66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
|
|
- Ωκεανός Ζαΐμης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα μεγέθη λέγεται, ά δύναται πολλαπλασιαζόμενα αλλήλων υπερέχειν Ο λόγος δύο μεγεθών α και β συμβολίζεται α : β ή α. Τέσσερα μεγέθη α, β, γ β και δ είναι ανάλογα όταν α = γ. Τα μεγέθη α και δ ονομάζονται άκροι όροι της β δ αναλογίας, ενώ τα μεγέθη β και γ ονομάζονται μέσοι όροι. Σε μία αναλογία της μορφής α = β, όπου οι δύο μέσοι όροι ταυτίζονται, λέμε οτι β είναι η μέση ανάλογος των α β δ και δ. Αναλογίες διαστημάτων Διαισθητικά, για να προσδιορίσουμε το λόγο δύο διαστημάτων και ΓΔ, υποθέτουμε οτι υπάρχει κάποιο διάστημα ΜΝ τέτοιο ώστε κάποιο πολλαπλάσιο του ΜΝ είναι ίσο με το, = κμν, και κάποιο πολλαπλάσιο του ΜΝ είναι ίσο με το ΓΔ, ΓΔ = λμν. Το ΜΝ ονομάζεται κοινό μέτρο των και ΓΔ, και ο λόγος του προς το ΓΔ είναι ο λόγος του κ προς το λ, δηλαδή το κλάσμα κ. λ Η μεγάλη ανατροπή στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά ήρθε όταν ανακαλύφθηκε οτι αυτή η διαισθητική προσέγγιση δεν καλύπτει όλες τις περιπτώσεις. Συγκεκριμένα ανακαλύφθηκε οτι υπάρχουν διαστήματα για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο ΜΝ. Πρόταση 11.1 Η διαγώνιος ενός τετραγώνου και η πλευρά του δεν έχουν κοινό μέτρο. Δεν είναι γνωστό πώς ακριβώς διαπιστώθηκε αυτό για πρώτη φορά. Σύμφωνα με την παράδοση, το ανακάλυψαν οι Πυθαγόριοι, οι οποίοι θεώρησαν την ανακάλυψή τους 65
2 66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την απαγόρευση, τον έπνιξαν στη θάλασσα. Τέτοια μεγέθη που δεν έχουν κοινό μέτρο ονομάστηκαν ασύμμετρα. Αυτή η ανακάλυψη οδήγησε τους αρχαίους Ελληνες να διαχωρίσουν τη γεωμετρία από την αριθμητική, και να αναπτύξουν μία θεωρία αναλογιών που καλύπτει τόσο τα σύμμετρα όσο και τα ασύμμετρα μεγέθη, η οποία όμως είναι αρκετά πιο περίπλοκη από την παραπάνω διαισθητική προσέγγιση. Ο Αριστοτέλης περιγράφει μία αριθμητική απόδειξη αυτής της πρότασης, ανάλογης της σύγχρονης απόδειξης οτι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός. Εμείς θα δώσουμε μία γεωμετρική απόδειξη. Απόδειξη. Θεωρούμε το τετράγωνο ΓΔ και φέρομε τη διαγώνιο ΒΔ. Υποθέτουμε οτι υπάρχει κοινό μέτρο των και ΒΔ, δηλαδή οτι υπάρχει ένα διάστημα ΜΝ και θετικοί ακέραιοι κ και λ, τέτοιοι ώστε = κ ΜΝ και ΒΔ = λ ΜΝ. Πάνω στο ΒΔ παίρνουμε διάστημα ΒΕ =. Από το Ε φέρομε κάθετο στη ΒΔ, η οποία τέμνει την στο σημείο Ζ. Η γωνία ΕΔΖ είναι μισή ορθή, συνεπώς το τρίγωνο ΕΔΖ είναι ισοσκελές. Κατασκευάζουμε τετράγωνο με πλευρά ΔΕ. Παρατηρούμε οτι τα τρίγωνα Ζ και ΕΒΖ είναι ίσα, και συνεπώς ΑΖ = ΕΖ. Για την πλευρά και τη διαγώνιο του τετραγώνου ΔΕΖΗ έχουμε ΕΔ = ΒΔ = λμν κμν = (λ κ)μν ΔΖ = ΑΔ ΑΖ = ΑΔ ΕΔ = κμν (λ κ)μν = (2κ λ)μν. Παρατηρούμε οτι το ΜΝ είναι κοινό μέτρο της πλευράς και της διαγωνίου του τετραγώνου ΔΕΖΗ. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία στο τετράγωνο ΔΕΖΗ, αφαιρώντας από τη διαγώνιο ΖΔ τμήμα ΖΘ ίσο με το ΖΕ, και κατασκευάζοντας το τετράγωνο ΔΘΚΛ με πλευρά ΔΘ. Η πλευρά και η διαγώνιος αυτού του τετραγώνου πάλι έχουν κοινό μέτρο ΜΝ.
