Φαινόμενο Unruh. Δημήτρης Μάγγος. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, / 20. Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φαινόμενο Unruh. Δημήτρης Μάγγος. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, / 20. Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20"

Transcript

1 Φαινόμενο Unruh Δημήτρης Μάγγος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20

2 Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Στον Χωρόχρονο Φαινόμενο Unruh Εκπομπή Σωματιδίων 2 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 2/20

3 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

4 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

5 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

6 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz η µν = / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

7 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz η µν = Μετασχηματισμοί Lorentz 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

8 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz η µν = Μετασχηματισμοί Lorentz t γ γ β x c 0 0 t y = γcβ γ 0 0 x y z z 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

9 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz η µν = Μετασχηματισμοί Lorentz t γ γ β x c 0 0 t y = γcβ γ 0 0 x y z z Κώνος Φωτός 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

10 Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Σύντομη αναφορά στην ειδική θεωρία της σχετικότητας Χωρόχρονος Minkowski ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz η µν = Μετασχηματισμοί Lorentz t γ γ β x c 0 0 t y = γcβ γ 0 0 x y z z Κώνος Φωτός 3 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 3/20

11 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20

12 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20

13 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton Εξίσωση Newton 2 Φ(r) = 4πGρ m (r) 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20

14 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton Εξίσωση Newton 2 Φ(r) = 4πGρ m (r) Η σχετικιστική εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η εξίσωση του EinStein 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20

15 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Εξισώσεις Newton & EinStein για το Βαρυτικό Πεδίο Κατ αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο έχουμε ότι και ότι η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση Newton Εξίσωση Newton 2 Φ(r) = 4πGρ m (r) Η σχετικιστική εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η εξίσωση του EinStein Εξίσωση EinStein G µν R µν 1 2 8πG Rgµν = c 2 Tµν 4 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 4/20

16 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20

17 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20

18 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein Μεταβολή Δράσης Hilbert δs H = δrµνgµν gd 4 x + Rµνδgµν gd 4 x + U U U Rµνgµν δ gd 4 x 1 δs H g δgµν = R µν 1 2 Rg µν G µν 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20

19 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein Μεταβολή Δράσης Hilbert δs H = δrµνgµν gd 4 x + Rµνδgµν gd 4 x + U U U Rµνgµν δ gd 4 x 1 δs H g δgµν = R µν 1 2 Rg µν G µν Από την Lagrangian των πεδίων τα οποία υπόκεινται στο βαρυτικό πεδίο προκύπτει ο τανυστής ενέργειας-ορμής 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20

20 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Φορμαλισμός Lagrange & hamilton Η δράση μέσω της οποίας ορίζεται η εξίσωση του βαρυτικού πεδίου είναι η δράση Hilbert Η μεταβολής της οποίας μας δίνει την εξίσωση του EinStein Μεταβολή Δράσης Hilbert δs H = δrµνgµν gd 4 x + Rµνδgµν gd 4 x + U U U Rµνgµν δ gd 4 x 1 δs H g δgµν = R µν 1 2 Rg µν G µν Από την Lagrangian των πεδίων τα οποία υπόκεινται στο βαρυτικό πεδίο προκύπτει ο τανυστής ενέργειας-ορμής Τανυστής ενέργειας ορμής δs M = 1 c δl field gd 4 x + 1 c L field δ gd 4 x 2 δs M = T g δg µν µν 5 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 5/20

21 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20

22 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20

23 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild Μετρική Schwarzschild ( ds 2 = c 2 1 r S r ) ( dt r S r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20

24 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild Μετρική Schwarzschild ( ds 2 = c 2 1 r S r ) ( dt r S r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) Μέσω των διατηρήσιμων ποσοτήτων, συμμετριών, υπολογίζουμε τις γεωδαισιακές από όπου προκύπτει 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20

25 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Λύση της Εξίσωσης EinStein Για στατική και σφαιρική κατανομή μάζας έχουμε την λύση Schwarzschild Μετρική Schwarzschild ( ds 2 = c 2 1 r S r ) ( dt r S r ) 1 dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) Μέσω των διατηρήσιμων ποσοτήτων, συμμετριών, υπολογίζουμε τις γεωδαισιακές από όπου προκύπτει Ενεργό Δυναμικό V eff = L2 2r r SL 2 2 2r + r Sɛ 3 2c 2 r 6 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 6/20

26 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20

27 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20

28 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της ( ) Συντεταγμένες της χελώνας r r = r + r S ln r S 1 Η ταχύτητα ενός προσπίπτοντος σωματιδίου όλο και μειώνεται 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20

29 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της ( ) Συντεταγμένες της χελώνας r r = r + r S ln r S 1 Η ταχύτητα ενός προσπίπτοντος σωματιδίου όλο και μειώνεται Συντεταγμένες Eddington-Finkelstein r = c(v t) & r = c(u + t) Τα προσπίπτοντα σωμάτια είναι αδύνατον να επιστρέψουν 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20

