ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,"

Ἀλκαῖος Μπότσαρης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: , ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, ΑNΔΡIΑNΑ ΜΑΡΤΙΝΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: , edlag@otenet.gr Δεν επιτρέπεται η ολική ή μερική αναδημοσίευση του κειμένου ή των σχημάτων χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα.

3 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, στις συντεταγμένες u, v. Θεωρήσατε τον μετασχηματισμό x, t u, v με u t x, v t x Υπολογίστε το στοιχείο μήκους Lorentz ds dt d x Έχουμε ότι: u t x, v t x Προσθέτοντας τις ανωτέρω σχέσεις κατά μέλη, προκύπτει: u v t u v t u t v Ενώ αφαιρώντας τις ανωτέρω σχέσεις κατά μέλη, προκύπτει: u v x u x v Διαφορίζοντας ώστε να εκφράσουμε τα x, t στις συντεταγμένες u, v παίρνουμε ότι: t t d t d u d v dt d u d v u v Ενώ x x d x d u d v d x d u d v u v Υψώνοντας στο τετράγωνο τις ανωτέρω σχέσεις, έχουμε: d u d v dt d u d v d u d v d t d u d v Ομοίως, παίρνουμε: d u d v d x d u d v Κάνοντας την αντικατάσταση στο στοιχείο μήκους Lorentz, προκύπτει ότι: ds dt d x ds d u d v Άρα, ο δοθείς μετασχηματισμός δεν είναι μετασχηματισμός Lorentz, γιατί το στοιχείο μήκους Lorentz, δεν μένει αναλλοίωτο. Ηλεκτρόνιο μάζας m που ηρεμεί, απορροφά φωτόνιο συχνότητας ν το οποίο και επανεκπέμπει σε γωνία θ ως προς την αρχική διεύθυνση διάδοσης του φωτονίου. Δείξατε ότι η συχνότητα ν του εκπεμπόμενου φωτονίου δίνεται από την σχέση:

4 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, h cosθ, όπου h η σταθερά του Planck. ν ν m c Πρόκειται για το φαινόμενο Compton: Από την αρχή διατήρησης ενέργειας λαμβάνουμε: h ν m c h ν p c m c 0 e 0 Η αρχή διατήρησης ορμής δίνει: p p p e p p pe Υψώνοντας στο τετράγωνο, έχουμε: p p ppcosθ p e Όμως, η ενέργεια του φωτονίου είναι: E pc h ν pc h ν h ν Άρα προκύπτει: p, p c c Από την σχέση της ΑΔΕ, έχουμε: h ν m c h ν p c m c 0 e 0 και υψώνοντας στο τετράγωνο, προκύπτει: h ν m c h ν h νm c h νν m c h ν p c m c e 0 h ν h ν h νm0c h νν m0 c h ν pec Από την σχέση της ΑΔΟ, έχουμε: p p ppcosθ c h ν h ν h νm c h νν m c h ν 0 0 h ν h ν h ν h ν c c cosθc h ν h ν h νm 0c h νν m0c h ν c c c c h ννcosθ h νm0c h νν m0c h ν h νν h νν cosθ m0 h c ν ν cosθ mc 0 νν ν ν h cosθ ν ν m0c 3

5 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Με βάση την παρακάτω εικόνα με τα δύο στιγμιότυπα καθορίστε: (α) την ταχύτητα του αυτοκινήτου (θεωρήστε τη σταθερή). (β) την απόσταση μεταξύ των δύο σταθμών. (γ) αν το φανάρι στο δεύτερο σταυροδρόμι είναι κόκκινο την ώρα που φτάνει σε αυτό το αυτοκίνητο, θα κάνει παράβαση ο οδηγός; Υπόδειξη: Η συχνότητα του πράσινου φωτός είναι ν 9 0 Hz, ενώ του κόκκινου φωτός είναι νκοκ 3 0 Hz. πρασ (α) Έστω Σ το ΣΚΦ του αυτοκινήτου και Σ το ΣΚΦ που περιλαμβάνει τα κτίρια. Έστω u η u u,0,0. Λόγω διαστολής χρόνου είναι: 3-ταχύτητα του Σ ως προς Σ. Θεωρούμε Δt γ Δt 5 3γ γ γ 3 9 γ β β β β για κίνηση του Σ ως προς Σ κατά τον τυποποιημένο τρόπο. Άρα u c,0,0 ως προς Σ. 5 (β) Η απόσταση μεταξύ των δύο σταθμών είναι: 8 m 0 Δx u Δt sec 7. 0 m. 5 sec (γ) Από το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler, αν ν η συχνότητα ως προς Σ και ν ως προς Σ: β 5 /5 ν 30 Hz ν ν ν ν ν ν ν ν 0 Hz β 9/ Τουλάχιστον ο Σ δε βλέπει πράσινο χρώμα, άρα δε θα παρανομήσει.

Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Σωμάτια, αλληλεπιδρούν και παράγονται σωμάτια 3,. Να υπολογίσετε την ενέργεια κατωφλίου του στο ιδιοσύστημα του.

