ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου 005 Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 4 του συγγράµµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου. Μελετήστε καλά την Ενότητα, σελ.. Άσκηση (0 µονάδες) i. Κάνετε πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις και γράψτε το αποτέλεσµα στη µορφή a + ib, όπου a, b πραγµατικοί αριθµοί: α. + + i i ii. Βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης x i β. (3 µονάδες) i + 64i = 0, ως σηµεία στο µιγαδικό επίπεδο. Τι σχήµα φτιάχνουν τα σηµεία αυτά αν ενωθούν µεταξύ τους διαδοχικά µε ευθύγραµµα τµήµατα; (4 µονάδες) iii. Βρείτε το σύνολο των µιγαδικών αριθµών z = x+ iy που ικανοποιούν ταυτόχρονα: ( + i) = και z ( i) z = (3 µονάδες) και σχολιάστε την γεωµετρική ερµηνεία τους.

2 Μελετήστε καλά την Ενότητα, σελ Άσκηση (3 µονάδες) i. Να βρεθούν τα όρια των ακολουθιών : α. + 3 = 4 + x β. y + =, > + γ. z = (9 µονάδες) (Υπόδειξη: Για το β. βλ. Άσκηση Αυτοαξιολόγησης β, σελ. 6 και για το γ., βλ. και το Παράδειγµα στη σελ. 5). ii. a, Ένας ορισµός συγκλίνουσας ακολουθίας είναι και ο εξής: Μία ακολουθία N συγκλίνει σε ένα πεπερασµένο όριο, α, αν, για κάθε ε > 0, υπάρχει 0 τέτοιος ώστε, για κάθε > 0, ισχύει α α < ε. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό αυτό εξετάστε αν οι κάτωθι ακολουθίες συγκλίνουν και αν ναι σε ποιο όριο: ( ) a = +, b = ( ) + (4 µονάδες)

3 Οι επόµενες ασκήσεις αφορούν προβλήµατα σειρών, για τα οποία πρέπει να µελετήσετε την Ενότητα 3. Άσκηση 3 (5 µονάδες) i. Εξετάστε αν συγκλίνουν οι σειρές : α. β. + =! cos( πα) γ. (9 µονάδες) b = = + ii. εχόµαστε το ακόλουθο Θεώρηµα (Κριτήριο Leibiz): Αν η ακολουθία των θετικών όρων a έχει όριο το µηδέν και είναι φθίνουσα, τότε η σειρά συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό. Χρησιµοποιώντας το παραπάνω θεώρηµα εξετάστε τη σύγκλιση των σειρών + = 0 ( ) a α. + = ( ) + β. + ( ) ( + ) = 3 + (6 µονάδες) 3

4 Άσκηση 4 (0 µονάδες) i. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα, αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας: α. Είναι δυνατόν να συγκλίνουν ταυτόχρονα οι αριθµητικές σειρές όπου α µη µηδενικοί πραγµατικοί αριθµοί; β. Αν οι αριθµητικές σειρές α και = συγκλίνει; ii. Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσµατα : β συγκλίνουν, η σειρά = = α, = α β, α = ( µονάδες) ( µονάδες) α. β. = + ( )( ) (6 µονάδες) 5 = 4

5 Άσκηση 5 (4 µονάδες) i. ίνονται οι συναρτήσεις : f ( x) = x και g( x) = x x Προσδιορίστε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών τους. Ελέγξετε ως προς τη µονοτονία τις παραπάνω συναρτήσεις και βρείτε τις αντιστρόφους τους όπου ορίζονται. Υπολογίστε τη σύνθεση των συναρτήσεων f g και g f, όπου αυτή ορίζεται. ii. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια, στην περίπτωση που αυτά υπάρχουν: (8 µονάδες) α. lim x 3 x 3 x + x + β. x lim x 5 x + 4 x + 3 x γ. lim x si( ) (6 µονάδες) x + x 5

6 Οι επόµενες ασκήσεις αφορούν προβλήµατα οριακών τιµών µιας συνάρτησης, για τα οποία πρέπει να µελετήσετε την Ενότητα 4. Άσκηση 6 (4 µονάδες) i. Να βρεθούν οι τιµές των πραγµατικών αριθµών a,b ώστε : ( ) lim x + x + x+ ax b = (7 µονάδες) ii. ίνεται η συνάρτηση f ( x) ax + b x x = 3 x + + x x > x Για ποιες τιµές των a,b η συνάρτηση είναι συνεχής στο x = ; (7 µονάδες) 6

7 Άσκηση 7 (4 µονάδες) i. Έστω A πίνακας, τέτοιος ώστε το άθροισµα των στοιχείων της διαγωνίου του να ισούται µε. Αν Ι ο µοναδιαίος πίνακας, αποδείξτε ότι ο πίνακας Α δεν είναι det[ xa+ ( x) I] αντιστρέψιµος, όταν lim είναι πραγµατικός αριθµός. x x ii. Έστω A πίνακας 3 3, τέτοιος ώστε A A I = 0 και η συνάρτηση 3 det[ xa ( I)] x 8, x f( x) = x. a, x= (7 µονάδες) Αν η f ( x ) είναι συνεχής στο x =, να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα Α και την τιµή της συνάρτησης f ( ) = a. (7 µονάδες) 7

8 Άσκηση 8 (0 µονάδες) i. (α) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του λόγου, να βρεθούν όλες οι τιµές του x για τις οποίες συγκλίνουν οι σειρές: + = ( x + ) 6 + = x x + (5 µονάδες) ii. Έστω η πραγµατική συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε f ( x+ y) = f( x) + f( y) για κάθε x,y R. Aποδείξτε πρώτα ότι f ( x) = f ( x), για κάθε x R και φυσικό αριθµό. Κατόπιν δείξτε ότι f (0) = 0 και εξηγείστε γιατί f ( x) = f ( x), για κάθε x R και ακέραιο αριθµό. (5 µονάδες) H άσκηση που ακολουθεί είναι προαιρετική και µπορεί να λυθεί στον υπολογιστή σας µε τη βοήθεια του MATLAB ή της Octave. 8

9 Άσκηση 9 i. Με τη βοήθεια του προγράµµατος του MATLAB ή της Octave, υπολογίστε τους 0 a + 3 πρώτους όρους της ακολουθίας a+ = µε a 0 = 5. Τι συµπεραίνετε για τη a + 4 σύγκλιση της ακολουθίας καθώς ; Στη συνέχεια σχεδιάστε τη γραφική παράσταση των σηµείων αυτών. (5 µονάδες) Υπόδειξη: Για να υπολογίσετε τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας, oρίστε πρώτα ένα διάνυσµα µε ένα στοιχείο το a 0 =, ως εξής: >>akol=[] Στη συνέχεια µε τη χρήση της εντολής επανάληψης, for,δηµιουργείστε τους επόµενους όρους της ακολουθίας και προσθέστε τους στο τέλος του διανύσµατος akol. Αυτό µπορεί να γίνει µε την εντολή >> for =:0,akol=[akol;(*akol(-)+3)/(akol(-)+4)];ed Μετά, δείτε τους όρους της ακολουθίας µε την εντολή >>akol αφού πρώτα εκτελέσετε την εντολή >> format log ώστε να βλέπετε τα στοιχεία µε δεκαέξι ψηφία. Στη συνέχεια µε την εντολή plot κάντε το γράφηµα των όρων. >> plot(akol) Για να αντιγράψετε το γράφηµα από την Octave στο Word, στο παράθυρο µε το γράφηµα κάνετε δεξί κλικ στη λωρίδα τίτλου και από την επιλογή Optios επιλέγετε Copy to Clipboard. Στη συνέχεια κάνετε Paste στο Word. Στο MATLAB είναι πιο απλό µιας και υπάρχει διαθέσιµη επιλογή στα µενού του παράθυρου του γραφήµατος. ii. Με τη βοήθεια του MATLAB ή της Octave, υπολογίστε τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας µερικών αθροισµάτων s =, s = +, s 3 = , s 0 = και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση των όρων αυτών. Τι συµπεραίνετε για την σύγκλιση της σειράς ; Εργασθείτε όµοια για τα µερικά αθροίσµατα k = s =, =,,..., 0 και γράψτε τις παρατηρήσεις σας για την σύγκλιση της k = σειράς. (5 µονάδες) k = Υπόδειξη: ηµιουργείστε ένα διάνυσµα µε όρους τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας. Για να το κάνετε αυτό χρησιµοποιείστε τις διανυσµατικές πράξεις (vectorized)./ και.^ οι οποίες εφαρµόζονται ανάµεσα σε διανύσµατα, ή διανύσµατα και αριθµούς, στοιχείο προς στοιχείο διανύσµατος. Για παράδειγµα για να ορίσω τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας µπορώ να πληκτρολογήσω 9

10 >> a=./([:0].^) Στη συνέχεια εφαρµόστε στο διάνυσµα την εντολή cumsum >> b=cumsum(a) η οποία επιστρέφει διάνυσµα που περιέχει στην κ θέση τα αθροίσµατα των κ πρώτων στοιχείων του a (cumulative sum). Στη συνέχεια µε την plot κάνετε το γράφηµα που σας ζητείται: >> plot(b) Επαναλάβατε τα ίδια για τα µερικά αθροίσµατα s =, =,,..., 0. Για να αντιγράψετε το γράφηµα από την Octave στο Word, στο παράθυρο µε το γράφηµα κάνετε δεξί κλικ στη λωρίδα τίτλου και από την επιλογή Optios επιλέγετε Copy to Clipboard. Στη συνέχεια κάνετε Paste στο Word. Στο MATLAB είναι πιο απλό µιας και υπάρχει διαθέσιµη επιλογή στα µενού του παράθυρου του γραφήµατος. k = ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟ ΤΟ 005 ΜΕ ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ ΣΤΟ ΕΑΠ!