x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n +

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : //6 Ηµεροµηνία Παράδοσης : //6 Ασκηση. i. Θα είναι n n x[n]z n z n + ) nz n + + n ) nz n z ) n + + z ) n n ) + z n ) z n z + + z 5) ) ) ) για z > / και z > / /, ώστε να συγκλίνουν οι παραπάνω σειρές. Οπότε Γράφοντάς το ως ϑετικές δυνάµεις του z, έχουµε + z + 6 z z z ) +, z > / 6) z ) zz ) 6 ) z > z z + ), 7) Άρα οι πόλοι είναι στις ϑέσεις z και z, και τα µηδενικά στις ϑέσεις z και z. ii. Θα είναι n x[n]z n ) nu[ n ]z n + ) nz n + + n ) nu[ n ] + ) z n 8) ) nz n ) n z + + z ) n n z n 9) ) )

2 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων z + + z ) + z + z ) για z < / και z > / /, ώστε να συγκλίνουν οι παραπάνω σειρές. Οπότε + z + 5 z z z ) +, / < z < / ) z ) Γράφοντάς το ως ϑετικές δυνάµεις του z, έχουµε zz 5 ) ) ), z z + < z < 5) Άρα οι πόλοι είναι στις ϑέσεις z και z 5, και τα µηδενικά στις ϑέσεις z και z. iii. Θα είναι n x[n]z n e jω n z n e jω z n µε z > e jω. Γράφοντάς το µε ϑετικές δυνάµεις του z, έχουµε Άρα ο πόλος είναι στη ϑέση z e jω, και το µηδενικό στη ϑέση z. e jω n u[n]z n 6) e jω z ) n 7) 8) z z e jω, z > 9) Ασκηση. i. Είναι u[n ] z z, z > ) και, z > z Η συνέλιξη των παραπάνω µετατρέπεται σε γινόµενο στο χώρο του Ζ, δηλ. nu[n] z u[n ] ) z, z > ) z ) Κάνοντας πράξεις, z z z z z ), z > ) z ) ii. Είναι x[n] sinπn/8 π/)u[n ] sin π 8 n ) ) u[n ] z sinπ/8) z cosπ/8) + z z, z > )

3 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων iii. Είναι ) nu[n ) n u[n n ) ] n ) ] z z, z > / 5) z ) και nu[n ) n+u[n + ] + ] z ), z > / 6) z Η συνέλιξη των δυο σηµάτων γίνεται γινόµενο στο χώρο του Ζ, άρα z z z ) z z z z ), z > / 7) z ) Ασκηση. i. Τα πιθανά πεδία σύγκλισης είναι : / < z < / z > / z < / Αναπτύσσοντας σε µερικά κλάσµατα, έχουµε A + B z + 8) z µε οπότε A Xz) z ) 9) z/ B Xz) + z ) ) z / z + z ) Εστω ότι το x [n] είναι δεξιόπλευρο, δηλ. z > /. Τότε ) n x[n] ) ) n u[n] ) Εστω ότι το x [n] είναι αριστερόπλευρο, δηλ. z < /. Τότε nu[ n x[n] ] + ) nu[ n ] ) ) Εστω ότι το x [n] είναι αµφίπλευρο, δηλ. / < z < /. Τότε ii. Βλέπουµε ότι τα πιθανά πεδία σύγκλισης είναι / < z < z < / z > nu[ n x[n] ] ) nu[n] ) )

