ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Φωτονική - Laser ΜΕΛΕΤΗ ΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΟΛΙΤΟΝΙΩΝ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

2 Η παρούσα διπλωματική εργασία, εκπονήθηκε στο εργαστήριο Laser του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Πέτρου Περσεφόνη, τον οποίο θα ήθελα να ευχαριστήσω για την εμπιστοσύνη που έδειξε στο πρόσωπο και τις ικανότητές μου για την εκπόνηση της συγκεκριμένης εργασίας. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω τον μεταδιδάκτορα ερευνητή και εκλεγμένο επίκουρο καθηγητή στο ΕΜΠ κ. Γεώργιο Τσιγαρίδα, για τη διάθεση του προσωπικού του χρόνου προς επίλυση οποιασδήποτε απορίας ή προβλήματος, που εμφανιζόταν κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας.

3 Περίληψη Διανύουμε μια εποχή, όπου οι ανάγκες για μετάδοση πληροφορίας αυξάνονται ταχύτατα, με αποτέλεσμα τα χάλκινα καλώδια να μην αρκούν για να μεταδώσουν το πλήθος αυτό της πληροφορίας. Έτσι, περάσαμε στις Οπτικές Τηλεπικοινωνίες, όπου τα χάλκινα καλώδια αντικαταστάθηκαν από οπτικές ίνες και φορείς μετάδοσης της πληροφορίας δεν είναι πλέον τα ηλεκτρόνια αλλά τα φωτόνια. Κατά τη μετάδοση της πληροφορίας υπάρχουν όμως, φαινόμενα εξασθένησης και παραμόρφωσης του σήματος. Τη λύση σε αυτά τα προβλήματα καλείται να δώσει η χρήση σολιτονίων. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα μελετήσουμε τον τρόπο με τον οποίον επηρεάζουν τα φαινόμενα ανώτερης τάξης την αλληλεπίδραση δύο γειτονικών σολιτονιακών παλμών που διαδίδονται μέσα σε μία οπτική ίνα. Πιο συγκεκριμένα, με τη χρήση αλγόριθμου της Fortran θεωρήσαμε δύο θεμελιώδεις σολιτονιακούς παλμούς και μελετήσαμε πως επηρεάζεται η διάδοσή τους κατά μήκος μιας οπτικής ίνας, αλλά και η μεταξύ τους αλληλεπίδρασή, από τη μεταξύ τους απόσταση, το σχετικό τους πλάτος καθώς και από τη διαφορά φάσης. Επιπλέον περιορίζοντας τη μεταξύ τους αλληλεπίδραση μελετήσαμε το πώς επηρεάζουν τη διάδοσή τους φαινόμενα ανώτερης τάξης όπως η σκέδαση Raman, η αυτό-διαμόρφωση απότομων άκρων (selfsteepening) και η διασπορά τρίτης τάξης. Abstract We are in an era where the need to transmit information rapidly increases, making the copper wires not enough to convey the multitude of this information. Thus, we moved on Optical Communications, where the copper cables were replaced by optical fibers and broadcasters of information are no longer electrons but photons. During the transmission of information we come across with problems such as attenuation and signal distortion. The use of solitons has come to give the solution to these problems. In this paper, we studied how the higher order phenomena, affects the interaction of two neighboring soliton pulses propagating 3

4 through an optical fiber. More specifically, using a Fortran algorithm considering two fundamental soliton pulses we have studied how the propagation and their interaction is affected by their relative amplitude and phase difference. Also limiting the interaction between them, we have studied how the propagation is affected by higher order phenomena such as Stimulated Raman Scattering, Self Steepening and third order dispersion 4

5 Περιεχόμενα Κεφάλαιο Εισαγωγικά Οπτικές Τηλεπικοινωνίες Πλεονεκτήματα Οπτικών Τηλεπικοινωνιών... 9 Κεφάλαιο Οπτικές Ίνες Δομή Οπτικών Ινών Τύποι Οπτικών Ινών Κατασκευή Οπτικών Ινών Χαρακτηριστικά Μετάδοσης Οπτικών Ινών Εξασθένιση ( Attenuation ) Διασπορά Ομαδικής Ταχύτητας ( G.V.D. ) Μη Γραμμικά Φαινόμενα... 3 Κεφάλαιο Διάδοση Παλμών Σε Οπτικές Ίνες Σχολιασμός της Μη Γραμμικής Εξίσωσης Schrodinger (NLSE) Μελέτη Επίδρασης Διασποράς Ομαδικής Ταχύτητας (GVD) και Αυτοδιαμόρφωσης Φάσης (SPM) Μελέτης Επίδρασης Διασποράς Ομαδικής Ταχύτητας (GVD) Μελέτη Επίδρασης Αυτοδιαμόρφωσης Φάσης (SPM) Λύση της μη γραμμικής εξίσωσης Schrodinger Μέθοδος Split Step Fourier ( SSF ) Κεφάλαιο Μελέτη διάδοσης οπτικών παλμών Σολιτόνια και ιδιότητες Διαμόρφωση σήματος Αλληλεπίδραση σολιτονίων Επίδραση φαινομένων ανώτερης τάξης στην αλληλεπιδραση σολιτονίων Επίδραση διασποράς τρίτης τάξης στη διάδοση σολιτονίων Επίδραση φαινομένου αυτοδιαμόρφωσης απότομων άκρων παλμού στη διάδοση σολιτονίων Επίδραση φαινομένου Raman στη διάδοση σολιτονίων Επίδραση φαινομένων ανώτερης τάξης στην αλληλεπίδραση σολιτονίων με διαφορετικό σχετικό πλάτος

6 4.5.1 Επίδραση διασποράς τρίτης τάξης στη διάδοση σολιτονίων με διαφορετικό σχετικό πλάτος Επίδραση φαινομένου αυτοδιαμόρφωσης απότομων άκρων παλμού στη διάδοση σολιτονίων με διαφορετικό σχετικό πλάτος Επίδραση φαινομένου Raman στη διάδοση σολιτονίων με διαφορετικό σχετικό πλάτος Επίδραση φαινομένων ανώτερης τάξης στην αλληλεπίδραση σολιτονίων με διαφορετική αρχική φάση Επίδραση διασποράς τρίτης τάξης στην διάδοση σολιτονίων με διαφορετική αρχική φάση Επίδραση φαινομένου αυτοδιαμόρφωσης απότομων άκρων παλμού στη διάδοση σολιτονίων με διαφορετική φάση Επίδραση φαινομένου Raman στη διάδοση σολιτονίων με διαφορετική φάση Επίδραση φαινομένων ανώτερης τάξης στην αλληλεπίδραση σολιτονίων με συνδυασμό διαφορετικής φάσης και σχετικού πλάτους Επίδραση διασποράς τρίτης τάξης στην διάδοση σολιτονίων με συνδυασμό διαφορετικής φάσης και σχετικού πλάτους Επίδραση φαινομένου αυτοδιαμόρφωσης απότομων άκρων παλμού στη διάδοση σολιτονίων με συνδυασμό διαφορετικής φάσης και σχετικού πλάτους Επίδραση φαινομένου Raman στη διάδοση σολιτονίων με συνδυασμό διαφορετικής φάσης και σχετικού πλάτους Επίδραση αθροιστικά των φαινομένων ανώτερης τάξης στην αλληλεπίδραση σολιτονίων Συμπεράσματα Επίλογος Παράρτημα Τεχνικές λεπτομέρειες για τις αριθμητικές προσομοιώσεις ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1 Οπτικές Τηλεπικοινωνίες Στη σημερινή εποχή, οι τηλεπικοινωνίες με τη χρήση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι οι πιο αξιόλογες, λιγότερο δαπανηρές και πολύ γρήγορες. Η επικοινωνία συνεπάγεται την μετάδοση πληροφορίας από ένα σημείο σε ένα άλλο. Όποτε είναι απαραίτητο να μεταδοθεί πληροφορία, όπως λόγος, εικόνα ή και δεδομένα, σε μια απόσταση γενικά γίνεται χρήση της θεωρίας της Κυματοδήγησης. Σε ένα τέτοιο σύστημα η προς αποστολή πληροφορία, διαμορφώνει ηλεκτρομαγνητικά κύματα όπως ραδιοκύματα, μικροκύματα ή φωτεινά κύματα τα οποία λειτουργούν ως μεταφορέας της πληροφορίας και εκπέμπονται από το δέκτη. Διαδιδόμενα με την σειρά τους ( στην ατμόσφαιρα αν πρόκειται για εκπομπή ραδιοφώνου, στα χάλκινα καλώδια αν πρόκειται για τηλέφωνο ή στις οπτικές ίνες αν πρόκειται για σύστημα με οπτικές ίνες ), καταλήγουνε στο τελικό προορισμό τους τον δέκτη ο οποίος αποδιαμορφώνει το σήμα και λαμβάνει καθαρή την πληροφορία. Στα συστήματα στα οποία χρησιμοποιούνται καλώδια χαλκού μπορούν να μεταδοθούν το ανώτερο 48 ταυτόχρονες τηλεφωνικές συνομιλίες. Ο αριθμός αυτός αυξάνει κατακόρυφα ταυτόχρονες συνομιλίες στην περίπτωση που αντί για χάλκινα καλώδια χρησιμοποιηθούν οπτικές ίνες ως μέσο διάδοσης και φωτόνια αντί για ηλεκτρόνια για την μεταφορά των σημάτων. Η ώθηση στις οπτικές τηλεπικοινωνίες επήλθε με την ανακάλυψη του Laser. Νωρίτερα δεν υπήρχε κατάλληλη πηγή φωτός, που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί αξιόπιστα για τη μεταφορά της πληροφορίας. Την ίδια περίοδο ο φόρτος των τηλεπικοινωνιακών δικτύων αυξανόταν με γοργούς ρυθμούς και έφταναν σε σημείο κορεσμού, η ανακάλυψη του Laser ώθησε στην ταυτόχρονη ανάπτυξη οπτικών τηλεπικοινωνιακών συστημάτων αντίστοιχων με τα αναλογικά. Οι οπτικές ίνες είναι ένα μέσο για τη μετάδοση της πληροφορίας από ένα σημείο σε ένα άλλο υπό τη μορφή φωτός. Σε αντίθεση με την μετάδοση με χάλκινα καλώδια, στις οπτικές ίνες η μετάδοση δεν είναι ηλεκτρικής φύσεως. Ένα σύστημα οπτικών ινών αποτελείται από ένα μεταδότη, ο οποίος μετατρέπει τους παλμούς του ηλεκτρικού σήματος σε φωτεινά σήματα, την οπτική ίνα η οποία μεταφέρει τα φωτεινά αυτά σήματα και τον δέκτη ο οποίος λαμβάνει τα σήματα και τα μετατρέπει πάλι από φωτεινά σε ηλεκτρικά. ( Σχήμα 1 ) 7

