bx 2 (t). Για είσοδο ax 1(t) + bx 2 (t), η έξοδος είναι x(t t 0 ) και y(t t 0) = t t 0 x(t) ax 1 (t 1) + bx 2 (t 1) sin ax 1 (t)+

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής Ασκηση. αʹ Γραµµικό: Είναι y = y = Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις ax και y = bx. Για είσοδο ax + bx, η έξοδος είναι ax + bx y + y. Άρα το σύστηµα είναι µη γραµµικό. Χ.Α.: Είναι y = T {x } = σύστηµα δεν είναι Χ.Α. Ευσταθές: Αν x < B x, τότε y = είναι µη ευσταθές. x και y = x = x x > B x ±, άρα το x + άρα το σύστηµα Αιτιατό: Το y εξαρτάται µόνο από το x, δηλαδή δεν εξαρτάται από µελλοντικές τιµές της εισόδου, άρα είναι αιτιατό. υναµικό: εν είναι δυναµικό γιατί η έξοδος εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα χρονική στιγµή της εισόδου. ϐʹ Γραµµικό: Είναι y = ax sin ax και y = bx sin bx, ενώ για είσοδο ax +bx, η έξοδος ϑα είναι y = ax + bx sin ax + bx y + y, άρα είναι µη γραµµικό. Χ.Α.: Είναι y = T {x } = x sin x και y = x sin x = T {x }, άρα είναι Χ.Α. Ευσταθές: Αν x < B x, τότε y = Bx + = B y άρα το σύστηµα είναι ευσταθές. x sin + x x sin x < Αιτιατό: Είναι αιτιατό γιατί η έξοδος εξαρτάται µόνο από τωρινές ή παρελθοντικές τιµές της εισόδου. υναµικό: Είναι δυναµικό γιατί η έξοδος εξαρτάται και από άλλες τιµές της εισόδου πλην της τιµής για τη χρονική στιγµή. γʹ Γραµµικό: Είναι y = ax 3ax + και y = bx 3bx +, ενώ για είσοδο ax + bx, η έξοδος ϑα είναι y = ax + bx 3 ax + + bx + = = ax 3ax + + bx 3bx + = y + y

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άρα είναι γραµµικό. Χ.Α.: Είναι y = T {x } = x 3x + και y = x 3x + = T {x }, άρα είναι Χ.Α. Ευσταθές: Αν x < B x, τότε y = x 3x + x + 3 x + < B x + 3B x = B x = By, άρα είναι ευσταθές. Αιτιατό: εν είναι αιτιατό γιατί η έξοδος y εξαρτάται από µελλοντικές τιµές της εισόδου x +. υναµικό: Είναι δυναµικό γιατί η έξοδος τη χρονική στιγµή εξαρτάται από τη χρονική στιγµή + της εισόδου. Ασκηση. αʹ Το σήµα δεν είναι ούτε ενέργειας, ούτε ισχύος. Είναι άπειρης διάρκειας, µη περιοδικό, µε µη ϕραγµένο πλάτος σήµατος. ϐʹ Ενέργειας, γιατί είναι άπειρης διάρκειας και x όταν +. E x = e a d = e a d = a lim + ea = = a = a, a < = a, a >.

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 3 γʹ Είναι σήµα ισχύος, γιατί είναι περιοδικό µε ϕραγµένο πλάτος. Άρα P x =. P x = lim T T T x d = lim T sin πd T d cos πd T T T ] T T sin π π π sin πt + sin πt sin πt πt sin πd = cos π d π = lim sin = = π δʹ Είναι άπειρης διάρκειας και ϕραγµένου πλάτους, άρα σήµα ισχύος. P x = lim T T T ɛ d ɛ ɛ + d d T T d P x =

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις εʹ Σήµα πεπερασµένης διάρκειας και πλάτους, άρα σήµα ενέργειας. E x = e d = e Ασκηση 3. αʹ C xy =, 3 C xy = ] e τ dτ = e τ = e e +, για > και 3 > 3 και 5 3 < 5 ] C xy = e τ dτ = e τ 3 3 = e 3 e, για 3 > > 5

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 5 ϐʹ C xy =, ] C xy = 3dτ = 3 = = = = 3, > >

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 6 γʹ C xy =, 3 3 C xy = 3 = sinτ cosτdτ = ] 3 3 = sin 3, cosτdτ για 3 > και 5 3 < 5

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 7 C xy = 3 5 = sinτ cosτd ] 3 5 = sin 3 sin 5 µε 5 > > 5 Ασκηση. αʹ ϐʹ Από ιδιότητες συνέλιξης και συναρτήσεων έλτα, έχουµε : y = h x = x δ + + δ = x + + x + = rec + rec γʹ Αν δούµε αθροιστικά τους δυο τετραγωνικούς παλµούς που προκύπτουν, τότε µπορούµε να τους γράψουµε ως : y = rec 8

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 8 Ασκηση 5. αʹ ϐʹ Είναι x = δ + + δ δ γʹ Είναι x y = x rec 6 = rec δ + + δ δ 6 = δ = {, =, αλλού δʹ

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 9 Είναι x y = x rec 6 + = rec + rec rec x y = rec + rec rec 6 5 εʹ Ο γενικός κανόνας είναι ότι το γινόµενο σήµατος µε συνάρτηση έλτα δίνει µια συνάρτηση έλτα µε πλάτος το πλάτος του σήµατος στη ϑέση της συνάρτησης έλτα. Η συνέλιξη σήµατος µε συνάρτηση έλτα µετατοπίζει τη ϑέση αναφοράς του σήµατος από το µηδέν στη ϑέση, αν δ είναι η συνάρτηση έλτα η οποία εµπλέκεται στη συνέλιξη. Ασκηση 6. αʹ Η παράγωγος σε µια περίοδο ϑα είναι : Άρα dx d = Aδ Aδ T για < T. ϐʹ Αν Y k οι συντελεστές της παραγώγου, τότε ισχύει ότι A Y k = jπkf X k = jπkf k jπk = A k T γʹ Είναι y = d d x = = = + k= + k= + = 8A T + k= A k e jπkf T A T e jπk f A T e jπk f k= cos πk f

10 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις δʹ Κώδικας MATLAB. Ασκηση 7. αʹ Είναι x y = a a x y = a a τ x y a τ a dτ Θέτω u = τ a du = dτ adu = dτ, a > a axuy a u du = a = az, a > a xuy a u du = Οµοια για a <, προκύπτει x y = a a = a + Άρα σε κάθε περίπτωση, x y a a axuy a u du = xuy a u du = az, a < a = a z. a ϐʹ Είναι Είναι x y = Θέτω u = τ du = dτ x y = xuy u + du = xuy u du = xuy + u du = z + xτ y τ dτ Ασκηση 8. αʹ ϐʹ γʹ δʹ ] 3 + 3δ = δ = 3δ = e δ 3 = e ] =3 δ 3 = e 6 δ 3 sin π δ = sin π ] δ = δ = δ = ] δ = + δ = δ =

11 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις εʹ δe jπf d = e jπf] = = ϛʹ Ϲʹ ηʹ e x δ d = e x ] = = e x δ cos δ + δ d = π π ] d = cos = = δ + d = δ = Ασκηση 9. Είναι y = x h = ɛτ + ɛ τdτ = ɛτɛ τdτ τ + τ + Είναι ɛτɛ τ = για < τ <, άρα το ολοκλήρωµα γράφεται ως : y = για >, άρα y = ln + ɛ ] τ + dτ = lnτ + = ln + ln = ln + Ασκηση. Κώδικας MATLAB