ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΠΡΟΦΙΛ: Ε-mail: Τηλ

2 . Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, με z ώστε να ισχύει: Α. Να δειχθεί ότι: z z,. Β. Αν Β και Γ είναι οι εικόνες των z και z αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ορθογώνιο. Γ. Αν επιπλέον δίνεται η συνεχής συνάρτηση g : τέτοια ώστε να ισχύουν: g( ) g( ), και z z d g ( ) τότε να βρείτε το z. Υπόδειξη: A. Να χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα εφαρμόσετε το θεώρημα Fermat για κατάλληλη συνάρτηση. Β. Αρκεί να αποδείξετε ότι θεώρημα για το τρίγωνο ΒΟΓ. και στη συνέχεια να z z z z, δηλαδή ότι ισχύει το Πυθαγόρειο Γ. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητής και αποδείξτε το ζητούμενο. (Απ. Γ. z )

3 . Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και ο μιγαδικός w ώστε να ισχύει ότι: Α. Να αποδείξετε ότι z και w -i. w(-z)=+iz Β. Να αποδείξετε ότι w z. w i Γ. Αν οι εικόνες του z κινούνται σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ= και Ν(,y) είναι οι εικόνες του w, να αποδείξετε ότι αυτά τα σημεία Ν(,y) κινούνται στην ευθεία (ε) με εξίσωση: 4+y-3=0. Δ. Να βρείτε τώρα εκείνο το μιγαδικό w που έχει το ελάχιστο μέτρο. Υπόδειξη: Α. Να χρησιμοποιήσετε την απαγωγή σε άτοπο (π.χ. Έστω ότι z=.) (Απ. Δ. wo 3 3 i) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z=+yi, όπου,y πραγματικοί αριθμοί και i( z i) w i z με z i. Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: w y ( y ) ( y ) i Β. Αν ο μιγαδικός w είναι πραγματικός αριθμός τότε η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ=. Γ. Αν ο μιγαδικός z είναι πραγματικός αριθμός τότε η εικόνα του w ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ =.

4 4. Έστω η παρακάτω συνάρτηση: 3 f ( ) z 6i 3 z 8, όπου με z yi η οποία παρουσιάζει ένα τοπικό ακρότατο στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: Α. Τα σημεία Λ(z) βρίσκονται πάνω στην ευθεία (ε): 4-3y-7=0. Β. z 8 5 και 7 z 5 Γ. Το ακρότατο αυτό στο σημείο κ o =, είναι ελάχιστο και μάλιστα η τιμή του είναι μικρότερη η ίση του -8. Υπόδειξη: Α. Να εφαρμόσετε το θεώρημα Fermat για τη συνάρτηση f ( ). Β. Χρησιμοποιήστε τον τύπο απόστασης σημείου από ευθεία: dm (, ) o y o o Γ. Μελετήστε την μονοτονία της f ( ). (Απ. Γ. Τ.Μ. στο κ ο =- και Τ.Ε. στο κ ο =, f () 8 )

5 5. Για δύο συναρτήσεις f και g ισχύει η παρακάτω σχέση: για κάθε [, ) ' ' '' f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) Επιπλέον ισχύουν: f (), g ' () 3 και f ( ) για κάθε. Α. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα για κάθε [, ). Β. Αν f ' ( ) f ( ), τότε να βρείτε τον τύπο και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης f. Υπόδειξη: Α. Για να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε την απαγωγή σε άτοπο σε συνδυασμό με τη δεδομένη σχέση f ( ). (Απ. Β. f, Δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες, Η ευθεία ( ) y είναι ασύμπτωτη της C f στο )

6 6. Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει ότι: ' (ln ) f ( ) f ( )ln, για κάθε 0 όπου η f είναι συνεχής στο (0,) (, ) και f () e e, f ( ). e e Α. Να αποδείξετε ότι f( ) για κάθε (0,) (, ). ln Β. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Δ. Να αποδείξετε ότι Ε. Να αποδείξετε ότι f ( ) f ( t) dt f ( ), e lim t dt. ln t (Απ. Β. Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f () e e.) Γ. Το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (,0) [ e, ). Δ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται με τη βοήθεια της μονοτονίας του ολοκληρώματος σύμφωνα με τη οποία: Για συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] ισχύει ότι αν για κάθε [, ] είναι. f ( ) g( ), τότε: f ( ) d g( ) d Ε. Το ζητούμενο αποδεικνύεται με τη βοήθεια του Δ. ερωτήματος και τη χρήση του κριτηρίου παρεμβολής (Προσοχή το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και για τα όρια ίσα με + ).

7 7. A. Να αποδείξετε ότι ισχύει: e, για κάθε. Πότε ισχύει η ισότητα e ; Β. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f :[0, ) [0, ). Για κάθε 0 θεωρούμε το μιγαδικό z, με: f ( t) f ( t ) z e dt i e dt 0 0 και z t [ f ( t) e ] dt f ( ), 0 0 Να αποδείξετε ότι: z ) Re( z) Im( z) 0 i, για κάθε 0. ), για κάθε 0. f ( ) e f ( ) e 3) Η f είναι γνησίως αύξουσα. 4) Η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφή της. 5) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, ), τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (0, ), τέτοιο, ώστε f ' ( ). Υπόδειξη: 4) H f ως γνησίως αύξουσα είναι - και άρα έχει αντίστροφη. Αρχικά βρείτε το σύνολο τιμών της f και άρα πεδίο ορισμού της αντίστροφης ([0, ) ) και κατόπιν τον τύπο της ( f ( ) ln( e ) ). 5) Να χρησιμοποιήσετε κατάλληλο θεώρημα ύπαρξης (Rolle-Θ.Μ.Τ.).

8 8. Έστω η συνάρτηση f ώστε ' '' f ( ) f ( ) f ( ) e, για κάθε και ' f (0). Επιπλέον θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ) με g(0) και τη συνάρτηση g ( ) h( ). e Να αποδείξετε τα παρακάτω: Α. h ( ) Β. g( ) ( ) e Γ. f ( ) e e e Υπόδειξη: Α. Αρχικά αποδείξτε ότι: σταθερά c είναι ίση με. h ' ( ) 0 h( ) c και κατόπιν δείξτε ότι η Β. Το ζητούμενο προκύπτει εύκολα από το Α. ερώτημα. Γ. Το ζητούμενο προκύπτει με τη βοήθεια του Β. ερωτήματος με κατάλληλο μετασχηματισμό.

9 9. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει Α. Να αποδείξετε ότι: ) f ( ) και f(0) f() ) Υπάρχει 0, f ( ) f ( ), για κάθε. τέτοιο ώστε: f ( ). Β. Έστω επιπλέον ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και κάθε. f ( ), για ) Να βρείτε την f ( ) και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο ' σημείο της με τετμημένη. ) Να υπολογίσετε το όριο: lim 0 f () f ( ) Υπόδειξη: Α. ) Χρησιμοποιήστε κατάλληλο θεώρημα ύπαρξης. Β. ) α. Μέθοδος: Θεωρείστε κατάλληλη συνάρτηση και αποδείξτε το ζητούμενο με τη χρήση του θεωρήματος Fermat. β. Μέθοδος: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της παραγώγου και το κριτήριο παρεμβολής για να αποδείξετε το ζητούμενο. Β. ) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα de L'Hospital για να αποδείξετε το ζητούμενο. (Απ. Β. ) f '( ), y, ) f () f ( ) ) lim ' f (0) 0 0

10 0. Έστω η ορισμένη στο [, ] συνάρτηση f( ) f( ) 0, 0, f (), [, ]. f ' () 0 και f τέτοια ώστε να ισχύει: f '' ( ) 0, για κάθε Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ' ( ) 0 έχει μοναδική πραγματική ρίζα το. Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f στο σημείο παρουσιάζει μέγιστο. Γ. Να βρείτε το σύνολο (πεδίο) τιμών της f. Δ. Αν ισχύει ότι: e ' ln f ( ) d d, τότε να βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου που ορίζεται από τη C f τον και τις ευθείες =α και =β. Ε. Έστω τώρα και η συνάρτηση f ( ) g ( ) 0 και ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. g( ) du με (, ), Να αποδείξετε ότι u Υπόδειξη: Α. Χρησιμοποιήστε κατάλληλο θεώρημα ύπαρξης και τη μονοτονία της ' f για να αποδείξετε το ζητούμενο. Β. Από την μονοτονία της ' f για < και > προκύπτει εύκολα το ζητούμενο. Ε. Αποδείξτε ότι g ( ) 0 από τη μονοτονία της g και ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω δείχνοντας ότι (Απ. Γ. [0,], Δ. Ε=0.5 τ.μ.) g '' ( ) 0.