30 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Μελανές Οπές Schwarzschild Για σωμάτια των οποίων η ακτίνα είναι συγκρίσιμη με την ακτίνα Schwarzschild έχουμε μια μελανή οπή Την οποία μελετώντας την μέσω μετασχηματισμών αποκαλύπτεται η φύση της ( ) Συντεταγμένες της χελώνας r r = r + r S ln r S 1 Η ταχύτητα ενός προσπίπτοντος σωματιδίου όλο και μειώνεται Συντεταγμένες Eddington-Finkelstein r = c(v t) & r = c(u + t) Τα προσπίπτοντα σωμάτια είναι αδύνατον να επιστρέψουν Συντεταγμένες Kruskal-Szekeres U = e u 2r S & V = e v 2r S Ο χωρόχρονος αποκτα δυναμικό χαρακτήρα 7 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 7/20

31 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20

32 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20

33 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων Μετρική Schwarzschild-Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dρ 2 + r 2 S (dθ2 + sin 2 θdφ 2 ) 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20

34 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων Μετρική Schwarzschild-Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dρ 2 + r 2 S (dθ2 + sin 2 θdφ 2 ) Για σταθερά επιταχυνόμενο, Minkowski, παρατηρητή έχουμε 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20

35 Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Προσεγγίζοντας την ακτίνα Schwarzschild Στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα γεγονότων Μετρική Schwarzschild-Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dρ 2 + r 2 S (dθ2 + sin 2 θdφ 2 ) Για σταθερά επιταχυνόμενο, Minkowski, παρατηρητή έχουμε Μετρική Rindler ds 2 = ρ 2 dη 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 Συσχετίζοντας τις δύο μετρικές έχουμε ότι τα σωμάτια κοντά στον ορίζοντα ακολουθούν επιταχυνόμενη κίνηση 8 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 8/20

36 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20

37 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20

38 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ) ˆΨ = 0 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20

39 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20

40 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Βαθμωτά πεδία σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης Τελεστής Πεδίου & Επίπεδα Κύματα ˆΨ(x) = {â(k)ψ k (x) + â (k)ψ k (x)}dk 1 ψ k (x) = e ikµ xµ (2π) 3 (2ω k ) & { } [â(k), â(k )] = 0 [â(k), â (k )] = δ(k k ) 9 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 9/20

41 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20

42 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20

43 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ µ mc 2 ) ˆΨ = 0 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20

44 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20

45 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Επίπεδο Χωρόχρονο Spinors σε επίπεδο, Minkowski, χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης Τελεστής Πεδίου & Επίπεδα Κύματα ˆΨ(x) = u k,s = {ĉ(k)u k (x) + ˆd (k)u k (x)}dk { m ω k L 3 u(k, s)e ikµ xµ m 0 1 u(k, s)e ik µ x µ m = 0 2ω k L 3 } & { } {ĉk,s, ĉ k,s } = 0 {ĉ k,s, ĉ k,s } = δ k,k δ s,s 10 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 10/20

46 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20

47 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20

48 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20

49 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 2 D χωρόχρονο Rindler 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20

50 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 2 D χωρόχρονο Rindler Άμαζο Πεδίο f ω = g ω = { α e i cω (η+ln ρ) α Περιοχή 4πcω { I 0 Περιοχή II 0 Περιοχή I α e i cω (η ln ρ) α Περιοχή II 4πcω 11 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 11/20

51 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20

52 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20

53 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20

54 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20

55 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Βαθμωτό πεδίο σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Klein-Gordon ( 2 c m 2 c 4 + ξr) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler Μαζικό Πεδίο f ω = g ω = { { sinh(ωπ)e iωη+ik r K iω (x) 1 π Περιοχή I 0 Περιοχή II 0 Περιοχή I 1 π sinh(ωπ)e iωη ik r K iω ( x) Περιοχή II 12 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 12/20

56 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20

57 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20

58 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20

59 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler 13 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20

60 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Σε Καμπυλωμένο Χωρόχρονο Spinors σε καμπυλωμένο χωρόχρονο Εξίσωση Dirac (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Λύσεις της εξίσωσης για 4 D χωρόχρονο Rindler Μαζικό Spinor Πεδίο K iω+ 1 (x) + ik iω 1 (x) S Ω+ = C Ω+ K iω 1 (x) ik iω+ 1 (x) / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 13/20

61 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20

62 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20

63 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε Τελεστής Πεδίου ˆΨ = i â i f i + â i f i = ˆbj g j + ˆb j g j j 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20

64 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε Τελεστής Πεδίου ˆΨ = i â i f i + â i f i = ˆbj g j + ˆb j g j Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό έχουμε j 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20

65 Κβαντική Θεωρία Πεδίου Μετασχηματισμοί Bogolyubov Από την ανάπτυξη των κβαντικών καταστάσεων έχουμε Τελεστής Πεδίου ˆΨ = i â i f i + â i f i = ˆbj g j + ˆb j g j Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό έχουμε Συντελεστές Bogolyubov g i = c ij f j + d ij f j c ij = (g i, f j ) j f i = c ij g j d ij g j d ij = (g i, f j ) j j 14 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 14/20

66 Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20

67 Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20

68 Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 Κατανομή BoSe-EinStein 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20

69 Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο Fermionic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 0 Mink ˆn Rind Ωσ 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 1 e 2πcω a + 1 Κατανομή BoSe-EinStein Κατανομή Fermi-Dirac 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20

70 Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο Fermionic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 0 Mink ˆn Rind Ωσ 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 1 e 2πcω a + 1 Κατανομή BoSe-EinStein Κατανομή Fermi-Dirac 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20

71 Φαινόμενο Unruh Θερμοκρασία Unruh Κάτω από έναν μετασχηματισμό Bogolyubov ένας Rindler παρατηρητής ανιχνεύει θερμική εκπομπή, από BoSoS ή FermionS, αναλόγως των πεδίων τα οποία υπάρχουν στον χωρόχρονο BoSonic Πεδίο Fermionic Πεδίο 0 Mink ˆn Rind k 0 Mink = 0 Mink ˆn Rind Ωσ 0 Mink = 1 e 2πcω a 1 1 e 2πcω a + 1 Κατανομή BoSe-EinStein Κατανομή Fermi-Dirac T = α 2πck B θερμοκρασία Unruh 15 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 15/20

72 Φαινόμενο Unruh Αποτελέσματα Fermionic Πεδίο BoSonic Πεδίο (i cγ µ (x) µ mc 2 ) ˆΨ = 0 Κβαντική Θεωρία Σε Καμπυλωμένο ( 2 c 2 2 m 2 c 4 ξr) ˆΨ = 0 Χωρόχρονο FermionS Unruh BoSonS 1 e 2πcω a +1 1 e 2πcω a 1 16 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 16/20

73 Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20

74 Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20

75 Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20

76 Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I Για τον συντελεστή της ερυθράς μετατόπισης παίρνουμε 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20

77 Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I Για τον συντελεστή της ερυθράς μετατόπισης παίρνουμε Συντελεστής Ερυθράς Μετατόπισης V = e αξ 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20

78 Φαινόμενο Unruh Τελική Ανάλυση Κάτω από έναν μετασχηματισμό Kruskal έχουμε Μετασχηματισμός Kruskal x = eξα α cosh(αη) t = eξα α sinh(αη), < η, ξ < Περιοχή I Για τον συντελεστή της ερυθράς μετατόπισης παίρνουμε Συντελεστής Ερυθράς Μετατόπισης V = e αξ Όπου μέσω αυτού του συντελεστή έχουμε πως ένας απομακρυσμένος παρατηρητής δεν παρατηρεί την θερμική εκπομπή 17 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 17/20

79 Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20

80 Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20

81 Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20

82 Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας Το φαινόμενο αυτό οδήγησε στον ορισμό του θερμικού χρόνου που αποτελεί σημαντική υπόθεση της κβαντικής βαρύτητας βρόχων 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20

83 Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας Το φαινόμενο αυτό οδήγησε στον ορισμό του θερμικού χρόνου που αποτελεί σημαντική υπόθεση της κβαντικής βαρύτητας βρόχων 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20

84 Φαινόμενο Unruh Κίνητρα για την κβαντική μελέτη της βαρύτητας Τελικώς το φαινόμενο Unruh δίνει κίνητρο για την μελέτη της κβαντικής βαρύτητας Το φαινόμενο αυτό οδήγησε στον ορισμό του θερμικού χρόνου που αποτελεί σημαντική υπόθεση της κβαντικής βαρύτητας βρόχων 18 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh /20 18/20

85 Ερωτήσεις 19 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 19/20

86 Τέλος!!! Ευχαριστώ για την Προσοχή σας 20 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 20/20

87 Τέλος!!! Ευχαριστώ για την Προσοχή σας 20 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 20/20

Ακτινοβολία Hawking. Πιέρρος Ντελής. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. July 3, / 29. Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 1/29

Ακτινοβολία Hawking. Πιέρρος Ντελής. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. July 3, / 29. Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 1/29 Ακτινοβολία Hawking Πιέρρος Ντελής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΣΕΜΦΕ July 3, 2013 1 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 1/29 Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΖΩΡΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Επιβλέπων καθηγητής:αναγνωστοπουλοσ Κ. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ-ΣΕΜΦΕ 26 Σεπτεμβρίου 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θερμοδυναμική Μελανών Οπών Σε Χωροχρόνους Anti-de Sitter Σταύρος Χριστοδούλου ΜΑΪΟΣ 2017 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θερμοδυναμική Μελανών Οπών

Διαβάστε περισσότερα

ds 2 = 1 y 2 (dx2 + dy 2 ), y 0, < x < + (1) dx/(1 x 2 ) = 1 ln((1 + x)/(1 x)) για 1 < x < 1. l AB = dx/1 = 2 (2) (5) w 1/2 = ±κx + C (7)

ds 2 = 1 y 2 (dx2 + dy 2 ), y 0, < x < + (1) dx/(1 x 2 ) = 1 ln((1 + x)/(1 x)) για 1 < x < 1. l AB = dx/1 = 2 (2) (5) w 1/2 = ±κx + C (7) ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Θ. Τομαράς 1. ΤΟ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Το υπερβολικό επίπεδο ορίζεται με τη μετρική ds = 1 y dx + dy ), y 0, < x < + 1) α) Να υπολογίσετε το μήκος της γραμμής της παράλληλης στον

Διαβάστε περισσότερα

ξ i (t) = v i t + ξ i (0) (9) c (t t 0). (10) t = t, z = z 1 2 gt 2 (12)

ξ i (t) = v i t + ξ i (0) (9) c (t t 0). (10) t = t, z = z 1 2 gt 2 (12) Η ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1 Κίνηση σώματος σε πεδίο βαρύτητας Εδώ θα εφαρμόσουμε την Ι.Α.Ι. και τις γνώσεις μας από την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας για να παράγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια

Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια Κεφάλαιο 1 Σχετικιστικές συμμετρίες και σωμάτια 1.1 Η συμμετρία Πουανκαρέ 1.1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Η θεμελιώδης κινηματική συμμετρία για ένα φυσικό σύστημα είναι η συμμετρία των μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

c 4 (1) Robertson Walker (x 0 = ct) , R 2 (t) = R0a 2 2 (t) (2) p(t) g = (3) p(t) g 22 p(t) g 33

c 4 (1) Robertson Walker (x 0 = ct) , R 2 (t) = R0a 2 2 (t) (2) p(t) g = (3) p(t) g 22 p(t) g 33 ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Α. Η ΕΞΙΣΩΣΗ EINSTEIN Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς G µν R µν 1 g µν R = κ T µν, κ 8πG N c 4 (1) Β. Η ΕΞΙΣΩΣΗ FRIEDMANN. Για ομογενή και ισότροπο χωρόχρονο έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια και αστάθεια των ακραίων μελανών οπών

Ευστάθεια και αστάθεια των ακραίων μελανών οπών Ευστάθεια και αστάθεια των ακραίων μελανών οπών κατά τον Στέφανο Αρετάκη (Cambridge/Princeton) Πάτρα, 19 Μαΐου 2012 κατά τον Στέφανο Αρετάκη(Cambridge/Princeton) 1 1. Σύντομη περίληψη της γενικής σχετικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικός υπολογισμός τροχιών σωμάτων στη γεωμετρία Schwarzschild. Κουλούρης Κωνσταντίνος

Αριθμητικός υπολογισμός τροχιών σωμάτων στη γεωμετρία Schwarzschild. Κουλούρης Κωνσταντίνος Αριθμητικός υπολογισμός τροχιών σωμάτων στη γεωμετρία Schwarzschild Κουλούρης Κωνσταντίνος Σύνοψη Σχετικότητα Ειδική και γενική θεωρία Γεωμετρία Swarzschild Μετρική και εξισώσεις γεωδαιτικών τροχιών Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ: Ιστορική εξέλιξη και σύγχρονα πειράματα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ: Ιστορική εξέλιξη και σύγχρονα πειράματα ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ: Ιστορική εξέλιξη και σύγχρονα πειράματα ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Νάουσα, 31/3/2012 Περιεχόμενα 1. Ειδική Θεωρία Σχετικότητας (ΕΘΣ)

Διαβάστε περισσότερα

Πληθωριστική Κοσμολογία

Πληθωριστική Κοσμολογία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΝΑΝΟΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών

Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών ιάδοση ηχητικών κυµάτων σε ρευστά. Ηχητικά κύµατα σε ακίνητο ρευστό. Εξίσωση συνέχειας: ρ t + ~ (ρ~v) =0 Εξίσωση Euler: ~v t +(~v ~ )~v = 1 ρ ~ p ( ~ Φ +...) Μικρές διαταραχές:

Διαβάστε περισσότερα

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x

1 + Φ r /c 2 = 1 (1) (2) c 2 k y 1 + (V/c) 1 + tan 2 α = sin α (3) tan α = k y k x ΛΥΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 Θ. Τομαράς 1. Πρωτόνια στις κοσμικές ακτίνες φτάνουν ακόμα και ενέργειες της τάξης των 10 20 ev. Να συγκρίνετε την ενέργεια αυτή με την ενέργεια που έχει μια πέτρα που πετάτε με

Διαβάστε περισσότερα

iii vii de Sitter Einstein-Hilbert Hartle-Hawking

iii vii de Sitter Einstein-Hilbert Hartle-Hawking ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Διπλωματική εργασία: Κυματοσυνάρτηση Hartle-Hawking στην R 2 θεωρία Ευτύχιος Καϊμακκάμης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Τούμπας Τμήμα Φυσικής Σχολή Θετικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

1 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ

1 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ 1 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1.1 Newton s law A. Newton s law: Περιγράφει τη κίνηση υλικού σημείου μάζας m σε χωρο-χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο δυνάμεων F. Σε Αδρανειακό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΡΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΡΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΡΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 12ο Θερινό Σχολείο Αστρονομίας Βόλος, 8/7/2011 Περιεχόμενα 1. Ειδική Θεωρία Σχετικότητας (ΕΘΣ) 2. Γενική Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στην Ειδική Θεωρία Σχετικότητας 19 Ιουνίου 2013

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στην Ειδική Θεωρία Σχετικότητας 19 Ιουνίου 2013 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στην Ειδική Θεωρία Σχετικότητας 19 Ιουνίου 213 Τα δεδομένα όλων των ερωτημάτων αναφέρονται σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός c είναι ίση με 1. Σας προτρέπουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ. Διευκρινίσεις για την ύλη του μαθήματος ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ. Διευκρινίσεις για την ύλη του μαθήματος ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Διευκρινίσεις για την ύλη του μαθήματος ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Η ύλη του μαθήματος «Κοσμολογία» περιέχεται στις νέες σημειώσεις του μαθήματος (ανάρτηση 2016) και στο βιβλίο γενικής σχετικότητας που έχετε

