HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ

2 Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Όπως και στο Μ.F., θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της συνέλιξης για την ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων () t X( ) ΓΧΑ h(t) yt () = ht ()* t () H() X() H() = h() τ e τ dτ Συνάρτηση μεταφοράς Πολλές ιδιότητες των ΓΧΑ Συστημάτων συσχετίζονται με τη μορφή της συνάρτησης μεταφοράς Τα μιγαδικά εκθετικά σήματα αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις ΓΧΑ Συστημάτων N = t t () = Xe ΓΧΑ yt () = X H( ) e h(t) N = t

3 Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Αιτιατότητα: Για ένα αιτιατό όγχα Σύστημα: h(t)=0, t<0 (δεξιόπλευροξ ό λ σήμα) Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς H() ενός αιτιατού συστήματος είναι δεξί ημιεπίπεδο Το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα, εκτός αν η συνάρτηση μεταφοράς είναι ρητή Για ένα σύστημα με ρητή συνάρτηση μεταφοράς, η αιτιατότητα ισοδυναμεί με Π.Σ. που είναι δεξί ημιεπίπεδο στα δεξιά του πιο δεξιά τοποθετημένου πόλου Παράδειγμα: ht () e t ut () t e u() t = H(),Re{} > = Αιτιατό Π.Σ. Δεξί ημιεπίπεδο

4 Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Παράδειγμα: ht () = e t Μη αιτιατό t e = H(), < Re{} < e Παράδειγμα: H () =, Re{} > Π.Σ. Δεξί ημιεπίπεδο t e u() t,re{} > Ιδιότητα δό χρονικής μετατόπισης: ( t ) e e u( t ),Re{ } > Άρα: ( t ) ht () = e ut ( ) Μη αιτιατό Π.Σ. Λωρίδα (όχι δεξί ημιεπίπεδο)

5 Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Ευστάθεια Είδαμε ότι η ευστάθεια ισοδυναμεί με ht () dt Άρα ο Μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισης συγκλίνει < Άρα με βάση τις ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης, η Π.Σ. περιλαμβάνει τον φανταστικό άξονα του μιγαδικού επιπέδου Ένα ΓΧΑ Σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν η Π.Σ. της συνάρτησης μεταφοράς του Η() περιλαμβάνει τον άξονα jω (Re{}=0) Για συστήματα με ρητές συναρτήσεις μεταφοράς η ευστάθεια καθορίζεται από τη θέση των πόλων Για αιτιατά ΓΧΑ συστήματα (Π.Σ. δεξί ημιεπίπεδο), θα πρέπει ο πιο δεξιά τοποθετημένος πόλος να είναι αριστερά του άξονα jω Ένα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα με ρητή συνάρτηση μεταφοράς είναι ευσταθές αν και μόνο αν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του H() () βρίσκονται στο αριστερό μισό του μιγαδικού επιπέδου, δηλ. όλοι οι πόλοι έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος

6 Ευστάθεια Παράδειγμα H() = = ( )( ) 3( ) 3( ) Τρεις πιθανές περιοχές σύγκλισης Αν το σύστημα είναι αιτιατό: Π.Σ ΙΙ Αν το σύστημα είναι ευσταθές: Π.Σ. ΙΙΙ Ι Im ΙII ο ΙI Re ht = e ut e ut 3 3 t t () () () (ασταθές) ht = e ut e u t 3 3 t t () () ( ) ΠΣ Ι: Ασταθές και μη αιτιατό t t ht ( ) = e u( t) e u( t) 3 3 (μη αιτιατό)

7 n ΓΧΑ Συστήματα που περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις a m d y () t d t () = b dt dt = 0 = 0 Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα παραγώγισης στο πεδίο του χρόνου (όπως και στο Μ.F.) μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς ενός τέτοιου συστήματος: d() t d () t X () X () dt n dt m Άρα: ay () = bx () = 0 = 0 m Y () H() = = X() = 0 n = 0 b a Ρητή συνάρτηση (rational function) του Η σχέση αυτή δεν προσδιορίζει την Π.Σ. της H(). Η Π.Σ. μπορεί να προκύψει αν μας δίνονται επιπλέον δεδομένα για το σύστημα (αιτιατό, ευσταθές κλπ)

8 Παράδειγμα dy () t 3() y t = () t Y() 3 Y() = X() dt H () = 3 Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το σύστημα είναι αιτιατό: Π.Σ. Re{}> 3 ht e ut 3t () = () Αν το σύστημα είναι μη αιτιατό: Π.Σ. Re{}< 3 ht e u t 3t () = ( )

9 H() Παράδειγμα Σύστημα δεύτερης τάξης = ω = ω ( p )( p ) n n ζωn ωn ζ: συντελεστής απόσβεσης (damping ratio) ω n : φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα) π.χ. κυκλώματα RLC, μηχανικά συστήματα p ζω ω ζ M, = ζ n ± n ζ = ω n ζ ht Me e ut pt pt () = [ ] () ωn ζ -ζω n Im ζ> ζ>: Πραγματικοί πόλοι (ευσταθές) overdamped 0<ζ<: Μιγαδικοί πόλοι (ευσταθές) underdamped ζ<0: Ασταθές Re -ζω n Im ωn ζ ωn ζ ωn ζ Im -ζωζ n 0<ζ< ζ<0 Re Re ω n ζ

10 t e ut 3t () = () Παράδειγμα y t e e u t () [ t t = ] () Συνάρτηση μεταφοράς X() =,Re{} > 3 3 Y() =,Re{} > ( )( ) Y () 3 H() = = X() ( )( ) Im Re Π.Σ. R R R R= R{} Re{ > Αιτιατό? Ευσταθές? Κρουστική απόκριση? d y t dy t d t () () () 3 y( t) = 3 ( t) dt dt dt

11 Παράδειγμα Έστω ένα σύστημα για το οποίο μας δίνονται τα εξής: Το σύστημα είναι αιτιατό Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ρητή με δύο πόλους στο και 4 Αν (t)=, τότε y(t)=0 h(0 )=4 H () = p () ( )( 4) t yt H e H p q 0t () = () = (0) = 0 (0) = 0 () = () Θεώρημα αρχικής τιμής q () q () h(0 ) = lim H( ) = lim = lim = 4 q () = 4 ( )( 4) 8

12 Διαγράμματα Μπλοκ (Bloc diagram) Έχουμε δει τις ακόλουθες διασυνδέσεις δέ συστημάτων Παράλληλη (t) h (t) H () y(t) h (t) H () ht () = h() t h() t H( ) = H( ) H ( ) Σειριακή (t) h (t) H () h (t) H () y(t) ht () = h()* t h () t H () = H () H ()

13 Ανάδραση (Feedbac) Διαγράμματα Μπλοκ (Bloc diagram) (t) () e(t) () h (t) H () - y(t) h (t) H () et () = t () zt () E () = X() Z() = X() H() Y() Y() = H() E() = H()( X() H() Y()) Y() H() H() = = X() H () H ()

14 Παράδειγμα (t) - e(t) 0( ) ( )( ) y(t) 0( ) H() =, H() =, H3() = ( )( ) H () H () H () H ( ) H ( ) H ( ) = = 3 0( ) ( )( ) = = 0( ) ( )( ) 0 0 = = ( ) 0 0

15 Παράδειγμα 3 5 (t) - z - (t) z (t) z 3 (t) y(t) H() =? 5 Y() = 5 Z() Z() = Z() Z() = Z() Z () = X() 3 Z() Z() Z() = [ X() 3 Z() Z()] 5 ( 3 ) Z() = X() Z() = X() Y() = X() ( 3) ( 3)

16 Παράδειγμα t () = ut (), yt () =?, αιτιατ ό 5 A B C Y() = H() X() = =,Re{} > 0 ( 3) 3 ( 3) A= lim Y( ) = 0 9 d B= lim [( 3) Y( )] = 3 d 9 4 C = lim[( 3) Y ( )] = 3 3 3t 3t yt () = ( e te ) ut () 9