8 Σχήμα 1: Τηλεπικοινωνιακό σύστημα με χρήση οπτικών ινών. Σχήμα : Σύγκριση μεταξύ χάλκινου καλωδίου και οπτικής ίνας. 8

9 1. Πλεονεκτήματα Οπτικών Τηλεπικοινωνιών Τα πλεονεκτήματα από τη χρήση των οπτικών ινών στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα είναι: 1. Μεγαλύτερο Εύρος Μπάντας : Το πλήθος της πληροφορίας που μπορεί να μεταδοθεί σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστημα είναι άμεσα συνδεδεμένο με τη συχνότητα του φορέα των μεταδιδόμενων σημάτων. Η συχνότητα των φωτονίων είναι μεταξύ με Hz την στιγμή που στα ραδιοκύματα η συχνότητα είναι περίπου 10 6 Hz και στα μικροκύματα Hz. Επιπλέον η οπτική ίνα έχει μεγαλύτερο εύρος μετάδοσης από ότι ένα συμβατικό τηλεπικοινωνιακό σύστημα.. Χαμηλές Απώλειες Μετάδοσης: Λόγω της χρήσης οπτικών ινών με πολύ χαμηλές απώλειες, καθώς και οπτικές ίνες εμποτισμένες με έρβιο ως ενισχυτή μπορεί να επιτευχθεί σχεδόν μηδενική απώλεια ισχύος. Στα σύγχρονα συστήματα οπτικών τηλεπικοινωνιών οι απώλειες των ινών είναι 0db/Km. Περαιτέρω με τη χρήση ινών εμποτισμένων με έρβιο σε συγκεκριμένα σημεία εισάγεται κατάλληλη ενίσχυση στο σήμα. Τα σημεία αυτά μπορούν να απέχουν παραπάνω από 100 Km μεταξύ τους και επειδή η ενίσχυση συμβαίνει μόνο στο οπτικό κομμάτι ο <<θόρυβος>> που εισάγεται στο διαδιδόμενο σήμα είναι σχεδόν αμελητέος. 3. Διηλεκτρικός Κυματοδηγός: Επειδή οι οπτικές ίνες είναι κατασκευασμένες από πυριτία ( δηλαδή γυαλί ), σημαίνει ότι είναι ηλεκτρικά μονωμένες κάτι που έχει ως αποτέλεσμα να μην επηρεάζονται από ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολές (EMI) και παρεμβολές από ραδιοσυχνότητες (RFI). 4. Ασφάλεια Σήματος: Με τη χρήση οπτικών ινών δεν μπορούμε να έχουμε υποκλοπή του σήματος, γιατί το σήμα παραμένει μέσα στην οπτική ίνα με αποτέλεσμα να μη μπορεί να ανιχνευθεί παρά μόνο αν κοπεί η οπτική ίνα, κάτι όμως που θα εντοπιστεί και θα αποτραπεί. 5. Μικρό Μέγεθος και Βάρος: Τα καλώδια οπτικών ινών, έχουν μικρότερο μέγεθος από τα αντίστοιχα χάλκινα και επιπλέον παρουσιάζουν καλύτερη συμπεριφορά σε συνθήκες αποθήκευσης, χειρισμού, εγκατάστασης, μεταφοράς, συντήρησης και αντοχής. 9

10 Κεφάλαιο Οπτικές Ίνες.1 Δομή Οπτικών Ινών Όπως αναφέραμε και παραπάνω οι οπτικές ίνες κατέχουν σημαντικότατη θέση στα οπτικά συστήματα τηλεπικοινωνιών. Μία οπτική ίνα αποτελείται από μία δέσμη νημάτων ( fibers ) κατασκευασμένες από γυαλί ( SiO ), κάθε μία από τις οποίες, είναι ικανή να μεταδίδει μηνύματα διαμορφωμένα σε κύματα φωτός. Τα κύρια μέρη από τα οποία αποτελείται μια οπτική είναι ο πυρήνας ( core ) και η επικάλυψη ( cladding ) ( Σχήμα 3 ). Οι οπτικές ίνες έχουν στο κέντρο τους τον πυρήνα μέσω του οποίου μεταδίδεται το οπτικό σήμα. Ο πυρήνας εγκλωβίζει τις ακτίνες φωτός ( με βάση το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης, Σχήμα 4 ) και μεταφέρει τα οπτικά αυτά σήματα. Περιβάλλεται από την επικάλυψη ( cladding ) που έχει ελαφρά μικρότερο δείκτη διάθλασης από τον πυρήνα και βοηθάει στο να παραμένουν τα οπτικά σήματα μέσα στον πυρήνα, εμποδίζοντάς τα να διασκορπιστούν και να απολέσουν την ισχύ τους. Για την περαιτέρω προστασία της οπτικής ίνας από τους περιβαλλοντολογικούς κινδύνους, αυτή, περιβάλλεται από εξωτερικό προστατευτικό υλικό ( buffer-jacket ), το οποίο είναι συνήθως πλαστικό. Σχήμα 3: Τα μέρη από τα οποία αποτελείται η οπτική ίνα. 10

11 Σχήμα 4: Διαδρομή σήματος στον πυρήνα της οπτικής ίνας με τη βοήθεια του φαινομένου της ολικής ανακλάσεως. Τύποι Οπτικών Ινών Οι οπτικές ίνες διαφοροποιούνται, καταρχήν, από τον τρόπο μετάδοσης του σήματος μέσα σε αυτές. Υπάρχουν πολλές γωνίες με τις οποίες το φως μπορεί να εισέλθει σε μία οπτική ίνα και να δημιουργήσει διαφορετικές γωνίες προσβολής της επικάλυψης οι οποίες αναφέρονται και ως τρόποι. Η πρώτη βασική διάκριση είναι μεταξύ των πολύτροπων και μονότροπων οπτικών ινών. - Πολύτροπες οπτικές ίνες (Multimode fiber optics) Ο τρόπος αναφοράς των μεγεθών για τις οπτικές ίνες είναι να αναφέρουμε πρώτα τη διάμετρο του πυρήνα (γυαλιού) και στη συνέχεια τη διάμετρο της επίστρωσης (cladding). Οι μετρήσεις των παραπάνω μεγεθών γίνονται σε 10-6 μέτρα. Οι πολύτροπες οπτικές ίνες έχουν τυπικά μεγέθη 50μm/ 15μm, 6,5/15, 85/15 ή 100/140. Ο συνηθέστερος τύπος, ο οποίος κυκλοφορεί, είναι ο 6,5/15. Η ολική διάμετρος της οπτικής ίνας συμπεριλαμβανομένων των ενισχυτικών συνθετικών ινών και του εξωτερικού περιβλήματος φτάνει τα 900μm. Η αρχή μετάδοσης σε πολύτροπη οπτική ίνα, είναι ότι οι διάφορες ακτίνες του οπτικού σήματος, ανάλογα με την είσοδο τους στην οπτική ίνα ταξιδεύουν ανακλώμενες υπό διαφορετικές γωνίες, όπως φαίνεται στα σχήματα. Αυτός ο τρόπος μετάδοσης ονομάζεται πολύτροπος (multimode), επειδή έχουμε πολλούς δρόμους μετάδοσης, που αντιστοιχούν στις διαφορετικές γωνίες ανάκλασης. Βασιζόμενοι στον τρόπο μεταβολής του δείκτη διάθλασης, μεταξύ του πυρήνα και της επικάλυψης της ίνας, τις διαχωρίζουμε σε (α) Ίνες βαθμωτού δείκτη διάθλασης ( Step index fiber ) (β) Ίνες βαθμιαίου δείκτη διάθλασης ( Graded index fiber ). 11

12 (α) Ίνες βαθμωτού δείκτη διάθλασης: Σε μια ίνα βαθμωτού δείκτη διάθλασης, ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα είναι σταθερός και υπάρχει μια απότομη μεταβολή του στην οριακή επιφάνεια πυρήνα επικάλυψης. Σε αυτή την περίπτωση οι ακτίνες φωτός διαδίδονται στην ίνα με την μορφή ακτίνων που διασχίζουν τον άξονα της ίνας μετά από κάθε ανάκλαση τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα ( 5 ). Όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία υποδοχής, τόσο μεγαλύτερο είναι το πλήθος των διαφορετικών διαδρομών. Χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές όπου απαιτείται υψηλό εύρος (<1GHz) σε σχετικά μικρές αποστάσεις (<3Km) όπως τοπικά δίκτυα. Τα κύρια πλεονεκτήματα των πολύτροπων οπτικών ινών είναι η ευκολία διαχείρισής τους, η εύκολη σύζευξη αποσύζευξή τους (λόγω του μεγάλου μεγέθους του πυρήνα τους), μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο με πηγές Laser, όσο και με LED και τέλος οι απώλειες σύζευξή τους είναι μικρότερες από αυτές στις μονότροπες ίνες. Σχήμα 5: Διάδοση φωτεινών ακτίνων και μεταβολή δείκτη διάθλασης σε ίνα βαθμωτού δείκτη διάθλασης. (β) Ίνες βαθμιαίου δείκτη διάθλασης: Στις ίνες βαθμιαίου δείκτη διάθλασης, ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα μεταβάλλεται βαθμιαία (συνήθως με παραβολική μορφή ), ούτως ώστε, το μέγιστό του να είναι στο κέντρο του πυρήνα και όσο απομακρυνόμαστε από αυτό να μειώνεται, μέχρι να πάρει μια σταθερή τιμή. Σχήμα 6: Διάδοση φωτεινών ακτίνων και μεταβολή δείκτη διάθλασης σε ίνα βαθμιαίου δείκτη διάθλασης. 1

13 - Μονότροπες οπτικές ίνες (single mode fiber optics) Στις μονότροπες οπτικές ίνες, η διάμετρος της κεντρικής ίνας είναι πολύ μικρή και πλησιάζει περίπου το επίπεδο του μήκους κύματος του εκπεμπόμενου σήματος. Στην περίπτωση αυτή, έχουμε έναν μόνο δυνατό τρόπο μετάδοσης του οπτικού σήματος, τον αξονικό. Λόγω αυτού του γεγονότος οι μονότροπες οπτικές ίνες χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές όπου απαιτείται ελάχιστη απώλεια σήματος καθώς και υψηλός ρυθμός επανάληψης δεδομένων. Η διάμετρος του πυρήνα στις μονότροπες ίνες κυμαίνεται 5μm έως 10μm. Η πορεία των ακτινών σε μια τέτοια οπτική ίνα φαίνεται στο Σχήμα ( 7 ). Σχήμα 7: Διάδοση φωτεινών ακτινών και μεταβολή δείκτη διάθλασης σε μονότροπη ίνα βαθμωτού δείκτη διάθλασης. Για τις ίνες βαθμωτού δείκτη διάθλασης η κατανομή του δείκτη δίνεται από: n = n 1 n = n για r < α για r > α όπου n 1, n ( <n 1 ) οι δείκτες διάθλασης του πυρήνα και της επικάλυψης αντίστοιχα και α παριστά την ακτίνα του πυρήνα. Για τον χαρακτηρισμό των οπτικών ινών χρησιμοποιούμε την παράμετρο Δ ( σχετική διαφορά δείκτη διάθλασης ) οποία ισούται με: Δ = Όταν Δ<<1 ( κάτι που ισχύει για τις πυριτιούχες οπτικές ίνες ) οι τιμές των n 1, n είναι πολύ κοντά τότε η παραπάνω σχέση γίνεται: 13

14 = ( n + )( ) ( ) ( ) Ο σχετικός δείκτης διάθλασης, καθορίζει τη γωνία ολικής ανάκλασης, επομένως έχει να κάνει με τη σύζευξη του φωτός στην οπτική ίνα και σχετίζεται με το αριθμητικό άνοιγμα NA ( Numerical Aperture ) της ίνας, δηλαδή με το ημίτονο της μέγιστης γωνίας, υπό την οποία το φως εισέρχεται ή εξέρχεται από αυτήν: Σχήμα 8: Διάδοση φωτεινής δέσμης μέσα σε οπτική ίνα. Έστω ότι μια φωτεινή δέσμη εισέρχεται στην οπτική ίνα σχηματίζοντας γωνία i με τον άξονα της ίνας και διαθλάται με γωνία θ σε σχέση με τον ίδιο άξονα όπως φαίνεται στο Σχήμα ( 8 ). Υποθέτοντας ότι έξω από την ίνα ο δείκτης διάθλασης είναι n 0 θα έχουμε: sin sin = Προφανώς αν η διαθλώμενη ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση στην οριακή επιφάνεια πυρήνα επικάλυψης τότε θα ισχύει: sinφ(=cosθ)> όμως ισχύει sinθ = άρα η παραπάνω σχέση θα γίνεται: 14

15 sinθ <[1 ( ) ] Εφαρμόζοντας τον νόμο του Snell βρίσκουμε ότι: sini = ( ) 1/ = Τέλος ορίζοντας ως ΝΑ = sini έχουμε ότι: ΝΑ = n Δ Για μια τυπική ( πολύτροπη ) ίνα α 5μm, n 1.45 ( καθαρή πυριτία ), και Δ 1 ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα είναι n Επιπλέον χρησιμοποιούμε και την κανονικοποιημένη συχνότητα που ορίζεται ως: V = α( ) 1/ όπου k 0 =π/λ, α είναι η ακτίνα του πυρήνα και λ το μήκος κύματος του φωτός. Η παράμετρος αυτή, προσδιορίζει τον αριθμό τον τρόπων ( propagation mode ) που μπορούν να διαδοθούν στην οπτική ίνα. Επομένως, όταν V<.405 η ίνα επιτρέπει μόνο ένα τρόπο και χαρακτηρίζεται ως μονότροπη ( single mode ) ενώ σε αντίθετη περίπτωση χαρακτηρίζεται ως πολύτροπη οπτική ίνα ( multimode )..3 Κατασκευή Οπτικών Ινών Ο τρόπος παραγωγής των οπτικών ινών εξαρτάται από την εφαρμογή, για την οποία προορίζεται η ίνα. Τα υλικά που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή τους ποικίλουν ανάλογα με το δείκτη διάθλασης του πυρήνα καθώς και την επιλεγείσα φασματική περιοχή ελάχιστης απορρόφησης. H τυπική συνταγή του μίγματος, που χρησιμοποιείται για την κατασκευή των οπτικών ινών, αποτελείται από οξείδια του πυριτίου, βορίου, φωσφόρου, αλουμινίου, γερμανίου και νατρίου. Το σημαντικό στην παραγωγή της ίνας και στον έλεγχο του επιθυμητού δείκτη διάθλασης, είναι η εξαιρετική καθαρότητα των προσμίξεων αυτών των υλικών. Στην περίπτωση ινών για οπτικές εφαρμογές, η βασική τεχνική παραγωγής βασίζεται στη μέθοδο Ράβδου Σωλήνα( περίπτωση a ), όπου μπορεί ταυτόχρονα να εφελκυστεί ένα ζεύγος συστατικών ( με διαφορετικούς δείκτες διάθλασης ). H χημική αντίδραση σε κατάλληλη θερμοκρασία του κλιβάνου δίνει τη μορφή της ίνας. Πρόκειται για ένα γυάλινο κύλινδρο μήκους 0.5 m, από τον οποίο στη συνέχεια προέρχεται ένα κομμάτι συνεχούς οπτικής ίνας μήκους μερικών χιλιομέτρων. Η μορφή τοποθετείται σε κατακόρυφη θέση σε «πύργο» όπου η άκρη της αρχίζει σε κατάλληλη θερμοκρασία να λιώνει. Από αυτή την άκρη γίνεται ο εφελκυσμός της ίνας από ένα περιστρεφόμενο τύμπανο ελεγχόμενης ταχύτητας. 15

16 Σχήμα 9: Μέθοδοι κατασκευής καλωδίων οπτικών ινών. Η μέθοδος της διπλής χοάνης ( περίπτωση b ) χρησιμοποιείται σε ίνες, που προσδιορίζονται για τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές. Σε αυτές τις εφαρμογές απαιτείται η βαθμιαία κατανομή του δείκτη διάθλασης μέσα στο πυρήνα ( graded-index fiber ). Η πρώτη χοάνη περιέχει το υλικό του πυρήνα και τοποθετείται μέσα στη δεύτερη που περιέχει το υλικό περιβλήματος. Εντός της καμίνου τα υλικά τήκονται. Τα στόμια και των δυο χοανών βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο και καθώς το υλικό του πυρήνα ρέει προς τα κάτω ( εξαιτίας της βαρύτητας ) συμπαρασύρει και το υλικό του περιβλήματος, δημιουργώντας την ίνα. Στις γυάλινες οπτικές ίνες, ως βασικό υλικό παραγωγής χρησιμοποιείται το οξείδιο του πυριτίου ή αλλιώς πυριτία (SiO ). Η διοχέτευση και καύση μίγματος οξυγόνου, αλογονιδίου του πυριτίου και άλλων προσμίξεων παράγουν μίγμα οξειδίων, που επικάθεται στο SiO δημιουργώντας ένα είδος πηλού (πρόπλασμα). Το πρόπλασμα τήκεται μαζί με τα άλλα συστατικά και εφελκύεται ταυτόχρονα με την ίνα. Το ανάγλυφο του προπλάσματος αποτελείται από λεπτές επιστρώσεις προοδευτικά μεταβαλλόμενης συγκέντρωσης των προσμίξεων έτσι ώστε να επιτυγχάνεται βαθμιαία κατανομή του δείκτη διάθλασης στον πυρήνα της ίνας. 16