11 . Αν η εξίσωση μιγαδικό αριθμό z i, να βρείτε: z z 0,, με άγνωστο z έχει ρίζα το A. Την άλλη ρίζα z της εξίσωσης και τις τιμές των., Β. Την τιμή του θετικού ακέραιου αριθμού ν ώστε: z z 048. Γ. Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους ισχύει: w iz w i z 8 Δ. Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης: w w, όπου w ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση του ερωτήματος Γ. (Απ. Α. 0, 4, z i, Β. ν=0, Γ. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου Κ(,-) και ακτίνας ρ=, Δ. min, ma 6)

12 . Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [, ] με f ' ( ) 0, για κάθε [, ]. Να βρείτε το σημείο ( u, f ( u)) με u (, ) ώστε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της C f και των ευθειών y f ( u), και να γίνεται ελάχιστο. Υπόδειξη: Δεδομένου ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και -. Άρα ισχύει ότι: f ( ) f ( u) u. Στη συνέχεια υπολογίστε το εμβαδόν με βάση τον τύπο: (Απ. (, f ( )) ) E( u) f ( ) f ( u) d.

13 3. Δίνεται η συνάρτηση f :[0,] με f ( ) 3 5. Να αποδείξετε ότι: A. H f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την f. Β ( 3 ) d 0 0 Γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος παράλληλων εφαπτόμενων των C f, C - f που εφάπτονται σε αυτές σε σημεία με κοινή τετμημένη o (0,). Υπόδειξη: Α. Αρκεί να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα που σημαίνει ότι είναι - με αποτέλεσμα να έχει αντίστροφη. Κατόπιν βρείτε τον τύπο της αντίστροφης ( 5 3 f ( ), με [0,] ). Β. Είναι ( ) d f ( ) d f ( ) d Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με την αντικατάσταση: u f ( ) f ( u). Γ. Θεωρείστε τη συνάρτηση h( ) f ( ) f ( ) και εξετάστε τις προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0,].

14 4. Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε 0 να ισχύει: t 3 ln t f ( ) dt Α. Να αποδείξετε ότι: ln f( ) Β. Να μελετήσετε την f ως προς τα ακρότατα και το πρόσημό της. Γ. Να αποδείξετε ότι 3 e (ln ) για κάθε 0. Δ. Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο καμπής της. Ε. Να βρείτε τις τιμές των ορίων lim f( ), lim f( ). 0 Ζ. Να βρείτε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f, την ευθεία = και τον άξονα. t Υπόδειξη: Α. Αποδείξτε το ζητούμενο με κατάλληλη αντικατάσταση ( u ). Γ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα από τη μονοτονία της f. (Απ. Β. Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 3 e, το f ( e ) 3 3 e, Δ. Σημείο 3 καμπής το Λ( e, e ), 4 y e 4 e, Ε. lim f ( ) 0, y 0 οριζόντια ασύμπτωτη, lim f( ), 0 κατακόρυφη ασύμπτωτη, 0 Ζ. E 8 e f ( ) d τ.μ.)

15 5. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: F( ) dt 0 4 ( t ). Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της F και να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και να προσδιορίσετε το πρόσημο της F. B. Να αποδείξετε ότι: ' F ( ) και F ( ), για κάθε (, ). 6 Γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I ( t ) dt Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης της F, του και των 0 και. Υπόδειξη: Α. Πρέπει, t, Από την μονοτονία της F μπορείτε 4 ( t ) 0 εύκολα να προσδιορίσετε το πρόσημό της, Δ. Δεδομένου ότι για F ( ) 0, είναι F( ) d ' F( ) d [0, ] είναι (Απ. Α. (,), F ( ) 0 για κάθε (, ), F ( ) 0 για κάθε (,), Γ. I 3, Δ. ) 6 4

16 6. Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, με αρχική συνάρτηση (παράγουσα) F, ( ) με F ( ) 0 για κάθε. Έστω επίσης ότι ισχύει η σχέση: Επιπλέον ισχύει ότι F(0) f ( ) για κάθε. F ( ) e. Α. Υπολογίστε το d. Β. Υπολογίστε την f( ). Γ. Υπολογίστε το εμβαδόν το χωρίου μεταξύ των: f, του και των ευθειών =0, =π. Υπόδειξη: Η Fείναι ( ) παράγουσα της f και άρα ισχύει ότι: F ' ( ) f ( ). (Απ. Α. d c, Β. f ( ) e, Γ. f ( ) d e e e ) 0

17 7. Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα Δ. Να δείξετε ότι για κάθε, ισχύει ότι: f ( ) f ( ) f ( ) (Ανισότητα Jensen) Υπόδειξη: Αρχικά εξετάστε τι συμβαίνει για =. Στη συνέχεια διακρίνετε τις περιπτώσεις: > και <. Για να αποδείξετε το ζητούμενο, εφαρμόστε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ) στα διαστήματα f είναι κυρτή ( αύξουσα στο διάστημα Δ., και,. Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η f '' ( ) 0 ) στο διάστημα Δ, που σημαίνει ότι η ' f είναι γνησίως

18 8. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z f ( ) i, όπου f ( ) dt t, 0. e 0 Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η f. Β. Να αποδείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Γ. Αν ισχύει ότι z i z, να αποδείξετε ότι: ) Re( z) Im( z), για κάθε. ) 3) dt dt t t e e e e 0 0 Υπόδειξη: Α. Αρκεί να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο -, με αποτέλεσμα να υπάρχει η f. και άρα Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα δεδομένου ότι ισχύει: κάθε. f ( f ( )) για Γ. ) Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα μετά από πράξεις με τα μέτρα των μιγαδικών. ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος Γ. και τη χρήση του θεωρήματος Fermat για κατάλληλη συνάρτηση αποδεικνύεται το ζητούμενο. 3) Εφαρμόστε το Θ.Μ.Τ σε κατάλληλο διάστημα για τη συνάρτηση f.

19 9. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f( ) για κάθε και η συνάρτηση g με. lim 3 ( ) ( ), για κάθε, f(0) g(0) όπου: ' ' g f Αν, με δύο ρίζες της g ( ) 0 τουλάχιστον o (, ) τέτοιο ώστε: f '( ) o f ''( o ) f( o ). να δείξετε ότι υπάρχει ένα Υπόδειξη: Με κατάλληλο μετασχηματισμό ή και με χρήση κανόνα de L'Hospital, από τον υπολογισμό του ορίου προκύπτει ότι:. Bρείτε τη σχέση που συνδέει τις δύο συναρτήσεις: g( ) f ( ). Παρατηρήστε μετά από πράξεις ότι: f( ) f( ), που σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στα σημεία, και άρα σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει ότι: f '( ) f '( ) 0. Εφαρμόστε το θεώρημα Rolle για κατάλληλη συνάρτηση στο διάστημα [, ] για να αποδείξετε το ζητούμενο. Προσοχή: Δίνεται η κατάλληλη συνάρτηση!!! ' ( ) H( ) f ( ) e f.

