Το παιχνίδι tangram. PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1.

Transcript

1 Το παιχνίδι tangram Ανδριανού Αφροδίτη 3, Γεωργιάδης Μάρκος 2, Γεωργιάδης Μάριος 1, Δεσποτάκης Γεράσιμος 2, Καραμπάσης Κλείτος 2, Κουτσιούμπας Ευριπίδης 1, Μελένιου Μιράντα 2, Ξενάκης Αριστοτέλης 1, Παπαβασιλόπουλος Παναγιώτης 2, Ριζούλης Κλεισθένης 3, Σταθάκη Ιφιγένεια 3, Σταθόπουλος Χριστόφορος 1, Φανουριάδης Δημήτριος 2 1. Εισαγωγή PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος Μαθητε ς/τριες Γ, Β και Α Γυμνασι ου3, 2, 1 sdoukakis@acg.edu Στο σχολείο μας, το σχολικό έτος έχει δημιουργηθεί ο όμιλος αγωγής σταδιοδρομίας «Μαθηματική Διερεύνηση με το λογισμικό GeοGebra σε tablets-mathematics with GeoGebra on Tablets (MathGeTa)» (Αργύρη κ.α., 2014). Στο πλαίσιο του ομίλου, ασχολούμαστε και διερευνούμε ένα πλήθος μαθηματικών εννοιών και εμβαθύνουμε σε ζητήματα γεωμετρίας και άλγεβρας. Στον ο μιλο συμμετε χουμε 12 παιδια απο την Α ως την Γ Γυμνασι ου. Ταυτόχρονα στο σχολείο μας, αποτελεί θεσμό η εκδήλωση του Open House, η οποία είναι μία ετήσια δράση των μαθητών που βασίζεται στην πολυμέρεια και τη συλλογική ευθύνη των Μαθητικών Κοινοτήτων, μέσα από την κινητοποίηση των δημιουργικών τους δυνάμεων. Το ποσό που συγκεντρώνεται από το Open House διατίθεται σε ένα πλήθος φιλανθρωπικών σκοπών (για το τα χρήματα θα διατεθούν για την ενίσχυση των Παιδικών Χωριών SOS και του Ειδικού Δημοτικού Σχολείου Πεντέλης). Με σκοπό τη συνεισφορά του ομίλου MathGeTa στο Open House, σκεφτήκαμε να δημιουργήσουμε ένα ψηφιακό παιχνίδι στα tablets, το οποίο θα μπορούσαν να παίξουν οι επισκέπτες του Open House, με δύο στόχους: α) να συγκεντρωθεί ένα ποσό για τις φιλανθρωπικές δράσεις των Μαθητικών Κοινοτήτων και β) να δουν και να κατανοήσουν οι επισκέπτες του Open House ότι τα Μαθηματικά ξεφεύγουν από τα στενά όρια της σχολικής τάξης και αποτελούν έναν κώδικα επικοινωνίας με ποικίλες εφαρμογές στην καθημερινή ζωή. Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 1

2 Το παιχνίδι που κατασκευάσαμε μέσω του λογισμικού GeoGebra στα tablets και παρουσιάζουμε στο ακόλουθο κείμενο είναι το Tangram. Η επιλογή του παιχνιδιού έγινε για δύο λόγους: α) επειδή είναι ένα γνωστό παιχνίδι που όλοι (οι μαθητές του ομίλου) έχουμε γνωρίσει στα βιβλία των σχολικών μαθηματικών του δημοτικού και της A γυμνασίου και β) επειδή περιλαμβάνει ένα πλήθος μαθηματικών εννοιών που θα διερευνούσαμε στο πλαίσιο του ομίλου. Η δημιουργία του παιχνιδιού δεν ήταν ιδιαίτερα εύκολη για όλους μας, αφού απαιτούσε ορισμένες μαθηματικές γνώσεις που δεν είχαν οι μαθητές του ομίλου που πηγαίνουν στην Α γυμνασίου. Παρόλα αυτά, στο πλαίσιο της συνεργασίας που έχουμε αναπτύξει, οι μεγαλύτεροι μαθητές εξήγησαν τις μαθηματικές έννοιες που απαιτούνταν, ώστε να μπορέσουμε όλοι να κάνουμε την συγκεκριμένη κατασκευή. Στις 12 Απριλίου 63 άτομα (από 7 ως 54 ετών) διαγωνίστηκαν στο ψηφιακό παιχνίδι, όπου τους ζητήθηκε να πραγματοποιήσουν δύο κατασκευές. Η ανταπόκριση ήταν ικανοποιητική. Οι παίκτες χρειάστηκαν από 2 λεπτά και 22 δευτερόλεπτα μέχρι και 27 λεπτά και 34 δευτερόλεπτα για να κάνουν τις δύο κατασκευές. Οι συμμετέχοντες ευχαριστήθηκαν από το παιχνίδι, συζητήθηκαν μαθηματικές έννοιες, έπαιξαν δύο και τρεις φορές το παιχνίδι, ώστε να κάνουν καλύτερο χρόνο και μας έδωσαν συγχαρητήρια για την σκέψη και την υλοποίηση του παιχνιδιού. Στις επόμενες παραγράφους αναλύουμε τον τρόπο που εφαρμόζονται τα Μαθηματικά στην κατασκευή του παιχνιδιού και τα μαθηματικά που μπορούμε να δούμε με την χρήση του. Η παρουσίαση συνοδεύεται από εικόνες, σχεδιαγράμματα, φωτογραφίες και βίντεο. Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 2

3 2. Το παιχνίδι 2.1. Η κατασκευή του tangram και η σύνδεσή της με τα μαθηματικά Το tangram είναι ένα παιχνίδι, το οποίο σύμφωνα με το Ετυμολογικό Λεξικό σύγχρονων αγγλικών (Weekley, 1967) ονομάζεται στα κινέζικα ch i ch iao t u (έξυπνο πάζλ με 7 κομμάτια). Δεν είναι καταγεγραμμένο πότε δημιουργήθηκε το παιχνίδι, αλλά η παλαιότερη αναφορά για αυτό εμφανίζεται σε κινέζικο βιβλίο του 1813 ( Το παιχνίδι δεν έχει αλλάξει από τότε που δημιουργήθηκε, αν και έχουν αναπτυχθεί παραλλαγές του. Εικόνα 1. Το πρώτο βιβλίο που αναφέρεται στο tangram ( Το tangram αποτελεί ένα διασκεδαστικό και ενδιαφέρον παιχνίδι για όλες τις ηλικίες, πιθανώς λόγω της απλότητας των κανόνων και των δυνατών κατασκευών που μπορούν να γίνουν. Το ενδιαφέρον είναι ότι με 7 απλά σχήματα μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα μεγάλο πλήθος διαφορετικών κατασκευών που παριστάνουν ανθρώπους, ζώα και άλλα αντικείμενα. Οι κανόνες του παιχνιδιού είναι οι ακόλουθοι: α) Κατασκευή ενός δεδομένου σχήματος με τη χρήση και των επτά σχημάτων. β) Τα σχήματα θα πρέπει να βρίσκονται στο ίδιο το επίπεδο. γ) Τα σχήματα θα πρέπει να αγγίζουν το ένα το άλλο. δ) Τα σχήματα δεν πρέπει να καλύπτουν το ένα το άλλο. Ταυτόχρονα, το παιχνίδι έχει μαθηματικό ενδιαφέρον στην ενότητα της γεωμετρίας και των αναλογιών. Έτσι, εκτός από παιχνίδι χρησιμοποιείται και ως εργαλείο για την μελέτη μαθηματικών εννοιών. Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 3

4 Η κατασκευή του παιχνιδιού ξεκινά από ένα τετράγωνο πλευράς α. Εικόνα 2. Το αρχικό τετράγωνο Βάσει αυτού του τετραγώνου χρειάζεται να φτιάξουμε επτά σχήματα που έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά: 1 τετράγωνο 2 μικρά τρίγωνα 2 μεγάλα τρίγωνα 1 τρίγωνο μεσαίου μεγέθους 1 παραλληλόγραμμο Εικόνα 3. Τα επτά σχήματα του tangram Τα παραπάνω επτά γεωμετρικά σχήματα μπορούν να κατασκευαστούν στο χαρτί, χρησιμοποιώντας το μήκος α της πλευράς του τετραγώνου. Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 4

5 Εικόνα 4. Η κατασκευή του tangram σε χαρτί ( Παρότι η κατασκευή του tangram στο χαρτί προϋποθέτει την γνώση και τον έλεγχο ορισμένων μαθηματικών ιδιοτήτων (βλέπε εικόνα 4), η κατασκευή των κομματιών του tangram στο tablet και μέσω του λογισμικού GeoGebra, περιλαμβάνει μεγαλύτερο πλήθος μαθηματικών εννοιών, όπως φαίνεται στη συνέχεια: 1. Κατασκευή τετραγώνου πλευράς 1 μονάδας. Η δημιουργία του τετραγώνου γίνεται με τη βοήθεια ενός κύκλου με ακτίνα 1 μονάδα. Στόχος είναι να έχει ένα μόνο σημείο μέσω του οποίου να μπορεί να μετακινηθεί το σχήμα. 2. Κατασκευή δύο ορθογωνίων και ισοσκελών τριγώνων με κάθετες πλευρές 1 μονάδας. Η δημιουργία των τριγώνων γίνεται με τη βοήθεια ενός κύκλου με ακτίνα 1 μονάδα και στροφή του σημείου τομής της ακτίνας με το κύκλο κατά 90 ο, ώστε να προκύψει το ορθογώνιο τρίγωνο. 3. Κατασκευή δύο ορθογωνίων και ισοσκελών τριγώνων με κάθετες πλευρές 2 μονάδων. Η δημιουργία των τριγώνων γίνεται με τη βοήθεια ενός κύκλου με ακτίνα 2 μονάδες και στροφή του σημείου τομής της ακτίνας με το κύκλο κατά 90 ο. Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 5

6 4. Κατασκευή ενός ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου με κάθετες πλευρές 2 μονάδες. Η δημιουργία των τριγώνων γίνεται με τη βοήθεια ενός κύκλου ακτίνας 2 μονάδων και στροφή του σημείου τομής της ακτίνας με το κύκλο κατά 90 ο. Εδώ προέκυψε ένα νέο ζητούμενο. Η δημιουργία του 2. Έτσι, προχωρήσαμε στη γεωμετρική κατασκευή του 2, μέσω ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1 μονάδας. Η διαδικασία δημιουργίας του 2, θα μπορούσε να γίνει απλούστερα με τη βοήθεια του λογισμικού. Ωστόσο, με την κατασκευή, μπορέσαμε να μελετήσουμε τον τρόπο που δημιουργούμε τον άρρητο αριθμό. 5. Κατασκευή παραλληλογράμμου με πλευρές 1 και 2 μονάδες. Η δημιουργία του παραλληλογράμμου γίνεται με τη βοήθεια ενός κύκλου με ακτίνα 1 μονάδα και στροφή του σημείου τομής της ακτίνας με το κύκλο κατά 270 ο. Στη συνέχεια για την κατασκευή του παραλληλογράμμου χρειάστηκε ο εντοπισμός του μέσου της μίας ακτίνας και η εύρεση του συμμετρικού του σημείου τομής της άλλης ακτίνας με το κύκλο ως προς το μέσο της πρώτης ακτίνας. Η ένωση των κορυφών (πλην του μέσου που προσδιορίστηκε) οδήγησε στην κατασκευή του παραλληλογράμμου. Με τον τρόπο αυτό κατασκευάστηκαν τα επτά σχήματα, τα οποία σχηματίζουν το αρχικό τετράγωνο, αν τοποθετηθούν σε συγκεκριμένες θέσεις και δεν επικαλύπτει το ένα σχήμα το άλλο. Η κατασκευή έχει αναρτηθεί σε βίντεο και βρίσκεται στην ακόλουθη διεύθυνση: Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 6

7 2.2. Η χρήση του tangram και η σύνδεσή του με τα μαθηματικά Θεωρώντας ότι το εμβαδό που καταλαμβάνει το αρχικό τετράγωνο tangram είναι ίσο με 1 τετραγωνική μονάδα, υπάρχει η δυνατότητα να μελετηθούν μαθηματικές έννοιες στη γεωμετρία και την άλγεβρα. Πιο συγκεκριμένα: Γεωμετρία Κατασκευή βασικών σχημάτων (τετράγωνο, τρίγωνο, ορθογώνιο, παραλληλόγραμμο και τραπέζιο) Σχέσεις μεταξύ των περιμέτρων των σχημάτων Σχέσεις μεταξύ των εμβαδών των σχημάτων Σχέσεις μεταξύ τριγώνων o Ίσα τρίγωνα (Τα δύο μικρά τρίγωνα και τα δύο μεγάλα τρίγωνα αντίστοιχα) o Όμοια τρίγωνα (Τα δύο μικρά τρίγωνα με τα δύο μεγάλα τρίγωνα) Ισεμβαδικά σχήματα o Η κάθε κατασκευή με όλες τις υπόλοιπες o Το παραλληλόγραμμο, το τετράγωνο και το τρίγωνο μεσαίου μεγέθους Στο βίντεο ( παρουσιάζεται η αξιοποίηση του tangram για την μελέτη της περιμέτρου και εμβαδού σχημάτων Άλγεβρα Ιδιότητες κλασμάτων μέσω των σχημάτων του tangram Ποσοστά Μελέτη κάθε σχήματος και μέρος του τετραγώνου που καλύπτει o Τα καθένα από τα μεγάλα τρίγωνα έχει εμβαδό ίσο με 1, αφού οι 4 κάθετες πλευρές του κάθε τριγώνου είναι ίσες με 2 2. Επιπλέον, το αποτέλεσμα προκύπτει αν επιχειρήσουμε να γεμίσουμε το αρχικό Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 7

8 τετράγωνο με τα συγκεκριμένα τρίγωνα, όπου θα χρειαστούν τέσσερα τέτοια τρίγωνα. Οπότε το κάθε τρίγωνο είναι το 25% του αρχικού. o Με αντίστοιχο τρόπο μπορούν να υπολογιστούν και τα υπόλοιπα εμβαδά των σχημάτων, τα οποία είναι: Εμβαδό μικρών τριγώνων: 1 16 Εμβαδό τετραγώνου, μεσαίου τριγώνου και παραλληλογράμμου: 1 8. Μέσω αυτής της διαδικασίας, μπορούμε o να προσεγγίσουμε τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων, τοποθετώντας τα μικρά τρίγωνα στο μεγάλο τρίγωνο ή στο τετράγωνο και έτσι να μελετηθούν οι πράξεις: , κ.α. o να πραγματοποιήσουμε σύγκριση κλασμάτων. Εικόνα 5. Γεωμετρική συσχέτιση σύγκρισης κλασμάτων με εμβαδό Στο βίντεο ( παρουσιάζεται η αξιοποίηση του tangram για την μελέτη της περιμέτρου και εμβαδού σχημάτων. Συνολικά, η εμπλοκή με το παιχνίδι tangram μπορεί να βοηθήσει: Στον προσδιορισμό και την αναγνώριση των σχημάτων (μικρές ηλικίες) Στην ανάπτυξη θετικής στάσης για τη γεωμετρία Στη βαθύτερη κατανόηση των χωρικών σχέσεων Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 8

9 Στην ανάπτυξη χωρικών ικανοτήτων περιστροφής Στην υιοθέτηση ενός μαθηματικού λεξιλογίου (π.χ., στροφή, περιστροφή, συμμετρικό κ.α.) Στην κατανόηση της έννοιας της ομοιότητας Στη συσχέτιση των Μαθηματικών με την αισθητική και την τέχνη Στην ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης προβλήματος (Mano, 2011) Παίζοντας με το tangram Οι κατασκευές που μπορούν να γίνουν με το tangram είναι πάρα πολλές και μάλιστα μπορούν να προσεγγιστούν θεματικά: Ζώα, κινήσεις ανθρώπων, γράμματα, αριθμοί, αντικείμενα κ.α. Εικόνα 6. Παραδείγματα tangram ( Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 9

10 Εικόνα 7. Αριθμοί και σχήματα με το tangram 2.4. Επέκταση Έχουν αναπτυχθεί tangram που περιλαμβάνουν και άλλα σχήματα, όπως ημικύκλια και καμπύλες, τα οποία δίνουν μία ακόμα δυνατότητα προσέγγισης γεωμετρικών εννοιών. Στις περιπτώσεις αυτές το τετράγωνο τροποποιείται σε κύκλο και γίνεται η ανάλογη κοπή του σχήματος, ώστε να πραγματοποιηθούν σχετικές κατασκευές (Λυμπεροπούλου & Παπαδάκη, 2011). 3. Επίλογος Το tangram είναι ένα αρχαίο κινέζικο παιχνίδι, που προσφέρει ευχαρίστηση και φέρνει σε επαφή τον παίκτη με την αισθητική και την τέχνη. Ταυτόχρονα, το παιχνίδι περιλαμβάνει ένα πλήθος μαθηματικών εννοιών στο πλαίσιο της κατασκευής του, στους κανόνες που περιλαμβάνει, στις κατασκευές που μπορούν να γίνουν και σε άλλα μαθηματικά ζητήματα όπως εμβαδά, αναλογίες και κλάσματα. 4. Βιβλιογραφία Crawford, R. (2011). Tangrams, History, Uses and Rules, Lehet, L. J. (2013). A Sage's Journey. The Story of Tangrams, Mano, M. (2011). Why use tangrams?, Changing Communities of Learners Through Education. Teachers Across Borders. Rueter, T. & Rohrbaugh, R. (2011). Tantalizing Tangrams. National Security Agency. Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 10

11 Weekley, E. (1967). An Etymological Dictionary of Modern English, Dover Language Guides. Αργύρη, Ε., Ανδριανού, Α., Γεωργιάδης, Μ., κ.α. (2014). Μαθηματικοί πειραματισμοί µε το GeoGebra στα tablets, 6η Διεθνή Μαθηματική Εβδομάδα. Δαπόντες, Ν. (2005). Tangrams: ένα έξυπνο παζλ, Λυμπεροπούλου, Λ. & Παπαδάκη, Μ. (2012). Το παιχνίδι και το μάθημα τάνγκραμ: δυο διδακτικές παρεμβάσεις. Στο Δ. Χασάπης: 10ο διήμερο διαλόγου για τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Το Παιχνίδι στη μάθηση και τη διδασκαλία των μαθηματικών. Λυμπεροπούλου, Λ. (2007). Τάνγκραμ και κλάσματα, Ευκλείδης Α. Το παιχνίδι tangram PIERCE Αμερικανικό Κολλέγιο Ελλάδος 11