17 .4 Χαρακτηριστικά Μετάδοσης Οπτικών Ινών Κατά τη διάδοση των φωτεινών παλμών μέσα στις οπτικές ίνες, εμφανίζονται φαινόμενα τα οποία επηρεάζουν αυτούς τόσο χρονικά όσο και φασματικά. Αυτές οι αλλαγές στο φάσμα και το εύρος των παλμών περιορίζουν την απόδοση των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Τα φαινόμενα αυτά διαχωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τα γραμμικά φαινόμενα και τα μη γραμμικά φαινόμενα. Στην πρώτη κατηγορία κατατάσσονται τα φαινόμενα της Εξασθένισης ( Attenuation ) και της Διασποράς Ομαδικής Ταχύτητας ( Group Velocity Dispersion GVD ), ενώ στη δεύτερη κατηγορία, αυτή των μη γραμμικών φαινομένων, κατατάσσονται τα φαινόμενα της Αυτοδιαμόρφωσης Φάσης ( Self Phase Modulation, SPM ), Ετεροδιαμόρφωσης Φάσης ( Cross Phase Modulation, XPM ), Μίξης Τεσσάρων Κυμάτων ( Four Wave Mixing ),καθώς και τα φαινόμενα της Εξαναγκασμένης Σκέδασης Φωτός ( Stimulated Light Scattering ) Raman ( SRS ) και Brillouin ( SBS )..4.1 Εξασθένιση ( Attenuation ) Στις οπτικές τηλεπικοινωνίες οι απώλειες μετάδοσης του σήματος ή εξασθένιση ( όπως συνηθίζεται να λέγεται ) είναι μια πολύ σημαντική παράμετρος η οποία πρέπει να λαμβάνεται υπόψη. Όσο μικρότερη είναι η εξασθένιση, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η απόσταση μεταξύ των αναμεταδοτών κάτι που συνεπάγεται μικρότερο κόστος του τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Η μεταβολή της ισχύος ενός οπτικού παλμού διαδίδεται μέσα σε μια οπτική ίνα περιγράφεται από το νόμο του Beer : dp/dz = -ap όπου α είναι ο συντελεστής εξασθένισης και P η οπτική ισχύς. Δεδομένου ότι P είναι η ισχύς εισόδου σε μια οπτική ίνα μήκους L, η ισχύς εξόδου θα δίνεται από τη σχέση: P out (t) = P in exp(-αl) Συνηθίζεται να εκφράζεται ο συντελεστής εξασθένισης α σε μονάδες db/km χρησιμοποιώντας την σχέση: α db = [ ] = 4.434α 17

18 Η απώλεια της οπτικής ίνας εξαρτάται ισχυρά από το μήκος κύματος του μεταδιδόμενου οπτικού σήματος και η μεταβολή της φαίνεται στο Σχήμα ( 10 ). Σχήμα 10: Προφίλ συντελεστή εξασθένησης α και εξάρτηση των απωλειών της οπτικής ίνας για διάφορους βασικούς μηχανισμούς απωλειών. Ο συντελεστής εξασθένισης γίνεται ελάχιστος ( 0. db/km ) για μήκος κύματος που βρίσκεται κοντά στην περιοχή του 1,55μm. Αυτή η τιμή βρίσκεται πολύ κοντά στην θεμελιώδη τιμή των οπτικών ινών κατασκευασμένων από πυριτία και είναι 0.16db/Km. Το φάσμα απωλειών, παρουσιάζει ένα ισχυρό μέγιστο κοντά στα 1.39μm και μερικά ακόμα σε μικρότερα μήκη κύματος. Ένα δεύτερο ελάχιστο εμφανίζεται στα 1.3μm και το παράθυρο αυτό το εκμεταλλεύτηκαν τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα δεύτερης γενιάς. Οι απώλειες στις οπτικές ίνες, παρατηρούμε ότι είναι αισθητά υψηλότερες για μικρά μήκη κύματος και υπερβαίνουν τα 5db/Km στην περιοχή του ορατού φάσματος. Στο Σχήμα ( 10 ) παρουσιάζονται και άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν τις απώλειες, με τους πιο σημαντικούς να είναι η απορρόφηση του υλικού και η σκέδαση Rayleigh. Απορρόφηση Υλικού Η απορρόφηση υλικού μπορεί να χωριστεί σε κατηγορίες. Η εγγενής ( ή φυσική ) απορρόφηση υλικού, αντιστοιχεί στην απώλεια που προκαλείται από το καθαρό πυρίτιο, ενώ η εξωγενής απορρόφηση σχετίζεται με τις απώλειες λόγω προσμίξεων. Σε όλα τα υλικά παρουσιάζεται απορρόφηση σε συγκεκριμένα μήκη κύματος, τα οποία αντιστοιχούν σε ηλεκτρονιακούς και δονητικούς συντονισμούς των μορίων. Στα μόρια της πυριτίας (SiO ), ο ηλεκτρονιακός συντονισμός εμφανίζεται στην υπεριώδη περιοχή του φάσματος ( λ < μm ) σε αντίθεση με τους δονητικούς που 18

19 εμφανίζονται στην υπέρυθρη ( λ < 0.7μm ). Εξαιτίας της άμορφης φύσης της τηγμένης πυριτίας, οι συντονισμοί αυτοί έχουν τη μορφή ζωνών απορρόφησης, των οποίων οι <<ουρές>> εκτείνονται μέχρι την περιοχή του ορατού φάσματος. Η εξωγενής απορρόφηση προκαλείται από την παρουσία προσμίξεων. Οι προσμίξεις μετάλλων, όπως Fe, Cu, Co, Ni παρουσιάζουν έντονη απορρόφηση σε μήκη κύματος -1.6 μm. Η ποσότητά τους θα πρέπει να μειωθεί σε ποσοστό μικρότερο του 1ppm, για να έχουμε επίπεδο απώλειας κάτω από 1 db/km. Τέτοιου είδους υψηλής καθαρότητας πυριτία, μπορεί να παραχθεί με την χρήση μοντέρνων τεχνικών. Η κύρια πηγή της εξωγενούς απορρόφησης οφείλεται στην παρουσία ατμών νερού μέσα στο υλικό. Το ιόν του υδροξυλίου ( OH - ) παρουσιάζει ένα δονητικό συντονισμό κοντά στα.73μm και ο συνδυασμός του με τη πυριτία έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση απορρόφησης στο 1.39, 1.4 και 0.95μm. Τα φασματικά μέγιστα που φαίνονται στο Σχήμα ( 10 ) οφείλονται στην παρουσία αυτή, και ακόμα μια πυκνότητα της τάξεως του 1ppm μπορεί να προκαλέσει απώλειες της τάξης των 50db/Km. Τυπικά, η συγκέντρωση ιόντων OH - θα πρέπει να μειωθεί σε επίπεδο χαμηλότερο του 10-8 για να έχουμε ίνα χαμηλής απώλειας. Γενικά οι εξωγενείς απώλειες είναι πολύ μικρές όταν συγκρίνονται με αυτές της εγγενούς και μπορούν να ελαχιστοποιηθούν με κατάλληλη φροντίδα κατά το στάδιο της παραγωγής και της εγκατάστασης των οπτικών ινών. Σκέδαση Rayleigh Η σκέδαση Rayleigh αποτελεί ένα βασικό μηχανισμό απώλειας, ο οποίος προκαλείται από σημειακές μικροσκοπικές διακυμάνσεις της πυκνότητας. Οι διακυμάνσεις αυτές, οδηγούν σε τυχαία διακύμανση του δείκτη διάθλασης, σε κλίμακα μικρότερη του οπτικού μήκους κύματος λ. Η σκέδαση του φωτός σε ένα τέτοιο μέσο είναι γνωστή ως σκέδαση Rayleigh. Η ενεργός διατομή της σκέδασης μεταβάλλεται συναρτήσει του λ -4. Επομένως οι ενδογενείς απώλειες των οπτικών ινών λόγω του φαινομένου της σκέδασης Rayleigh μπορεί να γραφεί ως: α R =C/λ 4 όπου η σταθερά C είναι περίπου (db/km)-μm. Για μήκος κύματος λ=1.55μm παρατηρούμε ότι στις απώλειες κυριαρχεί η σκέδαση Rayleigh. Η συνεισφορά της σκέδασης Rayleigh μπορεί να μειωθεί σε επίπεδο κάτω από 1 db/km για μήκος κύματος μεγαλύτερο από 3 μm. Ατέλειες του κυματοδηγού Μια ιδανική μονότροπη οπτική ίνα, οδηγεί τον οπτικό τρόπο μετάδοσης χωρίς διαρροή οπτικής ενέργειας στο στρώμα περιβλήματος. Πρακτικά όμως, οι ατέλειες στην περιοχή της ένωσης του πυρήνα και του στρώματος περιβλήματος, μπορεί να οδηγήσουν σε επιπλέον απώλειες που συνεισφέρουν στην ολική απώλεια της καθαρής οπτική ίνας. Η φυσική διαδικασία πίσω από τέτοιες απώλειες είναι η σκέδαση Mie. Μια άλλη πηγή απώλειας σκέδασης είναι και τα λυγίσματα στις οπτικές ίνες. Ωστόσο, αφού οι περισσότερες μακροσκοπικές κάμψεις υπερβαίνουν την ακτίνα κάμψης R=5mm, οι απώλειες μακροκάμψης είναι στην ουσία αμελητέες. Σημαντική πηγή εξασθένησης σε μια μονότροπη οπτική ίνα, ιδιαίτερα σε καλωδιακή μορφή, έχει να κάνει με τις τυχαίες αξονικές παραμορφώσεις που εμφανίζονται πάντα κατά τη διάρκεια κατασκευής καλωδίων οπτικών ινών, καθώς η ίνα πιέζεται πάνω σε μια επιφάνεια, η οποία δεν είναι τελείως ομαλή. Αυτές οι απώλειες ονομάζονται απώλειες 19