20 0. Δίνεται η συνάρτηση f :[, ) R, η οποία είναι κυρτή με συνεχή πρώτη παράγωγο και f (), f () 0. Επίσης δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: f (t)dt g(), Α. Να εξετάσετε τη συνέχεια της g. ( ),. Β. Να βρείτε την g ' ( ). Γ. Να εξετάσετε την μονοτονία της g. ( ) Δ. Να αποδείξετε ότι ισχύει: f (t)dt f (t)dt, για κάθε, R με. Υπόδειξη: Α. Εξετάστε τη συνέχεια της g ( ) για > καθώς και για ο =. Β. Βρείτε την παραγωγισιμότητας σε σημείο). g ' ( ) για > καθώς και για ο = (με χρήση του ορισμού της Γ. Για να βρείτε την μονοτονία της g ( ) είναι απαραίτητο να θέσετε νέα συνάρτηση έστω H() ίση με τον αριθμητή της g ' ( ), την οποία και να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία, χρησιμοποιώντας ως δεδομένο το ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή ( f '' ( ) 0). Δ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα από την μονοτονία της g. ( ) f ()( ) (Απ. Β. () ( ) 0, στο [, )) g f (t)dt,, Γ. Η g ( ) είναι γνησίως αύξουσα

21 . Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: lim 3 f ( ) 3 και f(5)=6. Α. Να αποδείξετε ότι f(3)=6. Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Ρ(3,f(3)). Γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y=+ τέμνει την C f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ο (3,5). Δ. Αν η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ(3,5) στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Υπόδειξη: Α. Η f ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο o =3, Γ. Να θεωρήσετε κατάλληλη συνάρτηση (h()=f()--, ορισμένη στο ) και να χρησιμοποιήσετε το κατάλληλο θεώρημα ύπαρξης για να αποδείξετε το ζητούμενο, Δ. Με κατάλληλο θεώρημα ύπαρξης αποδεικνύεται εύκολα ότι η f ()=0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (3,5) και επιπλέον από τη μονοτονία της f () (f ()<0) αποδεικνύεται ότι η ρίζα αυτή είναι και μοναδική. (Απ. Β. y=3-3)

22 . Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : * με f()0 για κάθε, τέτοια ώστε να ισχύει: f ( ) f ( ) 0 για κάθε και f(0)=. Α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι η f()= 3 συν Β. Να δείξετε ότι f ( ) για κάθε., για κάθε. Γ. Έστω g μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύει: g ( ) f ( ) e g( ), για κάθε, τότε: ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) h( ) e είναι κοίλη στο (π, π). g( ) g( ) ) Να δείξετε ότι: e e, για κάθε. 3) Να δείξετε ότι η εξίσωση e g() -+0=0, έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. Υπόδειξη: Α. Αποδείξτε το ζητούμενο με κατάλληλο μετασχηματισμό της σχέσης: f ( ) f ( ) 0, Β. Αποδείξτε το ζητούμενο ξεκινώντας από τη δοσμένη σχέση f ( ), χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες μέχρι να καταλήξετε σε κάτι που ισχύει, Γ. ) Αρκεί να δειχτεί ότι h '' ( ) 0 στο (π, π), ) Να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ για την συνάρτηση h ( ) στο [-, +] και με τη βοήθεια του ερωτήματος Β. να αποδείξετε το ζητούμενο, 3) Να εξετάσετε τη συνάρτηση Φ()= e g() -+0 ως προς τη μονοτονία. (Οποιαδήποτε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα στο πεδίο ορισμού της).

23 3. Έστω μια συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύει για κάθε 0 f e e. και Α. Να βρείτε τον τύπο της f. f ' Β. Να δείξετε ότι f είναι - και να βρεθούν οι ρίζες και το πρόσημο της f. Γ. Να λυθεί η εξίσωση : Δ. Δίνεται η συνάρτηση: e e e ln 3 h ln. Να μελετηθεί η h() ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Ε. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: e z f e i e z f e i 4e, τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. Υπόδειξη: Β. Αρκεί να δειχτεί ότι η f είναι γνησίως μονότονη και άρα -, Γ. Να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι η f είναι - και με κατάλληλο μετασχηματισμό να αποδείξετε το ζητούμενο. (Απ. Α. f ( ) ln, 0, Β. Προφανής ρίζα η o = που είναι και μοναδική λόγω μονοτονίας, f 0 και f Γ. =0, Δ. h στο,, άρα h στο 0,, Τ.Ε. h()=, Ε. Κύκλος με κέντρο Κ(0,) και ακτίνα ρ=) 0 0,

24 4. Για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ισχύει ότι: ' e f ( ), για κάθε και f (0) 3. Α. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι: f e ( ) ( ) 4 Β. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της f στο. Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) 0 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f ( ) f ''( ) 4 ( ) και h ( ), με 0 έχουν μία μόνο κοινή εφαπτομένη. Υπόδειξη: Γ. Αρχικά να μελετήσετε την μονοτονία της f και κατόπιν από το σύνολο τιμών για κάθε διάστημα μονοτονίας να αποδείξετε το ζητούμενο, Δ. Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των συναρτήσεων Φ() και h() σε δύο τυχαία σημεία (έστω Α(,y ) και Β(,y ), αντίστοιχα). Κατόπιν προσπαθήστε να αποδείξετε ότι το σύστημα των δύο εξισώσεων που προκύπτει με δεδομένο ότι θέλουμε οι δύο εφαπτομένες να συμπίπτουν, έχει ακριβώς μία λύση με τη βοήθεια του ερωτήματος Γ. (Απ. Β. lim f( ) 4, άρα η ευθεία y 4 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της f στο, Γ. Για (, ) το σύνολο τιμών της f είναι ( 4, ), άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα o (, ) τέτοιο ώστε f( o ) 0 και από τη μονοτονία η ρίζα αυτή είναι και μοναδική)

25 5. Οι μιγαδικοί zw, συνδέονται με την παρακάτω σχέση: iz 4 w, με z yi 4. z 4 Α. Να γράψετε τον μιγαδικό w με τη μορφή i, με,. Β. Αν ισχύει Re( w) Im( w), να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία 4 κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού z. Γ. Αν ο z κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 4, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w. Δ. Αν ο w κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα, να αποδείξετε ότι: z ( z) (Απ. Α. w 4( 4) 4 4 y y y i, Β. 35y εκτός του σημείου ( 4) y ( 4) y (4,0), Γ. y εκτός του σημείου (4,4) )

26 6. Α. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: f ( ) και g( ) Β. Να δείξετε ότι e e για κάθε 0. Γ. Να δείξετε ότι για e και 0 ισχύει: ( ) Υπόδειξη: Α. Ισχύει ότι: ln, για κάθε 0 (Σημείωση: Αν μια '' συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ( f ( ) ln, f ( ) 0 ) σε ένα διάστημα Δ ( 0 ) τότε η εφαπτομένη της (C f ) σε κάθε σημείο της (π.χ. y ) βρίσκεται πάνω από τη (C f ), Β. Από τη μονοτονία της f ( ) αποδεικνύεται εύκολα το ζητούμενο, Γ. Από τη μονοτονία των f, g αποδεικνύεται εύκολα το ζητούμενο για e. (Απ. Α. f στο (0, e ], f στο [ e, ), Τ.Μ. (Ολικό) το (0, )) e f () e e, g στο

27 7. Έστω η συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: Δείξτε ότι: f '' ( ) f ( ) 0 Α. Β. f f c, με c,. ' [ ( )] ( ) ' f ( ) f (0) f (0), για κάθε. Γ. Δείξτε ότι για κάθε, ισχύει: ( ) Υπόδειξη: Α. Να θεωρήσετε τη συνάρτηση ότι: G ' ( ) 0, ' G( ) [ f ( )] f ( ) και να δείξετε Β. Να θεωρήσετε τη συνάρτηση ' H( ) f ( ) f (0) f (0) και να αποδείξετε το ζητούμενο με τη βοήθεια του Α. ερωτήματος, Γ. Να θεωρήσετε τη συνάρτηση ( ) ( ) και να αποδείξετε το ζητούμενο με τη βοήθεια του Β. ερωτήματος.

28 8. Α. Δίνεται η συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο με η συνάρτηση: f ' ( ) 0 και f( ) F ( ) ' f ( ). Αν η γραφική παράσταση C της F τέμνει τον άξονα στο o, δείξτε ότι η εφαπτομένη της C στο o, σχηματίζει γωνία 4 με τον άξονα. Β. Δείξτε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης: g ( ) σε κάθε σημείο τομής της C με τον, σχηματίζει γωνία 4 με τον άξονα. Υπόδειξη: Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια του ερωτήματος Α.

29 9. Δίνονται οι συναρτήσεις: τέτοιες ώστε: I) f(0) g(0) f( ), [0, ) και g, ( ) [0, ), II) f ' ' (0) g (0) III) Οι ' ' f, g είναι συνεχείς στο o 0 IV) ( ) ( ) για κάθε 0 '' '' f g Να δείξετε ότι για κάθε 0, ισχύει: f ( ) g( ). Υπόδειξη: Να θεωρήσετε κατάλληλη συνάρτηση ( H( ) f ( ) g( ) ) την οποία και να μελετήσετε ως προς την μονοτονία.

30 30. Έστω f : τέτοια ώστε της οποίας η ' [ f ( ) f ( )]( ) f ( ) για κάθε C f έχει στο Α(0, f (0) ) εφαπτομένη κάθετη στην ευθεία ε: y 3. Α. Να δείξετε ότι f ( ) ( ) e,. Β. Να δείξετε ότι η (ε) και η C f δεν μπορεί να έχουν δύο κοινά σημεία. Γ. Έστω t g'( t) g( t) f ( ) d, t 0. Βρείτε το lim t e t 0. Δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον και τις ευθείες =0, =α, α>0. Υπόδειξη: Α. Αποδείξτε το ζητούμενο με κατάλληλο μετασχηματισμό της δοθείσας σχέσης και λαμβάνοντας υπόψη ότι ' g ( ) g( ) g( ) ce. Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με απαγωγή σε άτοπο. Έστω δηλαδή ότι η (ε) και η C έχουν δύο κοινά σημεία... (Προσοχή χρειάζεται να θεωρήσετε κατάλληλη συνάρτηση). f Γ. Να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας de L'Hospital για τον υπολογισμό του ορίου. g'( t) (Απ. Γ. lim 0 t t, Δ. E e ( ) ( e ) ) e

31 3. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη δύο φορές στο [, ] με [, ] και έστω η g( ) f ( t) dt ( ) f ( ), [, ]. '' f 0 για κάθε Α. Να δείξετε ότι υπάρχει (, ) ώστε ' f ( )( ) f ( ) f ( ). Β. Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο [, ] και να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να δείξετε ότι: f ( t) dt ( ) f ( ) Υπόδειξη: Α. Εφαρμόστε κατάλληλο θεώρημα ύπαρξης για την f σε κατάλληλο διάστημα για να αποδείξετε το ζητούμενο. Β. Βρείτε τη μονοτονία της g με τη βοήθεια του Α ερωτήματος. Γ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα από τη μονοτονία της g. (Απ. Β. g στο [,, ] Ελάχιστο για το g( ) 0, Μέγιστο για το g( ))

32 3. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[, ], 0, τέτοια ώστε για τους μιγαδικούς αριθμούς z if ( ) και z if ( ) να ισχύει w Α. Να δείξετε ότι: z iz z iz z z. Β. Να δείξετε ότι ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του Θ. Rolle για την συνάρτηση f( ) g ( ) στο [., ] Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα αν από τη δοθείσα σχέση καταλήξουμε με πράξεις σε κάτι που ισχύει. Β. Το ζητούμενο ( g( ) g( ) ) αποδεικνύεται εύκολα με πράξεις. Γ. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με τη βοήθεια του ερωτήματος Β.

33 33. Θεωρούμε την εξίσωση: z z 0, με z μιγαδικό αριθμό και,. Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο μιγαδικός αριθμός z i, τότε: Α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και καθώς και την άλλη ρίζα z της εξίσωσης. Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ρίζες της παραπάνω εξίσωσης. A z z z z, όπου z, z είναι οι Γ. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z w z, όπου και z, z είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού αριθμού w στο μιγαδικό επίπεδο. Ποια είναι η σχετική θέση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z και z ως προς τον γεωμετρικό τόπο του w ; (Απ. A.,, z i, Β. A 004, Γ. Κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=, Τα σημεία ( z) και ( z) είναι εξωτερικά του κύκλου.)

34 34. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(,0) (0, ) για την οποία ισχύουν: () f( ) 0, για κάθε 0, () (3) f ' ( ) f ( ) 0, για κάθε 0, f () και f( ) e. e Α. Να αποδείξετε ότι: e f ( ), 0. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τον τύπο και το σύνολο τιμών της συνάρτησης: F( ) ( ) f ( t) dt t Γ. Να αποδείξετε ότι: ( ) F( ) f ( ), για κάθε. e Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με κατάλληλο μετασχηματισμό της δοθείσας σχέσης () και λαμβάνοντας υπόψη ότι ' g ( ) g( ) g( ) ce. Β. Προσοχή: Η εύρεση του συνόλου τιμών της F γίνεται με τη χρήση της μονοτονίας της. Γ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα ) από τη μελέτη της μονοτονίας της g( ) ( ) f ( ) και με χρήση της ανισωτικής σχέσης των ολοκληρωμάτων ή ) με χρήση του Θ.Μ.Τ για την F. (Απ. Β. DF (0, ), F( ) e, e F((0, )) (, ) ) e

35 35. Έστω η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f στο [, ] και η συνάρτηση g( ) f ( t) dt, με [, ]. Α. Να δείξετε ότι: y g( ) g( y) g( ), y, y, [, ]. Β. Να δείξετε ότι: g( y) g( ) g( y), με, y, [, ], y,, 0. Γ. Να δείξετε ότι η g παρουσιάζει σε ένα ακριβώς σημείο του [, ] ολικό ελάχιστο. Υπόδειξη: Α. (Ανισότητα Jensen)-άσκηση 7, Β. Αρκεί να αποδείξετε ότι y [, y] και στη συνέχεια να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ στο κατάλληλο διάστημα, Γ. Προσοχή: Μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ έχει ολικό ελάχιστο (ή μέγιστο) τουλάχιστον σε ένα σημείο του Δ. Αρκεί λοιπόν να δειχτεί ότι δεν έχει δεύτερο με την απαγωγή σε άτοπο. (Έστω ότι στα σημεία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Με πράξεις και τη βοήθεια του Α. ερωτήματος g ( ) g ( g( ) g( ) g( ) καταλήγουμε σε άτοπο g( ) g( ), άτοπο καθώς δεν είναι δυνατόν η τιμή g( ) να είναι μικρότερη του ολικού ελαχίστου!)

36 36. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση: ' f ( ) f ( ) e για κάθε και f (0) 0. Α. Να δειχθεί ότι: e f( ) ln Β. Να βρεθεί το: lim 0 0 f ( t) dt Γ. Δίνονται οι συναρτήσεις: 005 ( ) ( ) h t f t dt και Δείξτε ότι h( ) g( ) για κάθε. g ( ) Δ. Δείξτε ότι η εξίσωση t f () t dt έχει μία ακριβώς λύση στο (0,) (Πανελλαδικές Εξετάσεις 005) Υπόδειξη: Α. Αποδείξτε το ζητούμενο με κατάλληλο μετασχηματισμό της δοθείσας σχέσης, Γ. Να αποδείξτε το ζητούμενο χρησιμοποιώντας την παρακάτω ' ' σχέση: f ( ) g ( ) f ( ) g( ) c, Δ. Να εφαρμόσετε κατάλληλο θεώρημα ύπαρξης για κατάλληλη συνάρτηση στο διάστημα [0,]. (Απ. Β. f ( t) dt 0 lim 0 0 )

37 37. Θεωρούμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[, ], τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς, με και τους μιγαδικούς αριθμούς z f ( ) i και w f ( ) i ώστε w z. Α. Να αποδειχτεί ότι: w 4iz w 4iz, Β. Να αποδειχτεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, Γ. Αν ισχύει f ( t) lim dt να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )( t) έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (, ). f ' ( ) Υπόδειξη: Α. Βλέπε άσκηση 3, Β. Βλέπε άσκηση 3, Γ. Με κατάλληλη αντικατάσταση, πράξεις και εφαρμογή του κατάλληλου θεωρήματος ύπαρξης αποδεικνύεται το ζητούμενο.

38 38. Δίνεται το ολοκλήρωμα I d. Να αποδείξετε ότι: e Α. I e d e Β. I Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με την αντικατάσταση: u u (Γενικά πρόκειται για την αντικατάσταση της μορφής u, όπου, τα άκρα του εκάστοτε ολοκληρώματος f ( ) d, η οποία σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη). Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με υπολογισμό του αθροίσματος των δύο ίσων ολοκληρωμάτων I I I...

39 39. Δίνεται η συνάρτηση: f :(, ), f : ή για την οποία ισχύει ότι: Α. Να δείξετε ότι: f( ) ( ) 0 4 tf ( t) dt ln( ), Β. Να βρείτε το εμβαδό που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης: 3 g( ) ( ) f ( ), τους άξονες, y y και την ευθεία =. Γ. Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης: h( ) g( e ) e Υπόδειξη: Α. Να χρησιμοποιήσετε κατάλληλη αντικατάσταση και μετά από διαδοχικές παραγωγίσεις να αποδείξετε το ζητούμενο. Β. Προσοχή: Τα ολοκληρώματα της μορφής τον παρακάτω μετασχηματισμό: d υπολογίζονται εύκολα με a a a a a d d d d... a a a a Γ. Υπολογίστε το όριο: lim h ( ) (Απ. Β. E ln, Γ. Η y= οριζόντια ασύμπτωτη στο + )

40 40. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη δύο φορές στο, με: f() f(3) και 3 f ( ) f (3 ) για κάθε. Να δείξετε ότι η εξίσωση f '' ( ) 0 έχει τουλάχιστον μία λύση. 3 Υπόδειξη: Αρχικά θεωρήστε κατάλληλη συνάρτηση ( H( ) f ( ) f (3 ) ) την οποία και να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα. Στη συνέχεια αποδείξτε το ζητούμενο με τη βοήθεια του Θ. Fermat και τη χρήση του Θ. Rolle στο διάστημα [, 3].

41 4. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [,, ] έχει σύνολο τιμών το [,3] και f ( ), f ( ). Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f( ) 0. Β. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ), Ι. να αποδειχθεί ότι η C f δέχεται δύο τουλάχιστον οριζόντιες εφαπτομένες. ΙΙ. Αν επιπλέον η τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε: ' f είναι συνεχής στο (, ), να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα ' 0 f ( ) [ f ( ) f ( )] 0. ΙΙΙ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον, (, ), με, τέτοια ώστε: f '( ) f '( ) Υπόδειξη: Α. Να αποδείξετε το ζητούμενο με τη βοήθεια του θεωρήματος μέγιστης-ελάχιστης τιμής (Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] και είναι συνεχής σε αυτό, τότε υπάρχουν στοιχεία μ και Μ στο διάστημα [α, β] ώστε f(μ) = min(f) και f(μ) = ma(f). Προσοχή: Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα.) και του Θ. Bolzano. Β. Ι. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια του Α. ερωτήματος και του Θ. Fermat. (Η f παρουσιάζει ακρότατα στα μ, Μ (εσωτερικά σημεία του ' ' (, ) ) και άρα f ( ) f ( ) 0.) ΙΙ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με την εφαρμογή του Θ. Bolzano για τη ' 0 συνάρτηση g( ) f ( ) [ f ( ) f ( )] στο διάστημα [μ, Μ] (, ). ΙΙΙ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ για την f στα διαστήματα [, o ] και [ o, ].

42 4. Αν είναι f συνεχής, f :, f (), z, και t z 5 i f ( t) dt z 5ie dt ( ) Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ(z) (c). Β. Να βρείτε τον τύπο της h ( ) που έχει γραφική παράσταση την (c). Γ. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από H( ) h( t) dt,, yy, =. Υπόδειξη: Α. Θεωρήστε τη t ( ) 5 ( ) 5 ( ) g z i f t dt z ie dt οποία και να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα. την Στη συνέχεια βρείτε το ζητούμενο με τη βοήθεια του Θ. Fermat. Προσοχή: Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία του Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του (Ε Ε). Τα σημεία Ε και Ε λέγονται εστίες της έλλειψης και το (Ε Ε) εστιακή απόσταση της έλλειψης. Η εστιακή απόσταση (Ε Ε) είναι ίση με γ και οι εστίες Ε (-γ,0) και Ε(γ,0). Το σταθερό άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της έλλειψης από τις εστίες της είναι ίσο με α. Η εξίσωση της έλλειψης είναι: y όπου (Απ. Α. Έλλειψη με εξίσωση: y 9 6, Β. h 6 9 ( ) ( 9) Γ. 8 ' ) E H( ) d H( ) d H( ) d... u du

43 43. Δίνεται η συνάρτηση f με f( ),. Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F με e F( ) f ( t) dt είναι γνησίως αύξουσα στο αν f( ) 0. Β. Να λύσετε την εξίσωση f ( t) dt 0. 0 Υπόδειξη: Β. Δεδομένου ότι η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο (Α. ερώτημα) θα είναι και - και επομένως θα ισχύει F( ) F( ). Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να λυθεί με την παραπάνω ιδιότητα. (Σημειώστε επίσης ότι ισχύει ). (Απ. Β. Η ισότητα ισχύει μόνο για =0)

44 44. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f e 3 3 ( ) ( 3) 3 Α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδειχθεί ότι είναι f( ) 0 για κάθε. Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M (, ) για τα οποία ισχύει: y y f ( t) dt 0. 4 (Απ. Α. f στο (,0], f στο [0, ), Ελάχιστο το f (0) 6, Β. Κύκλος με κέντρο Κ(,) και ακτίνα 5 )

45 45. Να αποδείξετε ότι για μια συνάρτηση f : ισχύει: ' f ( ) f ( ) f ( ) ce, όπου c σταθερά. Α. Να βρεθεί η θετική και παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f() t f ( ) ( ) dt t για κάθε. Β. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση (c) διαθέτει δύο σημεία καμπής τα οποία ας σημειώσουμε έστω με Κ και Λ. Γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που οριοθετείται από την (c) και το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια της σχέσης: ' f ( ) f ( ) f ( ) ce. Γ. Η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση: y y y y ( ) y f ( )... Ανάμεσα στα σημεία Κ, Λ η f είναι κοίλη, άρα C f ( ) 0. f (Απ. Α. f ( ) e ( ), Β. f στο, Σ. Κ.: K(-, f ( ) ) και Λ(, f () ), Γ. ) E f ( ) d ( f ( ) ) d...

46 46. Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη, με: f( ) 0 για κάθε [, ] και f( ) e, f( ) e. Α. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε: f '( ) f( ). f( ) Β. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g ( ) 004 έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα. e Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε: f ( ) f ( ) ( )( f ( ) f ( )) 0. ' '' ' o o o o o o Δ. Να υπολογίσετε το γινόμενο: ' f ( ) 004 d d. f( ) ( ) Ε. Έστω συνεχής συνάρτηση h:[, ] για την οποία ισχύει: για κάθε [, ] ( ) h( ) f ( ) ( ) h( ) Να αποδείξετε ότι η h διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα [., ] Υπόδειξη: Α. Θεωρήστε κατάλληλη συνάρτηση ( g( ) ln( f ( )) ) για την οποία να εφαρμόσετε το Θ. Rolle στο διάστημα [α,β]. Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια του Α. ερωτήματος. Γ. Να θεωρήσετε κατάλληλη ' συνάρτηση ( h( ) ( )( f ( ) f ( )) ) για την οποία να εφαρμόσετε το Θ. Rolle στο διάστημα [, ] [, ]. Ε. Το ζητούμενο αποδεικνύεται με απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι η h δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα [., ] Τότε επειδή είναι και συνεχής, σύμφωνα με το Θ. Bolzano θα υπάρχει (, ) ώστε h ( o) 0. Αυτό όμως σημαίνει ότι f( o ) 0 από τη δοσμένη σχέση και είναι άτοπο, δεδομένου ότι f( ) 0 για κάθε [, ]. (Απ. Δ. 004) o

47 47. Δίνεται η συνάρτηση 4 3 f ( ) ( ) η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και έχει σημείο καμπής το (, f ()). Α. Να βρείτε τον τύπο της f. Β. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να δείξετε ότι f ( e ) f ( e ) για κάθε. Δ. Να εξετάσετε αν η f έχει ασύμπτωτες. Ε. Να υπολογίσετε τα όρια: lim log[ f( )], lim log[ ], f( ) lim. log[ f ( )] Στ. Να υπολογίσετε τα: Ι. 3 3 d ' ' και ΙΙ. [ ( )ln[ ( )] ( )] f( ) f f f d. Z. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική f( ) παράσταση της g ( ), του άξονα και τις ευθείες = και =. Υπόδειξη: Γ. Αρκεί να δείξετε ότι e e, για κάθε και το ζητούμενο προκύπτει εύκολα από την μονοτονία της f ( f για e 0). 4 3 (Απ. Α. f ( ), Β. f στο (, ], f στο [,] και [, ), Τ.Ε. το f ( ), Δ. Δεν έχει ασύμπτωτες, Ε. lim log[ f( )], 6 lim log[ ], lim 0, Στ. Ι. ln 4 3 c, f( ) log[ f( )] ΙΙ. f ( ) ln( f ( )) c, Ζ. E ln τ.μ.) 3

48 48. Έστω (C) ο γεωμετρικός τόπος, των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z3i. Θεωρούμε επίσης (ε) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z z 4. Α. Αν z μιγαδικός με εικόνα στον (C), να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση: 90 z 90 z 4 z( z) ( )( ) z 5 5 Β. Αν z μιγαδικός με εικόνα στον (ε) και w i να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση: w z. Γ. Έστω z ο μιγαδικός που έχει εικόνα το κοινό σημείο των (C) και (ε). Αν ο z είναι λύση της εξίσωσης 0, με,, τότε να βρεθούν οι., Δ. Έστω (C κ ) ο γεωμετρικός τόπος των z για τους οποίους ισχύει: z3i με (0, ). Να βρείτε για ποιες τιμές του οι (C ) και (ε) έχουν δύο κοινά σημεία. Ε. Έστω (ε λ ) ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z z, με. Να βρείτε για ποιες τιμές του οι (ε λ ) και (C) έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο. (Απ. Α. 004, Β. wz 004, Γ., min 3, Δ. κ>, Ε. 4 )

49 49. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο και η συνάρτηση g με τύπο: 0. g( ) f ( t) dt f ( t ) dt Α. Να δείξετε ότι g( ) ( ) f ( t) dt. 0 Β. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (,0) τέτοιο ώστε να ισχύει: Γ. Αν ' f ( ) ( ) f ( ) 0 στρέφει τα κοίλα άνω. Δ. Αν είναι γνωστό ότι 0 f ( t) dt ( ) f ( ). για κάθε, να δείξετε ότι η συνάρτηση g f ' (0) f (0) 0 και η δείξετε ότι ορίζεται η 3 η παράγωγος της g στο 0 και ισούται με ' f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να g (0) f (0). (3) '' Ε. Αν είναι γνωστό ότι f( ) 0 για κάθε [0,] και g() 40, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες 0,. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με κατάλληλη αντικατάσταση στο ο ολοκλήρωμα της δοθείσας σχέσης. Β. Εφαρμόστε το Θ. Rolle στο διάστημα [,0] για τη συνάρτηση g. ( ) Γ. Αρκεί να δείξετε ότι g '' ( ) 0 για κάθε. Δ. Να αποδείξετε το ζητούμενο με τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου σε σημείο. (Απ. Ε. Με τη βοήθεια του Α. ερωτήματος αποδεικνύεται ότι: Ε=006 τ.μ.)

50 50. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο (0, ) συνάρτηση f, για την οποία ισχύει: 5 4 f ( t) dt, για κάθε (0, ). Α. Να δείξετε ότι για κάθε 0 υπάρχει τέτοιo ώστε: Β. Να βρείτε τον τύπο της f. ( ) ( ) 5 8 f t dt f t dt. Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f, η οποία διέρχεται από το σημείο Α(0,-40). Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για κατάλληλη συνάρτηση ( g( ) f ( t) dt [, +]. 5 4 ) στο διάστημα (Απ. Β. f ( ) με (0, ), Γ. y4 40 )

51 5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και για κάθε ισχύει: τότε: Α. Να βρείτε τη συνάρτηση f. ( ) f e e f ( ) d, Β. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο της βρίσκεται κάτω από την C f. 0 Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν θέσετε e f ( ) d c. 0 Β. Για να βρίσκεται η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο της κάτω από την αρκεί η f να είναι κυρτή σε όλο το. C f, (Απ. Α. f ( ) e e, Β. ( e) '' f ( ) e 0 )

52 5. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) dt με [0, ] 3 t Α. Να βρείτε την παράγωγο και το πρόσημο της f. Β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d. 3. Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία =π. Υπόδειξη: Β. Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα με κατάλληλη αντικατάσταση (u ). (Απ. Α. ' f ( ) dt 3 t 3, Ισχύουν ότι: f '( ) 0, f '( ) 0, Από την μονοτονία προκύπτει: f( ) 0 για κάθε [0, ], Β. ln 3, Γ. 4 f ( ) d f ( ) d... ln 3 4 )

53 53. Δίνεται οι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο με κάθε. f '' ( ) 0 για Έστω και η συνάρτηση g με τύπο: g( ) f ( t) dt,. 5 Να αποδείξετε ότι: A. Η g είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε ισχύει: Β. Η εξίσωση έχει λύση στο διάστημα (0,). g '( ) g '( ). 5 f ( ) f (5 ) f ( t) dt Γ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g έχει μόνο ένα σημείο καμπής το οποίο και να βρείτε. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα μετά από πράξεις. Β. Εφαρμόστε το Θ. Rolle στο διάστημα [0,] για κατάλληλη συνάρτηση. Γ. Βρείτε το g '' ( ) και με τη βοήθεια της δοθείσας σχέσης f '' ( ) 0 αποδείξτε το ζητούμενο. Προσοχή: Μην ξεχνάτε ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι και -. (Απ. Γ. Η g έχει σημείο καμπής το Α(,0))

54 dt 54. Δίνεται η συνάρτηση f( ),. t Α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 0 Β. Να αποδείξετε ότι ln( ) dt dt t t 0 0,. Γ. Να αποδείξετε ότι f ( ),,. Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g ( ) τον άξονα και τις ευθείες =0 και =. Υπόδειξη: Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια της μονοτονίας της f( ). Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην ισοδύναμη σχέση ln( ) την οποία και αποδεικνύουμε μελετώντας την μονοτονία της συνάρτησης: h( ) ln( ),. Γ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα μετά τον υπολογισμό της παραγώγου ( f( )) '. Δ. Να αποδείξετε το ζητούμενο με τη βοήθεια του ερωτήματος Γ. (Δίνεται ότι ) 4 (Απ. Δ. ) 4

55 55. Δίνεται η συνάρτηση f :(0, e) με f () 0 η οποία για κάθε (0, e) ικανοποιεί τη σχέση ' ln( ( )) ( ) ln f f. Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Β. Αν f ( ) ln( ln ), (0, e). Ι. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, e ). ΙΙ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. ΙΙΙ. Να βρείτε την τιμή του για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. ΙV. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης τιμές του. ln, για τις διάφορες e Υπόδειξη: Α. Βρείτε την ζητούμενη συνάρτηση με κατάλληλο μετασχηματισμό ' της δοθείσας σχέσης ln( f ( )) f ( ) ln και χρησιμοποιώντας την γνωστή ιδιότητα: ' ' h ( ) g ( ) h( ) g( ) c, Β. ΙΙΙ. Μελετήστε την μονοτονία της για να βρείτε το ζητούμενο, Β. ΙV. Με κατάλληλο μετασχηματισμό της δοθείσας σχέσης (λογαριθμίζουμε κατά μέλη) και με τη βοήθεια των προηγούμενων ερωτημάτων να βρείτε το ζητούμενο. f ' (Απ. Α. f ( ) ln( ln ), (0, e), Β. ΙΙ. f ( ) η εξίσωση f( ) έχει μοναδική λύση), ΙΙΙ. =, ΙV. Για κάθε

56 56. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: ' f ( ) e e για κάθε. Α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο. Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Υπόδειξη-Λύση: Γ. Για κάθε είναι f ' ( ) 0, που σημαίνει ότι f. Επειδή επιπλέον η f είναι και συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι f ( ) ( lim f ( ), lim f ( )). Για κάθε (,0) g( ) g(0)... f ( ) f (0) Όμως είναι: lim ( f(0)), που σημαίνει ότι f (0) 0 f ( ) 0 σε περιοχή του. Άρα έχουμε: f ( ) f (0) 0. f ( ) f (0) Επιπλέον είναι: lim 0 f(0) και από το Κριτήριο Παρεμβολής θα είναι και lim 0. Επειδή f( ) lim 0 και f( ) 0 σε περιοχή του, f( ) συμπαιρένουμε ότι lim f( ). Με αντίστοιχο ακριβώς τρόπο αποδεικνύεται ότι lim f( ). (Απ. Α. Η f είναι κυρτή στο (,0] [, ), η f είναι κοίλη στο [0,], Γ. f ( ) (, ) )

57 57. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[, ] με 0 τέτοια, ώστε για τους μιγαδικούς z if ( ) και z if ( ) να ισχύει w Α. Να αποδείξετε ότι z iz z iz. z z. f( ) Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [., ] Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Δ. Αν ισχύει f ( t) lim dt, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )( t) f ' ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα αν από τη δοθείσα σχέση καταλήξουμε με πράξεις σε κάτι που ισχύει. Εναλλακτικά το ζητούμενο προκύπτει και με ευθεία απόδειξη με χρήση της ιδιότητας z z και πράξεις. Β. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με πράξεις. Δ. Θεωρείστε κατάλληλη συνάρτηση για την οποία να εφαρμόσετε το θεώρημα Rolle στο (, ).

58 58. Έστω συνεχής συνάρτηση f :(0, ), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: t f ( ) dt f () t για κάθε (0, ). te ( ) Α. Να αποδείξετε ότι, (0, ). f ( ) e f ( ) ln Β. Να αποδείξετε ότι f ( ) ln, (0, ). Γ. Αν 0 να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). Δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης g, για την οποία ισχύει e g ( ) f για κάθε (0, ) και () g. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με παραγώγιση της συνάρτησης f( ). Β. Θεωρείστε κατάλληλη συνάρτηση ( ( ) e, ) και αποδείξτε μέσω της μονοτονίας της, ότι αυτή είναι -. Κατόπιν αποδείξτε το ζητούμενο με κατάλληλο μετασχηματισμό της σχέσης του Α ερωτήματος. Προσοχή: Ισχύει ότι: ln e. Γ. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με χρήση του Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f( ) σε κατάλληλα διαστήματα και από τη μονοτονία της f ' ( ). Δ. Αρχικά βρείτε τον τύπο της g ( ) και κατόπιν τη μονοτονία της. (Απ. Δ. g( ) [, ) )

59 59. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, με f (0) 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f ( ) e για κάθε. Α. Να αποδείξετε ότι Β. Να αποδείξετε ότι f ' (0). f ( ) lim. 0 Γ. Αν f ( ) e d, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στο διάστημα [0,]. 0 Υπόδειξη: Α. Θεωρείστε κατάλληλη συνάρτηση και αποδείξτε το ζητούμενο με τη χρήση του θεωρήματος Fermat. Β. Για να βρείτε το ζητούμενο όριο να κάνετε χρήση του Α. ερωτήματος και του ορισμού της παραγωγισιμότητας σε σημείο. Γ. Λύση: Έχουμε για κάθε ότι: f e f e e f e e h ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 Θέτουμε h( ) f ( ) e e,. Με πράξεις αποδεικνύεται ότι: h( ) d 0. 0 Έχουμε λοιπόν ότι: h ( ) 0 και h( ) d 0 (). 0 Έστω ότι υπάρχει o [0,] τέτοιο ώστε h ( o) 0. Τότε είναι h ( o) 0. Άρα η συνεχής συνάρτηση h ( ) δεν είναι παντού μηδέν, οπότε h( ) d 0 που είναι όμως άτοπο λόγω της (). Επομένως για [0,] είναι h( ) 0 f ( )... 0 (Απ. Γ. f ( ) e )

60 60. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με ικανοποιεί τη σχέση: ' f f e ( ) ( ) ( e ) e Α. Να βρείτε το ολοκλήρωμα d. ( e ) για κάθε f (), η οποία e *. Β. Να αποδείξετε ότι f( ) e Γ. Να αποδείξετε ότι f (0) και για κάθε (0, ). f (0). ' Υπόδειξη: Α. Να βρείτε το ζητούμενο με κατάλληλη αντικατάσταση. Β. Να αποδείξετε το ζητούμενο με κατάλληλο μετασχηματισμό της δοθείσας σχέσης και με τη βοήθεια του Α. ερωτήματος. Γ. Να αποδείξετε τα ζητούμενα με τη βοήθεια του ορισμού της συνέχειας και της παραγωγισιμότητας στο σημείο o 0. e (Απ. Α. d c ) ( e ) e

61 6. Δίνεται η συνάρτηση f, που είναι ορισμένη και συνεχής στο και ικανοποιεί τη σχέση 0, για κάθε. 0 f ( ) ( f ( t) d) dt Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο. Β. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Γ. Αν,, τότε: f ( ) e I. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. II. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Υπόδειξη-Λύση: Β. Ξεκινάμε από την αποδειχθείσα σχέση του ερωτήματος Α. και με κατάλληλες πράξεις καταλήγουμε στο ζητούμενο: e ' ' ' f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) e e ' f (0) 0 ( ) ( ) ( ) ( )... f e e f e e d f e e d f (Απ. Α. f ' ( ) f ( ),, Β.,, Γ. f στο f ( ) e (,0], f στο [0, ), Ελάχιστο στο 0 το f (0) 0, Δ. f ( ) [0, ) ) o

62 6. Έστω συνεχής συνάρτηση f :, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f ( ) dt για κάθε. 3 f ( t) 0 Α. Να αποδείξετε ότι f 3 ( ) f ( ) για κάθε. Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. 3 f ( t) dt 0 Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα o (0,) τέτοιο ώστε f '( o) o. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα με παραγώγιση της συνάρτησης f( ). Β. Αρκεί να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα) στο. Γ. Παρατηρείστε ότι το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι η ποσότητα f (). Κατόπιν υπολογίστε το ολοκλήρωμα με τη βοήθεια του Α. ερωτήματος και με χρήση του σχήματος Horner. Δ. Εφαρμόστε το Θ. Rolle στο διάστημα [0,] για κατάλληλη συνάρτηση. (Απ. Γ. 3 f ( t) dt ) 0

63 63. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση Να αποδείξετε ότι: ' f ( ) f ( ) f ( ) (), όπου, με 0 (). Α. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Β. Η συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ) είναι γνησίως αύξουσα και ότι f ( ) f ( ). Γ. Η εξίσωση f( ) 0 έχει μια ακριβώς λύση στο (, ). Δ. Υπάρχουν,, 3 τέτοια, ώστε να ισχύει: f ( ) f ( ) f ( ) 4. f ( ) f ( ) f ( ) ' ' ' 3 Υπόδειξη: Α. Εφαρμόστε το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [, ] και χρησιμοποιώντας την σχέση () ( f ' ( ) f( ), (, ) ) δείξτε ότι f ( ) 0. Β. Η ζητούμενη σχέση συνάρτησης g. ( ) f ( ) f ( ) προκύπτει εύκολα από την μονοτονία της Γ. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με εφαρμογή του Θ. Bolzano για την f στο διάστημα [, ]. Προσοχή: Προκειμένου να εφαρμόσετε το Θ. Bolzano πρέπει αρχικά να αποδειχτεί ότι f ( ) 0 (εφαρμόστε το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [, ] και δείξτε το ζητούμενο με τη βοήθεια της σχέσης ()). Μην ξεχνάτε ότι η μοναδικότητα της λύσης εξασφαλίζεται από την μονοτονία της f. Δ. Έχουμε ότι, όπου η ρίζα της f( ) 0 (ερώτημα Γ.). Το ζητούμενο αποδεικνύεται με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [, ], [, ] και [, ] και πράξεις.

64 64. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[0, ), η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0, ) και ικανοποιεί τις σχέσεις: '' 3 4 f ( )( f ( )) για κάθε (0, ) () f ' ( ) 0 για κάθε (0, ) () ' f () f() (3) Α. Να αποδείξετε ότι f( ) 0 για κάθε (0, ). Β. Να αποδείξετε ότι ' ( f ( ) f ( )) για κάθε (0, ). Γ. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Δ. Αν f ( ), 0, τότε: I. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της (, f ( )), με 0. II. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα. III. Αν ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f έτσι, ώστε να απομακρύνεται από τον άξονα y y με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του χωρίου Ω τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του είναι ίση με 4 μονάδες. IV. Να βρείτε (, ) τέτοιο, ώστε η ευθεία με εξίσωση να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισοεμβαδικά χωρία. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με απαγωγή σε άτοπο (Έστω ότι υπάρχει o (0, ) τέτοιο ώστε f( o ) 0 τότε από την () καταλήγουμε εύκολα σε άτοπο).

65 Β. Ξεκινώντας από τη σχέση () και με τη βοήθεια της () και κατάλληλους μετασχηματισμούς αποδεικνύουμε το ζητούμενο. Πιο συγκεκριμένα για κάθε (0, ) είναι: () '' 3 '' 3 ' ' 4 f ( )( f ( )) 4 f ( )( f ( )) f ( ) f ( )... ' ' ( f( )) ( f ( ))... Γ. Βρείτε το ζητούμενο με τη βοήθεια του Β. ερωτήματος ' ' ( f ( ) f ( )) f ( ) f ( ) f ( )... Προσοχή: Είναι ' ' g( ) f ( ) f ( ) 0 και παράλληλα από την (3) προκύπτει ότι η g ( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο και μάλιστα θετικό g ( ) 0 για κάθε (0, ). Δ. IV. Δίνεται το ακόλουθο βοηθητικό σχήμα: (Απ. Γ. f ( ), Δ. I. ( ) : y 0, II., [0, ) 6 3 III. ' ( t o ) τ.μ./sec, IV. ) 3 3 τ.μ.,

66 65. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f '' ( ) f ( ) (4 ) e, για κάθε (), f ' (0) f(0) 0 () Α. Να αποδείξετε ότι f ( ) e,. Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, (,) τέτοια, ώστε f '' ( ) f ( ) 3. '' Ε. Να υπολογίσετε το όριο lim f ( t) dt. Υπόδειξη: Α. Το ζητούμενο αποδεικνύεται σχετικά δύσκολα από τη σχέση () με κατάλληλες πράξεις (Αρχικά προσθαφαιρέστε την ποσότητα f ' ( ) στο αριστερό μέλος της () και κατόπιν πολλαπλασιάστε κατά μέλη με την ποσότητα Συνεχίστε με κατάλληλες πράξεις... Θα προκύψει μία σχέση που περιέχει την f ' ( ) και την f( ). Πολλαπλασιάστε κατά μέλη με την ποσότητα e. e και συνεχίστε με πράξεις για να δείξετε το ζητούμενο). Δ. Εφαρμόστε το Θ.Μ.Τ για την διαστήματα [, 0] και [0,]. Ε. Για t [, ] με f t f ( ) f ( t) f ( ) ' f στα είναι: Άρα έχουμε: f ( ) dt f ( t) dt f ( ) dt... f ( ) f ( t) dt f ( ) Από το Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο. (Απ. Β. Η y=0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της (, ] [0, ), f στο [,0], Τ.Μ. στο με στο 0 με f (0) 0, Ε. f t dt lim ( ) 0 ) C f στο, Γ. f στο f( ) 4 e, Ολικό. Ελ.

67 66. Δίνεται η συνάρτηση 3 t f ( ) e dt. Να αποδείξετε ότι: 0 A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο. Β. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f, στο σημείο της Ο(0,0) είναι ο άξονας. Γ. Δ. f ( ) 3 9 για κάθε f ( ) d e d e Υπόδειξη: Γ. Για να αποδείξετε το ζητούμενο να θεωρήσετε κατάλληλη 9 συνάρτηση ( g( ) f ( ), ) την οποία και να μελετήσετε ως προς την 3 μονοτονία. Προσοχή: Για κάθε ισχύει ότι e (χρειάζεται πάντα απόδειξη όταν χρησιμοποιείται) Δ. Με κατάλληλες πράξεις αποδεικνύεται το ζητούμενο. 3 ' 6 f ( ) d e d 6 f ( ) d e d... e (Απ. Α. 6,, Β. ( ) : y 0 ' f ( ) 3 e )

68 67. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :(0, ), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f () t f ( t) dt ln ln dt du 4 t u, 0 () Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη με να βρείτε στη συνέχεια τον τύπο της f. ' f( ), 0 και Β. Αν f ( ) ( )ln, 0 τότε: I. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f και να βρείτε το σύνολο τιμών της f. II. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 e, 0 έχει μία ακριβώς θετική ρίζα. ' Υπόδειξη: Β. Ι. Προσοχή: Η παράγωγος της f είναι ίση με f ( ) ln, 0. Προκειμένου να καθορίσουμε το πρόσημό της, εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση g( t) ln t στο διάστημα [, ], 0. Με αυτό τον τρόπο και μετά από πράξεις καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ln 0. II. Μετά από κατάλληλες πράξεις καταλήγουμε στο ότι f( ) 0. Δεδομένου ότι η f είναι - ως γνησίως φθίνουσα και ο αριθμός 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f, τότε η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία θετική ρίζα. (Απ. Α. f ( ) ( )ln, 0, Β. I. Για κάθε (0, ) η f είναι γνησίως φθίνουσα, Η ευθεία =0 (άξονας y y) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f, η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο, f ( ) (, ) )

69 68. Έστω οι δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(0, ), η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: ' f ( f ( )) f ( ) 0, για κάθε (0, ) () f ' ( ) 0, για κάθε (0, ) () f () 0 (3) Α. Ι. Να βρείτε το f ' (). ΙΙ. Να αποδείξετε ότι ' ' f ( f ( )), (0, ). Β. Να αποδείξετε ότι f ( ) ln, (0, ). Υπόδειξη: Α. Ι. Το ζητούμενο μπορεί να βρεθεί εύκολα δεδομένου ότι η συνάρτηση f είναι - ως γνησίως αύξουσα για (0, ). ΙΙ. Το ζητούμενο προκύπτει εύκολα με τη βοήθεια της σχέσης () (Να θέσετε όπου το f ' ( ) και κατόπιν να προσθέσετε κατά μέλη την ποσότητα f( ). Με κατάλληλες πράξεις προκύπτει τελικά το ζητούμενο). Β. Για να βρούμε τον τύπο της f, αρχικά παραγωγίζουμε κατά μέλη την σχέση () και συνεχίζουμε με πράξεις χρησιμοποιώντας και το ερώτημα Β. (Απ. Α. Ι. f ' () )

70 69. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: u tf ( t) dt f ( t) dt du f (0) 0 () f ' (0) (3), για κάθε () Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε τον πραγματικό αριθμό. Β. Να αποδείξετε ότι f ( ),. Υπόδειξη: Α. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,0) (0, ) διότι ο τύπος της, προκύπτει μετά από πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε καθένα από τα διαστήματα. Επιπλέον από τη σχέση (3) προκύπτει ότι η f είναι παραγωγίσιμη και στο o 0, άρα είναι παραγωγίσιμη στο. Από τον ορισμό της παραγώγου σε σημείο είναι εύκολο να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός. Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται μετά από διπλή παραγώγιση της σχέσης ().

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 6 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:// ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Έστω η συνεχής συνάρτηση :, με ( ) α. Να δείξετε ότι ( )

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα