ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΚΕΝΤΡΟ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ Αμπελόκηποι, ΛΑΓΑΝΑ Αθήνα Ph.D. Τηλ.: , e-mal: Τηλ.: , ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 Τηλ.: , e-mal: ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ ΕΔΟΥΑΡΔΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KETΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: e-mal: Δεν επιτρέπεται η ολική ή μερική αναδημοσίευση του κειμένου ή των σχημάτων χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα.

3 Τηλ.: , e-mal: Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται εντός του βαρυτικού πεδίου μιας σημειακής μάζας Μ η οποία βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και είναι ακλόνητη. (α) Γράψτε τη δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο σε διανυσματική μορφή εξηγώντας όλους τους όρους, (β) Εξηγήστε γιατί η κίνηση του σωματιδίου θα είναι επίπεδη, (γ) Αν ˆ το μοναδιαίο ακτινικό διάνυσμα που συνδέεται με τη θέση ενός σωματιδίου, υ η ταχύτητα του σωματιδίου και l υ η στροφορμή ανά μονάδα μάζας του σωματιδίου, δείξτε ότι το διάνυσμα A lυ G M ˆ διατηρείται, δηλαδή παραμένει σταθερό κατά την κίνηση του σωματιδίου. (δ) Υπολογίστε το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος θέσης με το A χρησιμοποιώντας την ταυτότητα l υ υ l. Στη συνέχεια, γράψτε το εσωτερικό γινόμενο A A cosθ, και λύστε τη σχέση (του εσωτερικού γινομένου) ως προς. (ε) Έχετε κατασκευάσει κατ ουσίαν την πολική εξίσωση μιας κωνικής τομής (δείξτε το). Μπορείτε τώρα να ερμηνεύσετε τη φυσική σημασία του μέτρου του A ; Συγκεκριμένα μπορείτε να προβλέψετε τη τιμή του αν η τροχιά του σωματιδίου είναι κυκλική; Για να επιβεβαιώσετε το αποτέλεσμά σας επιλέξτε κατάλληλες αρχικές συνθήκες ώστε να έχετε μια κυκλική τροχιά και εισάγετε αυτές στον ορισμό του A (ερώτημα 3). Τι τιμή παίρνετε για το A ; (α) Η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο από τη σημειακή μάζα είναι: Mm F G ˆ όπου G η παγκόσμια βαρυτική σταθερά, Μ και m οι μάζες των σωμάτων, η απόσταση μεταξύ των κέντρων μάζας των σωμάτων. Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο ότι η δύναμη είναι ελκτική. (β) Η στροφορμή ενός σωματιδίου μάζας m ορίζεται ως εξής: L p dl d dp dl Όμως p υ mυ F 0 F Η δύναμη της βαρυτικής έλξης είναι κεντρική, δηλαδή είναι της μορφής F F ˆ ενώ το διάνυσμα θέσης ορίζεται ως ˆ. Συνεπώς το γινόμενο F 0. Το διάνυσμα της στροφορμής διατηρείται και είναι κάθετο στη θέση και στην ταχύτητα. Επομένως L 0 L xˆ L yˆ L x y zˆ z x xˆ y yˆ zzˆ 0 Αφού η στροφορμή διατηρείται, οι συνιστώσες της θα διατηρούνται σταθερές. Συνεπώς: Lxx Lyy Lzz 0 αx βy γz 0, η οποία είναι εξίσωση επιπέδου da (γ) Για να παραμείνει σταθερό το διάνυσμα A, θα πρέπει 0. Οπότε

4 Ττ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: , e-mal: da d dl dυ d ˆ l υ GM ˆ υ l GM Όμως l υ L m, επομένως dl 0. Αφού η κίνηση είναι επίπεδη, χρησιμοποιούνται πολικές d ˆ συντεταγμένες. Είναι γνωστό ότι θθˆ. Άρα da 0 lα G M θθˆ F GM Από τον ο Νόμο του Νεύτωνα προκύπτει α ˆ. Επομένως: m da l GM ˆ G M θθ ˆ όμως ˆ ˆ ˆ l υ θθ θz ˆ Οπότε da θzˆ GM ˆ G M θθ ˆ G M θθ ˆ G M θθ ˆ 0 Επομένως, το A διατηρείται σταθερό. Η διατήρηση του διανύσματος αυτού σε πεδία δυνάμεων αντιστρόφου τετραγώνου διασφαλίζει ότι η τροχιά όχι απλώς θα είναι ελλειπτική (όπως ορίζει ο νόμος του Keple) αλλά θα αναπαράγεται πάντα η ίδια έλλειψη. Δηλαδή απορρίπτονται τροχιές όπως οι παρακάτω:

5 Τηλ.: , e-mal: (δ) A l υ GM ˆ ˆ Όμως υˆ l. Άρα ˆ ˆ A l υ GM υ l GM A l GM A cos θ l GM l GM A cosθ l GM A cosθ (ε) Η εξίσωση κωνικής τομής έχει τη μορφή p 1 ecosθ, όπου e η εκκεντρότητα και p μια σταθερά. (l /GM) Η εξίσωση που κατασκευάσαμε προηγουμένως, είναι ακριβώς η εξίσωση A 1 cosθ GM κωνικής τομής με p l /GM και e A/GM. Αν η τροχιά του σωματιδίου είναι κυκλική, τότε η εκκεντρότητα είναι μηδέν e 0 και κατά συνέπεια A 0. Στο ερώτημα (γ), είχαμε ότι A lυ G M ˆ Για κυκλική τροχιά, έχουμε: x xˆy y ˆ υ x xˆy y ˆ Επιλέγουμε αρχικές συνθήκες ως εξής: 0 0ˆ x υ 0 υ 0ˆ y Επίσης όπου ˆ x. ˆ Επειδή το A είναι ένα διατηρήσιμο μέγεθος, προκύπτει: ˆ A l 0 υ 0 GMx 0 υ 0 υ 0 GMxˆ A 0xˆ υ0yˆ υ0yˆ GMxˆ 0 υ0 xˆ GMxˆ Όταν έχουμε κυκλική τροχιά, η βαρυτική δύναμη παίζει ρόλο κεντρομόλου: GMm m υ0 GM 0υ0, 0 0 με αποτέλεσμα να επαληθεύεται ότι A 0.

6 Τηλ.: , e-mal: (α) Να υπολογίσετε το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση από το κέντρο ευθύγραμμης ράβδου μήκους α της οποίας η γραμμική πυκνότητα μάζας ισούται με dm λ σταθερά dx (η απόσταση μετριέται κάθετα στη διεύθυνση της ράβδου). {Υπενθύμιση: Το ολοκλήρωμα α dx 1 ισούται με x α snh α/ }. (β) Υπολογίστε τώρα τη βαρυτική δύναμη που ασκεί η ράβδος αυτή σε σημειακό σωματίδιο μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση από αυτήν. {Μπορείτε να την υπολογίσετε είτε απευθείας από το δυναμικό, είτε με ολοκλήρωση. Ίσως σας χρειαστεί το ολοκλήρωμα α dx α } 3/ α x α (γ) Υπολογίστε το όριο του δυναμικού όταν α και όταν α. (δ) Υπολογίστε το όριο της δύναμης όταν α και όταν α. Μπορείτε να δικαιολογήσετε την εξάρτηση της δύναμης από την απόσταση στις δύο περιπτώσεις; (ε) Βρείτε τη συνάρτηση της ταχύτητας V c() μιας κυκλικής τροχιάς ακτίνας, η οποία εκτελείται στο μεσοκάθετο επίπεδο της ράβδου, καθώς και την ταχύτητα διαφυγής του σωματιδίου από κάποιο σημείο της κυκλικής αυτής τροχιάς. (α) Άρα: Το δυναμικό στο x από μια συνεχή χωροεξαρτώμενη κατανομή πυκνότητας ρ είναι: ρxd 3 x dm φ x G, λ x x dx (β) Έχουμε ότι: α α λ dx dx φ G G λ G λ snh α/ d x 1 α α

7 Τηλ.: , e-mal: Η στοιχειώδης δύναμη θα είναι: mm 1 F G d ˆ d df G m dμ d ˆ d Από το σχήμα, βλέπουμε ότι επιβιώνουν μόνο οι συνιστώσες της δύναμης κατά την διεύθυνση ενώ αναιρούνται κατά τη x διεύθυνση. Οπότε: G m dμ dx df F G m λ ˆ 3 3/ x α x α F Gmλ ˆ α 1 (γ) Το δυναμικό είναι φ Gλsnh α/ Όταν. α δηλαδή (α/ ) 1 θα έχουμε: x x e e snh x x, όπου x α/ όπου από το ανάπτυγμα Τsalo του εκθετικού παίρνουμε τους δύο πρώτους όρους. Επομένως 1 snh α/ α/ και άρα: α GM φ G λ, M δεδομένου ότι λ και άρα M λα. α Τελικά, προκύπτει ότι: GM φ Όταν α, δηλαδή (α/ ) 1, χρησιμοποιώντας την ορισμό, θα έχουμε: x x x e e e snh x, όπου x α/ α

8 Τηλ.: , e-mal: 1 Θέτουμε snh x y x snh y. Όμως y Εξισώνοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, προκύπτει: 1 snh y lny ή με μια απλή αλλαγή του ορίσματος: 1 snh α/ ln α/ Οπότε: x e, δηλαδή x e y x ln y φ Gλ lnα/ Gλ ln α Gλ ln φ V Gλ ln (δ) Η δύναμη ισούται με Gmλα F ˆ α Όταν α, τότε α, οπότε Gmλα Gm M F ˆ ˆ. 0 Όταν α, τότε α α, οπότε Gmλα G m λ F ˆ ˆ α (ε) Αφού μελετάμε κυκλική τροχιά ακτίνας, η βαρυτική δύναμη παίζει το ρόλο της G m M m υc G M κεντρομόλου, δηλαδή υ c α α Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα διαφυγής, θα πρέπει να εφαρμόσουμε την επιπλέον συνθήκη 1 E 0 m υδ m φ 0 υδ φ υ 4Gλsnh α/ υ 4Gλsnh α/ 1 1 δ δ Ένα πλήθος Ν σωματιδίων με μάζες m 1,,, αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με δυνάμεις νευτώνειου τύπου, χωρίς να δέχονται καμία άλλη εξωτερική (εκτός του συστήματος των σωματιδίων) δύναμη. (α) Δείξτε ότι το διάνυσμα του κέντρου μάζας R που έχει διαστάσεις μήκους, ικανοποιεί την εξίσωση κίνησης ενός ελεύθερου σωματιδίου ( είναι οι θέσεις των σωματιδίων, όπως αυτές μετριούνται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς). 1 1 m m

9 Τηλ.: , e-mal: (β) Ορίζοντας τα διανύσματα θέσης του κάθε σωματιδίου ως προς τη θέση R ως R, υπολογίστε την ποσότητα: 1 m 1 Υπολογίστε επίσης τη συνολική ορμή του συστήματος ως προς το σημείο R δηλαδή την ποσότητα d Pολ m 1 (γ) Υπολογίστε τη σχέση μεταξύ της συνολικής στροφορμής των σωματιδίων, όπως αυτή υπολογίζεται ως προς την αρχή των αξόνων του αδρανειακού συστήματος, και αυτής ως προς το σημείο που βρίσκεται στη θέση R. (δ) Υπολογίστε τη σχέση μεταξύ της συνολικής κινητικής ενέργειας των σωματιδίων όπως αυτή υπολογίζεται ως προς την αρχή των αξόνων του αδρανειακού συστήματος και αυτής ως προς το σημείο που βρίσκεται στη θέση R. (ε) Τώρα παρατηρούμε τα σωματίδια από ένα μη αδρανειακό σύστημα που έχει τους άξονές του παράλληλους με αυτούς του αδρανειακού και η αρχή του οποίου κινείται σε σχέση με αυτήν του αδρανειακού ακολουθώντας την προκαθορισμένη χρονοεξαρτημένη διαδρομή 0 t. Να βρεθεί η σχέση της ολικής στροφορμής του συστήματος ως προς το μη αδρανειακό σύστημα με αυτήν ως προς το αδρανειακό σύστημα, αν στο αρχικό αδρανειακό σύστημα ήταν R 0 και για t f t ˆn όπου ˆn κάποιο σταθερό την κίνηση του μη αδρανειακού συστήματος ίσχυε ότι 0 μοναδιαίο διάνυσμα και m f t τυχαία συνάρτηση. Δικαιολογήστε το αποτέλεσμά σας. (α) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο δύο φορές το διάνυσμα που δίνεται, φτάνουμε στην εξίσωση κίνησης. R 1 1 m m 1 1 R m m α M Όμως m α F 0, διότι τα σωματίδια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με δυνάμεις νευτώνειου τύπου, χωρίς να δέχονται καμία άλλη εξωτερική δύναμη. Άρα πράγματι η εξίσωση κίνησης του ελευθέρου σωματιδίου. (β) Έχουμε: M R 0, που είναι

10 Τηλ.: , e-mal: m m R m R m m H ποσότητα που ζητείται ισούται με το μηδέν. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς το χρόνο, υπολογίζουμε τη συνολική ορμή. Δηλαδή 0 d m 0 Pολ m που είναι συμβατό με το ότι «η συνολική ορμή των σωματιδίων ως προς το σύστημα του κέντρου μάζας είναι μηδέν». (γ) Έχουμε ότι: L m υ m R υ V L m υ m R υ m V m R V L L R m υ m V M R V L L M R V Οπότε L L MR V Κατά συνέπεια, η στροφορμή ως προς το LAB, ισούται με τη στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας συν τη στροφορμή του ιδίου του κέντρου μάζας. (δ) Έχουμε ότι: 1 1 K m1υ m υ V 1 K m1 υ V υv K mυ mv mυv 1 1 K K MV MV K MV 1 Άρα K K MV Συνεπώς, η κινητική ενέργεια ως προς το LAB ισούται με την κινητική ενέργεια ως προς το κέντρο μάζας συν την κινητική ενέργεια του ιδίου του κέντρου μάζας.

11 Τηλ.: , e-mal: (ε) Θα είναι 0 t και επομένως υ υ υ0t. L m υ m 0 t υ υ0 t L m υ m υ t m t υ m t υ t L L m υ0 t 0 MV M0 υ 0 L L MR υ0 M0 V M0 υ 0 Όμως R 0, άρα V 0. Επομένως L L M 0 υ 0 L L M f t nˆ f t n ˆ Άρα L L, δηλαδή η στροφορμή μένει αναλλοίωτη στα δύο συστήματα. Σωματίδιο κινείται σύμφωνα με την εξίσωση: n 1 x nx όπου n άρτιος ακέραιος με n. (α) Γράψτε την εξίσωση ενέργειας. (β) Γράψτε την έκφραση που δίνει την περίοδο της κίνησης TE συναρτήσει της ενέργειας Ε. (γ) 1/n Κάνοντας την αλλαγή της μεταβλητής x E ξ, δείξτε ότι β TE k E όπου k μία σταθερά που δεν εξαρτάται από την ενέργεια Ε και προσδιορίστε τον εκθέτη β. (δ) Για ποιο n η περίοδος είναι ίδια για όλες τις ενέργειες; (ε) Ποια η συμπεριφορά της περιόδου με την ενέργεια στο όριο lmn TE ; (στ) Σχεδιάστε το δυναμικό στο όριο n ; Ποιο φυσικό σύστημα προσεγγίζεται σε αυτό το όριο; Μπορείτε με απλά επιχειρήματα να καταλήξετε στην εξάρτηση της περιόδου με την ενέργεια που βρήκατε στο προηγούμενο υποερώτημα; 1 (α) 1 E mυ Vx x Vx διότι m 1. Όμως: dv F x nx nx Vx x dx 1 n Επομένως η εξίσωση της ενέργειας θα είναι E x x n1 n1 n

12 Τηλ.: , e-mal: (β) 1 dx n dx n dx E x (E x ) T n (E x ) Το ολοκλήρωμα εκτελείται μεταξύ των σημείων αναστροφής του σωματιδίου (όρια της κίνησης). n 1/n Αυτά βρίσκονται μέσω της απαίτησης x 0 x E x E. Άρα 1/n 1/n E E dx T E 4 1/n E dx n n (E x ) (E x ) 0 διότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι άρτια. (γ) Εκτελούμε την αλλαγή μεταβλητής: 1/n 1/n x E ξ dx E dξ Άρα /n n n 0 0 E dξ dξ T 4 T E k E n (E Eξ ) 1ξ (δ) Για n, η περίοδος δεν εξαρτάται από την ενέργεια. Πράγματι για n, το δυναμικό γίνεται αυτό του ΑΑΤ, Vx x, όπου η περίοδος εξαρτάται αποκλειστικά από τα χαρακτηριστικά του συστήματος και όχι από τις αρχικές συνθήκες. (ε) Για T E E (στ) Για n το διάγραμμα του δυναμικού αποκτά τη μορφή τετραγωνικού φρέατος : n, η περίοδος είναι της μορφής k β 1 1 Για α x α η ενέργεια είναι E x υ 4α υ. Αντικαθιστώντας προκύπτει: Τ α Ε 8 T Τ. Όμως η ταχύτητα είναι σταθερή και ισούται με E k Σε σωματίδιο μάζας m και μοναδιαίου φορτίου που βρίσκεται στη θέση t ασκείται η δύναμη:

13 Τηλ.: , e-mal: F A t B φ η δύναμη από το ηλεκτρικό πεδίο και tb όπου A η δύναμη από ένα ιδιότυπο πεδίο που έχει κάποια κοινά με το σύνηθες μαγνητικό πεδίο. Και τα δύο πεδία έχουν χωρική μόνο εξάρτηση. (α) Δείξτε ότι κατά την κίνηση του σωματιδίου, η ποσότητα 1 E m φ δεν εξαρτάται από το χρόνο. Εξηγήστε το λόγο για τον οποίο δεν εμφανίζεται στην ποσότητα αυτή το ιδιότυπο πεδίο B. (β) Υποθέστε τώρα ότι είναι B ψ και ότι τα δύο δυναμικά φ, ψ έχουν σφαιρική συμμετρία και εξαρτώνται μόνο από την απόσταση του σωματιδίου από την αρχή, δηλαδή είναι φ, ψ. Δείξτε ότι η ποσότητα L m ψ είναι και αυτή σταθερά της κίνησης, αν το δυναμικό ψ έχει τη μορφή οποιαδήποτε σταθερά. (γ) Θεωρήστε τώρα την περίπτωση ψ 0 μ ψ, όπου μ, οπότε μηδενίζεται το πεδίο B. Εξηγήστε γιατί τότε η κίνηση του σωματιδίου γίνεται επίπεδη. Προσδιορίστε τότε το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου φ, έτσι ώστε να διατηρείται η ποσότητα K L φ {Υπενθύμιση: Θυμηθείτε ότι a b c a cb a bc, εξαρτάται μόνο από το, τότε f f ˆ, όπου ότι ˆ και ότι αν η f ˆ } (α) Για να αποτελεί η ποσότητα E m φ de 0. Άρα: 1 ολοκλήρωμα της κίνησης, θα πρέπει d 1 dφ dφ dφ m φ m m m d d de m φ που προκύπτει από το γεγονός ότι: φ φ φ dφ dx dy dz x y z dφ φ φ φ dφ x y z φ υ φ x y z

14 Τηλ.: , e-mal: Δεδομένου ότι A φ η παραπάνω σχέση γίνεται: de m A Χρησιμοποιώντας τον ο Νόμο Νεύτωνα, έχουμε: F m A t B Επομένως: de A (t) B A de B 0 Οπότε, αφού de 0, η ποσότητα Ε είναι σταθερά της κίνησης. Το B δεν εμφανίζεται στην έκφραση της Ε, διότι η σχετιζόμενη δύναμη δεν παράγει έργο. Πράγματι: d dw B d B B 0 (β) Για να αποδείξουμε ότι η ποσότητα L m ψ, είναι επίσης σταθερά της κίνησης, θα πρέπει να αποδείξουμε ότι dl 0. Παραγωγίζοντας, λαμβάνουμε: dl d m ψ dl dψ m ψ m ψ ψ Όμως, B ψ (το ψ θα μπορούσε να ερμηνευθεί ως το βαθμωτό μαγνητικό δυναμικό) και άρα: dl m B ψ Από τον ο Νόμο Νεύτωνα, προκύπτει: dl A B B ψ Χρησιμοποιώντας γνωστή ταυτότητα, ο όρος B γίνεται B B B Οπότε, τελικά προκύπτει: dl A B B ψ Όμως, μ B ψ ˆ Επίσης ˆ A 0. Άρα,, οπότε dl μ μ μ μ 0 ˆ ˆ 0

15 Τηλ.: , e-mal: (γ) Στην περίπτωση όπου ψ 0, η ποσότητα L m ταυτίζεται με τη στροφορμή η οποία εξακολουθεί να είναι μια διατηρήσιμη ποσότητα. Το διάνυσμα αυτό είναι κάθετο στη θέση και στην ταχύτητα. Επομένως: L 0 L xˆ L yˆ L x y zˆ z x xˆ y yˆ zzˆ 0 Αφού η στροφορμή διατηρείται, οι συνιστώσες της θα είναι σταθερές. Συνεπώς: Lxx Lyy Lzz 0 αx βy γz 0, η οποία είναι εξίσωση επιπέδου. Αφού απαιτούμε τη διατήρηση της ποσότητα K L φ, η οποία είναι γνωστή ως διάνυσμα Runge-Lenz, θα πρέπει dk 0. Παραγωγίζοντας προκύπτει: dk d L φ dl L dφ φ Όμως, L m, επομένως Άρα: dl m m dk m m φ φ dk m m φ φ φ φ Θα πρέπει λοιπόν: dk dφ 0 ˆ φ 0 d dφ dφ d φ d φ Ολοκληρώνοντας, εύκολα προκύπτει ότι k φ, όπου k σταθερά

16 Τηλ.: , e-mal: Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωμάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες - Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χημεία Πρακτικά Χημείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτρομαγνητισμός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντομηχανική Ι, ΙΙ Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υπολογιστές Επιλογές H σίγουρη λύση που οδηγεί στο πτυχίο