20 μικροκάμψης και έχουν μελετηθεί εκτεταμένα. Στις μονότροπες οπτικές ίνες, μπορούμε να περιορίσουμε την απώλεια επιλέγοντας παράμετρο V όσο το δυνατόν πιο κοντά στην τιμή αποκοπής.405, ώστε η ενέργεια μετάδοσης του τρόπου στην οπτική ίνα, να περιορίζεται κυρίως μέσα στον πυρήνα. Υπάρχουν πολλές ακόμη πηγές απωλειών σε ένα καλώδιο οπτικών ινών (ενώσεις, συνδετήρες κα.). Ωστόσο, οι μονότροπες οπτικές ίνες παρουσιάζουν και μη-γραμμικές απώλειες, οι οποίες είναι πολύ σημαντικές σε υψηλές τιμές ισχύος. Όλοι οι μηχανισμοί απωλειών που συζητήθηκαν σε αυτές τις παραγράφους δεν εξαρτώνται από την ισχύ του κύματος. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλου είδους μη γραμμικές απώλειες, οι οποίες εξαρτώνται από την οπτική ισχύ και μάλιστα γίνονται πιο έντονες για υψηλά επίπεδα κυματοδηγούμενης οπτικής ισχύος..4. Διασπορά Ομαδικής Ταχύτητας ( G.V.D. ) Το φαινόμενο της διασποράς στις οπτικές ίνες, σχετίζεται με τη διεύρυνση του παλμού λόγω της εξάρτησης του δείκτη διάθλασης του υλικού που κατασκευάζεται η ίνα, από το μήκος κύματος του φωτός. Αν στην οπτική ίνα εισέλθει ένα ψηφιακό σήμα με την μορφή τετραγωνικών παλμών τότε αυτό θα διευρυνθεί λόγο της διασποράς σε παλμό γκαουσιανής μορφής. Γενικά η διασπορά οδηγεί σε παραμόρφωση του παλμού εισόδου, με αποτέλεσμα η ποιότητα του σήματος στην έξοδο της ίνας να είναι χαμηλή λόγω υπερκάλυψης των παλμών. Τα φαινόμενα της διασποράς μπορούν να εξηγηθούν με βάση την ομαδική ταχύτητα των διαδιδόμενων παλμών μέσα στην οπτική ίνα. Ομαδική ταχύτητα είναι η ταχύτητα με την οποία ένα τρόπος διαδίδεται κατά μήκος της ίνας. Σταθερά διάδοσης β = n 1 (π/λ) = n 1 ω/c, επομένως Ομαδική ταχύτητα = = Όμως β = n 1 (π/λ) = Χρησιμοποιώντας ότι ω = πc/λ άρα = Θα έχουμε ότι: 0

21 όπου N g = n 1 λ(dn 1 /dλ) ονομάζεται ομαδικός δείκτης διάθλασης της οπτικής ίνας. Παρατηρούμε ότι η ομαδική ταχύτητα καθώς και η φασική ταχύτητα δηλαδή η ταχύτητα με την οποία κινείται η κάθε συχνότητα, είναι διαφορετικές μέσα στην οπτική ίνα κάτι που έχει ως αποτέλεσμα να συμπεριφέρεται σαν μέσο διασποράς. Τα είδη της διασποράς που κάνουν την εμφάνισή τους στις οπτικές ίνες, είναι η χρωματική διασπορά, η διασπορά λόγω κυματοδήγησης και η διασπορά πολλών τρόπων. Η χρωματική διασπορά ( D m, Chromatic Dispersion ) οφείλεται στην μεταβολή του δείκτη διάθλασης του πυρήνα της οπτικής ίνα με το μήκος κύματος ( ή τη συχνότητα ) του φωτός και είναι άμεσα συνδεδεμένο με το φασματικό εύρος του μεταδιδόμενου παλμού. Για την πυριτία η χρωματική διασπορά τείνει στο μηδέν για μήκος κύματος κοντά στο 1.3μm. περαιτέρω μείωση μπορεί να επέλθει με τη χρήση οπτικής πηγής με στενό φασματικό πλάτος, ενώ για μικρότερα μήκη κύματος ( μm μm ) η χρωματική διασπορά αυξάνει με εκθετικό βαθμό. Η διασπορά λόγω κυματοδήγησης ( D w, Waveguide Dispersion ) οφείλεται στο πεπερασμένο εύρος της ζώνης συχνοτήτων καθώς και στην εξάρτηση της ομαδικής ταχύτητας με το μήκος κύματος του φωτός. Όσο μεγαλύτερο είναι το εύρος ζώνης της συχνότητας του μεταδιδόμενου παλμού τόσο μεγαλύτερη θα είναι και η διασπορά λόγω κυματοδηγησης αλλά εξαρτάται και από άλλους παράγοντες, όπως είναι η ακτίνα του πυρήνα από τη στιγμή που η παράμετρος διάδοσης β είναι συνάρτηση του a/λ. Στην περίπτωση μονότροπων οπτικών ινών, το είδος αυτό της διασποράς εμφανίζεται όταν d β/dλ 0, ενώ στις πολύτροπες ίνες οι περισσότεροι τρόποι διαδίδονται μακριά από την τιμή αποκοπής με αποτέλεσμα να μην εμφανίζεται αυτού του είδους η διασπορά. Η διασπορά πολλών τρόπων ( Multimode Dispersion ), οφείλεται στην διαφοροποίηση της ομαδικής ταχύτητας, με την οποία κινείται κάθε τρόπος σε συγκεκριμένη συχνότητα. Διαφορετικοί τρόποι, φτάνουν στο τέλος της ίνας σε διαφορετικούς χρόνους, κάτι που έχει ως αποτέλεσμα την διεύρυνση του παλμού. Στο Σχήμα ( 11 ) παρουσιάζεται η μεταβολή της χρωματικής διασποράς, της διασποράς λόγω κυματοδήγησης καθώς και του αθροίσματος αυτών των δύο ( D = D W + D M ), δηλαδή της ολικής διασποράς σε μια μονότροπη οπτική ίνα. Παρατηρούμε ότι για μήκος κύματος ίσο με 1.76μm η συνολική διασπορά της ίνας είναι μηδέν. Το μήκος κύματος αυτό, ονομάζεται μήκος μηδενικής διασποράς ( λ ZD ) και ισχύει μόνο για τη πυριτία. Το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς εξαρτάται από την ακτίνα του πυρήνα a, το σχετικό δείκτη διάθλασης ( Δ ) καθώς και από διάφορες προσμίξεις με τις οποίες μπορεί να είναι εμποτισμένη η ίνα. Επιπλέον η D W είναι αρνητική για μήκη κύματος μεταξύ 0 1.6μm σε αντίθεση με την D M η οποία είναι αρνητική για μήκη κύματος χαμηλότερα του λ ZD και θετική για μεγαλύτερα. Κύρια επίδραση της διασποράς λόγω κυματοδήγησης είναι να μετατοπίσει το λ ZD κατά nm ούτως ώστε η συνολική διασπορά να είναι μηδέν κοντά στα 1.31μm καθώς και να μειώσει τη συνολική διασπορά κοντά στα 1.55μm, περιοχή όπου οι απώλειες της ίνας είναι ελάχιστες. Αφού η διασπορά λόγω κυματοδήγησης ( DW ) εξαρτάται από τις παραμέτρους της ίνας, μπορούμε να σχεδιάσουμε οπτικές ίνες που το λ DZ να ευρίσκεται κοντά στα 1.55μm. τέτοιες ίνες ονομάζονται ίνες μετατοπισμένης διασποράς ( Dispersion shifted fibers ), ή να μεταβάλλεται έτσι ώστε η συνολική διασπορά να σταθεροποιείται σε χαμηλές τιμές για μήκη κύματος από 1.3 μέχρι 1

22 1.6μm ( Dispersion flattend fibers ) Σχήμα ( 1 ). Τέλος στο Σχήμα ( 13 ) φαίνεται πως επηρεάζει συνολικά η διασπορά ένα διαδιδόμενο σε οπτική ίνα παλμό. Σχήμα 11: Συνολική διασπορά D και σχετικές συνεισφορές από χρωματική διασπορά D M και διασπορά λόγω κυματοδήγησης D W σε μονότροπη οπτική ίνα.. Σχήμα 1: Μεταβολή της συνολικής διασποράς σαν συνάρτηση του μήκους κύματος για διάφορα είδη οπτικών ινών.