6 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Σωμάτια, αλληλεπιδρούν και παράγονται σωμάτια 3,. Να υπολογίσετε την ενέργεια κατωφλίου του στο ιδιοσύστημα του. Ξέρουμε ότι για σωματίδια με μάζα m, η ενέργεια κατωφλίου είναι η κινητική ενέργεια του σωματίου έτσι ώστε τα σωμάτια 3 και να παραχθούν με μηδενικές ορμές στο σύστημα του κέντρου μάζας. Έχουμε ότι η σχέση E p c είναι αναλοίωτη. Άρα θα ισχύει: 3 3 E E p p c E E p p c στο () στο CMS E mc pc m3c mc E m c E m c p c m c m c m m c 3 3 m c m c E m c m c m c m m c Λύνοντας ως προς E, προκύπτει: Όμως έχουμε ότι Τελικά προκύπτει ότι: 3 3 E 3 m m c m m c m c m 3 m c m m c E m E T m c 3 m m m m c m c T m 5

7 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Ένα σωματίδιο συγκρούεται με ακίνητο σωματίδιο ίδιας μάζας. Τα δύο σωματίδια εξαϋλώνονται. Μετά τη σύγκρουση παράγονται δύο φωτόνια με συχνότητες ν ν ν τα οποία κινούνται στο ο επίπεδο x-y, εκατέρωθεν του άξονα x, σχηματίζοντας γωνίες φ φ 5 με τον άξονα x αντίστοιχα. (α) Προσδιορίστε την ταχύτητα του κέντρου ορμής των φωτονίων ως διάνυσμα. (β) Προσδιορίστε την ταχύτητα του κέντρου ορμής των σωματιδίων πριν την κρούση. (γ) Προσδιορίστε την ταχύτητα και τη μάζα του κινούμενου σωματιδίου πριν την κρούση. (δ) Υπολογίστε τη συχνότητα ενός φωτονίου ως προς το σύστημα κέντρου ορμής. (ε) Μπορείτε να εκτιμήσετε τη συχνότητα του άλλου; Έστω: i E / c i mc i E i E p, p, 3p P 0 L c ê, p L c ê L L οι -ορμές των σωματιδίων. Επειδή τα δύο παραγόμενα φωτόνια έχουν ν ν ν, θα έχουν και την ίδια ενέργεια E h v. (α) Διατήρηση -ορμής: i i i i p p 3 p p () Είναι E/ c i i 3p p E () eˆ eˆ c Προφανώς ˆ ˆ ê i j, ê ˆ i ˆ j Δηλαδή: Άρα: 6 eˆ eˆ ˆi (3) L

8 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, E/ c i i 3p p Eî c () Ο παράγων β δίνεται από τη σχέση: β E c ˆ ˆ i β i u c ˆi E c (5) A ( β στο Σ) o A (β) Η αρχή διατήρηση της τετραορμής ισχύει για κάθε ΣΚΦ. Άρα: CM i CM i CM i CM i p p 3 p p Όμως, το δεξί μέρος έχει μηδενική χωρική 3-ορμή στο CM. Από την εξίσωση των συνιστωσών των πινάκων έπεται ότι και το αριστερό μέλος θα έχει μηδενική συνολική χωρική 3-ορμή. Άρα η ταχύτητα του Κ.Ο. των σωματιδίων πριν την κρούση είναι ίδια με την ταχύτητα του Κ.Ο. των φωτονίων. (γ) Από την () i i p p p p i p p i i i p p p p p p i i i 3 3 i i 3 i E E E m c m c m c 0 c c c E E m c m E E c m c (6) mc Από (6): E E E γm c γm c m c γ m c m c (7) όπου γ ο συντελεστής γ u του σωματίου ένα πριν την κρούση. Η σχέση (7) γίνεται: E E u E γ m c u m c c m c c / E E u c u c m c m c που είναι η ταχύτητά του πριν την κρούση. Η () γίνεται: i i i i i i i i p p p p p p p p 3 3 p p p p p p p p p p p p p p i i i i i i i i 3 3 i i i 3 i 3 i i (8) 7

9 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, E E E E m c m c eˆ eˆ m c m c c c c c E E m E m E 0 E Em c E m c m c c (9) Η (8) μέσω της (9) γίνεται: (δ) Είναι: Έστω / u c u c 9 u c (0) 3 / p E hv p CM i hv 3 p c ê. i i 3 3 c eˆ c eˆ L Για β ˆ i, ο γενικός μετασχηματισμός Lorentz δίνει για το χρονικό μέρος του τετρανύσματος i 3p : h v h v h v β ˆ γ β e v γβ v c c c v γβ v v γβ v () όπου γβ γ β () β Η () μέσω της (): ν ν (ε) Προφανώς ν ν ν, το οποίο επαληθεύεται εύκολα και από το μετασχηματισμό Lorentz. L L 8

10 Τηλ.: , edlag@otenet.gr, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωμάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χημεία Πρακτικά Χημείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτρομαγνητισμός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντομηχανική Ι, ΙΙ Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υπολογιστές Επιλογές H σίγουρη λύση που οδηγεί στο πτυχίο 9

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓ Α ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ Ι ΑΚΤΩΡ ΕΜΠ Ε