4 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων Γράφοντας το σήµα ως X z) και αναπτύσσοντας σε µερικά κλάσµατα, έχουµε µε z + z z 5) A z + B + z 6) A Xz) z ) 7) z / B Xz) + z ) 8) z οπότε + z + z 9) Εστω ότι το x [n] είναι δεξιόπλευρο, δηλ. z >. Τότε x[n] + ) n u[n] ) Εστω ότι το x [n] είναι αριστερόπλευρο, δηλ. z < /. Τότε ) nu[ n x[n] ] ) n u[ n ] ) Εστω ότι το x [n] είναι αµφίπλευρο, δηλ. / < z <. Τότε x[n] ) n u[ n ] ) Ασκηση. αʹ) Το σήµα γράφεται ως X z) A z z ) z + ) z ) ) Υπάρχουν πιθανά πεδία σύγκλισης : ) z >, και το x[n] είναι δεξιόπλευρο. ) < z <, και το x[n] είναι δίπλευρο. ) z <, και το x[n] είναι αριστερόπλευρο. Ο µετασχ. Fourier µπορεί να υπολογιστεί µέσω του µετασχ. Ζ µόνο στην η περίπτωση, όπου το z > περιέχει το µοναδιαίο κύκλο. ϐʹ) Το σήµα γράφεται ως X z) A z ) z z ) e j π z ) ) e j π Υπάρχουν πιθανά πεδία σύγκλισης : ) z >, και το x[n] είναι δεξιόπλευρο. ) z <, και το x[n] είναι δίπλευρο. Ο µετασχ. Fourier µπορεί να υπολογιστεί µέσω του µετασχ. Ζ µόνο στην η περίπτωση, όπου το z < περιέχει το µοναδιαίο κύκλο.

5 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 5 γʹ) Το σήµα γράφεται ως X z) A z ) z + ) z + 9 ), z < 5) 6 Το x[n] είναι ευσταθές και αριστερόπλευρο. Αν είχε πόλους στο µηδέν, ϑα ήταν δεξιόπλευρο, αλλά αυτό δε συµβαίνει. Ασκηση 5. i. Αφού το πεδίο σύγκλισης περιλαµβάνει το σηµείο z, τότε αύτο είναι < z <. Άρα το σήµα µπορεί να γραφεί ως A X z) + B z + z x[n] A B ) n u[ n ] 6) Επίσης και Άρα x[] A A 7) ) x[ ] B ) B 8) x[n] ) n u[ n ] 9) ii. Το σήµα µπορεί να γραφεί ως όπου c είναι σταθερά και p ο πόλος. Άρα x[n] c p) n u[n] 5) x[] c p) c 5) x[] p) p 5) οπότε x[n] 5) iii. Το σήµα µπορεί να γραφεί ως A X z) + B z cz x[n] A B c) n u[ n ] 5) Εχουµε που δίνουν Οπότε και έτσι το σήµα στο χρόνο είναι X ) A x[n] 5 x[ ] Bc 55) x[ ] Bc 56) c 57) B 58) + A 5 59) + ) n u[ n ] 6)

6 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 6 Ασκηση 6.. Κατανόηση πραγµατικών πόλων i. pezw, [ -.5]); αʹ) Ο πόλος εµφανίζεται στη ϑέση z.5. ϐʹ) Γιατί κάθε ϱητή συνάρτηση µεταφοράς έχει τόσους πόλους όσα και µηδενικά, οπότε αν τη γράψουµε στη µορφή Hz).5z z 6) z.5 τότε αποκαλύπτεται ότι υπάρχει ένα µηδενικό στη ϑέση z. γʹ) Ο πόλος ϐρίσκεται στο ϑετικό µέρος του πραγµατικού άξονα, δηλ. στη συχνότητα ω. Το µέγιστο εµφανίζεται σε αυτή τη συχνότητα. δʹ) Είναι αφού το σύστηµα είναι αιτιατό. h[n].5) n u[n] 6) εʹ) Ναι, είναι, αφού είναι αιτιατό και ο µοναδιαίος κύκλος περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης, z >.5. Η κρουστική αποκριση του στο γράφηµα το επιβεβαιώνει, αφού ϕθίνει στο µηδέν όσο n +, µε αποτέλεσµα να ισχύει η σχέση h[n] < 6) ϛʹ) Συµβολίζει το µοναδιαίο κύκλο, όπου εκεί εκτιµάται ο µετασχ. Fourier αν υπάρχει). Ϲʹ) Ο πόλος έχει τη µορφή υψώµατος ενώ το µηδενικό τη µορφή ϐαθουλώµατος στο γράφηµα της Hz). ii. pezw, [ -.9]); αʹ) Το ϕάσµα πλάτους έγινε πιο στενό γύρω από τη συχνότητα ω, εώ η τιµή του σε αυτή τη συχνότητα µεγάλωσε. Αυτό εξηγείται από την παρουσία του πόλου πιο κοντά στο µοναδιαίο κύκλο σε σχέση µε πριν. ϐʹ) Επειδή ο πόλος ϐρίσκεται στη ϑέση z.9, η κρουστική απόκριση δίνεται ως που είναι ένα σήµα που ϕθίνει πιο αργά σε σχέση µε πριν. h[n].9) n u[n] 6) γʹ) Ναι, είναι, αφού είναι αιτιατό και ο µοναδιαίος κύκλος περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης, z >.5. Η κρουστική αποκριση του στο γράφηµα το επιβεβαιώνει, αφού ϕθίνει στο µηδέν όσο n +, µε αποτέλεσµα να ισχύει η σχέση h[n] < 65) iii. pezw, [ -]); αʹ) Το ϕάσµα πλάτους απειρίζεται στη συχνότητα ω λόγω του πόλου στη ϑέση z. ϐʹ) Η κρουστική απόκριση γίνεται και ισούται µε τη ϐηµατική συνάρτηση. h[n] n u[n] u[n] 66) γʹ) Οχι, δεν είναι, αφού ο µοναδιαίος κύκλος δεν περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης, z >. Η κρουστική αποκριση του στο γράφηµα το επιβεβαιώνει, αφού δεν ϕθίνει όσο n +, µε αποτέλεσµα να µην ισχύει η σχέση h[n] < 67)

7 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 7 iv. pezw, [ -.5]); αʹ) Το ϕάσµα πλάτους δεν απειρίζεται πλέον αφού, ο πόλος έφυγε από το µοναδιαίο κύκλο. Εξακολουθεί να έχει υψηλή τιµή στη συχνότητα ω, αφού ο πόλος παρέµεινε στο ϑετικό τµήµα του πραγµατικού άξονα. ϐʹ) Η κρουστική απόκριση γίνεται που σηµαίνει ότι αυξάνει όσο n. h[n].5) n u[n] 68) γʹ) Οχι, δεν είναι, αφού ο µοναδιαίος κύκλος δεν περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης, z >.5. Η κρουστική αποκριση του στο γράφηµα το επιβεβαιώνει, αφού αυξάνει χωρίς όριο όσο n +, µε αποτέλεσµα να µην ισχύει η σχέση h[n] < 69) v. pezw, [.9]); αʹ) Η παραπάνω συνάρτηση έχει τον πόλο της στη ϑέση z.9, σε αντίθεση µε την προηγούµενη που είχε τον πόλο στη ϑέση z.9. ϐʹ) Πλέον ο πόλος ϐρίσκεται στη συχνότητα ω π, µε αποτέλεσµα να παρουσιάζονται υψηλές τιµές σε αυτή τη συχνότητα. γʹ) Ναι, είναι, αφού ο µοναδιαίος κύκλος περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης, z >.9.9. Η κρουστική αποκριση του στο γράφηµα το επιβεβαιώνει, αφού ϕθίνει στο µηδέν όσο n +, µε αποτέλεσµα να ισχύει η σχέση h[n] < 7) vi. pezw, [.5]); αʹ) Η παραπάνω συνάρτηση έχει τον πόλο της στη ϑέση z.5, σε αντίθεση µε την προηγούµενη που είχε τον πόλο στη ϑέση z.5. ϐʹ) Ο πόλος ϐρίσκεται στη συχνότητα ω π, αλλά πιο µακριά από το µοναδιαίο κύκλο, µε αποτέλεσµα να παρουσιάζονται υψηλές τιµές σε αυτή τη συχνότητα. γʹ) Οχι, δεν είναι, αφού ο µοναδιαίος κύκλος δεν περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης, z >.5.5. Η κρουστική αποκριση του στο γράφηµα το επιβεβαιώνει, αφού αυξάνει χωρίς όριο όσο n +, µε αποτέλεσµα να µην ισχύει η σχέση h[n] < 7) vii. Σηµαντική Ερώτηση : Οσο ένας πόλος κινείται επάνω στον πραγµατικό άξονα, επηρεάζει τις τιµές του ϕάσµατος πλάτους στις συχνότητες ω αν ο πόλος ϐρίσκεται στο ϑετικό ηµιάξονα) και ω π αν ο πόλος ϐρίσκεται στον αρνητικό ηµιάξονα). Οσο πιο κοντά στο µοναδιαίο κύκλο ϐρίσκεται ο πόλος, τόσο πιο σηµαντική η επιρροή αύξηση) του στην τιµή του ϕάσµατος πλάτους σε αυτές τις συχνότητες. viii. Σηµαντική Ερώτηση : Οσο ένας πόλος κινείται επάνω στον ϕανταστικό άξονα, επηρεάζει τις τιµές του ϕάσµατος πλάτους στις συχνότητες ω π/ αν ο πόλος ϐρίσκεται στο ϑετικό ϕανταστικό ηµιάξονα) και ω π/ αν ο πόλος ϐρίσκεται στον αρνητικό ϕανταστικό ηµιάξονα). Οσο πιο κοντά στο µοναδιαίο κύκλο ϐρίσκεται ο πόλος, τόσο πιο σηµαντική η επιρροή αύξηση) του στην τιµή του ϕάσµατος πλάτους σε αυτές τις συχνότητες.. Κατανόηση µιγαδικών πόλων i. Εστω το σύστηµα Hz) d z ) d z ) 7)

8 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 8 αʹ) Μόνο αν τα d, d είναι πραγµατικοί αριθµοί ή συζυγείς µιγαδικοί. ϐʹ) Εστω δυο πόλοι, d.7e jπ/, d.7e jπ/ 7) Οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι a, a.9899, a.9. γʹ) conv[ -.7*expj*pi/)], [ -.7*exp-j*pi/)]) δʹ) pezw, conv[ -.7*expi*pi/)],[ -.7*exp-i*pi/)])) Το γράφηµα ϕαίνεται στο Σχήµα. Imaginary Part Real Part Phase Magnitude Samples Magnitude of function Hz) Impulse Resp. Hz) Imagz) - - Realz) Σχήµα εʹ) Η συνάρτηση γράφεται ως Hz).9899z +.9z z z.9899z +.9 οπου και ϐλέπουµε ότι έχει δυο µηδενικά στη ϑέση z. ϛʹ) Στις συχνότητες των πόλων, ω ±π/. Ϲʹ) Απαντήθηκε. ηʹ) Είναι µε Hz) A.7e jπ/ z + B.7e jπ/ h[n] A.7ejπ/ ) n u[n] + B.7e jπ/ ) n u[n] που δίνουν h[n] πn.7) n cos π ) ϑʹ) ιότι η κρουστική απόκριση είναι ηµιτονοειδούς µορφής. 7) 75) A j e jπ/ 76) B + j ejπ/ 77) 78)

9 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων 9 ii. Εστω δυο νέοι πόλοι, d.9e jπ/, d.9e jπ/ 79) pezw, conv[ -.9*expi*pi/)],[ -.9*exp-i*pi/)])) Τώρα οι πόλοι ϐρίσκονται πιο κοντά στο µοναδιαίο κύκλο, µε αποτέλεσµα οι τιµές του ϕάσµατος πλάτους στις συχνότητες ω ±π/ να είναι µεγαλύτερες από πριν, ενώ και η κλίση προς αυτές τις τιµές είναι µεγαλύτερη. Η κρουστική απόκριση σβήνει πιο αργά, εµφανίζοντας ταλαντώσεις για µεγαλύτερο χρονικό διάστηµα. Για τους πόλους d.7e jπ/, d.7e jπ/ 8) ισχύει η ίδια συζήτηση, µόνο που οι συχνότητες πλέον είναι ω ±π/. iii. Σηµαντική Ερώτηση : Το ϕάσµα πλάτους ϑα παρουσιάζει µέγιστα στις συχνότητες όπου ϐρίσκονται οι συζυγείς πόλοι. Οσο πιο κοντά στο µοναδιαίο κύκλο ϐρίσκονται οι πόλοι, τόσο µεγαλύτερες και πιο αιχµηρές ϑα είναι οι ϑέσεις των µεγίστων.. Κατανόηση πόλων στο µηδέν i. Η πιο απλή συνάρτηση µε έναν πόλο στο µηδέν είναι η Hz) z z 8) και µπορούµε να την κατασκευάσουµε ως pezw[ ], ) Το γράφηµα ϕαίνεται στο Σχήµα. Imaginary Part Real Part Phase Hz) - - Magnitude - Imagz).5 Impulse Resp. 5 Samples Magnitude of function Hz) - - Realz) Σχήµα αʹ) Το σήµα στο χρόνο είναι το h[n] δ[n ].

10 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων ϐʹ) Το ϕάσµα πλάτους είναι σταθερό και ίσο µε τη µονάδα, αφού He jω ) e jω He jω ). Το ϕάσµα ϕάσης είναι γραµµικό, αφού φ H e jω ) ω. Τέλος, η κρουστική απόκριση είναι ίση µε h[n] δ[n ] όπως αναµενόταν. ii. Η πιο απλή συνάρτηση µε δυο πόλους στο µηδέν είναι η και µπορούµε να την κατασκευάσουµε ως pezw[ ], ) Το γράφηµα ϕαίνεται στο Σχήµα. Hz) z z 8) Imaginary Part Real Part Phase Hz) Magnitude - Imagz).5 Impulse Resp. 5 Samples Magnitude of function Hz) - - Realz) Σχήµα αʹ) Το σήµα στο χρόνο είναι το h[n] δ[n ]. ϐʹ) Το ϕάσµα πλάτους είναι σταθερό και ίσο µε τη µονάδα, αφού He jω ) e jω He jω ). Το ϕάσµα ϕάσης είναι γραµµικό, αφού φ H e jω ) ω. Τέλος, η κρουστική απόκριση είναι ίση µε h[n] δ[n ] όπως αναµενόταν. γʹ) Απαντήθηκε παραπάνω. iii. Η πιο απλή συνάρτηση µε τρεις πόλους στο µηδέν είναι η και µπορούµε να την κατασκευάσουµε ως pezw[ ], ) Το γράφηµα ϕαίνεται στο Σχήµα. Hz) z z 8) iv. Σηµαντική Ερώτηση : Οταν ϐάζουµε πόλους στο µηδέν σε ένα αιτιατό σύστηµα, τότε µετατοπί- Ϲουµε την κρουστική του απόκριση κατά ένα δείγµα ανά πόλο τη ϕορά.. Κατανόηση µηδενικών

11 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων Imaginary Part Real Part Phase Hz) - - Magnitude - Imagz).5 Impulse Resp. 5 Samples Magnitude of function Hz) - - Realz) Σχήµα Imaginary Part Real Part Phase Hz) - - Magnitude - 6 Imagz).5 Impulse Resp. 5 Samples Magnitude of function Hz) - - Realz) Σχήµα 5 i. pezwconvconv[ ], [ -j]),[ j]),) Το γράφηµα ϕαίνεται στο Σχήµα 5. αʹ) Η εξίσωση στο χώρο του Ζ είναι η ϐʹ) Γράφοντας την παραπάνω σχέση ως Hz) A + z ) jz ) + jz ) 8) Hz) A z + )z + j)z j) z 85)

12 Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος - 6/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων παρατηρούµε ότι υπάρχουν τρεις πόλοι στη ϑέση z. γʹ) Το σύστηµα είναι χαµηλοπερατό. δʹ) Στις συχνότητες όπου ϐρίσκονται τα µηδενικά, δηλ. ω ±π/ και ω π. εʹ) Η κλίση του είναι σταθερή, δηλ. το ϕάσµα ϕάσης είναι γραµµικό. ϛʹ) Η κρουστική απόκριση είναι h[n] Aδ[n] + δ[n ] + δ[n ] + δ[n ]) 86) Ϲʹ) pezwconvconv[ ], [ -.9*j]),[.9*j]),) Το γράφηµα ϕαίνεται στο Σχήµα 6. Παρατηρούµε ότι πλέον οι συχνότητες ω ±π/ δε µη- Imaginary Part Real Part Phase Magnitude -.5 Impulse Resp. 5 Samples Magnitude of function Hz) Hz) Imagz) - - Realz) Σχήµα 6 δενίζονται ακριβώς, απλά το πλάτος τους µειώνεται σηµαντικά. Επίσης, η κρουστική απόκριση αλλάζει σε σχέση µε πριν, όπως και το ϕάσµα ϕάσης. ii. Σηµαντική Ερώτηση 5: Το ϕάσµα πλάτους χαµηλώνει σηµαντικά τις τιµές του στις συχνότητες όπου υπάρχουν µηδενικά. Αν τα µηδενικά ϐρίσκονται επάνω στο µοναδιαίο κύκλο, τότε η αντίστοιχη συχνότητα µηδενίζει το πλάτος της.