Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Transcript

1 D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί να γραφεί στην μορφή p( x), όπου τα ( ) qx ( ) p x και qx ( ) είναι πολυώνυμα του x με βαθμό του qx ( ) 1. Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής p x I dx qx Πριν δούμε τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος, θα δούμε πρώτα την τεχνική των μερικών κλασμάτων. Σύμφωνα με ένα θεώρημα της άλγεβρας, κάθε ρητή συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα κλασμάτων, τα οποία λέγονται μερικά κλάσματα. Η τεχνική αυτή καλείται μέθοδος των μερικών κλασμάτων. Έτσι, το ολοκλήρωμα μιας ρητής συνάρτησης ισούται με το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των μερικών κλασμάτων. Δηλαδή, η ολοκλήρωση της ρητής συνάρτησης αντικαθίσταται από την ολοκλήρωση του αθροίσματος των μερικών κλασμάτων, τα οποία είναι απλούστερα και μπορούμε να τα ολοκληρώσουμε με μια από τις ήδη γνωστές μεθόδους ολοκλήρωσης. Ας δούμε πρώτα την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή τη διαδικασία πρόσθεσης αλγεβρικών κλασμάτων. Η διαδικασία για την πρόσθεση αλγεβρικών κλασμάτων είναι η εξής: 1. βρίσκουμε έναν κοινό παρανομαστή κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα.. αθροίζουμε τα ομώνυμα κλάσματα που προκύπτουν 3. κάνουμε απλοποίηση. Παράδειγμα: 3 x3 3 x1 Βήμα 1: x1 x3 x1x3 x1x3 x33x1 Βήμα : x1x3 3 Βήμα 3:. x x3 3 Άρα αν είχαμε να υπολογίσουμε το dx θα αντιστρέφαμε την παραπάνω x x3 διαδικασία. Έτσι, 3 3 dx dx dx x x3 x1 x3 συνεχίζοντας κατά τα γνωστά προκύπτει ln x 1 3ln x3 c. Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να βρούμε το απλούστερο άθροισμα με τη μέθοδο των μερικών κλασμάτων, στο προηγούμενο παράδειγμα, εφαρμόζοντας ουσιαστικά την αντίστροφη διαδικασία. 1

2 3 Παράδειγμα : Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα dx χρησιμοποιώντας τη x x3 μέθοδο των μερικών κλασμάτων. Λύση Παραγοντοποιούμε πρώτα τον παρανομαστή: x x3 x1 x 3 3 B κατόπιν προσδιορίζουμε τις τιμές των Α και Β έτσι ώστε: x x3 x1 x3 Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και απλοποιούμε: 3 x3 B x1 3 x1x3 B x B Εξισώνουμε τώρα τους συντελεστές όμοιων δυνάμεων, παίρνοντας το ακόλουθο 5 σύστημα γραμμικών εξισώσεων. 33 Λύνοντας τις εξισώσεις αυτές ως σύστημα παίρνουμε Α = και Β = 3. Συνεπώς, 3 3 dx dx dx x x3 x1 = ln x 1 3ln x3 c. x3 p x Γενικά, επειδή ο υπολογισμός του ολοκληρώματος dx με τη μέθοδο των q x μερικών κλασμάτων εξαρτάται από το άθροισμα απλούστερων κλασμάτων θα δούμε πρώτα τον τρόπο με τον οποίο από μια ρητή συνάρτηση θα προκύψει ισοδύναμο άθροισμα απλούστερων κλασμάτων. Για την εύρεση των κλασμάτων του αθροίσματος διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το βαθμό των πολυωνύμων p x και q x. Έτσι έχουμε: 1 η περίπτωση: βαθμός p x βαθμός η περίπτωση: βαθμός p x βαθμό q x q x Και στις δύο περιπτώσεις θα αναλύσουμε με κατάλληλο τρόπο τη ρητή συνάρτηση σε άθροισμα απλούστερων κλασμάτων. 1 η p x περίπτωση: dx με βαθμό p x βαθμό q x q x βήμα 1: Εκτελούμε τη διαίρεση p x : q x, οπότε έχουμε px qx, δηλαδή p x x q x x x x με βαθμό x βαθμό q x βήμα : Υπολογισμός του ολοκληρώματος αφού αντικαταστήσουμε το x q x x που βρήκαμε στο βήμα 1. Έτσι έχουμε: px xqx x x q x x dx dx dx dx qx qx qx qx x xdx dx qx x qx. p x από το

3 Σχόλιο: Δηλαδή η περίπτωση 1 ανάγεται στην περίπτωση. η περίπτωση: Αναλύουμε το κλάσμα px dx με βαθμό qx p x qx q x. p x βαθμό q x του παρανομαστή, δηλαδή τις ρίζες του Έτσι έχουμε τις εξής 4 περιπτώσεις: a) αν το qx έχει μια απλή πραγματική ρίζα α, τότε px q x x a b) αν το qx έχει μια πολλαπλή ρίζα x px 1... q x x a x a x a σε άθροισμα απλών κλασμάτων ανάλογα με τις ρίζες a με βαθμό πολλαπλότητας,τότε c) αν το qx έχει ζεύγος απλών συζυγών μιγαδικών ριζών x1, px Bx q x x i, τότε π.χ.: αν x1 i και i τότε xx1 xx x i xi x i x Όταν ο παρανομαστής είναι άθροισμα τετραγώνων τότε ο αριθμητής θα είναι πολυώνυμο 1 ου βαθμού, δηλαδή της μορφής ax b. Δηλαδή το πολυώνυμο με απλές μιγαδικές ρίζες δεν αναλύεται σε γινόμενο, αλλά γράφεται σαν άθροισμα τετραγώνων. d) αν το qx έχει ζεύγος πολλαπλών συζυγών μιγαδικών ριζών με βαθμό p x πολλαπλότητας, τότε το αναλύεται σε άθροισμα κλασμάτων ως εξής: qx px Bx 1 1 Bx Bx... q x x x x Διαδικασία εύρεσης των ζητούμενων σταθερών Οι σταθερές i, Bi, i προκύπτουν ως εξής: 1. κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών. εξισώνουμε τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x 3. λύνουμε το σύστημα που προκύπτει ως προς τα i, Bi, i και έχουμε τις ζητούμενες σταθερές. Παρατήρηση Έτσι, τα ζητούμενα ολοκληρώματα θα είναι αντίστοιχα της μορφής: Bx dx Bx dx I1 dx, I dx, I3, I m 4 x x x x όπου m. m 3

4 4

5 5