y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)

Transcript

1 Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y[n] 5y[n 1] + 6y[n ] = x[n 1] (1) (αʹ) Βρείτε την ομογενή απόκριση του συστήματος, δηλ. τις πιθανές εξόδους για x[n] = 0 για κάθε n. (βʹ) Βρείτε την κρουστική απόκριση του συστήματος. (γʹ) Βρείτε την απόκριση του συστήματος για x[n] = u[n]. (αʹ) Η ομογενής λύση προκύπτει ως y h [n] = A k (z k () όπου z k οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της εξίσωσης διαφορών, που εδώ είναι άρα είναι οι z 1 =, z = 3, οπότε k=1 z 5z + 6 = 0 (z )(z 3) = 0 (3) y h [n] = A 1 ( + A (3 (4) (βʹ) Η κρουστική απόκριση h[n] ισούται με την ομογενή λύση y h [n], όταν υποτεθούν συνθήκες αρχικής ηρεμίας είσοδος x[n] = δ[n]. Το σύστημα είναι αιτιατό, άρα οπότε η οποία δίνει άρα h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n ] = δ[n 1] (6) h[0] = 0 (7) h[1] = δ[0] = (8) h[0] = y h [0] = A 1 () 0 + A (3) 0 = A 1 + A = 0 (9) h[1] = y h [1] = A 1 () 1 + A (3) 1 = A 1 + 3A = (10) Το παραπάνω σύστημα δίνει λύσεις A 1 =, A =. Άρα τελικά h[n] = ( u[n] + (3 u[n] (11) 1

2 (γʹ) Εχουμε y[n] = h[n] x[n] = ( ( u[n] + (3 u[n]) u[n] (1) Κάνοντας ξεχωριστά τις συνελίξεις, έχουμε Άρα συνολικά y 1 [n] = = y [n] = k= () k u[k]u[n k] (13) () k = = 1 n+1 1 = k= () k (14) = n+1, n 0. (15) (3) k u[k]u[n k] (16) (3) k = = 1 3n (3) k (17) = n+1, n 0. (18) y[n] = y 1 [n] + y [n] (19) = n n+1, n 0 (0) = u[n] n+1 u[n] + 3 n+1 u[n] (1). Βρείτε ποιά από τα παρακάτω σήματα είναι περιοδικά, ποιά η περίοδός τους. (αʹ) x[n] = e jπn/6 (βʹ) x[n] = e j3πn/4 (γʹ) x[n] = sin(πn/5)/(πn) (δʹ) x[n] = e jπn/ Το σήμα x[n] είναι περιοδικό με περίοδο N αν x[n] = x[n + N] για κάποιον ακέραιο N. (αʹ) Εχουμε N = πk ω 0 Για k = 1, έχουμε N = 1 δείγματα. (βʹ) Εχουμε Για k = 3, έχουμε N = 8 δείγματα. N = πk ω 0 = πk π/6 = 1πk π = 1k () = πk 3π/4 = 8πk 3π = 8 3 k (3) 1 (γʹ) Το σήμα x[n] = sin(πn/5)/(πn) αποτελείται από γινόμενο δυο όρων, sin(πn/5) οποίων ο δεύτερος δεν είναι περιοδικός, άρα το γινόμενο είναι μη περιοδικό. πn εκ των

3 (δʹ) Εχουμε N = πk = πk ω 0 π/ = πk π = k (4) Δεν υπάρχει ακέραιος k που να δίνει ακέραιο N. Άρα το σήμα δεν είναι περιοδικό. 3. Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα, βρείτε αν είναι (1) ευσταθές, () αιτιατό, (3) γραμμικό, (4) χρονικά αμετάβλητο. (αʹ) T (x[n]) = (cos(πn))x[n] (βʹ) T (x[n]) = x[n ] (γʹ) T (x[n]) = x[n] (δʹ) T (x[n]) = x[k] δ[n k] (αʹ) Το σύστημα μπορεί να γραφεί ως T (x[n]) = (cos(πn))x[n] = ( 1 x[n] (5) ˆ Είναι ευσταθές, γιατί αν x[n] < B x, T (x[n]) = ( 1 x[n] B x. ˆ Είναι αιτιατό, γιατί κάθε έξοδος εξαρτάται μόνο απ την τρέχουσα τιμή της εισόδου x[n]. ˆ Είναι γραμμικό, γιατί αν T (x 1 [n]) = cos(πn)x 1 [n] (6) T (x [n]) = cos(πn)x [n] (7) T (ax 1 [n] + bx [n]) = cos(πn)(ax 1 [n] + bx [n]) = at (x 1 [n]) + bt (x [n]) (8) ˆ Είναι χρονικά μεταβλητό, γιατί για είσοδο x[n n 0 ] παίρνουμε έξοδο (βʹ) Για το σύστημα T (x[n]) = x[n ] έχουμε y 0 [n] = cos(πn)x[n n 0 ] (9) y[n n 0 ] = cos(π(n n 0 ))x[n n 0 ] y 0 [n] (30) ˆ Είναι ευσταθές, γιατί αν x[n] < B x T (x[n]) < B x. ˆ Δεν είναι αιτιατο, γιατί για να υπολογίσουμε την έξοδο y[] χρειαζόμαστε την τιμή x[4]. ˆ Είναι γραμμικό γιατί αν T (x 1 [n]) = x 1 [n ] (31) T (x [n]) = x [n ] (3) T (ax 1 [n] + bx [n]) = ax 1 [n ] + bx [n ] = at (x 1 [n]) + bt (x [n]) (33) 3

4 ˆ Είναι χρονικά μεταβλητό, γιατί για είσοδο x[n n 0 ] παίρνουμε έξοδο (γʹ) Για το σήμα T (x[n]) = x[n] δ[n k], έχουμε αρχικά ότι y 0 [n] = x[n n 0 ] (34) y[n n 0 ] = x[(n n 0 ) ] y 0 [n] (35) T (x[n]) = x[n] δ[n k] = x[n]u[n] (36) ˆ Είναι ευσταθές, γιατί αν x[n] < B x T (x[n]) = x[n] u[n] < B x. ˆ Είναι αιτιατό, γιατί εξαρτάται μόνο από τρέχουσες τιμες της εισόδου x[n]. ˆ Είναι γραμμικό γιατί αν T (x 1 [n]) = x 1 [n]u[n] (37) T (x [n]) = x [n]u[n] (38) T (ax 1 [n] + bx [n]) = (ax 1 [n] + bx [n])u[n] = at (x 1 [n]) + bt (x [n]) (39) ˆ Είναι χρονικά μεταβλητό, γιατί για είσοδο x[n n 0 ] παίρνουμε έξοδο (δʹ) Για το σήμα T (x[n]) = y 0 [n] = x[n n 0 ]u[n] (40) y[n n 0 ] = x[n n 0 ]u[n n 0 ] y 0 [n] (41) x[k] έχουμε ˆ Δεν είναι ευσταθές, γιατί αν x[n] < B x T (x[n]) = x[k] x[k] < ˆ Είναι μη αιτιατό, γιατί εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου. ˆ Είναι γραμμικό γιατί αν T (ax 1 [n] + bx [n]) = T (x 1 [n]) = T (x [n]) = 4 B x + (4) x 1 [k] (43) x [k] (44) (ax 1 [k] + bx [k]) = at (x 1 [n]) + bt (x [n]) (45)

5 ˆ Είναι χρονικά αμετάβλητο, γιατί για είσοδο x[n n 0 ] παίρνουμε έξοδο y 0 [n] = y[n n 0 ] = x[k n 0 ] = k=n n 0 1 k=n n Στη θεωρία μάθαμε ότι η λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών είναι της μορφής x[k] (46) x[k] = y 0 [n] (47) a k y[n k] = 0 (48) y h [n] = A m zm n (49) m=1 όπου A m είναι σταθερές τα z m είναι οι N ρίζες του πολυωνύμου δηλ. a k z k = 0 (50) a k z k = N (1 z m z 1 ) (51) m=1 (αʹ) Βρείτε τη γενική μορφή της ομογενούς λύσης της διαφορικής εξίσωσης y[n] 3 4 y[n 1] + 1 y[n ] = x[n 1] (5) 8 (βʹ) Βρείτε τους συντελεστές A m της ομογενούς λύσης αν y[ 1] = 1 y[0] = 0. (γʹ) Τώρα, θεωρήστε την εξίσωση διαφορών y[n] y[n 1] + 1 y[n ] = x[n 1] (53) 4 Αν η ομογενής λύση περιέχει μόνο όρους της μορφής της Εξ. (49), δείξτε ότι οι αρχικές συνθήκες y[ 1] = 1 y[0] = 0 δε γίνεται να ικανοποιούνται. (δʹ) Αν η Εξ. (50) έχει δυο όμοιες ρίζες, αντί της Εξ. (49), χρησιμοποιούμε την y h [n] = N 1 m=1 A m z n m + nb 1 z n 1 (54) όπου υποθέτουμε ότι η διπλή ρίζα είναι η z 1. Με την παραπάνω σχέση, βρείτε τη γενική μορφή της y h [n] για την εξίσωση διαφορών της Σχέσης (53). Δείξτε ρητά ότι η απάντησή σας ικανοποιεί τη Σχέση (53) για x[n] = 0. 5

6 (εʹ) Βρείτε τις σταθερές A 1 B 1 της ομογενούς λύσης που βρήκατε στο παραπάνω ερώτημα αν y[ 1] = 1 y[0] = 0. (αʹ) Η ομογενής λύση της ζητούμενης διαφορικής εξίσωσης προκύπτει θέτοντας την είσοδο ίση με μηδέν, δηλ. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι y[n] 3 4 y[n 1] + 1 y[n ] = 0 (55) 8 z 3 4 z = 0 (56) οι ρίζες του είναι οι z 1 = 1/ z = 1/4. Άρα η ομογενής λύση είναι της μορφής y h [n] = A 1 + A (57) 4 (βʹ) Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, έχουμε Το παραπάνω σύστημα δίνει λύσεις A 1 = 1/ A = 1/. (γʹ) Το νέο χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι το y h [ 1] = A 1 + 4A = 1 (58) y h [0] = A 1 + A = 0 (59) z z = 0 (60) έχει ρίζες z 1 = z = 1/, άρα η ομογενής λύση παίρνει τη μορφή Με χρήση των αρχικών συνθηκών, έχουμε που προφανώς δεν ικανοποιούνται. (δʹ) Η ομογενής εξίσωση διαφορών είναι η Εστω ότι η ομογενής λύση είναι της μορφής y h [n] = A 1 (61) y h [ 1] = A 1 = 1 (6) y h [0] = A 1 0 (63) y[n] y[n 1] + 1 y[n ] = 0 (64) 4 y h [n] = A 1 + nb1 με αντικατάσταση στην ομογενή εξίσωση διαφορών, έχουμε (65) y h [n] y h [n 1] y h[n ] = 0 (66) 1 1 A 1 + nb1 A 1 (n 1)B1 (67) A ( 4 (n )B = 0 (68) 6

7 (εʹ) Χρησιμοποιώντας την απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, έχουμε y h [n] = A 1 + nb1 (69) με τις αρχικές συνθήκες y h [ 1] = 1, y h [0] = 0, βρίσκουμε τα A 1, B 1 ως A 1 = 0, B 1 = 1 (70) 7