23 Σχήμα 13: Συνολική επίδραση της διασποράς σε ένα διαδιδόμενο παλμό..4.3 Μη Γραμμικά Φαινόμενα Η απόκριση κάθε διηλεκτρικού υλικού στο φως καθίσταται μη γραμμική για ισχυρά ηλεκτρομαγνητικά πεδία και οι οπτικές ίνες δεν αποτελούν εξαίρεση. Αν και η πυριτία δεν είναι ισχυρά μη γραμμικό υλικό εντούτοις η γεωμετρία του κυματοδηγού που συγκεντρώνει όλη την ισχύ σε ένα πολύ μικρό χώρο καθιστά τα μη γραμμικά φαινόμενα, πολύ σημαντικά στο σχεδιασμό μοντέρνων οπτικών συστημάτων. H γενική σχέση που συνδέει την πόλωση που αναπτύσσεται σε κάποιο υλικό με το ηλεκτρικό πεδίο που εφαρμόζεται σε αυτό είναι: όπου χ (j) οι επιδεκτικότητες j τάξης οι οποίες μαθηματικά εκφράζονται ως τανυστές τάξης j+1. Για παράδειγμα: Το γραμμικό μέρος της επιδεκτικότητας χ (1), το συνεισφέρει περισσότερο στον καθορισμό του διανύσματος της πόλωσης, εκφράζεται μέσω του δείκτη διάθλασης n(ω) και το συντελεστή απορρόφησης α. Η δεύτερης τάξης επιδεκτικότητα χ () η οποία είναι υπεύθυνη για φαινόμενα όπως η γένεση δεύτερης αρμονικής ή γενικότερα η γένεση κύματος με συχνότητα το άθροισμα των συχνοτήτων των δύο αλληλεπιδρώντων κυμάτων παρατηρείται μόνο σε υλικά τα οποία δεν διαθέτουν συμμετρία αντιστροφής σε κρυσταλλικό επίπεδο. Επειδή οι 3

24 ίνες αποτελούνται από άμορφο υλικό δεν παρουσιάζουν τέτοια φαινόμενα. Η κύρια συνεισφορά του μη γραμμικού μέρους της επιδεκτικότητας στις οπτικές ίνες προέρχεται από το χ (3) το οποίο ευθύνεται για φαινόμενα όπως η γένεση τρίτης αρμονικής, η μίξη τεσσάρων κυμάτων, η μη γραμμική διάθλαση και η πολυφωτονική απορρόφηση. Μιας και τα φαινόμενα της μίξης τεσσάρων κυμάτων (Four Wave Mixing) και της γένεσης τρίτης αρμονικής απαιτούν καλό ταίριασμα φάσης μεταξύ των αλληλεπιδρώντων κυμάτων, το κύριο μη γραμμικό φαινόμενο που τελικά παρατηρείται στις οπτικές ίνες είναι η μη γραμμική διάθλαση. Μη γραμμική διάθλαση, σημαίνει εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση της ακτινοβολίας που διαδίδεται στην ίνα. Συγκεκριμένα, ο δείκτης διάθλασης συμπεριλαμβανομένης της μη γραμμικότητας, δίνεται από την σχέση: όπου n(ω) το γραμμικό μέρος του δείκτη διάθλασης και = 3 8 ( ) όπου ( ) η πρώτη συνιστώσα του τανυστή της επιδεκτικότητας τρίτης τάξης. Η μη γραμμική διάθλαση είναι υπεύθυνη για δύο πολύ βασικά φαινόμενα στις οπτικές ίνες, τη μη γραμμική αλληλεπίδραση ενός κύματος με τον εαυτό του (Self Phase Modulation SPM) καθώς και τη μη γραμμική αλληλεπίδραση μεταξύ δύο διαφορετικών κυμάτων (Cross Phase Modulation XPM) Μίξη Τεσσάρων Κυμάτων Το φαινόμενο αυτό περιγράφεται ως εξής: Αν τρία οπτικά πεδία σε φέρουσες συχνότητες ω 1, ω και ω 3 κυματοδηγηθούν ταυτόχρονα μέσα από μια οπτική ίνα, τότε η απόκριση του υλικού μέσου θα δημιουργήσει επιπλέον πεδία σε συχνότητες ω 4 = ω 1 ± ω ± ω 3. Στην πράξη βέβαια δε θα δημιουργηθούν όλοι αυτοί οι δυνατοί συνδυασμοί, επειδή δεν μπορεί να υπάρξει ταύτιση στη φάση τους, και τελικώς θα επιβιώσουν οι συνδυασμοί της μορφής ω 4 = ω 1 +ω -ω 3. Το παραγόμενο ηλεκτρομαγνητικό κύμα θα δημιουργήσει παρεμβολές σε γειτονικά κανάλια και ειδικότερα στην περίπτωση, όπου έχουμε μετάδοση σε περιοχές μήκους κύματος μηδενικής διασποράς της ίνας. Το όλο φαινόμενο της μίξης τεσσάρων φωτονίων μπορούμε να το θεωρήσουμε ως σκέδαση δύο φωτονίων ђω 1 και ђω με το υλικό του μέσου και παραγωγή δύο άλλων σε συχνότητες ђω 3 και ђω 4. Στην περίπτωση όπου έχουμε μετάδοση ενός μόνο καναλιού, τότε δεν υπάρχει πρόβλημα λόγω FWM. Αντίθετα, σε WDM συστήματα, όπου πολλά κανάλια μεταδίδονται σε γειτονικές φέρουσες το φαινόμενο του FWM θα έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβίβαση ενέργειας από το ένα κανάλι σε γειτονικά του και έτσι την δημιουργία παρεμβολής. Αυτοδιαμόρφωση Φάσης ( SPM, Self Phase Modulation ) Κατά το φαινόμενο της αυτοδιαμόρφωσης φάσης η οπτική φάση του παλμού μεταβάλλεται με το χρόνο, εξαρτάται από τον ίδιο το παλμό καθώς επίσης 4

25 προέρχεται από αυτόν. Το αποτέλεσμα της αυτοδιαμόρφωσης φάσης είναι μια διαμόρφωση συχνότητας που κάνει την εμφάνισή της στο παλμό. Ετεροδιαμόρφωση Φάσης ( XPS, Cross Phase Modulation ) Το φαινόμενο της ετεροδιαμόρφωσης φάσης εμφανίζεται στη περίπτωση όπου δύο ή περισσότεροι παλμοί διαδίδονται ταυτόχρονα σε μία οπτική ίνα. Σε τέτοια συστήματα, η μη γραμμική διαμόρφωση φάσης του παλμού δεν εξαρτάται μόνο από την ισχύ του αλλά και από την ισχύ των υπόλοιπων παλμών που διαδίδονται στην οπτική ίνα. Εξαναγκασμένη Σκέδαση Φωτός ( Stimulated Light Scattering ) Στην κατηγορία αυτή εντάσσονται τα φαινόμενα της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman και Brillouin, που οφείλονται στην αλληλεπίδραση των οπτικών κυμάτων με ακουστικά ή οπτικά φωνόνια αντίστοιχα. Οι διαδικασίες αυτές έχουν ως αποτέλεσμα, την απώλεια ενέργειας στη συγκεκριμένη συχνότητα, η οποία όμως είναι αμελητέα για χαμηλά επίπεδα ενέργειας. Σχήμα 14: Περιορισμοί στην ισχύ ανά κανάλι λόγω των μη γραμμικών φαινομένων. Το εν λόγω σύστημα θεωρείται ότι λειτουργεί στα 1.55μm και η εξασθένιση της ίνας είναι 0.dB/km. 5

26 Κεφάλαιο 3 Διάδοση Παλμών Σε Οπτικές Ίνες.3.1 Μη Γραμμική Εξίσωση Schodinger (NLS) Σε αυτήν την παράγραφο θα δώσουμε σε αδρές γραμμές έναν τρόπο εξαγωγής της μη γραμμικής εξίσωσης Schrodinger που περιγράφει την διάδοση του φωτός σε οπτικές ίνες που η σχέση της πόλωσης P του υλικού με την ένταση Ε του πεδίου στο υλικό αυτό μέσο είναι μη-γραμμική. Η κυματική εξίσωση που περιγράφει την διάδοση των κυμάτων σε διηλεκτρικό μέσο όπου οι απώλειες θεωρούνται αμελητέες και ο δείκτης διάθλασης του μέσου δεν παρουσιάζει χωρική εξάρτηση είναι : Ñ E = c 1 t E + m 0 t P ( ) Στην γενική εν-γένει μη-γραμμική σχέση που συνδέει την πόλωση P και την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε έχουμε : (1) () (3) { c E + c : EE + c EEE...} P = P e M ( 3.1. ) Και οι κυρίαρχοι όροι στη μη-γραμμική διάδοση στις οπτικές ίνες είναι ο δεύτερος και ο τέταρτος οπότε η ( 3.1. ) γίνεται : (1) (3) { c E + EEE} P = e M 0 c ( ) H πόλωση μπορεί να γραφεί ως άθροισμα του γραμμικού P L και του μη-γραμμικού της μέρους P NL με: P L + ò - (1) ( r, t) = e 0 c ( t - t' ) E( r, t' ) dt' ( ) 6

27 και P NL (3) 0 òòò ( t -t1, t -t, t -t3) ME( r, t1) E( r, t) E( r, t) ( r, t) = e c dt dt dt 1 3 ( ) Η σχέση ( ) γράφεται έτσι : Ñ E - c 1 E t = m 0 L t P + m 0 P t NL ( ) Πριν προχωρήσουμε στην εξαγωγή της ΝLS θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ένα μεγάλο μέρος των προβλημάτων της μη-γραμμικής οπτικής (γενικότερα της μηγραμμικής επιστήμης), προσεγγίζονται ως εξής: ξεκινάμε διαχωρίζοντας τη βασική μη-γραμμική σχέση σε γραμμικό και μη-γραμμικό μέρος. Λύνουμε το πρόβλημα για το γραμμικό μέρος μιας και έχουν αναπτυχθεί πολλές μέθοδοι για τα γραμμικά προβλήματα και κατόπιν προσεγγίζουμε με την εκάστοτε μέθοδο τη γενική λύση του προβλήματος, λαμβάνοντας υπόψη ως «ειδική λύση» το μη-γραμμικό μέρος. Η ιδιαιτερότητα του κάθε τέτοιου προβλήματος και ο τρόπος που σε κάθε περίπτωση συνδέουμε τελικά τα δύο αυτά προβλήματα, είναι μάλλον ο πυρήνας της μηγραμμικής οπτικής. Ακολουθώντας αυτήν τη μέθοδο, μηδενίζουμε αρχικά το P NL, που το θεωρούμε ως μικρή διαταραχή στην συνολική επαγόμενη πόλωση. Η σχέση ( ) στον χώρο Fourier θα γραφεί: Ñ E = c 1 E + m t 0 PL t Þ Ñ E = Þ Ñ c 1 E + m t 0 t P é+ ù ê ò E exp(iwt)dtú = ë- û c 1 P NL Þ + ò - = 0 + [ E exp(iwt) ] [ P exp(iwt) ] t dt + m ò 0 - L t dt Þ E Þ ò Ñ E exp(iwt)dt = ò exp(iwt)dt + ò m c t PL t exp(iwt) dt Þ Þ Ñ E ~ (r, w) = (iw) c E ~ (r, w) + m 0 (iw) ~ P L Þ 7

28 Þ Ñ + ò - w E ~ w = - E ~ (1) (r, ) (r, w) - m w e0 c (t - t') E(r, 0 c w ~ Þ Ñ E ~ w = - E ~ w - m w e c~ (1) (r, ) (r, ) 0 0 ( w) E(r, w) Þ c [ + c~ (1 ~ 1 ( w) ] E(r, w Þ w Þ Ñ E ~ ) (r, w) = - ) c t' )dt' Þ και αφού εξ ορισμού : e ( w) 1+ ~ c ( w) (1) = ( ) ~ w c θα έχουμε ότι : Ñ E( r, w) = - e ( w) E( r, w) ( ) ~ Το ε(ω) συναρτήσει του δείκτη διάθλασης n(ω) και τον συντελεστή απορρόφησης του διηλεκτρικού, α(ω), γράφεται: ε(ω)= (n+iαc/ω) ( ) Από τις παραπάνω προκύπτει ότι : 1 ( w ) = 1+ Re [ ~ (1) c ( w) ] n ( ) και a( w) w Im nc [ ~ (1) c ( w) ] = ( ) Θεωρώντας τις απώλειες στην οπτική ίνα αμελητέες (α@0) από την ( ) προκύπτει ε(ω)=n (ω) και έχοντας υποθέσει ότι το ε(ω) είναι αμετάβλητο στο χώρο η εξίσωση για τη γραμμική πόλωση θα είναι: Ñ ~ ( r, w) + n w ( w) c E ~ ( r, w) = 0 E ( ) 8

29 Θα εξαγάγουμε τώρα, την αντίστοιχη σχέση στην περίπτωση που δεν αμελείται τελείως η μη-γραμμική πόλωση. Θα κάνουμε τις εξής παραδοχές : - H μη-γραμμική πόλωση P NL αντιμετωπίζεται ως μικρή διαταραχή στη γραμμική πόλωση P L. - Θεωρούμε το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικά πολωμένο, έτσι ώστε η βαθμωτή προσέγγιση να μπορεί να θεωρηθεί σωστή. - Θεωρούμε το πεδίο σχεδόν μονοχρωματικό, δηλαδή το φάσμα είναι συγκεντρωμένο γύρω από μία συχνότητα ω 0 με Δω<<ω 0. Η προσέγγιση αυτή είναι συνεπής με τα δεδομένα ότι δηλαδή για τα μήκη κύματος της μη-γραμμικής οπτικής 0.5-μm (ω 0 =πc/λ~10 15 s -1 ) και έτσι για παλμούς ³0.1ps το φάσμα θα έχει εύρος Δω s -1. Έστω μέγεθος n που η περιβάλλουσα του είναι αργά μεταβαλλόμενη σε σχέση με την συχνότητα του φέροντος κύματος και μπορεί να γραφεί: n(r,t)=n(r,t)exp(-iωt) Έτσι θα γράψουμε το γραμμικά πολωμένο ηλεκτρικό πεδίο Ε και τις συνιστώσες P: E(r,t)=1/[E(r,t)exp(-iω 0 t)+c.c]x ( ) P L (r,t)=1/[p L (r,t)exp(-iω 0 t)+c.c]x ( ) P NL (r,t)=1/[p NL (r,t)exp(-iω 0 t)+c.c]x ( ), όπου c.c o μιγαδικός συζυγής του αντίστοιχου μεγέθους, x για το διάνυσμα της πόλωσης. Αντικαθιστώντας την ( ) στην ( ), και την ( ) στην ( ) λαμβάνοντας υπόψη την ( ) και θεωρώντας στην ( ) τη μοριακή απόκριση του υλικού στιγμιαία παίρνουμε: ( ) και P NL (3) ( r, t) = 0c ME( r, t) E( r, t) E( r, t) e ( ) 9

30 Η σχέση ( ), αγνοώντας την τρίτη αρμονική, όπως συμβαίνει συνήθως στις οπτικές επικοινωνίες, γράφεται: P NL ( r, t) e 0e E( r, t) = ( ) NL όπου ε NL είναι η μη-γραμμική «συνιστώσα» της διηλεκτρικής σταθεράς και ορίζεται: 3 4 (1) e NL = c E( r, t) ( ) Για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα της εξίσωσης ( ) είναι βολικότερο να εργαστούμε στο πεδίο της συχνότητας με την χρήση του Μετασχηματισμού Fourier. Αλλά αυτό στην περίπτωση της μη-γραμμικής πόλωσης δεν είναι πρακτικό. Για να μπορέσουμε να εργαστούμε με Fourier θα θεωρήσουμε την : Ñ E ~ + ( w) k 0 ~ E = 0 e ( 3. ) ε NL ως μικρή και σταθερή διαταραχή στην διηλεκτρική σταθερά ε(ω). Το «μικρή» δικαιολογείται από την διαταρακτική φύση της μη-γραμμικής πόλωσης P NL, ενώ το «σταθερή» από την παραδοχή του αργά μεταβαλλόμενου πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου Ε(r,t) και φυσικά την αργά μεταβαλλόμενη ισχύ του πεδίου E(r,t). Παίρνοντας τον Μετασχηματισμό Fourier της ( ) και λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω παίρνουμε: e w = + ~ (1) ( ) 1 c ( w) + e NL ( ) Παρατηρώντας την ( ) και την ( ) και θεωρώντας ότι η μη-γραμμική πόλωση δεν επηρεάζει τον συντελεστή απωλειών α, προκύπτει ότι η νέα μηγραμμική διηλεκτρική σταθερά μπορεί να γραφεί : ε(ω)=ε L (ω)+ε NL. Για τη νέα αυτή σταθερά και από μία σχέση όμοια με την ( ) και γράφοντας τον μη-γραμμικό δείκτη διάθλασης : n ~ n + n E = ( 3.1. ) Και τον συντελεστή απορρόφησης σε ανάλογη μορφή : ~ a a + a E = ( ) παίρνουμε : (3) 3w 0 (3 [ c ] (3.1.4), a Im[ ] (3.1.5) 3 ) c n = Re = 8n 4nc 30

31 31 Για την εξίσωση ( 3. ) θεωρούμε, ακολουθώντας την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, λύση της μορφής: ) )exp(, ( ~ ), ( ),,, ( ~ ), ( ~ z i z A y x F z y x E t r E b w w w w - = - = ( ),όπου F(x,y) η εγκάρσια κατανομή του πεδίου, Ã(z,ω) η φασματική περιβάλλουσα, αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση του z και β 0 προσδιοριστέα σταθερά. Αντικαθιστώντας την ( ) στην ( 3. ) και διαιρώντας με E παίρνουμε : Και επειδή οι δύο όροι του πρώτου μέλους της εξίσωσης αφορούν διαφορετικές μεταβλητές, συνεπάγεται ότι θα είναι σταθεροί, έτσι για λόγους συμφωνίας των διαστάσεων θεωρούμε την σταθερά β που θα υπολογιστεί επιλύοντας το πρόβλημα της ( ) για το προφίλ του πεδίου που εξαρτάται από τις εγκάρσιες συνιστώσες,και η εξίσωση, χωρίζεται στις : [ ] 0 ~ ) ( 0 = F k y F x F b w e ( ) ( ) 0 ~ ~ ~ 0 0 = A - + b b b z A i ( ) Η εξίσωση ( ) αποτελεί τη διαταραγμένη μορφή του γραμμικού προβλήματος της γραμμικής διάδοσης σε οπτική ίνα και η διαταραχή εισάγεται στη διηλεκτρική σταθερά : ε=(n+δn) =n +nδn ( ) Þ = w +e b + b 0 k ) ( ) (i ) (i z A ~ A ~ b ) (i z A ~ A ~1 z A ~ A ~1 y F F 1 x F F z A ~ i A ~ )k ( y F F 1 x F F = ú û ù ê ë é - b b + ú û ù ê ë é w + e + Þ

32 όπου Δn=n E +iα/k 0. Λύνοντας το γραμμικό πρόβλημα που αντιστοιχεί στην ( ), βρίσκουμε τη λύση (F,β(ω)) και η λύση της ( ), θα προκύψει από τη θεωρία διαταραχών πρώτης τάξης και όσον αφορά τον κυματάριθμο που χρειάζεται για την εξαγωγή της NLSE από την ( ), έχουμε: ~ b ( w) = b ( w) + Db ( ) όπου : k + + òò òò - - Dn F( x, y) dxdy Db = ( ) F( x, y) dxdy Έχοντας υπολογίσει τον κυματάριθμο στην ( ) μπορούμε να προσεγγίσουμε τώρα την ( ): Θεωρώντας κατά Taylor προσέγγιση για τον κυματάριθμο : ~ ~ ~ b ( b ) b + b ( b - b ) Με την ( ) η ( 3..8 ) θα γραφεί ως : = ( ) ~ ~ A ib + b0 0 - z z ~ ~ A ~ ( b - b ) A = 0Þ = i[ b ( w) + Db ]A 0 b0 ( ) Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της ( ) θα πάρουμε την εξίσωση που δίνει την Α(z,t). Το μόνο πρόβλημα είναι η μορφή του β(ω) μιας και το Δβ και το β 0 δεν εξαρτώνται από την συχνότητα. Για αυτό, θα πάρουμε το ανάπτυγμα κατά Τaylor της β(ω) στην περιοχή της φέρουσας συχνότητας ω=ω 0 : 1 1 w) = b + ( w -w0) b b 6 3 ( w -w ) b + ( w -w )... ( b ( ),όπου συμβολίσαμε β n = n β/ ω n ω=ωο Στην προσέγγιση του σχεδόν μονοχρωματικού πεδίου οι όροι για n³3 είναι αμελητέοι, εκτός της περίπτωσης που βρεθούμε στο μήκος κύματος της μηδενικής διασποράς (β =0) όπου τότε ο όρος β 3 πρέπει να ληφθεί υπόψη. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της Ã(z,ω-ω 0 ) ορίζεται: 3

33 + 1 ~ A ( z, t) = ò A( z, w -w )exp[-i( w -w0)] dw p - 0 ( ) Έτσι εφαρμόζοντας την ( ) λαμβάνοντας υπόψη ότι ο μετασχηματισμός Fourier, δεν έχει χωρική φύση και χρησιμοποιώντας την παραγοντική ολοκλήρωση για την ελάττωση του βαθμού του πολυωνύμου ( ) για n<3 η ( ) καταλήγουμε μετά από στοιχειώδεις πράξεις στη σχέση : A( z, t) A( z, t) i = i D b z t A( z, t) t b A - b1 - ( ) Από την ( ) και την Δn=n E +iα/k 0 προκύπτει για την Δβ : a D b = g A - i ( ), όπου γ=n ω 0 /ca eff (38) ο συντελεστής της μη-γραμμικότητας και A eff η ενεργός διατομή του πυρήνα: æ ç è + + òò - - A eff = òò - - F( x, y) F( x, y) ö dxdy ø dxdy ( ) Και έτσι προκύπτει η εξίσωση που είναι γνωστή και ως η μη-γραμμική εξίσωση Schrödinger( non linear Schrodinger equation, NLSE ): A A i A a + b + b + A - i g A z t t 1 A = 0 ( ) 33

34 3.1.1 Σχολιασμός της Μη Γραμμικής Εξίσωσης Schrodinger (NLSE) Από τον πρώτο και από τον τρίτο όρο της ( ) γίνεται φανερή η αναλογία της NLSE με την εξίσωση του Schrodinger της κβαντομηχανικής και δικαιολογείται το όνομα της πρώτης. Η εξίσωση ΝLS με τον συντελεστή α περιγράφει τις απώλειες στην ίνα και με τον συντελεστή γ την μη-γραμμικότητα. Η β 1 σχετίζεται με την ομαδική ταχύτητα του σχεδόν μονοχρωματικού παλμού, με τη σχέση v g =1/β 1, και η β είναι η παράμετρος που αντιστοιχεί στη διασπορά στη ομαδική ταχύτητα (GVD) και από το πρόσημό της καθορίζεται η περιοχή (ανώμαλη/ομαλή) της διασποράς και δίνει την αναγκαία συνθήκη (β <0) για την διάδοση σολιτονίων. Ένα άλλο θέμα που πρέπει να εξετάσουμε είναι ποιοι όροι της ( ) είναι κυρίαρχοι και πώς αυτό καθορίζεται: Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής Τ=( t-z/v g )/Τ 0 όπου vg η ομαδική ταχύτητα του παλμού, και μεταφερθούμε σε σύστημα αναφοράς που κινείται μαζί με τον παλμό, κανονικοποιόντας παράλληλα ως προς την αρχική διάρκεια του παλμού Τ 0, τότε η εξίσωση ( ) παίρνει τη μορφή: A i b A a - + i A + i g A z T T A = i ( ) και αντικαθιστώντας την Α με: 0 0 A ( z, t ) P0 U ( z, t ) = ( ) όπου P 0 η μέγιστη ισχύς του προσπίπτοντος παλμού, και U ( z, t ) το κανονικοποιημένο πλάτος, η ( ) γίνεται: U z + i sgn( b ) U L T D a 1 + U - i L U U = NL 0 ( ) όπου : L D = T 0 b (3.1.43) L NL 1 = g P 0 (3.1.44) το μήκος διασποράς και το μήκος μη-γραμμικότητας αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας τις τιμές με ταυτόχρονη αλλαγή της κλίμακας του μήκους μέσω του μετασχηματισμού: 34

35 Z = z L D ( ) και ορίζοντας και τις παραμέτρους: G = a L D ( ) N = L D L NL ( ) η εξίσωση ( ) γίνεται: U Z + i U sgn( b ) + GU - i N U U = 0 T (3.1.48) και τελειώνοντας με τον μετασχηματισμό: q=nu ( ) η εξίσωση ( ) καταλήγει στην μορφή: q Z + i q sgn( b ) + Gq - i N q q = 0 T (3.1.50) Για να κατανοήσουμε ποιοτικά την σημασία των μηκών αυτών θα θεωρήσουμε ίνα μήκους L κατά μήκος της οποίας γίνεται η διάδοση. Τα L D και L NL δίνουν ένα μέτρο του μήκους διάδοσης πέρα από το οποίο τα φαινόμενα διασποράς και τα μη γραμμικά φαινόμενα, αντίστοιχα, γίνονται σημαντικά. Συγκρίνοντας τα μεγέθη L D και L NL με το μήκος της ίνας L, διαμορφώνονται τέσσερις περιοχές λειτουργίας. 35

36 1. Το μήκος της ίνας L είναι μικρότερο των L D και L NL (L< L D, L< L NL ). Κατά τη διάδοση δεν εμφανίζεται κανένα από τα δύο φαινόμενα. Σε αυτήν την περίπτωση η ίνα λειτουργεί ως ένα διάφανο μέσο μετάδοσης οπτικών παλμών (εξαιρείται η μείωση της ισχύος του μεταδιδόμενου παλμού λόγω απωλειών).. Το μήκος της ίνας είναι τέτοιο ώστε L<L NL ενώ είναι συγκρίσιμο με το μήκος διασποράς L D. Η εξέλιξη του παλμού τότε καθορίζεται από το GVD ενώ οι μη γραμμικότητες μπορούν να αγνοηθούν. 3. Το μήκος της ίνας είναι τέτοιο ώστε L<L D ενώ είναι συγκρίσιμο με το μήκος L NL. Η εξέλιξη του παλμού τότε καθορίζεται από το SPM, το οποίο και επηρεάζει το φασματικό περιεχόμενο του παλμού, ενώ θεωρείται αμελητέα η επίδραση της διασποράς. 4. Το μήκος της ίνας είναι μεγαλύτερο ή συγκρίσιμο με αμφότερα τα L D και L NL. Τότε, η εξέλιξη του παλμού, επηρεάζεται και από το GVD αλλά και το SPM και μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετική συμπεριφορά από αυτήν που θα περίμενε κανείς, αν καθένα από τα παραπάνω φαινόμενα δρούσαν μόνα τους. Στην ομαλή περιοχή διασποράς (β >0), τα GVD και SPM χρησιμοποιούνται για τη συμπίεση παλμών. Από την άλλη, στην ανώμαλη περιοχή διασποράς (β <0) η ίνα μπορεί να υποστηρίξει σολιτόνια δηλαδή έναν παλμό με σταθερή μορφή. Στην περίπτωση που συμπεριληφθούν και υψηλότερης τάξης φαινόμενα διασποράς και μη γραμμικότητας, η εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη του παλμού είναι η : 3 q i q q + sgn( b ) -d +G q= i q 3 Z T T q-s ( q T q ( q ) T q) -i t R = 0 (3.1.51) Όπου: δ = β 6 β T, s = ω ο Τ ο, τ = T T ( ) Στις εξισώσεις ( ) Τ είναι η διάρκεια του παλμού, ω 0 0 η φέρουσα συχνότητα και T R μια ποσότητα με διαστάσεις χρόνου που συνδέεται με την κλίση του κέρδους Raman η οποία υποτίθεται ότι είναι σταθερή στην περιοχή της ω 0. Για τους όρους της εξίσωσης ( ) έχουμε ότι ο όρος δ του αριστερού μέλους αναφέρεται στη μη γραμμική διασπορά τρίτης τάξης, ο όρος s του δεξιού μέλους στην εξάρτηση του μη γραμμικού μέρους του δείκτη διάθλασης από το μήκος κύματος και ο όρος τ R του δεξιού μέλους στο ενδοπαλμικό φαινόμενο Raman, δηλαδή στη μεταφορά ενέργειας από τις υψηλότερες στις χαμηλότερες συχνότητες του παλμού μέσω του φαινομένου Raman. Από τον ορισμό των παραμέτρων δ, s, τ R γίνεται φανερό ότι οι επιδράσεις των φαινομένων ανώτερης τάξης γίνονται ολοένα και πιο σημαντικές καθώς η διάρκεια του παλμού μειώνεται. Έτσι η εξίσωση ( ), είναι αυτή η οποία πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή της διάδοσης femtosecond παλμών σε singlemode ίνες. Αντίθετα στην περίπτωση που η διάρκεια των παλμών βρίσκεται στην περιοχή των picosecond, η εξίσωση ( ) είναι στην πλειοψηφία των περιπτώσεων επαρκής. 36