3 Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα 67 Σχήμα 11.2: Πλευρά και διαγώνιος τετραγώνου είναι ασύμμετρα μεγέθη. Είναι φανερό οτι μπορούμε να συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία, λαμβάνοντας συνεχώς μικρότερα τετράγωνα (μπορείτε να δείξετε οτι η πλευρά ΔΛ είναι μικρότερη από το ένα τέταρτο της ΔΓ. Μετά από αρκετές επαναλήψεις θα λάβουμε ένα τετράγωνο με πλευρά μικρότερη από ΜΝ. Ομως είδαμε οτι ΜΝ είναι κοινό μέτρο όλων των πλευρών και των διαγωνίων που προκύπτουν με αυτή τη διαδικασία. Άτοπο, αφού ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του ΜΝ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από ΜΝ. Αφού η υπόθεση οτι υπάρχει κοινό μέτρο της πλευράς και της διαγωνίου του τετραγώνου ΓΔ οδηγεί σε άτοπο, συμπεραίνουμε οτι δεν μπορεί να υπάρχει τέτοιο κοινό μέτρο. Εάν περιοριστούμε σε αναλογίες σύμμετρων μεγεθών είναι εύκολο να δείξουμε τις ακόλουθες ιδιότητες των αναλογιών. 1. Εάν ΓΔ = ΗΘ ΕΖ, τότε ΓΔ = ΗΘ ΕΖ λόγος). (ανάπαλιν λόγος) και ΕΖ = ΓΔ ΗΘ (εναλλάξ
4 68 Γεωμετρία 2. Εάν ΓΔ = ΚΛ, τότε ΓΔ = ΚΛ. 3. Εάν ΓΔ = ΚΛ τότε ΓΔ = ΚΛ. Ας αποδείξουμε τον εναλλάξ λόγο. Εάν ΓΔ = ΗΘ ΕΖ και, ΓΔ είναι σύμμετρα μεγέθη, τότε υπάρχει ένα διάστημα ΜΝ τέτοιο ώστε = κμν και ΓΔ = λμν, και ένα διάστημα ΚΛ τέτοιο ώστε ΕΖ = κκλ και ΗΘ = λκλ. Αλλά τότε ΕΖ = κμν κκλ = ΜΝ ΚΛ = λμν λκλ = ΓΔ ΗΘ. Θεώρημα 11.2 (Θεώρημα του Θαλή.) Εάν ε 1, ε 2, ε 3,... είναι παράλληλες ευθείες, και ζ, η είναι δύο ευθείες που τις τέμνουν, τότε τα τμήματα που ορίζουν οι ε 1, ε 2, ε 3,... πάνω στις ζ και η είναι ανάλογα. Απόδειξη. Θέλουμε να δείξουμε οτι εάν η ζ τέμνει τις ε 1, ε 2, ε 3,... στα σημεία Α 1, Α 2, Α 3,..., και η η τέμνει τις ε 1, ε 2, ε 3,... στα σημεία Β 1, Β 2, Β 3,..., τότε οι λόγοι των αντίστοιχων διαστημάτων πάνω στις δύο ευθείες είναι ίσοι: Α 1 Α 2 Β 1 Β 2 = Α 2Α 3 Β 2 Β 3 = Α 3Α 4 Β 3 Β 4 = Σχήμα 11.3: Το Θεώρημα του Θαλή.
5 Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα 69 Θα περιοριστούμε στην περίπτωση που οι παράλληλες ευθείες τέμνουν την ζ σε σύμμετρα μήκη, δηλαδή όταν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί κ και λ τέτοιοι ώστε Α 1 Α 2 Α 2 Α 3 = κ λ. Τότε χωρίζουμε το Α 1 Α 2 σε κ και το Α 2 Α 3 σε λ ίσα μέρη, και φέρουμε από αυτά τα σημεία ευθείες παράλληλες προς την ε 1. Τότε τα διαστήματα στην ζ μεταξύ αυτών των νέων παραλλήλων είναι ίσα μεταξύ τους, και από το Θεώρημα 6.22, το ίδιο ισχύει για τα διαστήματα στην η: οι νέες παράλληλες ευθείες χωρίζουν το Β 1 Β 2 σε κ και το Β 2 Β 3 σε λ ίσα μέρη. Άρα και λαμβάνοντας τον εναλλάξ λόγο έχουμε Β 1 Β 2 Β 2 Β 3 = κ λ = Α 1Α 2 Α 2 Α 3 Α 1 Α 2 Β 1 Β 2 = Α 2Α 3 Β 2 Β 3. Πρόταση 11.3 Η διχοτόμος γωνίας τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα που έχουν λόγο ίσο με το λόγο των δύο άλλων πλευρών. Απόδειξη. Θεωρούμε τριγωνο Γ και διχοτόμο ΑΔ, έτσι ώστε ΒΑΔ = ΓΑΔ. Θα δείξουμε οτι ΔΒ ΔΓ = ΑΓ. Από το Β φέρουμε ευθεία παράλληλη προς την ΑΔ, που τέμνει την προέκταση της ΓΑ στο σημείο Ε. Από το Θεώρημα του Θαλή, 11.2, έχουμε ΔΒ ΔΓ = ΑΕ ΑΓ. Συνεπώς αρκεί να δείξουμε οτι ΑΕ =, δηλαδή οτι το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές. Αφού η ΑΔ είναι διχοτόμος, ΒΑΔ = ΓΑΔ. Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, ΒΑΔ = Ε. Οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ειναι ίσες, ΓΑΔ = ΑΕΒ. Άρα Ε = ΑΕΒ, και το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές. Άσκηση 11.1 Από δύο σημεία Δ και Ε της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου Γ, φέρουμε τις παράλληλες προς την, οι οποίες τέμνουν την ΑΓ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα. Από τα Δ και Ε φέρουμε επίσης τις παράλληλες προς την ΑΓ, οι οποίες τέμνουν την στα σημεία Θ και Κ αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι ΑΓ = ΚΘ ΖΗ.
6 70 Γεωμετρία Σχήμα 11.4: Η διχοτόμος διαιρεί την απέναντι πλευρά σε μέρη ανάλογα προς τις άλλες πλευρές. Άσκηση 11.2 Θεωρούμε τρίγωνο Γ, διάμεσο ΑΜ, και ευθεία ε παράλληλη προς την ΑΜ. Εάν η ε τέμνει τις πλευρές, ΒΓ, ΓΑ ή τις προεκτάσεις τους, στα σημεία Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα, να δείξετε οτι ΑΓ = ΑΔ ΑΖ. Άσκηση 11.3 Μία ευθεία διέρχεται από την κορυφή Α ενός παραλληλογράμμου ΓΔ και τέμνει τις ευθείες ΒΔ, ΓΔ και ΒΓ στα σημεία Ε, Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ είναι μέση ανάλογος των ευθυγράμμων τμημάτων ΕΖ και ΕΗ. Ομοια σχήματα Ορισμός. Δύο πολύγωνα λέγονται όμοια όταν έχουν ίσες τις γωνίες τους μία προς μία και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Ο λόγος των αντίστοιχων πλευρών ονομάζεται λόγος ομοιότητας των δύο σχημάτων. Δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι πάντοτε όμοια μεταξύ τους. Κάθε δύο τετράγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. Ενα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο με άνισες πλευρές δεν
7 Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα 71 είναι όμοια, παρ όλο που έχουν όλες τις γωνίες ίσες, αφού οι πλευρές τους δεν είναι ανάλογες. Πρόταση 11.4 Εάν μία ευθεία παράλληλη σε μία πλευρά ενός τριγώνου τέμνει τις άλλες δύο πλευρές, σχηματίζεται τρίγωνο όμοιο προς το αρχικό. Απόδειξη. Θεωρούμε το τρίγωνο Γ και την ευθεία ε, παράλληλη προς τη ΒΓ, η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο Δ και την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Θα δείξομε οτι τα τρίγωνα ΑΔΕ και Γ είναι όμοια. Σχήμα 11.5: Ομοια τρίγωνα. Η γωνία ΑΔΕ είναι ίση με την Β και η γωνία ΑΕΔ είναι ίση με την Γ, ενώ η γωνία Α είναι κοινή. Συνεπώς τα δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες ίσες μία προς μία. Από το Θεώρημα του Θαλή, 11.2, αφού ΔΕ είναι παράλληλη προς την ΒΓ, ισχύει η αναλογία ΑΔ = ΑΕ ΑΓ. Από το Ε φέρομε παράλληλη προς την, η οποία τέμνει την ΒΓ στο Ζ. Τότε ΒΔΕΖ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΔΕ = ΒΖ. Ξανά από το Θεώρημα του Θαλή, ΒΖ ΒΓ = ΑΕ ΑΓ. Άρα ΔΕ ΒΓ = ΑΕ ΑΓ = ΑΔ. Συνεπώς οι γωνίες των δύο τριγώνων είναι ίσες, οι πλευρές είναι ανάλογες, και τα τρίγωνα είναι όμοια. Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων Θεώρημα 11.5 Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία.
8 72 Γεωμετρία Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνα Γ και ΔΕΖ, τέτοια ώστε Α = Δ και Β = Ε. Πάνω στην ημιευθεία παίρνουμε σημείο Η τέτοιο ώστε ΑΗ = ΔΕ. Από το Η φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ, η οποία τέμνει την ημιευθεία ΑΓ στο Θ. Θα συγκρίνουμε το τρίγωνο ΑΗΘ με το Γ και το ΔΕΖ. Από την Πρόταση 11.4, τα τρίγωνα ΑΗΘ και Γ είναι όμοια. Για τα τρίγωνα ΑΗΘ και ΔΕΖ έχουμε ΑΗ = ΔΕ και Α = Δ. Επίσης ΑΗΘ = Β ως εντός εκτός επί τα αυτά, και Β = Ε, άρα ΑΗΘ = Ε. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΗΘ και ΔΕΖ είναι ίσα. Άρα ΔΕΖ Γ. Σχήμα 11.6: Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων. Θεώρημα 11.6 Δύο τρίγωνα είναι ανάλογα εάν έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνα Γ και ΔΕΖ, τέτοια ώστε ΔΕ = ΔΖ ΑΓ και Α = Δ. Πάνω στην ημιευθεία παίρνουμε σημείο Η τέτοιο ώστε ΑΗ = ΔΕ. Από το Η φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ, η οποία τέμνει την ημιευθεία ΑΓ στο Θ. Θα συγκρίνουμε το τρίγωνο ΑΗΘ με το Γ και το ΔΕΖ. Από την Πρόταση 11.4, τα τρίγωνα ΑΗΘ και Γ είναι όμοια. Για τα τρίγωνα ΑΗΘ και ΔΕΖ έχουμε ΑΗ = ΔΕ και Α = Δ. Από τα όμοια τρίγωνα ΑΗΘ και Γ έχουμε ΑΗ = ΑΓ ΑΘ, και αφού ΑΗ = ΔΕ, ΔΕ = ΑΓ ΑΘ. Αλλά έχουμε υποθέσει οτι ΔΕ = ΔΖ ΑΓ, άρα ΑΓ ΑΘ = ΔΖ ΑΓ, και συνεπώς ΑΘ = ΔΖ. Συμπεραίνουμε οτι τα τρίγωνα ΑΗΘ και ΔΕΖ έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα. Δηλαδή έχουμε Γ ΑΗΘ = ΔΕΖ, και συνεπώς
9 Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα 73 Γ ΔΕΖ. Θεώρημα 11.7 Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνα Γ και ΔΕΖ, τέτοια ώστε ΔΕ = ΑΓ ΔΖ = ΒΓ ΕΖ. Πάνω στην ημιευθεία παίρνουμε σημείο Η τέτοιο ώστε ΑΗ = ΔΕ. Από το Η φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ, η οποία τέμνει την ημιευθεία ΑΓ στο Θ. Θα συγκρίνουμε το τρίγωνο ΑΗΘ με το Γ και το ΔΕΖ. Από την Πρόταση 11.4, τα τρίγωνα ΑΗΘ και Γ είναι όμοια. άρα ισχύει ΑΗ = ΑΓ ΑΘ = ΒΓ ΗΘ. Αλλά ΑΗ = ΔΕ, άρα ΔΖ ΑΓ = ΑΘ ΑΓ και συνεπώς ΑΘ = ΔΖ. Παρόμοια, ΗΘ = ΕΖ. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΗΘ και ΔΕΖ είναι ίσα. Άρα ΔΕΖ Γ και ισχύει ΑΗ = ΑΓ ΑΘ = ΒΓ ΗΘ. Αλλά ΑΗ = ΔΕ, άρα ΔΖ ΑΓ = ΑΘ ΑΓ, και συνεπώς ΑΘ = ΔΖ. Παρόμοια, ΗΘ = ΕΖ. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΗΘ και ΔΕΖ είναι ίσα. Άρα ΔΕΖ Γ. Θεώρημα 11.8 Δύο όμοια πολύγωνα χωρίζονται από τις διαγώνιες που φέρονται από ομόλογες κορυφές σε όμοια τρίγωνα. Απόδειξη. Θεωρούμε δύο όμοια πολύγωνα Α 1 Α 2 Α 3... Α ν και Β 1 Β 2 Β 3... Β ν. Τότε οι γωνίες είναι ίσες, Α 1 = Β 1, Α 2 = Β 2,..., Α ν = Β ν και οι ομόλογες πλευρές ανάλογες, Α 1 Α 2 Β 1 Β 2 = Α 2Α 3 Β 2 Β 3 = = Α ν 1Α ν Β ν 1 Β ν = α. Τα τρίγωνα Α 1 Α 2 Α 3 και Β 1 Β 2 Β 3 είναι όμοια, αφού έχουν τις γωνίες Α 2 και Β 2 ίσες και τις πλευρές που τις περιέχουν ανάλογες. Θα δείξουμε οτι τα τρίγωνα Α 1 Α 3 Α 4 και Β 1 Β 3 Β 4 είναι επίσης όμοια. Από την ομοιότητα των τριγώνων Α 1 Α 2 Α 3 και Β 1 Β 2 Β 3 έχουμε οτι Α 1 Α 3 Α 2 = Β 1 Β 3 Β 2 και Α 1 Α 3 Β 1 Β = α = Α 3Α 4 3 Β 3 Β. Επίσης 4 Α 1 Α 3 Α 4 = Α 3 Α 1 Α 3 Α 2 = Β 3 Β 1 Β 3 Β 2 = Β 1 Β 3 Β 4.
10 74 Γεωμετρία Σχήμα 11.7: Ομοια πολύγωνα. Καταλήγουμε οτι τα τρίγωνα Α 1 Α 3 Α 4 και Β 1 Β 3 Β 4 έχουν μία γωνία ίση και τις πλευρές που την περιέχουν ανάλογες, και συνεπώς είναι όμοια. Παρόμοια δείχνουμε οτι για κάθε k = 3, 4,..., ν 1, τα τρίγωνα Α 1 Α k Α k+1 και Β 1 Β k Β k+1 είναι όμοια. Πρόταση 11.9 Δύο κανονικά ν-γωνα είναι όμοια. Απόδειξη. Κάθε γωνία ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση με 2ν 4 ορθές. Άρα όλες ν οι γωνίες είναι ίσες. Επίσης όλες οι πλευρές ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες. Συνεπώς και οι λόγοι των πλευρών κανονικών πολυγώνων είναι ίσοι. Θεώρημα Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο. Απόδειξη. Θα αποδείξουμε οτι κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Θεωρούμε κανονικό πολύγωνο Α 1 Α 2... Α ν, και φέρουμε τον κύκλο που περνάει από τα Α 1 Α 2 Α 3. Εστω οτι ο κύκλος έχει κέντρο Ο. Θα δείξουμε οτι ΟΑ 4 = ΟΑ 3, και συνεπώς οτι η κορυφή Α 4 βρίσκεται στον ίδιο κύκλο. Εξετάζουμε τα τρίγωνα ΟΑ 3 Α 4 και ΟΑ 3 Α 2. Αυτά έχουν την ΟΑ 3 κοινή και Α 3 Α 4 = Α 3 Α 2 από υπόθεση. Αν δείξουμε οτι ΟΑ 3 Α 2 = ΟΑ 3 Α 4, τα τρίγωνα είναι ίσα και ΟΑ 4 = ΟΑ 3. Αφού ΟΑ 2 = ΟΑ 3, το τρίγωνο ΟΑ 2 Α 3 είναι ισοσκελές, και ΟΑ 3 Α 2 = ΟΑ 2 Α 3. Συνεπώς αρκεί να δείξουμε οτι ΟΑ 2 Α 3 = ΟΑ 3 Α 4.
11 Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα 75 Σχήμα 11.8: Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Παρατηρούμε οτι Αφού το πολύγωνο είναι κανονικό, ΟΑ 2 Α 3 = Α 1 Α 2 Α 3 ΟΑ 2 Α 1, ΟΑ 3 Α 4 = Α 2 Α 3 Α 4 ΟΑ 3 Α 2. Α 1 Α 2 Α 3 = Α 2 Α 3 Α 4. Τα τρίγωνα ΟΑ 1 Α 2 και ΟΑ 2 Α 3 έχουν όλες τις πλευρές ίσες μία προς μία, άρα είναι ίσα και ΟΑ 2 Α 1 = ΟΑ 3 Α 2. Αφαιρώντας τις δύο ισότητες, έχουμε οτι ΟΑ 2 Α 3 = ΟΑ 3 Α 4. Καταλήγουμε οτι η κορυφή Α 4 βρίσκεται στον ίδιο κύκλο με τις κορυφές Α 1, Α 2 και Α 3. Με τον ίδιο τρόπο δείχνουμε οτι όλες οι κορυφές του κανονικού πολυγώνου βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο. Άσκηση 11.4 Άσκηση 11.5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:
7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε
1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; 2. Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου;
ΜΕΡΟΣ Β : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ -ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ισότητα τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Κυρια στοιχεια του τριγωνου ειναι: οι πλευρες του ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ οι γωνιες του Α,Β,Γ.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων
Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα
ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)
Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.
Τα παρακάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου του σχολικού έτους 013-14 στο 17 ο ΓΕ.Λ Αθηνών με εισηγητές τους καθηγητές Νίκο Καρακάση και Δημήτρη Αθανασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι : Αν η διάμεσος
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε
Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι όμοια και στη συνέχεια να συμπληρώσετε
ΘΕΜΑ 4 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ η ευθεία ΜΛ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΔΓ του τραπεζίου και ισχύει ότι = α) Να αποδείξετε ότι = και = (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία
VERSION :00. α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο
VERSION 16-11-014 17:00 _18975 α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 3 του μήκους της αντίστοιχης
Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,
Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :
Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height.
Νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Σχολικό έτος 2016-17 Σπύρος Γ. Γλένης spyrosglenis@gmail.com Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα
Ονοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος»
ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ - Τάξη ΓΡΠΤΕΣ ΠΡΟΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΜΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τα θέματα ΔΕΝ θα μεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Οι απαντήσεις να γραφούν στο καθαρό
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός