Παρουσίαση Διπλωματικής

Transcript

1 Παρουσίαση Διπλωματικής ΘΕΩΡΙΕΣ ΠΕΔΙΟΥ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΑΠ 2 Σεπτεμβρίου 2012

2 Περιεχόμενα 1 2 3

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων στον τετραδιάστατο χωροχρόνο δεν είναι μια καινούργια ιδέα, αλλά μια ιδέα που ξεκίνησε στη Φυσική εδώ και σχεδόν 100 χρόνια

4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων στον τετραδιάστατο χωροχρόνο δεν είναι μια καινούργια ιδέα, αλλά μια ιδέα που ξεκίνησε στη Φυσική εδώ και σχεδόν 100 χρόνια 1914 Η ιδέα για τη χρησιμοποίηση έξτρα χωρικών διαστάσεων ξεκίνησε το 1914 από το Nordstrӧm, που πρότεινε μια πενταδιάστατη διανυσματική θεωρία για τη ταυτόχρονη περιγραφή του Ηλεκτρομαγνητισμού και μιας βαθμωτής εκδοχής της βαρύτητας Πάντως ο Nordström δούλευε πάνω σε μια βαθμωτή θεωρία της βαρύτητας, και όχι σε μία θεωρία τανυστών όπως η γενική θεωρία της σχετικότητας, που ακόμη δεν είχε δημοσιευθεί Όταν ο Einstein δημοσίευσε τη γενική θεωρία της σχετικότητας, ο Nordström εγκατέλειψε τη θεωρία του Gunnar Nordstrӧm

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων στον τετραδιάστατο χωροχρόνο δεν είναι μια καινούργια ιδέα, αλλά μια ιδέα που ξεκίνησε στη Φυσική εδώ και σχεδόν 100 χρόνια 1914 Η ιδέα για τη χρησιμοποίηση έξτρα χωρικών διαστάσεων ξεκίνησε το 1914 από το Nordstrӧm, που πρότεινε μια πενταδιάστατη διανυσματική θεωρία για τη ταυτόχρονη περιγραφή του Ηλεκτρομαγνητισμού και μιας βαθμωτής εκδοχής της βαρύτητας Πάντως ο Nordström δούλευε πάνω σε μια βαθμωτή θεωρία της βαρύτητας, και όχι σε μία θεωρία τανυστών όπως η γενική θεωρία της σχετικότητας, που ακόμη δεν είχε δημοσιευθεί Όταν ο Einstein δημοσίευσε τη γενική θεωρία της σχετικότητας, ο Nordström εγκατέλειψε τη θεωρία του Η ιδέα όμως των έξτρα διαστάσεων είχε μπει στο παιχνίδι Gunnar Nordstrӧm

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης Μια από τις πρώτες πιθανές ενοποιήσεις των γνωστών τότε αλληλεπιδράσεων, δηλαδή της βαρύτητας και του ηλεκτρομαγνητισμού, προτάθηκε από τους Kaluza και Klein Βαρύτητα και ηλεκτρομαγνητισμός είναι όμοιες σε πολλά πράγματα, αλλά η συσχέτιση τους δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται από το γεγονός ότι και οι δύο στην κλασσική φυσική περιγράφονται από το νόμο του αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης Μια από τις πρώτες πιθανές ενοποιήσεις των γνωστών τότε αλληλεπιδράσεων, δηλαδή της βαρύτητας και του ηλεκτρομαγνητισμού, προτάθηκε από τους Kaluza και Klein Βαρύτητα και ηλεκτρομαγνητισμός είναι όμοιες σε πολλά πράγματα, αλλά η συσχέτιση τους δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται από το γεγονός ότι και οι δύο στην κλασσική φυσική περιγράφονται από το νόμο του αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης F w = G m 1m 2 r 2

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το μοντέρνο ρεύμα στη θεωρητική φυσική είναι η εξερεύνηση για μια θεωρία που θα μας δίνει τη δυνατότητα της ενοποίησης της Βαρύτητας με τις υπόλοιπες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της φύσης Μια από τις πρώτες πιθανές ενοποιήσεις των γνωστών τότε αλληλεπιδράσεων, δηλαδή της βαρύτητας και του ηλεκτρομαγνητισμού, προτάθηκε από τους Kaluza και Klein Βαρύτητα και ηλεκτρομαγνητισμός είναι όμοιες σε πολλά πράγματα, αλλά η συσχέτιση τους δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται από το γεγονός ότι και οι δύο στην κλασσική φυσική περιγράφονται από το νόμο του αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης F w = G m 1m 2 q r 2 F c = k 1 q 2 c r 2

10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχετικιστικά, για παράδειγμα, οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του Maxwell, είναι γραμμικές,

11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχετικιστικά, για παράδειγμα, οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του Maxwell, είναι γραμμικές, ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein, είναι μη γραμμικές

12 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχετικιστικά, για παράδειγμα, οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του Maxwell, είναι γραμμικές, ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein, είναι μη γραμμικές Φανερά είναι πολύ δύσκολο να φέρουμε αυτές τις δύο αλληλεπιδράσεις κάτω από την ίδια στέγη, χωρίς την εισαγωγή μιας εξωτικής ιδέας

13 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχετικιστικά, για παράδειγμα, οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του Maxwell, είναι γραμμικές, ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein, είναι μη γραμμικές Φανερά είναι πολύ δύσκολο να φέρουμε αυτές τις δύο αλληλεπιδράσεις κάτω από την ίδια στέγη, χωρίς την εισαγωγή μιας εξωτικής ιδέας

14 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχετικιστικά, για παράδειγμα, οι εξισώσεις πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού, οι εξισώσεις του Maxwell, είναι γραμμικές, ενώ οι εξισώσεις του βαρυτικού πεδίου, οι εξισώσεις του Einstein, είναι μη γραμμικές Φανερά είναι πολύ δύσκολο να φέρουμε αυτές τις δύο αλληλεπιδράσεις κάτω από την ίδια στέγη, χωρίς την εισαγωγή μιας εξωτικής ιδέας Οι Kaluza και Klein έδειξαν ότι με την εισαγωγή μιας πέμπτης διάστασης στην γενική θεωρία της σχετικότητας του Einstein, μπορούμε να χειριστούμε τις δύο θεωρίες με την ίδια λογική, όταν και οι δύο περιγράφονται ως μέρη της 5-διάστατης μετρικής του χώρου

15 1921 Μετά την ανακάλυψη της Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας, το 1919 ο Kaluza παρατήρησε ότι μια 5 διάστατη γενίκευση της θεωρίας του Einstein μπορεί να κάνει ταυτόχρονη περιγραφή της βαρυτικής και ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης Η θεωρία του Kaluza το 1921, είναι μια πρώτη προσπάθεια ενοποίησης της βαρύτητας με τον ηλεκτρομαγνητισμό μέσω μιας θεωρίας της γεωμετρίας του 5 διάστατου χωροχρόνου Theodor Kaluza

16 1921 Μετά την ανακάλυψη της Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας, το 1919 ο Kaluza παρατήρησε ότι μια 5 διάστατη γενίκευση της θεωρίας του Einstein μπορεί να κάνει ταυτόχρονη περιγραφή της βαρυτικής και ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης Η θεωρία του Kaluza το 1921, είναι μια πρώτη προσπάθεια ενοποίησης της βαρύτητας με τον ηλεκτρομαγνητισμό μέσω μιας θεωρίας της γεωμετρίας του 5 διάστατου χωροχρόνου Theodor Kaluza Η θεωρία αυτή αγνοήθηκε σε πολύ μεγάλο βαθμό παρά την επιτυχημένη προσπάθεια της παραγωγής της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας του Maxwell από τη γενική θεωρία της σχετικότητας για έναν πενταδιάστατο χωροχρονικό συνεχές

17 Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον χωρόχρονο Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza

18 Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον χωρόχρονο Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza Στη θεωρία του ξεκινώντας από το 5 διάστατο μήκος: dŝ 2 = G MN (x µ, y)dˆx M dˆx N (1) όπου y = x 5 η πρόσθετη χωρική συντεταγμένη

19 Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον χωρόχρονο Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza Στη θεωρία του ξεκινώντας από το 5 διάστατο μήκος: dŝ 2 = G MN (x µ, y)dˆx M dˆx N (1) όπου y = x 5 η πρόσθετη χωρική συντεταγμένη Κάνει την υπόθεση 5 G MN = 5 G MN = 0, που ονομάστηκε cylindrical condition, δηλαδή υποθέτει ότι οι μεταβολές των μεγεθών ως προς την νέα παράμετρο είναι πολύ μικρής συνεισφοράς

20 Οι περισσότεροι νέοι επιστήμονες είναι γνώριμοι με την θεωρία του Kaluza μόνο μέσα από την συσχέτισή της με την δουλειά του Oscar Klein, ονομάζοντας τη θεωρία μοντέλο Kaluza-Klein για τον χωρόχρονο Ελάχιστα είναι γνωστή η αρχική θεωρία του Kaluza Στη θεωρία του ξεκινώντας από το 5 διάστατο μήκος: dŝ 2 = G MN (x µ, y)dˆx M dˆx N (1) όπου y = x 5 η πρόσθετη χωρική συντεταγμένη Κάνει την υπόθεση 5 G MN = 5 G MN = 0, που ονομάστηκε cylindrical condition, δηλαδή υποθέτει ότι οι μεταβολές των μεγεθών ως προς την νέα παράμετρο είναι πολύ μικρής συνεισφοράς Για τη μετρική του χώρου επιλέγει τη μορφή: ( ) gµν (x) 2αA G MN = µ (x) (2) 2αA ν (x) 2ϕ(x)

21 Χρησιμοποιώντας την συνθήκη cylindrical condition τα σύμβολα Cristoffel πρώτου είδους είναι: Γ λµν = 1 2 Γ λµ5 = 1 2 Γ 5µν = 1 2 ( λ g µν + µ g νλ ν g λµ ) ( λ g µ5 + µ g 5λ ) ( µ g 5ν ν g 5µ ),40 εξισώσεις στην 4D GR (3),16 εξισώσεις (4),10 εξισώσεις (5) Γ 55ν = 1 2 ( νg 55 ),4 εξισώσεις (6) Γ 5µ5 = 1 2 ( µg 55 ),4 εξισώσεις (7) Γ 555 = 0,1 εξίσωση (8)

22 Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆn MN, ως με ĥmn << 1 G MN = ˆn MN + ĥmn, (9)

23 Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆn MN, ως G MN = ˆn MN + ĥmn, (9) με ĥmn << 1 επίσης υπολογίζουμε σε προσέγγιση πρώτης τάξης, G MN = ˆn MN ĥmn (10)

24 Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆn MN, ως G MN = ˆn MN + ĥmn, (9) με ĥmn << 1 επίσης υπολογίζουμε σε προσέγγιση πρώτης τάξης, G MN = ˆn MN ĥmn (10) Δουλεύοντας κάτω από την προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θα έχουμε: Γ Λ MN = G KΛ Γ MNK ˆη KΛ Γ MNK = ˆη ΛΛ Γ MNΛ (11)

25 Χρησιμοποιώντας τη προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θεωρώντας τώρα μικρές μεταβολές γύρω από την μετρική Minkowski ˆn MN, ως G MN = ˆn MN + ĥmn, (9) με ĥmn << 1 επίσης υπολογίζουμε σε προσέγγιση πρώτης τάξης, G MN = ˆn MN ĥmn (10) Δουλεύοντας κάτω από την προσέγγιση ασθενούς πεδίου, θα έχουμε: Γ Λ MN = G KΛ Γ MNK ˆη KΛ Γ MNK = ˆη ΛΛ Γ MNΛ (11) με ˆη KΛ = diag ( 1, 1, 1, 1, 1)

26 Έχοντας λοιπόν μια μετρική, όπως και στην 4-διάσταση γενική θεωρία της σχετικότητας υπολογίζουμε τα σύμβολα Cristoffel Γ M NP, τον τανυστή Riemann R M NPΣ, τον τανυστή Ricci R MN, και την βαθμωτή καμπυλότητα Ricci R = R A A = G AM R AM, οπότε θα καταλήξουμε στις εξισώσεις πεδίου

27 Έχοντας λοιπόν μια μετρική, όπως και στην 4-διάσταση γενική θεωρία της σχετικότητας υπολογίζουμε τα σύμβολα Cristoffel Γ M NP, τον τανυστή Riemann R M NPΣ, τον τανυστή Ricci R MN, και την βαθμωτή καμπυλότητα Ricci R = R A A = G AM R AM, οπότε θα καταλήξουμε στις εξισώσεις πεδίου Για τη Βαρύτητα: οι εξισώσεις πεδίου για τη βαρύτητα θα είναι: R µν = κ(t µν 1 2 g µνt) (12) απ όπου μπορούμε να πάρουμε όλη τη γενική θεωρία της σχετικότητας για τον 4-διάστατο χωροχρόνο

28 Έχοντας λοιπόν μια μετρική, όπως και στην 4-διάσταση γενική θεωρία της σχετικότητας υπολογίζουμε τα σύμβολα Cristoffel Γ M NP, τον τανυστή Riemann R M NPΣ, τον τανυστή Ricci R MN, και την βαθμωτή καμπυλότητα Ricci R = R A A = G AM R AM, οπότε θα καταλήξουμε στις εξισώσεις πεδίου Για τη Βαρύτητα: οι εξισώσεις πεδίου για τη βαρύτητα θα είναι: R µν = κ(t µν 1 2 g µνt) (12) απ όπου μπορούμε να πάρουμε όλη τη γενική θεωρία της σχετικότητας για τον 4-διάστατο χωροχρόνο Για τον Ηλεκτρομαγνητισμό: R 5µ = κt 5µ (13)

29 θα πάρουμε για το ειδικό φορτίο τη σχέση: ρ 0 µ 0 = 2 α u 5 (14)

30 θα πάρουμε για το ειδικό φορτίο τη σχέση: ρ 0 µ 0 = 2 α u 5 (14) Αυτή η εξίσωση ερμηνεύει το ηλεκτρικό φορτίο ως την πέμπτη συνιστώσα του τανυστή ενέργειας - ορμής της ύλης που κινείται κατά μήκος της πέμπτης διάστασης x 5 = y

31 Παρατηρήσεις στη θεωρία Kaluza Αλλά τα παρακάτω προβλήματα παρουσιάστηκαν στη θεωρία του Kaluza: Δεν υπήρχε κάποια ιδέα για τη φύση της πέμπτης διάστασης

32 Παρατηρήσεις στη θεωρία Kaluza Αλλά τα παρακάτω προβλήματα παρουσιάστηκαν στη θεωρία του Kaluza: Δεν υπήρχε κάποια ιδέα για τη φύση της πέμπτης διάστασης Δεν υπήρχε κάποια εξήγηση για την ad hoc υπόθεση του Kaluza, ότι κανένα από τα πεδία δεν θα έπρεπε να εξαρτάται από την έξτρα διάσταση (cylindrical condition)

33 Παρατηρήσεις στη θεωρία Kaluza Αλλά τα παρακάτω προβλήματα παρουσιάστηκαν στη θεωρία του Kaluza: Δεν υπήρχε κάποια ιδέα για τη φύση της πέμπτης διάστασης Δεν υπήρχε κάποια εξήγηση για την ad hoc υπόθεση του Kaluza, ότι κανένα από τα πεδία δεν θα έπρεπε να εξαρτάται από την έξτρα διάσταση (cylindrical condition) Αυτή η θεωρία μπορεί να ενώσει βαρύτητα και ηλεκτρομαγνητισμό μόνο για μικρές ταχύτητες Σύμφωνα με τον Kaluza, το ηλεκτρικό φορτίο ενός σωματιδίου σχετίζεται με την πέμπτη συνιστώσα της ταχύτητας u 5 Για το ηλεκτρόνιο και το πρωτόνιο το ειδικό φορτίο ρ 0 µ 0 δεν είναι καθόλου μικρό και άρα θα έπρεπε η u 5 να είναι σχετικά μεγάλη Αυτό σημαίνει ότι κάτω από την προσέγγιση μικρών ταχυτήτων, μπορεί να εξηγήσει μακροσκοπικά φαινόμενα αλλά ένα θεμελιώδες πρόβλημα εμφανίζεται όταν θα πρέπει να εφαρμοσθεί σε στοιχειώδη σωματίδια

34 Oscar Klein 1926 Η επακόλουθη αφομοίωση της θεωρίας από τον Klein ήταν μια προσπάθεια ενσωμάτωσης της κβαντικής θεωρίας μέσα στην γεωμετρία του χωρόχρονου Η θεωρία όμως του Kaluza μπορεί να σταθεί από μόνη της, με τα δικά της πλεονεκτήματα, χωρίς την ανάγκη της εκτεταμένης παρουσίασης από τον Klein στα πλαίσια της Κβαντομηχανικής Η αρχική θεωρία του Kaluza τίποτα δεν έχει να κάνει με την κβαντομηχανική Oscar Klein

35 Oscar Klein Ο Oscar Klein το 1926, έφτιαξε μια εξήγηση για την πέμπτη διάσταση της θεωρίας του Kaluza, καθώς πρότεινε για αυτήν να έχει μια κυκλική τοπολογία, έτσι ώστε η έξτρα συντεταγμένη y = x 5 να έχει περιοδικότητα, δηλαδή 0 y 2πa, όπου R η ακτίνα ενός κύκλου S 1 Με αυτό τον τρόπο ο υπερχώρος (bulk) έχει την τοπολογία R 4 S 1

36 Oscar Klein Ο Oscar Klein το 1926, έφτιαξε μια εξήγηση για την πέμπτη διάσταση της θεωρίας του Kaluza, καθώς πρότεινε για αυτήν να έχει μια κυκλική τοπολογία, έτσι ώστε η έξτρα συντεταγμένη y = x 5 να έχει περιοδικότητα, δηλαδή 0 y 2πa, όπου R η ακτίνα ενός κύκλου S 1 Με αυτό τον τρόπο ο υπερχώρος (bulk) έχει την τοπολογία R 4 S 1

37 Oscar Klein Ο Oscar Klein το 1926, έφτιαξε μια εξήγηση για την πέμπτη διάσταση της θεωρίας του Kaluza, καθώς πρότεινε για αυτήν να έχει μια κυκλική τοπολογία, έτσι ώστε η έξτρα συντεταγμένη y = x 5 να έχει περιοδικότητα, δηλαδή 0 y 2πa, όπου R η ακτίνα ενός κύκλου S 1 Με αυτό τον τρόπο ο υπερχώρος (bulk) έχει την τοπολογία R 4 S 1

38 Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος Αυτή είναι η βασική ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein

39 Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος Αυτή είναι η βασική ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein Το αποτέλεσμα της συμπαγοποίησης των έξτρα διαστάσεων είναι ότι σε όλα τα πειράματα θα βλέπουμε γεγονότα μόνο των τεσσάρων διαστάσεων Έτσι ο Klein έκανε την πέμπτη διάσταση του Kaluza λιγότερο τεχνητή, προτείνοντας την συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης, οπότε έγινε πιο φυσική η εισαγωγή της

40 Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος Αυτή είναι η βασική ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein Το αποτέλεσμα της συμπαγοποίησης των έξτρα διαστάσεων είναι ότι σε όλα τα πειράματα θα βλέπουμε γεγονότα μόνο των τεσσάρων διαστάσεων Έτσι ο Klein έκανε την πέμπτη διάσταση του Kaluza λιγότερο τεχνητή, προτείνοντας την συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης, οπότε έγινε πιο φυσική η εισαγωγή της Μια θεωρία βαρύτητας με έξτρα διαστάσεις σε έναν υπερχώρο με συμπαγοποιημένες διαστάσεις λέγεται θεωρία Kaluza - Klein

41 Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης Ο Klein πρότεινε δηλαδή ότι σε κάθε σημείο του τετραδιάστατου χωροχρόνου υπάρχει και ένας μικρός κύκλος Αυτή είναι η βασική ιδέα της συμπαγοποίησης (compactification) των έξτρα διαστάσεων στο μοντέλο Kaluza - Klein Το αποτέλεσμα της συμπαγοποίησης των έξτρα διαστάσεων είναι ότι σε όλα τα πειράματα θα βλέπουμε γεγονότα μόνο των τεσσάρων διαστάσεων Έτσι ο Klein έκανε την πέμπτη διάσταση του Kaluza λιγότερο τεχνητή, προτείνοντας την συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης, οπότε έγινε πιο φυσική η εισαγωγή της Μια θεωρία βαρύτητας με έξτρα διαστάσεις σε έναν υπερχώρο με συμπαγοποιημένες διαστάσεις λέγεται θεωρία Kaluza - Klein Η συνεισφορά του Klein στη θεωρία φαίνεται να είναι αρχικά μόνο η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης, αλλά ο πραγματικός λόγος ήταν η προσπάθεια κβαντισμού του ηλεκτρικού φορτίου Μέσα από την συμπαγοποίηση της πέμπτης διάστασης κατάφερε να πάρει διακριτές λύσεις για το ηλεκτρικό φορτίο

42 Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης (Particle Data Group)

43 Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης (Particle Data Group) Ο μεγάλος ακροβάτης αισθάνεται μία διάσταση,

44 Η συμπαγοποίηση της έξτρα διάστασης (Particle Data Group) Ο μεγάλος ακροβάτης αισθάνεται μία διάσταση, ενώ ο μικρός ψύλλος μπορεί να κινηθεί και περιμετρικά στο σχοινί οπότε μπορεί να εξερευνήσει δύο διαστάσεις

45 Γιατί επιπλέον διαστάσεις; Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις 1 Ηλεκτρομαγνητική,

46 Γιατί επιπλέον διαστάσεις; Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις 1 Ηλεκτρομαγνητική, 2 Ασθενής Πυρηνική,

47 Γιατί επιπλέον διαστάσεις; Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις 1 Ηλεκτρομαγνητική, 2 Ασθενής Πυρηνική, 3 Ισχυρή Πυρηνική,

48 Γιατί επιπλέον διαστάσεις; Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις 1 Ηλεκτρομαγνητική, 2 Ασθενής Πυρηνική, 3 Ισχυρή Πυρηνική, 4 Βαρυτική

49 Γιατί επιπλέον διαστάσεις; Η ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων προέκυψε ως αποτέλεσμα της προσπάθειας των φυσικών να ενοποιήσουν τις τέσσερεις γνωστές βασικές αλληλεπιδράσεις 1 Ηλεκτρομαγνητική, 2 Ασθενής Πυρηνική, 3 Ισχυρή Πυρηνική, 4 Βαρυτική σε μια «ενιαία θεωρία που να περιγράφει τα πάντα» (ΘτΠ) (ToE)

50 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem) Οι θεωρίες των έξτρα διαστάσεων μέχρι αυτή τη στιγμή υποφέρουν από το πρόβλημα των μικρών έξτρα διαστάσεων

51 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem) Οι θεωρίες των έξτρα διαστάσεων μέχρι αυτή τη στιγμή υποφέρουν από το πρόβλημα των μικρών έξτρα διαστάσεων Μετά την εισαγωγή των βρανών όμως οι ερευνητές ξεκίνησαν να κινούνται προς διαφορετική κατεύθυνση όταν οι Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, συζήτησαν ένα πιθανό πλεονέκτημα να έχουμε μεγάλης κλίμακας έξτρα διαστάσεις, και έθεσαν το ερώτημα του πόσο φαινομενολογικά μεγάλες τέτοιες διαστάσεις επιτρέπεται να είναι

52 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem) Οι θεωρίες των έξτρα διαστάσεων μέχρι αυτή τη στιγμή υποφέρουν από το πρόβλημα των μικρών έξτρα διαστάσεων Μετά την εισαγωγή των βρανών όμως οι ερευνητές ξεκίνησαν να κινούνται προς διαφορετική κατεύθυνση όταν οι Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, συζήτησαν ένα πιθανό πλεονέκτημα να έχουμε μεγάλης κλίμακας έξτρα διαστάσεις, και έθεσαν το ερώτημα του πόσο φαινομενολογικά μεγάλες τέτοιες διαστάσεις επιτρέπεται να είναι Στην προσπάθεια τους να λύσουν το πρόβλημα της ιεραρχίας, δηλαδή γιατί να υπάρχει τόσο μεγάλη διαφορά στην ισχύ των δυνάμεων μεταξύ ηλεκτρασθενούς (EW) και βαρυτικής πρότειναν ότι ζούμε σε έναν (4+n) πολυδιάστατο κόσμο, στον οποίο υπάρχουν n επιπλέον χωρικές διαστάσεις, η κάθε μία από τις οποίες παραμένει συμπαγοποιημένη, αλλά με μια ακτίνα R που πλέον δεν είναι απαραίτητα πολύ μικρή

53 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem), ADD Σε έναν τέτοιο κόσμο η (4+n) διαστάσεων βαρύτητα θα πρέπει να ελέγχεται από την κλίμακα της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης παρά από την κλίμακα Planck (έτσι ώστε να γίνει ενοποίηση των δύο αλληλεπιδράσεων στο υψηλότερο επίπεδο διαστάσεων),

54 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem), ADD Σε έναν τέτοιο κόσμο η (4+n) διαστάσεων βαρύτητα θα πρέπει να ελέγχεται από την κλίμακα της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης παρά από την κλίμακα Planck (έτσι ώστε να γίνει ενοποίηση των δύο αλληλεπιδράσεων στο υψηλότερο επίπεδο διαστάσεων), με τη δυνατότητα περιορισμού ροής των δυναμικών γραμμών της βαρύτητας γύρω από τον 4 διάστατο κόσμο μας και στη συνέχεια μετατροπή του βαρυτικού δυναμικού V(r) = m 1 m 2 M (n+2) EW δύο στατικές μάζες m 1 και m 2 στον υπερχώρο M(3 + n, 1), ανάμεσα σε rn+1

55 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem), ADD Σε έναν τέτοιο κόσμο η (4+n) διαστάσεων βαρύτητα θα πρέπει να ελέγχεται από την κλίμακα της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης παρά από την κλίμακα Planck (έτσι ώστε να γίνει ενοποίηση των δύο αλληλεπιδράσεων στο υψηλότερο επίπεδο διαστάσεων), με τη δυνατότητα περιορισμού ροής των δυναμικών γραμμών της βαρύτητας γύρω από τον 4 διάστατο κόσμο μας και στη συνέχεια μετατροπή του βαρυτικού δυναμικού V(r) = m 1 m 2 M (n+2) EW δύο στατικές μάζες m 1 και m 2 στον υπερχώρο M(3 + n, 1) m 1 m 2 σε ένα με V(r) = M (n+2) EW R n r, για M(3, 1) S n,, ανάμεσα σε rn+1

56 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem), AADD που οδηγεί σε μία ενεργή 4 διάστατη βαρυτική σύζευξη που θα δίνεται από τη σχέση, M 2 eff = M (n+2) EW Rn αντί για τη θεμελιώδη M 2 PL

57 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem), AADD που οδηγεί σε μία ενεργή 4 διάστατη βαρυτική σύζευξη που θα δίνεται από τη σχέση, M 2 eff = M (n+2) EW Rn αντί για τη θεμελιώδη M 2 PL Για να μην διαφωνεί με την τωρινή βαρυτική φαινομενολογία (στην οποία M eff GeV), μια τιμή για n = 1 θα πρέπει να αποκλειστεί, ενώ για n = 2 μας οδηγεί σε ένα R της τάξης του χιλιοστού του μέτρου (milimeters)

58 Το πρόβλημα της ιεραρχίας (hierarchy problem), AADD που οδηγεί σε μία ενεργή 4 διάστατη βαρυτική σύζευξη που θα δίνεται από τη σχέση, M 2 eff = M (n+2) EW Rn αντί για τη θεμελιώδη M 2 PL Για να μην διαφωνεί με την τωρινή βαρυτική φαινομενολογία (στην οποία M eff GeV), μια τιμή για n = 1 θα πρέπει να αποκλειστεί, ενώ για n = 2 μας οδηγεί σε ένα R της τάξης του χιλιοστού του μέτρου (milimeters) Εάν και μέχρι αυτή τη στιγμή κανένα σημάδι χιλιοστού του μέτρου δεν έχει παρατηρηθεί στις μετρήσεις, από τη κλασική Νευτώνεια βαρύτητα, αυτό δεν σημαίνει ότι η δουλειά των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali πήγε χαμένη, αλλά άνοιξε την πιθανότητα οι έξτρα διαστάσεις να μην είναι μικροσκοπικές, και έδειξε ότι τουλάχιστον σε επίπεδο αρχών υπάρχει η πιθανότητα διερεύνησης πειραματικά αυτών των έξτρα διαστάσεων σε κανονικές κλίμακες ενέργειας και απόστασης

59 Το μοντέλο Μετά τις εργασίες των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, οι Randall και Sundrum (1999), βρήκαν έναν εναλλακτικό τρόπο για την αντιμετώπιση του προβλήματος της ιεραρχίας, που βασίζεται σε τρία συστατικά τα οποία όχι μόνο επιτρέπουν την κατασκευή ενός φαινομενολογικά βιώσιμου μοντέλου με μία μόνο έξτρα διάσταση μεγάλης κλίμακας, αλλά επίσης αποδείχθηκε καταλυτικό για ολόκληρο το πρόγραμμα μελέτης των επιπλέον διατάσεων Πρώτα, συμπαγοποίησαν αυτή την μία έξτρα διάσταση με μία πρόσθετη Z 2 orbifold συμμετρία, στην οποία τα αντίθετα σημεία στη συμπαγοποιημένη πέμπτη διάσταση θα πρέπει να ταυτίζονται

60 Το μοντέλο Μετά τις εργασίες των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, οι Randall και Sundrum (1999), βρήκαν έναν εναλλακτικό τρόπο για την αντιμετώπιση του προβλήματος της ιεραρχίας, που βασίζεται σε τρία συστατικά τα οποία όχι μόνο επιτρέπουν την κατασκευή ενός φαινομενολογικά βιώσιμου μοντέλου με μία μόνο έξτρα διάσταση μεγάλης κλίμακας, αλλά επίσης αποδείχθηκε καταλυτικό για ολόκληρο το πρόγραμμα μελέτης των επιπλέον διατάσεων Πρώτα, συμπαγοποίησαν αυτή την μία έξτρα διάσταση με μία πρόσθετη Z 2 orbifold συμμετρία, στην οποία τα αντίθετα σημεία στη συμπαγοποιημένη πέμπτη διάσταση θα πρέπει να ταυτίζονται Δεύτερο, τοποθέτησαν από μία 3 βράνη σε κάθε ένα από τα δύο σταθερά σημεία, δηλαδή στα δύο σημεία στο τέλος της διαμέτρου ενός κύκλου που αυτοπροσδιορίζονται όταν τα σημεία στις δύο αντίθετες πλευρές της διαμέτρου ταυτίζονται μεταξύ τους

61 Το μοντέλο Μετά τις εργασίες των Arkani-Hamed, Δημόπουλος και Dvali, οι Randall και Sundrum (1999), βρήκαν έναν εναλλακτικό τρόπο για την αντιμετώπιση του προβλήματος της ιεραρχίας, που βασίζεται σε τρία συστατικά τα οποία όχι μόνο επιτρέπουν την κατασκευή ενός φαινομενολογικά βιώσιμου μοντέλου με μία μόνο έξτρα διάσταση μεγάλης κλίμακας, αλλά επίσης αποδείχθηκε καταλυτικό για ολόκληρο το πρόγραμμα μελέτης των επιπλέον διατάσεων Πρώτα, συμπαγοποίησαν αυτή την μία έξτρα διάσταση με μία πρόσθετη Z 2 orbifold συμμετρία, στην οποία τα αντίθετα σημεία στη συμπαγοποιημένη πέμπτη διάσταση θα πρέπει να ταυτίζονται Δεύτερο, τοποθέτησαν από μία 3 βράνη σε κάθε ένα από τα δύο σταθερά σημεία, δηλαδή στα δύο σημεία στο τέλος της διαμέτρου ενός κύκλου που αυτοπροσδιορίζονται όταν τα σημεία στις δύο αντίθετες πλευρές της διαμέτρου ταυτίζονται μεταξύ τους Και τρίτον, το αποφασιστικό βήμα, πήραν τη γεωμετρία του υπερχώρου (bulk) να μην είναι πια επίπεδη, αλλά αντ αυτού να είναι μία 5 διάστατη αντί-de Sitter (AdS 5 ) γεωμετρία

62 Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε: 1 Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = = 5

63 Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε: 1 Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = = 5 2 H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold συμμετία S 1 /Z 2 ακτίνας R

64 Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε: 1 Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = = 5 2 H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold συμμετία S 1 /Z 2 ακτίνας R 3 Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες, η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM Brane)

65 Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε: 1 Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = = 5 2 H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold συμμετία S 1 /Z 2 ακτίνας R 3 Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες, η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM Brane) 4 Η συνηθισμένη ύλη (SM-Particles) είναι καρφωμένη πάνω στην βράνη με αρνητική τάση (SM Brane)

66 Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε: 1 Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = = 5 2 H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold συμμετία S 1 /Z 2 ακτίνας R 3 Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες, η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM Brane) 4 Η συνηθισμένη ύλη (SM-Particles) είναι καρφωμένη πάνω στην βράνη με αρνητική τάση (SM Brane) 5 Μόνο τα βαρυτόνια «βλέπουν» την επιπλέον διάσταση, και άρα είναι τα μόνα σωματίδια που επιδέχονται διεγέρσεις Kaluza-Klein

67 Μοντέλο RS-1 με δύο βράνες Για το μοντέλο RS1 με δύο βράνες, έχουμε: 1 Συνολικός αριθμός διαστάσεων D = = 5 2 H επιπλέον διάσταση είναι συμπαγοποιημένη σε μια Orbifold συμμετία S 1 /Z 2 ακτίνας R 3 Στα σταθερά σημεία της Orbifold είναι τοποθετημένες δυο βράνες, η μια με θετική τάση (Planck Brane) και μια με αρνητική τάση (SM Brane) 4 Η συνηθισμένη ύλη (SM-Particles) είναι καρφωμένη πάνω στην βράνη με αρνητική τάση (SM Brane) 5 Μόνο τα βαρυτόνια «βλέπουν» την επιπλέον διάσταση, και άρα είναι τα μόνα σωματίδια που επιδέχονται διεγέρσεις Kaluza-Klein 6 Η γεωμετρία του χώρου περιγράφεται από μια μετρική (AdS 5 )

68 RS-1 bulk Κατά αναλογία με τις μεμβράνες που περικλείουν έναν όγκο, αυτοί οι κόσμοι με 3+1 διαστάσεις περικλείουν έναν 5 διάστατο υπερχώρο (bulk) θα αποκαλούνται 3 βράνες (3 branes) Η τελική εικόνα αποτελείται από δύο βράνες, σε απόσταση L μεταξύ τους, που περικλείουν έναν 5 διάστατο υπερχώρο (σαν ένα σάντουιτς)

69 ΜΕΤΡΙΚΗ Παρατηρούμε τελικά ότι η μετρική του μοντέλου Randall Sundrum θα πρέπει να δίνεται από την εξίσωση: ds 2 = e 2k y η µν dx µ dx ν + dy 2 (15) με L y L Εάν στο σύστημα υπάρχουν n έξτρα συμπαγοποιημένες διαστάσεις, τότε η τάξη της μάζας Planck συνδέεται με την n διάστατη μάζα από τη σχέση: M 2 Pl = M 2+n 4+n V n όπου V n ο όγκος των έξτρα διαστάσεων Δηλαδή υπολογίζοντας θα έχουμε: L M 2 Pl = 2M 3 5 dy e 2ky = M3 [ 5 1 e 2kL ] (16) k 0

70 Το πρόβλημα της ιεραρχίας

71 Το πρόβλημα της ιεραρχίας Τελικά σε μια θεωρία που οι τιμές των απογυμνωμένων παραμέτρων (M, Λ, λ 1, υ), καθορίζονται από την τάξη μεγέθους της μάζας Planck, μια εκθετική ιεραρχία μπορεί φυσικά να κατασκευασθεί ανάμεσα στην τάξη μεγέθους της ασθενής αλληλεπίδρασης και της βαρυτικής

72 Το πρόβλημα της ιεραρχίας Τελικά σε μια θεωρία που οι τιμές των απογυμνωμένων παραμέτρων (M, Λ, λ 1, υ), καθορίζονται από την τάξη μεγέθους της μάζας Planck, μια εκθετική ιεραρχία μπορεί φυσικά να κατασκευασθεί ανάμεσα στην τάξη μεγέθους της ασθενής αλληλεπίδρασης και της βαρυτικής Δηλαδή το μοντέλο Randall Sundrum μας δίνει μια πρωτότυπη λύση στο πρόβλημα της ιεραρχίας των αλληλεπιδράσεων

73 Μοντέλο RS-2 με μία βράνη Στην εξίσωση (16), παρατηρούμε ότι μπορούμε να έχουμε μια καλά ορισμένη τιμή της μάζας Planck, ακόμη και αν L

74 Μοντέλο RS-2 με μία βράνη Στην εξίσωση (16), παρατηρούμε ότι μπορούμε να έχουμε μια καλά ορισμένη τιμή της μάζας Planck, ακόμη και αν L Αυτό μας δείχνει ότι μπορούμε να πάρουμε μια ενεργή 4 διάστατη θεωρία, με τον συνήθη νόμο για την Νευτώνεια δύναμη, ακόμη και στο όριο της άπειρης ακτίνας για την συμπαγοποιημένη διάσταση Στο σύστημα δεν θα υπάρχει πρόβλημα να μετακινήσουμε στη μία βράνη ( regulator ) στο άπειρο, δηλαδή να την μετακινήσουμε τελείως από το σύστημα

75 Μοντέλο RS-2 με μία βράνη Στην εξίσωση (16), παρατηρούμε ότι μπορούμε να έχουμε μια καλά ορισμένη τιμή της μάζας Planck, ακόμη και αν L Αυτό μας δείχνει ότι μπορούμε να πάρουμε μια ενεργή 4 διάστατη θεωρία, με τον συνήθη νόμο για την Νευτώνεια δύναμη, ακόμη και στο όριο της άπειρης ακτίνας για την συμπαγοποιημένη διάσταση Στο σύστημα δεν θα υπάρχει πρόβλημα να μετακινήσουμε στη μία βράνη ( regulator ) στο άπειρο, δηλαδή να την μετακινήσουμε τελείως από το σύστημα Αυτή η περίπτωση όπου υπάρχει μόνο μία βράνη είναι γνωστή ως το μοντέλο Randall Sundrum II (RS2) Το γεγονός ότι μπορεί να υπάρχει μια έξτρα άπειρη διάσταση και ακόμη η 4 διάσταση βαρύτητα που βιώνουμε καθημερινά μπορεί να προκύπτει από τον περιορισμό της βαρύτητας γύρω από την βράνη στο y = 0, θα πρέπει να κινήσει το ενδιαφέρον μας από εδώ και πέρα

76 RS-2 και το πρόβλημα της ιεραρχίας Το πρότυπο Randall Sundrum II (RS-2) δεν προσπαθεί να λύσει το πρόβλημα της ιεραρχίας έτσι όπως έγινε με το πρότυπο RS-1,

77 RS-2 και το πρόβλημα της ιεραρχίας Το πρότυπο Randall Sundrum II (RS-2) δεν προσπαθεί να λύσει το πρόβλημα της ιεραρχίας έτσι όπως έγινε με το πρότυπο RS-1, προσπαθεί όμως να κατασκευάσει ρεαλιστικά κοσμολογικά μοντέλα συμβατά με την πραγματικότητα

78 RS-2 και το πρόβλημα της ιεραρχίας Το πρότυπο Randall Sundrum II (RS-2) δεν προσπαθεί να λύσει το πρόβλημα της ιεραρχίας έτσι όπως έγινε με το πρότυπο RS-1, προσπαθεί όμως να κατασκευάσει ρεαλιστικά κοσμολογικά μοντέλα συμβατά με την πραγματικότητα Το δεύτερο πρότυπο βασίζεται στο πρώτο με τη διαφορά ότι τώρα οι δύο βράνες έχουν άπειρη απόσταση μεταξύ τους Ουσιαστικά αυτό το πρότυπο έχει μόνο μία βράνη με θετική τάση την οποία τοποθετούμε στον 5 διάστατο AdS χωροχρόνο στη θέση y = 0 Η βράνη με την αρνητική τάση έχει μεταφερθεί στο άπειρο και ουσιαστικά δεν συμμετέχει στο πρότυπο αυτό

79 ΜΕΤΡΙΚΗ Η μετρική είναι ίδια με αυτή στο μοντέλο RS-1

80 ΜΕΤΡΙΚΗ Η μετρική είναι ίδια με αυτή στο μοντέλο RS-1 Η δράση είναι η ίδια με πριν, απλά άλλαξαν θέση η ορατή βράνη με την κρυμμένη (hidden) S = S gravity + S brane (17)

81 ΜΕΤΡΙΚΗ Η μετρική είναι ίδια με αυτή στο μοντέλο RS-1 Η δράση είναι η ίδια με πριν, απλά άλλαξαν θέση η ορατή βράνη με την κρυμμένη (hidden) S = S gravity + S brane (17) S gravity = d 4 x dy ) g (M 3 5 (5) R Λ ˆLM S brane = d 4 x dy ( g 4 ˆLM λ 0 δ(y)) (18) (19)

82 Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza Klein, και τις καταστάσεις των βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σωματιδίων με μάζες m 1 και m 2 η οποία είναι:

83 Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza Klein, και τις καταστάσεις των βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σωματιδίων με μάζες m 1 και m 2 η οποία είναι: V(r) G N m 1 m 2 r ( ) k 2 r 2 (20)

84 Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza Klein, και τις καταστάσεις των βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σωματιδίων με μάζες m 1 και m 2 η οποία είναι: V(r) G N m 1 m 2 r ( ) k 2 r 2 Αυτός είναι ο λόγος που το πρότυπο RS2 παράγει μια ενεργή 4 διάστατη θεωρία της βαρύτητας (20)

85 Ο εντοπισμός της βαρύτητας στη βράνη Έχοντας την αναγωγή κατά Kaluza Klein, και τις καταστάσεις των βαρυτονίων, θα πάρουμε τη μορφή του βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σωματιδίων με μάζες m 1 και m 2 η οποία είναι: V(r) G N m 1 m 2 r ( ) k 2 r 2 (20) Αυτός είναι ο λόγος που το πρότυπο RS2 παράγει μια ενεργή 4 διάστατη θεωρία της βαρύτητας Ο βασικός όρος μας δίνει το κλασικό Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό, ενώ οι συνεχείς καταστάσεις από την αναγωγή Kaluza Klein μας δίνουν έναν διορθωτικό όρο

86 Αναμένεται η τιμή του k να είναι της τάξης της κλίμακας του Planck ενώ η τιμή του r να είναι της τάξης του χιλιοστού του μέτρου (mm), το οποίο είναι το ανώτερο επιτρεπόμενο όριο που προκύπτει από τα πειράματα βαρύτητας Ουσιαστικά η γεωμετρία της μετρικής με τον στρεβλό (warped) παράγοντα για τον υπερχώρο (bulk) και το γεγονός ότι ζούμε σε μία βράνη με θετική τάση, είναι τα στοιχεία που καταστέλλουν τις βαρυτικές διακυμάνσεις όταν απομακρυνόμαστε από τη βράνη, έτσι ώστε η βαρύτητα να είναι εντοπισμένη στην ορατή βράνη

87 Αναμένεται η τιμή του k να είναι της τάξης της κλίμακας του Planck ενώ η τιμή του r να είναι της τάξης του χιλιοστού του μέτρου (mm), το οποίο είναι το ανώτερο επιτρεπόμενο όριο που προκύπτει από τα πειράματα βαρύτητας Ουσιαστικά η γεωμετρία της μετρικής με τον στρεβλό (warped) παράγοντα για τον υπερχώρο (bulk) και το γεγονός ότι ζούμε σε μία βράνη με θετική τάση, είναι τα στοιχεία που καταστέλλουν τις βαρυτικές διακυμάνσεις όταν απομακρυνόμαστε από τη βράνη, έτσι ώστε η βαρύτητα να είναι εντοπισμένη στην ορατή βράνη Στην περίπτωση του μοντέλου RS2, δεν έχουμε τη δυνατότητα επίλυσης του προβλήματος της ιεραρχίας

88 Το μοντέλο Στα επόμενα μέρη της εργασίας γίνεται η μελέτη μιας πολυδιάστατης θεωρίας πεδίου, στην οποία η βράνη που αποτελεί το σύμπαν μας γίνεται προσπάθεια να εξομοιωθεί μέσω της εισαγωγής ενός βαθμωτού πεδίου στον υπερχώρο

89 Το μοντέλο Στα επόμενα μέρη της εργασίας γίνεται η μελέτη μιας πολυδιάστατης θεωρίας πεδίου, στην οποία η βράνη που αποτελεί το σύμπαν μας γίνεται προσπάθεια να εξομοιωθεί μέσω της εισαγωγής ενός βαθμωτού πεδίου στον υπερχώρο Μια τοπολογική ατέλεια οδηγεί στη δημιουργία της βράνης που βρίσκεται ο κόσμος μας Το μοντέλο χρησιμοποιεί μια έξτρα διάσταση που δεν είναι συμπαγοποιημένη Η βαρύτητα εντοπίζεται στην περιοχή που βρίσκεται το σύμπαν μας

90 Το μοντέλο Στα επόμενα μέρη της εργασίας γίνεται η μελέτη μιας πολυδιάστατης θεωρίας πεδίου, στην οποία η βράνη που αποτελεί το σύμπαν μας γίνεται προσπάθεια να εξομοιωθεί μέσω της εισαγωγής ενός βαθμωτού πεδίου στον υπερχώρο Μια τοπολογική ατέλεια οδηγεί στη δημιουργία της βράνης που βρίσκεται ο κόσμος μας Το μοντέλο χρησιμοποιεί μια έξτρα διάσταση που δεν είναι συμπαγοποιημένη Η βαρύτητα εντοπίζεται στην περιοχή που βρίσκεται το σύμπαν μας Το μοντέλο αυτό σε μεγάλες αποστάσεις από την τοπολογική ατέλεια του υπερχώρου, που είναι το σύμπαν μας καταλήγει σε μια μετρική παρόμοια με αυτής της βράνης στο μοντέλο Randall-Sundrum

91 Η δράση και οι εξισώσεις κίνησης Ξεκινώντας θα θεωρήσουμε τη δράση του 5 διάστατου χωροχρόνου, όπου περιέχεται εκτός από τον όρο Einstein Hilbert και ένας όρος που αναφέρεται στο βαθμωτό πεδίο ϕ: S = d 4 x dy G{M 3 (5) (5) R 1 2 GMN ( M ϕ(y))( N ϕ(y)) V(ϕ)} (21) όπου ϕ(y) βαθμωτό πεδίο που εξαρτάται μόνο από την έξτρα διάσταση

92 Η δράση και οι εξισώσεις κίνησης Ξεκινώντας θα θεωρήσουμε τη δράση του 5 διάστατου χωροχρόνου, όπου περιέχεται εκτός από τον όρο Einstein Hilbert και ένας όρος που αναφέρεται στο βαθμωτό πεδίο ϕ: S = d 4 x dy G{M 3 (5) (5) R 1 2 GMN ( M ϕ(y))( N ϕ(y)) V(ϕ)} (21) όπου ϕ(y) βαθμωτό πεδίο που εξαρτάται μόνο από την έξτρα διάσταση Καταλήγουμε στις εξισώσεις κίνησης: R MN 1 2 G MN (5) R = 1 2 M 3 5 ( ( M ϕ) ( N ϕ) G MN [ 1 2 ( ϕ)2 + V(ϕ) ]) (22)

93 Η δράση και οι εξισώσεις κίνησης Ξεκινώντας θα θεωρήσουμε τη δράση του 5 διάστατου χωροχρόνου, όπου περιέχεται εκτός από τον όρο Einstein Hilbert και ένας όρος που αναφέρεται στο βαθμωτό πεδίο ϕ: S = d 4 x dy G{M 3 (5) (5) R 1 2 GMN ( M ϕ(y))( N ϕ(y)) V(ϕ)} (21) όπου ϕ(y) βαθμωτό πεδίο που εξαρτάται μόνο από την έξτρα διάσταση Καταλήγουμε στις εξισώσεις κίνησης: R MN 1 2 G MN (5) R = 1 ( [ ]) 1 2 M 3 ( M ϕ) ( N ϕ) G MN 5 2 ( ϕ)2 + V(ϕ) (22) 1 ( G ) M G MN N ϕ = V G ϕ (23)

94 Το βαθμωτό πεδίο και ο παράγοντας στρέβλωσης της μετρικής ϕ B (y) = a tanh(k y) (24) ϕ a k B = cosh 2 (ky) (25) Για τον παράγοντα στρέβλωσης της μετρικής, e A(y) = e β ln(cosh2 (ky)) β 2 tanh2 (ky) = e β 2 tanh2 (ky) cosh 2β (ky) η συμπεριφορά καθώς απομακρυνόμαστε από την υπερεπιφάνεια (χώρος που ζούμε), είναι εκθετική μείωση όπως φαίνεται από την εξίσωση

95 Στη μετρική ο παράγοντας στρέβλωσης (warp factor,) μας δείχνει ότι σε μεγάλες αποστάσεις από την υπερεπιφάνεια (βράνη) του κόσμου μας μέσα στον υπερχώρο, καταλήγουμε σε μια μετρική παρόμοια με αυτή που έχουμε στο μοντέλο Randall Sundrum II με μία βράνη Παίρνοντας το όριο για y, θα έχουμε: e A(y) = e β 2 tanh2 (ky) cosh 2β (ky) y e 2kβ y (26)

96 ΤΕΛΟΣ παρουσίασης Σας ευχαριστώ πολύ για την υπομονή σας