ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. Κεφάλαιο 9 Αριθμός σελίδας 1. Τι ονομάζεται ορθή προβολή ενός σημείου Α σε μια ευθεία ε; 183. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας 183 επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. 3. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ο λόγος των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των 183 προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα. 4. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα Να δείξετε ότι αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ, τότε Â Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το 184 γινόμενο των προβολών των καθέτων πλευρών του στην υποτείνουσα. 7. Να δείξετε ότι το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το 189 διπλάσιο γινόμενο της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτήν. 8. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισοδυναμίες που προκύπτουν σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ. α > β + γ α = β + γ 191 α < β + γ 9. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και έστω μ α η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α. Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το πρώτο θεώρημα των διαμέσων. 10. Να γράψετε τον τύπο που δίνει τη διάμεσο ενός τριγώνου σε συνάρτηση με τις πλευρές του. 11. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και έστω ΑΜ η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α. Αν ΑΔ είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων. 1. Αν δυο χορδές ΑΒ, ΓΔ ενός κύκλου ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε να δείξετε ότι ισχύει PA PB 13. Να δείξετε ότι αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο, R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, τότε ισχύει ότι PE PA PB 14. Τι ονομάζεται δύναμη ενός σημείου Ρ ως προς ένα κύκλο (Ο, R) ;

2 15. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισοδυναμίες που προκύπτουν για τη δύναμη ενός σημείου Ρ ως προς ένα κύκλο (Ο, R). Το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (Ο, R) Το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου (Ο, R) Το Ρ είναι σημείο του κύκλου (Ο, R) Αριθμός σελίδας 01 Κεφάλαιο 10 Αριθμός σελίδας 1. Τι ονομάζεται πολυγωνικό χωρίο και τι ονομάζεται πολυγωνική επιφάνεια ; 11 Πότε δυο πολυγωνικά χωρία είναι ίσα ;. Πότε δυο πολύγωνα λέγονται ισοδύναμα ; 1 3. Ποιος τύπος δίνει το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ; 1 4. Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν 13 ενός ορθογωνίου. 5. Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν 13 ενός παραλληλογράμμου. 6. Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν 14 ενός τριγώνου. 7. Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν 14 ενός τραπεζίου. 8. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου σε συνάρτηση των πλευρών του. των πλευρών του και την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου του των πλευρών του και την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του. δύο πλευρών του και του ημιτόνου της περιεχόμενης γωνίας τους. 9. Να δείξετε ότι αν δυο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, 1 ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. 10. Να δείξετε ότι αν δυο τρίγωνα είναι όμοια, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. 11. Να δείξετε ότι αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο 3 λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές.

3 Κεφάλαιο 11 Αριθμός σελίδας 1. Πότε ένα πολύγωνο είναι κανονικό ; 33. Να γράψετε τον τύπο που δίνει τη γωνία ενός κανονικού 33 ν γώνου. 3. Σε ένα κανονικό ν γωνο, να γράψετε τον τύπο που συνδέει το 35 απόστημα, την πλευρά και την ακτίνα του 4. Σε ένα κανονικό ν γωνο, να γράψετε τον τύπο που δίνει την περίμετρό του. 35 την κεντρική γωνία του. το εμβαδόν του. 5. Να δείξετε ότι σε δύο κανονικά ν γωνα ο λόγος των πλευρών τους είναι ίσος με το λόγο των ακτινών τους και το λόγο των 36 αποστημάτων τους. 6. Σε ένα κύκλο (Ο, R) να εγγράψετε ένα τετράγωνο και να γράψετε και να αποδείξετε τους τύπους που δίνουν την πλευρά του λ 4 και 38 το απόστημα του α 4 σε συνάρτηση με την ακτίνα R. 7. Σε ένα κύκλο (Ο, R) να εγγράψετε ένα κανονικό εξάγωνο και να γράψετε και να αποδείξετε τους τύπους που δίνουν την πλευρά του λ 6 και το απόστημα του α 6 σε συνάρτηση με την ακτίνα R. 8. Σε ένα κύκλο (Ο, R) να εγγράψετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να γράψετε και να αποδείξετε τους τύπους που δίνουν την πλευρά 39 του λ 3 και το απόστημα του α 3 σε συνάρτηση με την ακτίνα R. 9. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το μήκος ενός κύκλου ακτίνας R Σε ένα κύκλο ακτίνας R, να γράψετε τον τύπο που δίνει το μήκος ενός τόξου μ Ποιο τόξο ονομάζεται τόξο ενός ακτινίου ; Σε ένα κύκλο ακτίνας R, να γράψετε τον τύπο που δίνει το μήκος 44 του τόξου α rad. 13. Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος ; Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν ενός κυκλικού 46 δίσκου ακτίνας R. 14. Τι ονομάζεται κυκλικός τομέας ; Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα μ 0 σε κύκλο ακτίνας R. 47 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα α rad σε κύκλο ακτίνας R. 15. Τι ονομάζεται κυκλικό τμήμα ; Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν ενός κυκλικού 47 τμήματος που περιέχεται στην επίκεντρη γωνία ΑΟΒ ενός κύκλου (Ο, R). 3

4 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( β μέρος ) Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Να σημειώσετε δίπλα σε κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω αν είναι Σωστή ή Λάθος. Σωστό Λάθος 1. Σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει πάντα ότι. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει ότι, τότε αυτό είναι αμβλυγώνιο. 3. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α, τότε ισχύει ότι. 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει ότι, αυτό είναι πάντοτε οξυγώνιο. 5. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ, με την πλευρά β να είναι η μεγαλύτερη πλευρά του, ισχύει ότι, τότε αυτό είναι οξυγώνιο. 6. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, που έχει διάμεσο ΑΜ και ύψος ΑΔ, ισχύει ότι. 7. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ, είναι ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β και ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις : α = β + γ βαδ και α = β + γ + βαδ, τότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. 8. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος, τότε ισχύει ότι. 9. Για τη διάμεσο μ α ενός τριγώνου ΑΒΓ που έχει πλευρές α, β και γ ισχύει ο τύπος : 10. Το 1 ο Θεώρημα Διαμέσων για ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β και γ δίνεται από τον τύπο :, όπου μ γ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά γ. 11. Αν το σημείο Ρ είναι εσωτερικό ενός κύκλου (Ο, R) και ΟΡ = δ < R, τότε η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο είναι ίση με δ R. 4

5 1. Δυο ισεμβαδικά τρίγωνα είναι πάντοτε ίσα μεταξύ τους. Σωστό Λάθος 13. Η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δυο ισεμβαδικά τρίγωνα. 14. Αν ένα ύψος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δυο ισεμβαδικά τρίγωνα, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 15. Αν οι πλευρές ενός τετραγώνου αυξηθούν κατά 4 cm η κάθε μια, τότε το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 16 cm. 16. Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α, είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α. 17. Ρόμβος με διαγώνιες δ 1, δ, είναι ισοδύναμος με ορθογώνιο διαστάσεων δ 1, δ. 18. Η ευθεία που συνδέει τα μέσα των δυο βάσεων ενός τραπεζίου το διαιρεί σε δυο ισοδύναμα τραπέζια. 19. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ, είναι ˆ 35 0 και στο τρίγωνο ΔΕΖ, είναι ˆ 145 0, τότε ισχύει ότι ( ) ( ) 0. Δυο κανονικά πεντάγωνα είναι όμοια. 1. Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες, είναι κανονικό πολύγωνο.. Σε ένα κανονικό ν γωνο, η γωνία του και η κεντρική του γωνία, είναι συμπληρωματικές. 3. Ο λόγος των μηκών δυο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των ακτινών τους. 4. Ακτίνα ενός κανονικού πολυγώνου είναι κάθε ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του. 5. Ο λόγος των εμβαδών δυο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των ακτινών τους. 6. Ο περιγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός κανονικού πολυγώνου είναι ομόκεντροι κύκλοι. 7. Το απόστημα ενός ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, είναι ίσο με το μισό της ακτίνας του. 5

6 8. Το απόστημα ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, ισούται με την πλευρά του εξαγώνου. 9. Δυο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου που αντιστοιχούν σε ίσα τόξα έχουν ίσα εμβαδά. 30. Το μήκος του τόξου ενός ακτινίου, είναι ίσο με π. Σωστό Λάθος 31. Το τόξο μ 0 ενός κύκλου ακτίνας ρ, έχει το ίδιο μήκος με το τόξο μ 0 ενός κύκλου ακτίνας ρ. 3. Ο κυκλικός τομέας μ 0 ενός κύκλου ακτίνας ρ, έχει το ίδιο εμβαδόν με τον κυκλικό τομέα μ 0 ενός κύκλου ακτίνας ρ. 33. Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα μ 0 σε κύκλο ακτίνας R, R δίνεται από τον τύπο Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, δίνεται από τον τύπο πρ. 35. Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ δίνεται από τον τύπο πρ. 36. Στο σχήμα που δίνεται παρακάτω, το ευθύγραμμο τμήμα ΡΕ είναι εφαπτόμενο στον κύκλο (Ο, ρ) και ονομάζουμε το μήκος ΡΟ = δ. Για κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. Ισχύει ότι :. Ρ Γ Α Ο Β Δ. Ισχύει ότι :. 3. Η δύναμη του σημείου Α, ως προς τον κύκλο (Ο, ρ) είναι ίση με μηδέν. Ε 4. Ισχύει ότι : (, ). 5. Η δύναμη του μέσου Μ της χορδής ΑΒ, ως προς τον κύκλο (Ο, ρ) είναι θετική. 6

7 37. Στο παρακάτω σχήμα τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των τμημάτων ΑΓ και ΑΒ, αντίστοιχα. Α Κ Λ Ρ Γ Β Για κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος με 1.. Αν είναι Ρ το σημείο τομής των ΛΓ και ΚΒ, τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ και ΚΓΡ είναι ισοδύναμα 3. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΒ είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ΑΡΒ. 38. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 10cm. Με κέντρα τις κορυφές του και ακτίνα ίση με το μισό της πλευράς του τετραγώνου γράφουμε στο εσωτερικό του τόξα που έχουν τα άκρα τους στις πλευρές του τετραγώνου. Α Δ Β Γ Για κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. Οι τέσσερεις κυκλικοί τομείς του σχήματος είναι ισοδύναμοι.. Η περίμετρος του καμπυλόγραμμου σχήματος στο εσωτερικό του τετραγώνου είναι ίση με 10π cm. 3. Το καμπυλόγραμμο σχήμα στο εσωτερικό του τετραγώνου έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων κυκλικών τομέων του σχήματος. 7

8 Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής. Για κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, με πλευρές α, β, γ, ισχύει ότι α = β + γ + βγ. Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ στην β, τότε η γωνία είναι : Α Β Γ Δ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ορθογώνιο στο Α. Ισχύει ότι : Α. β + γ = μ α Β. β + γ = μ α Γ. β + γ = 3μ α Δ. β + γ = 4μ α 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 10, β = 9 και γ = 7. Η προβολή ΑΔ της πλευράς γ πάνω στη β είναι ίση με : Α. 5 3 Β. 8 Γ. 9 Δ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 6, β = 7 και γ = 5. Αν είναι ΑΜ διάμεσος και ΑΔ ύψος του τριγώνου, τότε το μήκος του ΔΜ είναι : Α. 1 Β. Γ. 3 Δ Δίνεται κύκλος (Ο, R) και Ρ ένα εξωτερικό του σημείο από το οποίο φέρνουμε δυο τέμνουσες ΡΑΒ και ΡΓΔ του κύκλου. Ισχύει ότι : Α. Β Γ. Δ 6. Το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο : Α. 3 Β. Γ. 3 Δ Ο τύπος ( )( )( ) δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, με πλευρές α, β, και γ, όταν : Α. Β. τ = α + β + γ τ = α β γ Γ. Δ. 8. Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ//ΓΔ. Αν είναι Σ το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε ισχύει : Α. (ΣΑΔ) = (ΣΒΓ) Β. (ΣΑΒ) = (ΣΔΓ) Γ. (ΑΒΓ) = (ΑΔΓ) Δ (ΣΑΔ)=(ΣΒΓ) 9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ορθογώνιο στο Α. Το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο : Α. 1 Β. 1 Γ. 1 Δ. 1 8

9 10. Το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου που η εξωτερική του γωνία είναι ορθή, είναι : Α. 3 Β. 4 Γ. 6 Δ Το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου που η εξωτερική του γωνία είναι αμβλεία, είναι : Α. 6 Β. 5 Γ. 4 Δ Αν η πλευρά κανονικού πολυγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R, είναι R 3, το απόστημά του είναι : Α. Β. R Γ. R Δ. R 3 R Η γωνία ενός κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με ; Α Β Γ Δ Η κεντρική γωνία ενός κανονικού δωδεκαγώνου είναι ίση με : Α Β Γ Δ Το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου με γωνία 108 0, είναι : Α. 3 Β. 7 Γ. 5 Δ. 8 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( β μέρος ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις Σωστού Λάθους. 1 Λ 11 Σ 1 Λ 31 Σ 36 1 Σ 37 1 Σ 38 1 Σ Σ 1 Λ Λ 3 Λ Λ Σ Σ 3 Σ 13 Σ 3 Σ 33 Λ 3 Σ 3 Λ 3Λ 4 Λ 14 Σ 4 Λ 34 Σ 4 Σ 5 Σ 15 Λ 5 Λ 35 Σ 5 Λ 6 Σ 16 Λ 6 Σ 7 Σ 17 Λ 7 Σ 8 Λ 18 Σ 8 Λ 9 Λ 19 Σ 9 Σ 10 Σ 0 Σ 30 Λ Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1 Β 6 Γ 11 Δ Δ 7 Δ 1 Γ 3 Α 8 Α 13 Δ 4 Β 9 Β 14 Α 5 Γ 10 Β 15 Γ 9

10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( γ μέρος ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές του έχουν μήκη α = 5cm, β = 3cm, γ = 7cm. α) Να προσδιοριστεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. β) Να υπολογίσετε (σε μοίρες) τη γωνία Γ.. Στη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ = 11, παίρνουμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε να είναι ΒΔ = 3 και ΔΓ = 7. Να υπολογίσετε το ΑΔ. 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΓ > ΑΒ και ορθόκεντρο Η, να δείξετε ότι : ΗΓ ΗΒ = ΑΓ ΑΒ. 4. Διαιρούμε την υποτείνουσα ΒΓ = α ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ σε τρία ίσα τμήματα ΔΓ = ΔΕ = ΕΒ και φέρνουμε τις ΑΔ και ΑΕ. Να δείξετε ότι : 5 α) β) Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε πάνω στη βάση του ΒΓ τα σημεία Δ και Ε ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ. Να δείξετε ότι : ΑΒ + ΑΓ = 3ΑΕ + 6ΔΕ. 6. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει διαμέσους μ α, μ β, μ γ και ισχύει μ β + μ γ = 5μ α, τότε να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 7. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ κατά ίσο μήκος ΓΔ = ΒΓ. Να δείξετε ότι ΑΔ = ΑΓ + ΒΓ. 8. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΑΒ = ΑΓ και τη γωνία του Â αμβλεία. Φέρνουμε το ύψος ΒΔ του τριγώνου. Να δείξετε ότι. 9. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Από το σημείο Μ φέρνουμε ευθεία κάθετη προς την ΑΒ, που την τέμνει στο Δ. Να δείξετε ότι : Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια διάμετρό του ΑΒ και τα σημεία Γ και Δ της ΑΒ, ώστε ΟΓ = ΟΔ = δ. Αν Ρ είναι ένα τυχαίο σημείο του κύκλου και οι ΡΓ, ΡΔ τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Ε, Ζ, αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι : R R R α), β) R 11. Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ και οι προεκτάσεις των μη παραλλήλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Κ. Να δείξετε ότι (ΚΑΓ) = (ΚΒΔ). 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, φέρνουμε ευθεία ε // ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι (ΑΒΕ) = (ΑΒΓ)(ΑΔΕ). 13. Σε κύκλο ακτίνας R, είναι εγγεγραμμένο κανονικό εξάγωνο. Να βρεθούν: α) Το εμβαδόν του εξαγώνου συναρτήσει του R. β) Το εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκεται έξω από το εξάγωνο. 14. Κύκλος ακτίνας R, διαιρείται σε δυο κυκλικά τμήματα, από την πλευρά ΑΒ ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε αυτόν. Να υπολογιστούν : α) Το μήκος του μικρότερου τόξου. β) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα. 15. Σε κύκλο (Ο, R), θεωρούμε χορδή ΑΒ = λ 4. Με διάμετρο την ΑΒ γράφουμε εκτός του κύκλου (Ο, R) ένα ημικύκλιο. Να υπολογίσετε, συναρτήσει της ακτίνας R, το εμβαδόν του μηνίσκου που σχηματίζεται. 10