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3 Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση Θωµάς Μελίστας Α 3 Σύµφωνα µε την κλασσική µηχανική και την γενική αντίληψη η µάζα είναι µία εγγενής ιδιότητα των φυσικών σωµάτων. Μάζα είναι η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ είναι ο τομέας τις ϕυσικής που προσπαθεί να εξηγήσει την γένεση και την εξέλιξη του σύμπαντος χρησιμοποιώντας παρατηρήσεις και τ

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ είναι ο τομέας τις ϕυσικής που προσπαθεί να εξηγήσει την γένεση και την εξέλιξη του σύμπαντος χρησιμοποιώντας παρατηρήσεις και τ ΗΡΑΚΛΕΙΟ, 10 Οκτωβρίου, 2017 ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΑΡΧΑΡΙΟΥΣ Πανεπιστήμιο Κρήτης 1- ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ είναι ο τομέας τις ϕυσικής που προσπαθεί να εξηγήσει την γένεση και την εξέλιξη του σύμπαντος χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εξερευνώντας το Σύμπαν με τα Κύματα της Βαρύτητας

Εξερευνώντας το Σύμπαν με τα Κύματα της Βαρύτητας Εξερευνώντας το Σύμπαν με τα Κύματα της Βαρύτητας ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Νάουσα, 28/11/2015 Πως διαδίδεται η βαρυτική έλξη; 1900: ο Lorentz προτείνει

Διαβάστε περισσότερα

Ομοιογενείς Κοσμολογίες

Ομοιογενείς Κοσμολογίες Ομοιογενείς Κοσμολογίες Δημήτρης Π. Μάγγος Διπλωματική Εργασία Υπεύθυνος: Ιωάννης - Σωτήριος Μπάκας Abstract In this thesis a description of formalism Hamiltonian, ADM, for gravitational systems. Also

Διαβάστε περισσότερα

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ Κ. Ν. Γουργουλιάτος ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ Αντικείμενα που εμποδίζουν την διάδοση φωτός από αυτά Πρωτοπροτάθηκε γύρω στα 1783 (John( John Michell) ως αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σεμινάριο Φυσικής Ενότητα 14

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σεμινάριο Φυσικής Ενότητα 14 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σεμινάριο Φυσικής Ενότητα 14 Γεωργακίλας Αλέξανδρος Ζουμπούλης Ηλίας Μακροπούλου Μυρσίνη Πίσσης Πολύκαρπος Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα Κύματα της Βαρύτητας

Τα Κύματα της Βαρύτητας Τα Κύματα της Βαρύτητας ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΟΦΑ, 24/1/2015 Πως διαδίδεται η βαρυτική έλξη; 1900: ο Lorentz προτείνει ότι η δύναμη της βαρύτητας δε

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Κριτικά σχόλια επί της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας όπως αυτή αναπτύσσεται από τους Landau-Lifshitz

Κριτικά σχόλια επί της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας όπως αυτή αναπτύσσεται από τους Landau-Lifshitz ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Πτυχιακή Εργασία Κριτικά σχόλια επί της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας όπως αυτή αναπτύσσεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου. (Κλασική θεώρηση) αφού σύμφωνα με τα πειράματα Mickelson-Morley είναι c =c.

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου. (Κλασική θεώρηση) αφού σύμφωνα με τα πειράματα Mickelson-Morley είναι c =c. ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου. (Κλασική θεώρηση) y y z z t t Το οποίο οδηγεί στο ότι - υ.(άτοπο), αφού σύμφωνα με τα πειράματα Mikelson-Morley είναι. Επίσης y y, z z, t t Το οποίο ( t t ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βαρυτικά Κύματα ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Βαρυτικά Κύματα ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Βαρυτικά Κύματα ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Θεσσαλονίκη, 6/4/2014 Νευτώνεια βαρύτητα 1687: Ο Νεύτωνας θεωρούσε ότι η βαρύτητα δρα ακαριαία σε οσοδήποτε μεγάλες

Διαβάστε περισσότερα

Η «ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ» ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Η «ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ» ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Η «ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ» ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΑΘΗΝΑ,ΜΑΡΤΗΣ 2011 ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟΓΟΥ Αφορμή για την παρακάτω εργασία αποτέλεσε μια παρατήρηση του συνάδελφου (και φίλου) Διονύση Μητρόπουλου, για την «προσθετική

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Αριθμητικός υπολογισμός τροχιών σωμάτων στη γεωμετρία Schwarzschild ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΚΟΥΛΟΥΡΗ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Quantum hadrodynamics and applications to nuclear matter.

Quantum hadrodynamics and applications to nuclear matter. ARISTOTLE UNIVERSITY OF THESSALONIKI DEPARTMENT OF THEORETICAL PHYSICS Quantum hadrodynamics and applications to nuclear matter. Author STEFANOPOULOS DIMITRIOS Supervisor GAITANOS THEODOROS October 3,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 23 Μαρτίου 2015 (πτυχιακή περίοδος)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 23 Μαρτίου 2015 (πτυχιακή περίοδος) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 23 Μαρτίου 25 (πτυχιακή περίοδος) Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΜΕ ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

ΕΞΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΜΕ ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΕΞΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΜΕ ΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Κατερίνη, 7/5/2016 14 Σεπτεµβρίου 2015 14 Σεπτεµβρίου 2015 14 Σεπτεµβρίου 2015

Διαβάστε περισσότερα

T fi = 2πiδ(E f E i ) [< f V i > + 1 E i E n. < f V n > E i H 0 164/389

T fi = 2πiδ(E f E i ) [< f V i > + 1 E i E n. < f V n > E i H 0 164/389 164/389 Ο διαδότης του ηλεκτρονίου Από την μη σχετικιστική θεωρία είχαμε δει T fi = 2πiδ(E f E i ) < f V i > + < f V n > n i 1 < n V i > +... E i E n όπου H 0 n >= E n n >. Φορμαλιστικά μπορούμε να γράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 20-Μάη-2016

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 20-Μάη-2016 ΦΥΣ. 11 Τελική Εξέταση 0-Μάη-016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολη Εϕαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεας Φυσικης «Σκέδαση Βαθμωτών Πεδίων σε Μελανές Οπές» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Στυλογιάννη Αντώνη Επιβλέπων: Κεχαγιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Κ. Βελλίδης & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 018 Συντεταγμένες Κ. Βελλίδη (Στοιχειώδη Σωμάτια): Τομέας ΠΦΣΣ: β όροφος, 10-77-6946 ΙΕΣΕ: β όροφος,

Διαβάστε περισσότερα

Ανακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: "" r ) δ r! i i. m i. ! r i

Ανακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά:  r ) δ r! i i. m i. ! r i Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές

Διαβάστε περισσότερα

«Κενό» και «σωματίδια» στις σχετικιστικές κβαντικές θεωρίες: παράδοξες πτυχές

«Κενό» και «σωματίδια» στις σχετικιστικές κβαντικές θεωρίες: παράδοξες πτυχές «Κενό» και «σωματίδια» στις σχετικιστικές κβαντικές θεωρίες: παράδοξες πτυχές Αριστείδης Αραγεώργης Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διάγραμμα 1. Προλεγόμενα:

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 (περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 7 Οκτωβρίου 2014 περίοδος Σεπτεμβρίου 2013-14 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεµελιώδες Θεώρηµα Θεωρίας Επιφανειών Αφορά στην ανάπτυξη τριών διαφορετικών εξισώσεων (Gauss-Cdazzi)

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

E + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389

E + m. m + E 2m (σ p)/(2m) v. i( p) x = v(p, 97/389 97/389 Χρησιμοποιώντας τον ίδιο νορμαλισμό N = E + m έχουμε vp, s = σ p E + m E +m χs χ s, s =, 2 και ψ = vp, se i p x = vp, se ip x με p = E, p. Η επιλογή είναι χ = και χ 2 = γιατί η απουσία ενός άνω

Διαβάστε περισσότερα

Μελανές Οπές: λύζεις, ταρακηηριζηικά και νόμοι ποσ ηις διέποσν

Μελανές Οπές: λύζεις, ταρακηηριζηικά και νόμοι ποσ ηις διέποσν ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ ΥΟΛΗ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΤΙΚΩΝ ΔΠΙΣΗΜΩΝ ΥΟΛΗ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΔΚΔΦΔ «ΓΗΜΟΚΡΙΣΟ» ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΝΑΝΟΔΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΝΑΝΟΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΠΤΡΗΝΙΚΗ ΚΑΙ ΩΜΑΣΙΓΙΑΚΗ ΦΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble

1 Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble Σύμφωνα με την Κοσμολογική Αρχή το Σύμπαν είναι σε μεγάλες κλίμακες ομογενές και ισότροπο.

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο

Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο ιατµηµατικο Προγραµµα Μεταπτυχιακων Σπουδων Φυσικη και Τεχνολογικες Εφαρµογες Μη-τετριµµένοι Κινητικοί Οροι Βαθµωτού Πεδίου και Παραγωγή Σωµατιδίων ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Κωνσταντίνου

Διαβάστε περισσότερα

u'+v u= 1+(u'v/c c+c=c Δx Δx'+vΔt' (Δx'/Δt')+v Δt Δt'+(v/c )Δx' 1+(v/c )(Δx'/Δt')

u'+v u= 1+(u'v/c c+c=c Δx Δx'+vΔt' (Δx'/Δt')+v Δt Δt'+(v/c )Δx' 1+(v/c )(Δx'/Δt') Μετασχηματισμοί Lorentz Σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας οι νόμοι της φυσικής είναι ανεξάρτητοι από το αν το σύστημα αναφοράς κινείται ή είναι ακίνητο. x =γ(x-vt), y =y, z =z, t =γ(t-vx/c

Διαβάστε περισσότερα

Αθανάσιος Χρ.Τζέμος (Α.Μ 286) Μεταπτυχιακός Φοιτητής Θεωρητικής Φυσικής «Γενική Σχετικότητα» 11/3/2008

Αθανάσιος Χρ.Τζέμος (Α.Μ 286) Μεταπτυχιακός Φοιτητής Θεωρητικής Φυσικής «Γενική Σχετικότητα» 11/3/2008 Αθανάσιος Χρ.Τζέμος (Α.Μ 86) Μεταπτυχιακός Φοιτητής Θεωρητικής Φυσικής «Γενική Σχετικότητα» /3/008 Μια νέα απόδειξη του θεωρήματος της θετικής ενέργειας Στο παρόν πόνημα θα γίνει προσπάθεια να σκιαγραφηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

9. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

9. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 344 9. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στην περίπτωση συνεχών δυναμικών συστημάτων η περιγραφή γίνεται με πεδία, δηλαδή με μεγέθη που είναι συναρτήσεις της θέσης του συνήθους τρισδιάστατου χώρου και του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος A: Νευτώνιες τροχιές (υπό την επίδραση συντηρητικών δυνάμεων) (3.0 μονάδες)

Μέρος A: Νευτώνιες τροχιές (υπό την επίδραση συντηρητικών δυνάμεων) (3.0 μονάδες) Theory LIGO-GW150914 (10 μονάδες) Q1-1 Το 015, το παρατηρητήριο βαρυτικών κυμάτων LIGO ανίχνευσε για πρώτη φορά τη διέλευση των βαρυτικών κυμάτων (gravitational waves ή GW) διαμέσου της Γης. Το συμβάν

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία Διδάσκων: Θεόδωρος Τομαράς, Πανεπιστήμιο Κρήτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εβδομάδα 1 Σχετικότητα 1.1 Η ανεπάρκεια της μηχανικής του Νεύτωνα V1.1.1 Σύντομη εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα

Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα Θερµοδυναµικές Ιδιότητες Συστηµάτων µε Ιδιοβαρύτητα ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Συγγραφέας : Γεώργιος Α. Αλέστας Επιβλέπων Καθηγητής : Χ. Αναστόπουλος Περιεχόµενα 1 Σφαιρικές Λύσεις των Εξισώσεων Einstein 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΟΧΙΩΝ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΒΑΘΜΩΤΩΝ-ΤΑΝΥΣΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΟΧΙΩΝ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΒΑΘΜΩΤΩΝ-ΤΑΝΥΣΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΡΟΧΙΩΝ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΑΣΤΕΡΕΣ ΝΕΤΡΟΝΙΩΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΒΑΘΜΩΤΩΝ-ΤΑΝΥΣΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Τηλέμαχος Μ. Αθανασιάδης Ιούνιος 2014 Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Στεργιούλας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 10, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας 1 Ορμή και Ενέργεια στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Σκοπός της δέκατης διάλεξης: 10/11/12 Η κατανόηση των εννοιών της ολικής ενέργειας, της κινητικής ενέργειας και της ορμής στην ειδική θεωρία της

Διαβάστε περισσότερα

Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz

Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Με αφετηρία τις δυο απαιτήσεις της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein θα βρούμε τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz Πρώτη απαίτηση: Όλοι οι αδρανειακοί παρατηρητές

Διαβάστε περισσότερα

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση εννοιών ρευστομηχανικής

Ανασκόπηση εννοιών ρευστομηχανικής Υδραυλική &Υδραυλικά Έργα Ανασκόπηση εννοιών ρευστομηχανικής Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Φωτογραφίες σχηματισμού σταγόνων νερού Φωτογραφίες schlieren θερμικά

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση Διπλωματικής

Παρουσίαση Διπλωματικής Παρουσίαση Διπλωματικής ΘΕΩΡΙΕΣ ΠΕΔΙΟΥ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΑΠ 2 Σεπτεμβρίου 2012 Περιεχόμενα 1 2 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εισαγωγή επιπλέον διαστάσεων στον τετραδιάστατο χωροχρόνο δεν είναι μια καινούργια ιδέα, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ: Κοσμολογικά Μοντέλα

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ: Κοσμολογικά Μοντέλα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ: Κοσμολογικά Μοντέλα.1 Βασικές Εξισώσεις Οπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, οι εξισώσεις του Einstein για ένα εξελισσόμενο στο χρόνο σύμπαν, που περιγράφεται από το στοιχείο μήκους Robertson-Walker

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Αδρανειακή Βαρυτική Μάζα Σύμφωνα με τον Νεύτωνα η μάζα ενός σώματος ορίζεται με δύο τρόπους: Μέσω του δευτέρου νόμου F=ma. (Αδρανειακή Μάζα). Ζυγίζοντας το σώμα και εφαρμόζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Αστρικές Ατμόσφαιρες Ισορροπίες Βασικοί Ορισμοί

Αστρικές Ατμόσφαιρες Ισορροπίες Βασικοί Ορισμοί Αστρικές Ατμόσφαιρες Ισορροπίες Βασικοί Ορισμοί Ισορροπία Θερμική Θερμοδυναμική Υδροστατική Ακτινοβολιακή Θερμική Ισορροπία Συνθήκη Θερμικής Ισορροπίας: dl dm r r ε: συντελεστής παραγωγής ενέργειας (de/gr/sec)

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Κώστας. Κόκκοτας Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Σηµειώσεις για τους ϕοιτητές 13 Φεβρουαρίου 2008 Περιεχόµενα 1 Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΧΩΡΩΝ...................... 1 1.1 ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ......................................

Διαβάστε περισσότερα

108/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματ

108/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματ 8/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματισμού κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz ώστε να φτιάξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν οι Μελανές Οπές;

Υπάρχουν οι Μελανές Οπές; Υπάρχουν οι Μελανές Οπές; ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Θεσσαλονίκη, 10/2/2014 Σκοτεινοί αστέρες 1783: Ο John Michell ανακαλύπτει την έννοια ενός σκοτεινού αστέρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας Ιούνιος Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός είναι c. Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται

Διαβάστε περισσότερα

3.0.2 F(R) μορϕή Mach s Principle... 43

3.0.2 F(R) μορϕή Mach s Principle... 43 Διπλωματική Εργασία: Θεωρίες Βαρύτητας Brans-Dicke και εϕαρμογές Παπαγιαννόπουλος Γιάννης 28 Ιουνίου 2016 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στη Γενική Σχετικότητα 9 1.1 Γεωμετρικά αντικείμενα και Τανυστές.............................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΩΣΤΑΣ ΚΟΚΚΟΤΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Σηµειώσεις για τους ϕοιτητές 3 Μαρτίου 2005 Περιεχόµενα 1 ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.................................... 1 1.1 ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.................................

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδη Σωματίδια II. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά

Στοιχειώδη Σωματίδια II. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωματίδια II Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά Η εξίσωση Dirac Οι Ασθενείς Αλληλεπιδράσεις 29-5-2014 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωµάτια 2 Η κυματική εξίσωση ελεύθερου σωματιδίου 3 Η σχετικιστική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες ΦΥΣ 211 - Διαλ.06 1 Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε μέχρι τώρα: q Συζητήσαμε συστήματα πολλών σωμάτων Ø Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Ø Νόμους δράσης-αντίδρασης Ø Ορμές, νόμους διατήρησης (γραμμική ορμή,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz

Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Με αφετηρία τις δυο απαιτήσεις της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein θα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ η ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ η ΕΡΓΑΣΙΑ 15/10/2004 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΕΥ34 2004-05 1 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσμία παράδοσης 15/11/2004 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Επιβάτης τραίνου, το οποίο κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ = 0.6c στη διεύθυνση του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 1. Μετρήσεις 2. Κίνηση σε μία, δύο και τρεις διαστάσεις 3. Δυναμική της κίνησης- Νόμοι

Διαβάστε περισσότερα

δ x δs 2 = δx 2 + δy 2 + δz 2 x 1 y W=mg F = m a

δ x δs 2 = δx 2 + δy 2 + δz 2 x 1 y W=mg F = m a Εκατ χρ νια µε τον Αϊνστάιν ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΙΩΨΗΣ Πανεπιστήµιο Τεννεσσή 12 Ιουνίου 2005 100 χρ νια πέρασαν απ τη χρονιά των µεγάλων ανακαλ ψεων του Αϊνστάιν που άλλαξαν τον τρ πο που αντιλαµβαν µαστε θεµελιώδεις

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton ΦΥΣ 211 - Διαλ.11 1 Εξισώσεις κίνησης του Hamilton q Newtonian Lagrangian Hamiltonian q Περιγράφουν την ίδια φυσική και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα q Διαφορές είναι στο τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αστροφυσική. Ενότητα # 5: Μαγνητικά Πεδία στην Αστροφυσική. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Αστροφυσική. Ενότητα # 5: Μαγνητικά Πεδία στην Αστροφυσική. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αστροφυσική Ενότητα # 5: Μαγνητικά Πεδία στην Αστροφυσική Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 18: Νόμοι Maxwell Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσίασει τις εξισώσεις Maxwell. 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικής Σχετικότητας

Ασκήσεις Γενικής Σχετικότητας Ασκήσεις Γενικής Σχετικότητας 14 Δεκεμβρίου 014 1 Αστέρας νετρονίων Σχετική θεωρία: στατικές, σφαιρικά συμμετρικές λύσεις των εξισώσεων Einstein, εξίσωση Oppenheimer- Volkoff. Μια στατική σφαιρικά συμμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης. Σειρά ΙΙ 2

Περιεχόμενα. Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης. Σειρά ΙΙ 2 Περιεχόμενα Εξίσωση Συνέχειας Αστρόβιλη Ροή Εξισώσεις Κίνησης Σειρά ΙΙ 2 Πεδίο ταχύτητας Όγκος Ελέγχου Καρτεσιανές Συντεταγμένες w+(/)dz z y u dz u+(/ x)dx x dy dx w Σειρά ΙΙ 3 1. Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 2018

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 2018 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας 4 Σεπτεμβρίου 018 Αν θέλετε μπορείτε να επεξεργαστείτε όλα τα προβλήματα σε σύστημα μονάδων όπου η ταχύτητα του φωτός είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Προσδιορισμός του λόγου Μ/R μέσω αριθμητικής επίλυσης των εξισώσεων Tolman-Oppenheimer-Volkov για μη περιστρεφόμενους σφαιρικά

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΙΧΑΗΛ Ε.

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΙΧΑΗΛ Ε. ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΙΘΕΡΑ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα