ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 Άσκηση (5 μον) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ R έτσι ώστε το σύστημα: να έχει μοναδική λύση να μην έχει καμία λύση (γ) να έχει άπειρες λύσεις + y z = + y+ λz = + λ y+ z = Να υπολογιστούν οι λύσεις όταν το λ = Άσκηση (5 μον) Έστω ο πίνακας A = Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α Να βρεθεί, αν υπάρχει, αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP είναι διαγώνιος (γ) Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Cayley-Hamilto, να υπολογιστεί η δύναμη 4 A Άσκηση ( μον): Να υπολογισθούν τα όρια: + co 4 s (γ) + Άσκηση 4 ( μον) Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές: ( μον) 7 ( 4 μον) = + =, (Για ποια συγκλίνει;) + (γ) ( μον) = αθροίσματος Δείξτε ότι είναι «τηλεσκοπική» και βρείτε την τιμή του

2 Άσκηση 5 ( μον) Να βρεθούν και να χαρακτηρισθούν, για < <, όλα τα ακρότατα της συνάρτησης 4 f( ) = + 7 Να υπολογισθούν επίσης τα σημεία καμπής της συνάρτησης Σε ένα ακτήμονα γεωργό προσφέρεται όση έκταση καλλιεργήσιμης γης μπορεί να περικλείσει με ένα φράχτη μήκους μ σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου Ποια μήκη πλευρών, y πρέπει να επιλέξει ώστε να έχει η έκταση αυτή το μέγιστο δυνατό εμβαδόν; Άσκηση 6 ( μον) (6 μον) Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: cos(+ ) π π (i) f( ) = e (ii) g ( ) = l(+ ta ), < < 4 4 h ( ) = +, α si+, > (6 μον) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) =, = Να βρεθούν τιμές β cos +, < των α και β για τις οποίες η f() είναι παραγωγίσιμη στο = Άσκηση 7 ( μον) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f( ) = +, g( ) =, με > Έστω ότι E( λ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των δυο συναρτήσεων και τις ευθείες =, = λ, όπου λ > μια παράμετρος Να υπολογισθεί το εμβαδόν αυτό και βρεθεί το όριο E( λ) λ Άσκηση 8 ( μον) Να υπολογισθούν τα αόριστα ολοκληρώματα (i) d (ii) d ( + )( + ) + si cos d Υπόδειξη: Για το (i) χρησιμοποιείστε τη μέθοδο χωρισμού της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης σε επί μέρους κλάσματα και για το (ii) χρησιμοποιείστε τη μέθοδο της αντικατάστασης (πχ θέστε = u ) Για το χρησιμοποιείστε την ταυτότητα cos = si Λύσεις Επαναληπτικής Εξέτασης Άσκηση Μετά από τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών r r r, r r r, r r ( λ ) r παίρνουμε τον πίνακα

3 λ + ( λ)( λ+ ) λ Διακρίνουμε περιπτώσεις για το λ και εξετάζουμε τα συστήματα που αντιστοιχούν στον τελευταίο πίνακα Αν λ, βλέπουμε ότι έχουμε μοναδική λύση, τη (,, ) Αν λ+ λ+ λ =, έχουμε άπειρες λύσεις, τις ( yz,, ) = (5 z, 4 zz, ), z R Τέλος αν λ = το σύστημα είναι ασυμβίβαστο Άσκηση Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι det = 4 Οι ιδοτιμές είναι,- Τα + αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από τα συστήματα =, + y = και είναι τα ( aa, ), a και ( b, b ), b Επειδή έχουμε + y διακεκριμένες ιδιοτιμές, ο Α διαγωνοποιείται Ως Ρ μπορούμε να θέσουμε, για παράδειγμα, P = Τέλος έχουμε A 4I = και άρα 4 4 A = ( A ) = ( 4 I) = 4 Άσκηση + + = = + = Εφαρμόζοντας de l Hospital επανειλημμένα έχουμε: cos + si + cos si = = = = (γ) = = = Άσκηση = = < και άρα η σειρά συγκίνει από το κριτήριο της ρίζας

4 + : Από το κριτήριο του λόγου: = a + = = < a + βρίσκουμε ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως για όλα τα - < < Συγκλίνει όμως και για = -, ως εναλλάσσουσα σειρά ΔΕΝ συγκλίνει για =, ως αρμονική (γ) = = = = (+ )(+ ) = + + = + + = Άσκηση 5 Έχουμε ( ) = 4 4 Οπότε f ( ) = 4 4= = ή = ή = f 4, = Παίρνοντας δεύτερη παράγωγο έχουμε: f ( ) = 4=, οπότε το = 8, =± είναι τοπικό μέγιστο ενώ τα = και = - τοπικά ελάχιστα Ποιο είναι το ολικό ελάχιστο; Παρατηρείστε ότι η συνάρτηση f ( ) είναι φθίνουσα στο (, ], αύξουσα στο [-, ], φθίνουσα στο [, ] και αύξουσα στο [, + ) Επομένως στα σημεία και βρίσκεται ένα τουλάχιστον ολικό ελάχιστο Παρατηρούμε ότι f ( ) = 6 και f () = 6 Συνεπώς η (ολικά) ελάχιστη τιμή που παίρνει η συνάρτηση είναι η 6 και στα αυτά σημεία Άσκηση 6 ( μον) Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: (i) f( ) = e f ( ) = e si(+ ) e cos(+ ) cos(+ ) cos(+ ) (ii) = + = + ta ( ) ( ) ( ) ( ) 4 + h = h = = + ( + ) ( + ) g ( ) l( ta ) g( ) sec α si+, > Δίνεται η συνάρτηση: f( ) =, = Να βρεθούν οι τιμές των β cos +, < α και β για τις οποίες είναι παραγωγίσιμη στο = Πρώτα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι η f() είναι συνεχής στο = Αυτό συμβαίνει όταν τα πλευρικά όρια (α si + ) = ( β cos + ), δηλαδή όταν β = Για να είναι και + παραγωγίσιμη εκεί πρέπει (α cos + ) = ( β si + ) δηλαδή όταν α = ½ + 4

5 Άσκηση 7 Παρατηρούμε πρώτα από τη γραφική παράσταση των δύο συναρτήσεων ότι για κάθε [, λ], f( ) > g( ) Άρα το εμβαδόν της μεταξύ τους περιοχής από = έως = λ είναι λ λ + λ E( λ) = ( f( ) g( )) d= d= Παίρνοντας το όριο έχουμε E( λ) = λ Άσκηση 8 ( μον) Να υπολογισθούν τα αόριστα ολοκληρώματα (i) ( + ) d = d + d = l + l + + C = l C ( + )( + ) udu du (ii) d = = = l + C + u + u u+ +, έχοντας θέσει = u 5 si si si cos d = si ( si )cos d = u ( u ) du = C 5 +, έχοντας θέσει u = si