ Φέρνουµε την Μ. φού Μ 90 ο, η Μ θα είναι διάµετρος του κύκλου. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχουµε Μ + Μ (ρ) Ο Μ 4ρ 1+ 9 ρ 5

6 6 9. ίνεται κύκλος (Ο, R) και διάµετρος του. πό σηµείο Μ του κύκλου φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει τον κύκλο στο Ζ και την στο. πί της θεωρούµε το ευθύγραµµο τµήµα Ο Ο και φέρουµε την Μ, η οποία τέµνει τον κύκλο στο. είξτε ότι i) Μ ii) Μ Μ Ζ R O. iii) Μ + Μ (R + Ο ) Μ Μ (R + O ) iν) + Ζ R O i) Φέρω τα Μ και Μ. Τότε Μ 90 ο διότι είναι εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Μ, το Μ είναι το ύψος, άρα Μ ii) ίναι Οµοίως Μ Ζ Μ Ζ (Ο Ο) (Ο + Ο) Μ Ζ (R Ο) (Ο + R) Μ Ζ R Ο Μ R Ο, και αφού Ο Ο, τελικά είναι Μ Μ Ζ R O. iii) Πρώτο θεώρηµα διαµέσων στο τρίγωνο Μ : Μ + Μ ΜΟ + Μ + Μ R ( Ο) + Μ + Μ R + O iν) Λαµβάνοντας υπόψη τα (ii) και (iii) έχουµε Μ + Μ (R + O ) (R + O ) R O Μ +Μ Μ Ζ Μ Μ Ζ + Μ Μ Ζ Μ Μ Ζ + Μ Μ Μ Ζ +Μ

7 7 10. ίνεται τρίγωνο, µε β + γ 3α. ν η διάµεσος Μ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο, i) να εκφράσετε τη διάµεσο Μ ως συνάρτηση της πλευράς α 3α ii) να δείξετε ότι Μ i) µ α 4 β + γ α ( β +γ ) α 4 6α α 5α 4 4 α 5 Άρα µ α ii) AM AE AM (AM + ME) AM + AM ME AM + BM M 5α α 6α 3α + α 4 4 M